Luận văn thạc sĩ tính ổn định và tính CO của các phương pháp runge kutta

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————————— NGUYEN TH± HIÊN TÍNH ON бNH VÀ TÍNH CO CUA CÁC PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA Chuyên ngành: Tốn Éng dnng Mã so: 60 46 01 12 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS VŨ HỒNG LINH Hà N®i-2014 Lài cam ơn Trưóc trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn vn, tụi xin cam ơn Ban chn nhi¾m khoa Tốn - Cơ - Tin HQc tồn the thay giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, phịng Sau đai hQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, giang day t¾n tình tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thành tot lu¾n văn Đ¾c bi¾t, tơi xin gui lịi cam ơn chân thành nhat tói thay giáo PGS.TS Vũ Hồng Linh, ngưịi trnc tiep hưóng dan t¾n tình chi bao tơi suot q trình tơi HQc t¾p thnc hi¾n lu¾n văn Nhân d%p này, tơi xin cam ơn gia đình ln nng h® đ®ng viên suot thịi gian tơi HQc t¾p Cuoi cùng, tơi xin cam ơn tat ca ban, anh, ch% lóp cao HQc Tốn khóa 2011 - 2013, đ¾c bi¾t anh ch% chun ngành Tốn úng dung khóa 2010 - 2012 khóa 2011 - 2013 t¾n tình giúp đõ đng viờn tụi quỏ trỡnh HQc Xin chõn thành cam ơn! Hà N®i, ngày 16 tháng 01 năm 2014 HQc viên Nguyen Th% Hiên Mnc lnc Ma đau Bang ký hi¾u Các khái ni¾m ban 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta 1.2 Xây dnng phương pháp Runge-Kutta an 11 1.3 Áp dung phương pháp Runge-Kutta giai toán cương18 1.4 Các loai chuan .21 Tính co cho tốn tuyen tính 26 2.1 Chuan Euclid (Đ%nh lý von Neumann) 29 2.2 tăngvói trưong vói tốn tuyen tính 30 2.3 Hàm Bài toán nhieusai phisotuyen nho 33 2.4 Tính co ǁ.ǁ∞ ǁ.ǁ1 37 2.5 H¾ so ngưõng 39 Tính on đ%nh B tính co 42 3.1 ieu kiắn Lipschitz mđt phớa 42 3.2 Őn đ%nh B őn đ%nh đai so 43 3.3 M®t vài phương pháp Runge-Kutta an őn đ%nh đai so 46 3.4 Őn đ%nh AN 48 3.5 Các phương pháp Runge-Kutta kha quy .51 3.6 Đ%nh lý ve sn tương đương giua őn đ%nh B őn đ%nh đai so vói phương pháp S-bat kha quy .53 3.7 Hàm tăng trưong sai so .56 3.8 Tính tốn ϕB (x) 58 Ket lu¾n .63 Tài li¾u tham khao 64 Ma đau Trong khoa HQc kĩ thu¾t ta thưịng g¾p rat nhieu tốn liên quan tói vi¾c giai phương trình vi phân Có rat nhieu trưịng hop nghi¾m giai tích cna tốn khơng the tìm đưoc Chính v¾y nhà tốn HQc tìm kiem nhieu phương pháp so khác đe giai toán Trong phương pháp so, phương pháp Runge-Kutta có nhieu tính chat ưu vi¾t đưoc su dung rđng rói Luắn trỡnh by ve tớnh n %nh tính co cna phương pháp Runge-Kutta Xuat phát tù đieu ki¾n őn đ%nh tuy¾t đoi |yn | ≤ |yn−1 | cna toán y J = λy, ta mo rđng en khỏi niắm "tớnh co" xột bi tốn tuyen tính y J = Ay , tiep đen khái ni¾m tính őn đ%nh B őn đ%nh đai so xét toán phi tuyen Trên so ta có the lna cHQN phương pháp huu hi¾u phù hop nhat đe giai bi toỏn sinh thnc te Nđi dung luắn văn đưoc tham khao tù tài li¾u [2] [3] Bo cuc cna lu¾n văn bao gom chương: • Chương 1: Các khái ni¾m ban Lu¾n văn trình bày khái ni¾m ban ve phương pháp RungeKutta, cách xây dnng phương pháp Runge-Kutta an, vói kien thúc bő tro cho Chương Chương • Chương 2: Tính co cna tốn tuyen tính Lu¾n văn trình bày khái ni¾m đ%nh lý liên quan đen tính co xét tốn tuyen tính • Chương 3: Tính őn đ%nh B tính co Lu¾n văn trình bày khái ni¾m őn đ%nh B, őn đ%nh đai so, őn đ%nh AN moi quan h¾ giua khái ni¾m őn đ%nh cna phương pháp Runge-Kutta xét toán phi tuyen Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Tác gia mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna q thay ban ĐQc Bang ký hi¾u A⊗I Tích tensor B (p), C (), D () Bđ ieu kiắn ve cap xác C T¾p so phúc Cn I Khơng gian vectơ phúc n chieu Ma tr¾n đơn v% K (Z) Hàm őn đ%nh vói tốn y J = λ (x) y Pk (x) Đa thúc trnc giao Legendre Pkj (z) Xap xi Padé R (z) R Hàm őn đ%nh cna phương pháp T¾p so thnc Rn S Khơng gian vectơ thnc n chieu Mien őn đ%nh µ (A) ν Chuan logarit cna ma trắn A Hang so Lipschitz mđt phía ϕB (x) Hàm tăng trưong sai so xét toán phi tuyen ϕR (x) q Hàm tăng trưong sai so xét tốn tuyen tính H¾ so ngưõng  b1   bs     bT = (b1, , bs) Chuyen v% cna vectơ b = = (1, , 1)T Vectơ c®t vói tat ca thành phan đeu bang Chương Các khái ni¾m ban Chương trình bày khái ni¾m ban ve phương pháp Runge- Kutta, sn ton tai lòi giai so cna phương pháp, cách xây dnng phương pháp Runge-Kutta an vói kien thúc bő tro cho Chương Chương N®i dung cna chương chi phát bieu khái ni¾m ket qua phuc vu cho chương sau Chúng minh chi tiet cna ket qua chương có the tham khao tai [2], [3] [5] 1.1 Các phương pháp Runge-Kutta Phương pháp Runge-Kutta tong qt Phương pháp Runge-Kutta thu®c lóp phương pháp so m®t bưóc, đưoc đưa boi hai nhà tốn HQc ngưịi Đúc Carl Runge (1856 - 1927) Wilhelm Kutta (1867 - 1944) Trưóc het ta xét tốn Cauchy cna phương trình vi phân cap m®t có dang y J = f (t, y) , y ∈ Rn , f : R × Rn → Rn , y (t0 ) = y0 (1.1) Đ%nh nghĩa 1.1 (xem [5]) Phương pháp Runge-Kutta s nac cho h¾ phương trình vi phân (1.1) có the viet dưói dang: Σ Yi = yn−1 + sj= aijf (tn−1 + cjh, Yj) i = (1.2) 1s Σ h yn = yn−1 +h i= 1, , s bi f (tn−1 + ci h, Yi ) Trong Y1, , Ys giá tr% nac xap xi y tai tis = tn−1 + cih (ti điem Σ s s s i=1 nac) Bđ hắ so: {ci}i=1 ; {aij}i,j=1 ; {bi}i=1 thoa mãn cHQN đe có ci aij (i = 1, , = s) bi = Thơng thưịng, ta • Neu aij = vói i ≤ j phương pháp phương pháp Runge-Kutta hien (ERK) • Neu aij = vói i < j có nhat m®t aii ƒ= phương pháp phương pháp Runge-Kutta an đưịng chéo (DIRK) • Neu aij = vói i < j aii = γ vói i = 1, , s phương pháp phương pháp an đưịng chéo đơn (SDIRK) • Các trưòng hop lai GQI phương pháp Runge-Kutta an (IRK) Đe de dàng hình dung ve phương pháp Runge-Kutta, Butcher ó a bđ hắ so cna phng phỏp vào bang sau: · · · a1s · · · a2s ass bs ··· csas1as2 ··· b1b2 Bang 1.1: Bang Butcher c1a11 c2a21 a12 a22 Ví dn 1.1 M®t so cơng thúc ERK ban (a) Euler hien (b) Hình thang hien 00 000 110 11 22 (c) Trung điem hien 00 10 Bang 1.2: M®t so cơng thúc ERK Ví dn 1.2 M®t so cơng thúc IRK ban (a) Euler an (b) Hình thang an 11 000 111 22 11 22 Bang 1.3: M®t so cơng thúc IRK (c) Trung điem an 11 22 SE ton tai lài giai so cua phương pháp Xét công thúc (1.2) trưịng hop n = 1, neu ta đ¾t ki = f (t0 + cih, Yi) vói i = 1, 2, , s ta thu đưoc s ki = f (t0 + cih, y0 Σ aijkj) (1.3) +h s Σ y1 = y0 + j= bik i i=1 Đe xác đ%nh lòi giai so y1 cna phương pháp, trưóc het ta can xác đ%nh giá tr% ki tù h¾ phương trình chúa ki cho boi (1.3) Nói chung, h¾ phương trình phi tuyen nên nhieu trưịng hop có the ki ton tai khơng nhat Do đó, khơng ton tai lịi giai so cna phương pháp Đ%nh lý sau cho ta đieu ki¾n đe ton tai lịi giai so cna phương pháp RungeKutta an (1.3) Đ%nh lý 1.1 (xem [2]) Cho hàm f : R × Rn → Rn hàm liên tnc thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz theo bien y vái hang so L Neu h< L max ti Σ |aij| , j lài giai so cua phương pháp (1.3) ton tai nhat vái giá tr% ki đưac xác đ%nh nhat tù h¾ phương trình cho bái (1.3), giá tr% có the thu đưac bang phương pháp l¾p Newton Hơn nua, neu f (t, y) hàm kha vi, liên tnc tái cap p ki (là hàm theo bien h) kha vi, liên tnc cho tái cap p On đ%nh tuy¾t đoi on đ%nh A Bang phương pháp khác ta có the tìm nghi¾m so cna phương trình vi phân Tuy nhiên, nghi¾m so ta tìm đưoc li¾u có tot khơng, làm the đe có the đánh giá đưoc nghi¾m Đe giai quyet van đe này, ta can chi nghi¾m so phai có tính chat tot cho nhat m®t lóp tốn Xét phương trình vi phân thu y J = λy, λ hang so, λ ∈ C, y(t0 ) = y0 (1.4) e phan sau, xét phương trình thu (1.4) ta ln gia su Re (λ) ≤ Trong trưòng hop Re (λ) ≤ ta đưoc đieu ki¾n őn đ%nh tuy¾t đoi |yn| ≤ |yn−1| , n = 1, 2, (1.5) m®t giai cna phương pháp goc (3.4) Vói phương pháp o Bang 3.2(b) ta có S = {1, 2} M®t ví du khác ve m®t phương pháp S-kha quy đưoc xác đ %nh o Bang 3.4 (S1 = {1, 2, 3} S2 = {4}) (a) 1 −1 3.6 ⇒ (b) 111−2 22 −1 −1−2 5−2 −1 −1 −1 −3 11 1 44 4 Bang 3.4: Ví du ve phương pháp S-kha quy 3−2 2−3 31 44 Đ%nh lý ve sE tương đương giEa on đ%nh B on đ%nh đai so vái phương pháp S-bat kha quy Bo đe 3.2 Cho A l ma trắn hắ so cua mđt phng pháp Runge-Kutta S-bat kha quy, ton tai vectơ ξ ∈ Rs η = Aξ đe (ξi − ξ j) (ηi − ηj) < vái i ƒ= j (3.28) Chúng minh (Butcher 1982) Ý tưong đau tiên đ¾t ξ = − εA1 vói = (1, , 1)T , tù η = Aξ = A1 − εA21 Neu ci ƒ= cj vói MQI i, j ξi − ξj ƒ= ηi − ηj ngưoc dau (ε đn nho), ta có (3.28) Trong vi¾c chúng minh trưịng hop cịn lai, ta xây dnng đ¾ quy vectơ v0, v1, v2, bieu th% bang phân hoach Pk cna {1, 2, , s} xác đ%nh boi moi quan h¾ tương đương i∼j ⇔ (vq)i = (vq)j , vói q = 0, 1, , k (3.29) Vói m®t phân hoach P nhat đ%nh cna {1, 2, , s}, ta có không gian X (P ) = v ∈ Rs; (v)i = (v)j neu i ∼ j đoi vói phân hoach P Σ Vói ký hi¾u này, phương pháp S-bat kha quy chi AX (P ) ƒ⊂ X (P ) (3.30) vói tat ca phân hoach khác vói {{1} , {2} , , {s}} Ta bat đau vói v0 = 1, P0 = {{1, 2, , s}} đ%nh nghĩa Avk ω = v k+1 neu Avk ∈/ X (Pk ) neu Avk ∈ X (Pk) ω m®t vectơ tùy ý cna X (Pk ) thoa mãn Aω ∈/ X (Pk ) Lna cHQN đe có (3.30) Sau m®t so huu han bưóc, sau m bưóc, ta đưoc Pm = {{1} , {2} , , {s}}, so lưong phan tu cna Pk ngày tăng tăng ng¾t sau bưóc thú hai Do đó, tat ca thành phan cna vectơ ξ = v0 − εv1 + ε2v2 − + (−ε)mvm khác (vói ε > đn bé) (3.28) đưoc thoa mãn Bo đe 3.3 Cho u1, , uk f (u1) , , f (uk) vectơ cua Rn vái (f (ui) − f (uj) , ui − uj) < vái i ƒ= j Khi đó, ton tai m®t thác trien liên tnc f : Rn → Rn thóa mãn (f (u) − f (v) , u − v) ≤ vái MQI u, v ∈ Rn Chúng minh (Wakker 1985) Đ %nh nghĩa (f (ui) − f (uj) , ui − uj) γ = max đn bé Ta chi rang ton tai hàm liên tuc f : C → C thoa mãn Re (f (u) − f (v) , u − v) ≤ vói MQI u, v ∈ C đe lòi giai cna phương pháp Runge-Kutta y1, gi y0 = y^0 = 1, h = 1, thoa mãn 0, (3.33) y^1 , ^gi tương úng vói f (^gi ) − f (gi ) = zi (^gi − gi ) (3.34) Tù ^ y1 −y1 = K (Z) vói K (Z) xác đ%nh (3.18) Őn đ%nh B |K (Z)| ≤ Theo tính liên tuc cna K (Z) gan goc TQa đ® ta có |K (Z)| ≤ vói MQI zj thoa mãn Rezj ≤ |zj | ≤ ε, đe Đ%nh lý 3.7 chúng minh ket lu¾n Xây dnng hàm f : ký hi¾u ∆gi lịi giai cna ∆gi = + s Σ aijzj∆gj j=1 (lòi giai ton tai nhat neu |zj| ≤ ε ε đn bé) Vói ξ, η o Bő đe 3.2, ta đ%nh nghĩa gi = tηi f (gi) = tξi ^gi = gi + ∆gi f (^gi ) = f (gi ) + zi ∆gi (3.35) Đieu đưoc đ%nh nghĩa tot t đn lón (đưoc co đ%nh sau đó), ηi bi¾t Rõnày ràng, gi ^gi diắn cho lũi giai cna mđt phng phỏp Rungelà phân Kutta vói y0 = 0, y^0 = (3.34) đưoc thoa mãn theo đ%nh nghĩa Tiep theo, ta chi rang Re (f (u) − f (v) , u − v) < neu u ƒ= v (3.36) đưoc thoa mãn vói u, v ∈ D = {g1, , g ^s, g1, , gs} Sau này, tù vi¾c xây dnng cna ξ, η , neu u, v ∈ {g1 , , gs } Neu u = gi , v = ^gi ^ mđt hắ qua cna (3.34) Vúi trũng hop cũn lai u = ^gi , v ∈ D\ {gi , ^gi } ta có (f (u) − f (v) , u − v) = t (ξi − ξj) (ηi − ηj) + O (t) vói t → ∞, đe (3.36) đưoc thoa mãn vói t đn lón Áp dung Bő đe 3.3, ta tìm đưoc hàm liên tuc f : C → C mo r®ng (3.35) thoa mãn (3.33) Nh¾n xét 3.2 Butcher Burrage (1979) phân bi¾t giua őn đ%nh BN (dna h¾ khơng dùng) őn đ%nh B (dna h¾ dùng) Vì phương trình vi phân đưoc xây dnng chúng minh (xem (3.33)) h¾ dùng, nên hai khái ni¾m tương đương vói phương pháp bat kha quy 3.7 Hàm tăng trưang sai so Tat ca đ%nh lý o phan chi đe c¾p đen tính co hang so Lipschitz m®t phía ν o (3.2) (xem Đ%nh nghĩa 3.1) Câu hoi đ¾t li¾u có the làm ch¾t ưóc lưong biet rang ν < li¾u ta có the ưóc lưong trưịng hop chi có (3.2) vói m®t vài ν > Đ%nh nghĩa 3.7 (Burrage Butcher 1979) Cho ν o (3.2) đ¾t x = hν (h cõ bưóc đi) Ký hi¾u ϕB (x) so nho nhat đe có ưóc lưong (3.37) ǁy1 −^ y1ǁ ≤ ϕB (x) ǁy0 − y0ǁ vói tat ca tốn thoa mãn^ Re (f (x, y) − f (x, z) , y − z) ≤ νǁy − zǁ (3.38) Ta GQI ϕB (x) hàm tăng trưáng sai so cna phương pháp Ta xét hàm f : R × Cn → Cn Hàm khơng mang tính tőng qt (vì bat kỳ h¾ có the viet dưói dang thnc bang cách tách phan thnc phan ao), thu¾n ti¾n làm vi¾c vói tốn y J = λ (x) y o λ (x) ∈ C Trong trưòng hop tốn tuyen tính khơng dùng y J = A (x) y , ieu kiắn (3.38) tro thnh (A (x)) ≤ ν , (trong µ (.) chuan logarit) Đ¾t Zi := hA (x0 + ci h), sn chênh l¾ch giua hai lịi giai so y1 − y^1 = K (Z1 , , Zs ) (y0 − y^0 ) o K (Z1 , , Zs ) = I + Σ bT ⊗ I Z(I ⊗ I − (A ⊗ I) Z)−1 (1 ⊗ I) (3.39) Z ma tr¾n đưịng chéo khoi, vói Z1, , Zs khoi đưòng chéo Đ%nh lý 3.10 Hàm tăng trưáng sai so cua m®t phương pháp Runge-Kutta an thóa mãn ϕB (x) = sup µ(Z1)≤x, ,µ(Zs)≤x ǁK (Z1, , Zs)ǁ (3.40) Chúng minh C¾n Sn chênh l¾nh ∆y1 = y1 − y^ cna hai lòi giai Runge-Kutta thoa mãn (3.8) Gia đ%nh (3.38) có nghĩa Re (∆fi, ∆gi) ≤ xǁ∆giǁ Ta se chúng minh rang ton tai ma tr¾n Zi (i = 1, , s) vói µ (Zi) ≤ x đe ∆fi = Zi∆gi Có nghĩa ∆y1 = K (Z1, , Zs) y0 v nh mđt hắ qua, ve phai cna phng trỡnh (3.40) l mđt cắn trờn cna B (x) Neu ∆gi = ∆fi = cú the lay mđt ma trắn tựy ý thoa µ (Zi) ≤ x Do đó, ta xét vectơ f, g (g ƒ= 0) ∈ Cn thoa mãn Re (f, g) ≤ xǁgǁ Đ¾t u1 := g , cuoi ta đưoc so trnc giao , , cna Cn Sau đó, ta đ%nh nghĩa ǁg u1 un ǁ ma tr¾n Z boi ( ) , := xui − , i = 2, , n f ui, f u1 Zu1 := Zui ǁgǁ ǁgǁ Σn Ta có Zg = f , de thay Re (Zv, v) ≤ vói MQI v αiui i= C¾n dưái Đau tiên ta xét phương=pháp Runge-Kutta không suy bien xǁvǁ Vói moi Z1, , Zs mà µ (Zi) ≤ x, cho A (x) m®t hàm liên tuc thoa mãn hA (x0 + ci h) = Zi µ (A (x)) ≤ x vói MQI x (ví du A (x) tuyen tính n®i suy) Ta có ∆y1 = K (Z1, , Zs) ∆y0 suy ϕB (x) ≥ ǁK (Z1, , Zs)ǁ vói tat ca Z1, , Zs mà µ (Zi) ≤ x Vói phương pháp suy bien vi¾c chúng minh phúc tap Khơng mat tính tőng quát, ta gia su rang phương pháp bat kha quy, boi ϕB (x) ve phai cna phương trình (3.40) đeu khơng thay đői phương pháp đưoc thay boi m®t phương pháp tương đương Quan tâm bây giị Bő đe 3.3 3.4, vói so chieu tùy ý Xét Z1, , Zs vói µ (Zi) ≤ x, chang han h¾ tuyen tính Σs aijZj∆gj có m®t lịi giai Chính xác, Đ%nh lý 3.9 ∆gi = ∆y0 j= + ta có the xây dnng hàm liên tuc f : Cn → Cn thoa mãn (3.38) vói ν = x (ta đ¾t h = 1) f (gi) − f (gi) = Zi (gi − gi) Đieu hoàn tat chúng minh cna đ ^ %nh lý Vói phương pháp nac (s = 1) Đ%nh lý von Neumann (H¾ qua 2.2) ^ đn đe xét trưịng hop vơ hưóng, giá tr% phúc z1 ∈ C o phương trình (3.40) Do trưòng hop K (Z) = R (z), ta có ϕB (x) = ϕR (x) vói MQI cơng thúc nac (3.41) Bây giị đieu van chưa rõ ràng, nhiên ta có the han che supremum o phương trình (3.40) đe có the xét trưịng hop vơ hưóng hay giá tr% zi ∈ C vói s ≥ Đieu địi hoi m®t sn tőng quát cna Đ%nh lý von Neumann vói hàm nhieu bien (Hairer Wanner 1996) Ta se quay lai câu hoi phan sau Đ%nh lý 3.11 (Hairer Wanner 1996) Vái phương pháp Runge-Kutta őn đ %nh B, hàm tăng trưáng sai so hàm siêu mũ (hàm mũ), túc ϕB (0) = ϕB (x1) ϕB (x2) ≤ ϕB (x1 + x2) vái x1, x2 dau Chúng minh Tính chat ϕB (0) = có đưoc theo Đ%nh nghĩa 3.3 Vói vi¾c chúng minh bat thúc, xét hàm huu ti S (z) = u∗A K (A1 − zI, , As − zI) vA u∗B K (B1 + zI, , Bs + zI) vB , đó, ma trắn Aj, Bj thoa (Aj) x1+x2 µ (Bj) ≤ 0, uA, vA, uB, vB vectơ tùy ý cna Cn Su dung tính chat µ (Aj − zI) = µ (Aj) − Rez ǁCǁ = sup ǁuǁ=1, ǁvǁ=1 |u∗ Cv|, thu đưoc bat thúc xác tương tn chúng minh Đ%nh lý 2.3 Thnc te ϕB (x) c¾n trên, vói ϕB (−∞) = |R (∞)| cho phép ta có nhung ket lu¾n tương tn ve sn őn đ%nh ti¾m c¾n cna lịi giai so o Chương 3.8 Tính tốn ϕB (x) Đe tìm giá tr% lón nhat cna ǁ∆y1ǁ dưói sn han che cna (3.38) Chính xác hơn, ta xét tốn toi ưu hóa vói ràng bu®c bat thúc (3.42) ǁ∆y1ǁ → max Re (∆fi, ∆gi) ≤ xǁgiǁ , i = 1, , s e đây, ∆f1 , , ∆fs đưoc coi cỏc giỏ tr% đc lắp Cn , y1 v ∆gi đưoc đ%nh nghĩa o (3.8), ∆y0 đưoc xem nh mđt tham so Mđt cỏch tiep cắn c ien đe giai tốn toi ưu hóa (3.42) xét nhân tu Lagrange d1, , ds xét Σs 2Σ Lǁ∆y (∆f, ǁD) = −1 = − d Re (∆fi, ∆gi) − Σ i xǁgiǁ ∆y , i=1 α Σ ⊗ IΣ ∆f ∗ (∆y0 , uT u ∆f ∗ ) W (3.43) đó, ∆f = (∆f1 , , ∆fs )T , D = diag (d1 , , ds ) α = −1 − 2x1T D1 (3.44a) u = D1 − b − 2xAT D1 (3.44b) W = DA + AT D − bbT − 2xAT DA (3.44c) Đ%nh lý 3.12 (Burrage Butcher 1980) Neu ma tr¾n α+ϕ uT u W Σ (3.45) nua xác đ%nh dương vái d1 ≥ 0, , ds ≥ ǁ∆y1ǁ ≤ ϕ ǁ∆y0ǁ vái tat ca tốn thóa mãn (3.38) vái hν ≤ x Do đó, ta có ϕB (x) ≤ ϕ ϕ2ǁ∆y0ǁ ta đưoc Chúng minh Trù ca hai ve cna (3.43) cho s 2 ǁ∆y ǁ − ϕ ǁ∆y 2 ǁ0 Σ − Σ d i Re (∆f ) − xǁ∆g ǁ i , ∆g i i i= Σ ≤ Ket qua sau có đưoc di ≥ Re (∆fi, ∆gi) ≤ xǁ∆giǁ Vói sn tro giúp cna Đ%nh lý 3.12, Burrage Butcher (1980) tính tốn c¾n cna ϕB (x) cho m®t vài phương pháp nac Và nh¾n thay rang, vói tat ca phương pháp nac ϕB (x) = ϕK (x), ϕK (x) = sup Rez1≤x, , Rezs≤x |K (z1, , zs)| (3.46) Có phai ϕB (x) = ϕK (x) vói tat ca phương pháp Runge-Kutta hay khơng? Neu muon kiem tra tính hop l¾ cna ϕB (x) = ϕK (x) vói moi phương pháp Runge- Kutta, ta phai tìm nhân tu Lagrange khơng âm di đe (3.45) đưoc thoa mãn Các bő đe sau se rat huu ích cho muc đích Ta ký hi¾u z0, , giá tr% đe (3.46) đat supremum Theo nguyên lý z s Σ Σ maximum ta có zj0 = x + iyj (yj = ∞) Đ¾t z = 1z , s , z cho ∂j K z đao hàm cna K (z1, , zs) theo đoi so thú j tai z0 Bo đe 3.5 Cho x co đ%nh vái ϕK (x) < ∞ Đieu ki¾n (3.45) vái ϕ = ϕK (x) xác đ%nh nhat nhân tu Lagrange d1, , ds (xem phương trình (3.52) phan sau) Và d1, , ds so thnc dương Chúng minh Xét đong nhat thúc (3.43) cho trưịng hop đ¾c bi¾t vói ∆fj vơ hưóng, ∆fj = zj∆gj ∆y1 = K (z1, , zs) Vói Rezj = x, ta có α+ϕ u |K (z , , z )| − ϕ = − (1, ∆f ) T Σ Σ (3.47) s 2 ∗ u ∆ f Đ¾t ϕ := ϕK (x) zj :=j z0 (cuoi ta phai xét giói han) ve trái cna phương trình (3.47) tri¾t tiêu Ket hop vói gia thiet (3.45) có nghĩa u + W∆f = 0, túc D1 − b − 2xAT D1 + ΣDA + AT D − bbT − 2xAT DA ∆f = Ket hop hop lý đieu có su dung ∆f = Z0∆g , ∆g = + A∆f , Σ Z0 = diag z , , z , ta đưoc s D∆g = I − AT 0Z ∗ Σ−1 b.K Σ z0 (3.48) Ta se chúng minh tat ca thành phan cna ∆g = (I − AZ0)−11 đeu khác 0, đe (3.48) xác đ%nh nhat nhân tu Lagrange d1, , ds Thác trien K (z1, , zs) chuoi Taylor vói đoi so zj ta có Σ Σ Σ Σ2 K z , , z ,j , zs = K z + c j z j− z + Oj zj − z ΣΣ , Σ Σ Σ Σ c = ∂j K z /K z Vì 1K z , ,s zj , , z ≤ K z vói Rezj0 Ta có c > 0, v¾y ta Rez có j ≤ ∂jK z0 Σ ƒ= 0, < ∂jK z0 Σ K (z0) < ∞ Vi phân K (z1, , zs) = + bT Z(I − AZ)−11 theo zj Σ ∂j K z = bT (I − Z0 A)−1 ej jeT (I − AZ0 )−1 (3.49) (3.50) Tù (3.49) ta có bT (I − Z0A)−1ej 0, ∆gj = ejT (I − AZ0)−11 ƒ= (3.51) đe d1, , ds xác đ%nh nhat boi (3.48) Chia thành phan thú j cna (3.48) cho ∆gj, tù (3.50) T (I − Z0A) dj = b −1 e Kz ∂jKΣ 2j (z0) , (3.52) so thnc dương theo (3.49) (3.51) Trong chúng minh này, ta m¾c đ%nh rang tat ca z0 huu han Neu z0 = x+i∞ j j vói m®t vài j đó, ngưịi ta phai đői ωj = x + 1/ (zj − x), nua m¾t phang Rezj ≤ x thành Reωj ≤ x ∞ thành Bo đe 3.6 Neu ma tr¾n W cua phương trình (3.44c) vái d1, , ds Bő đe 3.5 nua xác đ%nh dương, ta có ϕB (x) = ϕK (x) Chúng minh Tù α + ϕ (x) u K u W T Σ (3.53) Σ=0 ∆f (xem (3.47)) v T Wv ≥ vói MQI v ∈ Rs , ma tr¾n o (3.53) nua xác đ%nh dương Ket qua sau có đưoc tù Đ%nh lý 3.12 Tù ket qua o trên, vói m®t phương pháp Runge-Kutta nhat đ%nh có the kiem tra xem ϕB (x) = ϕK (x) đưoc thoa mãn Đieu có the thnc hi¾n bang thu¾t tốn sau đây: • Tính ϕ = ϕK (x) cna phương trình (3.46) vói so ho¾c vói cơng thúc, chương trình ho tro • Tính nhân tu Lagrange d1, , ds tù Bő đe 3.5 • Kiem tra ma tr¾n W cna phương trình (3.44c) nua xác đ%nh dương Neu W nua xác đ%nh dương ϕB (x) = ϕK (x) theo Bő đe 3.6 Ví dn 3.3 Vói phương pháp Radau IIA nac p = (xem Bang 1.7)    ϕB (x) = ϕK (x) = √ Σ − 17 / 5− 2x neu x ≤ ξ 3+ 4x √ (3 − 2x) (3 + 4x − 2x2) neu ξ ≤ x < ξ = 8 Vói phương pháp Gauss nac p = (xem Bang 1.5 )  neu − ∞ < x ≤ ϕB (x) =  2x √9 + 3x2 +  3−x neu ≤ x < Vói phương pháp Lobatto IIIC nac p = (xem Bang 1.10  ) neu − ∞ < x ≤ x+ ϕB (x) =   x2−  neu ≤ x < 1−x Vói phương pháp có so nac s > 2, vi¾c đưa cơng thúc tưịng minh rat khó, ta áp dung phương pháp so đe tính tốn z0 (supremum phương j trình (3.46)) Ket lu¾n Chương trình bày khái ni¾m ve őn đ%nh B, őn đ%nh đai so, őn đ%nh AN moi quan h¾ giua dang őn đ%nh Đ%nh lý 3.4 Đ%nh lý 3.6 ket qua quan TRQNG đưa ví du vói phương pháp Runge-Kutta an sn őn đ%nh đai so cna chúng tù có ket lu¾n ve sn őn đ%nh B Bên canh đó, phan đưa khái ni¾m ve phương pháp kha quy, phương pháp bat kha quy Sau đó, lu¾n văn trình bày Đ%nh lý 3.3 ve sn tương đương giua őn đ%nh B őn đ%nh đai so vói phương pháp S-bat kha quy Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày ve tính őn đ%nh tính co cna phương pháp Runge- Kutta Tính őn đ%nh tính co cna phương pháp Runge-Kutta đưoc trình bày lan lưot tù tốn tuyen tính đen tốn phi tuyen Moi quan h¾ giua dang őn đ%nh A, őn đ%nh B, őn đ%nh đai so, őn đ%nh AN Hơn nua, cịn có ví du ve phương pháp tương úng thoa mãn tùng dang őn đ%nh Đ¾c bi¾t, lu¾n văn quan tâm đen tính őn đ%nh cna phương pháp DJ-kha quy, S-kha quy phương pháp bat kha quy Bên canh đó, lu¾n văn xem xét đen hàm tăng trưong sai so ϕR (x), ϕB (x) tương úng xét tốn tuyen tính tốn phi tuyen vói cách tính tốn chúng Luắn ó trỡnh by mđt so chỳng minh chi tiet liên quan đen tính őn đ%nh tính co cna phương pháp Runge-Kutta Các ket qua có the giúp ta vi¾c lna cHQN phương pháp phù hop đe giai h¾ phương trình vi phân tuyen tính phi tuyen Ngồi ra, lu¾n văn có trình bày m®t so ví du, tốn minh HQA vói vi¾c thu nghi¾m so giai tốn Tài li¾u tham khao [1] Pham Kỳ Anh, 2008,Giai tích so, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, second edition [3] E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, second revised edition [4] J.C.Butcher (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, The Uninversity of Auckland, New Zealand, Wiley Publishers [5] Linda R.Petzold, UriM.Ascher (1997), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations [6] L Shampine, M W Reichelt (1997), The MATLAB ODE Suite [7] W Wasow (1965),Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, John Wiley and Sons, New York ... Các khái ni¾m ban 1.1 Các phương pháp Runge- Kutta 1.2 Xây dnng phương pháp Runge- Kutta an 11 1.3 Áp dung phương pháp Runge- Kutta giai toán cương18 1.4 Các loai chuan .21 Tính co. .. [2], [3] [5] 1.1 Các phương pháp Runge- Kutta Phương pháp Runge- Kutta tong quát Phương pháp Runge- Kutta thu®c lóp phương pháp so m®t bưóc, đưoc đưa boi hai nhà tốn HQc ngưịi Đúc Carl Runge (1856 -... cua phương pháp RungeKutta thóa mãn B (p) , C (η) , D (ζ) vái p ≤ η + ζ + p ≤ 2η + phương pháp có cap p Các phương pháp Gauss Các phương pháp Gauss hay GQI "các phương pháp Kuntzmann-Butcher" phương