2 giá trị lượng giác của một cung PI 27tr đặng việt đông image marked

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC - CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG  Định nghĩa   Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM   (cịn viết ) y B K a M A' H A x O B'  Tung độ y  OK điểm M gọi sin  kí hiệu sin  sin   OK  Hoành độ x  OH điểm M gọi côsin  kí hiệu cos  cos   OH  Nếu cos   0, tỉ số tan   sin  cos   Nếu sin   0, tỉ số cotg  ): cot   cos  sin  sin  gọi tang  kí hiệu tan  (người ta cịn dùng kí hiệu tg  ) cos  cos  gọi cơtang  kí hiệu cot  (người ta cịn dùng kí hiệu sin  Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác cung  Ta gọi trục tung trục sin, cịn trục hồnh trục côsin Hệ 1) sin  cos  xác định với    Hơn nữa, ta có sin   k 2   sin  , k  ; cos   k 2   cos  , k   2) Vì   OK  1; 1  OH  nên ta có 1  sin   1  cos   3) Với m   mà 1  m  tồn   cho sin   m cos   m  4) tan  xác định với    k  k    5) cot  xác định với   k  k     6) Dấu giá trị lượng giác góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM   đường tròn lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư I II III IV cos      sin      tan      cot      Giá trị lượng giác Mẹo ghi nhớ: “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” Giá trị lượng giác cung đặc biệt     3 450 2 2 600 2 900 300 tan a 3 cot a || Góc  00 sin  cos 2 3  3 2 1200 1350 2 1800 2700 3600 –1 0 –1 || - –1 || 3 - 3 –1 || || - 2 II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học tan  Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc A Gọi T giao điểm OM với trục t ' At  tan  biểu diễn độ dài đại số vectơ AT trục t 'At Viết: tan   AT Trục t 'At gọi trục tang y M a O t A x T t' Ý nghĩa hình học cot  Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số cách chọn gốc B Gọi S giao điểm OM với trục s 'Bs  cot  biểu diển độ dài đại số vectơ BS trục s 'Bs Viết: cot   BS Trục s 'Bs gọi trục côtang s' B y s S a M x O Nhận xét: tan   k   tan  , k  ; cot   k   cot  , k   III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác Đối với giá trị lượng giác, ta có đẳng thức sau sin   cos   sin   ,    k , k   tan   cos  cos  ,   k , k   cot   sin  k tan  cot   1,   , k    tan   ,    k , k   cos  1  cot   ,   k , k   sin  Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt Góc đối (   ) Góc bù nhau(     ) cos( )  cos  sin(   )  sin  sin( )   sin  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot    sin      2    cos      2    tan      2    cot      2  Góc Góc  (     ) Góc phụ nhau(   (   2   sin      cos  2    cos       sin  2    tan       cot  2    cot       tan  2  sin(   )   sin  cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot    ) cos  sin  cot  tan   ) Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo,  tang  côtang, chéo sin" Với ngun tắc nhắc đến giá trị cịn khơng nhắc đối B CÁC DẠNG TỐN: DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG PHÁP: Dấu giá trị lượng giác góc  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối (điểm  ngọn) cung AM   đường trịn lượng giác Vì cần xác định vị trí điểm M đường trịn lượng giác sử dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Vị trí điểm M thuộc góc phần tư I II III IV cos      sin      tan      cot      Giá trị lượng giác II VÍ DỤ MINH HỌA: Cho      Xác định dấu biểu thức sau:  3    b) tan    14 d) sin cot       a) sin     2     c) cos      tan       Lời giải 3    sin      2 2   3   3     b) Ta có             tan  2   a) Ta có c) Ta có            0  Và                cos           tan         Vậy cos      tan        3 14 14 d) Ta có   2  sin 0 9  3         2 suy cot      2 14 Vậy sin cot      III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM: Câu Điểm cuối  thuộc góc phần tư thứ đường tròn lượng giác Hãy chọn kết kết sau A sin   B cos   C tan   D cot   Câu Điểm cuối  thuộc góc phần tư thứ ba đường trịn lượng giác Khẳng định sau sai ? A sin   B cos   C tan   D cot   Câu Điểm cuối  thuộc góc phần tư thứ tư đường tròn lượng giác Khẳng định sau ? A sin   B cos   C tan   D cot   Câu Điểm cuối góc lượng giác  góc phần tư thứ sin  , cos  dấu? A Thứ II B Thứ IV C Thứ II IV D Thứ I III Câu Điểm cuối góc lượng giác  góc phần tư thứ sin  , tan trái dấu? A Thứ I B Thứ II IV C Thứ II III D Thứ I IV Câu Điểm cuối góc lượng giác  góc phần tư thứ cos    sin  A Thứ II B Thứ I II C Thứ II III D Thứ I IV Câu Điểm cuối góc lượng giác  góc phần tư thứ sin   sin  A Thứ III B Thứ I III C Thứ I II D Thứ III IV 5 Câu Cho 2    Khẳng định sau đúng? A tan   0; cot   B tan   0; cot   C tan   0; cot   D tan    cot   Câu Cho     Khẳng định sau đúng? A sin      Câu 10 Cho    B sin         A cot      2  Câu 11 Cho  2 C sin      D sin      Khẳng định sau đúng?   B cot      2  C tan      D tan          Giá trị lượng giác sau dương ?   B cot     C cos    D tan     2  3     Khẳng định sau đúng?   3          B tan       3          D tan             Xác định dấu biểu thức M  cos      tan       A sin     Câu 12 Cho  3 A tan    3 C tan   Câu 13 Cho A M  B M  C M  D M  3   Câu 14 Cho     Xác định dấu biểu thức M  sin     cot     2  A M  B M  C M  D M  Câu 15 Cho tam giác ABC có góc A tù Cho biểu thức sau: (1) M  sin A  sin B  sin C A B C (3) P  cos sin cot 2 (2) N  cos A.cos B.cos C (4) Q  cot A tan B cot C Số biểu thức mang giá trị dương là: A B IV HƯỚNG DẪN GIẢI : C D sin   cos        Chọn A Câu Điểm cuối thuộc góc phần tư thứ  tan     cot   sin   cos        Chọn A Câu Điểm cuối thuộc góc phần tư thứ hai  tan     cot   sin   cos        Chọn B Câu Điểm cuối thuộc góc phần tư thứ hai  tan     cot   Câu Chọn D Câu Chọn C Câu Ta có cos    sin   cos   cos   cos   cos   cos Đẳng thức cos   cos    cos     điểm cuối góc lượng giác  góc phần tư thứ I IV Chọn D Câu Ta có sin   sin   sin   sin  Đẳng thức sin   sin    sin     điểm cuối góc lượng giác  góc phần tư thứ I II Chọn C Câu Ta có 2    5   điểm cuối cung    thuộc góc phần tư thứ I  tan     Chọn A cot      điểm cuối cung    thuộc góc phần tư thứ III   Câu 9.Ta có             2 sin      Chọn D Câu 10 Ta có :                  cot        2 2   0            3   tan        2 Chọn D Câu 11 Ta có   sin       sin  ; cot      sin  ; cos     cos  ; tan      tan  2  sin     Do      cos     Chọn B  tan      3  sin      3  3        tan  3     Câu 12 Ta có     0       2   cos  3         Chọn B Câu 13 Ta có :                   cos        2 2                   tan       2   M  Chọn B Câu 14 Ta có :  3 3                      sin        2 2 2       3  2      5   cot        2   M  Chọn D Câu 15 Ta có: A tù nên cos A  0;sin A  0; t anA  0;cot A  Do đó: M  0; N  0; P  0; Q  Chọn B DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC I PHƯƠNG PHÁP :  Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác  Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt  Sử dụng hệ thức lượng giác II VÍ DỤ MINH HỌA : 3   Ví dụ : Cho cos   Khi sin       A  B  3 C D Lời giải Chọn C 3  Ta có sin             sin     2   sin      cos   2     Ví dụ 2: Cho cos150  A 32 2 Giá trị tan15 : B 2 C  D 2 Lời giải Chọn C         tan150   cos 15 2 3 Ví dụ : Cho tan    với    2 Khi : 5 A sin    , cos    B sin   , cos   41 41 41 41 5 cos   C sin    D sin   , cos    41 41 41 41 tan 150  Lời giải Chọn C 16 1 41 25  cos     1     cos   2 cos  25 cos  cos  25 41 41 3    2  cos    cos   41  sin    41  tan   III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho biết tan   Tính cot  A cot   B cot   C cot   D cot     Câu Tính giá trị cos    2k  1   4      A cos    2k  1     B cos    2k  1     2 4  4    C cos    2k  1     4    D cos    2k  1    4  12  Câu Cho góc  thỏa mãn sin       Tính cos  13 5 A cos   B cos   C cos    D cos    13 13 13 13 3 Câu Cho góc  thỏa mãn cos        Tính tan  3 B tan   A tan    C tan    D tan    5 5 2017 2019 Câu Cho góc  thỏa mãn tan    Tính sin    2 3 4 A sin    B sin   C sin    D sin   5 5 12  Câu Cho góc  thỏa mãn cos        Tính tan  13 12 5 12 A tan    B tan   C tan    D tan   12 12  Câu Cho cos   với    Tính sin  1 3 A sin   B sin    C sin   D sin    5 5 Câu Cho góc  thỏa mãn tan   180o    270o Tính P  cos   sin  5 1 B P   A P   C P  D P  2 Câu Cho góc  thỏa sin   90O    180O Khẳng định sau đúng? 4 A cot    B cos  C tan   D cos   5 Câu 10 Cho góc  thỏa cot  0O    90O Khẳng định sau đúng? 4 4 A cos   B cos  C sin   D sin   5 5   7    Câu 11 Cho góc  thỏa mãn sin           Tính P  tan    2 A P  2 B P  2 C P  D P   4 Câu 12 Cho góc  thỏa mãn 3cos   2sin   sin   Tính sin  12 A sin    B sin    C sin    D sin    13 13 13 13 DẠNG 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ I PHƯƠNG PHÁP :  Từ hệ thức lượng giác mối liên hệ hai giá trị lượng giác, biết giá trị lượng giác ta suy giá trị lại Cần lưu ý tới dấu giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp  Sử dụng đẳng thức đáng nhớ đại số II VÍ DỤ MINH HỌA : tan a + cot a Tính giá trị biểu thức A = tan a + cot a sin a - cos a b) Cho tan a = Tính giá trị biểu thức B = sin a + cos3 a + sin a cot   tan  c) Cho sin   900    1800 Tính giá trị biểu thức C  tan   3cot  Ví dụ 1: a) Cho cos a = Lời giải 1 +2 2 tan a + tan a cos a = = a) Ta có A = = + cos2 a 1 tan2 a + tan a + tan a cos2 a 17 Suy A = + = 9 sin a cos a tan a ( tan2 a + ) - ( tan2 a + ) 3 cos a cos a = b) B = sin a cos3 a sin a tan a + + tan a ( tan2 a + ) + + cos3 a cos3 a cos3 a ( + 1) - ( + 1) = Suy B = 27 + + 2.3 ( + ) tan a +  cos   16 c) sin   cos    cos  =1  sin      25 25 cos    4 Vì 900    1800  cos   Do đó: tan    cot    4  3      cot   tan     2  C tan   3cot    57       3 Ví dụ 2: Cho sin a - cos4 a = Lời giải Ta có sin a - cos4 a = Tính A = sin a - cos4 a  sin a - ( - sin2 a ) =  sin a - ( - sin2 a + sin a ) =  sin a + sin2 a - =  ( sin2 a - )( sin2 a + ) =  sin2 a - = (Do sin2 a + > ) Suy sin2 a = Ta lại có cos2 a = - sin2 a = - ổ1ử ổ1ử Suy A = ỗỗ ữữữ - ỗỗ ữữữ ỗố ứ ỗố ứ 2 1 = 2 Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m Tính sin x cos x sin x - cos4 x Lời giải *) Ta có ( sin x + cos x ) = sin2 x + sin x cos x + cos2 x = + sin x cos x (*) Mặt khác sin x + cos x = m nên m = + sin a cos a hay sin a cos a = *) Đặt A = sin x - cos4 x Ta có A= ( sin2 x + cos2 x )( sin2 x - cos2 x ) m2 -   sin x  cos x  sin x  cos x   A2 = ( sin x + cos x ) ( sin x - cos x ) = ( + sin x cos x )( - sin x cos x ) 2 æ m - ửổ ữữ ỗỗ - m - ö÷÷ = + 2m - m  A2 = çç + çè ÷øèç ø÷ Vậy A = + 2m - m III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM p p < a < Tính P = tan a - tan a + 1 7 A P = - B P = C P = D P = - 3 3 ỉ p ư÷ ỉ p pư Câu Cho góc a thỏa mãn < a < 2p v tan ỗỗỗa+ ữữ = Tớnh P= cos ỗỗỗa - ữữữ + sin a ố 4ø è 6ø Câu Cho góc a thỏa mãn cos a = A P = +3 B P = Câu Cho góc a thỏa mãn ỉ pư P = sin çça + ÷÷÷ + cos a çè 6ø A P = C P = p < a < 2p B P = Câu Cho góc a thỏa mãn tan a = - Câu B P = 31 11 D P = æ pử -3 v cot ỗỗỗa + ÷÷÷ = - Tính giá trị biểu thức è 3ø C P = -1 p < a < p Tính 3 sin a - cos a P= sin a - cos a D P = - 32 34 D P = 11 11 3sin a - cos a Cho góc a thỏa mãn tan a = Tính P = 5cos a + sin a 4 4 A P = - B P = C P = - D P = 9 19 19 A P = 30 11 C P = Câu Cho góc a thỏa mãn cot a = Tính P = A P = - 15 13 B P = 15 13 3sin a + cos a sin a - 5cos a C P = -13 D P = 13 Câu Cho góc a thỏa mãn tan a = Tính P = sin a - cos a A P = × 13 B P = 10 × 13 C P = 11 × 13 D P = 12 × 13 Câu Cho góc a thỏa mãn sin a + cos a = Tính P = sin a.cos a A P = × 16 B P = × 32 Câu Cho góc a thỏa mãn sinacosa = A P = 91 × 125 B P = 49 × 25 Câu 10 Cho góc a thỏa mãn < a < A P = C P = × p D P = × 12 sina + cosa > Tính P = sin a + cos3 a 25 C P = × D P = × sin a + cos a = Tính P = sin a - cos a B P = × C P = - × D P = - Câu 11 Cho góc a thỏa mãn sin a + cos a = m Tính P = sin a - cos a A P = - m B P = - m D P = - m C P = m - Câu 12 Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = Tính P = tan a + cot a A P = B P = C P = D P = Câu 13 Cho góc a thỏa mãn tan a + cot a = Tính P = tan a + cot a A P = 100 B P = 110 C P = 112 Câu 14 Cho góc a thỏa mãn sin a + cos a = A P = 12 B P = 14 Câu 15 Cho góc a thỏa mãn A P = p