20 bài toán thực tế ôn thi THPT Quốc gia có lời giải chi tiết

Câu 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và [r]

(1)

20 BÀI TỐN TỐN THỰC TẾ ƠN THI THPT QUỐC GIA (Có lời giải)

Câu 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng khơng nắp, có chiều cao h tích

V Hãy tính chiều cao h hồ nước cho chi phí xây dựng thấp nhất?

A h=1 m B h2 m C.h 3m

2

 D.h 5m

2



Hướng dẫn giải

Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp

Theo đề ta có y3x V hxy h V V2

xy 3x

   

Để tiết kiệm nguyên vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hồ nước nhỏ

Khi ta có:

tp 2

V V 8V

S 2xh 2yh xy 2x 2.3x x.3x 3x

3x 3x 3x

       

Ta có

2 Cauchy

2 3

tp

8V 4V 4V 16V

S 3x 3x 36

3x 3x 3x

      

Dấu “=” xảy

2

4V 4V V

3x x h

3x      3x 2

Vậy chọn C

Câu 2: Từ miếng tơn hình vng cạnh a(cm) người ta muốn cắt hình chữ nhật hai hình trịn có đường kính để làm thân đáy hình trụ Hỏi khối trụ tạo thành tích lớn bao nhiêu, biết cạnh cảu hình chữ nhật song song trùng với cạnh ban đầu tôn

A

 

3

a

4



  B

 

3

2

a

4



 C

 

3

2

a

4

 

 D

2

a

  Giải

Ta có cách để cắt hình để tạo thành hình trụ

+) Cách 1: Cắt thành phần: Một phần có kích thước x a Một phần có kích thước a-x a Phần có kích thước x a để làm hai đáy phần có kích thước a-x a cuộn dọc để tạo thành thân (tạo thành hình trụ có chiều cao a) Điều kiện x a

1 

   

2

ax a

V

4 4 1

 

 

(2)

+) Cách 2: Cắt Nhưng phần có kích thước a-x a cuộn ngang để làm thành thân (tạo thành hình trụ có chiều cao a-x) Điều kiện xa

 chu vi hình trịn cắt phải với

phần đáy hình chữ nhật Khi  

2

a x x

V

4

 



Xét hàm số  

2

a x x

V

4

 

 , với xa



Ta có    

2

a x x a

V

4

  

 



Vậy thể tích lớn khối trụ tạo thành là:  

3

a

4

 

Câu 3: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi trữ lượng dầu nước A hết sau 100 năm Nhưng nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% năm Hỏi sau năm số dầu dự trữ nước A hết

A 45 năm B 50 năm C 41 năm D 47 năm

Giải

Giả sử số lượng dầu nước A 100 đơn vị

Số dầu sử dụng không đổi mà 100 năm hết suy số dầu nước A dùng năm đơn vị Gọi n số năm tiêu thụ hết sau thực tế năm tăng 4%, ta có

   n 

1.04

1 0,04 0,04

100 n log 4,846 40,23

0,04

  

   

Vậy sau 41 năm số dầu hết

Câu 4: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thể tích nước bơm sau t giây Cho h t’ 3at2bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 150m 3

Sau 10 giây thể tích nước bể 1100m3 Hỏi thể tích nước bể sau bơm 20

giây

A.8400m3 B.2200m3 C 6000m3 D 4200m3 Hướng dẫn giải

Ta có  

2

2 bt

(3at bt)d

h t t at

2

(3)

Khi đo ta có hệ:

3

1

5 a b.5 150 a 1

2

1 b

10 a b.10 1100

2

  

  

 

 

  

  



Khi h t  t3 t2

Vậy thể tích nước bể sau bơm 20 giây h 20 8400m3

Câu 5: Một người vay ngân hàng tỷ đồng với lãi kép 12%/năm Hỏi người phải trả ngân hàng hàng tháng tiền để sau năm người trả xong nợ ngân hàng?

A 88 848 789 đồng B 14 673 315 đồng

C 47 073 472 đồng D 111 299 776 đồng

Hướng dẫn giải:

Gọi A số tiền người vay ngân hàng ( đồng), a số tiền phải trả hàng tháng r %  lãi suất kép Ta có:

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ nhất: R1A 1 r

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ hai : R2A r   a 1  r A 1 r2a r   - Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ ba:

   

    3  2  

3

R  A r a r a 1 r A r a 1r a r …

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ n : RnA 1 rna 1 rn 1   a 1 r

Tháng thứ n trả xong nợ:  

 

n

n n

A.r r

R a a

1 r

   

 

Áp dụng với A1.109 đồng, r0,01, n24, ta có a47073472 Đáp án: C

Câu 6: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi đồ dùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân)

(4)

Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ

Phương trình đường trịn miếng đất làx2y225

Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ đậm phía Phần tơ đậm giới hạn đường cong có phương trình

2

y 25 x , trục Ox;x5;x4 (trong giá trị có dựa vào bán kính độ dài dây cung 6)

Vậy diện tích cần tính

4

2

5

S 25 x dx 74,45228



   

Do đó, đáp án câu B

Câu 7: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1,296 m3 Người thợ cắt kính ghép lại

một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy kính khơng đáng kể

A a3,6m; b0,6m; c0,6m B a2,4m; b0,9m; c0,6m C a1,8m; b1,2m; c0,6m D a1,2m; b1,2m; c0,9m

Thể tích bể cá là: Vabc1,296

Diện tích tổng miếng kính Sab 2ac 3bc  (kể miếng giữa) Ta có:

3

1 Cauchy cho so , ,

c b a

S 3 6

3

abc   c b a c b a  abc 1,296

Dấu “=” xảy

a 1,8

1

b 1,2

c b a

abc 1,296 c 0,6

 

 

 

   

  

 

 

   

 

 

Đáp án: C

Câu 8: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn

(5)

A (12 13 15) cm  2 B 12 13 cm 2

C.12 13cm2

15 D  

2

(12 1315) cm

Gọi R1 bán kính đường trịn đáy hình nón lúc đầu; h1 chiều cao hình nón lúc đầu

Gọi R2 bán kính đường trịn đáy hình nón sau tăng thể tích; h2 chiều cao hình nón sau

khi tăng thể tích

Ta có: 2

1 1 1

1

V R h 12 R R

3

       

2 1

2

2 2

2 2 2

1

V R h

3

V R

1

V R h R 2R

3 V R

h h



  

 

       

 

 



Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:  2

xp1 1

S  R l  3 16 9 15 cm

Diện tích xung quanh hình nón sau tăng thể tích:  2

xp2 2

S  R l  6 16 36 12 13 cm

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S12 13 15  cm2 Đáp án: A

Câu 9: Một cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách 300km Vận tốc dòng nước 6km / h Nếu vận tốc bơi cá nước đứng yên v (km/h) lượng tiêu hao cá t cho công thức E v cv t.3 Trong c số, E tính jun Tìm

vận tốc bơi cá nước đứng yên để lượng tiêu hao A 6km/h B 9km/h C 12km/h D 15km/h

Vận tốc cá bơi ngược dòng là: v- ( km/ h) Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km t 300

v

 

(6)

  300 v3  

E v cv 300c jun ,v

v v

             ' 2 ' v

E v 600cv

v

v loai

E v

v            

Chọn đáp án B

Câu 10: Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 Vói chiều cao h bán

kính đáy r Tìm r để lượng giấy tiêu thụ A r 

 B

8 r 

 C

8 r 

 D

6 r   Hướng dẫn giải:

Ta có:

2

1 3V

V r h h

3 r

   

 => độ dài đường sinh là:

2 2 2 2

2 2

3V 81

l h r ( ) r ( ) r r

r r r

       

  

Diện tích xung quanh hình nịn là:

8

2

xq 2

3

S rl r r r

r r

       

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta giá trị nhỏ

8 r  

Câu 11: Từ tơn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt hình thang ABCD có hinh Tính thể tích lớn máng xối

3m 90cm 3m 30cm 30cm 30cm D B C A

V   

'

E v - + E(v)

(7)

A.40500 3cm3 B.40500 2cm3 C.40500 6cm3 D.40500 5cm3 Hướng dẫn giải:

Thể tích máng xối:

ABCD

VS 300 (cm )

Vậy thể tích lớn diện tích hình thang lớn

ABCD

1

S (BC AD).CE

2

 

CECDsin30.sin

ADBC 2ED 30 60cos   

ABCD

90

S 90sin sin2

2

   

Đặt f( ) 90sin 90sin2 , [0; ]

2

       

90

f '( ) 90cos 2cos2

2

    

2

1 cos

f '( ) cos cos2 2cos cos

cos



  

    

 

              

 

     

 

f(0) f( ) 0;f 135

3

  

      Vậy GTLN diện tích ABCD 135 3cm 2

Vậy thể tích máng xối lớn 40500 3cm ta cạnh CD tạo với BC góc 3 600

Câu 12: Một người thợ xây cần xây bể chứa 108m3 nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng khơng có nắp Hỏi chiều dài, chiều rộng chiều cao lòng bể để số viên gạch dùng xây bể nhất? Biết thành bể đáy bể xây gạch, độ dày thành bể đáy nhau, viên gạch có kích thước số viên gạch đơn vị diện tích

A 6; 6; B 3;2 3;9 C 2;3 2;6 D 3;3 3;4

Gọi x(m) cạnh đáy bể, y(m) chiều cao bể, x, y > Ta có:

2

108

x y 108 y

x

  

Diện tích xây dựng: S x2 4xy x2 432

x

   

θ θ

30cm

30cm 30cm

E D

B C

(8)

2

432

S' 2x ;S' x y

x

      

Câu 13: Một xe chạy với vận tốc 100Km/h đạp phanh dừng lại, vận tốc xe giảm dần theo công thức v t 5000t100 (Km/h) dừng lại Hỏi xe chạy thêm met dừng lại

A 25 B C 103 D 10-3

Xe dừng lại nên v t

50

  

Phương trình quảng đường S t  v t dt  2500t2100t 

Quảng đường xe

2

3

1

S 2500 100 1Km 10 m

50 50

  

     

Câu 14: Một chén hình trụ có chiều cao đường kính bóng bàn Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao

4 chiều cao Gọi

1

V ,V thể tích bóng chén, đó:

A. 9V18V2 B.3V12V2 C.16V19V2 D.27V18V2

Gọi h đường cao hình trụ, r bán kính bóng, R bán kính chén hình trụ

=>h=2r r OA OB h

2

   

Theo giả thiết: IB h OI h

4

   ( phần bên ngồi =3h

4 )

bán kính đáy chén hình trụ R OA2 OI2 h

4

  

Tỉ số thể tích

3

1

1 2

2

4 h

4 r

V 3

9V 8V

V R h h 3

h

        

    

  

    

Câu 15: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí

I

B A

(9)

A 0,68 B 0,6 C 0,12 D 0,52

Gọi x x0 bán kính đáy lon sữa

Khi

2

V

V x h h

x

   



Diện tích tồn phần lon sữa

2 2

2

V

S(x) x xh x x x 2 x , x

x x x

              



Bài toán quy tìm GTNN hàm số S(x) 2 x2

x

   , x0  

 

2

3

4

S x x

x

S x x 0,6827

   

    



Câu 16: Một khách sạn có 50 phòng Hiện tại moi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đong một ngày thı̀ toàn bộ phòng được thuê het Biet rang cứ moi lan tăng giá thêm 20 ngàn đong thı̀ có thêm phòng Giám đoc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu đe thu nhập của khách sạn ngày là lớn nhat

A 480 ngàn B 50 ngàn C 450 ngàn D 80 ngàn

Gọi x (ngàn đồng) giá phòng khách sạn cần đặt ra, x400 (đơn vị: ngàn đồng) Giá chênh lệch sau tăng x 400

Số phòng cho thuê giảm giá x : x 400 x 400

20 10

  



Số phòng cho thuê với giá x 50 x 400 90 x

10 10



  

Tổng doanh thu ngày là:

2

x x

f(x) x 90 90x

10 10

 



     x

f (x) 90

5

(10)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x) đạt giá trị lớn x450

Vậy cho thuê với giá 450 ngàn đồng có doanh thu cao ngày 2.025.000 đồng

Câu 17: Tính đến đầu năm 2011, dân số tồn tỉnh Bình Phước đạt gần 905.300, mức tăng dân số 1,37% năm Tỉnh thực tốt chủ trương 100% trẻ em độ tuổi vào lớp Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục tỉnh cần chuẩn bị phòng học cho học sinh lớp 1, phòng dành cho 35 học sinh? ( Giả sử năm sinh lứa học sinh vào lớp tồn tỉnh có 2400 người chết, số trẻ tử vong trước tuổi không đáng kể)

A.458 B.222 C 459 D 221

Chỉ em sinh năm 2018 đủ tuổi học ( tuổi) vào lớp năm học 2024-2025 Áp dụng công thức SnA 1 rn để tính dân số năm 2018

Trong đó: A905300;r1,37;n8 Dân số năm 2018 là:

8

1,37

A 905300 1009411

100

 



    

Dân số năm 2017 là:

7

1,37

A 905300 995769

100

 



    

Số trẻ vào lớp là: 1009411 995769 2400 16042   Số phòng học cần chuẩn bị : 16042:35458,3428571

Câu 18: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng đáy) đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào khối trụ đo dược thể tích nước tràn 16 dm3

9



(11)

A xq

9 10

S dm

2



 B Sxq 4 10 dm2

C Sxq 4 dm2 D

xq

3

S dm

2





Xét hình nón : hSO 3r , rOB, lSA Xét hình trụ : h12rNQ , r1ONQI

SQI SBO

  QI SI r1 r

BO SO 3

      Thể tích khối trụ :

3

t 1

2 r 16

V r h r h

9

 

         l h2r22 10

xq

S rl 10 dm

    

Câu 19: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 3.10 m6 3 Biết tốc độ sinh trưởng khu

rừng 5% năm Sau 10 năm nữa, trữ lượng gỗ rừng là:

A.4886683,88 m 3 B.4668883 m 3

C.4326671,91 m 3 D.4499251 m 3

Gọi A trữ lượng gỗ ban đầu khu rừng m3 ; r tốc độ sinh trưởng hàng năm(%); n

M trữ lượng gỗ sau n năm m3

Năm đầu tiên, M1 A A.rA(1 r)

Năm thứ hai,

2 1

M M M rM (1 r) A(1r)

Năm thứ ba,

3 2

M M M rM (1 r) A(1r)

Tương tự năm thứ n, n

n

M A(1r)

M

Q P

A B

I O

(12)

Áp dụng cơng thức ta có 10 6 10  3 10

M A(1 r) 3.10 0,05 4886683,88 m

Câu 20: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm B 20cm C.50 2cm D 25cm

Đặt a50cm

Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x,y x,y 0 Ta có

2 2

SA SH AH  x y

Khi diện tích tồn phần hình nón 2

tp

S   x x x y Theo giả thiết ta có

   

2 2 2 2

2 2 2 2 4 2

4

2

x x x y a x x y x a

x x y a x x x y a x 2a x , DK : x a

a x

y 2a

        

         

 



Khi thể tích khối nón

4

2 2

1 a y

V y a

3 y 2a y 2a

   

 

V đạt giá trị lớn

2

y 2a

y



đạt giá trị nhỏ

I

H

J

O

(13)

Ta có

2 2

y 2a 2a 2a

y y 2a

y y y

    

Vậy V đạt giá trị lớn

2

2a y

y

 , tức lày a x a 25cm

2

   

(14)

Website HOC247 cung cấp một mơi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh,

nội dung giảng được biên soạn công phu giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia