Ly thuyet va cac dang bai ve so phuc 20172018 File word co loi giai chi tiet

Trong d ng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó thường là hệ thứ[r]

* Phép chia số phức khác 0

Cho số phức z = a + b¡ #0 (tic la a’ +b’ > 0)

Ta định nghĩa số nghịch đảo z” của số phức z # 0 là số

Suy ra số phức liên hợp của y p Ip z là: z = Z I0 TÔ

Ví dụ 3: Tìm phân ảo của số phức z biết z= (V2 + i) (1 — V2i)

Z =(1+2W2i)(1-V2i)=5+2i Suy ra, z=5-N2i

Phan ảo của số phức z =—^AÍ2

——— Vi du 4: Tìm mô đun của số phức z= ae + 2i

=> z+ic=—4—4i+(-4+4i)i=-8-81 Vay [¢ +iz| = 82

Bài 4 Cho hai số phức: z¿ =2+5¡; z„ =3— 4¡ Xác định phân thực, phân ảo của số phức z,.z, Bài Š Tìm phân thực, phân ảo và mô đun của sô phức:

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p, 1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55

hình học của z trong hệ tọa độ Oxy

2q+ 20

+1

Bài 9 Cho z thỏa mãn (2 + i)z + =7+8¡ Tìm môđun của số phức w =z + l+i

Bài 10 Số phức z thỏa mãn (1+7'(2—?)z=8+¡i+(1+27)z Tìm phần thực, phân ảo của z

Bài 12 Tìm số phức z biết z” = 18 + 26i, trong dé z =x + yi (x,y € Z)

2.2 Dang 2: Tinh i" va 4p dung

a) Taco: (1 +i)? =14+2i-1=2i5 (1 +i)" =(2i)’ = 128.4 = -128.i

nên z = (I+i)Ÿ = (1+! (1+) = -128i (1+) = -128 (-1 + i) = 128 — 128i

Pai v(ivi)(teiy rnin

(1+i)" -[(+?Ÿ Ïq+i)=(@)"(1+0)=-2" asi

_—2°(I+7)-1

=> P= =-2"+(2"+1)i¡

I Vậy phân thực là —2'° va phan ao la 2'° +1

> Bài (âp tự luyện

Bail Tìm phân thực, phân ảo của các sô phức sau:

N2

" (a) +(I-i)° +(243/)(2-3i) +! —i i

Bài 2 Tìm phân thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn: (z +2— 3i)(1 — i) =(+Д"'

Bài 3 Tim phản thực, phần ảo của số phức z =(1+?)”

2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p, 1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55

Goi z= at bi (a,b € RF) ta co:

z~(2+3i)z=1—9¡ ©a+bi—(2+3i)(a—bi) =1—9i

Ví dụ 4: Tìm sô phức z thỏa mãn hai điêu kiện: |z+1—2i|=|z+3+4i Và ——— là một sô thuân ảo

Goi z= at+ bi (a, b R) ta có:

2 +|e) +2a(atbi) =a? +b? +a-bi

Sa’ —b’ +2abi=a° +b’ +a-bi

Từ (1) va (2) ta c6 x=1; y=0 hoac x=-1; y=2

Vay z=1; z=-14+ 21

> Bai tap tu luyén

Bai 1, Tim s6 phire z thoa man: |z — 2 +i] = 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vi

Bài 2 Tìm số phức z thoa man: | z| - iz = 1— 2i

Bài 3 Tìm số phức z thỏa mãn: |z —(2+ i)| =AÍ10 và z.z= 25

Bài 4 Tìm số phức z thỏa mãn |z—(I+ 2i)| =Al26 và z.z=25

Bài 5 Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:

a) lz| =2 vàz là số thuầnảo b) H = 5 và phân thực của z bằng hai lần phần ảo của nó

Bài 6 Tìm số phức z thoả mãn |z| = A2 và z? là số thuần ảo

Bài 7 Giải phương trình:

a) z?+z=0 b) z°+|z|= z

Bài 8 Tìm số phức z biết (z+I)(I+ + =|z[ —Ï

Bài 9 Tìm số phức z biết: lz — | =l và (l+¡)( z —1) có phan ao bang 1

Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn: |z — | =5 và l7(z+ z)=5zz

|= V5

Bài 11 Tim số phức z thỏa mãn

1s i) “Oi

2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học một số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức) Khi đó ta giải bài toán này như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y e R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phăng phức bởi điểm M(x;y) Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm múi liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M

a) |z=l+il=2 — b) |J2+4|=ll-j c)|z— 4i|+|z + 4i|= 10

© (x-l + (y + LÝ =4.— Tập hợp các điểm MŒ) trên mặt phăng tọa độ biểu diễn số phức

z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(I:-1) và bán kính R = 2

b) Xét hệ thức |2+ z|=|z—i|_ © |&«+2) +yil = |-x+(1-y)i

Iza] =|(1+i) 2] <> |x+(y-1)=|(x-y) + (x4 y)i

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z=x +yi (x,y e R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)

Ta có|x~2+(y~4)|=|x+(y-2)[_d)_ ©-2+(y-4Ÿ =vJ3+(y-2Ÿ

<> y=—x+4 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thắng x +

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p, 1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để

10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55

u là số thuần ảo khi và chỉ khi

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tam I(-1;-1), bán kính V5 trừ điểm (0;1)

> Bai tap tu luyén

Bail Gia st M(z) la diém trén mat phang toa d6 biéu dién sé phic z Tim tap hop nhting diém M(z)

thoa man diéu kién sau

a) |e+(=30|=|e+3—2j| —b) 2\z-a=|e-z+2i] © |z—(3-4j|=2

Bài 2 Trong các sô phức thỏa mãn |z —2+ 3i = 2" Tìm sô phức z có môđun nhỏ nhât

Bài 3 Trong mặt phăng tọa độ Tìm tập hợp điểm biều diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

|z — i = E —3i- 2|, Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ nhất Bài 4 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z —2— 4i = lz — 2i| Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Bài 5 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện lz +1- Sỉ = E +3- Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

Bài 6 Trong các số phức z thỏa mãn |z —2— i = V52, tìm số phức z mà |z —4+2ïÏ là nhỏ nhật Bài 7 Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Trong tất cả các số phức z thỏa mãn

2.5 Dạng 5 Phương trình bậc hai trên tập số phức

2.5.1 Van dé 1 Tim căn bậc hai của một số phức (Đọc thêm)

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p, 1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55

Cho số phức w = ø + bi Tìm căn bậc hai của số phức này

Phương pháp:

+) Nếu w = 0 => w có một căn bậc hai là 0

+) Nếu w=a >0 (a € R) > wco hai can bac hai la Ja va-VJa

+) Nếu w =a< 0 (a e R) — w có hai căn bậc hai là J—ai va -J—-ai

Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y Mỗi cặp (x y) nghiệm đúng phương trình

đó cho ta một căn bậc hai của w

Nhận xét: Môi sô phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai sô đôi nhau

Vậy số phức w = 4+ 6^/5 ¡ có hai căn bậc hai là: z¡=3+AJ5i và z2 = -3 -^|5i

2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2^/6 ¡

x= 2 =y=-3

x=-2 =y= 43

Vậy số phức w =4 + 6/5 ¡ có hai căn bậc hai là: z¡ = V42 -^/3i và Z2 -/2 +35

2.5.2 Van đề 2: Giải phương trình bậc hai

Cho phuong trinh bac hai: Az’ +Bz +C = 0 (1) (A, B,C € C, A#0)

#) Nếu A # 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z¡ = — ồ ,Z2= — ồ

(trong đó ồ là một căn bậc hai của A)

*) Néu A = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z¡ = Z2 = ¬

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau trên tập sô phức

Phương trình đã cho tương đương với z” — (4 + 31 ) z+1+7i=0

Phương trình có biệt thức A =(4+ 3i) —4(1+7i) =3-4i =(2- i)

Phương trình có hai nghiệm là: z = [+ 27 và z=3+¡

> Bài (âp tư luyện

Bail Cho z, z, là các nghiệm phức của phương trình 2z”—4z+11=0 Tính giá trị của biểu thức

(z, -—DP +z, ĐẾ””

2.5.3 Van dé 3: Phuong trình quy về bậc hai

- Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai

- Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cô găng phân tích về trái thành nhân

tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai

- Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ấn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải

q Phương pháp phân tích thành nhân tứ

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm ( để 15p, 1 tiết,học kỳ,giáo án,chuyên để 10-11-12, đề thi thứ 2018, sách word) -L/H tw van: 016338.222.55

Ví dụ 2: Giải phương trình trên tập hợp số phức: z” — zÌ+6z” -6z—16=0

Giải:

Nhận biết được hai nghiệm z=-l và z=2

Phương trình đã cho tương đương với (z — 2) (z + I)(<? + 8) =0

Giải ra ta được bốn nghiệm: z=—Ï; z=2; z= +24/2i

Vi du 3: Cho phuong trinh sau: z* + (2 — 2i)z” + (5 — 4i)z — 10i = 0 (1)biết rằng phương trình có nghiệm

thuần ảo (Tham khảo)

Giải:

Đặt z = yI với y e R

Phương trình (1) có dạng: (iy)? + (2i-2)(yi)? + (5-4i)(yi) — 10i = 0

© -iy`— 2y” + 2iy” + 5iy + 4y— 101 =0 =0 + Oi

đồng nhất hoá hai về ta được:

er táy=6 giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2

—y`+2y°+5y-I0=0

Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i

* VỊ phương trình (1) nhận nghiệm 2I

— về trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:

z”+(2—21z”+(5—4i)z— I0i =(z—20ŒŸ +az + b) (a,b eR)

đồng nhất hoá hai về ta giải được a = 2 và b = 5

Chuyên cung cấp tài liệu file word dạng trắc nghiệm (để 15p, 1 tiễt,học kỳ,giáo án,chuyên đề 10-11-12, dé thi thử 2018, sách word) -L/H tư vẫn: 016338.222.55

Khi đó ta có phương trình (z + 2)(z — (5 — i)z +8— i) =0

Tìm được các nghiệm của phương trình 1a z= -2; z= 2+ i; z= 3- 21

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo 1a bi, be R

Thay vào phương trình ta được:

C6 A= (143i) +16=8+61=9+6i+7 =(3+i)

voi tet! & 277 -(143i)z-2=0(4)

> Bai tap tw luyén

Bail Giải phương trình z” + (1 — 2i)z’ + (1 — i)z — 21 = 0., biét rang phuong trinh c6 mot nghiém thuần ảo.(tham khảo)

Bài 2 Cho phuong trinh: z’ — (4 + iz’ + (3 + 8i)z— 15i = 0 Biết phương trình có một nghiệm thực

Gol Z1, Z2, Z4 là các nghiệm của phương trình Hãy tính | zl + | z| + Iz;[

Bài 3 GOl Z¡,Z¿,Z;, Z„ là bón nghiệm của phương trình zÝ — z” — 2z” +6z—4=0 trên tập số

phức tính tông S = s+ 5+5+5

Ñ{ < S4 Sa Bài 4 Giải các phương trình trên tập số phức: