Tài liệu Chuyên đề Đường trung bình của tam giác, của hình thang

tai lieu, document1 of 66 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Đường trung bình tam giác * Định nghĩa: Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác * Định lí 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba * Định lí 2: Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang * Định nghĩa: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang * Định lí 3: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song vói hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai * Định lí 4: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Dạng Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bìn tam giác để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình tam giác, Định lí 1, Định lí để suy điều cân chứng minh Bài Cho tam giác ABC cân A, có M trung điểm BC Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB E tia My song song với AB cắt AC F Chứng minh: a) EF đường trung bình tam giác ABC; b) AM đường trung trực EF Bài Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy điểm D E cho AD = DE = EB Đoạn CD cắt AM I Chứng minh: a) EM song song vói DC; b) I trung điểm AM; luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document2 of 66 c) DC = 4DI Dạng Sử dụng định nghĩa định lí đường trung bình hình thang để chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình hình thang, Định lí 3, Định lí để suy điều cần chứng minh Bài Cho hình thang vuông ABCD A D Gọi E, F trung điểm AD, BC Chứng minh: a) AFD cân F;   CDF  b) BAF  cắt E, Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD) Các đường phân giác ngồi  A D  C  cắt F Chứng minh: đường phân giác B a) EF song song với AB CD; b) EF có độ dài nửa chu vi hình thang ABCD Dạng Sử dụng phối hợp đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang đê chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình tam giác, Định nghĩa đường trung bình hình thang Định lí : 1, 2, 3, để suy điều cần chứng minh Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm AD, BD, AC, BC Chứng minh: a) M, N, P, Q nằm đường thẳng; b) NP = DC  AB Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c DA = d Các tia phân giác  C  cắt F Gọi M, N theo thứ góc A góc D cắt E, tia phân giác B tự trung điểm AD BC a) Chứng minh M, E, N, F nằm đường thẳng b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d Dạng 4.Tổng hợp luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document3 of 66 Bài Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ tia Hx vng góc với AB P tia Hy vng góc vói AC Q Trên tia Hx, Hy lấy điếm D E cho PH = PD, QH = QE Chứng minh: a) A trung điểm DE; b) PQ = DE; c) PQ = AH Bài Cho tam giác ABC có AM trung tuyến ứng vói BC Trên cạnh AC lấy điểm D cho AD = C Kẻ Mx song song với BD cắt AC E Đoạn BD cắt AM I Chứng minh: a) AD = DE = EC; b) SAIB = SIBM; C)SABC = 2SIBC Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB b) So sánh EF ( AB + CD) c) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng Từ chứng minh EF = (AB + CD) Bài 10 Cho tứ giác ABCD Có G trung điểm đoạn nối trung điểm hai đường chéo AC BD Gọi m đường thẳng khơng cắt cạnh hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' hình chiếu A, B, C, D, G lên đường thẳng m Chứng minh GG' = (AA'+BB'+CC'+DD’) luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document4 of 66 HƯỚNG DẪN Bài a) Mx qua trung điểm M BC song song với AC Suy Mx qua trung điểm E AB (theo Định lí 1) Tương tự, ta F trung điểm AC Khi EF trở thành đường trung bình tam giác ABC; b) Do ME MF đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF Suy AM đường trung trực EF Bài a) Ta có EM đường trung bình tam giác BCD  ĐPCM b) DC qua trung điểm D AE song song với EM  DC qua trung điểm I AM c) Vì DI đường trung bình tam giác AEM nên DI = EM.(1) Tương tự, ta được: EM = DC (2) Từ (1) (2)  DC = 4DI Bài a) Ta có È đường trung bình hình thang ABCD  EF//AB Suy EF  AD Khi EF vừa trung tuyến, vừa đường cao tam giác AFD  ĐPCM   EDF  b) Tam giác AFD cân F nên EAF   CDF  Suy FAB Bài luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document5 of 66 a) Gọi M N giao điểm AE, BF với CD 1 1 Ta có:  ngồi, DAE ADE  D A 2  = 1800 (do AB//CD) Mà  A + D   900 , tức tam giác ADE vuông E  ADE  DAE Khi đó, tam giác ADM cân D (do có DE vừa đường phân giác, vừa đường cao) E trung điểm AM Chứng minh tương tự, ta F olaf trung điểm BN Từ khó, suy EF đường trung bình hình thang ABNM ta ĐPCM b) Từ ý a), EF  ( AB  BC  CD  DA) Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh Bài a) Ta có MN đường trung bình tam giác ABD  MN / / AB Tương tự, ta MP//CD MQ//AB, CD Như vậy, MN, MP, MQ song song AB  ĐPCM b) Ta có: 1 DC  AB  2MP  2MN  MP  MN  NP 2 Bài a)Gọi P Q giao điểm AE, AF với CD Chứng minh tương tự b) Ta có: MN  1 ( AB  CD )  (a  c ) 2 Lại có: luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document6 of 66 c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do tam giác BCQ cân)  QD = c - b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF//DQ nên chứng minh F trung điểm BQ, từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang ABQD  MF  1 ( AB  DQ )  ( a  c  b) 2 1 Mặt khác, FN đường trung bình tam giác BCQ, tức FN  CQ  b 2 Bài a) Chứng minh tam giác ADH AEH cân A   HAP    HAQ  AD = AH = Khi đó: DAP , EAQ AE Từ đó, suy A, A, E thẳng hàng A trung điểm DE b) PQ đường trung bình tam giác DHE  ĐPCM c) Có AH = AD = AE = 1 DE, mà PQ = DE  AH 2 = PQ Bài a) Theo định lý 1, tam giác BDC có: M trung điểm BC, ME//BD  E trung điểm DC  DE = EC = DC Suy AD = DE = EC b) Từ ý a) D trung điểm AE Suy ID đường trung bình tam giác AME hay IA = IM Vậy SAIB= SIBM c) Hạ hai đường cao AH IK tam giác ABC IBC luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document7 of 66 Chứng minh IK đường trung bình tam giác AHM  IK = AH Xét hai tam giác ABC IBC có chung đáy BC hai đường cao AH = 2IK  ĐPCM Bài a) HS tự chứng minh b) Xét tam giác EFK : EF  EK  KF  1 CD  AB  ( AB  CD ); 2 c) Để E, F, K thẳng hàng, EF đồng thời song song với AB CD Tức tứ giác ABCD hình thang (AB//CD) Theo định lý 4, EF  ( AB  CD ) Bài 10 Gọi E F trung điểm AC BD; E' F' hình chiếu E, F đường thẳng m Khi đó, GG' đường trung bình hình thang EE'F'F  GG '  EE' +FF') Mà EE' FF' đường trung bình hình thang AA'C'C BB'D'D  EE '  1 (AA' +CC') FF '  (BB' +DD') 2 Thay vào (1) ta ĐPCM luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document8 of 66 B.CÁC DẠNG BÀI NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY  Đường trung bình tam giác Bài Cho tứ giác ABCD, đường chéo BD đường trung trực AC Gọi M , N trung điểm AD AB Vẽ ME  BC NF  CD  E  BC,F  CD  Chứng minh ba đường thẳng ME,NF AC đồng quy Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D , cạnh AC lấy điểm E Gọi M, N trung điểm BE CD Đường thẳng MN cắt tia AB AC P Q Hỏi hai điểm D E phải có điều kiện để tam giác APQ cân A ? Bài Cho tam giác ABC Gọi Bx Cy đường chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh B C Gọi H K hình chiếu A Bx Cy a) Chứng minh tứ giác BCKH hình thang; b) Tam giác ABC phải có điều kiện để hình thang BCKH hình thang cân? Bài Cho tam giác ABC , trực tâm H Gọi O giao điểm ba đường trung trực Chứng minh khoảng cách từ O đến BC nửa độ dài AH Bài Cho tam giác ABC cân A , đường cao AH đường phân giác BD Biết AH  BD , tính số đo góc tam giác ABC Bài Cho đoạn thẳng AB n điểm O1 ,O2 , ,On không nằm A B cho O1 A  O2 A   On A  O1 B  O2 B   On B  a Chứng minh tồn điểm M cho O1M  O2 M   On M  a  Đường trung bình hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  Vẽ AH  CD Chứng minh rằng: a) HD đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; b) HC đường trung bình hình thang Bài Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB Trên tia đối tia BC lấy điểm O cho BO  1 BC Đường thẳng OM cắt OC N Chứng minh rằng: AN  AC luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document9 of 66 Bài Cho tam giác ABC , cạnh BC cố định Vẽ tam giác tam giác ABM vuông cân B , tam giác CAN vuông cân C Chứng minh A di động nửa mặt phẳng bờ BC đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 10 Cho điểm M nằm hai điểm A B không trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tam giác CAM DBM cân C D cho D  Gọi H F trung điểm AD BC Chứng minh rằng: HF  CD C HƯỚNG DẪN Bài (h.3.7) Gọi O giao điểm AC BD Ta có: AC  BD OA  OC Xét ABD có MN đường trung bình  MN //BD OA  MN (vì OA  BD ) Xét ABC có ON đường trung bình  ON //BC ON  ME (vì ME  BC ) Xét ACD có OM đường trung bình  OM //CD OM  NF (vì NF  CD ) Xét OMN có OA,ME, NF ba đường cao nên chúng đồng quy Bài (h.3.8) Gọi O trung điểm BC Xét EBC có OM đường trung bình  OM //CE OM  CE Xét DBC có ON đường trung bình  ON //BD ON  BD luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document10 of 66   Ta có: M AQP,N APQ (so le trong) 1 P N M   OM  ON  CE  BD APQ cân A  Q 1 Bài (h.3.9) a) Gọi D E thứ tự giao điểm AH AK với đường thẳng BC ABD có BH vừa đường phân giác, vừa đường cao nên tam giác cân  HA  HD Tương tự, ta có: KA  KE Xét ADE có HK đường trung bình nên HK //DE  HK //BC Do tứ giác BCKH hình thang B ;K  C  (so le trong) b) Ta có: H 1 1  K B  C  Hình thang BCKH hình thang cân  H 1 1   ABD   ACE  ABC ACB  ABC cân A Bài (h.3.10) Gọi M N trung điểm BC CA Gọi F G trung điểm AH BH Ta có MN đường trung bình ABC; FG đường trung bình ABH Suy MN //AB MN  FG //AB FG  AB AB Do MN //FG MN  FG Dễ thấy OM //AD,ON //BE luan van, khoa luan 10 of 66 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document11 of 66   HFG;ONM    HGF  (hai góc có cạnh tương ứng song OMN HFG có: MN  FG;OMN song) Vậy OMN  HFG  g.c.g   OM  HF  AH Bài (h.3.11) Gọi M trung điểm BD thì: MD  BD  AH ABC cân A, AH đường cao nên HB  HC Ta có HM đường trung bình BCD  HM //AC Hình thang HMAD có hai đường chéo nên hình thang cân   90  C B  C  ADH  DAM  c.c c    A1  D 1 (1)  C   x 1  90  x  x  x  x  36 Ta đặt B  C   36;  A  108 Vậy ABC có B Bài Gọi M trung điểm AB O điểm tùy ý không nằm A B  Trường hợp O nằm tia đối tia AB hay tia đối tia BA (h.3.16), ta chứng minh OM   OA  OB 1 Trường hợp O không thẳng hàng với A B (h.3.17) Gọi N trung điểm OB , MN đường trung bình OAB, MN  OA Xét OMN , ta có: OM  MN  ON  OM  OA  OB luan van, khoa luan 11 of 66  2 11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document12 of 66 OA  OB Từ 1   suy ra: OM  *  Áp dụng hệ thức *  n điểm O1 ,O2 , ,On ta có: O1M  O1 A  O1B O A  O2 B O A  On B ;O2 M  ; ;On M  n 2 Cộng vế bất đẳng thức ta được: O1M  O2 M   On M   O1 A  O1 B O2 A  O2 B O A  On B   n 2 O1 A  O2 A    On A O1 B  O2 B    On B a a    a 2 2 Như điểm cần tìm trung điểm M AB Bài (h.3.19) a) Vẽ BK  CD ta AH //BK AB //HK  AB  HK ADH  BCK  HD  KC Ta có: HD  KC  CD  HK  2HD  CD  AB  HD  CD  AB Theo ví dụ đoạn thẳng PQ nối trung điểm hai đường chéo nửa hiệu hai đáy Vậy HD  PQ b) Ta có: HC  CD  HD  CD  CD  AB CD  AB  2 Đường trung bình hình thang nửa tổng hai đáy Do HC độ dài đường trung bình hình thang Bài (h.3.20) Gọi D trung điểm BC Vẽ BE //ON ,DF //ON  E,F  AC  luan van, khoa luan 12 of 66 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document13 of 66 Ta có: OB  BD  DC  BC 1  Xét ABE có MN //BE MA  MB nên NA  NE  Xét hình thang ONFD có BE //ON OB  BD nên NE  EF  Xét CBE có DF //BE BD  DC nên EF  FC Từ 1 ,  , 3 suy ra: AN  NE  EF  FC , AN   2  3 AC Bài (h.3.21) Gọi O trung điểm MN Vẽ OF  BC; AH  BC; MD  BC NE  BC Ta có: OF //AH //MD //NE BMD  ABH (cạnh huyền – góc nhọn)  MD  BH BD  AH 1 Tương tự, CNE  ACH  NE  CH CE  AH  2 Từ 1   suy BD  CE   AH  Dễ thấy OF đường trung bình hình thang MDEN  OF  MD  NE BH  CH BC   (khơng đổi) 2 Ta có: FD  FE; BD  CE  FB  FC Vậy O nằm đường trung trực BC cách BC khoảng không đổi điểm cố định Suy MN qua điểm cố định điểm O Bài 10 (h.3.22) * Tìm hướng giải luan van, khoa luan 13 of 66 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com BC Do O tai lieu, document14 of 66 Điều phải chứng minh HF  CD gợi ý cho ta nghĩ đến định lí đường trung bình tam giác Ta vẽ đường trung bình EG MCD EG  CD Chỉ phải chứng minh HF  EG * Trình bày lời giải Gọi E trung điểm CM , G trung điểm DM Khi EG đường trung bình MCD  EG  CD 1 D  nên CAM DBM cân C D mà C góc đáy chúng nhau:   CMA   DMB   DBM  CAM  CA//DM CM //DB (vì có cặp góc đồng vị nhau) Xét CMB có EF đường trung bình  EF //MB Xét DAM có HG đường trung bình  HG //AM Suy ra: EF //HG (vì song song với AB ) Vậy tứ giác EFGH hình thang Xét hình thang ACDM có EH đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH //AC Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG //DB   CAM  ,FGH   DBM  Do EHG   DBM  (chứng minh trên) nên EHG   FGH  Mặt khác CAM Vậy hình thang EFGH hình thang cân  HF  EG Từ 1   suy ra: HF  CD luan van, khoa luan 14 of 66 14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com  2 tai lieu, document15 of 66 C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Đường trung bình tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD  AB Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE  AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ D đến AD, K chân đường vng góc kẻ từ C đến AE a) Chứng minh HK song song với DE b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC 10 Bài 2: Cho  ABC có AB  AC , AH đường cao Gọi M, N, K trung điểm AB, AC, BC a) Chứng minh MNKH hình thang cân b) Trên tia AH AK lấy điểm E D cho H trung điểm AE K trung điểm AD Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân Bài 3: Cho  ABC có trung tuyến AM, I điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC D a) Nếu AD  DC Khi chứng minh I trung điểm AM b) Nếu I trung điểm AM Khi chứng minh AD  c) Nếu AD  1 DC , ID  BD DC Khi cạnh AB lấy điểm E cho AB  AE Chứng minh BD, CE, AM đồng quy Bài 4: Dùng tính chất đường trung bình tam giác chứng minh tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB = CD Gọi E, F trung điểm AC, DB Đường thẳng   HKC  EF cắt AB, CD H,K Chứng minh rằng: KHB Bài 6: Hình thang cân ABCD  AB  CD  có AB  cm, CD  10 cm, BD  cm Tính khoảng cách từ trung điểm I BD đến cạnh CD Bài 7: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Gọi I trung điểm AH, E giao điểm BI AC Tính độ dài AE EC, biết AH  12 cm, BC  18 cm luan van, khoa luan 15 of 66 15 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document16 of 66 Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M trung điểm HC, K trung điểm AH Chứng minh BK vng góc với AM Bài 9: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Gọi K hình chiếu vng góc H lên AC Gọi I trung điểm HK Chứng minh rằng: AI  BK HƯỚNG DẪN Bài 1: a) ABD cân B, đường cao BH nên BH đồng thời đường trung tuyến nên AH  HD Tương tự AK  KE nên HK đường trung bình ADE nên HK //DE ; HK  b) HK  DE DE 10    cm  (vì DE  DB  BC  CF  AB  BC  CA  10 cm ) 2 Bài 2: a) MN đường trung bình ABC  MN //BC  MN //HK , hay MI //BH MI //BH MA  MB  IA  IH   MAH cân A nên HMI  IMA (1)   NK đường trung bình ABC  NK //AB  MNK  IMA (hai góc vị tri so le trong) (2)     Từ (1) (2) suy HMI  MNK (so le trong) hay HMN  MNK   Tứ giác MNHK có MN //HK nên tứ giác hình thang, lại có HMN  MNK hình thang cân b) HK đường trung bình AED  HK //ED hay BC //ED nên tứ giác BCDE hình thang  NK đường trung bình  ACD  NK //CD mà NK //AB nên AB //CD  (so le trong) (3)  ABH  BCD luan van, khoa luan 16 of 66 16 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document17 of 66 Dễ thấy ABE cân B BH vừa đường cao vừa trung tuyến  (4) ABE   ABH  HBE  BH phân giác    BCD  hay  CBE   BCD  Từ (3), (4)  HBE   BCD   tứ giác BCDE hình thang cân Hình thang BCDE có CBE Bài 3: a) Khi AD  DC Gọi N trung điểm DC, MN đường trung bình BCD  MN //BD  MN //ID AMN có MN //ID AD  DN  AI  IM b) Khi AI  IM Kẻ MN //BD Xét AMN ta có ID //MN AI  IM nên AD  DN Xét BCD có MN //BD; MB  MC nên ND  NC Vậy AD  ID  DC , dễ dàng BD c) Khi AD  DC AB  AE Ta có I giao điểm BD AM Gọi F trung điểm BE Ta có MF đường trung bình BEC  FM //CE AD  DC IA  IM (theo câu a) nên EI đường trung bình AFM  EI //FM Có FM //CE EI //FM nên E, I, C thẳng hàng hay EC qua điểm I Bài 4: Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Khi BCD cân C nên BC  CD AM đường trung bình BCD  AM  luan van, khoa luan 17 of 66 17 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1 DC  BC 2 tai lieu, document18 of 66 Bài 5: E trung điểm AC, F trung điểm BD Gọi M trung điểm BC Nên EM đường trung bình ABC  EM    AB EM //AB  MEF  AHK Và FM đường trung bình BCD  FM    CD FM//CD  EFM  HKD Mà AB  CD nên AB  CD FME cân   AHK   EFM   HKD   MEF   HKD   KHB   HKC  (kề bù)  AHK Bài 6: Kẻ BH  CD,IK  CD Ta có: CH  CD  AB 10    (cm) 2 Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔBHC , ta có: BH2  BC  CH2  52  32  16   BH  cm Tam giác BDH có BI  ID IK  BH nên IK đường trung bình  IK  BH   (cm) 2 Bài 7: Kẻ HK // BE ta chứng minh AE = EK = KC Kết quả: AE = 5cm, EC = 10cm luan van, khoa luan 18 of 66 18 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document19 of 66 Bài 8: Tam giác AHC có AK  KH HM  MC  MK đường trung bình ΔAHC  MK  AC Ta lại có AC  AB nên MK  AB Tam giác ABM có: AH  BM MK  AB  K trực tâm, suy BK  AM Bài 9: Gọi J trung điểm KC, ta có IJ đường trung bình tam giác KHC Do IJ / /HC  IJ  AH Trong tam giác AHJ có IJ  AH, HI  AJ Từ đó, I trực tâm tam giác AHJ  AI  HJ (1) Trong tam giác BKC, HJ đường trung bình, suy HJ // BK (2) Từ (1) (2) suy AI  BK Đường trung bình hình thang Bài 1: Cho ABC đường thẳng d qua A không cắt đoạn thẳng BC Vẽ BD  d, CE  d (D, E  d) Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID  IE Bài 2: Cho hình thang vng ABCD A D Gọi E , F trung điểm AD , BC Chứng minh: a) AFD cân F ;   CDF  b) BAF Bài 3: Tính độ dài x y hình Biết AB//EF//GH//CD, AE  EG  GD, AB  4, CD  10 (cm) luan van, khoa luan 19 of 66 19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document20 of 66 Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD (AB  CD) M trung điểm AD Qua M vẽ đường thẳng song song với hai đáy hình thang cắt hai đường chéo BD AC E F, cắt BC N a, Chứng minh N, E, F trung điểm BC, BD, AC b, Gọi I trung điểm AB , đường thẳng vng góc với IE E đường thẳng vng góc với IF F cắt K Chứng minh : KC  KD Bài 5: Cho hình thang ABCD, AB đáy nhỏ Gọi M, N, P, Q trung điểm AD, BC, BD AC a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng; b) Chứng minh PQ // CD PQ  CD  AB ; c) Hình thang ABCD phải có điều kiện để MP = PQ = QN Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác góc C qua trung điểm M cạnh bên AD Chứng minh rằng:   90 a) BMC b) BC  AB  CD Bài 7: Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I AM cắt cạnh AB, AC Gọi A ', B ', C ' thứ tự hình chiếu A, B, C lên đường thẳng d Chứng minh BB ' CC '  2AA ' HƯỚNG DẪN Bài 1: BD //AE (cùng vng góc với d ) Tứ giác BDEC hình thang, Từ I kẻ IO  DE  IO //BD //CE Hình thang BDEC có IO //BD //CE IB  IC nên OD  OE Ta có OD  OE ; IO  DE nên IO đường trung trực đoạn thẳng DE  ID  IE luan van, khoa luan 20 of 66 20 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document21 of 66 Bài 2: Chỉ EF đường trung bình hình thang ABCD nên A EF //AB //CD AD  AB  AD  EF AE  ED EF đường trung trực AB nên FA  FD hay AFD cân F ;  AFD  DAF ADF    CDF  ( phụ với góc DAF b) BAF ADF ) Bài 3: Theo tính chất đường trung bình hình thang, ta có 2x  y  hay: y  2x – y  (1) x  10 (2) Từ (1) (2) suy x   x  10 Ta tính x  y  Bài 4: a) Xét hình thang ABCD có MA  MD ; N  BC, MN//AB//CD(gt)  N trung điểm BC Xét ADC có MA  MD ; MF //DC  FA  FC Xét ADB có MA  MD ; MF //DC  ED  EB luan van, khoa luan 21 of 66 21 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com E D B F C tai lieu, document22 of 66 b) IE đường trung bình ABD  IE //AD OF đường trung bình ACD  OF//AD Vậy IE //FO; Có IE //FO; IE  EK  EK  OF Chứng minh tương tự ta có IF //EO //BC ; IF  KF  EO  KF EFO có EK  OF ; EO  KF nên K trực tâm  OK  EF mà EF //CD  OK  DC ; OD  OC KO đường trung trực DC hay KC  KD Bài 5: a) Xét ABD có MP đường trung bình  MP // AB  MP // CD Xét ADC có MQ đường trung bình  MQ // CD Xét hình thang ABCD có MN đường trung bình  MN // CD Qua điểm M có đường thẳng MP, MQ, MN song song với CD nên đường thẳng trùng nhau, suy bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b) Ta có MN // CD nên PQ // CD; PQ  MQ  MP  c) Ta có MP  NQ  MP  PQ  CD AB CD  AB   2 AB AB CD  AB  2  AB  CD  AB  2AB  CD (đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ) luan van, khoa luan 22 of 66 22 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document23 of 66 Bài 6: a) Gọi N trung điểm BC   CMN  Ta có MN//CD  MCD   MCN  (vì CM phân giác D  ) Mà MCD   MCN   DCB  Suy CMN Tam giác MCN cân N  MN  NC  NB ,  MNB cân N   NBM  Mặt khác   , suy NMB   ABC   NMB NMB  MBA   CMN   NMB   (BCD   ABC)   90 BMC b) Vì MN đường trung bình hình thang ABCD nên MN  (AB  CD) Ta lại có MN  BC Do BC  AB  CD Bài 7: Gọi N hình chiếu M d Xét tứ giác BB 'C 'C có BB ' //CC ' (cùng vng góc d)  BB 'C 'C hình thang M trung điểm BC MN //BB ' //CC ' (cùng vng góc d)  MN đường trung bình hình thang  BB 'C 'C  BB  CC  2MN (1) Chứng minh AA  I  MNI (g.c.g)  AA  MN (2) Từ (1) ; (2) suy BB  CC  2AA ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== luan van, khoa luan 23 of 66 23 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... vi hình thang ABCD Dạng Sử dụng phối hợp đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang đê chứng minh Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình tam giác, Định nghĩa đường trung. .. (do tam giác BCQ cân)  QD = c - b Trong hình thang ABQD có M trung điểm AD MF//DQ nên chứng minh F trung điểm BQ, từ chứng minh MF đường trung bình hình thang ABQD Vì MF đường trung bình hình thang. ..  Đường trung bình hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD  AB  CD  Vẽ AH  CD Chứng minh rằng: a) HD đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; b) HC đường trung bình hình thang Bài Cho tam