phương phap giải hệ PT BPT vô tỉ ôn thi THPT QUOC GIA(co loi giai chi tiet)

MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH I Phng phỏp th * C s phng phỏp Ta rỳt mt n (hay mt biu thc) t mt phng trỡnh h v th vo phng trỡnh cũn li * Nhn dng Phng phỏp ny thng hay s dng h cú mt phng trỡnh l bc nht i vi mt n no ú x + y = (1) Bi Gii h phng trỡnh 2 x y + y = (2) Li gii 3y T (1) ta cú x = th vo (2) ta c 2 3y ữ y + 2y = 3(25 30 y + y ) y + y 16 23 y 82 y + 59 = y = 1, y = 59 23 31 59 ; ữ 23 23 Vy nghim ca h phng trỡnh l ( 1;1) ; x y = Bi Gii h phng trỡnh sau : 2 x + y 3x + y = x + (6 y ) x xy = Bi Gii h : x x + y = - PT (2) l bc nht vi y nờn T (2) y = x + x thay vo PT (1) - Nghim (0; 3); ( 2;9) 3x + (5 y ) x xy x = Bi a) Gii h : x x + y = - PT (2) l bc nht vi y nờn T (2) y = x + x thay vo PT (1) x + (6 + y ) x + xy = b) Gii h : 2 x x + y = x + y + xy + = y Bi (Th T2012) Gii h : y ( x + y)2 = x + y + - T (1) x + = y y xy thay vo (2) Nghim (1;2); ( 2;5) x + x3 y + x y = x + (1) Bi Gii h phng trỡnh (2) x + xy = x + Phõn tớch Phng trỡnh (2) l bc nht i vi y nờn ta dựng phộp th Li gii TH : x = khụng tha (2) 6x + x2 TH : x 0, (2) y = th vo (1) ta c 2x 2 6x + x 6x + x x + 2x ữ+ x ữ = 2x + x x 2 x = (6 x + x ) x + x (6 x + x ) + = x + x( x + 4)3 = x = Do x nờn h phng trỡnh cú nghim nht 4; 17 ữ Chỳ ý.: H phng trỡnh ny cú th th theo phng phỏp sau: x + x + ( x + xy ) = x + ữ = 2x + - H x + x + x + xy = x2 + 6x + x + xy = 2 - Phng phỏp th thng l cụng on cui cựng ta s dng cỏc phng phỏp khỏc x( x + y + 1) = Bi (D 2009 ) Gii h : T (1) th x + y = v thay vo PT (2) x ( x + y ) x + = x + y + 2( x + y ) = Bi Gii h : y ( y x) x = 10 HD : Th (1) vo PT (2) v rỳt gn ta c : x + xy + x + y + = ( x + 1)( x + y + 3) = II Phng phỏp cng i s * C s phng phỏp Kt hp phng trỡnh h bng cỏc phộp toỏn: cng, tr, nhõn, chia ta thu c phng trỡnh h qu m vic gii phng trỡnh ny l kh thi hoc cú li cho cỏc bc sau * Nhn dng Phng phỏp ny thng dựng cho cỏc h i xng loi II, h phng trỡnh cú v trỏi ng cp bc k x y + = Bi Gii h phng trỡnh y x + = y +2 y = x Bi Gii h phng trỡnh x = x + 2 y - K: xy 3x y = y + - H 2 y x = x + Li gii (1) (2) Tr v hai phng trỡnh ta c x y = x y 3xy = y x 3xy ( x y ) + ( x y )( x + y ) = 3xy + x + y = - TH x y = y = x th vo (1) ta c x x = x = x2 + y2 + xy + x + y = x>0 - TH T y = y > , 3x = y2 x2 3xy + x + y > Do ú TH khụng xy - Vy h phng trỡnh cú nghim nht (1 ; 1) Bi Gii h phng trỡnh x y + + y x =2 (1) =2 (2) Li gii 1 ,y 2 - K: x - Tr v hai pt ta c y x + x y y + y x =0 ữ x =0 ( yx ) + yx =0 1 xy x + y + xy + ữ y x y x 1 + =2 - TH y x = y = x th vo (1) ta c x x , t > ta c - t t = x t t 2 t2 = t t = x = v 2 2 t = t + t t t + = y =1 - TH xy xy ( 1 x+ y ) + xy + y ữ x =0 TH ny vụ nghim K Vy h cú nghim nht (1; 1) x + xy y = Bi Gii h phng trỡnh: 2 x + xy + y = 2 x + xy y = 38 Bi Gii h phng trỡnh 2 x xy y = 15 Phõn tớch õy l h phng trỡnh cú v trỏi ng cp bc hai nờn ta s cõn bng s hng t v thc hin phộp tr v Li gii 45 x + 75 xy 60 y = 570 2 145 x + 417 xy + 54 y = - H 190 x 342 xy 114 y = 570 - Gii phng trỡnh ny ta c y = 145 x, y = x th vo mt hai phng trỡnh ca 18 h ta thu c kt qu (3;1); (3; 1) * Chỳ ý - Cỏch gii trờn cú th ỏp dng cho pt cú v trỏi ng cp bc cao hn - Cỏch gii trờn chng t rng h phng trỡnh ny hon ton gii c bng cỏch t y = tx, x hoc t x = ty , y 2 x + xy + y = 11 Bi Tỡm cỏc giỏ tr m h cú nghim x + xy + y = 17 + m - Phõn tớch cú kt qu nhanh hn ta s t y = tx, x Li gii y = 11 y = 11 m + 17 - TH x = y = m + 17 y = m + 17 = 11 m = 16 Vy h cú nghim x = 3x + 2tx + t x = 11 - TH x , t y = tx H 2 2 x + 2tx + 3t x = 17 + m 11 x = 2 (3 + 2t + t ) x = 11 + 2t + t 2 11 (1 + 2t + 3t ) x = 17 + m (1 + 2t + 3t ) = 17 + m + 2t + t 11 x = + 2t + t (m 16)t + 2(m + 6)t + 3m + 40 = (*) 11 > 0, t nờn h cú nghim pt (*) cú nghim iu ny xy v - Ta cú + 2t + t ch m = 16 hoc m 16, ' = (m + 6) (m 16)(3m + 40) 363 m + 363 - Kt lun 363 m + 363 x + xy y Bi Tỡm cỏc giỏ tr ca m h m (I) cú nghim 2 x + xy + y m Li gii - - x + xy y Nhõn v ca bpt th hai vi -3 ta c 2 x xy y m 1 2 ( x + y )2 Cng v hai bpt cựng chiu ta c x xy y m m 1 > m >1 iu kin cn h bpt cú nghim l m x + xy y = iu kin Vi m > Xột h pt (II) 2 x + xy + y = Gi s ( x0 ; y0 ) l nghim ca h (II) Khi ú x02 + x0 y0 y02 = x0 + x0 y0 y0 m 2 x0 + x0 y0 + y0 = x0 + x0 y0 + y0 m - - Vy mi nghim ca h (II) u l nghim ca h (I) x + xy y = x xy y = x + y = x = y (II) x xy y = Thay x = y vo pt th ca h (II) ta c x=m 5 - H (II) cú nghim, ú h (I) cng cú nghim Vy m > x + ữ= x+ y Bi Gii h phng trỡnh y = x+ yữ y2 y2 + y2 = y2 = y = - - Phõn tớch Cỏc biu thc ngoc cú dng a + b v a b nờn ta chia hai v pt th nht cho 3x v chia hai v pt th hai cho y Li gii K: x 0, y 0, x + y D thy x = hoc y = khụng tha h pt Vy x > 0, y > 2 = 3x 3x = x + y 7y - Nhõn theo v hai pt h ta c 2 + =1 (1) 7y 7y 3x 2= 3x 3x 7y 7y x + y 2 2 + ữ ữ= 3x y x 7y x + y y = 6x 2 = y 38 xy 24 x = y = x 3x y x + y 11 + 22 + + =1 x = y= TH y = x th vo pt (1) ta c 21 3x 21x TH y = x khụng xy x > 0, y > 11 + 22 + ; Vy h pt cú nghim nht ( x; y ) = ữ 21 a + b = m m + n = 2a Chỳ ý H phng trỡnh cú dng Trong trng hp ny, dng a b = n m n = 2b + ữ= x + y - H = x + y ữ - + th nht cú v phi cha cn thc nờn ta chuyn v dng th hai sau ú nhõn v mt cn thc - Tng quỏt ta cú h sau: a bx c dy =m+ =m+ n px + qy n px + qy x ( y + z )2 = (3 x + x + 1) y z 2 2 Bi Gii h phng trỡnh y ( z + x ) = (4 y + y + 1) z x z ( x + y )2 = (5 z + z + 1) x y - 2 Phõn tớch Nu chia hai v ca mi phng trỡnh cho x y z thỡ ta c h mi n gin hn y = z = hoc z = t, t Ă y = t, t Ă - Tng t vi y = v z = ta thu c cỏc nghim l (0;0; t ), (0; t ;0), (t ;0;0), t Ă 2 - TH xyz Chia hai v ca mi pt h cho x y z ta c - 2 TH xyz = Nu x = thỡ h y z = 1 + ữ = + + x z y 1 + ữ = + + y x z 1 + =5+ + ữ y x z z + (1) y (2) Cng v phng trỡnh ca h ta c : z (3) 2 1 1 1 1 + + ữ + + ữ = 12 + + + + + + ữ y x y z x2 y2 x z y x 1 x + y + z = (4) 1 1 1 + + ữ + + ữ 12 = + + = x y z x y z x y z 1 9 - T (4) v (1) ta cú ữ = + + = 13 x = x x x x 13 - T (4) v (2) ta cú y = T (4) v (3) ta cú z = 11 5 - Tng t, t (5), (1), (2), (3) ta cú x = , y = 1, z = - 1 x z (5) Vy h cú nghim l 9 ; ; ữ; ; 1; ữ, t Ă 13 11 S = (t ;0;0); (0; t ;0); (0;0; t ); - Nhn xột Qua vớ d trờn ta thy: t mt h phng trỡnh n gin, bng cỏch i bin s ( trờn l phộp thay nghch o) ta thu c mt h phc Vy i vi mt h phc ta s ngh n phộp t n ph h tr nờn n gin III Phng phỏp bin i thnh tớch * C s phng phỏp Phõn tớch mt hai phng trỡnh ca h thnh tớch cỏc nhõn t ụi cn kt hp hai phng trỡnh thnh phng trỡnh h qu ri mi a v dng tớch (1) xy + x = Bi (Khi D 2012) Gii h 2 2 x x y + x + y xy y = (2) - Bin i phng trỡnh (2) thnh tớch - Hoc coi phng trỡnh (2) l bc hai vi n x hoc y - xy + x = H ó cho H cú nghim ( x; y ) = (1; 1); ( ; 5) 2 (2 x y + 1)( x y ) = (1) xy + x + y = x y Bi (D 2008) Gii h phng trỡnh x y y x = x y (2) - Phõn tớch Rừ rng, vic gii phng trỡnh (2) hay kt hp (1) vi (2) khụng thu c kt qu kh quan nờn chỳng ta trung gii (1) Li gii x 1, y K: 2 (1) y ( x + y ) + ( x + y ) = x y ( x + y )( y + x + y ) = TH x + y = (loi x 1, y ) TH 2 y + x = x = y + th vo pt (2) ta c (2 y + 1) y y y = y + y ( y + 1) y = 2( y + 1) y +1= y = Do y y = Vy h cú nghim ( x; y ) = (5;2) y = 2 y = - Chỳ ý Do cú th phõn tớch c thnh tớch ca hai nhõn t bc nht i y (hay x) nờn cú th gii pt (1) bng cỏch coi (1) l pt bc hai n y (hoc x) 1 x = y x y Bi (A 2003) Gii h phng trỡnh y = x3 + - (1) (2) Phõn tớch T cu trỳc ca pt (1) ta thy cú th a (1) v dng tớch Li gii 1 x y + =0 x y+ = ( x y ) + ữ = x y xy xy TH x = y th vo (2) ta c x x + = x = hoc x = (t/m) 1 = y = th vo (2) ta c TH + xy x 1 x4 + x + = ( x2 )2 + ( x + )2 + = 2 K: xy (1) x y PT ny vụ nghim + + ; ; ữ; ữ 2 2 1 (1) x = y Bi (Thi th GL) Gii h phng trỡnh x y ( x y )(2 x y + 4) = 36 (2) Vy nghim ca h l S = (1;1); Li gii x= y 1 ( y x)( y + xy + x ) x = y ( x y) = y + xy + x 3 = x y xy x3 y x = x =2 TH x = y th vo pt th hai ta c x + x 12 = y + xy + x = xy < TH x3 y (2) x + y xy + x 16 y = 36 2( x + 1) + 4( y 2) xy = 18 2 Trng hp ny khụng xy xy < 2( x + 1) + 4( y 2) xy > Vy nghim ca h phng trỡnh l S = { (2;2); ( 6; 6)} xy 2 x + y + = 16 (1) x+ y Bi Gii h phng trỡnh x + y = x2 y (2) - Phõn tớch Rừ rng, vic gii phng trỡnh (2) hay kt hp (1) vi (2) khụng thu c kt qu kh quan nờn chỳng ta trung gii (1) Li gii 2 K: x + y > (1) ( x + y )( x + y ) + xy = 16( x + y ) ( x + y ) xy ( x + y ) + xy = 16( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) 16 xy ( x + y 4) = ( x + y 4) [ ( x + y )( x + y + 4) xy ] = x = y = x = y = 2 TH x + y = th vo (2) ta c x + x = 2 TH ( x + y )( x + y + 4) xy = x + y + 4( x + y ) = vụ nghim K Vy nghim ca h l S = { (3;7); (2;2)} xy + ( x y )( xy 2) + x = y + y Bi (Th T 2013) Gii h phng trỡnh ( x + 1)( y + xy + x x ) = x; y xy + ( x y )( xy 2) - iu kin : - PT (1) xy + ( x y )( xy 2) y + ( x y ) = - xy + ( x y )( xy 2) + y x y x+ y =0 y + xy + >0 x+ y xy + ( x y )( xy 2) + y 0,25 0,25 PT (3) x = y , thay vo PT (2) ta c : x3 x 3x + = x = hoc x = - + y + xy ữ = (3) ( x y) + xy + ( x y )( xy 2) + y x+ yữ 4 = ( x 1) + x + + T PT (2) ta cú y + xy = x x + ữ x +1 x +1 - ( x y )( y + xy 2) 0,25 17 Kt hp vi iu kin ta cú x = , x = + 17 0,25 - + 17 + 17 ; ữ ữ KL: Vy h ó cho cú hai nghim (x; y) l : (1; 1); x y xy + y 2( x + y ) = (1) Bi (A 2011 ) Gii h PT : 2 (2) xy ( x + y ) + = ( x + y ) xy = HD : Bin i PT (2) thnh tớch ta cú x + y = - TH1: y = thay vo PT (1) x - TH 2: PT(1) y ( x + y ) + x y xy 2( x + y ) ( xy 1)(2 x y ) = x3 y3 = 4(4 x y ) Bi (Th GL 2012) Gii h : + y = 5(1 + x ) HD : T (2) = y x thay vo (1) ta cú : x y = ( y x )(4 x y ) IV Phng phỏp t n ph x + y + xy = Bi Gii h phng trỡnh 2 x + y xy = Li gii õy l h i xng loi I n gin nờn ta gii theo cỏch ph bin ( x + y ) + xy = H ( x + y ) 3xy = x + y = S x, y S P ) ta c t ( xy = P S + P = S = 1, P = S = 4, P = S 3P = S = x + y = x = 1, y = TH P = xy = x = 2, y = S = x + y = x = 1, y = Vy nghim ca h l P = xy = x = 3, y = TH S = { ( 1;2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1)} Chỳ ý - Nu h pt cú nghim l ( x; y ) thỡ tớnh i xng, h cng cú nghim l ( y; x ) Do vy, h cú nghim nht thỡ iu kin cn l x = y - Khụng phi lỳc no h i xng loi I cng gii theo cỏch trờn ụi vic thay i cỏch nhỡn nhn s phỏt hin cỏch gii tt hn x + xy + y = Bi tng t : (T 2010) Gii h phng trỡnh: x y xy = x + y = Bi (D 2004 )Tỡm m h cú nghim : x x + y y = 3m x + y + x + y = 18 Bi Gii h phng trỡnh xy ( x + 1)( y + 1) = 72 - Phõn tớch õy l h i xng loi I Hng Biu din tng pt theo tng x + y v tớch xy Hng Biu din tng pt theo x + x v y + y Rừ rng hng ny tt hn Li gii x + x = a , a ( x + x) + ( y + y ) = 18 H t ta c 2 ( x + x)( y + y ) = 72 y + y = b, b a + b = 18 a = 6, b = 12 ab = 72 a = 12, b = 2 x + x = a = x = 2, x = TH b = 12 y + y = 12 y = 3, y = x = 3, x = Vy nghim ca h l y = 2, y = TH i vai trũ ca a v b ta c S = { (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); (4; 3)} Nhn xột Bi toỏn trờn c hỡnh thnh theo cỏch sau - a + b = 18 (I) ab = 72 Xut phỏt t h phng trỡnh n gin 1) Thay a = x + x, b = y + y vo h (I) ta c h 2) 3) 4) 5) x + y + x + y = 18 (1) ú chớnh l vớ d xy ( x + 1)( y + 1) = 72 Thay a = x + xy , b = y xy vo h (I) ta c h x + y = 18 (2) 2 xy ( x y ) = 72 Thay a = x + x, b = x + y vo h (I) ta c h x + x + y = 18 (3) x( x + 2)(2 x + y ) = 72 1 Thay a = x + , b = y + vo h (I) ta c h x y ( x + y ) xy + x + y = 18 xy (4) 2 ( x + 1)( y + 1) = 72 xy Thay a = x + xy , b = y xy vo h (I) ta c h x + y + xy = 18 (5) xy ( x + y )( y x ) = 72 a Nh vy, vi h xut (I), bng cỏch thay bin ta thu c rt nhiu h pt mi a + b = b Thay h xut phỏt (I) bng h xut phỏt (II) 2 a b = 21 ta li thu c cỏc h mi khỏc Chng hn : 6) Thay a = x + y , b = xy vo h (II) ta c h x + y + xy = (6) 4 2 x + y + x y = 21 10 v lm tng t nh trờn Suy g ( x ) ng bin trờn Ă Bi vy g ( x ) = g (0) x = Vy h phng trỡnh cú nghim nht x = y = y x e = 2007 y Bi 17 Chng minh h cú ỳng nghim x > 0, y > x e y = 2007 x Li gii x > x (; 1) (1; +) x > x > Do nờn y > y >1 y > y (; 1) (1; +) x y x y x y x y e = e Tr v hai pt ta c e e = x2 y2 x2 y2 t t , t (1; +) Hay f ( x ) = f ( y ) vi f (t ) = e t 1 f '(t ) = et + > 0, t (1; +) f (t ) ng bin trờn (1; +) t t ( ) Bi vy f ( x ) = f ( y ) x = y th vo pt th nht ta c x x e x = 2007 ex + 2007 = g ( x) = x x x x 2007, x (1; +) Ta cú Vi g ( x ) = e + x2 1 3x( x 1) x x g '( x) = e ; g ''( x) = e + > 0, x (1; +) ( x 1) x ( x 1)3 x Suy g '( x ) ng bin trờn (1; +) g '( x ) liờn tc trờn (1; +) v cú lim g '( x) = , xlim g '( x) = + nờn g '( x) = cú nghim nht x0 (1; +) v + x g '( x) > g '( x) > g '( x0 ) x > x0 g '( x) < < x < x0 T BBT ca g ( x ) ta suy pt g ( x) = cú ỳng nghim x (1; +) K: + Vy h phng trỡnh ó cho cú ỳng nghim dng ln(1 + x ) ln(1 + y ) = x y (1) Bi 18 Gii h phng trỡnh 2 (2) x 12 xy + 20 y = Li gii x > 1, y > K: (1) ln(1 + x) x = ln(1 + y ) y f ( x) = f ( y ) vi f (t ) = ln(1 + t ) t , t (1; +) t = = t = (1; +) f (t ) B trờn (1;0) v NB trờn (0; +) 1+ t 1+ t TH x, y (1;0) hoc x, y (0; +) thỡ f ( x ) = f ( y ) x = y Th vo pt (2) ta c x = y = (khụng tha món) 2 TH x ( 1;0), y (0; +) hoc ngc li thỡ xy < x 12 xy + 20 y > TH xy = thỡ h cú nghim x = y = Vy h cú nghim nht x = y = VI Phng phỏp s dng bt ng thc f '(t ) = 1) C s phng phỏp : S dng BT chng minh VT VP hoc ngc li, du bng xy x = y 17 2) Mt s BT quen thuc x2 + y x + xy + y + = x+ y (1) Bi Gii h : 3 (2) x y + x + x y 14 = y - HD : T (1) VT VP, du bng x = y thay vo PT (2) ta cú : x x + x 14 = x 2 x x x x x2 2x = x = Ta cú : x 14 x x x (2x 3x + 4)(2y2 3y + 4) = 18 ( x, y Ă ) Bi (Thi th T 2013) Gii h : 2 x + y + xy 7x 6y + 14 = - 10 (2) y + ( x 6) y + x x + 14 = y y x (2) x + ( y 7) x + y y + 14 = x x y Xột hm s f (t ) = 2t 3t + 4, t R f '(t ) = 4t - 3, f '(t ) = t = 0,25 0,25 f ( x ) > f (2) = Kt hp vi y 0,25 f ( y ) f (1) = f (x ).f ( y ) = (2x 3x + 4)(2 y y + 4) > 18 - y y + = y = 1, y = vụ nghim TH x = h tr thnh y y + = y = - Vy h ó cho vụ nghim 0,25 PHNG PHP GII PHNG TRèNH BT PHNG TRèNH Vễ T I Phng phỏp ly tha 1/ f ( x) f ( x) = g ( x ) g ( x ) f ( x) = g ( x) 2/ g ( x) f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x ) f ( x) 3/ f ( x) + g ( x ) = h( x) g ( x) f ( x ) + g ( x) + f ( x).g ( x) = h( x) f ( x) (n N * ) 4/ n f ( x) = n g ( x) g ( x) 5/ f ( x) = g ( x ) g ( x) f ( x) = g ( x ) (n N * ) 2n f ( x) = g ( x) 6/ n +1 f ( x) = n +1 g ( x) f ( x) = g ( x) (n N * ) 2n n +1 f ( x) = g ( x ) f ( x) = g n +1 ( x) (n N * ) Bi vớ d 18 7/ Bi 1: Gii phng trỡnh: x + = x (1) x x x x=3 HD: (1) 2 x = x + = (x 1) x 3x = Bi 2: Gii phng trỡnh: x x + = x x x x = x = HD:Ta cú: x x + = x + = x 2 x + = x x 2x = x = Bi 3: Gii phng trỡnh: x + x = x HD: Ta cú: x + x = x x + = x + x x x x + = x + x + (1 x)(1 x) x x x x 2 x + x=0 x=0 x + = x 3x + (2 x + 1) = x x + x2 + x = x = Bi 4: Gii phng trỡnh: x x = x x (1) x x ( x 2)( x + 2) = x x + = HD:K: PT ( ) x2 =0 x + = ( ) x = x = 17 (2) Kt hp (1) v (2) ta c:x = Bi Gii phng trỡnh : 3x = x 3+x HD:k: x ú pt ó cho tng ng: x + 3x + x = 3 10 10 x+ = x = ữ 3 3 Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x x HD:k: x phng trỡnh tng ng : x = x + + = x + + x = 9x2 x = 97 x + + = x 18 ( ) Bi Gii phng trỡnh sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) HD: pt ( x + 3x ) = x =1 Bi rốn luyn Bi Gii cỏc phng trỡnh a) x 3x + = x + c) b) x x = 3x 3x x + = x d) ( x 3) x = x 19 x + x = 2x e) f) g) ( x 3) x x + = x x + 15 x i) h) ( x + 4) 10 x = x + x 3x j) 3x = x Bi Gii phng trỡnh a) x + 3x + + x + x + = x + x + b) x + 3x + + x + x + = x + x + c) x 3x + + x x + = x x + Bi Gii phng trỡnh a) x + + x + = x + 11 c) x + x = 2x b) x 4x 3 4x = x x + + x = 5x x + x = 3 x + x = (Phi th , loi nghim) Bi Gii phng trỡnh a) x x + x + + x + = Bỡnh phng ln nghim x = b) x + + x + 16 = x + + x + Bỡnh phng ln nghim x = c) x + + x + = x + x + II Phng phỏp t n ph 1) Dng : Phng trỡnh cú cha f ( x) v Bi Gii phng trỡnh: HD:iu kin: x Nhn xột f ( x) x x2 + x + x2 = x x x + x = 1 t t = x x thỡ phng trỡnh cú dng: t + = t = Thay vo tỡm c x = t Bi Gii phng trỡnh: x x = x + HD:iu kin: x t2 t t = x + 5(t 0) thỡ x = Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t + 25 2 (t 5) = t t 22t 8t + 27 = 16 (t + 2t 7)(t 2t 11) = Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 = 2; t3,4 = Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 = + 2, t3 = + T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x = vaứ x = + Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai v ca phng trỡnh vi iu kin x x Ta c: x ( x 3) ( x 1) = , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y = x + v a v h i xng (Xem phn t n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = HD:iu kin: x t y = x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y + y + = y 10 y y + 20 = ( vi y 5) ( y + y 4)( y y 5) = y = + 21 + 17 (loaùi), y = 2 20 T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x = 11 17 ( )( Bi Gii phng trỡnh sau : x = 2004 + x x HD: K: x t y = x thỡ phng trỡnh tr thnh: ( y ) Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x HD:iu kin: x < (y ) + y 1002 ) = y = x = = 3x + x Chia c hai v cho x ta nhn c: x + x 1 = + t t = x , ta gii c x x x Bi Gii phng trỡnh : x + x x = x + 1 HD: x = khụng phi l nghim , Chia c hai v cho x ta c: x ữ+ x = x x 1 t t= x , Ta cú : t + t = t = x = x Bi 7.Gii phng trỡnh: x + 21x + 18 + x + x + = HD:t y = x2 + x + ; y y= y =1 Phng trỡnh cú dng: 3y + 2y - = y =1 x = Vi y = x + x + = L nghim ca phng trỡnh ó cho x = Bi Gii phng trỡnh a) ( x + 1)( x + 4) = x + x + 28 b) c) Nghim 4; x + 10 x + = x x (4 x)(6 + x) = x x 12 d) x( x + 5) = x + x Bi Tỡm phng trỡnh cú nghim a) x + x + (3 x)(1 + x) = m m [ 1;11] b) x + x + (3 x)(1 + x) = m m [ 1; 41 + 56 ] Bi Gii phng trỡnh : = 2x + +4 a) x + 2x x = 2x + b) x + 2x x 2) Dng : Phng trỡnh cú cha A + B v Bi Gii phng trỡnh a) x + + x + = x + 2 x + x + b) AB x + + x + 49 x + x 42 = 181 14 x 21 Nghim 25 17 c) x + + x = x 12 + x 16 d) 3x + x = x + 3x x + Bi (B 2011) Gii phng trỡnh : + x x + 4 x = 10 x - t t = + x 2 x Nghim x = Bi Tỡm m phng trỡnh cú nghim a) + x + x = x + x + + m m [ ;3] b) + x + x (3 + x)(6 x) = m c) 3( + x + x ) = m + x + + x x 3) Phng phỏp t n ph khụng hon ton x +1 x +1 x + = , T nhng phng trỡnh tớch ( )( ) ( 2x + x )( ) 2x + x + = Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau ( ) 2 Bi Gii phng trỡnh : x + x + x = + x + t = HD:t t = x + ; t , ta cú : t ( + x ) t + 3x = t = x Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) x x + = x + HD:t : t = x x + 3, t 2 Khi ú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x + x + ( x + 1) t = Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn : t = x x + ( x + 1) t + ( x 1) = t ( x + 1) t + ( x 1) = t = x Bi 3:Gii phng trỡnh: x + 3x + = ( x + 3) x + HD:t t = x + 1; t t = x t = Phng trỡnh tr thnh:t2 - (x + 3)t + 3x = (t - x)(t - 3) = Nu t = x x + = x (Vụ lý) -Nu t = x + = x = 2 Vy: x = 2 Bi Gii phng trỡnh a) x + 3x x x + = + x + t t = x + nghim t = 3;1 x b) ( x + 1) x x + = x + Nghim x = c) x = x x x d) x x + 48 = (3 x 10) x + 15 e) 2( x 1) x + x = x x f) x + x = ( x + 2) x x 15 + 39 22 g) (1 x) x + = x + x + h) (4 x 1) x3 + = x3 + x + i) x3 + 3x + = ( x + 2) x3 + x + 4) Phng phỏp chia lm xut hin n ph Bi Gii phng trỡnh t t = x + a) ( x 2) x x + = x bỡnh phng, chia x b) x + x + x x = x chia cho x Nghim x = x v t t = x + c) x + + x x + = x Chia v cho t = 0;5 th li x = x x x = 4; Bi Gii phng trỡnh a) 2( x + 2) = x + b) (Thi th ninh giang 2013) - x + 14 x + x x 20 = x + Chuyn v, bỡnh phng v rỳt gn ta c x x + = ( x x 20)( x + 1) 2( x x 5) + 3( x + 4) = ( x + 4)( x x 5) c) - x2 4x x2 4x 5 + 61 +3=5 x = 8; x+4 x+4 x + 25 x + 19 x x 35 = x + Chuyn v, bỡnh phng ta c : 3( x x 14) + 4( x + 5) = ( x x 14)( x + 5) 61 + 11137 18 5) t mt hoc nhiu n ph a v phung trỡnh ng cp Chỳ ý : Nờu cỏch gii phng trỡnh ng cp bc hai, ba Bi 10 - Chia v cho ( x + 5) Nghim + 7; a) 2( x + 2) = x + t a = x + 1; b = x x + PT 2a + 2b = 5ab x = 37 b) x + x = x t u = x 1; v = x + x + PT 3u + 2v = 7uv x = - Phng trỡnh ó cho cú dng a.u + b.v = c.uv ú cn thng = uv c) x + x = x x + Cỏch : t a = x ; b = x PT a + 3b = a b nghim : x = - Cỏch : t a = x , thay vo PT ta c 36a 136a + 200a 100 = a = d) x + 14 x + x x 20 = x + (Thi th NG 2013) - - Chuyn v, bỡnh phng v rỳt gn ta c x x + = ( x x 20)( x + 1) + 61 61 + 11137 Nghim : + 7; 18 2( x x 5) + 3( x + 4) = ( x + 4)( x x 5) e) - x + 25 x + 19 x x 35 = x + x = 8; Chuyn v, bỡnh phng ta c : 3( x x 14) + 4( x + 5) = ( x x 14)( x + 5) 23 Bi 11 Gii phng trỡnh : x + x + x = x + x + 1 - iu kin : x Bỡnh phng v ta cú : (x + x ) ( x 1) = x + (x + x ) ( x 1) = ( x + x ) ( x 1) u= v u = x + x 2 - Ta cú th t : ú ta cú h : uv = u v 1+ v = x v u = 1+ 1+ - Do u , v nờn u = v x2 + 2x = ( x 1) x + x + 2 ( - ( ' = ) 2 ( ) ( ) ( ) +1 = ) + = < Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim Bi 12 Gii phng trỡnh : x2 + 5x + x2 x + = x - x + x + = a a = b a, b > ) ta cú : a b = a b ( a b ) ( a + b 1) = ( t a + b = x x + = b - x2 + 5x + = x x + x + x + + x x + = 1 x = 2 x + x + = x x + 1 x = x = Bi 13 Gii phng trỡnh : x 3x + ( x + 2)3 x = - t y = x + ta c phng trỡnh : x 3x + y x = x3 + y 3x( x + 2) = x = y x3 3xy + y = nghiờm x = 2; 2-2 x = y - Chỳ ý cú th sa li bi thnh : x ( x + 2)(3x x + 2) = - Bi tng t : x 3x + ( x + 1)3 x = Bi tng t : x3 + (3x x 4) x + = 6) Dng : t mt hoc nhiu n ph a v h phng trỡnh Bi 14 Gii phng trỡnh x + x + + (2 x + 1)( x + 4) + = u = x + 2v u = (1) t v = x + - Thay vo phng trỡnh cú : 3u 6v + uv + = (2) - Thay (1) vo (2) v rỳt gn c (2v u )(u + v 3) = x = Bi 15 (t n ph a v h phng trỡnh) a) 3 x + x = (A 2009) Nghim x = - b) 3 x x + 16 = Nghim x = c) x + 17 x + x 17 x = Nghim x = 1; d) x 35 x ( x + 35 x3 ) = 30 Nghim x = ; e) 1 + =2 x x2 Nghim x = 1; 24 f) x + = x Nghim x = 1; g) x + = 3 x 7) Dng : t n ph c bit Bi 16 (Cỏc dng t n ph c bit) a) x + = x2 + x + b) c) d) III PT vụ nghim 4x + = x2 + x 28 x + = x + x + 10 t 4x + =y+ 28 x+2 = y+3 t 2x + = y t x + = x 12 x + Phng phỏp bin i thnh tớch Bi Gii phng trỡnh a) x + + x x + = x + x + x + - Phng trỡnh ( x + x)( x + 1) = x = 0; x+3+ b) 4x x+3 =4 x HD ( x + x ) = x = c) x + = x x HD : (1 + x + 3) = x x = 1; 97 18 Bi Gii phng trỡnh a) x + 10 x + 21 = x + + x + b) x + x + 15 = x + + x + c) x x ( x 1) x + x x = x2 + x + =4 x d) x+2 IV Phng phỏp nhõn liờn hp 1) C s phng phỏp : Nhiu phng trỡnh vụ t cú th nhm c nghim x0 hu t, ú phng trỡnh luụn vit c thnh ( x x0 ) P( x) = v P( x) = cú th vụ nghim hoc gii c 2) Cỏch nhm nghim : Ta thng th cỏc giỏ tr x0 cn l bỡnh phng hoc lp phng Bi a) (Khi B 2010) Gii phng trỡnh : x + x + x 14 x = + + x + 1) = Nghim nht x = - PT ( x 5)( 3x + + x +1 b) Gii phng trỡnh : 3 x x + 16 = Nghim nht x = 15 + ]=0 x = - PT ( x + 2)[ ( x 2) 3 x + 5x + c) (T nm 2013 ln 1) Gii phng trỡnh : 10 x x 37 = 4x 15 x 33 - ( ) ( ( ) ) K: x Pt 4 + x 37 + 10 x + x 15 x 81 = ( 27 + x ) - TH x + = x = (TMPT) 16 x 37 + ( x 37 ) + 8(6 + x) + ( x + 3)(4 x 27) = + 10 x - 0,25 0,25 0,25 25 - TH x 36 - pt - - Do x nờn VT 16 x 37 + 12 + ( 36 x 37 ) ( ) + 16 + x 27 = + 10 x x 37 + 16 + x 27 = + 10 x 0,25 36 16 + + 4.5 27 = ng thc xy x = 12 Vy phng trỡnh cú nghim l v Bi Gii phng trỡnh a) x + + x = + 3x b) x + + x2 = + x c) d) Nghim x = 0; x + 12 + = x + x + Nghim nht x = Nhn xột x + 12 x + = x x > chng minh biu thc cũn li vụ nghim x + 15 = x + x + e) x x + x = x x x x + - Nghim x = 2, P ( x) = vụ nghim Bi Gii phng trỡnh : a) x + x + + x x + = x + b) - Ta cú VT > ( x + 4) > x + x + x x + Nhõn vi biu thc liờn hp ta c : x + x + x x + = 2 x + x + = x + x = 0; x + x + + x x + = x + x + x + + x x + = x T phng trỡnh x > ( x + x + x) + ( x x + x) = ( x 1)[ 2x + 2x2 + x + + 2x + x2 x + + x ]=0 x = Bi Gii phng trỡnh : x + x = x - iu kin : x - Nhn thy x = l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh ( x 3) ( x + x + ) x + 3 x + x = x ( x 3) + = 3 x2 x3 + ( ) + x + - Ta chng minh : x+3 1+ (x 1) + x + - Vy phng trỡnh cú nghim nht x = Bi Gii phng trỡnh a) x + 3x + = ( x + 3) x + b) 10 x = x 26 = 1+ ( x+3 < < x + 3x + x2 + + x3 + ) c) (2 x)(5 x) = x + (2 x)(10 x) d) x + 16 x + 18 + x = x + e) x + x 3x + = x + x + + x x + f) 3x x + x = x x x 3x + Bi Gii phng trỡnh : a) x + = x + x b) x + x3 = x c) x 11x + 21 3 x = d) x + x = x V Phng phỏp ỏnh giỏ Bi Gii cỏc PT sau : a) x + x = x x + 11 Nghim x = b) x + 10 x = x 12 x + 52 c) x 2x + + d) 2 x + x + + x + 10 x + 14 = x x e) x + 19 x = Nghim x = x = Nghim x = x + 10 x 24 Bi Gii PT sau : a) x 11x + 25 x 12 = x + x - VT : = (7 x 4)( x x + 3) (cụsi ) VP Nghim x = 1;7 b) x +3 x + x = x + x c) 2x 1 = (x + ) x x + Bi Gii phng trỡnh: (1) + M : + ( x 3) ( x 3) +2 PT ( x x x + 15 = x x + 18 x x + 11 = ( x 3) 1+ = v +2 Nghim x = 1; + x) + ( (1) +9 ( x 3) +9 Do ú ta cú: ( x 3) = x = Bi Gii phng trỡnh 13 x x + x + x = 16 - Bỡnh phng v ta c : x (13 x + + x ) = 256 - p dng bt bunhia : - (13 x + + x ) = ( 13 13 13 x + 3 + x ) 40(16 10 x ) VT x 40(16 10 x ) p dng cosi VT VP Nghim x = 27 1 + )4 x x VI Phng phỏp hm s 1) C s phng phỏp : - gii phng trỡnh : f ( x) = m ta cú th chng minh VT luụn ng bin hoc nghch bin - Xột hm s f ( x) luụn ng bin hoc nghch bin m cú f (a ) = f (b) a = b 2) Bi Bi Gii cỏc phng trỡnh x =9 a) x + x + x + + x + 16 = 14 b) x = x x + Chuyn v, nghim nht x = x + x + = x Chuyn v, nghim nht x = Bi (C 2012) Gii phng trỡnh x + x ( x + 1) x + = c) - Nhõn v vi v bin i phng trỡnh (2 x)3 + x = (2 x + 1) x + + x + Xột hm s f (t ) = t + t f '(t ) = 3t + > Hm s luụn ng bin - T phng trỡnh cú f (2 x) = f ( x + 1) x = x + x = Bi tng t : 1+ a) x(4 x + 1) = ( x + x + 1) x + x x = 0; b) x + x ( x + 2) x + = Bi Tỡm m phng trỡnh cú nghim : m = x + x + + x x + - y ' = x = , v bng bin thiờn m [4; +) Bi Tỡm m phng trỡnh cú nghim : x = mx m + - Cụ lp tham s, y ' = x = 0; Bi Tỡm m phng trỡnh cú nghim : x + + x x 18 x = 2m + Bi (A 2007) Tỡm m phng trỡnh cú nghim : x + m x + = x x x - Cụ lp tham s m = x +1 x +1 Bi (B 2004) Tỡm m phng trỡnh cú nghim : m( + x x + 2) = x + + x x - t n ph : t = + x x Bi (B 2007) Chng minh rng vi mi m > phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit : x + x = m( x 2) - Bỡnh phng v a v phng trỡnh bc ba Bi Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 10 Tỡm m phng trỡnh cú nghim PHNG PHP GII BT PHNG TRèNH Vễ T I) Phng phỏp ly tha Cú ba dng phng trỡnh c bn : f ( x) - Dng : f ( x) < g ( x) g ( x) f ( x) < [g ( x)]2 28 - Dng : f ( x) g ( x) < f ( x) > g ( x) g ( x) f ( x) > [g ( x)]2 - Dng : A + B < C Bi Gii bt phng trỡnh : a) x x 15 x b) x2 + 6x 2x c) x2 x < x Kt qu : x [5;6] Kt qu : x [3;5] d) x 3x 10 x Bi Gii bt phng trỡnh : a) ( x 3) x + x x [2;10) b) x x > x ( A 2005) c) x 13 x x 27 x + + x x + (CD 2009) d) e) 2( x 16) + x > x3 Bi Gii bt phng trỡnh : a) 7x x3 ( A 2004) 51 x x T = (; ) (1; ) (2; +) c) 2 2 x + 3x x Bi Gii bt phng trỡnh : x x + x x + x II) Phng phỏp t n ph Bi Gii bt phng trỡnh : T = (; 3) (1; +) a) x + 10 x + > x x b) b) x + x x > 10 x + 15 c) ( x 3)(8 x) + x 11x < Bi Gii bt phng trỡnh : < 2x + +4 a) x + 2x x b) x x +1 >3 x +1 x Bi (B 2012) Gii bt phng trỡnh x + + x x + x t x [0; ] [4; +) - Chia v cho x v t t = x + x Bi (Th GL 2013) Gii BPT : x x + x x x - iu kin : x 29 - Bỡnh phng v v rỳt gn ta c : x( x 2)( x + 1) x( x 2) 2( x + 1) - Chia v cho ( x + 1) v t t = x( x 2) Nghim x [3 + 13; +) x +1 Bi Gii bt phng trỡnh a) x + 14 x + x x 20 x + - Chuyn v, bỡnh phng v rỳt gn ta c x x + ( x x 20)( x + 1) 2( x x 5) + 3( x + 4) ( x + 4)( x x 5) x2 4x x2 x +35 x+4 x+4 b) x [ + 61 ;8] x + 25 x + 19 x x 35 < x + - Chuyn v, bỡnh phng ta c : 3( x x 14) + 4( x + 5) < ( x x 14)( x + 5) - Nghim x Bi (Thi th T 2012) Gii BPT x3 + (3 x x 4) x + y - iu kin : x t y = x + y = x +1 - Bpt tr thnh x + (3 x y ) y - TH y = x = Tha BPT - TH y > x > Chia hai v cho y ta c 3 - - - 2 x x x ữ + ữ t t = y v gii BPT ta c t y y x < x t x x + x y x x x < 1+ x x Kt hp x > ta c 1+ x < x 1+ 1+ Vy nghim ca BPT l S = 1; Cỏch : Cú th bin i BPT v dng tớch x + (3 x x 4) x + x + 3x x + 4( x + 1) x + - 0,25 [x ( x + 1) x + 1] + [3 x x + 3( x + 1) x + 1] ( x x + 1)( x + x + 1) Bi tng t : x 3x + ( x + 2)3 x Phng phỏp nhõn liờn hp Bi Gii bt phng trỡnh : a) + x x x 1 8x2 ;0) (0; ) b) Nghim T = [ Nghim ;5) b) Gii phng trỡnh : 3 x x + 16 Nhm nghim x = 15 + ] x [ 2; ] - BPT ( x + 2)[ 3 ( x 2) x + 5x + x [ III) Phng phỏp ỏnh giỏ Bi Gii cỏc PT sau : a) x + x x x + 11 Nghim x = b) x + 10 x x 12 x + 52 c) x2 x + + d) 2 x + x + + x + 10 x + 14 x x e) x + 19 x x + 2x x2 Nghim x = Nghim x = x + 10 x 24 Bi Gii PT sau : a) x 11x + 25 x 12 x + x VT : = (7 x 4)( x x + 3) (cụsi ) VP b) x +3 x + x x + x Bi (A 2010) Gii BPT : x x 2( x x + 1) - Ta cú 2( x x + 1) < nờn BPT 2( x x + 1) x + x - Mt khỏc ta li cú : - T ú 2( x x + 1) = x + x - Du bng x = x x = 2( x x + 1) = 2(1 x) + 2( x ) x + x (t / m x 0) 31 (1) (2) [...]... 97 18 Bài 2 Giải phương trình a) x 2 + 10 x + 21 = 3 x + 3 + 2 x + 7 − 6 b) x 2 + 8 x + 15 = 3 x + 3 + 2 x + 5 − 6 c) x − 2 x − 1 − ( x − 1) x + x 2 − x = 0 x2 + 7 x + 4 =4 x d) x+2 IV Phương pháp nhân liên hợp 1) Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm x0 hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành ( x − x0 ) P( x) = 0 và P( x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được 2)... để phương trình có nghiệm : m( 1 + x 2 − 1 − x 2 + 2) = 2 1 − x 4 + 1 + x 2 − 1 − x 2 - Đặt ẩn phụ : t = 1 + x 2 − 1 − x 2 Bài 8 (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : x 2 + 2 x − 8 = m( x − 2) - Bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc ba Bài 9 Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 10 Tìm m để phương trình có nghiệm PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ... f ( y ) ≥ f (1) = 3 ⇒ f (x ).f ( y ) = (2x 2 − 3x + 4)(2 y 2 − 3 y + 4) > 18 - 1  2  2 y − 3 y + 1 = 0  y = 1, y = ⇔ 2 vô nghiệm TH 2 x = 2 hệ trở thành  2  y − 4 y + 4 = 0  y = 2 - Vậy hệ đã cho vô nghiệm 0,25 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I Phương pháp lũy thừa 1/  f ( x) ≥ 0  f ( x) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0  f ( x) = g ( x)  2/  g ( x) ≥ 0 f ( x) = g ( x) ⇔... x + 2) x3 + 2 x + 1 4) Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ Bài 8 Giải phương trình Đặt t = x + a) ( x − 2) x 2 − x + 4 = 2 x bình phương, chia x 2 b) x 2 + 3 x − 2 + 2 x 2 − x − 2 = 2 x chia cho x⇒ Nghiệm x = 2 x và đặt t = x + c) x + 1 + x 2 − 4 x + 1 = 3 x Chia 2 vế cho 4 ⇒ t = 0;5 thử lại ⇒ x = 4 x 1 x ⇒ x = 4; 1 4 Bài 9 Giải phương trình a) 2( x 2 + 2) = 5 x 3 + 1 b) (Thi thử ninh giang 2013)... ĐT2010) Giải hệ phương trình:  2  x + 9 + y 2 + 9 = 10 Bình phương cả 2 PT  2 1 1 2  x + 2 + y + 2 =2 7 x y  Bài 13 (Thử GL 2012) Giải hệ :   6 + 1 = −1  x + y xy 1 2 1 2 - PT (1) ⇔ ( x + ) − 2 + ( y + ) − 2 = 2 7 x y x+ y 1 1 = −( x + y ) ⇔ ( x + ) + ( y + ) = −6 Ta có - PT (2) ⇔ 6 + xy x y a + b = −6  2 2  a − 2 + b − 2 = 2 7  y ( x − 7) + x + 1 = 0 Bài 14 (ĐT 2011) Giải hệ :  ... Lần lượt chia cho y; y 2 và đặt ẩn phụ 2 2 2  21y − x = ( xy + 1)   xy + x + 1 = 7 y Bài 15 (B – 2009 ) Giải hệ :  2 2 Lần lượt chia cho y; y 2 và đặt ẩn phụ 2  x y + xy + 1 = 13 y  x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y  Bài 16 (Thử ĐT2012) Giải hệ :  Chia 2 vế của 2 PT cho y và đặt ẩn phụ  y ( x + y)2 = 2 x 2 + 7 y + 2 (2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y ) 2 = 0  Bài 17 Giải hệ phương trình:... x + 2)3 − 6 x ≤ 0 Phương pháp nhân liên hợp Bài 1 Giải bất phương trình : a) 1 + x − 1 − x ≥ x −1 1 1 − 1 − 8x2 ;0) ∪ (0; ) b) Nghiệm T = [ 0 ⇒ Nghiệm −1 ;5) 3 b) Giải phương trình : 2 3... căn là bình phương hoặc lập phương Bài 1 a) (Khối B 2010) Giải phương trình : 3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0 3 1 + + 3 x + 1) = 0 Nghiệm duy nhất x = 5 - PT ⇔ ( x − 5)( 3x + 1 + 4 6 − x +1 b) Giải phương trình : 2 3 3 x − 2 − 3 6 − 5 x + 16 = 0 Nghiệm duy nhất x = −2 6 15 + ]=0 ⇔ x = −2 - PT ⇔ ( x + 2)[ 3 2 ( 3 x − 2) − 2 3 3 x − 2 + 4 6 − 5x + 4 2 3 c) (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình... 2 x + 2 x − y = 3 − y  V Phương pháp hàm số * Cơ sở phương pháp Nếu f ( x ) đơn điệu trên khoảng (a; b) và x, y ∈ (a; b) thì : f ( x) = f ( y) ⇔ x = y Bài 1 Giải các HPT sau : 13  x3 + x = y 3 + y a)  2 2  x + y = 2  x5 + x = y 5 + y b)  2 2  x + y = 2  x5 − 5 x = y 5 − 5 y Bài 2 Giải hệ phương trình :   x 2 + y 2 = 1  x3 − 3 x = y3 − 3 y Bài 3 Giải hệ phương trình   x 2 + y 2... x 2 − 2 x − 35 < 7 x + 2 - Chuyển vế, bình phương ta được : 3( x 2 − 5 x − 14) + 4( x + 5) < 7 ( x 2 − 5 x − 14)( x + 5) - Nghiệm x ∈ Bài 6 (Thi thử ĐT – 2012) Giải BPT x3 + (3 x 2 − 4 x − 4) x + 1 ≤ 0 y ≥ 0 - Điều kiện : x ≥ −1 Đặt y = x + 1 ⇔  2  y = x +1 - Bpt trở thành x + (3 x − 4 y ) y ≤ 0 - TH 1 y = 0 ⇔ x = −1 Thỏa mãn BPT - TH 2 y > 0 ⇔ x > −1 Chia hai vế cho y 3 ta được 3 3 - - - 2 2 ... (1) f ( x) = f ( y ) x = y th vo pt (2) ta c Vy nghim ca h l S = ; 2 ữ; ; ữ 2 Nhn xột Trong TH ny ta ó hn ch bin thi n ca cỏc bin hm s n iu trờn on ú x3 = x + y ( y + 3) (1) ... 4) Phng phỏp chia lm xut hin n ph Bi Gii phng trỡnh t t = x + a) ( x 2) x x + = x bỡnh phng, chia x b) x + x + x x = x chia cho x Nghim x = x v t t = x + c) x + + x x + = x Chia v cho ... b nờn ta chia hai v pt th nht cho 3x v chia hai v pt th hai cho y Li gii K: x 0, y 0, x + y D thy x = hoc y = khụng tha h pt Vy x > 0, y > 2 = 3x 3x = x + y 7y - Nhõn theo v hai pt