Bài giảng Toán rời rạc: Bài 5 - Vũ Thương Huyền cung cấp cho học viên các kiến thức về kỹ thuật đếm cao cấp; hệ thức truy hồi; mô hình hóa bằng các hệ thức truy hồi; giải các hệ thức truy hồi; nguyên lý bù trừ và dạng khác của nguyên lí bù trừ; hệ thức truy hồi tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
BÀI KỸ THUẬT ĐẾM CAO CẤP Vũ Thương Huyền huyenvt@tlu.edu.vn NỘI DUNG • Hệ thức truy hồi • Giải hệ thức truy hồi • Nguyên lý bù trừ Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 6.1 HỆ THỨC TRUY HỒI Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI • Một số tốn đếm khơng thể giải kĩ thuật đếm thơng thường • Có thể giải cách tìm mối quan hệ, gọi hệ thức truy hồi Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Định nghĩa 1: Hệ thức truy hồi dãy số {an} phương trình biểu diễn an qua hay nhiều số hạng đứng trước nó, cụ thể a0, a1, , an-1 với số nguyên n n0 ,trong n0 số nguyên không âm Dãy số gọi lời giải nghiệm hệ thức truy hồi số hạng thỏa mãn hệ thức truy hồi Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Ví dụ 1: Cho {an} dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi an = an-1 – an-2 với n = 2, 3, 4, giả sử a0 = 3, a1 = Tìm a2, a3 Ví dụ 2: Hãy xác định xem dãy {an} an =3n với n ngun khơng âm có phải lời giải hệ thức truy hồi an = 2an-1 – an-2 với n = 2, 3, hay không? Cũng câu hỏi an = 2n an = Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn MƠ HÌNH HĨA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Ví dụ 1: Lãi kép Giả sử người gửi 10.000$ vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Hỏi sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Giải: - Gọi Pn tổng số tiền có tài khoản sau n năm Pn = Pn-1 + 0.11Pn-1 = 1,11Pn-1 - Như vậy: - P1 = 1,11P0 - P2 = 1,11P1 = (1,11)2 P0 - - Pn = 1,11Pn-1 = (1,11)n P0 - Thay n = 30 vào công thức P30 = (1,11)30 10000 = 228 923$ Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn MƠ HÌNH HĨA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Ví dụ 2: Họ nhà thỏ số Fibonacci Mỗi cặp thỏ sinh thả đảo Giả sử cặp thỏ chưa sinh sản trước đầy tháng tuổi Kể từ chúng đầy tháng tuổi, tháng chúng đẻ đôi thỏ Tìm cơng thức truy hồi tính số cặp thỏ đảo sau n tháng với giả sử thỏ trường thọ Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn MƠ HÌNH HĨA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Số cặp thỏ đảo số cặp đẻ thêm Toán rời rạc số cũ thêm huyenvt@tlu.edu.vn MƠ HÌNH HĨA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI Số cặp thỏ đảo số cặp đẻ thêm Toán rời rạc số cũ thêm huyenvt@tlu.edu.vn 10 GIẢI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH Định lí 1: Cho c1 , c2 hai số thực Giả sử r2 – c1r – c2 = có hai nghiệm phân biệt r1, r2 Khi {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 an = 1r1n + 2r2n ,với n = 0, 1, 2, 1, 2 số Ví dụ: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = an-1 + 2an-2 với a0 = 2, a1 = Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 23 GIẢI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH Định lí 2: Cho c1 , c2 hai số thực, với c2 Giả sử r2 – c1r – c2 = có nghiệm r0 Khi {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 an = 1r0n + 2nr0n ,với n = 0, 1, , 1, 2 số Ví dụ: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 9an-2 với a0 = 1, a1 = Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 24 GIẢI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH Định lí 3: Cho c1 , c2 , , ck số thực Giả sử phương trình đặc trưng rk – c1rk-1 – – ck =0 có k nghiệm phân biệt r1, r2, , rk Khi đó, dãy {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + ckan-k an = 1r1n + 2r2n + + krkn, với n = 0, 1, , 1, 2 , , k số Ví dụ: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 11an-2 + 6an-3 với a0 = 2, a1 = 5, a2 = 15 Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 25 BÀI TẬP Bài 3: Trong hệ thức truy hồi sau đây, hệ thức tuyến tính với hệ số số Bậc hệ thức bao nhiêu? a) an =3an-1 +4an-2 + 5an-3 b) an = 2nan-1 + an-2 c)an = an-1 + an-4 d) an = an-1 + e) an = an-12 + an-2 Bài 4: Giải hệ thức truy hồi điều kiện đầu sau: a) an = 2an-1 , với n 2, a0 = 3, a1 = b) an = 5an-1 - 6an-2 , với n 2, a0 = 1, a1 = c) an = 4an-1 - 4an-2 , với n 2, a0 = 6, a1 = Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 26 26 6.5 NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 27 NGUN LÍ BÙ TRỪ • Có phần tử hợp hai tập hợp hữu hạn phần tử? | A B |=|A| +| B | - |A B | Ví dụ 1: Lớp tốn rời rạc có 25 sinh viên chun ngành tin học, 13 sinh viên chuyên ngành toán tám sinh viên theo học ngành toán lẫn tin học Hỏi lớp có sinh viên, sinh viên theo ngành toán ngành tin theo học tốn tin? Ví dụ 2: Giả sử trường có 1807 sinh viên năm thứ Trong số có 453 người chọn mơn tin học, 547 người chọn mơn tốn 299 người học hai mơn tốn tin Hỏi có sinh viên khơng theo học tốn khơng học tin? Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 28 NGUN LÍ BÙ TRỪ • Trường hợp tập hợp: | A B C | =|A| +| B |+| C | -|A B | - |A C | - |C B | + |A B C | Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 29 NGUN LÍ BÙ TRỪ Ví dụ 1: Biết có 1232 sinh viên học tiếng Tây Ban Nha, 879 sinh viên học tiếng Pháp 114 sinh viên học tiếng Nga Ngồi cịn biết 103 sinh viên học tiếng Tây Ban Nha tiếng Pháp, 23 sinh viên học tiếng Tây Ban Nha tiếng Nga, 14 sinh viên học tiếng Pháp tiếng Nga Nếu tất 2092 sinh viên theo học ngoại ngữ, có sinh viên học ba thứ tiếng? Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 30 NGUN LÍ BÙ TRỪ Định lí 1: NGUN LÍ BÙ TRỪ Cho A1 , A2,A3 tập hữu hạn Khi đó: 𝑨𝟏 ∪ 𝑨𝟐 ∪ ⋯ ∪ 𝑨𝒏 = 𝑨𝒊 − 𝟏≤𝒊≤𝒏 + |𝑨𝒊 ∩ 𝑨𝒋 | 𝟏≤𝒊