GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II hàm số LUỸ THỪA hàm số mũ hàm số LOGARIT

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT BÀI 1: LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT a Định nghĩa lũy thừa - Cho số thực b số nguyên dương n (n  2) Số a gọi bậc n số b an = b - Chú ý:  Với n lẻ b  : Có bậc n b , kí hiệu n b b  : Không tồn bậc n b b = : Có bậc n b số Với n  chẵn: b  : Có hai bậc n a hai số đối nhau, có giá trị dương ký hiệu n b , có giá trị âm kí hiệu − n b Số mũ   = n Cơ số a a *  =0 a0  = −n, (n  * a0 ) Lũy thừa aα a = an = a  a ) a = a0 = 1 a = a − n = n a a ( n thừa số a m m  = , (m  , n  n * a0 )  = lim rn , ( rn  , n  * a0 ) a = a n = n a m , ( n a = b  a = bn ) a = lim arn b Một số tính chất lũy thừa - Giả thuyết biểu thức xét có nghĩa:    a a = a  + a a  a  a ;  = a −  ; (a )  = a  ; (ab) = a  b ;   =  ;   a b b b −  b =   a - Nếu a  a  a      ; Nếu  a  a  a      - Với  a  b , ta có: am  bm  m  ; am  bm  m  - Chú ý:  Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên  Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác  Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương c Một số tính chất bậc n - Với a, b ;n  * , ta có: n +1 a n+1 = aa  2n a n = a a;   2n ab = n a n b , ab  ;  n +1  2n a n a = , ab  0, b  ;  b n b n +1 ab = n +1 a  n +1 b  a , b a = b n +1 n +1 a a, b  b -Với a, b  , ta có:  n a m = ( n a ) , a  , n nguyên dương, m nguyên m Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT  n m a = nm a , a  , n , m nguyên dương p q = n a p = m a q , a  0, m, n nguyên dương, p, q nguyên Đặc biệt: n m ( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất lũy thừa.) d So sánh hai lũy thừa • So sánh số - Nếu số a      a  a   Nếu n a = mn a m - Nếu số  a      a  a  • So sánh số mũ - Nếu số mũ   a  b   a  b - Nếu số mũ   a  b   a  b II – DẠNG TOÁN Dạng 1: Biến đổi biểu thức liên quan Phương pháp giải - Tự luận thuần túy - Trắc nghiệm (Cách nhận xét toán, mẹo mực để lọa trừ) - Casio, Cơng thức giải nhanh Ví dụ 1: Kết luận số thực a (2a + 1)−3  (2a + 1) −1  − a0 A    a  −1 B − a0 0  a  C   a  −1 D a  −1 -Ví dụ 2: Khẳng định sau đúng: A a−n xác định với a  \ 0 ; n  N m B a n = n a m ; a  m C a = 1; a  D n a m = a n ; a  ; m, n  -2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức 81a 4b2 , ta được: A −9a b Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền B 9a b C 9a2b D 3a b GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT -−1    y y Ví dụ 4: Cho K =  x − y  1 − +  với x  0, y  Biểu thức rút gọn K là? x x    A x B 2x C x + D x − Ví dụ 5: Cho hai số thực dương a b Biểu thức a3b a viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ b a b 30 31 30 30 31 a a a a A   B   C   D   b b b b -3 Dạng 3: Dạng khác Ví dụ 6: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng Biết người khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Sau ba năm, người muốn lãnh số tiền triệu đồng, khoảng thời gian không rút tiền lãi suất không đổi, người cần gửi số tiền M là: A triệu 600 ngàn đồng B triệu 800 ngàn đồng C triệu 700 ngàn đồng D triệu 900 ngàn đồng Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài HÀM SỐ LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y = x  , với   gọi hàm số lũy thừa Chú ý: Tập xác định hàm số y = x  tùy thuộc vào giá trị  Cụ thể: •  nguyên dương: D = ; •  nguyên âm 0: D = \ 0 ; •  khơng ngun: D = ( 0; + ) Đạo hàm hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa y = x  ,   có đạo hàm với x  và: ( ) =  x • x  −1 ( ) =  u ; • u  −1 u với u biểu thức chứa x Khảo sát hàm số lũy thừa y = x  y = x ,   y = x  ,  a Tập khảo sát: ( 0; + ) a Tập khảo sát: ( 0; + ) b Sự biến thiên: • y =  x −1  0,  x >0 Hàm số ln đồng biến • Giới hạn đặc biệt: lim+ x = 0, lim x = + b Sự biến thiên: • y =  x  −1  0,  x >0 Hàm số ln nghịch biến • Giới hạn đặc biệt: lim+ x = +, lim x = • Tiệm cận: Khơng có • Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng c Bảng biến thiên: c Bảng biến thiên: x →0 x →+ x →0 x →+ d Đồ thị Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y = x tập xác định , khảo sát hàm số y = x −2 tập xác định D = \ 0 Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT II CÁC DẠNG TOÁN Bài toán Tìm tập xác định hàm số lũy thừa ( Ví dụ 1: Tập xác định hảm số y = − x + 5x − \ 2;3 A B ( −;2 )  ( 3; + ) ) − D ( 3; + ) C ( 2;3) -sin 2018 ) Ví dụ 2: Tập xác định hảm số y = x ( B ( 0; + ) D  0; + ) -A C ( Ví dụ 3: Tập xác định hảm số y = + x B ( 0; + ) ) \ 0 −2019 D  0; + ) -A C \ 0 ( ) Ví dụ 4: Có giá trị nguyên m  ( −2018;2018) để hàm số y = x − x − m + có tập xác định ? A 4036 B 2018 C 2017 D Vô số -Bài tốn Tính đạo hàm hàm số lũy thừa ( Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số y = − x ) − 5 − − − − 1 B y = − x − x C y = x − x D y = x − x 1− x2 2 -Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền A y = − ( ) ( ) ( ) ( ) GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y = ( + 3cos x ) A y = −24 ( + 3cos2 x ) sin x B y = −12 ( + 3cos2 x ) sin x C y = 24 ( + 3cos2 x ) sin x D y = 12 ( + 3cos2 x ) sin x 3 3 -2 Ví dụ 3: Đạo hàm hàm số y = ( x sin x ) 1 − − 2 x sin x ) B y = ( x sin x ) ( sin x + x cos x ) ( 3 − 2 sin x + x cos x C y = D y = ( x sin x ) cos x 3 x sin2 x A y = ( Ví dụ 4: Đạo hàm hàm số y = + x A y = −1 (3x + x ) (1 + x ) C y = −1 ( x + x ) (1 + x ) 2 ) − ( ) ( ) B y = − + x D y = − + x − − 5 x -Bài toán Khảo sát sự biến thiên nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hỏi f ( x ) hàm số bốn hàm số đây? A f ( x ) = x C f ( x ) = x − B f ( x ) = x D f ( x ) = x -Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) = x − A Hàm số tăng ( 0; + ) C Tập xác định hàm số có đồ thị ( C ) Mệnh đề sau đúng? B Đồ thị ( C ) khơng có tiệm cận D Hàm số khơng có cực trị -BÀI LÔGARIT I – LÝ THUYẾT 1/ Khái niệm : Cho số dương a,b với a ≠ 1, số 𝛼 thỏa 𝑎𝛼 =b đc gọi logarit số a b KH: log 𝑎 𝑏  = log a b  a = b II/Công thức : cho 0 0,  ,   R ta có : 1/cơng thức bản log a = ;log a a = 1; log a a M = M ; a loga M = M 2/ công thức lũy thừa log a M  =  log a M ; log a  M =  log a M ; log a  M  =  log a M  3/ tính chất log a M + log a N = log a ( M N ) ; log a M − log a N = log a ( M ) N 4/ Công thức đổi số log c b log a b = , log a b = , log a b = log a c.log c b log b a log c a Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT III/ Logarit thập phân, logarit tự nhiên Logarit thập phân logarit số 10 Kí hiệu : log10 𝑎 = log 𝑎 = 𝑙𝑔𝑎 - Logarit tự nhiên logarit số e Kí hiệu : log 𝑒 𝑎 = 𝑙𝑛𝑎 (e = 2,718) I I– CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức logarit: a) Phương pháp giải: a  0, a  - Dựa vào định nghĩa logarit: log a b xác định   b  - Sử dụng máy tính cầm tay, CALC giá trị thuộc đáp án đề để thử b) Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức A = 2x −1 − log ( x − 2) A D = ( 2; + ) B D = 0; + ) C D = 0; +) \ 2 D D = ( 0; + ) \ 2 -Ví dụ 2: Với giá trị x biểu thức B = log (2 x − 1) xác định? 1 1  1   A x   ; +  B x   −;  C x  \   D x  (−1; +) 2 2 2   -Ví dụ 3: Với giá trị x biểu thức C = ln(4 − x ) xác định? A x  (−2;2) B x [ − 2;2] C x  \[ − 2;2] D x  \ (−2;2) -Dạng 2: Rút gọn biểu thức a) Phương pháp giải: Vận dụng tính chất, quy tắc tính logarit, đổi số b) Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức P = a3−2loga b ( a  0, a  1, b  0) bằng: A P = a3b−2 Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền B P = a3b C P = a2b3 D P = ab2 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT - a2 a2 a4  Ví dụ 2: log a   bằng:  15 a    12 A B C D 5 -1 Ví dụ 3: Nếu log a x = log a − log a + log a ( a  0, a  1) x bằng: A B C D 5 -Dạng 3: Tính giá trị biểu thức a) Phương pháp giải: Vận dụng tính chất, quy tắc tính logarit, đổi số b) Ví dụ điển hình: 4log Ví dụ 1: Cho (a  0, a  1) , biểu thức E = a a có giá trị bao nhiêu? A 25 B 625 C D 58 -2 C A = log Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = log + 2log9 49 − log A A = 3log Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền B A = log D A = log GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT       Ví dụ 3: Biểu thức log  2sin  + log  cos  có giá trị bằng: 12  12    A −1 B −2 C D log2 −1 -Ví dụ 4: Cho lg x = a,ln10 = b Tính log10e ( x ) bằng: 2ab ab b a A B C D 1+ b 1+ b 1+ b 1+ b -a b c d Ví dụ 5: Cho a, b, c,d  Rút gọn biểu thức S = ln + ln + ln + ln ta b c d a a b c d A S = B S = C S = ln  + + +  D S = ln ( abcd ) b c d a -Ví dụ 6: Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  1, a  b loga b = Biến đổi biểu thức P = log b a b ta a A P = −5 + 3 B P = −1 + C P = −1 − D P = −5 − 3 -Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 10 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Nhận thấy t = nghiệm phương trình (2) t t 5 1 Xét hàm số f ( t ) =   +   R 7 7 t t 5 1 1 f ' ( t ) =   ln +   ln    0, t  R  f ( t ) nghịch biến R f ( t ) = f (1)  t = 7 7 7 Thay t = vào (1) suy x = Tìm m để phương trình log 22 x − log x + = m có nghiệm x  1; 8 Ví dụ 17 A  m  B  m  C  m  Lời giải D  m  Chọn A Điều kiện: x  1; 8 Ta có: log 22 x − log x + = m  log 22 x − log x + = m Đặt log x = t , t  0; 3 Phương trình trở thành: t − 2t + = m Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + , với t  0; 3 f  ( t ) = 2t − , f  ( t ) =  2t − =  t = Bảng biến thiên: Để phương trình log 22 x − log x + = m có nghiệm x  1; 8 phương trình: t − 2t + = m có nghiệm t   0; 3 Do đồ thị hàm số y = f ( t ) phải cắt đường thẳng y = m Từ bảng biến thiên ta thấy  m  thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 18 Tìm tất giá trị thực m để phương trình log ( − x − 3x − m + 10) = có nghiệm thực phân biệt trái dấu A m  C m  B m  D m  Lời giải Chọn C −  x − 3x − m + 10  log ( − x − 3x − m + 10) =    − x − 3x − m + = Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trái dấu  m −   m  Ví dụ 19 Cho phương trình sau: m.log21 ( x − 4) − 2(m2 + 1) log ( x − 4) + m3 + m + = Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 28 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn  x1  x2  B m  ( 0; +) \ {1} A m  ( 0; +) D m ( 0; +) \ {-1} Lời giải C m ( 0; +) \ {2} Chọn B Đặt t = log ( x − 4) , phương trình có dạng: m.t2 - 2(m2 + 1).t + m3 + m + = (1) Suy -1 < t1 < t2(*) m2 + m + C1: m ≠ 0, ta có  =(m - 1) phương trình (1) có hai nghiệm t1 = vµ t2 = m + Khi (*) m  m  0; m   m  0; m  m  0; m     m + 2m + m + m +      m   0 m 1  −1   m m     m  −2 m  − m +  −     Vậy < m ≠ thỏa mãn yêu cầu toán BÀI 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ-BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT PHẦN I: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1.DẠNG BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) Loại 1:  0  a  a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) Loại 2:  a  f x Loại 3: a ( )  b (*) - 0  a  Nếu  (*) ln b  b  Nếu  (*)  f ( x )  log a b 0  a  b  Nếu  (*)  f ( x )  l oga b 1  a f x Loại 4: a ( )  b (**) - 0  a  Nếu  (**) vơ nghiệm b  b  Nếu  (**)  f ( x )  log a b 0  a  b  Nếu  (**)  f ( x )  l oga b 1  a Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 29 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ví dụ Giải bất phương trình ( ) −1 x+1  4−2 Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình 22 x−1 + 22 x−2 + 22 x−3  448 9 9    9   A  −;  B  ; +  C  −; −  D  − ; +  2 2  2     Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình 2x + 2x+2 + 2x+4  3x + 3x+2 + 3x+4  13  A T =  −;log  3     13 B T = log ; +   3   13  C T =  −;log  3     13 D T =  log ; +   3  - Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình A ( −; −1  0;1 C ( −; −1  0; +) ( −2 ) 2x x−1  ( 5+2 ) x B  −1;0 D  −1;0  (1; + ) Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 30 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH THEO MỘT HÀM SỐ MŨ ( ĐẶT ẨN PHỤ) Ví dụ Bất phương trình 5.4x + 2.25x − 7.10x  có nghiệm nguyên? A B C D x − 3.2 x +1 +  có nghiệm ngun âm? Ví dụ Bất phương trình x +1 − A B -1 C D 1 Ví dụ Bất phương trình x +1 có tập nghiệm dạng S = ( −a; b  ( a; + ) với a  Giá trị  − − 5x tổng a + b A B C D DẠNG LẤY LOGARIT HAI VẾ 1 Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình   3 −3 x  32 x +1 1  B S =  −; −   (1; + ) 3  1    C S =  − ;1 D S =  −; −  3    A S = (1; + ) Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 31 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT − x2 +5 x x +1 1 1 Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình      2 4 A S = ( ;1)  ( 2; + ) B S = ( −;1) D S = ( 2; + ) \ 1;2 C S = x Ví dụ Nghiệm bất phương trình x+  36.32− x  − log  x  −2  −3  x  A  B  x  x   − log3 18  x  −2  −4  x  −2 C  D  x  x  Ví dụ Bất phương trình x A log B − log 2x x+1  10 có tập nghiệm ( −; −b )  ( −a; a ) Khi b − a C D + log DẠNG ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Ví dụ Tập nghiệm S bất phương trình 8.3x + 3.2x − 24  6x có dạng S =  a; b Giá trị tổng a + b A B − C + D Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 32 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ví dụ Nghiệm bất phương trình 52 x +  51+ x + x A  x  B  x  C  x  D  x  5.DẠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Sử dụng tính đơn điệu hàm số Tính chất: + Nếu hàm số y = f ( x ) ln đồng biến D bất phương trình: f ( u )  f ( v )  u  v, u, v  D + Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến D bất phương trình: f ( u )  f ( v )  u  v, u, v  D   a Ví dụ Bất phương trình 8x + 2x  27x+1 + 3x+1 có tập nghiệm S =  −;log a  , với phân số tối b b   giản Giá trị a.b A B C D 12 Ví dụ Tập nghiệm S bất phương trình 24− x − x +  A S = ( −;3 C S = ( −;3) B S = ( 3; + ) D S = 3; + ) Hướng dẫn giải Xét hàm số f ( x ) = 24− x − x + có f  ( x ) = −24− x ln −1  0, x  Do hàm số f ( x ) nghịch biến Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 33 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Mà ta có f ( 3) = nên: f ( x )   f ( x )  f ( 3)  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;3 Chọn A 2 Ví dụ Cho phương trình 22 x −15 x +10 − x +10 x −50 + x − 25 x + 150  Số nghiệm nguyên bất phương trình A B C D Hướng dẫn giải  u = x − 15 x + 100  u − v = x − 25 x + 150 Đặt   v = x + 10 x − 50 Thay vào bất phương trình ta được: 2u − 2v + u − v   2u + u  2v + v Xét hàm f ( t ) = 2t + t ta có f  ( t ) = 2t ln +  0, t  , suy hàm số f ( t ) đồng biến Mà f ( u )  f ( v ) nên u  v Do đó: 2x2 −15x +100  x2 +10x − 50  x2 − 25x +150   10  x  15 Vì x  nên x = 10;11;12;13;14;15 Chọn D ( ) Ví dụ Cho bất phương trình 36 x + 3x  9.8 x + 4.27 x Nghiệm bất phương trình 3 A x  ( −2; + ) B x  ( −2; + ) \ 1 C x  (1; + ) D x  ( −; −2 ) Hướng dẫn giải ( 36 + x3 x3 ) 3 x 27 x  9.8 + 4.27  +  +  x + 3x  23 x − + 33 x − x x3 x x3 u = x3 3 Đặt  x + 3x  23 x −2 + 33 x −2  2u + 3u  2v + 3v v = x − , f  ( t ) = 2t ln + 3t ln  0, x  Do hàm số f ( t ) đồng biến Xét hàm f ( t ) = 2t + 3t Mà f ( u )  f ( v )  u  v  x  3x −  x − 3x +   ( x − 1) ( x + )   x  −2   x  ( −2; + ) \ 1 x  Chọn B 2 Ví dụ Biết tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình 4sin x + 5cos x  m.7cos x có nghiệm a a  m   ; +  với a, b số nguyên dương tối giản Tổng S = a + b b b  B S = 15 A S = 13 C S = D S = 11 Hướng dẫn giải Ta có: 4sin x + 5cos x  m.7cos 2   Xét f ( x ) =    28  cos2 x x 5 +  7 Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền    4   28  cos2 x 5 +  7 cos2 x  m cos2 x với x  34 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT  cos x    28  28  Do  nên f ( x )  + hay f ( x )  cos x 28 7        Dấu đẳng thức xảy cos2 x =  sin x =  x = k  Vậy f ( x ) = Bất phương trình có nghiệm m  f ( x ) 6   m  hay m   ; +   S = 13 7  Chọn A DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Phương pháp giải • Đặt t = a x ( t  0) • + Chuyển bất phương trình ẩn t + Sử dụng định lý Vi-ét điều kiện có nghiệm mối quan hệ nghiệm để giải Khi gặp dạng: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc ( x1 ; x2 ) ta giải sau: + Đặt t = a x , t  0, x  ( x1 ; x2 )  t  ( a x1 ; a x2 ) + Chuyển phương trình ẩn t, lập m Chuyển dạng f ( t )  m; f ( t )  m, + Xét hàm f ( t ) tính đạo hàm, lập bảng biến thiên đưa kết luận Chú ý: Hàm f ( x ) liên tục  a, b Xét phương trình f ( x )  m Có nghiệm x  ( a, b ) Tương tự f ( x )  m thì: max f ( x )  m f ( x )  m  a ,b   a ,b  Có min/max Đúng với mợi x  ( a, b ) x0  ( a, b ) f ( x) không đổi dấu f ( x )  m trường hợp max f ( x )  m  a ,b  max f ( x )  m f ( x )  m max f ( x )  m f ( x )  m  a ,b   a ,b   a ,b   a ,b  f ( x )  m trường hợp f ( x )  m  a ,b  Ví dụ Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình 9x − m.3x − m +  nghiệm x  ? A B C D Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 35 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ví dụ Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình m.9x − ( 2m + 1) 6x + m.4x  nghiệm với x  ( 0;1) ? B Vô số A C D PHẦN II BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT I – LÝ THÚT 1.Định nghĩa • Bất phương trình lơgarit bất phương trình có chứa ẩn số biểu thức dấu lơgarit 2.Bất phương trình lơgarit bản: cho a, b  0, a  • Bất phương trình lơgarit có dạng: log a f ( x)  b; log a f ( x)  b; log a f ( x)  b; log a f ( x)  b 3.Phương pháp giải bất phương trình lơgarit • Đưa cùng số  g ( x)  ➢ Nếu a  log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x)  f ( x)  ➢ Nếu  a  log a f ( x)  log a g ( x)    f ( x)  g ( x) • Đặt ẩn phụ • Mũ hóa II – DẠNG TOÁN DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN loga f ( x )  b, loga f ( x )  b, log a f ( x )  b, log a f ( x )  b Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình log3 ( 5x −1)  A S = ( −; ) Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền B S = ( 2; + ) 7  C S =  ; +  5  1  D S =  −;  5  36 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( 3x + 1)  −2     B S =  − ;1 C S = ( −;1) D S =  − ;1     A S = (1; + ) Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) = log ( x + 4) −1 Tìm tất giá trụ thực x để f ( x )  e−4 D x  - A x  B x  −2 C x  DẠNG BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG CÙNG CƠ SỐ loga f ( x )  loga g ( x ) , loga f ( x )  loga g ( x ) loga f ( x )  loga g ( x ) , loga f ( x )  loga g ( x ) Ví dụ 1: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 0,5 ( x + 11)  log 0,5 ( x + x + ) A S = ( −; −3)  (1; + ) B S = ( −3;1) C S = ( −2;1) D S = ( −; −2)  (1; + ) Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 37 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT - Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1)  log ( − x )  1−   1+  ;  A S =  −1;    2     B S = ( −1;2)   1− 1+   1−   1+ ; ; +  C S =  D S =  −;       2     - Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x − x + ) + log ( − x )  1  1  C S =  ;1  ( 5; + ) D S =  ;1 2  2  - A S = 2 − 3;2 +  B 1;+ ) 3.DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ 1: Bất phương trình log x + 3log x +  có tập nghiệm S =  a; b Giá trị a b 2 A 16 B 12 C D - Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 38 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT   2x2  2x2  + log x − Ví dụ 2: Tìm tập nghiệm bất phương trình log 23  x −  2 1    3 1  1  1  B S =  ;  C S =  ;1 D S =  ;5  2  3  2  A x = Ví dụ 3: Nghiệm bất phương trình log x − log ( x ) −  là:  1  1 A x   0;   ( 9; + ) B x   0;   8; + )  4  4 1 1   C x   −;   8; + ) D x   −;   9; + ) 4 4   - DẠNG LOGARIT HÓA loga f ( x )  g( x ) Phương pháp:  f ( x )  a g( x ) (a  1)  (0  a  1) Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log (5 − x )  − x A  x  B  x  log C x  log D x  Ví dụ 2: Giải bất phương trình: log (5 − x )  − x Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 39 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 10 10 10 A x  log B  x  log C x  log D x  log 3 DẠNG GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Ví dụ 1: Tìm m để 0, thỏa mãn BPT log x x B  m  A  m  Lời giải: Điều kiện: x2 2x m 2x m x log x Đặt t BPT có dạng: t Vì t 2x 4t Vậy BPT I : m ,t nên ta x2 m 2x m t log x 2x m x2 2x m x2 2x m x2 2x D m  2x m m 0, hệ (I) có nghiệm với Khi BPT hệ (I) có nghiệm với x x 0, 0, x ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy m m Ví dụ : Xác định m để bất phương trình A m  Lời giải: m x2 x2 2x 1 x log x C  m t BPT có nghiệm với Xét hàm số f x 2x B m  log 22 x log 22  m (1) có nghiệm với  m > C m  D m  Đặt t = log 22 x , điều kiện t > Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền 40 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT t  m (2) Khi (1) có dạng: y = t −1 Vậy (1) nghiệm với  m >  (2) nghiệm với  t >1 t Xét hàm số: y = t −1 Tập xác định D = (1, +  ) t−2 Đạo hàm: y’ = (t − 1)3 y’ =  t - =  t = Bảng biến thiên: t y’ + - + + y Vậy bpt nghiệm với  t >1  m  DẠNG SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phương pháp: - Đưa BPT cho hai vế, vế hàm số đồng biến (hoặc không đổi) vế hàm số nghịch biến (hoặc khơng đổi) - Tìm nghiệm BPT - Dựa vào tính chất hàm số đơn điệu để suy nghiệm BPT Ví dụ 1: Giải bất phương trình: log5 A  x  Lời giải: Điều kiện: x Đặt t log5 x x 5t log x B  x  D x  C x  l 4t BPT trở thành log5 2t Hàm số f t x 2t t 5t 5t t t nghịch biến Bất phương trình trở thành f t Vậy BPT có nghiệm x f f t 1 log4 x x Ví dụ 2: Số nghiệm nguyên âm bất phương trình: log2 x A Lời giải: Điều kiện: B x x 0 x Xét hàm số y = f(x) = log x Hàm số y f1 ( x) C log3 x D 1 log3 x log x y Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền f ( x) log3 x đồng biến 1; 41 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT  Hàm số y log x log3 x đồng biến 1; Ta có f(0) = 1, đó: + Nếu x > f(x) > f(0)  log x log3 x + Nếu -1 < x  f(x)  f(0)  log x 1 nên x > nghiệm log3 x nên -1 < x  khơng nghiệm Ví dụ 3: Số nghiệm nguyên dương bất phương trình: log3 x x 12 x x A Lời giải: x2 x 12 (1) B C D  x − x − 12  4  x     Điều kiện:  x − x − 12 (*) 0  x  −3  7−x  Biến đổi bất phương trình dạng: log3 x Xét hàm số y = f x log3 x x 12 + x − x − 12  log3 ( − x ) + − x (2) x Hàm số y = f(x) hàm số đồng biến (0, +  ) tổng hai hàm số đồng biến y = log3x y = x Khi (2) biến đổi sau f( x − x − 12 )  f(7- x) (*)  x x 12 Giáo viên: Nguyễn Thị Thu Hiền x x x 12 x 61 x   13 x x 61 13 42 ... Thu Hiền GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Bài HÀM SỐ LŨY THỪA I – LÝ THUYẾT Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y = x  , với   gọi hàm số lũy thừa Chú ý:... Nguyễn Thị Thu Hiền 18 GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT... Thu Hiền GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT III/ Logarit thập phân, logarit tự nhiên Logarit thập phân logarit số 10 Kí hiệu : log10