Bài giảng Toán rời rạc: Bài 3 - Vũ Thương Huyền cung cấp cho học viên các kiến thức về phép quy nạp và đệ quy; quy nạp toán học; đệ quy; định nghĩa đệ quy của hàm; các tập hợp được định nghĩa đệ quy; các thuật toán đệ quy;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
BÀI PHÉP QUY NẠP VÀ ĐỆ QUY Vũ Thương Huyền huyenvt@tlu.edu.vn NỘI DUNG • Quy nạp tốn học • Đệ quy Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 3.3 QUY NẠP TỐN HỌC Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 3.3 QUY NẠP TOÁN HỌC Các phương pháp chứng minh sở: • Chứng minh trực tiếp, chứng minh gián tiếp, chứng minh phản chứng, chứng minh trường hợp, chứng minh tương đương Chứng minh quy nạp • Là kĩ thuật sử dụng để chứng minh mệnh đề phổ quát tập số nguyên dương, x P(x) với x Z+ • Bao gồm bước: 1) Bước sở: mệnh đề P(1) 2) Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề kéo theo P(k) P(k+1) với số nguyên dương k Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 3.3 QUY NẠP TỐN HỌC Ví dụ 1: Bằng quy nạp tốn học, chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ n2 + + + + … + 2𝑛 − = 𝑛2 • Bước sở: P(1) ln = 12 • Bước quy nạp: giả định P(n) đúng, tức là: + + + + … + 2𝑛 − = 𝑛2 Khi P(n+1) = + + + + … + 2𝑛 − + 2𝑛 + = 𝑛2 + 2𝑛 + = (𝑛 + 1)2 • Vì P(1) mệnh đề kéo theo P(k) P(k+1) với k Nên P(n) với n nguyên dương Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 3.3 QUY NẠP TỐN HỌC Ví dụ 2: Bằng quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức n< 2n Ví dụ 3: Bằng quy nạp tốn học, chứng minh tổng hữu hạn số hạng cấp số nhân: 𝑛 𝑗=0 𝑛+1 − 𝑎 𝑎𝑟 𝑎𝑟 𝑗 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛 = 𝑟−1 Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 3.3 QUY NẠP TỐN HỌC Phép quy nạp mạnh • Giả sử P(j) với j = 1, 2, 3, , k phải chứng minh P(k+1) • Bao gồm bước: 1) Bước sở: mệnh đề P(1) 2) Bước quy nạp: Chứng tỏ [𝑷 𝟏 ∧ 𝑷 𝟐 ∧ … ∧ 𝑷 𝒌 ] → 𝑷(𝒌 + 𝟏) với số nguyên dương k Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 3.3 QUY NẠP TỐN HỌC Ví dụ: Chứng tỏ bưu phí tay lớn 12 xu trả tem xu xu • Bước sở: P(12) ln bưu phí 12 xu = 3* 4xu • Bước quy nạp: - P(13) = 2*4xu + 5xu - P(14) = 1*4xu +2 *5xu - P(15) = 3*5xu - với k15, giả sử P(k) đúng, ta có: P(k+1) = P(k-3) + 3+1 = P(k-3) + 4xu mà P(k-3) trả tem 4xu 5xu Do P(k+1) Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn BÀI TẬP Bài 1: Tìm cơng thức tính tổng: 1 + + ⋯+ 1.2 2.3 𝑛 (𝑛 + 1) cách quan sát giá trị biểu thức với giá trị nhỏ n Dùng quy nạp toán học để chứng minh kết vừa tìm Bài 2: Chứng tỏ 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n+1)(2n+1)/6, với n số nguyên dương Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 3.4 ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 10 3.4 ĐỆ QUY • Phép đệ quy: Định nghĩa đối tượng qua Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 11 3.4 ĐỆ QUY Định nghĩa đệ quy • Là định nghĩa dãy, tập hợp cách định số hạng dãy tìm qua số hạng trước • Các hàm định nghĩa đệ quy: 1) Bước sở: cho giá trị hàm 2) Bước đệ quy: Cho quy tắc tính giá trị số nguyên n từ giá trị nhỏ n Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 12 3.4 ĐỆ QUY Ví dụ: Định nghĩa đệ quy hàm giai thừa F(n) = n! • Bước sở: F(0) = 0! = • Bước đệ quy: - F(1) = 1*F(0) = 1.1 = - F(2) = 2*F(1) = 2.1 = - F(3) = 3*F(2) = 3.2 = - F(n) = n*F(n-1) Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 13 3.4 ĐỆ QUY Định nghĩa 1: Các số Fibonaci f0, f1, f2 định nghĩa phương trình: f0=0, f1= fn = fn-1 + fn-2 n= 2, 3, 4, Ví dụ: • Tìm số hạng f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 dãy Fibonacci Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 14 BÀI TẬP Bài 3: Hãy định nghĩa đệ quy hàm sau: a) an b) 𝒏 𝒌=𝟎 𝒌 Bài 4: Hãy cho định nghĩa đệ quy dãy {an} , n = 1, 2, a) an = 6n b) an = 2n + c) an = 10n d) an = Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 15 CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Định nghĩa 2: Tập ∗ xâu chữ định nghĩa đệ quy sau: BƯỚC CƠ SỞ: * (ở xâu rỗng không kí tự BƯỚC ĐỆ QUY: w * x wx * Ví dụ: • • • • • Nếu = {0, 1} Bước sở: Bước đệ quy 1: xâu: 0, Bước đệ quy 2: xâu 00, 01, 10, 11 Bước đệ quy 3: xâu: 000, 010, 100, 110, 001, 011, 101, 111 Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 16 CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Ví dụ: Định nghĩa tập hợp công thức tạo cho mệnh đề phức hợp • Mệnh đề phức hợp tham gia của: T, F,biến mệnh đề, toán tử {, , , , } • Bước sở: T, F, p biến mệnh đề công thức tạo • Bước đệ quy: Nếu E F cơng thức tạo (E), (EF), (EF), (EF), (EF) Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 17 3.5 CÁC THUẬT TOÁN ĐỆ QUY Định nghĩa 1: Một thuật tốn gọi đệ quy, giải toán cách rút gọn liên tiếp tốn tới giai đoạn tốn ban đầu có liệu đầu vào nhỏ Ví dụ : Tìm thuật tốn đệ quy tính giá trị an, với a số thực khác n số ngun khơng âm THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tính an Procedure power(a: số thực khác 0; n: nguyên không âm) if n = then power(a, n) := else power(a,n) := a.power(a, n-1) Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 18 3.5 CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY Ví dụ 1: Biểu diễn thuật tốn tính ước chung lớn hai số a,b thủ tục đệ quy Ví dụ 2: Biểu diễn thuật tốn tìm kiếm tuyến tính tìm kiếm nhị phân thủ tục đệ quy Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 19 3.5 CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY Tìm kiếm tuyến tính THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tìm kiếm tuyến tính Procedure search (i, j, x) if = x then location := i else if 𝑖 = 𝑗 then location := else search(i+1, j, x) Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 20 3.5 CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY Tìm kiếm nhị phân THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tìm kiếm nhị phân Procedure binary search (i, j, x) m := (i+j)/2 if x = then location := m else if (𝐱 < 𝑎𝑚 i < m ) then binary search(x,i, m-1) else if ( x > am m < j) then binary search(x,m+1, j) else location :=0 Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 21 BÀI TẬP Bài 4: Xây dựng thuật tốn đệ quy tính n! Bài 5: Xây dựng thuật tốn đệ quy tính số fibonacci Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 22 BÀI TẬP Bài 6: Hãy đưa thuật tốn đệ quy tìm tổng n số nguyên dương lẻ Bài 7: Số hạng thứ n định nghĩa sau: a0 = 1, a1=2 an= an-1.an-2, với n = 2,3, a) Hãy định nghĩa hàm đệ quy để tính an b) Xây dựng thuật tốn đệ quy để tính an Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 23 24 ... 1*4xu +2 *5xu - P(15) = 3* 5xu - với k15, giả sử P(k) đúng, ta có: P(k+1) = P(k -3 ) + 3+ 1 = P(k -3 ) + 4xu mà P(k -3 ) trả tem 4xu 5xu Do P(k+1) Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn BÀI TẬP Bài 1: Tìm cơng... = 3* F(2) = 3. 2 = - F(n) = n*F(n-1) Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 13 3.4 ĐỆ QUY Định nghĩa 1: Các số Fibonaci f0, f1, f2 định nghĩa phương trình: f0=0, f1= fn = fn-1 + fn-2 n= 2, 3, 4, Ví dụ:... Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 12 3. 4 ĐỆ QUY Ví dụ: Định nghĩa đệ quy hàm giai thừa F(n) = n! • Bước sở: F(0) = 0! = • Bước đệ quy: - F(1) = 1*F(0) = 1.1 = - F(2) = 2*F(1) = 2.1 = - F (3) = 3* F(2)