Tài liệu Chuyên đề Hình thang cân

tai lieu, document1 of 66 HÌNH THANG CÂN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm Hình thang cân hình thang có A B hai góc kề đáy Tính chất - Trong hình thang cân, hai cạnh bên - Trong hình thang cân, hai đuờng chéo Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có hai góc kề cạnh đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên khơng phải ln hình thang cân II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Tính số đo góc, độ dài cạnh diện tích hình thang cân Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân cạnh góc, đường chéo cơng thức tính diện tích hình thang để tính tốn  Tính góc hình thang cân Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A  2C  Tính góc hình thang cân Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có  A  3D Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH BK hai đường cao hình thang luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document2 of 66 CD  AB a) Chứng minh DH = b) Biết AB = cm, CD = 14 cm, AD = cm, tính DH, AH diện tích hình thang cân ABCD   600 , AB = 4,5cm; AD = BC = cm Tính độ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có A  B dài đáy CD diện tích hình thang cân ABCD Dạng Chứng minh hình thang cân Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân Cho tam giác ABC cân A có BD CE hai đường trung tuyến tam giác Chứng minh BCDE hình thang cân Cho tam giác ABC cân A có BH CK hai đường cao tam giác Chứng minh BCHK hình thang cân Dạng Chứng minh cạnh nhau, góc hình thang cân Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ) Gọi O giao điểm AD BC; Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: a) Tam giác AOB cân O; b) Các tam giác ABD BAC nhau; c) EC = ED; d) OE trung trực chung AB CD Cho tam giác ABC cân A điểm M tùy ý nằm tam giác Kẻ tia Mx song song    900  A vói BC cắt AB D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E Chứng minh DME HƯỚNG DẪN   2D    1800  Ta có A  D A  2C luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document3 of 66 D   600 , A  B   1200 Suy C D   450 ,    1350 Tương tự Ta có: C AB a) Chứng minh ADH = BCK (ch-gnh)  DH = CK Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK  AB = HK b) Vậy DH  CD  AB c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm2 Hạ CH DK vng góc với AB Ta có: AK  BH  AD  1cm Từ đó: CD = 2,5cm CH  3cm S ABCD   AB  CD  CD  cm Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh DE//BC Chứng minh BKC = CHB (ch-gnh) Suy CK = BH & AK = AH luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document4 of0 66  180  KAH Từ  AKH   ABC hay KH / / BC   OBA  a) OAB suy OAB cân O b) HS tự chứng minh  , suy EDC   ECD  hay c)  ADB  BCA ECD cân E d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy OE đường trung trực đoạn AB Tương tự có OE đường trung trực đoạn CD Vậy OE đường trung trực chung AB CD   MEB   1800 Do MD / / BC  DME   1800  MEB  Suy DME  A  1800   ACB  90  B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN PHIẾU SỐ PHIẾU BÀI TẬP HÌNH THANG CÂN – SỐ Câu 1: Trong hình vẽ sau, hình hình thang cân Giải thích R A D B AB //CD C H U G E EF//GH F luan van, khoa luan of 66 I L J I J//KL TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com K M N Q P 58° S 122° T tai lieu, document5 of 66 Câu 2: Cho hình thang cân ABCD  AB //CD  có A  1100 Tính góc cịn lại hinh thang ABCD Câu 3: Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB; AC M ; N Chứng minh BCNM hình thang cân Câu 4: Cho hình thang cân ABCD  AB //CD  có đường cao AE ; BF Chứng minh DE  CF Câu 5: Cho hình thang cân ABCD  AB //CD  có hai đường chéo cắt O Chứng minh OA  OB; OC  OD Câu 6: Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia AB lấy điểm D ; tia đối tia AC lấy điểm E cho AD  AE Tứ giác BCDE hình gì? Vì sao?   700 Chứng minh rằng: Câu 7: Tứ giác ABCD có AB  BC  AD ;  A  1100 ; C a) DB tia phân giác góc D b) ABCD hình thang cân Câu 8: Tính chiều cao hình thang cân ABCD biết cạnh bên BC  25cm ; cạnh đáy AB  10cm CD  24cm Câu 9: Cho tam giác ABC , điểm M nằm tam giác Qua M , kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC D , kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB F Chứng minh rằng:   EMF   DMF  a) DME b) Trong ba đoạn MA; MB; MC đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn Câu 10: Chứng minh hình thang cân, đường chéo ln lớn đường trung bình HƯỚNG DẪN Câu 1: luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document6 of 66 a) Xét tứ giác ABCD có AB //CD AC  BD nên hình thang cân(hình thang có hai đường chéo nhau)  G  nên hình thang cân(hình thang có hai góc kề đáy b) Tứ giác EFGH có EF //GH H hình thang cân) c) Tứ giác I JKL hình thang có hai cạnh bên nên chưa thể khẳng định hình thang cân P   900 nên hình thang d) Tứ giác MNPQ có MN //PQ (cùng vng góc với MQ ) Q cân   S nên hình thang e) Tứ giác RSTU có RS //UT (hai góc phía bù nhau) R cân Câu 2: A B D C  Ta có ABCD hình thang cân nên B A  1100 (hai góc kề đáy)   1800 (hai góc phía) nên D   700 Mà AB //CD nên A  D D   700 C Câu 3: A M B luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com N C tai lieu, document7 of 66  C  (tam giác ABC cân A ) nên Ta có MN //BC (gt) nên BCNM hình thang Mà B BCNM hình thang cân Câu 4: A D B E C F  C  ( ABCD hình thang cân) Xét hai tam giác vng AED BFC có: AD  BC D nên AED  BFC (ch-gn)  DE  FC Câu 5: A B O D C  Xét hai tam giác BDC ACD có: cạnh DC chung; BCD ADC AD  BC (tính chất hình thang cân)  BDC  ACD (c-g-c)   BDC ACD  ODC cân O  OD  OC Chứng minh tương tự ta có OB  OC Câu 6: luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document8 of 66 E D A B C  1800  EAD  Theo giá thiết ta có tam giác ABC ADE tam giác cân nên AED   1800  BAC  ACB    BAC  (đối đỉnh) nên  Mặt khác EAD AED   ACB Mà hai góc vị trí so le nên DE //BC  BCDE hình thang Lại có EC  EA  AC  DA  AB  DB nên BCDE hình thang cân Câu 7: A E D B F C a) Kẻ BE vng góc với tia DA ; BF vng góc với tia DC   BCF   700 AB  BC nên chúng Khi hai tam giác vng BEA BFC có: BAE Do đó: BE  BF  B thuộc tia phân giác  ADC hay DB tia phân giác  ADC   1100 nên  b) tam giác ADB cân A có DAB ADB  350  ADC  700 ( DB tia phân giác  ADC ) luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document9 of 066   70  110  1800  ADC  DAB  AB //DC  C   700 nên ABCD hình thang cân Mà D Câu 8: A D B E F C Kẻ đường cao AE ; BF hình thang Khi hình thang ABFE có hai cạnh bên song song nên hai cạnh đáy EF  AB  10cm Mặt khác theo câu DE  CF nên DE  CF  24  10  2cm Áp dụng định lí Pytago tam giác tính BF  69cm Câu 9: A E F M B D C a) Các tứ giác AEM F ; BDMF ; CDME có cặp cạnh đối song song có góc đáy 60 nên chúng hình thang cân   EMD   DMF  Do đó: EMF A  600 luan van, khoa luan of 66 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document10 of 66 b) Vì tứ giác AEM F ; BDMF ; CDME hình thang cân nên MA  EF ; MB  FD; MC  ED MA; MB; MC độ dài ba cạnh tam giác nên suy đpcm Câu 10: A D E B F Xét hình thang cân ABCD có hai cạnh đáy AB CD C  AB  CD  , kẻ đường cao AE BF Ta có hình thang ABFE có hai cạnh bên song song(cùng vng góc với DC ) nên suy hai cạnh đáy Dó EF  AB DE  CF  Ta có EC  EF  FC  AB  CD  AB CD  AB AB  CD  2  EC độ dài đường trung bình hình thang ABCD Lại xét tam giác vng AEC vng E ta có: EC  AC Vậy, hình thang cân, độ dài đường trung bình ln bé đường chéo PHIẾU SỐ Bài 1: Hai đoạn thẳng AB CD cắt O, biết OA=OC, OB=OD Tứ giác ACBD hình ? Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) luan van, khoa luan 10 of 66 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document11 of 66  ACD  BDC a) Chứng minh:  b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh EA = EB Bài 3: Hình thang cân ABCD ( AB// CD) , có góc C = 600, DB tia phân giác góc D; chu vi hình thang 20cm a)Tính cạnh hình thang b) Tính diện tích tam giác BDC Bài : Cho hình thang MNPQ (MN đáy nhỏ) có đường chéo MP NQ cắt O Qua O vẽ đường thẳng EF//QP ( E  MQ, F  NP ) CMR tứ giác MNPQ, MNFE, FEQP hình thang cân   600 , đáy nhỏ AD cạnh bên hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD có C Biết chu vi hình thang 20cm a) Tính cạnh hình thang b) Tính chiều cao hình thang D   900 AD = BC tứ giác hình thang cân Bài CMR tứ giác ABCD có C Bài 7* Cho ABC Lấy điểm O nằm tam giác Kẻ OI//AB (I thuộc AC), OM//BC (M thuộc AB), OK//AC (K thuộc BC) Chứng minh rằng: Chu vi IMK tổng khoảng cách từ O đến đỉnh ABC Bài 8*: Cho tam giác ABC cân A, M điểm nằm hai điểm A B Trên tia đối tia CA lấy điểm N cho CN = BM Vẽ ME NF vng góc với đường thẳng BC Gọi I giao điểm MN BC a) Chứng minh: IE = IF b) Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = CN Chứng minh tứ giác BMDC hình thang cân luan van, khoa luan 11 of 66 11 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document12 of 66 Bài 9* Cho  ABC đều, điểm M nằm tam giác Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D CMR: a) AFMD, BDME, CEMF hình thang cân   FME   DMF  b) DME c) Điểm M phải vị trí để  DEF tam giác đều? Trong trường hợp này, tính chu vi  DEF theo chiều cao AH  ABC   1800 CMR: AC Bài 10*: Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC  a) Tia DB phân giác góc D b) Tứ giác ABCD hình thang cân luan van, khoa luan 12 of 66 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document13 of 66 HƯỚNG DẪN Bài 1: A C O D B Vì OA=OC, OB=OD nên AB = CD (1); OA = OC; OB = OD nên  O  OBA  OAC  OBD cân  1800   AOC  1800  DOC  (hai góc đối đỉnh) ; ODC  AOC  DOC mà  2   ODC  mà hai góc so le nên AC // BD (2)  OBA Từ (1) (2) suy tứ giác ACBD hình thang cân Bài 2: A B E D C  ADC  BCD a/ ABCD hình thang cân nên AD = BC;   Dễ chứng minh:  ADC  BCD(c.g.c)   ACD  BDC  suy ACD  BDC b/ Theo câu a ta có   CED cân E => ED = EC mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) => EA = EB Bài 3: luan van, khoa luan 13 of 66 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document14 of 66 A B C D  C   600     60  300 a/ Ta có : ABCD hình thang cân nên D ADB  CDB   900 ; Tam giác CBD vuông B có CDB   300 => BC = DC hay 2AD = DC ;  DBC   300   ABD  BDC ABD   ADB  300 => ∆ADB cân A nên AD = AB AB // CD nên  Từ suy chu vi hình thang 5AD => 5.AD = 20cm => AD = 4cm Vậy AD = AB = BC = 4cm, CD = 8cm  BCD vuông B Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BDC: b/ Vì BD2 = DC2 – BC2 hay DB2 = 82 - 42 = 48 => BD = cm Diện tích tam giác BDC là: 4.4  cm2 Bài 4: M 1 E N F O Q 1 P P  M 1   Q  Q P  => Các Vì MN // QP nên:  N 1    M1  N1  OMN OPQ cân O => OM = ON, OP = OQ => MP = NQ mà MNPQ hình thang => MNPQ hình thang cân Do EF // QP (gt), mà QP // MN nên EF // QP // MN => Tứ giác MNEF FEQP hình thang luan van, khoa luan 14 of 66 14 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document15 of 66 Do MNPQ hình thang cân nên:   PNM  => MNEF FEQP hình QMN thang cân Bài A B D 600 H K C a/ Đặt AD = AB = DC = x; Kẻ AH  BC , DK  BC ; ( H ; K  BC ) => AH // DK => Hình thang ADKH có hai cạnh bên song song nên AD = HK = x; AH = DK Có AHB  DKC (ch - gn) => BH = KC   600  BH  AB  x  x  BH Xét  ABH có : B 2 => Chu vi hình thang 5x = 20 => x = => AD = DC = AB = 4cm; BC = 8cm b/ Từ câu a ta có BH = 2cm; Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông H ta có: đường cao AH = Bài luan van, khoa luan 15 of 66 15 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document16 of 66 A B 1 O2 D 1 C 1  D    OCD cân tạị O Ta chứng minh ADC  BCD (c  g  c)  AC = BD C 2 1800  O  (1)  C1     OBA cân tạị O A1  B Từ ta chứng minh ABD  BAC (c  c  c )   1 1800  O (2)  A1  1  O  suy A1  C  Mà góc vị trí so le nên AB //CD Từ (1), (2) O D  => ABCD hình thang cân Suy ABCD hình thang mà C Bài 7* A I M O B K C  C   600 Do OI // AB; OM // BC; OK // AB (gt) A B Có ABC   => tứ giác OIAM, OMBK, OKCI hình thang    MBK  ACB  600 (đồng vị, OK // AC) mà  ABC   ACB  600  OKB Ta có: OKB => Hình thang OMBK hình thang cân luan van, khoa luan 16 of 66 16 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document17 of 66 CM tương tự ta có OKCI, OIAM hình thang cân, đó: OC = IK, OA = IM, OB = MK => CIMK = IK + IM + MK = OA+ OB + OC Bài 8* a)  MBE =  NCF (ch-gn) => ME = NF Từ cm b) Do =>  MIE =  NIF (cgv-gnk)=> IE = IF  ABC tam giác cân nên AB = AC, mà MB = DC ( = CN) nên AM = AD 180  AMD cân A=>  AMD   A 1800  A ABC  Xét  ABC có:  => Do => MD // BC => MDCB hình thang (  ABC cân A) => BMDC hình thang cân (đpcm) Bài 9* luan van, khoa luan 17 of 66 17 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document18 of 66 A F D M B H E C   ABC Mà FM//AD   ADM   ABC (đồng vị)  BAC ADM a) Có  ABC  BAC Xét tứ giác AFMD có  AD / / FM ( gt ) => AFMD hình thang cân    ADM  BAC (cmt ) Chứng minh tương tự ta BDME, CEMF hình thang cân   FME   DMF  = 600 b) DME c)  DEF tam giác  DE = DF = FE  AM = BM = CM  M phải cách đỉnh tam giác ABC Vậy M giao ba đường trung trực  ABC Do  ABC nên M đồng thời trọng tâm AH đường cao đồng thời đường trung tuyến nên AM  2 AH  a  DE  DF  FE  a 3 Vậy chu vi tam giác DEF DE + DF + EF = 2a luan van, khoa luan 18 of 66 18 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com tai lieu, document19 of 66 Bài 10* E a) Trên tia DA lấy điểm E cho AE = CD   1800 (gt) suy BAE   BCD  (cùng bù với BAD ) AC Do  Từ ta BAE  BCD (c  g  c) D  ; BE  BD  BDE cân B E A B D 1  D 1  D 2 E Vậy tia DB phân giác góc D b) Có AB = AD  ABD cân A D 1   2   D ABD  D ABD mà góc vị trí so le nên AB//DC   1800  ABC  BCD    BCD   1800 ( gt )  BAD ABC Vậy ABCD hình thang cân Mà BAD ========== TỐN HỌC SƠ ĐỒ ========== luan van, khoa luan 19 of 66 19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C ...  BD nên hình thang cân (hình thang có hai đường chéo nhau)  G  nên hình thang cân (hình thang có hai góc kề đáy b) Tứ giác EFGH có EF //GH H hình thang cân) c) Tứ giác I JKL hình thang có hai... MNPQ, MNFE, FEQP hình thang cân   600 , đáy nhỏ AD cạnh bên hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD có C Biết chu vi hình thang 20cm a) Tính cạnh hình thang b) Tính chiều cao hình thang D  ... diện tích hình thang cân ABCD   600 , AB = 4,5cm; AD = BC = cm Tính độ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có A  B dài đáy CD diện tích hình thang cân ABCD Dạng Chứng minh hình thang cân Phương