CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm số

CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm sốCÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8 Hàm số

1 Website: tailieumontoan.com CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Dạng 8: Hàm số: Hàm số bậc A Bài toán Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng ( d ) : y = ( m + 2) x − m + ( d ') : x + ( m + 2) y = m + m tham số Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nói thuộc đường cố định m thay đổi Bài 2: Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên nhiều công ty mời làm việc, có hai cơng ty A B Để thu hút người tài, hai cơng ty đưa hình thức trả lương thời gian thử việc sau: Cơng ty A: Anh Bình nhận 1400 USD ký hợp đồng thử việc tháng trả lương 1700USD Cơng ty B: Anh Bình nhận 2400 USD ký hợp đồng thử việc tháng trả lương 1500USD Em tư vấn giúp anh Bình lựa chọn cơng ty để thử việc cho tổng số tiền nhận nhiều Biết thời gian thử việc hai công ty từ tháng đến tháng Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y = − x + y = x 2 a) Vẽ đồ thị (D) (L) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vuông Bài 4:Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình ( m − ) x + ( m − 3) y = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn ( ) Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm đường thẳng y = 2x + điểm M x;y cho y2 - 5y x + 6x = Bài 6: Cho hàm số y = ax+b (a khác 0) có đồ thi (d) Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) qua điểm A(1;2) cắt trục hoành điểm B có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm C có tung độ dương thỏa mãn ( OB + OC ) nhỏ (O gốc tọa độ) Bài 7: Cho hàm số y = x2 − 6x + − x − có đồ thị (D) a) Vẽ đồ thị (D) hàm số Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com b) Với giá trị m phương trình x2 − 6x + − x − = m vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm bất phương trình Bài 8: Cho hàm số y = x Tìm giá trị m để đường thẳng ∆ có phương trình y = x − m cắt 4 đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) thoả mãn: ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 18 Bài 9: (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y = mx + 2m − ( m tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn Bài 10: a) Cho hàm số bậc nhất: y = 0, x + , y = − x y = mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (∆m) Với giá trị tham số m đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q= 1 + OM ON B Lời giải Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng ( d ) : y = ( m + 2) x − m + ( d ') : x + ( m + 2) y = m + m tham số Chứng minh giao điểm hai đường thẳng nói thuộc đường cố định m thay đổi Lời giải Nhận xét A ( 1; 3) ∈ ( d ) ; B ( 0;1) ∈ ( d ' ) • • Với m = −2 : ( d ) : y = ( d ') : x = vng góc với x +1 Với m ≠ −2 : ( d ') : y = − m+2   Khi ta có a.a ' = ( m + 2)  − ÷ = −1⇒ ( d ) ⊥ ( d ' )  m + 2 Vậy ( d ) ⊥ ( d ') với m Vậy giao điểm hai đường thẳng nói nhìn đoạn AB cố định góc vng nên thuộc đường trịn đường kính AB m thay đổi Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài 2: Anh Bình vừa tốt nghiệp loại xuất sắc nên nhiều công ty mời làm việc, có hai cơng ty A B Để thu hút người tài, hai công ty đưa hình thức trả lương thời gian thử việc sau: Cơng ty A: Anh Bình nhận 1400 USD ký hợp đồng thử việc tháng trả lương 1700USD Công ty B: Anh Bình nhận 2400 USD ký hợp đồng thử việc tháng trả lương 1500USD Em tư vấn giúp anh Bình lựa chọn công ty để thử việc cho tổng số tiền nhận nhiều Biết thời gian thử việc hai công ty từ tháng đến tháng Lời giải Gọi x (tháng) số tháng thử việc anh Bình (x ∈ N * , ≤ x ≤ 8) Gọi y (USD) số tiền anh Bình nhận sau x tháng thử việc Theo cơng ty A số tiền anh Bình nhận được: y = 1400 + 1700x (d1) Theo công ty B số tiền anh Bình nhận được: y = 2400 + 1500x (d2 ) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (d1) : 1400 + 1700x = 2400 + 1500x ⇔ x = ⇒ y = 9900 Xét đồ thị biễu diễn hai hàm (d1) (d2 ) sau: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Căn vào đồ thị, ta tư vấn cho anh Bình sau: +Nếu thử việc từ đến tháng anh Bình nên chọn cơng ty B thu tiền nhiều +Nếu thử việc từ tháng anh Bình nên chọn cơng ty A thu tiền nhiều +Nếu thử việc tháng anh Bình chọn cơng ty thu tiền Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y = − x + y = x 2 a) Vẽ đồ thị (D) (L) (D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vuông Giải:  x = ⇒ y = a)Đồ thị y = − x + có :  2  y = ⇒ x =  x x ≥ Đồ thị y = x =  − x x ≤ Đồ thị hình vẽ: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com y N (L) (D) 3/2 -3 O M x b) Đồ thị (D) (L) cắt hai điểm có tọa độ M(1; 1) N( - 3; 3) Ta có: OM = 12 + 12 = ⇒ OM2 = ON = 32 + (−3)2 = ⇒ ON2 = 18 MN = (1 − 3) + (1 + 3) = 20 ⇒ MN2 = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 Vậy: tam giác OMN vuông O Bài4:Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình ( m − ) x + ( m − 3) y = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn Giải: Xét pt: ( m − ) x + ( m − 3) y = Ta thấy: ( m − ) + ( m − 3) = ≠ nên (d) qua O(0;0) + m = ta y = nên K/c từ (d) đến O y = + m = ta x = - nên K/c từ (d) đến O x = −1 = 1     ,0 ÷ cắt Oy B  0, + m ≠ 3; m ≠ (d) cắt Ox A  ÷  m −3  m−4  Kẻ OH vng góc với (d) H; ta có K/c từ O đến (d) OH Dựa vào ΔOAB vuông O 7 1  2 = (m − 4) + (m − 3) =  m − ÷ + ≥ OH 2 2  Suy được: OH ≤ Suy khoảng cách từ O đến (d) lớn OH = m = ( ) Bài 5: Trong hệ trục tọa độ Oxy, tìm đường thẳng y = 2x + điểm M x;y cho y2 - 5y x + 6x = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Giải: éy = x ê Ta có y - 5y x + 6x = Û ê êy = x ë Với y = x Þ 2x + = x Û x + ( ) x - = , khơng có x thỏa mãn é x =1 ê Û Với y = x Þ 2x + = x Û ê êx =1 ê ë éx = ê ê êx = ê ë ỉ 3ư ÷ ỗ ; ữ T ú tỡm c cỏc im tha l M ( 1;3) hoc M ỗ ữ ữ ỗ ố4 2ứ Bi 6: Cho hm s y = ax+b (a khác 0) có đồ thi (d) Lập phương trình đường thẳng (d), biết (d) qua điểm A(1;2) cắt trục hoành điểm B có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm C có tung độ dương thỏa mãn ( OB + OC ) nhỏ (O gốc tọa độ) Lời giải Do (d) qua điểm A(1;2) nên (d) có dạng y = ax + 2− a  a−  ;0÷ cắt trục Oy C ( 0;2 − a) Có (d) cắt trục Ox B   a  Vì điểm B có hồnh độ dương C có tung độ dương nên a ⇔m< + Khi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) + Theo định lí Viet x1 + x2 = 1, x1 x2 = m Ta có y1 = x1 − m, y2 = x2 − m 4 2 + ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 18 ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ [( x1 + x2 ) − x1 x2 ] =  m = (k ot / m) + Tìm  m = − (t / m)  KL: Bài 9: (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y = mx + 2m − ( m tham số) c) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H d) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn Giải: a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H Gọi H ( x0 ; y0 ) điểm cố định qua d m với m H ( x0 ; y0 ) ∈ d m với m Ta có: y0 = mx0 + 2m − ⇔ y0 + = ( x0 + ) m Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x + =  x = −2 ⇔ ⇔ Vậy H (−2; −1) y + = y = − 0   b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m h( A, dm ) = m − + 2m − m2 + = m −1 m2 + Do ( ( m − 1) ≤ ( m + 1) ⇒ ≤3 m −1 m2 + ≤ ) Dấu “ = ” xảy m = −1 Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn m = −1 Bài 1: a) Cho hàm số bậc nhất: y = 0,5 x + , y = − x y = mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (∆m) Với giá trị tham số m đường thẳng (∆m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q= 1 + OM ON Lời giải a) Điều kiện để (∆m) đồ thị hàm số bậc m ≠ Phương trình hồnh độ giao điểm (d1) (∆m) là: 0,5 x + = mx ⇔ (m − 0, 5) x = Điều kiên để phương trình có nghiệm âm m − 0,5 < hay m < 0,5 Phương trình hồnh độ giao điểm (d2) (∆m) là: − x = mx ⇔ ( m + 1) x = Điều kiên để phương trình có nghiệm dương m + > hay m > −1 Vậy điều kiện cần tìm là: −1 < m < 0,5; m ≠ b) Đặt m = xM n = yN ⇒ m⋅ n ≠ m ≠ Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 (*) Website: tailieumontoan.com 0 = am + b  Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b⇒ 2 = a + b ⇒ hệ thức liên hệ m n = b  n 2m + n = mn Chia hai vế cho m⋅ n ≠ ta được: + =1 m n (**) 2 4   1  ⇒ =  + ÷ = + + =  + ÷−  − ÷ m n mn m n m n  m n ⇒Q = 1 + ≥ ; dấu “=” xảy = ; kết hợp (**): m = 5, n = 2,5 (thỏa (*)) m n m n Lời giải Hàm số bậc hai A Bài toán Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol ( P ) : y = a) Vẽ đồ thị ( P ) x b) Trên ( P ) lấy điểm A có hồnh độ x A = −2 Tìm tọa độ điểm M trục Ox cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất, biết B ( 1;1) Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm (P) Gọi M điểm thay đổi (P) có hồnh độ m ( −1< m < 3) Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn Bài 3: Cho parabol ( P ) : y = ax Tìm điều kiện a để ( P ) có A ( x0 ; y0 ) với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện x02 + − y0 + = x0 − y0 + B Lời giải Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol ( P ) : y = a) Vẽ đồ thị ( P ) x b) Trên ( P ) lấy điểm A có hồnh độ x A = −2 Tìm tọa độ điểm M trục Ox cho MA − MB đạt giá trị lớn nhất, biết B ( 1;1) Lời giải a) Bảng giá trị Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 10 x y = x2 −4 −2 Website: tailieumontoan.com b) Vì A ∈ ( P ) có hồnh độ x A = −2 nên y A = ⇒ A ( −2;2 ) Lấy M ( xM ;0 ) thuộc Ox , ta có: MA − MB ≤ AB Dấu “ =” xảy điểm A , B , M thẳng hàng M giao điểm đường thẳng AB trục Ox Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng: y = ax + b Do A , B thuộc đường thẳng AB nên ta có: −1  a=   −2 a + b =  ⇔  a + b = b =  ⇒ Phương trình đường thẳng AB là: y = −1 x+ 3 Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng AB Ox là: −1 x+ =0⇔ x=4 3 ⇒ M ( 4;0 ) Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm (P) Gọi M điểm thay đổi (P) có hồnh độ m ( −1< m < 3) Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn Giải: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 14 Website: tailieumontoan.com Bài 18: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = mx + (m tham số thực) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10 Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 ( a ≠ ) đường thẳng (d): y = bx + 1) Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2) Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Bài 20: Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB B Lời giải x có đồ thị ( P ) điểm A ( 2;2 ) Gọi d m đường thẳng qua A có hệ số góc m Tìm tất giá trị m để d m cắt đồ thị ( P ) hai điểm A B, đồng thời cắt Bài 1: Cho hàm số y = trục Ox điểm C cho AB = AC Lời giải a) Bảng giá trị x y = −x −2 −4 −1 −1 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 0 −1 −4 15 Website: tailieumontoan.com b) Phương trình hồnh độ giao điểm A , B đường thẳng ( d ) : y = − x − ( P ) là: − x − = − x2 ⇔ x2 − x − = Giải phương trình ta được: x = −1 x = x = −1 ⇒ y = −1 ⇒ A ( −1; − 1) x = ⇒ y = −4 ⇒ B ( 2; − )  −5  Gọi I trung điểm AB ⇒ I  ; ÷ 2  Đường thẳng ( d ′) vuông góc với ( d ) I có dạng: y = x + b Vì ( d ′) qua I ⇒ −5 = + b ⇔ b = −3 2 ⇒ ( d ′) : y = x − Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ′) ( P ) là: x − = − x2 ⇔ x2 + x − = ⇔ x = x= −1 − 13 −7 − 13 ⇒y= 2 x= −1 + 13 −7 + 13 ⇒y= 2 −1 ± 13  −1 − 13 −7 − 13   −1 + 13 −7 + 13  ; ; Vậy có hai điểm M cần tìm là: M  ÷ M  ÷ 2 2     Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 16 Website: tailieumontoan.com Bài 2: Cho hàm số y = x có đồ thị ( P ) hàm số y = x + m + có đồ thị ( d ) Tìm m để ( P) ( d ) tiếp xúc Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: 2x = x + m + ⇔ x − x − m − = ∆′ = ( −3) − 2( − m − 4) = 17 + 2m ( P) ( d ) tiếp xúc ⇔ ∆′ = 17 + 2m = ⇔ m = − 17 2 Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy , tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx − m + cắt parabol ( P ) : y = x hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: 2x = mx − m + ⇔ x − mx + m − = ∆ = m − 4.2( m − 2) = m − 8m + 16 = ( m − 4)2 Đường thẳng ( d ) : y = mx − m + cắt parabol ( P ) : y = x hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung  ∆ = (m − 4) > m ≠  b m   ⇔  S = x1 + x2 = − = > ⇔ m > ⇔ m > 2; m ≠ a  m >  c m−2  P = x x = = >  a Bài 4: Gọi đồ thị hàm số y = x parabol ( P ) , đồ thị hàm số y = ( m + ) x − 2m − đường thẳng ( d ) a) Tìm giá trị m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Khi ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A , B có hồnh độ x1 , x2 Tìm giá trị 3 m cho x1 + x2 = Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x = ( m + ) x − 2m − ⇔ x − ( m + 4) x + 2m + = ( 1) ∆ =  − ( m − )  − ( 2m + 5) = ( m + ) − ( 2m + 5) = m − = ( m − ) ( m + ) 2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 17 (d) Website: tailieumontoan.com cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ ∆ >  m + >  m − > m > m − > ⇔ ( m − 2) ( m + 2) > ⇔  ⇔ ⇔  m + < m + <  m < −2   m − < b) Với m > 2; m < −2 phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2  x1 + x2 = m + Theo Viet ta có:   x1 x2 = 2m + x13 + x23 = ⇔ ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  =   ⇔ ( m + )  ( m + ) − ( m + 5)  =   ⇔ ( m + ) ( m + 1) = ⇔ m = −4 (nhận) m = −1 (loại) Vậy m = −4 giá trị cần tìm Bài 5: Tìm tất giá trị tham số m cho parabol ( d ) : y = mx − ( P) : y = x2 điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) thỏa mãn y1 + y2 = ( x1 + x2 ) − Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x = mx − ⇔ x − mx + = ∆ = m2 − ( P) cắt đường thẳng cắt đường thẳng ( d ) điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) ⇔ ∆ > ⇔ m − > ⇔ m < −2 m > 2 Áp dụng định lí Vi – ét, ta có:  x1 + x2 = m   x1 x2 = Ta có: y1 + y2 = ( x1 + x1 ) − ⇔ mx1 − + mx2 − = ( x1 + x2 ) − ⇔ ( m − ) ( x1 + x2 ) − = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 18 Website: tailieumontoan.com ⇔ m ( m − 2) − = ⇔ m − 2m − = ⇔ m = −1 (loại) m = (nhận) Vậy m = giá trị cần tìm Bài 6: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( m − 1) x + m + (tham số m ) a) Với m = , tìm tọa độ giao điểm ( P ) ( d ) b) Tìm m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm nằm hai phía trục tung Lời giải a) Với m = , ta có: ( d ) : y = x + Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là:  x = −2 x2 = x + ⇔ x2 − x − = ⇔  x = x = −2 ⇒ y = x = 3⇒ y = Vậy tọa độ giao điểm ( P ) ( d ) là: ( −2;4 ) ( 3;9 ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) là: x = ( m − 1) x + m + ⇔ x − ( m − 1) x − m − = ( 1) (d) cắt ( P ) hai điểm nằm hai phía trục tung ⇔ Phương trình ( 1) có nghiệm trái dấu ⇔ −m − < ⇔ m > −4 Bài 7: Cho hàm số y = x có đồ thị ( P ) điểm A ( 2;2 ) Gọi d m đường thẳng qua A có hệ số góc m Tìm tất giá trị m để d m cắt đồ thị ( P ) hai điểm A B, đồng thời cắt trục Ox điểm C cho AB = AC Lời giải Cách Đường thẳng d m có phương trình y = m ( x − ) + qua điểm A ( 2;2 ) ( P ) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 19 Website: tailieumontoan.com Hình chiếu vng góc C lên Oy O ( 0;0 ) , A lên Oy A ' ( 0;2 ) ,  b2   b2  B  b; ÷ lên Oy B '  0; ÷  2  2 Theo định lí Thales có : = AB A ' B ' ⇒ A ' B ' = A 'O = AC A ' O Suy A’B’ = ⇒ OB’ = ⇒ b2 = ⇒ b = ±4 Nếu b = 4, vào d m tìm m = 3; Nếu b = -4, vào d m tìm m = -1 Cách Phương trình đường thẳng d m y = mx − 2m + ⇒ tọa độ điểm C  2m −  C ;0 ÷  m  Phương trình hồnh độ giao điểm d m ( P ) : x − 2mx + 4m − = (1) Vì A ( 2;2 ) thuộc ( P ) d m nên (1) có nghiệm x A = ⇒ B ( 2m − 2;2m − 4m + ) AB = ( m − ) ( m + 1) , AC = 2 = ( m + 1) 2 ( m + 1) m từ AB = 3AC ⇔ ( m − ) (m + 1) m2 ⇔ ( m − ) m = ⇔ m ( m − ) = ±3 ⇔ m = -1 m = Kết luận Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = x đường thẳng x + Gọi A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) (với x A < x B ) giao điểm (P) (d), C(x C ; y C ) điểm thuộc (P) cho x A < x C < x B Tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC Lời giải (d): y = Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x = x + ⇔ x = −2, x = 2  9 Các giao điểm A( −2; 2) B  3; ÷  2 Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 20 Website: tailieumontoan.com  x  Gọi C  x C ; ÷ với −2 < x C < Gọi A′, B′, C′ theo thứ tự hình chiếu A, B,   C trục hồnh Ta có 1 9 1 x2   x2  SABC = SABB′A′ SACCA SBCCB = + ữì5 + C ữì(x C + 2) + C ÷(3 − x C ) 2 2 2  2 2  C 5 15 = − x C2 + x C + 4 2 125   125 −  xC − ÷ ≤ Ta có SABC = 16  2 16 Vậy diện tích tam giác ABC lớn 125 x C = 16 2 Bài 9: Cho parabol ( P ) : y = 2ax ( a > ) đường thẳng d : y = x − 2a Tìm a để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt M , N có hồnh độ xM , xN cho K = + đạt giá xM + xN xM xN trị nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ ( P ) d là: 2ax = x − a ⇔ 2ax − x + 2a = ( *) Để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt M , N ( *) phải có hai nghiệm phân biệt , nghĩa ∆ > ⇒ ( −4 ) − 4.2a.2a > ⇒ 16 − 16a > ⇒ − a3 > ⇒ ( 1− a ) ( + a + a2 ) >   3 ⇒ ( − a )  a + ÷ +  >    ⇒ < a  (m + 1)2 – 4m >  (m – 1)2 >  m ≠ Xét PT hồnh độ, có a + b + c = – m – + m = => x1 = ; x2 = m => y1 = ; y2 = m2 => A( 1;1); B(m ; m2) Phương trình đường thẳng qua O A y = x Phương trình đường thẳng qua O B y = mx Đường thẳng OA vng góc với đường thẳng OB  m = -1  m = -1 Vậy với m = -1 đường thẳng parabol cắt điểm phân biệt A B cho OA vuông góc với OB Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : y = ( x + 1) − m − đường m −m 3m x + m2 − + (m tham số thực khác 0) 2 a) Chứng minh với giá trị m khác hai đường thẳng d1 d2 ln cắt điểm b) Gọi M(x;y) giao điểm d1 d2 Tìm m để biểu thức P = x − y + xy + 2n + y đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d1)và (d2) là: −m 3m ( x + 1) − m − = x + m2 − +3 m 2 m 3m x( + ) = m − + + m +1− m 2 m 4+m 2m − m + 8m − x = 2m 2m (4 + m ) x = (2m − 1)(4 + m ) x = 2m − => y = ( x + 1) − m − = − m m Vậy hai đường thẳng cắt điểm M(2m-1;3-m) ∀ m b) Theo câu a ta có x = 2m – 1; y = – m Thay vào P, ta có: thẳng d : y = Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 22 Website: tailieumontoan.com P = x − y + xy + x + y 2 = (2m − 1) − (3 − m) + (2m − 1)(3 − m) + 2(2m − 1) + 3(3 − m) = (4m − 4m + 1) − (m − 6m + 9) + (−2m + m − 3) + 4m − + − 3m = m + 10m − = (m + 5) − 29 ≥ −29 Dấu xảy ⇔ m = –5 Vậy GTNN P –29 ⇔ m = –5 Bài 12: Cho parabal ( P ) :y = x đường thẳng (d ) y = 2(m − 2) x − 4m + 13 a) Với m = 4, hệ tọa độ Oxy , vẽ (P) (d) Xác định tọa độ giao điểm A B b)Tìm m để (d) cắt (p) hai điểm có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức S = x12 + x22 + x1 x2 + 2018 đạt giá trị nhỏ Giải: a) Với m=4 phương trình đường thẳng (d) là: y=4x-3 *Vẽ đồ thị: - Vẽ (P): y=x2 Ta có bảng giá trị x y -3 Parabol (P) qua hai điểm (0;-3) (1;1) - Vẽ (d): y=4x-3 Ta có bảng giá trị x -2 -1 y 1 Đường thẳng (d) qua điểm (-2;4), (-1;1), (0;0), (2;4), (1;1) * Tìm giao điểm hai đồ thị: - Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x = x − ⇔ x − x + = (1) Vì a+b+c=1-4+3=0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x = x = • Nếu x = ⇒ y = • Nếu x = ⇒ y = Vậy (P) giao (d) A(1;1) B(3;9) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 c =3 a 23 12 Website: tailieumontoan.com y 10 y=x2 y=4x-3 -12 -10 -8 -6 -4 -2 x 10 -2 -4 -6 -8 -10 Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): ( m – 1) x + y = 3m – · (d’): x + ( m – 1) y = m Tìm m để (d ) cắt (d’) điểm M cho MOx = 300 Lời giải Tọa độ giao điểm có (d ) (d ') nghiệm hệ phương trình ìï x = m - (m - 1) y ìï (m - 1) x + y = 3m - ïí (*) Û ïí ïï x +( m - 1) y = m ïï m(m - 2) y = ( m - 2) (1) ỵ ỵ ïì m ¹ Để (d ) cắt ( d ') Û Hệ (*) có nghiệm Û (1) có nghiệm Û ïí ïïỵ m ¹ ìï 3m - ïï x = ïì m ¹ ï m Với ïí hệ phương trình cú nghim nht ùùợ m ùù m- ïï y = m ïỵ ỉ 3m - m - ÷ · ; ÷ Từ gi thit MOx Lỳc ú M ỗ ỗ = 30o ị M cú honh dng ỗ ố m ứ m ÷ m- m- · = m = tan MOx 3m - 3m - m é3m - = ( m - 2) m- m- 2 Þ tan 30 = Û = Û ê Û m =± ê 3m - 3 3m - ê ë3m - =- ( m - 2) 3 Vậy m = ; m =3 o Bài 14: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : mx + (m − 2) y + m + = ( d1 ) : mx + (m − 2) y + m + = Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 24 a)Tìm điểm cố định mà ( d1 ) Website: tailieumontoan.com qua điểm cố định mà ( d ) qua với m b)Chứng minh hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) cắt điểm I m thay đổi điểm I thuộc đường trịn cố định Lời giải mx + (m − 2) y + m + = a) Vậy ( d1 ) x + y +1 =  x = −2 ⇔ ( x + y + 1)m − y + = ⇔  ⇔ −2 y + =  y = qua điểm cố định A ( −2;1) (2 − m) x + my − m − = Vậy ( d ) 2 x − = x = ⇔ x − + (− x + y − 1) m = ⇔  ⇔ − x + y − =  y = qua điểm cố định B ( 1; ) b) Với m = ( d1 ) : −2 y + = ( d ) : x − = , suy ( d1 ) ( d ) ln vng góc cắt điểm I1 ( 1;1) Với m = ( d1 ) : x + = ( d ) : y − = , suy suy ( d1 ) ( d ) ln vng góc cắt điểm I ( −2; ) m m+2 m−2 m+2 x− ( d ) : y = x+ 2−m m−2 m m m m−2 × = −1 Suy ( d1 ) ⊥ ( d ) Ta có tích hai hệ số góc a1a2 = 2−m m Vậy với giá trị m ( d1 ) ( d ) cắt vuông góc với điểm I Với m ≠ 0; m ≠ ( d1 ) : y = Mặt khác ( d1 ) ( d ) qua điểm cố định A B nên I thuộc đường trịn đường kính AB Bài 15: Cho hàm số y = ( m − 4m − ) x + 3m − có đồ thị d Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung hai điểm A B cho ∆OAB có diện tích 1cm (O gốc tọa độ, đơn vị đo trục cm) Lời giải Vì ba điểm O, A, b tạo thành tam giác nên m − 4m − ≠ 3m − ≠ − 3m  − 3m  ;0 ÷ ⇒ OA = Tọa độ giao điểm A d Ox A  m − 4m −  m − 4m −  Tọa độ giao điểm B d Oy B ( 0;3m − ) ⇒ OB = 3m − 1 − 3m 3m − = Do ∆ABO vuông O nên SOAB = OA.OB = 2 m − 4m − 2 2 ( − 3m ) = ⇔ 9m − 12m + = ( m − 4m − ) Do 9m − 12m + = −2 ( m − 4m − ) m − 4m −  m = 7m − 4m + 12 = ⇔ ⇔ −2 (thỏa mãn)  m = 11m − 20m − =  11  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 25 Website: tailieumontoan.com Bài 16: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm B ( 6;0 ) , C ( 0;3) đường thẳng d m có phương trình y = mx − 2m + , với m tham số, m ≠ 0, m = − a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng d m BC b) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng d m chia tam giác OBC thành hai phần có diện tích ( O gốc tọa độ) Lời giải  3=b a) Phương trình BC có dạng y = ax + b qua B C nên có hệ phương trình  0 = 6a + b 1 ⇒ a = − b = ⇒phương trình đường thẳng BC y = − x + 2 Phương trình hồnh độ giao điểm d m BC là: mx − 2m + = − x + ⇔ ( 2m + 1) x = ( 2m + 1) ⇔ x = m ≠ − nên giao điểm K ( 2; ) 1 b) Ta có SOBC = OC.OB = 3.6 = (đvdt) 2 d Nếu m cắt cạnh OC D d m chia thành hai phần tam giác CDK tứ giác DOBK mà: S SCDK ≤ SCOK = xK OC = < OBC nên nhận 2 Khi d m cắt cạnh OB E ta có: yE = xE = − đồng m thời thỏa: < 2− < m 1 ⇒ S KEB = yK EB = xB − xE 2 d m chia tam giác OBC thành hai phần có dện tích khi: S KEB = + = ⇔ m = (thỏa điều kiện) m Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình y = mx + m − ( m tham số thực) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d tạo với trục tọa độ Ox; Oy tam giác có diện tích Lời giải y = mx + m − ( d ) ( d) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy nên hệ số góc khác hay m ≠ y =0 ⇒ x = 1− m 1− m  1− m  Ta điểm A  ; ÷ thuộc trục Ox ⇒ OA = m m  m  x = ⇒ y = m − Ta điểm B ( ; m − 1) thuộc trục Oy ⇒ OB = m − Diện tích tam giác tạo đường thẳng d với trục tọa độ Ox, Oy là: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 26 Website: tailieumontoan.com 1− m ( m − 1) m −1 = SOAB = OA.OB = m m 2 Theo ta có: SOAB = (m − 1) = 4m (m − 1) ⇔ =4 ⇔ m ( m − ) = − 4m  m = + 2 TH1: (m − 1) = 4m ⇔ m − 6m + = ⇔ ( m − ) = ⇔  (Thỏa mãn m ≠ )  m = − 2 TH2: (m − 1) = −4m ⇔ m + 2m + = ⇔ ( m + 1) = ⇔ m = −1 (Thỏa mãn m ≠ ) { } Vậy m ∈ −1; − 2 ; + 2 Bài 18: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = mx + (m tham số thực) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 10 Lời giải Hoành độ giao điểm (P) (d) x = mx + ⇔ x − mx − = Ta có ∆ = m + ( m + > ) nên đồ thị hàm số (P) (d) cắt hai điểm phân biệt)  x1 + x2 = m Theo hệ thức Viète ta có   x1 ×x2 = −1 Gọi A (x1; y1) B (x2; y2) giao điểm (P) (d) ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 10 ( ⇒ ( x1 − x2 ) + x12 − x2 2 ) = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + ( x1 + x2 ) ×( x1 − x2 ) = 10 2 2 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 + ( x1 + x2 ) ×( x1 + x2 ) − x1 x2  = 10   ( ) ⇒ m + + m × m + = 10 ⇔ m + 5m − = ⇔ m4 − m2 + 6m2 − = ( ) ( ) ⇔ m2 − × m2 + = ⇔ m2 − = ⇔ m = ±1 Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2 ( a ≠ ) đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 27 Website: tailieumontoan.com 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Lời giải 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) M ∈(P) ⇒ … ⇒ a = ⇒ y = 2x2 M ∈ (d) ⇒ … ⇒ b = ⇒ y = x + 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x + ⇔ 2x2 - x - =  x = 1⇒ y =  1  ⇒ M ( 1;2) ;N  − ; ÷ 1 x = − ⇒ y =  2  2 S∆MON = Sthang − ( S1 + S2 ) = = 0,75 (ñvdt) Bài 20: Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB Lời giải 1) Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x2 + x -2=0 => x = x = Vậy A(1,-1) B(-2;-4) A(-2;-4) vàB(1;-1) ⇒AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2 = 18 ⇒ AB = 2)Để (d’) cắt (P) điểm phân biệt phương trình x2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt D > m < Ta có CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà y − y1 = ( − x + m ) − ( − x1 + m ) = x1 − x Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 28 Website: tailieumontoan.com nên: ( y − y1 ) = ( − x + m ) − ( − x1 + m )  = ( x1 − x ) 2 Ta có AB2 =18 nên CD = AB ⇔ CD2 = AB2 ⇔ (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*) ⇔ 2(x1-x2)2 = 18 ⇔ (x1-x2)2 = ⇔ (x1+x2)2 - 4x1x2 = ⇔ 1-4m-9 = (Theo Viet)⇔ m = - (TM) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038