ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN xác ĐỊNH

Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO B TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––– TIỂU LUẬN KHOA HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 – TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––– TIỂU LUẬN KHOA HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giảng viên hướng dẫn: Th.S Nguyễn Vũ Thụ Nhân Nhóm sinh viên thực hiện: Ngơ Thị Bích Phương 42.01.102.096 Nguyễn Khánh Huy 42.01.102.147 Hà Thanh Sang 42.01.102.141 Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 – TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH MỤC LỤC ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 1.3.1 Nguyên hàm số hàm 1.3.2 Các phương pháp tính tích phân 1.3.3 Tiểu kết ĐÔI NÉT VỀ SỰ RA ĐỜI VÀ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN 2.1 LỊCH SỬ TÍCH PHÂN 2.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1.1 Sơ đồ tổng quát sử dụng tích phân 3.1.2 Diện tích hình phẳng 3.1.3 3.2 Độ dài cung ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.2.1 Bất đẳng thức tích phân: 3.2.2 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 3.3 TIỂU KẾT TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIỚI THIỆU HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬT LÝ ĐƯỢC NÂNG CAO BẰNG PHÉP TOÁN VI – TÍCH PHÂN 22 4.1 THỰC TRẠNG SỬ DỤNG TỐN HỌC TRONG CÁC MƠN KHOA HỌC TỰ NHIÊN HIỆN NAY 22 4.2 GIỚI THIỆU VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG PHÉP VI – TÍCH PHÂN 22 4.2.1 Cơ học 22 4.2.2 Nhiệt học 27 4.2.3 Tiểu kết 31 KẾT LUẬN 32 BẢNG PHÂN CHIA CÔNG VIỆC 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1   Nguyên hàm Hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a, b) F’(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b) Cho F(x) G(x) hai nguyên hàm hàm số f(x) (a, b) tồn số C cho F(x) = G(x) + C Vậy nguyên hàm sai khác số 1.1.1.2 Tích phân bất định  Tập hợp nguyên hàm f(x), ghi ∫ f(x)dx gọi tích phân bất định hàm f(x) Nếu F(x) nguyên hàm f(x) ta có ∫ 1.1.2 Tính chất 1) 2) 3) 1.2 [∫ f(x)dx]’ = f(x) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx (với k ∈ R) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.2.1  ( ) = F(x) + C (C = const) Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định [a, b] chia [a, b] thành điểm sau: a = xo < x1 < x2 < … < xn = b, ta chọn số ɛi ∈ [xi–1, xi] – với i = 1, 2,…, n Xét tổng tích phân hàm số f(x) (tổng Riemann) định bởi: n Sn = ∑ i=1(xi – xi–1).f(ɛi) = (x1 – x0).f(ɛ1) + (x2 – x1).f(ɛ2) + … + (xn– xn–1).f(ɛn) Nếu max |xi − xi–1| → 0, ta có S n → α ta nói f(x) hàm số khả tích α tích phân   hàm số f(x) [a, b], ghi ∫ab f(x)dx = α Mọi hàm số liên tục đoạn [a, b] khả tích [a, b] Định nghĩa tích phân không dễ dàng đa số học sinh nên ta dùng cơng thức Newton – Leibnitz thay cho= F(b)định nghĩa: ∫ () – F(a) ≡ [ ( )]| 1≤i≤n TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.2.2 Tính chất 1) 2) 3) ∫aa f(x)dx = ∫ab f(x)dx = – ∫ba f(x)dx b Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ∫a f(x)dx ≥ 4) b 5) 1.3 b b b Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] ∫a f(x)dx ≥ ∫a g(x)dx Từ ta suy |∫a f(x)dx| ≤ ∫a | f(x)|dx ∫ab f(x)dx = ∫ac f(x)dx + ∫cb f(x)dx (a ≤ c ≤ b) PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 1.3.1 Nguyên hàm số hàm Hàm sơ cấp 1.3.1.1 1) ∫ xadx = 2) ∫ 3) ∫ a+1 xa + + C (a ≠–1) x x 4) ∫ e dx = e + C ∫ a dx = ax ln a +C ∫ cos x dx = sin x+ C ∫ sin x dx = – cos x+ C ∫(1 + tan2 x) dx = ∫ ∫(1 + cot2 x) dx = ∫ cos 2x sin 2x dx = tan x + C dx = –cot x + C Hàm lượng giác ngược 1.3.1.1 1) ∫ 2) ∫ 3) ∫ 4) ∫ Các hàm đặc biệt thường gặp 1.3.1.2 1) 2) 3) 4) x 5) 6) 7) 8) 9) x dx = ln|x| + C √ x dx = 2√x + C ∫ dx √a + x2 ∫ dx a2 − x2 = = ln|x + √a + x2| + C a +x 2a ln| a−x | +C ∫ √a2 − x2 dx = [x√a2 − x2 + a2 acrsin( ∫ √x2 ± a2 dx = [x√x2 ± a2 + a2ln |x + √x2 ± a2|]+ C x a)] +C 5) 6) ∫ ∫ TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.3.2 Các phương pháp tính tích phân Như học chương trình phổ thơng, để xác định biểu thức tích phân ta thường dùng hai phương pháp: phương pháp đổi biến phương pháp tích phân phần Sử dụng nhuần nhuyễn hai phương pháp trên, kết hợp thủ thuật toán học đồng hệ số, nhân lượng liên hiệp, biến đổi lượng giác… ta dễ dàng giải tích phân Hơn hết, với tốn tích phân xác định, dựa vào hai cận tích phân ta suy đốn hướng giải tốn Thật vậy, ta xem xét ví dụ sau:   VD1:I=∫ √ + − √e Ta có I = ∫ x x −x √e + e x x Đặt t = e => dt = e dx đổi cận biến số: x x t=e Vậy I = ∫ e √t VD2: I = ∫√ +1 √ √ − Đặt cost = x (t ∈ x t = arcsin(x) π Vậy I = ∫ sin π π = π = ∫π3(1 − cos4t)dt = TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VD3:I=∫ √ Đặt t = √ => dt = x x t=√ x => I = 2∫π t sint dt Đặt Vậy I = 2[(t cos t)|0π – ∫π(− cos t).dt] = 2π + (sin t)|0π = 2π VD4:I=∫ Ta có I = ∫ 2 (4x −12x+9)(4x −12x+5) Đặt t = 2x – => dt = 2dx đổi cận biến số: t = 2x – =>I= 2 t (t + 2)(t − 2) Ta đồng hệ số sau: 2 t (t −4) Vậy I = ∫ Vậy thời gian để sợi bị vào cột t = TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài tốn 3: (Trích đề thi HSG Quốc gia năm học 2007 – 2008) Đề bài: Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều dài h, khối lượng m lăn không trượt mặt sàn nhẵn nằm ngang va vào tường thẳng đứng cố định (trục khối trụ song song với mặt sàn tường) Biết hệ số ma sát khối trụ tường μ; vận tốc trục khối trụ trước lúc va chạm vo; sau va chạm thành2 phần vận tốc theo phương ngang trục giảm nửa độ lớn; moment quán tính trục khối trụ I o = (hình 8) Bỏ qua tác dụng trọng lực lúc va chạm bỏ qua ma sát lăn Hình a) Biết mật độ khối lượng ρ điểm khối trụ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đến trục theo quy luật ρ = A(1 + 22) 2ℎ Tìm hệ số A b) Tính động khối trụ góc phương chuyển động với phương nằm ngang sau va chạm Áp dụng số với μ = μ = Bài giải nhận xét: Phân tích lực đặt lên trụ chọn hệ trục tọa độ hình + Ban đầu trước lúc va chạm, cầu lăn khơng trượt nên vo = Rωo Từ hình 9, ta phân tích q trình va chạm, phản lực đàn hồi N tác động làm cho thay đổi động lượng cầu phương Ox, áp dụng định lí biến thiên động lượng ta có: N ∆t = m ∆vx = m(v′x N ∆t = m(v′x + vx) = Ta chứng minh tương tự với ảnh hưởng lực ma sát làm thay đổi động lượng phương Oy tạo moment xung lực làm khối trụ bị quay sau cú va chạm, được: Fms ∆t = m.vy –FmsR ∆t = I(ω’ – ωo) = Fms ∆t = m.vy Fms ∆t = Với cách phân tích tượng Vật Lý tốn ta phần suy luận hướng đề tác giả: a) – đánh giá lực Toán học thí sinh dự thi; b) – tượng Cơ 25 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH học tuần túy Hơn hết ta thấy a) khơng u cầu tiên b), từ giúp thí sinh dự thi linh động trình tự giải, phân bổ thời gian hợp lý cho cịn lại đề + Vì khối trụ có quy luật phân bố mật độ thể khối ρ nên ta chia nhỏ thành vơ số trụ mỏng có dạng vành khăn với bán kính r, r + dr chiều dài h Ta có: dS = π[(r + dr)2– r2] = π(drr + 2r.dr) ≈ 2πr.dr m dm = ρdV = ρ.h.dS = 2ρπhr.dr với ρ = A(1 + ) (giả thiết) R 2 R h Mà moment quán tính trụ rỗng trục dI = dm.r dm = dI = Io = A Ta giả sử trình va chạm trụ với tường, chuyển động trụ gồm hai giai đoạn: ban đầu trụ lăn có trượt sau lăn khơng trượt xảy Khi đó: vy = Rω’ Kết hợp (3), (4) (5) ta + vy = Để trường hợp xảy Fms ≤ μoN Fms ∆t ≤ μN ∆t Kết hợp (2), (6) (7) ta + Với μ = ≤ μo.32 μo ≥ 21 ≈ 0,190 > μo Vậy trụ chuyển động giả định Wđ = Wtịnh tiến tanθ = Góc hợp ( ′ ; + Với μ = < μo hình trụ ln lăn có trượt suốt q trình va chạm Do vậy: Từ (1), (2), (3), (8) ta giải vy = 26 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Wđ = Wtịnh tiến + Wquay = Động sau va chạm trụ Wđ = tanθ = Góc hợp ( ′ ; ′) = θ = arctan Bài tập bổ sung: 1) Một vật hình cầu bán kính R có mật độ khối lượng phân bố theo khoảng cách r đến tâm theo qui luật ρ = (1 + r 3m R )7πR với m số dương Tìm khối lượng m moment qn tính (Gợi ý: Chia hình cầu thành mặt cầu mỏng giải tương tự toán 3) (mo = m Io = ) 2) Một hạt mang điện q bay vào môi trường với vận tốc ban đầu Biết lực cản môi trường tác dụng lên hạt tỉ lệ với vận tốc nó, hạt đoạn a = 10 cm dừng lại Nếu ta tạo môi trường từ trường có cảm ứng từ vng góc với hạt chuyển động cong dừng lại điểm cách điểm xuất phát đoạn b = cm Hỏi độ lớn cảm ứng từ giảm nửa dừng lại cách điểm ban đầu đoạn c bao nhiêu? Ta bỏ qua tác dụng trọng lực (Gợi ý: Dùng cơng thức lực cản giới thiệu tốn kiến thức lực từ Lorentz để giải) ( = + ( − ) => = , ) 3) Một hạt khối lượng m, ban đầu chuyển động từ lúc t = tác dụng lực F = F osin(ωt + φ), Fo ω số Xác định quãng đường theo thời gian t (Gợi ý: Áp dụng tích phân s = ∫ | | 4) )( = [ − ( + )]) Theo thuyết H.Hetz (1882) cầu va chạm đàn hổi lực tương tác chúng tỉ lệ thuận với độ biến dạng chúng theo lũy thừa 3⁄2 tức F = k ⁄ Xét va chạm trực diện m hai cầu có bán kính số đàn hồi k, khối lượng khác tương ứng m ⁄3 Các vận tốc ban đầu vo – vo, xác định độ biến dạng cực đại xmax hai cầu Bỏ qua ma sát hai cầu mặt sàn (Gợi ý: Trong lúc va chạm, thời điểm hai cầu có vận tốc độ biến dạng chúng cực đại) (x =( )( ) max 4.2.2 Nhiệt học Ở phân mơn nhiệt học, khiến thức Tốn dùng chuyên đề tương đối nâng cao chun sâu, dạng tốn đặc trưng sử dụng tích phân xác định để tính cơng q trình khối khí thực Vì cơng khối khí trị tuyệt đối diện tích hình phẳng đường đồ thị q trình tạo tọa độ OpV Ta xét toán sau: Bài toán 1: 27 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Đề bài: Một khối khơng khí xem khí lí tưởng th ực chu trình ABCA biểu diễn giản đồ hình 10 BC CA q trình đẳng tích đẳng áp, AB q trình có áp suất p thể tích V liên hệ v ới theo biểu thức p = αV Biết tỉ số nhiệt độ tuyệt đối lớn với nhiệt độ tuyệt đối bé η p B p2 p1 A C V a) Tính cơng mà khối khí thực theo Vo, η α b) Tính hiệu suất chu trình theo η Bài giải nhận xét: Ta dễ dàng nhận thấy cơng mà khối khí thực chu trình A = SABCA, diện tích hình phẳng giới hạn { đường thẳng V = V ; V = V Chu trình cho gồm q trình: (AB): áp suất thể tích khí liên hệ với qua biểu thức p = αV Mà theo phương trình Clapeyron Mendeleev: + pV = nRT => T = Từ A  B, thể tích khối khí tăng nên nhiệt độ tăng TB > TA, khí nhận nhiệt => QAB > (BC): khí biến đổi đẳng tích, áp dụng định luật Charles Từ B  C, áp suất khí giảm nên khí bị làm lạnh TC < TB, khí tỏa nhiệt => QBC < (CA): khí nén đẳng áp, áp dụng định luật Gay Lussac => TC > TA q trình khí tỏa nhiệt => QCA < Vậy ta kết luận TB = Tmax TA = Tmin => + Kết hợp (2), (3) (4) ta được: {Vo Thay (5) vào (1) ta được: Vậy cơng khối khí thực chu trình A ABCA = Từ lý luận trên, ta thấy có q trình (AB) khí nhận nhiệt, nên hiệu suất chu trình là: 28 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH H= Theo nguyên lý thứ nhiệt động lực học ta lại có: QAB = AAB + ∆UVAB2 =∫ αV dV + nCV∆TAB Vo αV2 = − + Vì khơng khí (chứa khoảng 20% O2 80% N2) xem khí lí tưởng nên khối khí lưỡng ngun tử có CV = Thay (3), (5) vào (6) ta QAB = 3Vo3(η – 1) + n52 R[nRα V23 − α nR V 3] V 3(η–3 η+ 2) Từ ta dễ dàng suy H = 17 6V 3(η – 1) = 17 √ 6Vo (η – 1) – ( – ) √ + Vậy hiệu suất chu trình H = Ngồi tốn tính cơng chu trình có ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng trên, toán truyền nhiệt, đối lưu hay nội ma sát lớp khí kết hợp sử dụng hai phương pháp tổng tích phân sơ đồ vi phân để giải Ta xem xét toán sau: Bài toán 2: Đề bài: Khí lí tưởng có khối lượng mol , áp suất p, hai nằm ngang có khối lượng bao nhiêu? Biết thể tích hai V, nhiệt độ khí tăng tuyến tính từ T đến T2 Bài giải nhận xét: Ta gọi khoảng cách hai d, nhiệt độ khối khí thay đổi tuyến tính theo khoảng cách hình 11 nên: T(x) = a + bx Tại x = 0, T(0) Tại x = d, T(d) T(x) = T1 + + Xét lớp khí cách gốc tọa độ khoảng x, khối có bề dày dx nhỏ cho nhiệt độ khơng thay đổi T, khối lượng dm Áp dụng phương trình Clapeyron Mendeleev ta được: pdV = dm μ RT (p áp suất khối khí nằm hai bản) 29 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài tập bổ sung: 1) Một bình hình trụ ngang chứa đầy khí lí tưởng ban đầu có áp suất po nhiệt độ To Khoảng cách hai đáy bình d Ta thay đổi nhiệt độ đáy lên thành T0 + ∆T (∆T ≪ T0) nhiệt độ đáy giữ nguyên T0 Biết nhiệt độ khí biến đổi tuyến tính theo khoảng cách tới đáy bình a) Tính áp suất p khối khí (Gợi ý: Hướng giải giống tốn 2) (p = po(1 + ∆ )) b) Tình độ dời khối tâm lượng khí bình (Gợi ý: xG = Cho biết công thức : ln(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + ⋯ (x < 1) 2) Một lượng n mol khí lý tưởng đơn nguyên tử thực chu trình LMNL có thơng số trạng thái biểu diễn giản đồ hình 12 LM NL q trình đẳng tích đẳng áp; MN q trình có áp suất p biến tiên tuyến tính theo thể tích V p a) Tính nhiệt độ cực đại mà khí đạt q trình o (Gợi ý: Trong trình MN, nhiệt độ khí tăng đến cực đại sau giảm dần hàm bậc hai theo thể tích ) (Tmax = b) Tính hiệu suất chu trình (Gợi ý: Trong q trình MN, khí nhận nhiệt từ M khí tỏa nhiệt từ K   K sau N, hàm bậc hai theo thể tích) (H = 30 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4.2.3 Tiểu kết Các toán phần Cơ học hay Nhiệt học số tốn có sử dụng cơng cụ tích phân Động đốt bốn (chu trình Diesel, Otto…), định luận khúc xạ Snel – Descartes, tượng ảo ảnh hay công thức xác định điện trường Ostrogaski – Gauss cảm ứng từ Biot – Savart toán mà phần giải nhờ cơng cụ Như mục đích ban đầu, xun suốt tiểu luận nhóm đưa ra, ví dụ ứng dụng tích phân Vật Lý phần khẳng định tính hữu dụng cơng cụ vi – tích phân Và hết, tích phân khơng ứng dụng Vật Lý mà Sinh học, Hóa Học hay chí mơn học khối ngành Kinh tế ––––––––––––– ––––––––––––– 31 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH KẾT LUẬN Nội dung tiểu luận “Ứng dụng tích phân” bao gồm phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định, tiểu luận đạt số kết quan trọng: + Tiểu luận phân dạng trình bày phương pháp tính diện tích hình phẳng, độ dài cung ứng dụng hình học tích phân Từ ứng dụng tích phân vào toán thực tế giải số tốn phổ thơng chứng minh bất đẳng thức + Nhằm nâng cao nhận thức người đọc việc sử dụng Tốn học vào mơn Khoa học Tự nhiên; nhóm giới thiệu hướng sử dụng phép tốn vi – tích phân vào tốn HSG phổ thông môn Vật Lý cách tổng quát đa dạng Qua phân tích trên, có nhìn tổng quan tích cực tích phân, ứng dụng vơ gần gũi, gắn liền với thực tiễn Nhưng dù lĩnh vực hai phương pháp tổng tích phân sơ đồ vi phân hai hướng để dễ dàng tiếp cận sử dụng vào toán thực tế Chủ yếu tốn có thay đổi theo quy luật đại lượng, Vật Lý, tích phân giải pháp tối ưu Ngày nay, phép tốn vi – tích phân địi hỏi người học, người nghiên cứu phải hiểu sâu sắc chất để từ đưa ứng dụng thực tế hơn, không dừng lại thứ mà nhóm nêu Trong q trình thực hiện, nhóm cố gắng hạn chế sai sót khơng tránh khỏi sơ suất, nên tiểu luận chưa hoàn chỉnh sâu sắc Nhóm sinh viên thực mong nhận thêm đóng góp ý kiến từ người đọc Cuối cùng, nhóm xin gửi lời cám ơn chân thành đến hỗ trợ thầy Nguyễn Vụ Thụ Nhân suốt q trình nhóm thực tiểu luận –––––––––––––  ––––––––––––– 32 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẢNG PHÂN CHIA CƠNG VIỆC Cơng việc chung TÍCH PHÂN Cơng việc chương GIỚI THIỆU HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬT LÝ ĐƯỢC NÂNG CAO BẰNG PHÉP TOÁN VI – TÍCH PHÂN Biên soạn biên tập: Thanh Sang 33 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đỗ Công Khanh (chủ biên) (2013), Tốn Cao cấp Giải tích hàm biến; Lý thuyết chuỗi, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (1) (2) Nguyễn Cam (1998), Giải tốn Tích phân, NXB Trẻ Luận văn Thạc sĩ Ngơ Thị Sinh (2015), Tích phân – Ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội (3) (4) Đào Văn Phúc; Phạm Viết Trinh (1990), Cơ học, NXB Giáo dục Vũ Thanh Khiết; Vũ Đình Túy (2010), Các đề thi Học sinh Giỏi Vật Lý 2001 – 2010, NXB Giáo dục Việt Nam (5) (6) Bộ sách Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Vật Lý THPT (2010), NXB Giáo dục Việt Nam: + Tô Giang, Cơ học + Phạm Quý Tư, Nhiệt học Vật lý phân tử Phạm Vũ Kim Hoàng (2015), Tài liệu bồi dưỡng học sinh tham dự kì thi HSG Quốc gia, trường Phổ Thơng Năng Khiếu (7) Đoàn Hồng Hà (2007), Tài liệu dành cho học sinh chuyên Lý – Đạo hàm; Tích phân, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong (8) Tiếng Anh David Halliday; Robert Resnick; Jearl Walker (2002), Fundamentals of Physics, 10th edition – Wiley India (1) (2) I.E.Irodov (1980), Problems in General Physics, Mir Publishers – Moscow  –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––– 34 ... LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1.1 Sơ đồ tổng quát sử dụng tích phân 3.1.1.1 Phương pháp thứ – tổng tích phân. .. ––––––––––––– 31 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH KẾT LUẬN Nội dung tiểu luận ? ?Ứng dụng tích phân? ?? bao gồm phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định, tiểu luận... TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1.1 Sơ đồ tổng quát sử dụng tích phân 3.1.2 Diện tích hình phẳng 3.1.3 3.2 Độ dài cung ỨNG DỤNG ĐẠI