Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 - Nguyễn Lê Minh

Định nghĩa: Là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, làm cơ sở cho các định nghĩa toán học. Đó là những đối tượng được[r]

TOÁN RỜI RẠC

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

Nội dung

 Tập hợp hàm số  Các nguyên lý đếm

 Lý thuyết tổ hợp

 Nguyên lý Dirichlet

Tập hợp

Định nghĩa: Là khái niệm toán học, làm sở cho định nghĩa toán học Đó đối tượng

nhóm lại theo tính chất

Ví dụ: Tập hợp tập toán rời rạc

Tập hợp số sinh viên lớp CNTT K59 Hệ phương trình tuyến tính

(Tập hợp đồng nghĩa với họ, hệ, lớp ….)

Tập hợp

Những yếu tố tạo thành tập hợp gọi

phần tử (hay điểm) tập hợp

Kí hiệu:

Nếu a phần tử A

Diễn tả tập hợp

Có cách diễn tả tập hợp:

 Nêu tính chất đặc trưng phần tử tạo

thành tập hợp

 Liệt kê phần tử tập hợp

Ví dụ: A = 𝑥 ∈ 𝑁| 𝑥 𝑙à 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ố

A = ; ; ; ;

Tập hợp

Các tập hợp số:

N = … −> tập hợp số tự nhiên

𝑁∗ = … −> tập hợp số tự nhiên khác Z = … −> tập hợp số nguyên

Tập hợp

- Tập hợp A có n phần tử |A| = n

- Tập hợp A có vơ số phần tử |A| = +∞

- Tập hợp khơng có phần tử ( tập hợp

rỗng) |A| = ∅

( Lưu ý: Tập hợp rỗng ≠ tập hợp có phần tử 0)

Tập hợp

Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B A tập hợp B

Ngồi ra:

Nếu A = B

Nếu 𝐴 ≠ 𝐵 hay

A  B

A

  A  A

A  B B  A

Tập hợp

Mối quan hệ hai tập hợp biểu diễn biểu đồ Venn

Các phép tốn tập hợp

• Phép giao: 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 ∈ 𝑼|(𝒙 ∈ 𝑨) (𝒙 ∈ 𝑩)

• Phép hợp: 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 ∈ 𝑼|(𝒙 ∈ 𝑨)(𝒙 ∈ 𝑩)

Tính chất phép tốn

Với A, B, C tập tùy ý U

Tích Descartes tập hợp

Tích Descartes hai tập hợp A, B (ký hiệu

AxB) tập cặp có thứ tự (a,b) 𝑎 ∈ 𝐴

và 𝑏 ∈ 𝐵

𝐴𝑥𝐵 = 𝑎, 𝑏 |𝑎 ∈ 𝐴 𝑣à 𝑏 ∈ 𝐵

Ví dụ:

Nếu A = {a,b} B={c,d,e}

Ánh xạ

Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y, ký hiệu

f: X−>Y phép tương ứng liên kết phần tử

𝑥 ∈ 𝑋 với phần tử 𝑦 ∈ 𝑌

• X gọi tập nguồn, Y gọi tập đích

• Phần tử y = f(x)∈Y gọi ảnh X

3

:

f X Y x y

Xác định ánh xạ

• Liệt kê tất ảnh phần tử X • Cơng thức để xác định ảnh f(x) phần

tử x

• Đưa thủ tục xác định để tính (hay

tìm ra) phần tử f(x) ứng với phần tử

Ảnh tập hợp

• Cho f ánh xạ từ X vào Y

• Giả sử A tập hợp X

• Ảnh tập A qua ánh xạ f, ký hiệu f(A),

là tập hợp Y gồm tất phần

tử y cho y ảnh phần tử

x thuộc A

f(A) = { f(a) : a A }

Ánh xạ hợp

• Cho ánh xạ

f : X  Y

g : Y Z

• Ánh xạ hợp h f g ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

• Ký hiệu: h = g o f

 

:

( ) ( )

h X Z

x h x g f x



Đơn ánh

• Ánh xạ f : X Y gọi đơn ánh

các ảnh phần tử khác tùy ý khác

nhau

• Với x x' thuộc X ta có:

x  x'  f(x)  f(x')

Hay f(x) = f(x')  x = x'

Tồn ánh

• Ánh xạ f : X  Y gọi toàn ánh

mọi phần tử Y ảnh phần tử x thuộc X, nghĩa

Song ánh

• Ánh xạ f : X  Y gọi song ánh

nó vừa đơn ánh vừa tồn ánh

• Khi với y  Y, có phần tử x  X

sao cho f(x) = y

• Phép tương ứng liên kết y với x cho ánh xạ từ Y vào X Ánh xạ ánh xạ ngược

f ký hiệu 𝑓−1

f-1 : Y  X, xác định f-1(y) = x, với f(x) =

y

Phép đếm

Các toán đếm xuất phổ biến toán

học tin học Dùng để giải nhiều dạng toán khác nhau, ví dụ: Số phép tốn

trong thuật tốn để nghiên cứu độ phức tạp,