2 1 giá trị lượng giác của một cung PII 14 trang đặng việt đông image marked

Chương LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG § 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác góc(cung) lượng giác a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác đường trịn đơn vị, định hướng chọn điểm A làm gốc t y b) Tương ứng số thực điểm đường tròn lượng giác B T Điểm M đường tròn lượng giác cho (OA,OM ) = a gọi S s H điểm xác định số a (hay cung a , hay góc a ) Điểm M M(x;y) cịn gọi điểm đường trịn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo a Nhận xét: Ứng với số thực a có điểm nằm đường tròn A x O K lượng(điểm xác định số đó) tương tự trục số Tuy nhiên, điểm đường trịn lượng giác ứng với vơ số thực Các số thực có dạng a + k 2p, k Ỵ Z d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường trịn lượng giác Với góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo a , xác định điểm M ( x ; y ) đường trịn lượng giác cho sđ Khi ta định nghĩa cos a = x , sin a = y tan a = sin a ổỗ p ỗỗ a + k p ữữữ cos a ố ø cos a (a ¹ kp ) sin a Ý nghĩa hình học: Gọi K , H hình chiếu M lên trục Ox ,Oy Vẽ trục số At gốc A cot a = hướng với trục Oy vẽ trục số Bs gốc B hướng với trục Ox , gọi T , S giao điểm đường thẳng OM cắt với trục sơ At, Bs Khi ta có: sin a = OH , cos a = OK , tan a = AT , cot a = BS e) Tính chất:  sin a, cos a xác định với giá trị a -1 £ sin a £ 1, - £ cos a £   p + k p , cot a xác định a ¹ k p sin a = sin ( a + k 2p ), cos a = cos ( a + k 2p ) tan a xác định a ¹ tan a = tan ( a + k p ), cot a = cot ( a + k p ) f) Dấu giá trị lượng giác: Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm đường tròn lượng giác Bảng xét dấu Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác + – – + cos + + – – sin + – + – tan Trang 1/12 + cot – + – g) Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc a sin a cosa tan a cot a p p p p 2p 3p p 3p 2p 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 3 2 –1 2 2 - –1 3 || - –1 || || 3 - 3 –1 || || - 2 Các hệ thức lượng giác 1) sin2 a + cos2 a = 1 p (a ¹ + k p) 2 cos a 3) + cot2 a = (a ¹ k p) sin2 a kp 4) tan a.cot a = (a ¹ ) Giá trị lượng giác góc(cung) có liên quan đặc biệt 2) + tan2 a = Góc đối ( a -a ) Góc bù nhau( a p - a ) cos(-a) = cos a sin(p - a) = sin a sin(-a) = - sin a cos(p - a) = - cos a tan(-a) = - tan a tan(p - a) = - tan a cot(-a) = - cot a cot(p - a) = - cot a Góc p ( a p + a ) Góc Góc phụ nhau( a v ổp sin ỗỗ - a ữữữ = cos a ỗố ứ ổp cos ỗỗ - a ữữữ = sin a ốỗ ứ p -a) ổp tan ỗỗ - a ữữữ = cot a ỗố ứ ổp cot ỗỗ - a ữữữ = tan a ỗố ứ p p ( a + a ) 2 sin(p + a) = - sin a ổp sin ỗỗ + a ữữữ = cos a ỗố ứ cos(p + a) = - cos a ổp cos ỗỗ + a ữữữ = - sin a ỗố ứ Trang 2/12 tan(p + a) = tan a ỉp tan çç + a ÷÷÷ = - cot a çè ø cot(p + a) = cot a ỉp cot çç + a ÷÷÷ = - tan a çè ø Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo p tang côtang, p chéo sin" Với ngun tắc nhắc đến giá trị cịn khơng nhắc đối Câu Giá trị cot A 89 B  C D – Lời giải Chọn B 89        cot    15   cot      cot   6    6  Giá trị tan180 A B C –1 Lời giải Chọn B Biến đổi tan180  tan  0  180   tan 0  Biến đổi cot Câu Câu   a   Kết A sin a  , cos a  B sin a  , cos a  C sin a  , cos a  D sin a  , cos a  Lời giải Chọn C Cho Vì Câu D Không xác định   a    sin a  , cos a  5 Kết A tan a  , cot a  C tan a  , cot a  Cho 2  a  B tan a  , cot a  D tan a  , cot a  Lời giải Chọn A 5  tan a  , cot a  Đơn giản biểu thức A  1 – sin x  cot x  1 – cot x  , ta có Vì 2  a  Câu A A  sin x B A  cos x C A  – sin x Lời giải D A  – cos x Chọn A A  1 – sin x  cot x  1 – cot x   cot x  cos x   cot x  sin x Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức ? A sin 1800 – a   – cos a C sin 1800 – a   sin a B sin 1800 – a    sin a D sin 1800 – a   cos a Lời giải Trang 3/12 Câu Chọn C Theo công thức Chọn đẳng thức sai đẳng thức sau   A sin   x   cos x 2     C tan   x   cot x 2    B sin   x   cos x 2     D tan   x   cot x 2  Lời giải Chọn D Câu Giá trị biểu thức A  A 3  cos 7500  sin 4200 sin  3300   cos  3900  B  3 C 1 D 1 Lời giải Chọn A cos 300  sin 600 A   3  0 sin 30  cos 30          Câu Đơn giản biểu thức A  cos      sin      cos      sin     , ta có : 2  2  2  2  A A  2sin a B A  cos a C A  sin a – cos a D A  Lời giải Chọn A A  sin   cos   sin   cos   A  2sin  Câu 10 Giá trị cot1458 B 1 A C Lời giải D 5 D Chọn D cot1458  cot  4.360  18   cot18   Câu 11 Trong giá trị sau, sin  nhận giá trị nào? A 0, B C  Lời giải Chọn A Vì 1  sin   Nên ta chọn A Câu 12 Trong công thức sau, công thức sai? A sin   cos   C  cot     k , k    sin         k , k    cos    k    ,k  D tan   cot   1     Lời giải B  tan   Chọn D k   ,k  D sai : tan  cot   1     Câu 13 Cho biết tan   Tính cot  Trang 4/12 A cot   B cot   C cot   D cot   Lời giải Chọn A Ta có : tan  cot    cot   Câu 14 Cho sin   A 1   tan       Giá trị cos : 4 B  C  5 Lời giải D 16 25 Chọn B  cos    16   Ta có : sin   cos    cos  =1  sin 2   25 25 cos      Vì      cos   cot   tan  Câu 15 Cho sin   900    1800 Giá trị biểu thức E  : tan   3cot  2 4 A B  C D  57 57 57 57 Lời giải Chọn B  cos    16   sin   cos    cos  =1  sin    25 25 cos    4 Vì 900    1800  cos   Vậy tan    cot    4  3      cot   tan   4   E  tan   3cot  57  4       3 3sin   cos  Câu 16 Cho tan   Giá trị A  : sin   cos  A B C D 3 Lời giải Chọn C 3sin   cos  tan   A   sin   cos  tan   Câu 17 Các cặp đẳng thức sau đồng thời xảy ra? A sin   cos   C sin   1 cos   2 B sin   cos    2 D sin   cos   Lời giải Trang 5/12 Chọn B 2 3 1  B vì: sin   cos               Câu 18 Cho cos   với    Tính sin  1 A sin   B sin    C sin   5 Lời giải Chọn C 2 D sin    4  sin    Ta có: sin    cos       25 5  Do    nên sin   Suy ra, sin   Câu 19 Tính  biết cos   A   k C    k    k 2 B   k 2 k   k   D     k 2 k   Lời giải Chọn C Ta có: cos      Câu 20 Giá trị A  cos A Chọn C  k 2 k   3 5 7  cos  cos 8 8 B C Lời giải  cos D 1  3  3 3    cos  cos  A   cos  cos  8  8 8      A   cos  sin   8  Câu 21 Cho tam giác ABC Hãy tìm mệnh đề sai AC B AC B  cos  sin A sin B cos 2 2 C sin  A  B   sin C D cos  A  B   cos C A  cos     cos Lời giải Chọn D   Đơn giản biểu thức A  cos      sin     , ta có 2  A A  cos a  sin a B A  2sin a C A  sin a – cos a Lời giải Chọn D   A  cos      sin     A  sin   sin   2  sin  2340   cos 2160 Câu 23 Rút gọn biểu thức A  tan 360 , ta có A 0 sin144  cos126 Câu 22 D A  Trang 6/12 B 2 A D 1 C Lời giải Chọn C  sin 2340  sin1260 2 cos1800.sin 540 A tan 36  A  tan 360 0 0 cos 54  cos126 2sin 90 sin  36   A Câu 24 1.sin 540 sin 360  A  1sin  360  cos 36 Biểu thức A 1  cot 44 B  tan 2260  cos 4060 cos 3160  cot 720.cot180 có kết rút gọn B C 1 D Lời giải Chọn B  cot 440  tan 460  cos 460  cot 720.tan 720  B  cot 440.cos 460   B    B cos 440 cos 440 12  Câu 25 Cho cos   –     Giá trị sin  tan  13 2 5 5 A  ; B ;  C  ; D ;  13 3 12 13 12 13 12 Lời giải Chọn D  25  12   sin   Do     nên sin   Từ ta có sin    cos        13  13  169 sin   tan    cos  12 Câu 26 2 Biết tan   180    270 Giá trị cos   sin  A  B – C D 1 Lời giải Chọn A Do 180    270 nên sin   cos   Từ 1   tan    cos    cos    Ta có cos  5   sin   tan  cos      5    5 Câu 27 Biểu thức D  cos x.cot x  3cos x – cot x  2sin x không phụ thuộc x A B –2 C D –3 Lời giải Chọn A D  cos x.cot x  3cos x – cot x  2sin x  cos x   cot x  cos x  1 Như vậy, cos   sin     cos x   cot x.sin x  cos x   cos x  Câu 28 Cho biết cot x  Giá trị biểu thức A  2 sin x  sin x.cos x  cos x Trang 7/12 A B C 10 Lời giải D 12 Chọn C  1 2 1   2  cot x   4 sin x A      10 2 2 sin x  sin x.cos x  cos x  cot x  cot x  cot x  cot x   0 0 sin  328  sin 958 cos  508  cos  1022  Câu 29 Biểu thức A  rút gọn bằng:  cot 5720 tan  2120  A 1 B C Lời giải D Chọn A sin  3280  sin 9580 cos  5080  cos  10220  sin 320.sin 580 cos 320.cos 580  A  A  cot 320 tan 320 cot 5720 tan  2120  sin 320.cos 320 cos 320.sin 320    sin 320  cos 320  1 0 cot 32 tan 32 Câu 30 Biểu thức: 2003   A  cos   26   2sin   7   cos1,5  cos      cos   1,5  cot   8  có   kết thu gọn : A  sin  B sin  C  cos  D cos  Lời giải Chọn B   A  cos   26   2sin   7   cos 1,5   cos    2003   cos   1,5  cot   8  2        A  cos   2sin      cos    cos(     cos     cot  2 2 2   A  cos   2sin    sin   sin  cot   cos   sin   cos   sin  3    2 Khi : Câu 31 Cho tan    với 5 A sin    , cos    B sin   , cos   41 41 41 41 5 cos   C sin    D sin   , cos    41 41 41 41 Lời giải Chọn C 16 1 41 25  cos     tan    1     cos   2 cos  25 cos  cos  25 41 41 25 16  sin    sin    cos     41 41 41  cos    cos    3 41    2    sin    sin     41 A Câu 32 Cho cos150  2 Giá trị tan15 : Trang 8/12 A 32 B 2 C  D 2 Lời giải Chọn C   1      tan150   cos 15 2 sin 515 cos  4750   cot 2220.cot 4080 Câu 33 Biểu thức A  có kết rút gọn cot 4150.cot  5050   tan197 0.tan 730 tan 150  A sin 25 B cos 550 cos 250 C D sin 65 Lời giải Chọn C sin 250   sin 250   cot 420.tan 420 sin1550.cos1150  cot 420.cot 480 A  A cot 550.tan 550  cot 550.cot  1450   tan17 0.cot17  sin 250  cos 250  A 2 cos x  Câu 34 Đơn giản biểu thức A  ta có sin x  cos x A A  cos x  sin x B A  cos x – sin x C A  sin x – cos x Lời giải Chọn B 2 2 cos x  cos x   sin x  cos x  cos x  sin x Ta có A    sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x  sin x  cos x Như vậy, A  cos x – sin x Câu 35 Biết sin   cos   Trong kết sau, kết sai ?  A C sin   cos   B sin   cos    A sin  cos   – D A   sin x – cos x D tan   cot   12 Lời giải Chọn D 1   sin   cos      2sin  cos    sin  cos    2  1   2sin  cos         sin   cos     4 Ta có sin   cos     sin   cos   2  1  sin   cos    sin   cos    2sin  cos         4 4 sin   cos   tan   cot     14 2 sin  cos   1    4 2 Như vậy, tan   cot   12 kết sai 4 2 2 Trang 9/12 Câu 36 Tính giá trị biểu thức A  sin x  cos x  3sin x cos x A A  –1 B A  C A  Lời giải Chọn B D A  –4 Ta có A  sin x  cos x  3sin x cos x   sin x    cos x   3sin x cos x 3   sin x  cos x   sin x.cos x  sin x  cos x   sin x cos x  1  tan x  A Câu 37 Biểu thức không phụ thuộc vào x tan x 4sin x cos x 1 B –1 C D  4 Lời giải A Chọn B 1  tan x  A Ta có 2 tan x  2  tan x   1        4sin x cos x tan x tan x  cos x  1  tan x   1  tan x   1  tan x   1  tan x   2 2 2 tan x  4 tan x  1 tan x tan x tan x cos x  sin y  cot x.cot y không phụ thuộc vào x, y Câu 38 Biểu thức B  sin x.sin y A B –2 C D –1 Lời giải Chọn D cos x  sin y cos x  sin y cos x.cos y 2  cot x.cot y   Ta có B  sin x.sin y sin x sin y sin x.sin y  Câu 39 cos x 1  cos y   sin y sin x sin y 2 cos x sin y  sin y sin y  cos x  1    1 sin x sin y 1  cos2 x  sin y Biểu thức C   sin x  cos x  sin x cos x  –  sin x  cos8 x  có giá trị khơng đổi A B –2 C Lời giải D –1 Chọn C Ta có C   sin x  cos x  sin x cos x  –  sin x  cos8 x  2 2   sin x  cos x   sin x cos x  –  sin x  cos x   2sin x cos x      2  1  sin x cos x  –  sin x  cos x   sin x cos x   2sin x cos x   2  1  sin x cos x  – 1  sin x cos x   2sin x cos x  1  sin x cos x  sin x cos x  – 1  sin x cos x  4sin x cos x   2sin x cos x 1 Câu 40 Hệ thức sai bốn hệ thức sau:   sin a  sin a  B     tan a  sin a    sin a sin  cos   cot  sin   cos  cos     C D cos   sin  cos   sin   cot   cos  sin   cos   Lời giải tan x  tan y  tan x.tan y A cot x  cot y Trang 10/12 Chọn D A VT  tan x  tan y  tan x.tan y  VP 1  tan x tany B 1  sin a   1  sin a     2sin a   tan a  VP  sin a  sin a VT   2  sin a  sin a  sin a cos a  sin   cos  sin   cos   cot     VP C VT  cos   sin  sin   cos   cot  98 Câu 41 Nếu biết 3sin x  cos x  giá trị biểu thức A  2sin x  3cos x 81 101 601 103 603 105 605 107 607 A hay B hay C hay D hay 81 504 81 405 81 504 81 405 Lời giải Chọn D 98 98 Ta có sin x  cos x   A  cos x  A  81 81 1  98 1  98 98    sin x  cos x    A   sin 2 x    A    cos 2 x    A   81 2  81 81   2 98  2 98      A     A    81  5 81   2 98  392  A  5 81  405  13 t  45 98 13 0  Đặt A   t  t  t  81 405 t   13 607  A +) t  45 405 107 +) t   A  81 Câu 42 Nếu sin x  cos x  3sin x  cos x 5 5 hay 4 2 2 C hay 5 A 5 5 hay 3 3 D hay 5 Lời giải B Chọn A 1 3   sin x  cos x     sin x.cos x    sin x.cos x   4  1 sin x   Khi sin x, cos x nghiệm phương trình X  X      1 sin x   Ta có sin x  cos x    sin x  cos x   1 5  3sin x  cos x  +) Với sin x  4 sin x  cos x  Trang 11/12 1 5  3sin x  cos x  4 2b Câu 43 Biết tan x  Giá trị biểu thức A  a cos x  2b sin x.cos x  c sin x ac A –a B a C –b D b Lời giải Chọn B A  a  2b tan x  c tan x A  a cos x  2b sin x.cos x  c sin x  cos x   2b   2b  2b  2  A 1  tan x   a  2b tan x  c tan x  A 1    a  2b  c    a  c   ac  ac    +) Với sin x   a  c    2b  A a  c  a  c    2b  A a  c 2 Câu 44 a  a  c   4b  a  c   c 4b 2  a  c a  a  c   4b a 2  a  c   a  a  c   4b 2 a  c   Aa sin  cos  sin  cos8     biểu thức A  a b ab a3 b3 1 1 A B C D 3 a b a b a  b a  b Nếu biết Lời giải Chọn C Đặt cos 1  t   t  t2  b ab a ab ab ab  b 1  t   at   at  bt  2bt  b    a  b  t  2bt  b  ab ab ab b   a  b  t  2b  a  b  t  b   t  ab b a ;sin   Suy cos   ab ab 8 sin  cos  a b     Vậy: 4 3 a b a  b a  b a  b 9     Câu 45 Với , biểu thức : A  cos  + cos       cos     nhận giá trị : 5    A –10 B 10 C D Lời giải Chọn C 9     A  cos  + cos       cos     5     9     4  5     A  cos   cos        cos      cos              9  9 9  7 9      A  cos     cos      cos     cos  cos  cos 10  10 10  10 10  10    Trang 12/12 9   9 7 5 3    A  cos     cos  cos  cos  cos    cos 10   10 10 10 10 10   9    2    9    A  cos     cos cos  cos   A  cos      cos cos   10   5 2 10     3 5 7  sin  sin Câu 46 Giá trị biểu thức A  sin  sin 8 8 A B 2 C D Lời giải Chọn A  3 5 7  cos  cos  cos  cos 4      cos   cos 3  cos 5  cos 7  A   2 4 4  2 2 1  3 3     cos  cos  cos  cos   2 4 4 2sin 25500.cos  1880  Câu 47 Giá trị biểu thức A = :  tan 3680 cos 6380  cos 980 A B C 1 D Lời giải Chọn D 2sin 25500.cos  1880  A  tan 3680 cos 6380  cos 980 2sin  300  7.3600  cos  80  1800  2sin 300.cos80  A    A  tan 80 cos820  sin 80 tan  80  3600  cos  820  2.3600   cos  900  80  2sin 300.cos80 2sin 300.cos80  A   A  tan 80 2sin 80  sin 80 tan 80 cos  900  80   sin 80 1.cos80  cot 80  cot 80  sin Câu 48 Cho tam giác ABC mệnh đề : BC A A B C  sin tan   III  cos  A  B – C  – cos 2C   I  cos  II  tan 2 2 Mệnh đề : A Chỉ  I  B  II   III  C  I   II  D Chỉ  III   A  cot 80  Lời giải Chọn C +) Ta có: A  B  C    B  C    A  BC  A   2 A  BC   A cos  nên  I    cos     sin   2 2 A B  C   +) Tương tự ta có: 2 A B C A B C C C  C  tan  tan     cot  tan tan  cot tan  2 2 2 2 2 nên  II   I +) Ta có Trang 13/12 A  B  C    2C  cos  A  B  C   cos   2C    cos  2C   cos  A  B  C   cos  2C   nên  III  sai Câu 49 Cho cot   3 với      Khi giá trị tan B 2 19 A 19   cot  C  19 Lời giải : D 19 Chọn A 1  sin      cot    18  19  sin   sin  19 19 Vì       sin    sin   19 Suy tan   cot   sin  sin  cos  cos     19 sin  2 tan a  sin a Câu 50 Biểu thức rút gọn A = : cot a  cos a A tan a B cos a C tan a D sin a Lời giải Chọn A   sin a   1 2 2 tan a  sin a cos a  tan a.tan a   A   tan a A 2 cot a cot a  cos a   cos   1  sin a  Trang 14/12 ... + – g) Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc a sin a cosa tan a cot a p p p p 2p 3p p 3p 2p 00 300 450 600 900 12 0 0 13 50 18 00 27 00 3600 2 3 2 ? ?1 2 2 - ? ?1 3 || - ? ?1 || || 3 - 3 ? ?1 || || - 2 Các hệ... sin144  cos 12 6 Câu 22 D A  Trang 6/ 12 B ? ?2 A D ? ?1 C Lời giải Chọn C  sin 23 40  sin 12 6 0 ? ?2 cos1800.sin 540 A tan 36  A  tan 360 0 0 cos 54  cos 12 6 2sin 90 sin  36   A Câu 24 ? ?1. sin... B    B cos 440 cos 440 12  Câu 25 Cho cos   –     Giá trị sin  tan  13 2 5 5 A  ; B ;  C  ; D ;  13 3 12 13 12 13 12 Lời giải Chọn D  25  12   sin   Do     nên