Trong d ng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó thường là hệ thứ[r]
CHUYEN DE SO PHUC Kiến thức Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bỉ z” =a' + b7 Ta định nghĩa: Z+z'=(a+a)+(b+b}i¡ an (a—=a)+(b—b}i Zz'= qa — bb + (ab — a'b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + b¡ #0 (tic la a’ +b’ > 0) Ta định nghĩa số nghịch đảo z” số phức z # số Pap I1Z= Ey Zz Thương * phép chia số phức z° cho số phức z # xác định sau: xj Cac dang bai tap 2.1 Dạng 1: Các phép toán số phức , Ví dụ 1: Cho sơ phức z = “si , Tính sơ phức sau: — — z; z7: (zy: l+z+2 Giải: snz- XS 1z - M3, 1, 2 *#Ta có zˆ = 43_1, 1p M3, 2 v3, 2 =>(z}= 431, _3,12,3, 1L A3, Chuyén cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 (zy (zy tate tatty CSTs WS V3_ 1,1 vB, _3+v3_1+N3, Ta có: l+z+z“=l+—— i+— —i= 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z= (1+?)(— 2i + a +i Giải: Ta có (3+G-j ".n 10 53 9, Suy y số p phức liên hợpIp z là: zZ = ——_—_Ï I0 TƠ Ví dụ 3: Tìm phân ảo số phức z biết z= (V2 + i) (1 — V2i) Giải: Z =(1+2W2i)(1-V2i)=5+2i Suy ra, z=5-N2i Phan ảo số phức z =—^2 Vi du 4: Tìm mô đun số phức z= ae ——— eos Giải: „ Ta có: + 2i 5+i z=——=l+—¡ 5 Vậy mơ đun z bang: |z| = J3] Ví du 5: Cho số phức z thỏa mãn Giải: Ta cé: (1- V3!) =-8 - z = =ve (I-M3) ï —Ĩ ¬ —— Tìm mơđun sơ phức z +7z Do -i= = di = c= 444i —l Chuyén cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 => z+ic=—4—4i+(-4+4i)i=-8-81 Vay [¢ +iz| = 82 Ví dụ 6: Tìm số thực x, y thỏa mãn đăng thức: a) 3x +y+5xi=2y—1+(x-y)i b) (2x + 3y + l)+(—x + 2y)! = (3x — 2y + 2) +(4x— y— 3)1 c) x(3+5i)+ y(1-2i) =-35 +23: Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5x = 2y— +(x— y)Í —x+2y=4x-y-3 > =| Í-x+5y=I > & —3x+3y=-3 + H ¢) Tacé (1-21) = (1-21) (1-21) = (-3—-41) (1-22) = 2i-11 Suy x(3+5i)+ y(1—2i) =-35+ 237 & x(3+5i)+ y(2i-11) =-35 +4 23) S(Gr=)+(Sx+29)7=-351 28 > -1ly=- » Pf 5x+2y = 23 = ° y=4 Bai (tập tự luyện Bail Tìm số thực x, y biết: a) (3x—2) + (2y +l)I=(x+ l)—(y— 5)1; b) (2x+y)+(2y—-Xx)!=(x— 2y +3) + (y + 2x +])1; Bài Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) số thực Bài Tìm số thực x, y thỏa mãn đăng thức: x(3 - 21) 2+3i +y(—27)' =11+4i Bài Cho hai số phức: z¿ =2+5¡; z„ =3— 4¡ Xác định phân thực, phân ảo số phức z,.z, Bài Š Tìm phân thực, phân ảo mô đun sô phức: Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 a) 2=(2+3/)0—-i)—4i b) z=(2-21)(3+ 21)(5— 41) — (2+ 3i)° c) z = 2i(3 + (2 + 4i) d)z= ys _ —2+5i (1+ 2i)(-4+ 1) e)Z= —————— (I+3J)(-2—)(1+¡) y , ok „ Bài Tìm sơ phức: 2z+z d—i)(4+ 31) ma 251 “A ——, biệt z=3-— 4¡ < , ` ` , Bài Cho sơ phức z = + 3i.Tìm phân thực phân ảo sô phúc Bai Cho số phe z=- 147i + z+ỉ w= * IZ — + (3—2i)(—1+ 37) Tính mơ đun z tìm tọa độ điểm biéu dién hình học z hệ tọa độ Oxy Bài Cho z thỏa mãn (2 + i)z + 2q+ 20 +1 =7+8¡ Tìm mơđun số phức w =z + l+i Bài 10 Số phức z thỏa mãn (1+7'(2—?)z=8+¡i+(1+27)z Tìm phần thực, phân ảo z : Baill 4:Ä CẢI Cho sôẦ phức z thỏa mãn (I — 2i) Z— Tay= = (3 — i) z.Tìm tọa độ^ điêm biêu diễn củaở z +1 mặt phẳng tọa độ Oxy Bài 12 Tìm số phức z biết z” = 18 + 26i, dé z =x + yi (x,y € Z) 2.2 Dang 2: Tinh i" va 4p dung Chú ý: ge ia i Tị; t2 —-1;j"9#=-i;VneNVậy?e {-1;1:-ii),VneN % (1+i)? =2i;(1-i) =-2i w A;A, Vidu 1: Tinh: i! +417 i7°-i** Giải: ,:105, :23 , :20 :34 :426+1 , :4543 , :45 4.842 Tacói 3+1 +1 -iï =i ” + xi” +1 -_T =i-i+1+1=2 Ví dụ 2: Tính số phức sau: Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 a)z= (140) b) z= T \16 I (=| \8 1+i Giải: a) Taco: (1 +i)? =14+2i-1=2i5 (1 +i)" =(2i)’ = 128.4 = -128.i nên z = (I+i)Ÿ = (1+! (1+) = -128i (1+) = -128 (-1 + i) = 128 — 128i b) Ta co: ltt (40+) 1-1 ~ — =_i vay TT l+¡ 1-1 1-1 1+i _ _, 16 1-1 (=) =i'6 +(-i)* = l+¡ Ví dụ 3: Tìm phân thực, phân ảo số phức sau: 1+(1+2)+(1+7 +(+?} + +(1+7) Giải: Pai v(ivi)(teiy rnin (1+i)" -[(+?Ÿ Ïq+i)=(@)"(1+0)=-2" _—2°(I+7)-1 => P= asi =-2"+(2"+1)i¡ I Vậy phân thực —2'° va phan ao la 2'° +1 > Bài (âp tự luyện Bail Tìm phân thực, phân ảo sô phức sau: N2 " (a)—i +(I-i)° +(243/)(2-3i) +! i Bài Tìm phân thực phần ảo số phức z thỏa mãn: Bài Tim phản thực, phần ảo số phức z =(1+?)” (z +2— 3i)(1 — i) =(+Д"' 2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z, z, |z| ta sử dụng Dang dai s6 clazla z=x+ yi voi x,yER Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z—(2+3i)z =|-9i Gidi: Goi z= at bi (a,b € RF) ta co: z~(2+3i)z=1—9¡ ©a+bi—(2+3i)(a—bi) =1—9i ©=-a—3b~ —q— 3b = ] (3a~— 3b)¡ = I— 9¡ © 3a—-—3b=9 a=2 b=-] Vậy z= 2-i Ví dụ 2: Tính mơ đun số phức z biết rằng: (2z —1)(1+ i) + (z + i)(1- i) =2-2i Giai: Goi z= at bi (a, be KR) Ta có (22-1)(1+i)+( 42 =] 16 Ví dụ 2: Trong mặt phăng Oxy, tìm tập hợp điêm biêu diễn sô phức z thỏa mãn |z-¡|=|(I+?)4| GIảI: Dat z= xt yi (x,y € RK) Ta co: Chuyén cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 Iza] =|(1+i) 2] |x+(y-1)=|(x-y) + (x4 y)i ©x+(y-1 =(x-y} +(x+ y) ©x?+y°+2xy-l=0©x?+(y+l) =2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn có phương trình x” + ( y+ ly =2 Ví dụ 3: Cho số phức z, = (1+V3i) (+? - Tìm tập hợp điểm biểu diễnA = |: +2i4 , biét rangx — y—1=0 Giải >t › - -4t=0< t=4 ¡=0— B(0:—1),C(4:— 1) t =4 =B(4;-1),C(0;-1) Giasu z,=x+yi x,yER Np = (a,b,c),a° +bˆ+c biéu dién béi diém M(x:y) Khi ta có: z0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z„ đường trịn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện lz —2— 4i = |z —2i| Tìm số phức z có mơđun nhỏ Giả sử số phức z cần tìm có dạng z=x +yi Ta có|x~2+(y~4)|=|x+(y-2)[_d)_ y=—x+4 (x,y e R) biểu diễn điểm M(x;y) ©-2+(y-4Ÿ =vJ3+(y-2Ÿ Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thắng y=4 Mặt khác \z|= x? +y =x x + +x° —8x+16 = 2x? —8x+16 Hay |z|=/2(x-2) +8 >2v2 Do lz|, Z =x-— yí Gọi z=x+ yi(x,yeR) Ed+o~3+3|= Gọi M (x:y) =0 Ö ea2+y9x~5y+ điểm biểu diễn z mặt phắng tọa độ Oxy=> M e (C) đường trịn có tâm v26 ICL; bán kính Đ =——— 2 Goi d 1a dudng thang di quaaO val >d:y=5x , 1 Goi M;, M2 la hai giao diém cua d va (C) > M (2:2) va M, (4:2) 4 4 ,„ Ta thây JOM,>OM, Ø@M,=OI+R>OM(M r ` sô phức cân tìm ứng với điêm biêu diễn M: hay z = + a! r ¬- ¬ RoR CÁ ° DỰ z+24+3i, Ví dụ 7: Tìm tập hợp điêm biêu diễn sô phức z cho # = —————— zZ-1 ¿ ho sô thuân ảo Giai Dat z= xt yi (x, y € RK), đó: s (x+2)+(y+3)¡ _ I(x+2)+(y+3)¡ |[x—(y—1)i | " x+(y-])¡ x+(y-1} Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 (?+y?+2x+2y-3}+2(2x- y+])¡ x +(y-ly u số ảo vty +2xt+2y-3=0 x 4(y-l) (x+1ÿ +(y+1} =5 >0 (x; y) (0:1) Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường trịn tam I(-1;-1), bán kính V5 > trừ điểm (0;1) Bai tap tu luyén Bail Gia st M(z) la diém trén mat phang toa d6 biéu dién sé phic z Tim tap hop nhting diém M(z) thoa man diéu kién sau a) |e+(=30|=|e+3—2j| —b) 2\z-a=|e-z+2i] , © |z—(3-4j|=2 Bài Trong sô phức thỏa mãn |z —2+ 3i = 2" Tìm sơ phức z có mơđun nhỏ nhât Bài Trong mặt phăng tọa độ Tìm tập hợp điểm biều diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: |z — i = E —3i- 2|, Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện |z —2— 4i = lz —2i| Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện lz +1- Sỉ = E +3- Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn |z —2— i = V52, tìm số phức z mà |z —4+2ïÏ nhỏ nhật Bài Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Trong tất số phức z thỏa mãn |z —2+ 2i| = 1, tìm số phức có H nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện (I+¡)z —Ï + 2| =1.Tìm số phức có mơ đun nhỏ nhất, lớn 2.5 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.5.1 Van dé Tim bậc hai số phức (Đọc thêm) Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p,1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55 Cho số phức w = ø + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w = => w có bậc hai +) Nếu w=a >0 (a € R) > wco hai can bac hai la Ja +) Nếu w =a< (a e R) — w có hai bậc hai va-VJa J—ai va -J—-ai +) Nếu w =ø + bi (b#0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bac hai cla w & z* = w © (xtyi) =a + bi c„ịx 2_— y2 — y=a 2xy=b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Môi sô phức khác có hai bậc hai hai sơ đơi Ví dụ: Tìm bậc hai sơ phức sau: a) 4+6A5¡ b) -1-2^/6i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w =4 + 6^/5¡ Khidb/2 S914 650 | -35 JYSSC eoyag Ko 2xy =6 ei Pag (2) X (2) â x~4x~ 45 =0 âx=9ôââx=+3 x=3>y= V5 x=3>y=-V5 Vậy số phức w = 4+ 6^/5 ¡ có hai bậc hai là: z¡=3+AJ5i z2 = -3 -^|5i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2^/6 ¡ Khi do: 27 = w © (xtyi)’=-1-2V6ic eye 2xy =-2V6 S [yes x @ vo (2)©x†+x?-6=0