Luận văn thạc sĩ tính ổn định nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - TRAN TH± CHIÊN TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA BÀI TOÁN QUAN Hfi BIEN PHÂN Chuyên ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS TS TA DUY PHƯeNG Hà N®i – Năm 2014 Mnc lnc Ma đau Kien thÉc sa 1.1 Kien thúc tơpơ giai tích hàm 1.1.1 Không gian metric .5 1.1.2 Không gian véctơ tôpô 1.2 Ánh xa đa tr% .10 1.2.1 Đ%nh nghĩa ánh xa đa tr% 10 1.2.2 M®t so đ%nh lí ve sn tương giao ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% 14 1.2.3 Tính liên tuc cna ánh xa đa tr% 14 Bài tốn quan h¾ bien phân 24 2.1 Phát bieu tốn m®t so ví du 24 2.2 Sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân 28 2.2.1 Đ%nh lí ban 28 2.2.2 Tiêu chuan dna sn tương giao 30 2.2.3 Tiêu chuan dna điem bat đ®ng 35 Tính chat tơpơ cua t¾p nghi¾m cua tốn quan h¾ bien phân 39 3.1 Tính loi cna t¾p nghi¾m 40 3.2 Tính b% ch¾n cna t¾p nghi¾m 42 3.3 Tính đóng cna t¾p nghi¾m 43 3.4 Tính őn đ%nh cna t¾p nghi¾m 45 3.5 Các trưòng hop đ¾c bi¾t .52 3.5.1 Bài toán bao hàm thúc bien phân .53 3.5.2 Bài toán tna cân bang .55 KET LU¾N .58 Tài li¾u tham khao 59 Ma đau Lý thuyet toi ưu đưoc hình thành tù nhung ý tưong kinh te, lý thuyet giá tr% cna Edgeworth tù năm 1881 Pareto tù năm 1886 Cho tói nhung năm cuoi the ki XX lý thuyet toi ưu tro thành m®t ngành toán HQc quan TRQNG nhieu lĩnh vnc khác cna ngành khoa HQc, kĩ thu¾t kinh te thnc te Trong xu the phát trien chung cna lý thuyet toi ưu áp dung lý thuyet cân bang vào giai quyet lĩnh vnc ban khác cna cu®c song, m®t lóp tốn mói, tốn "Quan h¾ bien phân" đưoc đe xuat lan đau tiên vào năm 2008 boi GS Đinh The Luc nham nghiên cúu m®t tốn tőng qt theo nghĩa m®t so lóp tốn quen thu®c có the đưoc suy tù tốn tốn toi ưu tuyen tính, tốn toi ưu phi tuyen, toán cân bang, toán tna cân bang, toán bao hàm thúc bien phân, toán bao hàm thúc tna bien phân, toán bat thúc bien phân, Bài tốn quan h¾ bien phân đưoc phát bieu sau: Tìm a¯ ∈ A cho (1) a¯ điem bat đ®ng cna ánh xa S1 , túc a¯ ∈ S1 (a¯); (2) Quan h¾ R(a¯, b, y) vói mQI b ∈ S2 (a¯) y ∈ T (a¯, b), A, B, Y t¾p khác rong, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, T : A × B ⇒ Y ánh xa đa tr% vói giá tr% khác rong R(a, b, y) quan h¾ giua phan tu a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y Các van đe nghiên cúu tốn quan h¾ bien phân sn ton tai nghi¾m cna tốn, cau trúc t¾p nghi¾m cna tốn (tính đóng, tính loi, tính őn đ%nh, tính liên thơng, ) Lu¾n văn có muc đích trình bày tốn quan h¾ bien phân tính őn đ %nh cna t¾p nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân Lu¾n văn đưoc chia thành ba chương Chương Kien thÉc sa Chương giói thi¾u so lý thuyet cho hai chương sau, nhac lai m®t so kien thúc ve giai tích hàm, trình bày m®t so khái ni¾m, tính chat tính liên tuc cna ánh xa đa tr% Chương Bài tốn quan h¾ bien phân Muc đích cna chương trình bày ve sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân dna tính chat tương giao KKM đ%nh lí ve điem bat đ®ng Chương Tính chat tụpụ cua nghiắm Chng ny trỡnh by mđt so tính chat tơpơ cna t¾p nghi¾m tính loi, tính b% ch¾n, tính đóng tính őn đ%nh nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân có tham so Luắn ny co gang trỡnh by mđt cỏch cú h¾ thong (vói chúng minh đưoc cu the chi tiet hơn) ve sn ton tai nghi¾m tính chat cna t¾p nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân đưoc đe c¾p báo [4, 5] Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna PGS.TS Ta Duy Phưong Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen thay Qua đây, tơi xin gui tói q thay Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2012-2014, lịi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot q trình HQc t¾p cna tơi tai Trưịng Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè ban đong nghi¾p thân men quan tâm, tao đieu ki¾n cő vũ, đ®ng viên tơi đe tơi hồn thành tot nhiắm vu cna mỡnh H Nđi, thỏng 12 nm 2014 Tác gia lu¾n văn Tran Th% Chiên Chương Kien thÉc sa Trong chương này, ta se trình bày m®t so kien thúc ve giai tích hàm khái ni¾m khơng gian metric, khơng gian tơpơ, khơng gian véctơ tơpơ, khái ni¾m ánh xa đa tr%, tính liên tuc cna ánh xa đa tr%, can thiet cho viắc trỡnh by cỏc nđi dung o chng sau 1.1 1.1.1 Kien thÉc tơpơ giai tích hàm Khơng gian metric Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho t¾p X ƒ= ∅, ánh xa d tù tích Descartes X × X vào hop cỏc so thnc R oc GQI l mđt metric X neu tiên đe sau đưoc thoa mãn: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = ⇔ x = y, (tiên đe đong nhat); 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đe đoi xúng); 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đe tam giác) T¾p X vói metric d trang b% X đưoc GQI không gian metric, kí hi¾u (X, d) hay thưịng đưoc viet X So d(x, y) GQI khoang cách giua hai phan tu x y Các phan tu cna X GQI điem Các tiên đe 1), 2), 3) GQI h¾ tiên đe metric Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho X hai khơng gian metric, m®t điem x X v A l mđt cna X Khoang cách tù điem x đen t¾p A đưoc xác đ%nh boi d(x, A) = inf d(x, a) a∈A Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Khoang cách Hausdorff) Cho X Y hai khơng gian metric, m®t điem x ∈ X A, B lan lưot t¾p X , Y Khoang cách Hausdorff tù t¾p A đen t¾p B đưoc xác đ%nh boi dH (A, B) = max sup inf d(a, b), sup inf d(a, b)Σ , b∈B a∈A a∈A b∈B hay dH (A, B) = max sup d(a, B), sup d(b, A)Σ a∈ A b∈ B Đ%nh nghĩa 1.1.4 Trong không gian metric X M®t dãy {xn } đưoc GQI dãy ban neu (∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) d (xn, xm) < Nhắn xột 1.1.1 Mđt dóy hđi tu bao giũ dãy ban, neu xn → x theo bat thúc tam giác ta có d (xn, xm) ≤ d (xn, x) + d (x, xm) → (n, m → ∞) Nhưng ngưoc lai m®t dãy ban m®t khơng gian bat kỳ khơng nhat thiet h®i tu Chang han neu xét khoang (0, 1) m®t khơng gian metric vói , ,| − | ∈ d(x, y) = x y vói MQI x, y (0, 1) dãy , m¾c dù dãy ban, khơng h®i tu khơng gian ay n Đ%nh nghĩa 1.1.5 Không gian metric X MQI dãy ban đeu h®i tu (tói m®t phan tu cna X ) đưoc GQI m®t khơng gian đu Đ%nh nghĩa 1.1.6 Ánh xa P : X → X đưoc GQi ánh xa Lipschitz neu ∃k > : d (P (x), P (y)) ≤ kd(x, y) • k = 1: f đưoc gQI ánh xa khơng giãn • < k < 1: f đưoc GQi ánh xa co Đ%nh lý 1.1.1 (Nguyên lý Banach ve ánh xa co) MQI ánh xa co P tù khơng gian metric đu (X, d) vào đeu có điem bat nhat, nghĩa đ®ng x¯ ton tai nhat x¯ ∈ X thóa mãn h¾ thúc P x¯ = x¯ 1.1.2 Khơng gian véctơ tơpơ Đ%nh nghĩa 1.1.7 (Khơng gian tơpơ) Cho t¾p X = Mđt HQ cỏc cna X đưoc gQI m®t tơpơ X neu thoa mãn tính chat sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao cna m®t so huu han phan tu thu®c τ thu®c τ ; (iii) Hop cna m®t so tùy ý phan tu thu®c τ thuđc Khi ú cắp (X, ) oc gQI không gian tôpô Đ%nh nghĩa 1.1.8 Cho hai tơpơ τ1 τ2 Ta nói τ1 yeu τ2 (hay τ2 manh τ1 ) neu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa MQI t¾p mo tơpơ τ1 đeu t¾p mo τ2 Đ%nh nghĩa 1.1.9 Cho (X, ) l khụng gian tụpụ ã Tắp G đưoc GQI t¾p má X neu G ã Tắp F oc GQi l úng X neu X\F ∈ τ Đ%nh nghĩa 1.1.10 Cho khơng gian tơpơ (X, τ ), t¾p A t¾p cna X Tắp U oc GQI l mđt lõn cắn cna A neu U cú mđt t¾p mo chúa A Khi A = {x} U l mđt lõn cắn cna iem x %nh ngha 1.1.11 Mđt HQ V = V : V l lõn cắn cna điem x ∈ X đưoc GQi sá lân c¾n cua điem x neuΣ vói MQI lân c¾n U cna điem x, ton tai lân c¾n V ∈ V cho x ∈ V ⊂ U Đ%nh nghĩa 1.1.12 Cho không gian tôpô (X, τ ), A mđt bat kỡ cna X oi vúi moi phan tu bat kì x ∈ X ta GQI: (i) x điem cna A neu ton tai nhat mđt lõn cắn cna x nam A (ii) x điem ngồi cna A neu ton tai nhat mđt lõn cắn cna x nam X\A (iii) x điem biên cna A neu x đong thòi khơng điem khơng điem ngồi cna A Hay nói cách khác x điem biên cna A neu MQI lân c¾n cna x đeu giao khác rong vói A X\A Đ%nh nghĩa 1.1.13 Gia su A t¾p bat kì cna khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta GQI phan cna A hop cna tat ca t¾p mo nam A, t¾p o mo lón nhat Kí hi¾u A ho¾c intA Đ%nh nghĩa 1.1.14 Gia su A t¾p bat kì cna khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta GQI bao đóng cna A giao cna tat ca t¾p đóng nam A, t¾p đóng nho nhat Kí hi¾u A¯ ho¾c clA Đ%nh nghĩa 1.1.15 Cho X , Y hai khơng gian tơ pơ M®t ánh xa f tù X vào Y đưoc GQI liên tnc tai điem x0 neu vói MQI lân c¾n V cna f (x0 ) eu ton tai mđt lõn cắn U cna x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xa f đưoc gQI liên tnc X neu liên tuc tai MQI điem x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.16 Không gian tô pô (X, τ ) đưoc GQI không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) neu MQI c¾p điem x khác y X đeu ton tai mđt lõn cắn U cna x v V cna y cho U ∩ V = ∅ Đ%nh nghĩa 1.1.17 Gia su F l mđt trũng R hoắc C Các phan tu cna F đưoc GQI so (đai lưong vơ hưóng) M®t khơng gian véctơ V đ%nh nghĩa trờn trũng F l mđt hop V khụng rong mà hai phép c®ng véctơ phép nhân vói m®t so hưóng đưoc đ%nh nghĩa cho tính chat ban sau đưoc thoa mãn: Phép c®ng véctơ có tính chat ket hop: Vói MQI u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép c®ng véctơ có tính chat giao hốn: Vói MQI v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép c®ng véctơ có phan tu trung hịa: Vói MQI v ∈ V, có m®t phan tu ∈ V, GQI véctơ không: v + = v; Phép c®ng véctơ có phan tu đoi: Vói MQI v ∈ V, ton tai w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vơ hưóng phân phoi vói phép c®ng véctơ: Vói MQI α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân véctơ phân phoi vói phép c®ng vơ hưóng: Vói MQI α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân vơ hưóng tương thích vói phép nhân trưịng so vơ hưóng: Vói MQI α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phan tu đơn v% cna trưòng F có tính chat cna phan tu đơn v% vói phép nhân vơ hưóng: Vói MQI v ∈ V : 1.v = v.1 Đ%nh nghĩa 1.1.18 Cho X không gian véctơ T¾p C ⊆ X đưoc GQi t¾p loi neu vói MQI x, y ∈ C vói MQI λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chúa MQI đoan thang noi hai điem bat kì thu®c nó) Đ%nh nghĩa 1.1.19 Cho X không gian véctơ, x1, x2, , xk ∈ X so Σ k k λ1, λ2, , λk thoa mãn λj ≥ 0, j = 1, , k Σ λj = Khi đó, x λjxj, đưoc j= = j= GQI tő hap loi cna véctơ x1 , x2 , , xk ∈ X (2) S2 có giá tr% ngh%ch đao má; (3) T inner-liên tnc theo bien thú nhat; (4) R đóng theo bien thú nhat thú ba Chúng minh Gia su {aν } mđt lúi cna cỏc nghiắm cna bi toỏn (VR) hđi tu tói a ∈ X Ta se chi giói han ny l mđt nghiắm cna bi toỏn (VR) Lay phan tu bat kì b ∈ B Tù đieu ki¾n (2), t¾p A\S2−1 (b) đóng tù đieu ki¾n (1), t¾p K đóng Tiep theo se chúng minh PR (b) đóng Th¾t v¾y, gia su {aν } m®t lưói cna tat ca phan tu cna PR (b) h®i tu tói a ∈ A Lay phan tu bat kì y ∈ T (a, b), theo đieu ki¾n (3) có y ν ∈ T (aν , b) h®i tu tói y Do đó, R(aν , b, y ν ) thoa mãn Theo (4), ta có R(a, b, y) thoa mãn Suy ra, a ∈ PR (b), nên PR (b) đóng Vì v¾y, P (b) đóng vói mQI b ∈ B theo cơng thúc (3.2) ta có t¾p nghi¾m Σ đóng 3.4 Tính on đ%nh cua t¾p nghi¾m Trong suot muc ta coi Λ, A, B Y khơng gian tơpơ Vói λ λ moi λ ∈ Λ, ta gia su Aλ ⊆ A, Bλ ⊆ B, Y λ ⊆ Y t¾p khác rong; S : A ⇒ A2λ, Sλ : Aλ ⇒ B λ , T λ : Aλ × Bλ ⇒ Y λ ánh xa đa tr% vói giá tr% khác rong; Rλ(a, b, y) quan h¾ liên ket phan tu a ∈ Aλ, b ∈ Bλ y ∈ Y λ Bài tốn quan h¾ bien phân vói thơng so Aλ, B λ , Y λ, Sλ , Sλ , T λ Rλ đưoc kí hi¾u (V R)λ Các kí hi¾u Σλ, Kλ, Γλ đưoc đ%nh nghĩa phan trưóc Phan ta se trình bày tính inner-liên tuc outer-liên tuc tính inner-mo outer-mo cna t¾p nghi¾m Σλ m®t ánh xa đa tr% cna bien λ theo [4] Ta se co đ%nh giá tr% λ0 ∈ Λ đe cho GQN ta kí hi¾u tốn (VR)λ0 tốn (VR), chang han, K λ0 đưoc kí hi¾u K Đ%nh lý 3.4.1 Ánh xa đa tr% Σλ outer-má tai λ0, nghĩa lim supo Σλ λ→λ ⊆ Σ neu ánh xa K λ outer-má tai λ0 lim supoλ→λ Γλ ∩ K ⊆ Γ Đ¾c bi¾t, khang đ%nh neu đieu ki¾n sau thóa mãn: (1) lim supλ→λ Aλ ⊆ A (2) Vái MQI x ∈ A, x ∈ S1(x) x ∈ Sλv vái lưái λv h®i tn tái λ0; (3) Vái MQI x ∈ K, (31) lim infλ→λ0 Sλ(x) ⊇ S2(x); (32) lim infλ→λ ,b J∈Sλ (x),b J→bTλ(x, bJ) ⊇ T (x, b); (33) R(x, b, y) lưái λν h®i tn tái λ0, bν ∈ Sλν2(x) h®i tn tái b y ν ∈ T λν (x, bν ) h®i tn đen y cho Rλν (x, bν , y ν ) vái MQI ν Σ Chúng minh Gia su Kλ outer-mo tai λ0 lim supoλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ λ λ λ Theo khang đ%nh (1) cna M¾nh đe (1.2.3) Σ ta có Σ = K ∩ Γ outermo tai λ0 Bây giò, gia su có đieu ki¾n (1)-(3), ta se chi ánh xa đa tr% λ ›→ K λ outer-mo tai λ0 Th¾t v¾y, lay lim supoλ→λ K λ Khi theo đ%nh nghĩa có m®t lưói λν h®i tu túi v mđt lõn cắn V cna x vúi V ⊆ A z ∈ S1λν (z) vói mQI z ∈ V Tù đieu ki¾n (1), ta có x ∈ A tù đieu ki¾n (2) ta có x ∈ S1(x), nên x ∈ K Vì v¾y, lim supoλ→λ Kλ ⊆ K, hay Kλ outer-mo Tiep theo, gia su x ∈ K ∩ lim supoλ→λ K λ , có nhat lưói λν h®i tu tói 0 v mđt lõn cắn V cna x cho V ⊆ Aλν quan h¾ λν Rλν (z, b, y) vói MQI z ∈ V, b ∈ S2λν (x) y ∈ T λν (z, b) Lay b ∈ S2(x) y ∈ T (a, b), theo đieu ki¾n (31) (32) có the tìm đưoc bν ∈ Sλν (x) yν ∈ T λ ν (x, bν ) tương úng h®i tu đen b y Khi đó, Rλν (x, bν , yν ) đúng, theo (33), R(x, b, y) nên x ∈ Γ Vì the, K∩lim supoλ→λ Γλ ⊆ Γ, theo khang đ%nh (1) cna M¾nh đe (1.2.3) ta có Σλ = K λ ∩ Γλ outer-mo Σ Σ Đ%nh 3.4.2 Ánhtnc xatai Σλ λlà outer-liên tnc tai Γλλ0, nghĩa lim supλ→λ Σλ ⊆ Σ, neu K λ làlýouter-liên lim sup λ→λ ∩ K ⊆ Γ Đ¾c bi¾t, khang đ%nh neu đieu ki¾n sau thóa mãn: (1) lim supλ→λ Aλ ⊆ A; (2) Vái MQI x ∈ A, x ∈ S1(x) có m®t lưái λν h®i tn tái λ0 xν ∈ Sλν1(xν ) h®i tn tái x; (3) Vái MQI x ∈ K, (31) lim infλ→λ ,xλ∈Aλ,xλ→xSλ(xλ) ⊇ S2(x); (32) lim infλ→λ0 λ(xλ),b λ→bT ,xλ∈Aλ,xλ→x,bλ∈S λ (xλ, bλ) ⊇ T (x, b); (33) R(x, b, y) quan h¾ Rλν (xν , bν , yν ) vái xν ∈ Aλν ,bν ∈ Sλ2ν (xν ) yν ∈ T λ ν (xν , bν ) tương úng h®i tn tái x, b y, λν h®i tn tái λ Σ Chúng minh Gia su K λ outer-liên tuc tai λ0 lim supλ→λ0 Γλ ∩ K ⊆ Γ, theo khang đ%nh (1) cna M¾nh đe (1.2.3) ta có ngayΣ K λ ∩ Γλ outer-liên tuc tai λ0, hay Σλ outer-liên tuc tai λ0 Tương tn Đ%nh lí (3.4.1), tù đieu ki¾n (1) (2) cna Đ%nh lí (3.4.2) ta có ánh xa đa tr% λ ›→ K λ outer-liên tuc tai λ0 Bây giò ta se chi Σlim sup Γλ ∩ K ⊆ Γ λ→λ0 Σ K nên ton tai lưói λν h®i tu tói λ0 xν ∈ Γλν h®i Gia su x ∈ Σlim supλ→λ0 Γλ ∩ tu tói x Ta se Σ chi rang, x ∈ Γ, lay phan tu bat kì b ∈ S2(x) y ∈ T (x, b) Tù đieu ki¾n (31), (32) ta có the tìm đưoc lưói bν ∈2 Sλν yν ∈ T λ ν (xν , bν ) tương úng h®i tu tói b y Tù đó, Rλν (xν , bν , y ν ) Σvói MQI ν Theo Σđieu ki¾n (33 ), suy raM¾nh R(x,ta b, có y) thoa nên ∈ Γ Vì v¾y, Γλ ∩ K ⊆ Γ λ λ→λ đe Σλ = mãn, Kλ ∩ Γ làxouter-liên tuc lim sup theo(1.2.3) Đ%nh lý 3.4.3 Ánh xa đa tr% Σλ inner-má tai λ0, nghĩa lim infoλ→λ 0Σλ ⊇ Σ, neu ánh xa K λ inner-má tai λ0 lim infoλ→λ Γλ 0⊇ Γ ∩ K Đ¾c bi¾t, khang đ %nh neu đieu ki¾n sau thóa mãn: (1) lim infoλ→λ0 Aλ ⊇ A (2) Vái MQI x ∈ A, lim infoλ→λ ,x ∈Aλ,x →xSλ(xJ) ⊇ S1(x) J J (3) Vái MQI x ∈ K, (31) Sλ2(xJ) nua liên tnc vái giá tr% compact theo bien (λ, xJ) tai (λ0, x) (32) T λ (x J , bJ) nua liên tnc vái giá tr% compact theo bien (λ, xJ, bJ) tai (λ0, x, b) vái b ∈ S2(x) (33) R(x, b, y) không neu Rλν (xν , bν , yν ) vái m®t lưái xν ∈ Aλν h®i tn tái x, bν ∈ Sλν (xν ) h®i tn tái b yν ∈ T λ ν (xν , bν ) h®i tn tái y vái MQI λν h®i tn tái λ0 Chúng minh Gia su ánh xa K λ inner-mo tai λ0 lim infoλ→λ Γ0 λ ⊇ Γ ∩ K Theo khang đ%nh (2) cna M¾nh đe (1.2.3) ta có K λ ∩ Γλ inner-mo hay Σλ inner-mo Bây giị, gia su có đieu ki¾n (1)-(3), ta se chi ánh xa λ ›→ K λ inner-mo tai λ0 Lay phan tu bat kì x ∈ K, túc x ∈ A x ∈ S1 (x) Theo đieu ki¾n (1), ton tai lân c¾n U1 cna λ0 V1 cna x cho V1 ⊆ Aλ vói MQI λ ∈ U1 , λ ƒ= λ0 Tù đieu ki¾n 2), ton tai lân c¾n U2 cna λ0 , W2 V2 cna x cho V2 ⊆ S λ (xJ ) vói MQI λ ∈ U2 , λ ƒ= λ0 , xJ ∈ W2 ∩ Aλ Đ¾t U = U1 ∩ U2 V = V1 ∩ V2 ∩ W2 ta suy vói MQI λ ∈ U, λ ƒ= λ0 có m®t xJ ∈ V, xJ ∈ Aλ ∩ S λ (xJ ) Vì v¾y, V ⊆ Kλ vói MQI λ ∈ U, λ ƒ= λ0 , hay K λ inner-mo Bây giò ta se chi lim infoλ→λ Γλ ⊇ Γ∩K Lay x ∈ K∩Γ Gia su x ∈/ lim infoλ→λ Γλ Σ λ c tai λ0, túc x Σ Áp dung khang đ%nh (3) cna Bő đe (1.2.1), lim infoλ→λ0 Γ ∈ lim supλ→λ (Γλ)c Lay xν ∈ (Γλν )c h®i tu tói x λν dan tói λ0 Vói moi ν ho¾c xν ∈/ Aλν ho¾c xν ∈ Aλν Rλν (xν , bν , y ν ) khơng vói m®t vài bν 2∈ S λν (xν ) yν ∈ Tλν (xν , bν ) Neu trưòng hop thú nhat xay cho m®t lưói λν , the tù đieu ki¾n (1) khang đ%nh (2) cna M¾nh đe (1.2.1) ta có x ∈/ A the x ∈/ Γ Trong trưịng hop thú hai, tù đieu ki¾n (31) (32) gia su bν xν tương úng h®i tu tói b ∈ S2(x) y ∈ T (x, b) Theo đieu ki¾n (33), R(x, b, y) khơng Suy ra, x ∈/ Γ, vơ lí Vì v¾y, lim infoλ→λ Γλ ⊇ Γ ∩ K V¾y Σλ inner-mo tai λ0 Bây giị ta xét tính inner-liên tuc Đ%nh lý 3.4.4 Ánh xa đa tr% Σλ inner-liên tnc tai λ0, nghĩa lim infλ→λ 0Σλ ⊇ Σ, neu ho¾c K λ inner-má tai λ0 lim infλ→λ Γλ ⊇ Γ ∩ K ho¾c K λ inner0 liên tnc tai λ0 lim infoλ→λ Γλ ⊇ Γ ∩K Đ¾c bi¾t, khang đ%nh neu đieu ki¾n sau thóa mãn: (1) lim infoλ→λ0 Aλ ⊇ A (2) Vái MQI x ∈ A, lim infoλ→λ ,x ∈Aλ,x →xSλ(xJ) ⊇ S1(x) J J (3) Vái MQI x ∈ K, (31) Sλ2(x) nua liên tnc vái giá tr% compact tai λ0 (32) T λ (x, bJ) nua liên tnc vái giá tr% compact tai (λ0, b) vái b ∈ S2(x) (33) R(x, b, y) không λν h®i tn tái λ0, bν ∈ Sλ2ν (x) yν ∈ T λ ν (x, bν ) tương úng h®i tn tái b y cho x ∈ Aλν Rλν (x, bν , yν ) không vái MQI ν Chúng minh Tương tn đ%nh lí trưóc, phan đau cna đ%nh lí thu đưoc tù khang đ%nh (3) cna M¾nh đe (1.2.3) Ta se chúng minh phan hai cna đ%nh lí, gia su có đieu ki¾n tù (1)-(3), ta se chúng minh ánh xa λ ›→ K λ innermo tai λ0 lim infλ→λ Γλ ⊇ Γ ∩ K Ánh xa λ ›→ Kλ inner-mo chúng minh tương tn đ%nh lí Lay x ∈ Γ ∩ K, ta se chúng lim inf λ→λ0 Γλ , túc vói MQi lưói λν h®i tu tói λ0 có the tìm đưoc xν ∈ Γλν h®i tu tói x Gia su phan chúng rang đieu khơng đúng, nghĩa là, ton tai lân cân V cna x cho V ∩ Γλν = ∅ vói lưói λν h®i tu tói λ0 Theo đieu ki¾n (1) cna đ%nh lí, ta có the gia su V ⊆ Aλν vói MQI ν Do đó, vói bν ∈ S λν (x) y ν ∈ T λν (x, bν ) Rλν (x, bν , y ν ) không Tù đieu2 ki¾n (31 ) (32 ) ta có bν y ν lan lưot h®i tu tói b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b) Suy ra, R(x, b, y) khơng theo đieu ki¾n (33 ) Mâu thuan vói x ∈ Γ Do đó, lim inf λ→λ Γλ ⊇ Γ ∩ K V¾y, Σλ = K λ ∩ Γλ inner- liên tuc Ta ket thỳc phan ny bang mđt so ieu kiắn n cho tính liên tuc cna ánh xa Γ Ta nêu đ%nh nghĩa sau λ Đ%nh nghĩa 3.4.1 T¾p Λ0 ⊆ Λ mo (tương úng, đóng) tai λ0 neu cú mđt lõn cắn mo (tng ỳng, lõn cắn đóng) U0 tai λ0 cho U0 ∩ Λ0 mo (tương úng, đóng) Ta can bő đe sau Bo đe 3.4.1 Các khang đ%nh sau (1) Γλ outer-má (tương úng, inner-liên tnc) tai λ0 neu vái MQI x ∈/ Γ (tương úng, x ∈ Γ), t¾p Ux = Σ λ ∈ Λ : Rλ (x, b, y) không vái b ∈ 2S λ (x) y ∈ T λ (x, b) má (tương úng, đóng) tai λ0 (2) Γλ outer-liên tnc (tương úng, inner-má) tai λ0 neu t¾p U = {(, x) ì A : hoắc l x ∈/λ ho¾c A Rλ (x, b, y) khơng vái b ∈ S2λ(x) y ∈ Tλ(x, b)} má tai (λ0 , x) vái x ∈/ Γ (tương úng, đóng tai (λ0 , x) vái x ∈ Γ ) Chúng minh Chúng minh khang đ%nh (1) Gia su x ∈/ Γ λ0 ∈ Ux Neu Ux mo tai , thỡ ton tai mđt lõn cắn U cna λ0 chúa Ux Vì the x ∈ (Γλ )c vói MQI λ ∈ U Như v¾y, vói moi lân c¾n V cna x đeu ton tai lân c¾n U cna λ0 cho (Γλ)c ∩ V = lim inf (Γλ)c Do đó, lim inf (Γλ)c ⊇ Γc Vì v¾y, (Γλ)c ƒ ∅ Suy x λ→λ0 ∈ λ→λ0 inner-liên tuc Theo khang đ%nh (1) cna M¾nh đe (1.2.1) Γλ outer-mo Gia su x ∈ Γ Khi ay λ0 ∈/ Ux Neu Ux l úng tai , thỡ cú mđt lõn cắn đóng U0 cna λ0 cho U0 ∩ Ux mđt úng Suy ra, ton tai mđt lõn cắn mo U ⊆ U0 cna λ0 cho U ∩ Ux = ∅ Chúng to, x ∈ Γλ vói MQI λ ∈ U Do đó, x ∈ lim inf λ→λ Γλ Γλ inner-liên tuc Chúng minh tính outer-liên tuc khang đ%nh (2) Gia su x0 ∈/ Γ Khi ay, (λ0 , x0 ) ∈ U Do đó, U t¾p mo tai (λ0 , x0 ) nên ton tai lân c¾n mo U cna λ0 V cna x0 cho U × V ⊆ U Vì the, x ∈/ Γλ vói MQi x ∈ V λ ∈ U Theo đ%nh nghĩa ta có x0 ∈ lim infoλ→λ (Γλ )c Vì v¾y, lim infoλ→λ (Γλ )c ⊇ Γc , túc 0 (Γλ )c inner-mo Theo khang đ%nh (2) cna M¾nh đe (1.2.1) ta có Γλ outer-liên tuc Đe chúng minh tính inner-mo ta gia su x0 ∈ Γ Khi ay, (λ0 , x0 ) ∈/ U Do U đóng tai (λ0 , x0 ) nên có lân c¾n đóng U0 cna λ0 V0 cna x0 cho U0 ×V0 ∩U đóng Ta có the tìm đưoc lân c¾n mo U ⊆ U0 cna λ0 V ⊆ V0 cna x0 cho U × V ∩ U = ∅ Suy ra, V ⊆ Γλ vói MQI λ ∈ U V¾y, Γλ inner-mo tai λ0 Nh¾n xét 3.4.1 Trong rat nhieu mơ hình ta gia thiet t¾p Aλ, Bλ Y λ khụng phu thuđc vo Neu W = (λ, x, b, y) ∈ Λ × A × B × Y : Rλ(x, b, y) khơng mo tai (λ0 , x,Σb, y) vói y ∈ T (x, b), b ∈ S2 (x) ánh xa S λ (x) inner-liên tuc tai (λ0 , x) T λ (x, b) inner-liên tuc tai (λ0 , x, b) vói x ∈/ Γ, b ∈ S2 (x) t¾p U mo tai (λ0 , x) vói MQI x ∈/ Γ Th¾t v¾y, gia su x0 ∈/ Γ Khi ay, có b0 ∈ S2 (x0 ) y0 ∈ T (x0 , b0 ) cho R(x0, b0, y0) không Theo gia thiet t¾p W mo nên có lân c¾n mo U1 cna λ0, V1 cna x0, W1 cna b0 Z1 cna y0 cho U1 × V1 × W1 × Z1 ⊆ W Do ánh xa Tλ inner-liên tuc nên ton tai lân c¾n mo U2 ⊆ U1 cna λ0, V2 ⊆ V1 cna x0 W2 ⊆ W1 cna b0 cho T λ (x, b) ∩ Z1 ƒ= ∅ vói MQI (λ, x, b) ∈ U1 × V1 × W1 Tương tn, ánh xa S2λ inner-liên tuc nên ton tai lân c¾n mo U ⊆ U2 cna λ0 V ⊆ V2 cna x0 cho S λ (x)2 ∩ W2 =ƒ ∅ vói MQI (λ, x) ∈ U × V Rõ ràng, vói moi (λ, x) ∈ U × V, ton tai b ∈ Sλ2(x) y ∈ T λ(x, b) cho (λ, x, b, y) ∈ W, túc Rλ(x, b, y) khơng Chính v¾y, U × V ⊆ U V¾y, U t¾p mo Neu t¾p W đóng tai (λ0, x, b, y), ánh xa Sλ 2và T λ outer-liên tuc có giá tr% compact tương úng tai (λ0 , x) (λ0 , x, b) vói moi x ∈ Γ, b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b), Y t¾p compact t¾p U t¾p đóng tai (λ0 , x) vói MQI x ∈ Γ Th¾t v¾y, gia su ton tai x0 ∈ Γ Khi ay, vói moi b ∈ S2 (x0 ) y ∈ T (x0 , b) cho R(x0 , b, y) Vì t¾p W t¾p đóng nên có lân c¾n đóng Uby cna λ0 , Vby cna x0, Wby cna b Zby cna y cho Uby × Vby × Wby × Zby ∩ W = ∅ Theo gia thiet t¾p T (x0Σ, S2 (x0 )) l compact nờn ta cHQN oc mđt so huu han cna điem, cu the b1 , , bk ∈ S2 (x0 ) y1 , , yk ∈ T (x0 , S2 (x0 )) cho t¾p W1 = S Wbi yi lân c¾n đóng cna S2 (x0 ) k i=1 t¾p Sk Z1 = i=1 T¾p U1 = T k Zbi yi lân c¾n đóng cna T (x0 , S2 (x0 )) Ubiyi V1 = Tk i= Vbi yi lan lưot lân c¾n đóng cna λ0 , x0 (U1 × V1 × W1 × Z1) ∩ W = ∅ Do ánh xa Tλ outer-liên tuc nên ton tai lân c¾n U2 ⊆ U1 cna λ0, V2 ⊆ V1 cna x0 W2 ⊆ W1 cna S2(x0) cho Tλ(x, S2(x)) ⊆ Z1 Tương tn, ánh xa Sλ2 outer-liên tuc nên ton tai lân c¾n đóng U ⊆ U2 cna λ0 V ⊆ V2 cna x0 cho S λ2(x) ⊆ W2 vói MQI λ ∈ U x ∈ V Vì the, lõn cắn úng U ì V cna (0, x0) khơng có điem chung vói W, túc U × V ∩ W = ∅ Đieu có nghĩa U ì V U = Vắy U l đóng tai (λ0, x0) Dưói ta se nêu đieu ki¾n đn ve tính liên tuc cna ánh xa nghi¾m Σλ đ¾t lên t¾p Ux, U W o H¾ qua 3.4.1 Các khang đ%nh sau đúng: (1) Σλ outer-má tai λ0 neu ánh xa K λ outer-má tai λ0 t¾p Ux má tai λ0 vái MQI x ∈/ Γ (2) Σλ outer-liên tnc tai λ0 neu ánh xa K λ outer-liên tnc tai λ0 t¾p U má tai (λ0 , x) vái MQI x ∈/ Γ, đieu có nghĩa ánh xa Aλ , B λ Y λ khơng phn thu®c vào λ, ánh xa Sλ2và Tλ inner-liên tnc tương úng tai (λ0 , x) (λ0 , x, b), t¾p W má tai (λ0 , x, b, y) vái MQI x ∈/ Γ, b ∈ S2 (x) y ∈ T (x, b) (3) Σλ inner-má tai λ0 neu ánh xa K λ inner-má tai λ0 t¾p U đóng tai (λ0, x) vái MQI x ∈ Γ, đieu có nghĩa Y t¾p compact, Sλ(x) T λ(x) outer-liên tnc, có giá tr% compact tương úng tai (λ0, x) (λ0, x, b) W đóng tai (λ0, x, b, y) vái MQI x ∈ Γ, b ∈ S2(x), y ∈ T (x, b) (4) Σλ inner-liên tnc tai λ0 neu ánh xa K λ inner-má (tương úng, inner-liên tnc) tai λ0 t¾p Ux (tương úng, U ) đóng tai λ0 (tương úng, (λ0, x)) vái MQI x ∈ Γ Chúng minh Áp dung Bő đe (3.4.1), Đ%nh lí (3.4.1)-(3.4.4) Nh¾n xét (3.4.1) Chú ý rang gia thiet cna H¾ qua (3.4.1) khó có the kiem tra, chúng yeu đieu ki¾n cna Đ%nh lí (3.4.1)-(3.4.4) Th¾t v¾y, tù vi¾c chúng minh h¾ qua ta thay gia thiet cna Đ%nh lí (3.4.1)-(3.4.4) kéo theo gia thiet cna H¾ qua (3.4.1) Ví du sau se chi đieu ngưoc lai không Ví dn 3.4.1 Cho Aλ = Bλ = Y λ = R, Λ = [0, 1] , λ0 = 10, Sλ(x) = [0, λ] , (0, 1) neu λ = 0, S λ2(x) = {−1} neu λ ƒ= 0, (−1, 0) neu λ = 0, λ T (x, b) = {1} neu λ ƒ= 0, F λ (b, y) = [0, 1] Quan h¾ R đưoc xác đ%nh boi: R(x, b, y) neu chi neu F λ(b, y) ⊆ R+ Khi đó, K λ = [0, λ] thoa mãn (1)-(4) cna H¾ qua (3.4.1) túc K λ outermo, outer-liên tuc, inner-mo inner-liên tuc Tat ca t¾p Ux, U W rong F λ(b, y) = [0, 1] ⊆ R+ v¾y t¾p thoa mãn đieu ki¾n (1)(4) cna h¾ qua Tính tốn trnc tiep ta đưoc Σλ = [0, λ] , Σλ = K λ ∩ Γλ = [0, λ] ∩ R = [0, λ] Σλ thoa mãn tat ca tính liên tuc tính mo Nhưng S2λ(x) T λ(x, b) khơng thoa mãn bat kì gia thiet cna Đ%nh lí (3.4.1)-(3.4.4) Th¾t v¾y: Xét ánh xa đa tr% Sλ(x), ánh xa không ánh xa nua liên tuc Σ tai 0, lay m®t lân c¾n −1 cna S λ0 (x) = (0, 1) Khi ay vói MQI lân c¾n mo ,2 mo U = (−δ, δ) cna ton tai λ ∈ U, λ cho S2λ(x) = {−1} ƒ⊂ V Vì v¾y ánh xa Sλ2(x) khơng thoa mãn Đ%nh lí (3.4.4) Tiep tuc lim infλ→λ Sλ0(x)2 = {−1} § S2(x) nên ánh xa Sλ2(x) khơng thoa mãn Đ%nh lí (3.4.1) Tương tn khơng thoa mãn Đ%nh lí (3.4.2), Đ%nh lí (3.4.3) ánh xa T λ(x) khơng thoa mãn tat ca Đ%nh lí (3.4.1)-(3.4.4) 3.5 Các trưàng hap đ¾c bi¾t Trong muc ta áp dung ket qua cna Muc (3.4) cho hai mơ hình cna quan h¾ bien phân toán bao hàm thúc bien phân toán tna cân bang Đe thu đưoc cai thi¾n ket qua hi¾n có mơ hình ta chi t¾p trung vào tính outer-liên tuc inner-liên tuc 3.5.1 Bài toán bao hàm thÉc bien phân Ta phát bieu lai tốn (VIP) đưoc trình bày Chương 2, Muc (2.1) Cho A, B, Y Z t¾p khác rong Gia su ánh xa đa tr% S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, T : A × B ⇒ Y, F : A × B × Y ⇒ Z G : A × A × Y ⇒ Z Xét tốn (VIP) Tìm x¯ ∈ A cho (1) x¯ ∈ S1 (x¯); (2) F (x¯, b, y) ⊆ G(x¯, x¯, y) vói MQI b ∈ S2 (x¯) y ∈ T (x¯, b) Gia su du li¾u cna (VIP) phu thu®c vào tham so λ ∈ Λ A, B, Y Λ không gian tôpô Muc 3.4 H¾ qua sau ket qua trnc tiep tù Đ%nh lí (3.4.2) H¾ qua 3.5.1 Gia su Aλ = A, Bλ = B Y λ = Y ánh xa khơng phn thu®c vào λ đieu ki¾n sau đúng: (1) K λ outer-liên tnc tai λ0; (2) Sλ2(x) inner-liên tnc tai (λ0, x0) vái x0 ∈ K; (3) T λ (x, b) inner-liên tnc tai (λ0, x0, b0) vái x0 ∈ K b0 ∈ S2(x0); (4) F (x, b, y) ⊆ G(x, x, y) neu ton tai m®t lưái λν h®i tn tái λ0, xν ∈ A, bν ∈ Sλ2ν (xν ) yν ∈ Tλν (xν , bν ) tương úng h®i tn tái x, b y cho Fλν (xν , bν , yν ) ⊆ Gλν (xν , xν , yν ) Khi đó, t¾p nghi¾m Σλ cua tốn (V IP ) outer-liên tnc tai λ0 Chúng minh Áp dung trnc tiep Đ%nh lí (3.4.2) Tiep tuc vói khơng gianA, B Y khơng b% nhieu H¾ qua sau dna trnc tiep tù Đ%nh lí (3.4.4) H¾ qua 3.5.2 Gia su đieu ki¾n sau đúng: (1) K λ inner-liên tnc tai λ0; (2) Sλ2(x) nua liên tnc có giá tr% compact tai (λ0, x0) vái x0 ∈ K; (3) T λ (x, b) nua liên tnc có giá tr% compact tai (λ0, x0, b0) vái x0 ∈ K b0 ∈ S2(x0); (4) F (x, b, y) ¢ G(x, x, y) neu ton tai m®t lưái λν h®i tn tái λ0, xν ∈ A, bν ∈ S2λν (xν ) yν ∈ T λ ν (xν , bν ) tương úng h®i tn tái x, b y cho Fλν (xν , bν , yν ) ¢ Gλν (xν , xν , yν ) Khi đó, t¾p nghi¾m Σλ cua toán (VIP) inner-liên tnc tai λ0 Chúng minh Áp dung trnc tiep Đ%nh lí (3.4.4) Cùng vói tốn (VIP) ta xét toán bő tro (VIP∗) sau: Tìm x¯ ∈ A cho (1) x¯ ∈ S1 (x¯); (2) F (x¯, b, y) ⊆ intG(x¯, x¯, y) vói MQI b ∈ S2 (x¯) y ∈ T (x¯, b) Trong h¾ qua tiep theo, tính őn đ%nh cna tốn bő tro kéo theo tính őn đ%nh cna tốn (VIP) H¾ qua 3.5.3 Gia su tốn (VIP∗) có t¾p nghi¾m Σλ ∗các đieu ki¾n sau đúng: (1) K λ inner-liên tnc tai λ0; (2) Sλ2(x) usc có giá tr% compact tai (λ0, x0) vái x0 ∈ K; (3) T λ (x, b) usc có giá tr% compact tai (λ0, x0, b0) vái x0 ∈ K b0 ∈ S2(x0); (4) Σλ ⊆ clΣλ ∗ vái MQI λ; (5) Vái MQI x ∈ K, F (x, b, y) ¢ G(x, x, y), neu ton tai m®t lưái λν h®i tn tái λ0, bν ∈ Sλν (xν ) yν ∈ T λ ν (xν , bν ) tương úng h®i tn tái x, b y cho F λ ν (xν , bν , yν ) ¢ Gλν (xν , xν , yν ) Khi đó, Σλ∗ Σ inner-liên tnc tai λ0 Chúng minh Theo Nh¾n xét (3.4.1), tù đieu ki¾n (2), (3) (5), vói moi x ∈ K t¾p Ux cna tốn (VIP∗) đóng tai λ0 Tù khang đ%nh (4) cna H¾ qua (3.4.1) ánh xa nghi¾m Σλ inner-liên tuc Lai đieu ki¾n (4) ánh xa ∗ nghi¾m Σλ inner-liên tuc Nh¾n xét 3.5.1 Gia thiet (4) cna H¾ qua (3.5.3) có the đưoc bao đam Kλ loi đieu ki¾n sau đúng: (a) Vói MQI x1 ∈ Σλ, x2 ∈ Σλ b ∈ Sλ((1 − t)x1 + tx2) vói t ∈ (0, 1] , ∗ F λ (x1 , b, y) ⊆ intG(x1 , x1 , y) vói MQI y ∈ T λ (x1 , b), F λ (x2 , b, y J ) ⊆ G(x2 , x2 , y J ) vói MQI y J ∈ T λ (x2 , b); (b) Vói MQI b ∈ B, ánh xa Fλ(., b, ) Gλ − tna loi theo T λ(., b), nghĩa vói MQI x1, x2 ∈ Kλ, y1 ∈ Tλ(x1, b) y2 ∈ Tλ(x2, b), bao hàm thúc Fλ(x1, b, y1) ⊆ intGλ(x1, x1, y1), Fλ(x2, b, y2) ⊆ Gλ(x2, x2, y2), kéo theo F λ (xt , b, yt ) ⊆ intGλ (xt , xt , yt ), vói MQI xt = (1 − t)x + txJ yt ∈ Tλ(xt, b) vói t ∈ [0, 1) Th¾t v¾y, neu x1 ∈ Σλ x2 ∈ Σλ khoang [x1, x2) ⊆ Σλ v¾y Σλ ⊆ intΣλ ∗ ∗ ∗ Ngun nhân đưa vào tốn (VIP∗) dưói m®t so gia thiet liên tuc, tính inner-mo cna ánh xa ∗Σλ de nh¾n đưoc tính inner-mo cna ánh xa Σλ Đieu có the thay rõ ràng trưịng hop G ánh xa hang bang m®t nón loi đóng C vói phan khác rong F λ(x, b, y) ∈ intC m®t ánh xa đơn tr% liên tuc Khi đó, tù bao hàm F λ0 (x0 , b0 , y0 ) ∈ intC có the tìm oc mđt lõn cắn U cna v V cna (x0 , b0 , y0 ) cho F λ (x, b, y) ∈ intC vói MQI λ ∈ U (x, b, y) ∈ V Tuy nhiên đieu se khơng cịn trưịng hop tőng qt cho bao hàm thúc F λ0 (x0 , b0 , y0 ) ∈ C 3.5.2 Bài toán tEa cân bang Cho Λ X hai không gian tôpô C t¾p đóng cna khơng gian véctơ tơpơ Z có phan khác rong Gia su S, G : X ⇒ X F : X × X ⇒ Z ánh xa đa tr% Chúng ta xét tốn (QEP) đưoc phát bieu Ví du (2.1.6) H¾ qua 3.5.4 Gia su đieu ki¾n sau đúng: (1) Sλ(x) inner-liên tnc clSλ(x) outer-liên tnc bien (λ, x) tai ()λ0, x0) vái x0 ∈ K; (2) Gλ(x) inner-liên tnc tai (λ0, x0) vái x0 ∈ K; (3) F λ (x, b) inner-liên tnc tai (λ0, x0, b0) vái x0 ∈ K b0 ∈ Y Khi đó, t¾p nghi¾m Σλ cua tốn (QEP ) outer-liên tnc tai λ0 Chúng minh Áp dung trnc tiep Đ%nh lí (3.4.2) H¾ qua 3.5.5 Gia su đieu ki¾n sau thóa mãn: (1) K λ inner liên tnc tai λ0 (2) Sλ2(x) outer-liên tnc vái giá tr% compact tai (λ0, x0) vái x0 ∈ K (3) Gλ(x) usc vái giá tr% compact tai (λ0, x0) vái x0 ∈ K (4) F (b, y) ⊆ Z\ − intC λν h®i tn tái λ0, xν ∈ A, bν ∈ Sλν (xν ) yν ∈ G(xν ) tương úng h®i tn tái x, b y cho Fλν (bν , yν ) ⊆ Z\ − intC Khi t¾p nghi¾m Σλ cua tốn (QEP) inner-liên tnc tai λ0 Chúng minh Áp dung trnc tiep Đ%nh lí (3.4.4) Tiep tuc ta xét tốn (QEPJ ) đưoc trình bày Ví du (2.1.6) H¾ qua 3.5.6 Gia su tốn (QEPJ ) có (1) S λ (x) outer-liên tnc có giá tr% compact {0 } ì A; (2) Tắp W l mỏ tai (λ0, x, b) vái x ∈ Γ b ∈ S(x): W = {(λ, x, b) ∈ Λ × A × A : F (λ, x, b) ∈/ Z\ − intC (λ, x)} Khi đó, Σλ outer-liên tnc tai λ0 Cuoi ta xét đen toán bő tro cna toán (QEPJ ) toán (QEPj ∗) đưoc phát bieu Ví du (2.1.6) Tương tn trưòng hop cna bao hàm thúc bien phân, tính őn đ%nh cna tốn bő tro kéo theo tính őn đ%nh cna tốn (QEPJ ) dúi mđt ieu kiắn phự hop Hắ qua 3.5.7 Gia su tốn (QEPj ) có nghi¾m đieu ki¾n sau đúng: ∗ (1) K λ inner-liên tnc tai λ0; (2) Sλ(x) nua liên tnc có giá tri compact tai (λ0, x0) vái mői x0 ∈ A; (3) T¾p (λ, x, b) ∈ Λ × A × A : F λ (x, b) ∈ Z − clCλ(x) má tai (λ0, x, b) vái mői x,Σb ∈ A; (4) Σλ ⊆ clΣλ ∗ vái MQI λ Khi đó, ánh xa đa tr% Σ∗λ Σλ inner-liên tnc tai λ0 Chúng minh Vói x ∈ Γ b ∈ S(x), xét t¾p U= Σ (λ, x, b) ∈ Λ × A × A : F λ (x, b) ∈/ Z\ − clC λ (x) Tù đieu ki¾n (2) (3) t¾p Ux đóng Vì v¾y theo khang đ%nh (4) cna H¾ qua (3.4.3), ánh xa nghi¾m∗ λ → Σλ inner-liên tuc tai λ0 Vì đieu ki¾n (4) nên ánh xa nghi¾m λ → Σλ inner-liên tuc KET LU¾N Lu¾n văn trình bày m®t so van đe sau: - Trình bày m®t so kien thúc ve giai tích hàm, khái ni¾m ánh xa đa tr%, phép toán cna ánh xa đa tr% tính liên tuc cna ánh xa đa tr% - Phỏt bieu bi toỏn quan hắ bien phõn v mđt so mơ hình tốn cu the, chi sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân dna lý thuyet tương giao KKM m®t so đ%nh lí ve điem bat đ®ng - Trình bày chúng minh mđt so tớnh chat tụpụ cna nghiắm nh tính loi, tính b% ch¾n, tính đóng tính őn đ%nh Ngồi ra, trình bày m®t so tốn cu the cna tốn quan h¾ bien phân có tham so Bài tốn quan h¾ bien phân cịn nhieu ket qua phong phú nhieu câu hoi mo chưa đưoc trình bày lu¾n văn Vì v¾y, theo chỳng tụi, bi toỏn quan hắ bien phõn l mđt đe tài cịn nhieu đieu thú v% có the khai thác Tài li¾u tham khao [A] Tài li¾u Tieng Vi¾t [1] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giai tích đa tr%, NXB Khoa HQc Tn nhiên Cơng ngh¾ [B] Tài li¾u Tieng Anh [3] J P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New York [4] P Q Khanh and D T Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035 [5] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76 [6] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation I: Basic Theory, Springer, 331 ... tính, tốn toi ưu phi tuyen, toán cân bang, toán tna cân bang, toán bao hàm thúc bien phân, toán bao hàm thúc tna bien phân, toán bat thúc bien phân, Bài tốn quan h¾ bien phân đưoc phát bieu sau:... cúu tốn quan h¾ bien phân sn ton tai nghi¾m cna tốn, cau trúc t¾p nghi¾m cna tốn (tính đóng, tính loi, tính őn đ%nh, tính liên thơng, ) Lu¾n văn có muc đích trình bày tốn quan h¾ bien phân tính. .. mđt so khỏi niắm, tính chat tính liên tuc cna ánh xa đa tr% Chương Bài tốn quan h¾ bien phân Muc đích cna chương trình bày ve sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân dna tính chat tương giao