Thông tin tài liệu
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± BÍCH HAO TÍNH ON бNH CUA Hfi Đ®NG LUC TUYEN TÍNH TRÊN THANG THèI GIAN LUẳN VN THAC S TON HOC H NđI - 2011 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± BÍCH HAO TÍNH ON бNH CUA Hfi Đ®NG LUC TUYEN TÍNH TRÊN THANG THèI GIAN Chun ngành : TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 LU¼N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: GS TS NGUYEN HUU DƯ HÀ N®I - 2011 Mnc lnc LèI NÓI ĐAU Kien thÉc chuan b% 1.1 Mđt so khỏi niắm c ban 1.2 Tính kha vi 10 1.3 Tích phân 11 1.4 M¾t phang phúc Hilger 17 1.5 Hàm mũ thang thòi gian 18 1.6 SE Bat thúc Gronwall 20 on %nh cua hắ phng trỡnh đng lEc tuyen tính thang thài gian 22 2.1 Khái ni¾m ve őn đ%nh 22 2.1.1 Các đ%nh nghĩa ve őn đ%nh cna hắ phng trỡnh đng lnc tuyen tớnh trờn thang thũi gian 22 2.1.2 2.2 Các đ%nh lý ve őn đ%nh 24 Phương pháp hàm Lyapunov xét tính őn đ%nh cna h¾ phương trình đ®ng lnc tuyen tính thang thịi gian 29 2.2.1 Khái ni¾m hàm Lyapunov tồn phương thang thòi gian 29 2.2.2 Su dung phương pháp hàm Lyapunov xét tính őn đ%nh đeu 32 2.2.3 Su dung phương pháp hàm Lyapunov xét tính őn đ%nh mũ đeu .34 2.2.4 Vi¾c tìm ma tr¾n Q(t) 37 2.2.5 Tiêu chuan không őn đ%nh .41 Áp dnng phương pháp hm Lyapunov cho mđt so hắ 3.1 tuyen tớnh ắc bi¾t 43 H¾ bien thiên ch¾m .43 3.2 3.1.1 Tích Kronecker 44 3.1.2 Tính őn đ%nh mũ cna h¾ bien thiên ch¾m 45 H¾ phương trình có nhieu .50 KET LU¾N 52 TÀI LIfiU THAM KHAO 53 Lài nói đau Lý thuyet ve thang thịi gian (time sacle), lan đau tiên đưoc trình bày boi Stefan Hilger lu¾n án tien sy cna ơng vào năm 1988 [9] (vói sn hưóng dan cna Bernd Aulbach) nham thong nhat vi¾c trình bày giai tích liên tuc rịi rac Cho đen có hàng chuc quyen sách hàng ngàn báo viet ve thang thịi gian Các yeu to giai tích thang thịi gian đưoc tác gia nghiên cúu m®t cách sâu r®ng tương đoi đay đn Và tù nhieu ket qua quen thu®c trưịng hop liên tuc ròi rac đưoc "chuyen d %ch" sang thang thịi gian Chang han ve phương trình đ®ng lnc thang thịi gian, có nhung ket qua rat sâu sac ve sn őn đ%nh, tính dao đ®ng, tốn giá tr% biên, Vi¾c phát trien lý thuyet ve phương trình đ®ng lnc thang thịi gian, dan đen ket qua tőng quát có the áp dung cho thang thòi gian hon hop cna trưòng hop liên tuc ròi rac Ta biet rang, có nhieu ket qua cna phương trình vi phân đưoc thnc hi¾n de dàng tn nhiên cho phương trình sai phân Tuy nhiên có nhung ket qua de dàng trình bày cho phương trình vi phân lai không he đơn gian cho sai phân ngưoc lai Viắc nghiờn cỳu phng trỡnh đng lnc trờn thang thũi gian cho ta m®t nhìn sáng sna đe khac phuc tính khơng nhat qn giua phương trình vi phân li¾c tuc phương trình sai phân rịi rac Ngồi ra, đieu tránh đưoc m®t ket qua đưoc chúng minh hai lan, m®t lan cho phương trình vi phân m®t lan khác cho phương trình sai phân Ta có the lay thang thịi gian t¾p so thnc, ket qua tőng quát thu đưoc se tương tn vói ket qua phương trình vi phân Neu lay thang thịi gian t¾p so nguyên, ket qua tőng quát thu đưoc se tương tn vói ket qua phương trình sai phân Tuy nhiên, thang thịi gian có cau trúc phong phú nên ket qua thu đưoc tőng quát hay nhieu ket qua t¾p so thnc t¾p so nguyên Do v¾y, đ¾c trưng ban cna thang thịi gian thong nhat má rđng Trong luắn ỏn cna mỡnh vo nm 1892, Lyapunov đưa hai phương pháp đe phân tích tính őn đ%nh cna phương trình vi phân Tù đó, phương pháp trnc tiep cna Lyapunov tro thành m®t cơng cu đưoc su dung r®ng rãi nhat đe xem xét tính őn đ%nh cna phương trình vi phân phương trình sai phân tuyen tính phi tuyen Sn tinh te cna phương pháp trnc tiep Lyapunov nam o cho ta khơng can tìm đưoc nghi¾m cna h¾ mà van có the xem xét đưoc dáng đi¾u nghi¾m (őn đ %nh hay khơng őn đ%nh) cna h¾ Trong lu¾n văn se su dung phương pháp thú hai cna Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov đe nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương trình đ®ng lnc tuyen tính thang thịi gian, n®i dung cna m®t báo cna Jeffrey J DaCunha [11] Nđi dung cna luắn oc chia lm chng: Chương 1: Kien thÉc chuan b% Trong chương này, chúng tơi chi li¾t kê mà khơng chúng minh tính chat ban nhat ve ∆-đao hàm, tích phân, thang thịi gian Vi¾c chúng minh chi tiet có the tìm thay [1, 2, 5] Chương 2: SE on %nh cua hắ phng trỡnh đng lEc tuyen tớnh thang thài gian Trong chưong này, se đưa đ%nh nghĩa tính chat ve tính őn đ%nh đeu, őn đ%nh mũ đeu, őn đ%nh ti¾m cắn eu cna hắ phng trỡnh đng lnc tuyen tớnh thang thịi gian Đ¾c bi¾t, chương có nêu phương pháp hàm Lyapunov thang thòi gian dùng đe xét tính őn đ%nh khơng őn đ%nh cna phương trình đ®ng lnc tuyen tính Chương 3: Áp dnng phương pháp hàm Lyapunov cho m®t so h¾ phương trình tuyen tính đ¾c bi¾t Trong chương này, chúng tơi se đưa hai h¾ phương trình tuyen tính đ¾c bi¾t h¾ bien thiên ch¾m h¾ có nhieu dùng phương pháp hàm Lyapunov đe xét tính őn đ%nh cna chúng Vì kha cịn nhieu han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót tính chưa hồn thi¾n cna van đe đ¾t ra, m¾c dù ban thân tơi co gang rat nhieu q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tơi xin tiep thu MQI ý kien nh¾n xét cna thay cơ, nhà tốn HQc, HQ c viên cao HQ c NCS Nhân đây, xin gui lịi biet ơn sâu sac đen thay hưóng dan GS TS Nguyen Huu Dư ve sn nghiêm túc nhi¾t tình cna thay, tơi gui lịi cam ơn nhóm seminar Tốn Giai tích, trưịng ĐHKHTN - ĐHQG Hà N®i ve nhung goi mo đóng góp quý báu cho tơi suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn Hà N®i 12-2011 Vũ Th% Bích Hao Chương Kien thÉc chuan b% Nhung đ%nh nghĩa đ%nh lý dưói cú the xem nh mđt giúi thiắu tng quan ve thang thịi gian, ta có the tham khao [1] 1.1 Mđt so khỏi niắm c ban Thang thi gian (time scale) l mđt úng tu ý khỏc rong cna t¾p so thnc R, ký hi¾u T Ta gia su xuyên suot rang thang thòi gian T có m®t tơpơ mà đưoc cam sinh tù tơpơ t¾p so thnc R vói tơpơ tiêu chuan Thí dn: (a) R; Z; [0; 1] ∪ [2; 3] nhung thang thịi gian (b) Q, R\Q khơng thang thịi gian khơng đóng Đ%nh nghĩa 1.1 Cho T m®t thang thài gian, vái mői t ∈ T, ta có đ%nh nghĩa sau: (i) Tốn tu nhay tien (forward jump): σ : T → T σ(t) := inf{s ∈ T, s > t} (ii) Toán tu nhay lùi (backward jump): ρ : T → T ρ(t) := sup{s ∈ T, s < t} Ngoài ra, • M®t điem t ∈ T đưoc GQI điem l¾p phai (right-scattered) neu σ(t) > t; điem l¾p trái (left-scattered) neu ρ(t) < t; điem l¾p (isolated) neu t vùa điem l¾p trái, vùa điem l¾p phai; điem trù m¾t phai (right-dense) neu t < sup T σ(t) = t; điem trù m¾t trái (left-dense) neu t > inf T ρ(t) = t; điem trù m¾t (dense) neu t vùa điem trù m¾t phai vùa điem trù m¾t trỏi ã Hm hat (graininess): : T [0; +), à(t) := (t) t ã Tắp Tk oc xác đ%nh sau: Neu T có phan tu lón nhat M điem l¾p trái ta đ¾t Tk := T\{M}, Tk := T trưòng hop lai Đe cho đơn gian, ngoai trù nhung trưòng hop can nhan manh, tù tro ta viet (a; b]; [a; b); [a; b] thay cho (a; b]T; [a; b)T; [a; b]T Quy ưác: inf ∅ = sup T (nghĩa là, neu t = max T σ(t) = t), sup ∅ = inf T (nghĩa là, neu t = T ρ(t) = t) Đ%nh lý 1.1 (Nguyên lý quy nap: ttrên thàithoa gian) Vái T, xét m®t HQ phát bieu {S(t) ∈ [t0thang ; +∞)} mãn: Phát bieu S(t0) đúng, MQI t0 ∈ Neu t ∈ [t0; ∞) điem l¾p phai S(t) S(σ(t)) đúng, Neu t ∈U [t0cua ; ∞)t điem trự mắt phaivỏi v S(t) tai mđt lõn cắn cho S(s) MQI slà∈đúng U ∩thì(t;ton ∞), Neu t ∈ (t0; ∞) điem trù m¾t trái S(s) vái MQI s ∈ [t0; t) S(t) Khi đó, S(t) vái MQI t ∈ [t0; ∞) 1.2 Tính kha vi k hàm Hilger) cua tai εtXét làtrưác m®tfton so: (neu ton ký f (t),làĐ%nh nghĩa 1.2 hàm so T R ∆đao thàm (cịn GQI đao neu váifMQI >∈0Tcho tai → lânnó c¾n U tai), cua saohi¾u cho ∆ |[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]| ™ ε|σ(t) − s| vái MQI s ∈ U Hàm f đưac GQi ∆- kha vi (nói ngan GQN kha vi) Tk neu f ∆ (t) ton tai lý vái1.2 MQIXét t ∈hàm Tk so : T → R t ∈ Tk Khi ta có: Đ%nh Neu f kha vi tai t f liên tnc tai t Neu f liên tnc tai t t điem l¾p phai f kha vi tai t f ∆(t) = f (σ(t)) − f (t) µ(t) Neu t điem trù m¾t phai f kha vi tai t chs giái han f (t) − f ton tai nh¾n giá tr% huu han, lim (s) s→t t−s f (t ) − f ( s ) f ∆(t) = lim s→t t−s Neu f kha vi tai t f (σ(t)) = f (t) + à(t)f (t) Nhắn xột 1.1 Ta xột hai trưòng hop T = R T = Z Neu T = R hàm f : R → R ∆-kha vi tai t chi f kha vi theo nghĩa thơng thưịng tai t f (t) − f (s) f ∆ (t) = f J (t) = lim s→t t−s Neu T = Z MQI hàm f : Z → R đeu ∆-kha vi tai t ∈ Z ta có f ∆(t) = f (t + 1) − f (t) = ∆f (t), o ∆ toán tu sai phân tien thơng thưịng trưng khơng őn đ%nh cna h¾ bien thiên theo thịi gian rũi rac Viắc tỡm mđt phng phỏp chung cho ca hai trưòng hop liên tuc ròi rac can thiet vói ma tr¾n h¾ b% ch¾n bien thiên đn ch¾m Đau tiên, ta nghiên cúu đ%nh nghĩa [14] ve mien őn đ%nh cna h¾ tuyen tính vói h¾ so hang thang thịi gian 3.1.1 Tích Kronecker Đ%nh nghĩa 3.1 Mien őn đ%nh mũ cua hắ đng lnc (2.1.1) A(t) A l ma tr¾n hang hoi quy đưac đ%nh nghĩa sau li T ∫ m ln |1 + ∆τ < 0Σ S(T) s sλ| λ ∈ C : lim sup = T −t0 t0 T→∞ s \ De thay mien őn đ%nh mũ S(T) đưoc chúa t¾p {λ ∈ C : Re(λ) < 0} (có the tham khao [14] đe đưoc giai thích rõ hơn) Trong đ%nh lý dưói đây, ta địi hoi giá tr% riêng λi(t) cna ma tr¾n A(t) phai nam đưịng trịn nghĩa Hilgertích tương úng vói MQI t “dung t0 vàtrong i=1 .n Sau đây, ta đưa đ%nh Kronecker đe su Đ%nh lý 3.1 Tích Kronecker cho phép ta thnc hi¾n phép nhân hai ma tr¾n bat kỳ vói cap tuỳ ý Đ%nh nghĩa 3.2 Tích Kronecker cua nA ×mA-ma tr¾n A nB ×mB-ma tr¾n B nAnB × mAmB-ma tr¾n đưac xác đ%nh sau A ⊗ B = a11B a1mA B (3.1.1) an A1 B · · · a n A m A B Bo đe 3.1 (Zang [18]) Gia su m × m-ma trắn A v n ì n-ma trắn B l cỏc ma tr¾n nh¾n giá tr% phúc Ta có, (i) (A ⊗ In)(Im ⊗ B) = (A ⊗ B) = (Im ⊗ B)(A ⊗ In) (ii) Neu λi γj lan lưat giá tr% riêng cua A B, vái i = 1, , m j = 1, , n giá tr% riêng cua A ⊗ B λiγj, i = 1, , m, j = 1, n, giá tr% riêng cua (A ⊗ In) + (Im ⊗ B) λi + γj, i = 1, , m, 3.1.2 j = 1, n Tính on đ%nh mũ cua h¾ bien thiên ch¾m Bây giị ta nêu Đ%nh lý cho tính őn đ%nh mũ đeu cna h¾ bien thiên ch¾m theo thịi gian e ta xét ma tr¾n bien thiên thịi gian A(t) có chuan b% ch¾n; bien thiên đn ch¾m (túc A∆(t) ™ β, vói hang so dương β đó, vói MQI t ∈ T) giá tr% riêng cna phai thoa mđt ieu kiắn nhat %nh %nh lý 3.1 Xột hắ đng lnc tuyen tớnh hoi quy (2.2.1) vỏi A(t) Cr1 (T, Rnìn), àmax, àma < ∞ Gia su ton tai hang so α > cho d x ǁA(t)ǁ ™ α, hang so < ε < µmax ™ µ(t cho vái MQI giá tr% riêng ) A∆(t) ™ β (2.2.1) őn đ%nh mũ đeu λcho i(t) cua A(t), Reµ[λi(t)] ™ −ε < Khi đó, neu ton tai so β > Chúng minh Vói moi t ∈ T, GQI Q(t) nghi¾m cna phương trình AT (t)Q(t) + Q(t)A(t) + µ(t)AT (t)Q(t)A(t) = −I (3.1.2) Theo Đ%nh lý 2.8, Q(t) ton tai, nhat xác đ%nh dương vói moi t Ta ý rang, vói moi t ∈ T, nghi¾m cna (3.1.2) ∫ Q(t) = eAT (t)(s, 0)eA(t)(s, 0)∆s, I o I := [0; ∞)S S = µ(t)N0 Đe chúng minh (2.2.1) őn đ%nh mũ đeu ta chi can chúng minh Q(t) thoa mãn đieu ki¾n Đ%nh lý 2.6 Đ¾t v= 1 ,q= q v qn Khi (3.1.2) tro thành [(AT (t) ⊗ I) + (I ⊗ AT (t)) + µ(t)(AT (t) ⊗ AT (t))]q(t) = −v (3.1.3) Bây giị, ta chi rang ton tai m®t so ρ > cho Q(t) ™ ρI vói MQI t ∈ T Vì tr% riêng c®t giá ,thú λtr% cnaI,cna A(t) làIhoi quy Ta chúA(t) ý rang, theo 1v(t), n (t) Bő T Gđe QIλ3.1, làcác i riêng cna qi c®t i cna Q(t) nên giá ATcũng (t) thú ⊗ là∈ λR1(t), Vì ,(R(T, λ ni ×n T I ⊗ A (t) T n (t) R 2 ), ⊕) m®t nhóm nên (A (t) ⊗ I), (I ⊗ A (t)) ∈ R (AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t)) = (AT (t) ⊗ I) + (I ⊗ AT (t)) + µ(t)(AT (t) ⊗ I)(I ⊗ AT (t)) = (AT (t) ⊗ I) + (I ⊗ AT (t)) + µ(t)(AT (t) ⊗ AT (t)) ∈ R, vói MQI t ∈ T Bây giò ta se chi rang (AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t)) khơng có giá tr% riêng bang 0, det[(AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t))] ƒ= nT giá tr% riêng cna ma tr¾n T T (A (t)⊗I)⊕(I⊗A (t)) = (A (t)⊗I)+(I⊗A T (t))+µ(t)(AT (t)⊗AT (t)), λi,j = λi(t) ⊕ λj(t) = λi(t) + λj(t) + µ(t)λi(t)λj(t) ∈ R, i, j = 1, , n Ta ý Re (z) = |µz + 1| − nên | (z)| ™ |z| Re µRe µ µ |µ(z) + 1| < Do v¾y, ta có vói MQI (z) ™ −ε < µ |1 + µ(t)(λi(t) ⊕ λj(t))| − µ(t) |(1 + µ(t)λi(t))||1 + µ(t)λj(t)| − = µ(t) |(1 + µ(t)λj(t))| < |1 + µ(t)λi(t)| < −1 µ(t) Re [λi(t) ⊕ (t)] = λj µ = Reµ[λj(t)] ™ −ε, vói MQI t ∈ T Do đó, suy MQI i, j = 1, , n < ε ™ |Reµ[λi(t) ⊕ λj(t)]| ™ |λi(t) ⊕ λj(t)|, vói < ε < Do ™ µ(t) µma T Y T x n n2 | (t) ( ⊗ t )i dI) e⊕ ) ] t (I | [⊗ = , (A A [λi(t )⊕ λj(t) ]“ ε , t ∈ T j = ( ) Vì đ%nh thúc (3.1.4) khác b% ch¾n dưói boi vói MQI t, (AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t)) kha ngh %ch vói moi t ∈ T Do A(t), à(t) T v A (t) I l b% chắn trên⊗nên [(AT (t) ⊗ I) ⊕ (I ⊗ AT (t))]−1, b% ch¾n vói MQI t ∈ T Tù (3.1.3) suy q(t) b % ch¾n vói MQI t ∈ T, doso đóρI hang ρton cho Q(t) vóitai MQI t ∈ T ™ r d Rõ∈ ràng, n×n Q(t) C1đoi (T, R ) xúng Bây giò, ta chi taicho so νrang >se0ton saora T T A (t)Q(t) + (I + µ(t)A (t))Q(t) A(t) ( AT (t))−1(I +( σ Q µ + µ(t)A(t)) µ ™ −1 A(t) + Q ν eu nà (3.1.5) y su y ∆-đao hàm hai ve cna có (3.1.2) tai t, ta µ Q − vói MQI t ∈ T Vì Q(t) thoa mãn (3.1.2) nên bat thúc tương đương vói µσ(t)AT AT σ (t)Q∆(t) σ + AT ) (t)Q∆(t) ∆(t)Q(t) + (t)Qσ(t) Q∆(t)Aσ(t) (1 + Q(t)A∆(t) ( + µ∆(t)AT A∆(t) = − (t)Q(t)A(t) I + + µσ(t)AT ν ∆(t)Q(t)A(t) + I µ µ µσ(t)AT Do Qσ(t) = µ(t)Q∆(t) + Q(t), thúc tro thành AT σ (t)Q(t) + AT ∆(t)Q(t) + Q∆(t)Aσ(t) + Q(t)A∆(t) + µ∆(t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ(t)AT ∆(t)Q(t)A(t) + µσ(t)AT σ (t)Q∆(t)A(t) + µ(t)µσ(t)AT σ (t)Q∆(t)A∆(t) + µσ(t)AT σ (t)Q(t)A∆(t) = Do σ σ AT (t)Q∆(t) + Q∆(t)Aσ(t) + µσ(t)AT (t)Q∆(t)A(t) σ σ T + µ(t)µ (t)A (t)Q∆(t)A∆(t) ∆ T ∆ T ∆ =− −A (t)Q(t) − Q(t)A∆ (t) − (t)A µ (t)A (t)Q(t)A(t) T σ (t)Q ∆(t)A σ µ (t)A (t)Q(t)A(t) −µ (t) σ T σ Bien đői ve trái ta có AT σ (t)Q∆(t) + Q∆(t)Aσ(t) + µσ(t)AT + µ(t)µσ(t)AT = AT σ (t)Q∆(t)A(t) σ (t)Q∆(t)A∆(t) σ (t)Q∆(t) + Q∆(t)Aσ(t) + µσ(t)AT σ (t)Q∆(t)(A(t) + µ(t)A∆(t)) = AT σ (t)Q∆(t) + Q∆(t)Aσ(t) + µσ(t)AT Do đó, ta có σ (t)Q∆(t)Aσ(t) AT σ (t)Q∆(t) + Q∆(t)Aσ(t) + µσ(t)AT σ (t)Q∆(t)Aσ(t) = −AT σ (t)Q(t) − Q(t)A∆(t) − µ∆(t)AT (t)Q(t)A(t) − µσ (t)AT ∆ (t)Q(t)A(t) − µσ (t)AT σ (t)Q(t)A ∆ (t) (3.1.6) Đe đơn gian, ta đ¾t X =AT ∆(t)Q(t) + Q(t)A∆(t) + µ∆(t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ(t)AT ∆(t)Q(t)A(t) + µσ(t)AT σ (t)Q(t)A∆(t) Do đó, nghi¾m Q(t) cna phương trình ma tr¾n (3.1.6) thoa mãn ∫ eATσ (t)(s, 0)XeAσ (t)(s, 0)∆s, t ∈ Tk = T, ∆ Q (t) = Iσ o Iσ := [0; ∞)Sσ Sσ = µσ(t)N0 Đe chúng minh Q∆(t) b% ch¾n, ta su dung tính b% ch¾n cna Q(t), Qσ(t), (t) Vói x t bat kỳ ta có A(t), A∆(t), µmax µ∆ma x |xT e= ATσ (t)T(s, 0)XeAσ (t)(s, 0)x| |x T ∆ ∆ T (t (s, 0)[A σ (t)Q(t) + Q(t)A (t) + µ (t)A eATσ ) (t)Q(t)A(t) ∆ σ + µσ(t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ(t)AT (t)Q(t)A∆(t)]eAσ (t)(s, 0)x| ™ ǁATσ∆(t)Q(t) + Q(t)A∆(t) + µ∆(t)AT (t)Q(t)A(t) + µ (t)AT ∆(t)Q(t)A(t) T Do đó, + µσ(t)AT σ (t)Q(t)A∆(t)ǁxTA e(t) σ (s, 0)eAσ (t)(s, 0)x xT eATσ (t)(s, 0)XeAσ (t)(s, 0)x∆s |xT Q∆(t)x| = ∫ Iσ ™ ǁAT ∆(t)Q(t) + Q(t)A∆(t) + µ∆(t)AT (t)Q(t)A(t) + µσ(t)AT ∆(t)Q(t)A(t) + µσ(t)AT σ (t)Q(t)A∆(t)||xT Qσ(t)x ™ (2βǁQ(t)ǁ + ma µ∆ α2ǁQ(t)ǁ + 2µmaxαβǁQ(t)ǁ)xT Qσ(t)x x Vói MQI ∆ =thoa ǁQ(t)ǁ(2β += α21 µma +có2αβµmax)xT Qσ(t)x x ta x mãn ǁxǁ |x∆(t)x| ™ ǁQ(t)ǁ ǁQσ(t)ǁ (2β + ma x + 2αβµmax) α2µ ∆ đó, vói ǁxǁ = ta có Q∆(t) ∆ ™ ρ2(2β + α2µma + 2αβµmax), t ∈ Tk x Đieu cho ta tính b% ch¾n cna Q∆ (t) Vì v¾y, có the cHQN ν thoa mãn (3.1.5) Cuoi cùng, ta chúng minh rang ton tai so η > cho ηI ™ Q(t) vói MQI t ∈ T Vói t x bat kỳ ta có [xT eAT (t)(s, 0)eA(t)(s, 0)x]∆s = xT [AT (t)eAT (t)(s, 0)eA(t)(s, 0) + eAT (t)(s, 0)eA(t)(s, 0)A(t) + µ(t)AT (t)eAT (t)(s, 0)eA(t)(s, 0)A(t)]x = xT eAT (t)(s, 0)[AT (t) + A(t) + µ(t)AT (t)A(t)]eA(t)(s, 0)x “ (−2α − µmaxα2)xT eAT (t)(s, 0)eA(t)(s, 0)x Vì s → ∞ eA(t)(s, 0) → nên −xT x = ∫I[xT eAT (t)(s, 0)eA(t)(s, 0)x]∆s∆s “ (−2α − µmaxα2)xT Q(t)x Đieu tương đương vói (2α + Q(t) ≥ µ ma α2) I, t ∈ T x CHQN η = (2α + µ ma α ) ta se có đieu phai chúng minh x 3.2 H¾ phương trình có nhieu Trong muc ta xột ieu kiắn e mđt hắ phng trỡnh tuyen tớnh có nhieu őn đ%nh Trong [12, 13] [16] chi ra, neu h¾ phương trình vi phân sai phân tuyen tính őn đ%nh thơng qua viắc cHQN mđt hm Lyapunov thớch hop thỡ vúi mđt so tính chat cna nhieu, phương trình có nhieu tương úng őn đ%nh Xét phương trình z∆(t) = [A(t) + F (t)]z(t) (3.2.1) Đ%nh lý 3.2 Gia su h¾ tuyen tính (2.2.1) őn đ%nh đeu Khi ú, hắ đng lnc tuyen tớnh cú nhieu (3.2.1) őn đ%nh đeu neu ton tai so β “ cho vái MQI τ ta có ∫ ∞ ǁF (s)ǁ ∆s ™ β (3.2.2) τ Chúng Vói bat kỳ t0 z(t0) = z0, Đ%nh lý 1.18, nghi¾m cna (3.2.1) minh thoa mãn ∫ t z(t) = ΦA(t, t0)z0 + t0 ΦA(t, σ(s))F (s)z(s)∆s (3.2.3) o ΦA(t, t0) ma tr¾n chuyen cna h¾ (2.2.1) Do tính őn đ%nh cna (2.2.1) nên ton tai hang so γ > cho ǁΦA (t, τ )ǁ ™ γ vói MQI t, τ ∈ T, t ≥ τ Lay chuan hai ve cna (3.2.3) ta có ǁz(t)ǁ ™ γ ǁz0ǁ + t0 ∫ t γ ǁF (s)ǁ ǁz(s)ǁ ∆s, t “ t0 (3.2.4) Áp dung H¾ qua 1.0.2 tù (3.2.2) ta có, ǁz(t)ǁ ™ γ ǁz0ǁ eγǁF ǁ(t, t0) Σ = γ ǁz0ǁ ∫ t Ln(1 + µ(s)γ ǁF (s∆ ) ǁ ) s ™ γ ǁz0 t0 ∫ Σ µ(s) ǁ ∞ Ln(1 + µ(s)γ ǁF (s)ǁ) exp t ∆s µ(s) ™ γ ǁz0 ǁ exp ∫ ∞ γ ǁF (s)ǁ ∆sΣ ™ γ ǁz0ǁ eγβ, t “ t0 Vì t0 z(t0) lay tuỳ ý nên phương trình (3.2.1) őn đ%nh đeu Ket lu¾n Trong lu¾n văn, chúng tơi thu đưoc nhung ket qua sau đây: • Trình bày đ%nh nghĩa tính chat ve tính őn đ%nh đeu, őn đ%nh mũ đeu, őn đ%nh ti¾m c¾n đeu cna hắ phng trỡnh đng lnc tuyen tớnh trờn thang thịi gian • Su dung phương pháp hàm Lyapunov đe xét tính őn đ%nh đeu khơng őn đ%nh đeu cna phương trình đ®ng lnc tuyen tính thang thịi gian Hàm Lyapunov mà ta su dung o hàm Lyapunov dang tồn phương • Áp dung phương pháp hàm Lyapunov cho h¾ phương trình tuyen tính bien thiên ch¾m Tài li¾u tham khao [1] M Bohner, A Peterson, Dynamic Equations on Time Scales, Birkhăauser, Boston, 2001 [2] M Bohner and G Sh Guseinov,Riemann and Lebesgue Integrations,preprint [3] W.L Brogan, Modern Control Theory, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 1991 [4] C.T Chen, Linear System Theory and Design, Oxford University Press, New York, 1999 [5] A Cabada and D R Vivero, Expression of the Lebesgue ∆-integral on time scales as a usual Lebesgue integral; application to the caculus of ∆-antiderivatives , Math Comput Modelling 43, 2006, 194- 207 [6] C.A Desoer, Slowly varying xJ = A(t)x, IEEE Trans Automat Control CT-14(1969) 780–781 [7] C.A Desoer, Slowly varying xi+1 = Aixi , Electron Lett (1970) 339–340 [8] W Hahn, Stability of Motion, Springer, New York, 1967 [9] S Hilger, Ein Masskettenkalkuăl mit Anwendung auf Zentrumsmannig- faltigkeiten, Ph.D Thesis, Universităat Wuărzburg, 1988 [10] A Ilchmann, D.H Owens, D Prăatzel-Wolters, High-gain robust adap- tive controllers for multivariable systems, Systems Control Lett (1987) 397–404 [11] Jeffrey J DaCunha, Stability for time varying linear dynamic systems on time scales, Journal of Computational and Applied Mathematics 176 (2005) 381–410 [12] R.E Kalman, J.E Bertram, Control system analysis and design via the second method of Lyapunov I: Continuous-time systems, Trans ASME Ser D J Basic Eng 82 (1960) 371–393 [13] R.E Kalman, J.E Bertram, Control system analysis and design via the second method of Lyapunov II: Discrete-time systems, Trans ASME Ser D J Basic Eng 82 (1960) 394400 [14] C Păotzsche, S Siegmund, F Wirth, A spectral characterization of exponential stability for linear time-invariant systems on time scales, Discrete Continuous Dynamic Systems (2003) 1223–1241 [15] H.H Rosenbrock, The stability of linear time-dependent control sys- tems, J Electron Control 15 (1963) 73–80 [16] W.J Rugh, Linear System Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996 [17] V Solo, On the stability of slowly-time varying linear systems, Math Control Signals Systems (1994) 331–350 [18] F Zhang Matrix Theory: Basic results and Techniques, Springer, New York, 1999 ... HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± BÍCH HAO TÍNH ON бNH CUA Hfi Đ®NG LUC TUYEN TÍNH TRÊN THANG THèI GIAN Chun ngành : TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 LU¼N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC:... xét tính őn đ%nh cna h¾ phương trình đ®ng lnc tuyen tính thang thịi gian 29 2.2.1 Khái ni¾m hàm Lyapunov tồn phương thang thòi gian 29 2.2.2 Su dung phương pháp hàm Lyapunov xét tính. .. Lyapunov tồn phương thang thịi gian (se đưoc đ%nh nghĩa o dưói đây) 2.2.1 Khái ni¾m hàm Lyapunov toàn phương thang thài gian Ta gia su rang thang thịi gian T khơng b% ch¾n trên, túc sup T = ∞
Ngày đăng: 24/12/2021, 21:10
Xem thêm:
