02 giải tích 12 chương II hàm mũ lôgarit

Giải tích 12 www.vmathlish.com CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT §1 LŨY THỪA Đònh nghóa luỹ thừa Số mũ  Cơ số a Luỹ thừa a a  an  a.a a (n thừa số a) a  a  1 a   a n  n a   n N*  0 aR a0   n ( n  N * ) a0 m (m  Z , n  N * ) n   lim rn (rn  Q, n  N * ) a0 a  a  n a m ( n a  b  b n  a) a0 a   lim a rn   m n Tính chất luỹ thừa  Với a > 0, b > ta có:   a a  a   ; a  a   a  a > : a  a     ;  Với < a < b ta có:    ; (a )  a     ; (ab)  a b  a a ;     b b < a < : a  a     am  bm  m  ; am  bm  m  Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên số a phải dương Đònh nghóa tính chất thức  Căn bậc n a số b cho bn  a  Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n ab  n a n b ; Nếu p q  n m n n ap  a na  (b  0) ; b nb m p a p   n a  (a  0) ; a q (a  0) ; Đặc biệt  Nếu n số nguyên dương lẻ a < b n n a mn mn a  mn a am a nb Nếu n số nguyên dương chẵn < a < b Chú ý: www.vmathlish.com n n a nb Giải tích 12 www.vmathlish.com n + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu a + Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối Công thức lãi kép Gọi A số tiền gửi, r lãi suất kì, N số kì Số tiền thu (cả vốn lẫn lãi) là: C  A(1  r )N Câu Thực phép tính sau:: 7 a) A   1     8 3 c) C   2  7     7      7  14   83 d) D  f) F  2 23.21  53.54   0,01 102 103 :102   0,25  102 4.4 64     i) I  32   32  3  18 24  50  e) E   25  4   27 g) G  3  15 84  b) B  92  5  6   0,013 1256  16   2  253  5    h) H   4  253 2  10 81.5 3.5 12  53  k) K   3  18 27     Câu Viết biểu thức sau dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: b3 a ,  a, b   a b a) x2 x ,  x  0 b) d) 23 3 e) 43 c) a8 f) 23 2 b2 b b b Câu Đơn giản biểu thức sau: a1,5  b1,5 a) a 0,5 b 0,5  a0,5b0,5  ab 2b0,5 a0,5  b0,5 1   2  x2  y2 x  y  x2 y2 2y   c)   1 1   xy xy y xy  x y xy  x   e)  a  b3   a  a b b   a0,5  a 0,5   a 0,5   b)   a   a0,5  a  2a 0,5  1 1  1  2 2  x  3y  x  3y x y d)    xy  1     x2  y2     f)  a  b4   a  b4   a 2 b  www.vmathlish.com Giải tích 12 g) 1 www.vmathlish.com  b  c 1  b c a 1  1  2bc a 1   b  c   a 2  2   a  b  c    Câu Đơn giản biểu thức sau: a) a3b a6 b    2   (a  1) h)    1 a    2  a  2a   a a2 a2  ab  ab  b b)  ab  : ab a  ab    a2 x  x a  c)   a2  x  2a x   a x  ax  a x d) a2  x  3 ax  a2 x 3 a2  ax  x  x a6 x   x x x e)     x3     x3   x    x     4 x    x      a a  2a b  a2 b2 a2 b  ab2  f)  3  a3b a  ab  a2 b  ab2 ab  g)   a2  ab  b2 a2  b2 Câu So sánh cặp số sau: a)  0,01  10  g) k)  2   1   a  b   a      b)     4 4  e)  0,001 d) 5300 8200 3  :3 a    4 h)   5 5  1   1 2 4  3 l)     0,3 5   4  c) 52 100 f) 53  0,125  i) 0,0210 5011  2        m)   2     2 10 Câu So sánh hai số m, n nếu: m a) 3,2  3,2 m n b) n  3  3 d)  e)        Câu Có thể kết luận số a nếu:   a)  a  1   a  1 d) 1  a    1  a    2  m   2 m 1 1 c)      9 9 n m  1    1 n 3 1 b)  2a  1   2a  1 e) 2  a4 f)  m  1    1 1 c)   a 0,2  2  a n n  a2  2   f)      a a  www.vmathlish.com Giải tích 12 g) a www.vmathlish.com a h)  17 a   a i) a0,25  a Câu Giải phương trình sau: a) x  1024 d)  3  2x 1   9 2    5 b) x 2  0,25  322 x 8   g)  0,125   2 e)   9 x k) x x  0, 001 x x1       27  125 x 27  64 h) 0,2  0,008  x x 12     3 f)   2 32 x 5 x  1   i)    49  x l) c) 81  x  x 7 7   3 m) 71 x 41 x  x 3 28 Câu Giải bất phương trình sau: x 1 b)    0,04  5 x a) 0,1  100 d) 1 e)   3 x2 49  343  27 Câu 10 Giải phương trình sau: g)   x x x 1 x h) 27 c) 0,3 x  100 9 27 f) 3x     i)     64  x a) x  x2  20 b) x  x1  12 c) 5x  5x1  30 d) x 1  x  x 1  84 e) 42 x  24.4 x  128  f) x 1  22 x 1  48 g) 3.9x  2.9 x   h) 3x 5 x  1 i) x  x1  24  www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com §2 HÀM SỐ LŨY THỪA Đònh nghóa Số mũ  Hàm số y  x  = n (n nguyên dương) y  xn  = n (n nguyên âm n = 0) y  xn D = R \ {0}  số thực không nguyên y  x D = (0; +) Chú ý: Hàm số y  xn Tập xác đònh D D=R không đồng với hàm số y  n x (n  N *) Đạo hàm  x    x 1 ( x  0) ;   n x   Chú ý: n n x n1  u    u 1.u Câu Tính giới hạn sau:  x  a) lim   x    x  x  3x   d) lim   x   x    1 b) lim    x   x x 1 ln x  x e x  e g) lim x 1 x  x 1  e) lim   x   x   x e2 x  x 0 x h) lim e x  e x esin x  esin x k) lim l) lim x 0 sin x x 0 x Câu Tính đạo hàm hàm số sau: x 1 x 1 a) y  x  x  b) y  d) y  sin(2 x  1) e) y  cot  x g) y  sin x 3  n u    với x  n chẵn   với x  n lẻ    11  x9 n n u n1 x 1  2x   f) lim   x   x   x ex  e x 1 x  i) lim m) lim x  e  1 x x  c) y  h) y   x 1  c) lim   x   x   u f) y  x2  x  x2  1 2x 1 2x i) y  x2  x  x2  x  Câu Tính đạo hàm hàm số sau: www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com a) y  ( x  x  2)e d) y  e x b) y  ( x  x )e 2x  x e) y  x.e g) y  x.ecos x x c) y  e x x f) y  3x h) y  sin x e2 x  e x e2 x  e x i) y  cos x.ecot x x  x 1 Câu Tính đạo hàm hàm số sau: 2 x a) y  ln(2 x  x  3) b) y  log2 (cos x ) c) y  e x ln(cos x ) d) y  (2 x  1)ln(3x  x ) e) y  log ( x  cos x ) f) y  log3 (cos x ) g) y  ln(2 x  1) h) y  ln(2 x  1) x 1 2x  Câu Chứng minh hàm số cho thoả mãn hệ thức ra: a) y  x.e  x2 2; xy  (1  x )y  i) y  ln x   x  b) y  ( x  1)e x ; y  y  e x c) y  e4 x  2e x ; y  13y  12y  d) y  a.e x  b.e2 x ; y  3y  2y  g) y  e x sin x; h) y  e x cos x; y   4y  i) y  esin x ; l) y  x x e ; y  2y  2y  y cos x  y sin x  y   k) y  e2 x sin 5x; y  y  29y  y  y  y  e x m) y  e4 x  2e x ; y  13y  12y  n) y  ( x  1)(e x  2010); y  xy  e x ( x  1) x 1 Câu Chứng minh hàm số cho thoả mãn hệ thức ra:   y ; xy  y  y ln x  1 a) y  ln  b) y   ; xy   e  x  ln x 1 x  c) y  sin(ln x )  cos(ln x); y  xy  x y  d) y   ln x ; x y  ( x y  1) x (1  ln x ) x2  x x   ln x  x  1; y  xy  ln y 2 Câu Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số ra: e) y  a) f '( x)  f ( x); f ( x)  e x ( x  3x  1) b) f '( x )  f ( x )  0; x f ( x )  x ln x c) f '( x )  0; f ( x )  e2 x 1  2.e12 x  7x  d) f '( x )  g '( x ); f ( x )  x  ln( x  5); g( x )  ln( x  1) e) f '( x )  g '( x ); f ( x )  52 x 1; g( x )  x  x ln www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com §3 LƠGARIT Đònh nghóa  Với a > 0, a  1, b > ta có: loga b    a  b a  0, a  Chú ý: loga b có nghóa  b  lg b  log b  log10 b  Logarit thập phân: n  1 ln b  loge b (với e  lim     2,718281 )  n  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): Tính chất  loga  ; loga ab  b ; loga a  ; a loga b  b (b  0)  Cho a > 0, a  1, b, c > Khi đó: + Nếu a > loga b  loga c  b  c + Nếu < a < loga b  loga c  b  c Các qui tắc tính logarit Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có: b  loga    loga b  loga c c  loga (bc)  loga b  loga c  loga b   loga b Đổi số Với a, b, c > a, b  1, ta có: loga c  logb c  hay loga b.logb c  loga c loga b  loga b  logb a  loga c  Câu Thực phép tính sau: b) log5 a) log2 4.log d) g) log2 log e) log2 9 log a3 a.log a a1/3 log a7  log a c (  0) log27 25 c) loga a f) 27 h) log3 6.log8 9.log6 i) log9 4 log8 27 2log3  4log81 a log3 k) 81 n) log6 log9 36  27 4 log8 4log9 3 log5 l) 25 1 log9 o) log7 32 log m)  49 2log2 4 log125 27 5 p) log 3.log3 36 www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com 0 q) lg(tan1 )  lg(tan )   lg(tan89 ) r) log8  log4 (log2 16) log2 log3 (log 64)  Câu Cho a > 0, a  Chứng minh: loga (a  1)  loga1 (a  2) loga1 (a  2) HD: Xét A = loga (a  1) = loga1 a(a  2) Câu So sánh cặp số sau: a) log3 log d) log  loga1 a.loga1(a  2)   2 c) log g) log7 10 log11 13 d) Chứng minh: log = 1 b) log0,1 log0,2 0,34 1 log 80 15  2 HD: loga1(a  1)2 loga1 a  loga1(a  2) log 5 log6 log6 e) log13 150 log17 290 f) h) log2 log3 i) log9 10 log10 11 1   log 80 15  2 e) Chứng minh: log13 150   log17 290 g) Xét A = log7 10  log11 13  = log7 10.log7 11  log7 13 log7 11  10.11.7 10 11   log7 log7  >  log7 log7 11  7.7.13 7 h, i) Sử dụng Câu Tính giá trò biểu thức logarit theo biểu thức cho: log49 32 theo a a) Cho log2 14  a Tính b) Cho log15  a Tính log25 15 theo a c) Cho log  0, 477 Tính log 9000 ; log 0, 000027 ; log81 100 d) Cho log7  a Tính log 28 theo a Câu Tính giá trò biểu thức logarit theo biểu thức cho: 49 a) Cho log25  a ; log2  b Tính log theo a, b b) Cho log30  a ; log30  b Tính log30 1350 theo a, b c) Cho log14  a ; log14  b Tính log35 28 theo a, b d) Cho log2  a ; log3  b ; log7  c Tính log140 63 theo a, b, c Câu Chứng minh đẳng thức sau (với giả thiết biểu thức cho có nghóa): a) b loga c c loga b b) logax (bx )  www.vmathlish.com loga b  loga x  loga x Giải tích 12 c) loga c logab c www.vmathlish.com   loga b ab  (logc a  logc b) , với a2  b2  7ab e) loga ( x  y )  log a  (loga x  loga y) , với x  y2  12 xy d) logc f) logbc a  logcb a  logc b a.logcb a , với a2  b2  c2 g) 1 1 k (k  1)       loga x loga2 x loga3 x loga4 x log ak x log a x h) loga N logb N  logb N logc N  logc N loga N  i) x  10 k) l) 1 lg z , y  10 1 lg x z  10 1 lg y loga N logb N logc N logabc N 1 1     log2 N log3 N log2009 N log2009! N loga N  logb N logb N  logc N  loga N logc N , với số a, b, c lập thành cấp số nhân www.vmathlish.com VanLucNN www.facebook.com/VanLuc168 Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng www.vmathlish.com Giải tích 12 www.vmathlish.com §4 HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LƠGARIT Hàm số mũ y  a x (a > 0, a  1)  Tập xác đònh: D = R  Tập giá trò: T = (0; +)  Khi a > hàm số đồng biến, < a < hàm số nghòch biến  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang  Đồ thò: y y y=ax y=ax 1 x x a>1 0 hàm số đồng biến, < a < hàm số nghòch biến  Nhận trục tung làm tiệm cận đứng  Đồ thò: y y y=logax y=logax O x x O a>1 0