Tuyển chọn bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải chi tiết

[r]

(1)

Trang

TUYỂN CHỌN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM

PHẦN A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT. DẠNG 1. ÁP DỤNG CƠNG THỨC NGUN HÀM CƠ BẢN. Câu 1: Cho hàm số y2 sin 2xcosx1 có ngun hàm f x( ) thỏa mãn

2 2

f       . Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. f x( )có hệ số tự do bằng 0. B. f x( ) có hệ số tự do bằng 2. C. f(1) cos 2xsin1 1 . D. f( )   1.

Câu 2: Cho hàm số y3 x43x có ngun hàm f x( ) sao cho f x( )7 Tính giá trị của

biểu thức f(0) f(64).

A.1796 B.1792 C.1945 D.2016

Câu 3: Tìm một nguyên hàm I của hàm sốy2x1x2 x 4dx.

A. 1 2

4 2

2

I x  x  B. 1 2

4 3 2

3

I x  x 

C. 1 2

4 3

4

I x  x  x D. 3 2

4 9

2

I x  x 

Câu 4: Cho hàm số    

2

3

1 x f x

x 

 . Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(1) 4

là:

A.

2

2 ln 4

2 x

x x

   B.

2

2 ln 4

2 2

x

x x

  

C.

2

1 9

2 ln

2 2 2

x

x x

   D.

2

2 ln 2

2 x

x x

  

Câu 5: Một nguyên hàm F (x) của hàm số   1 2

x

x e

f x e

x 

 

   

  thỏa mãn F 1 e là: A. F x  ex 1 1

x

   B. F x  ex 1 1 x   

C. F x  ex 1 1 x

   D. F x  ex 1 1 x   

Câu 6: Tìm nguyên hàm F x  của hàm số  

sin 2 f x  x và

8 16 F    

  . A.   1 1sin 4 1

2 8 8

F x  x x B.   1 1sin 4 1

2 8 8

(2)

C.   1 1sin 4 1

2 8 8

F x  x x D.   1 1sin 4 1

2 8 8

F x  x x

Câu 7: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số

( ) tan

f x  x biết 1 4 F   

  Kết quả là: A.   tan

4

F x  x x  B.   tan

4 F x  x x 

C.   tan 4

F x  x x D.   tan 4 F x  x x

Câu 8: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số  

2 2 1

x x f x

x  

 biết  1 1 2

F  . Kết quả là:

A.  

2

2 ln 2

2 x

F x   x x B.  

2

2 ln 2

2 x

F x   x x

C.  

2

1 2 ln

2 2

x

F x   x x D.  

2

1 2 ln

2 2

x

F x   x x

Câu 9: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f x  3x4 biếtF 0 2 . Kết quả là: A. ( ) 2 (3 4)3 2

9 9

F x  x  B. ( ) 2 (3 4)3 2

9 9

F x  x 

C. 2 10

( ) (3 4)

3 3

F x  x  D. 2 10

( ) (3 4)

3 3

F x  x  Câu 10: Một nguyên hàm của hàm số f x x33x25

là: A.

3x 6x B.

3x 6xC C.

2

5 4

x

x x C

   D.

5 x x  xC Câu 11: Một nguyên hàm của hàm số  

5 4 6

g x   x  x  là: A. 4

6 3

x x x C

    B.

20x 8x C   

C.

20x 8x

  D. 4

3

x x C

  

Câu 12: Một nguyên hàm của hàm số f x  1 1 x   là:

A. 21 x 

B. xln x C. x 12 x

 D.

2

1 1

2 x x   

 

  Câu 13: Tính (sinxcosx dx) là:

(3)

Trang Câu 14: Tính (3x2 1 2)dx

x  

 là:

A.

3

2 3

x

ln x x C

   B.

2

1 2

x x C

x

  

C.

x ln x C D.

2 x ln x  xC Câu 15: Một nguyên hàm của hàm số   22

cos f x

x  là:

A.2tanxC B.2cotxC C.2sinxC D. 2cosxC Câu 16: Tính 1 1

2 dx x

  

 

 

 là:

A.

2 2

x x C

  B. 2 2 x

x C C. 1 1 2

2 x xC D. 2

2 x

C x   Câu 17: Tính (ex 4)dx là:

A.ex4xC

B. 1x 4x C

e   C.

x

e C

  D. ex4xC

Câu 18: Một nguyên hàm của hàm số   3 12 sin f x

x   là:

A.3xtanxC B.3xtanxC C.3xcotxC D. 3xcotxC Câu 19: Cho  

3 2

f x   x x  x. Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F 1 2 là: A.

2

3 1

4 4

x

x x

    B.

2

3 1

4 4

x

x x    

C.

2

3 9

4 4

x

x x

    D.

2

3 9

4 4

x

x x    

Câu 20: Tính

1

x

e dx

x 

  

 

 

 là:

A. 1 1

3

x

e C

x   

B. 1

3e x C

x   

C. 1

3e x C

x   

D. 1 1

3

x

e C

x   

Câu 21: Chof x sinxcosx. Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn 0 4 F   

  là:

A.cosxsinx 2 B. 2

2 cosx sinx

  

C. cosxsinx 2 D. 2

2 cosxsinx

Câu 22: Cho hàm số f x 2xsinx2cosx. Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa mãn  0 1

(4)

A.

2

x cosx sinx B.

2 2

x cosx sinx C.2cosx2sinx D.

2 2

x cosx sinx Câu 23: Một nguyên hàm của hàm số 3 5

2 x y

x  

 là:

A. F x 3x4ln x 2 C B. F x   3x ln x 2 C C. F x( )3xln x 2 C D. F x 3xln x 2 C Câu 24: Một nguyên hàm của hàm số  

1 x f x

x 

 là:

A ln x1 B. xln x1 C. xln x1 D. 2 ln x1

Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số f x tan x2

là:

A.

3

tan 3

x

B.

3

tan 1

. 3 cos

x

x C. tanxx D. 2 sin cos

x x Câu 26: Một nguyên hàm của hàm số   4

f x cos xsin x là: A.cos x2 B.1 2

2sin x C.2sin x2 D.

2

cos x Câu 27: Một nguyên hàm của hàm số  

2 3

f x sin x x là:

A.F x cos x2 6x B.   1 2 6 2

F x  cos x x

C.   1

2 2

F x   cos xx D.   1

2 2

F x   cos xx Câu 28: Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A.kf x dx( ) k f x dx k ( ) ( ) B. f x g x dx( ) ( )  f x dx( ) .g x dx( ) C. f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( ) D.

1

( ) ( ) '( )

1

m

m f x

f x f x dx C

m 

 





Câu 29: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x 2sin x2 ? là: A.F x sin x2 B. F x   2cos x2

C.   1 2 2

F x  cos x D.F x  cos x2 Câu 30: Một nguyên hàm của hàm số  

9x 3 f x   x là:

A.

9 ( ) x

F x  x B.

9 ( ) x 9 F x  ln x C.   9 6

ln 9

x

F x   x D.   9

ln 9

x

(5)

Trang HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Ta có

2 sin cos 1 sin 2 (2 ) cos cos 2 sin

ydx x x dx xd x  xdx dx  x x x C

    

Mà.

2

( cos 2 sin ) 2 2

2 2 x 2 2 2

f   x x x C   C   C



              

 

  Chọn B.

C â u 2: T a c ó  

3

3 3

3 4 3 4 2 3

ydx x x dx xdx xdx x  x C

   

Mà

3

2

(1) 7 2 3 7 2

1

f x x C C

x

 

        

  .Do đó f   0  f 64 2C17921796 . Chọn A.

C â u 3: T a c ó         

2

2 2 4

2 1 4 4 4

2 x x

x x  x dx x  x dx x  x    C

 

Chọn A. Câu 4:Ta có

 2 2

4

2

3 3

1 2 1 2 1 1

( ) ( ) 2 ln

2

x x x

F x f x dx dx dx x dx x x C

x x x x x

    

           

 

   

M à

2

1 1 9

(1) 4 2 ln 4 4

2 1 2 2

F x x C C C

x x

 

                

  .Chọn C.

C â u 5: T a c ó ( ) ( ) 1 2 12 1

x

x e x x

F x f x dx e dx e dx e C

x x x



   

           

 

  

Mà (1) 1 1 1 ( ) 1 1

1

x x

F e e C e C e e C F x e

x x x

 

                 

  C họn C

Câu 7: Ta có

2

2 2

sin 1 cos 1

( ) ( ) tan 1 tan

cos cos cos

x x

F x f x dx xdx dx dx dx x x C

x x x

  

         

 

    

Mà 1 tan  1 1 1

4 4 4

4

F x x C C C

x

  



            

  

 

Chọn A. Câu 8: Ta có

2 2 1 1

( ) ( ) 2 2 ln

2

x x x

F x f x dx dx x dx x x C

x x

   

          

 

  

Mà.

2

1 1

(1) 2 ln 2

2 2 1 2

x

F x x C C

x

 

         

(6)

C â u 9: T a c ó

 1  3  

3

2 2 2

( ) ( ) 3 4 3 4 3 4 3 4

9 9

F x f x dx x dx x dx x  C x C M à

 3  3

2 16 2 2 2

(0) 2 3 4 2 2 ( ) 3 4

9 0 9 9 9 9

F x C C C F x x

x

 

               

  .

Chọn A.

C â u 0: T a c ó  

4

3

( ) ( ) 3 5 5

4 x

F x f x dx x  x  dx x  xC Chọn C.

C â u 1 1: T a c ó   4

( ) ( ) 5 4 6 6

3

F x f x dx  x  x  dx  x x  xCChọn A. Câu 12: Ta có F x( ) f x dx( ) 1 1 dx x ln x C

x

 

       

 

  . Chọn B.

Câu 13: Có

sinxcosx dx  sinxdx cosxdx   d(cos )x  d(sin )x  sinxcosxC

     .

Chọn A.

Câu 14: Ta có 1

3x 2 dx 3x dx dx 2 dx x ln x 2x C

x x

          

 

 

    . Chọn D.

Câu 15: Ta có ( ) 22 2 (tan ) 2 tan cos

f x dx dx d x x C

x

   

   .Chọn A.

Câu 16: Ta có 1 1 1 1  2 1 2

2 2 2 2

x

dx dx dx d x dx x C

x x

         

 

 

     . Chọn B.

Câu 17: Ta có ex 4dxe dxx 4dx d e( x) 4 dx ex4xC

.Chọn D.

Câu 18: 3 12 3 2 3 cot

sin sin

dx

dx dx x x C

x x

       

 

 

   . Chọn C.

Câu 19:  

4

3 3

( ) 3 2 3 2

4 x

F x    x x  x dx x dx x dx xdx  x x C

4

3

1 9

(1) 2 1 1 2

4 4

F         C C . Chọn C.

Câu 20:  

3

3 3

2

1 1 1

3 3

x

x x dx x e

e dx e dx d e x dx C

x x x



   

         

 

 

     . Chọn D.

C â u 2 1:

 

( ) sin cos sin cos cos sin

(7)

Trang

0 cos sin 0 2

4 4 4

F                C C

      Chọn A.

C â u 2 2:

 

( ) 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos cos 2 sin

F x  x x x dx xdx xdx  xdxx  x xC.  0 1 02 cos sin 0 1 2

F        C C Chọn B.

Câu 23: 3 5 3 1 3  2 3 ln 2

2 2 2

d x x

dx dx dx x x C

x x x

 

           

      

   

    .Chọn C.

C â u 2 4: 1 1  1 ln 1

1 1 1

d x x

dx dx dx x x C

x x x



 

         

    

    . Chọn C.

C â u 2 5: .

2

1

tan 1 tan

cos cos

dx

xdx dx dx x x C

x x

 

        

 

    Chọn C.

Câu 26:  4   2  1 sin 2

cos sin cos sin cos 2 cos 2 2

2 2

x x x dx x x dx xdx xd x C

   

.Chọn B

Câu 27:  2 1 cos 2

sin 2 3 sin 2 2 3

2 2

x

x x dx xd x x dx  x C

   .Chọn C.

Câu 28: Từ các tinh chất của nguyên hàm ta dễ dàng chọn được đáp án B. Chọn B

Câu 29: 2 sin 2xdxsin 2xd 2x  cos 2xC. Chọn D

Câu 30:  2 9

9 3 9 3

ln 9

x

x x

x dx dx x dx x C

     

   . Chọn D

(8)

DẠNG 2. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM (PHẦN 1) Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số

3

cos ( )

1 sin x f x

x 

 sau phép đặt tsinxlà A.

2

( ) 2 t

F t   t C B.

2

( ) 2 t F t  t C

C

2

( )

2 3 t t

F t   C D

2

( )

2 3 t t F t    C

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3

2 3

x f x

x x

 

  sau phép đặt t x3 là A. F t( )4tlnt 1 9 ln t 3 C B. F t( )4tlnt 1 9 lnt 3 C C. F t( )4tlnt 1 9 ln t 3 C D. F t( )4tlnt 1 9 lnt 3 C

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 2

6 4 2

x f x

x x

 

   sau phép đặt t x2 là A. ( ) 4 ln 2 4

2

F t t t C

t

    

 B.

8 ( ) 2 8 ln 2

2

F t t t C

t

    



C ( ) 2 4 ln 2 4

2

F t t t C

t

    

 D.

8 ( ) 2 8 ln 2

2

F t t t C

t

    



Câu 4: Cho nguyên hàm

4 1 x

I dx

x 



 . Giả sử đăt t 4x1 thì ta đươc : A.

3

1 8 3

t

I   t C

  B.

3

1 4 3

t

I   t C

 

C.

3

1 8 3

t

I   t C

  D.

3

1 4 3

t

I   t C

 

Câu 5: Cho nguyên hàm

 

2

1

1 1

x

x x

e

I dx a t C

t

e e

 

    

 

 

 với t ex 1

, giá tri của a

bằng

A ‐2 B 2 C ‐1 D 1

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số yx3 x21 là:

A. 1    3

3 1 1

15 x  x  C B.    

3

2

1

3 2 1

15 x  x  C C. 1   3

1 1

5 x  x  C D.    

3

2

1

3 4 1

15 x  x  C Câu 7: Nguyên hàm của hàm sô 1

2 x y

x  

(9)

Trang A. 3 1 2

2 x x C B.  

2

1 2

3 x x C

C 2 1 2

3 x x C D  

4

1 2

3 x x C Câu 8: Nguyên hàm của hàm số 1. 1 2

2 ( 2) x

y

x x

 

  bằng: A.

3

2 1

9 2

x

C x

      

  B.

3

2 1

3 2

x

C x

      

  C

3

2 1

9 2

x

C x

       

  D.

3

2 1

9 2

x

C x

       

 

Câu 9: Nguyên hàm của hàm sô 1 7 x y

x  

 bằng: A. 23 1 7

3 x x C B.  

2

3 1 7

3 x x C C. 23 11 7

3 x x C D.  

1

2 1 7

3 x x C Câu 10: Cho nguyên hàm sau

10

1 dx I

x x 



 . Khi đặt 10

1

t x  ta được:

A.

( 1) dt I

t t 



 B. 1 2

10 1

dt I

t 



 C. 1 3 2

10 dt I

t t 



 D. 1 2

5 1

dt I

t 





Câu 11: Giả sử F x  là một nguyên hàm của hàm số 1

1 1

y

x 

  .Biết F 1 3 . Vậy ( )2

F bằng:

A.5ln2C B.5ln2 C.5 21 2 n D. 5 21 2 n C Câu 12: Nguyên hàm của hàm số

 2

1 1

x y

x 

  là:

A. x4 x 1 4 ln x  1 1 C B. x 1 ln x  1 1 C

C. x 1 2 x 1 ln x 1 1 D. x4 x 1 ln x  1 1 C Câu 13: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số 2

1 x y

x  

 . BiếtF(10)40. Vậy F 2 bằng:

A. 10

3 B.

32

3 C.

20

(10)

Câu 14: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số ( ) 1 1 ln f x

x x



 . A. 2 lnx1 B. 1 ln x C. 1 ln

4 x 

D. 1 ln

2 x 

Câu 15: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số

3

( ) 1

x f x

x 



A.  

2

2 1 3 x  x

B.  

2

1 1 3 x  x



C.  

2

1 1 3 x  x

D.  

2

2 1 3 x  x



Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số

3

( )

5 x f x

x 

 :

A. 1

5

8 x  C B.

4

1

5

4 x  C C.

1

4 5

C x



 D.

1

8 5

C x

  Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số

3

( ) 3

x f x

x 

 , khi đặtt 3x :

A.t46t2 9 C B. 2t412t218C

C. 2

4 18

5t t t C

    D. 1

2 9

5t  t  t C Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số

2

ln ( )

2 ln x f x

x x





:

A. 2 2 ln3

3 x C

   B. 1 2 ln3

3 x C

  

C 2 2 ln3

3  xC D

3

1

2 ln

3  xC

(11)

Trang 11 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đặt tsinxdtcosxdx khi đó ta có

     2  

3

2

1 sin sin 1

cos cos cos 1

1

1 sin 1 sin 1 sin 1 2

x d x t dt

xdx x xdx

t dt t t C

x x x t

 

       

   

    

. Chọn A.

Câu 2: Đặt

3 3 2

t x    t x tdtdxkhi đó ta có

     

  

2

4 2 3 3 9 1

2 3 2 2

2 3 3 1

2 3

1 9

4 4 ln 1 9 3

1 3

t t t t

x t tdt

dx dt

t t t t

x x

dt t t t C

t t

     

  

   

 

 

          

 

 

  



Chọn A.

Câu 3: Đặt t x    2 t2 x 2 2tdtdx

khi đó ta có

   

 

2

2 4 4 8 2 8

2 .2

4 4 4 4

6 4 2

8 8 8

2 2 8 ln 2

2 2 2

t t t

x t tdt

dx dt

t t t t

x x

dt t t C

t t t

    

  

   

  

 

         

  

 

 

  



Chọn B.

Câu 4: Đặt t 4x  1 t2 4x 1 2tdt4dxtdt2dx

khi đó ta có

 

2

1 .

1 1 1

4 2 1

8 8 3

4 1

t tdt x

dx t dt t t C

t x



 

      

  

  

Chọn C.

Câu 5: Đặt 2

2

1 1 2 2 ( 1)

1

x x x tdt

t e t e tdt e dx tdt t dx dx

t

           

 khi đó ta có

 2 2  

2

3 2

2

1 1

1 2 2 1 2 2

tdt

t t

t

I dt dt t C a

t t t t

     



           

   

  

Chọn B. Câu 6: Ta có

     

       

3 2 2 2 2

5 3

3

2 2 2

1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 2

1 2 2 1

1 1 3 2 1

2 5 3 15

x x dx x x d x x x x d x

x x C x x C

 

           

 

         

 

 

 

(12)

Chọn B. Câu 7: Ta có

 32  

1 1 2 2

2 2 2 2 1 2

3 3

2 2

x

dx x dx x x x x C

x x

             

 

   

  . Chọn C.

Câu 8: Đặt

   

2

1 1 3 2

2

2 2 2 2 3

x x dx dx

t t tdt tdt

x x x x

  

       

    khi đó ta có

 

3

2

1 2 2 2 2 1

.

2 2 3 3 9 9 2

x dx x

t t dt t dt t C C

x x x

              

   

      

  

C họn C Câu 9: Ta có

 32  

1 6 2 2

7 7 12 7 11 7

3 3

7 7

x

dx x dx x x x x C

x x

             

 

   

 

Chọn B.

Câu 10: Đặt 10 10

9

1 1 2 10

5 tdt

t x t x tdt x dx dx

x

         khi đó ta có

 

10 10 10

1

5 1

1 5 1

dx tdt tdt dt

t t t

x x x x

  

 

 

   

Chọn D. Câu 11:

1

1 2

( ) ( )

1

1 1

x t t

F x dx F x dt

t x

 

  

  

 

2

( ) 2 2 2 ln 1

1

F x dx t t C

t

 

        



 



 

2 x 1 ln x 1 1 C 2 x 1 ln 1 x 2 C

           

Bài ra F(1)  3 0 ln1    C 3 C 3 F(2) 2 ln 3  5 ln 2. Chọn C Câu 12:

     

    

2

1

2 2

1 1 2 1

( ) ( ) 1

1 1

x t t t t

x t

F x dx F x d t

t t

x

    

    

 

  

  

2 1 2 2

2

( ) 2 2 2 2

1 1 1

t t t t

F x dt dt t dt

t t t

  

  

       

    

  

 

2

( ) 2 2 2 ln 1 1 4 1 4 ln 1 1

2 t

F x  t t  C x x x C

              

 

(13)

Trang 13

Câu 13:    

2

1 2

2 3 3

( ) ( ) 3 .2 2 3

1

x t

x t t

F x dx F x d t tdt t dt

t t

x

 

  

      



   

 

3

2

( ) 2 3 1 6 1

3 3

t

F x  t C x x C

         

 

Bài ra 2 2 32

(10) 40 9 6 9 40 4 (2) 6 4

3 3 3

F     C   C F     . Chọn B Câu 14:

  1 1   1 1  

ln 1 ln 1 ln

2

1 ln 1 ln 1 ln

F x dx d x d x x C

x x x x

      

  

   .

Chọn B

Câu 15:    

3 2

1

2

1 1 1

( ) ( ) 1

2 2

1 1

x t

x x t

F x dx d x F x d t

t

x x

  

    

 

  

  1 1 2. 2  1 1 3

2 3 3

t t

F x t dt t dt t C t t C

t 

           

  2 2 1

1

1 3 1

3 3

x x

x x C   C

        . Chọn D

Câu 16:  

3

4

1 1 1

5 5

4 8

5 4

x

dx d x x C

x x

    

 

  Chọn A

Câu 17:

 2    2 2    

5

2

3 3

3 . 2 2 6 9 2 2 9

5

t t t

H d t t dt t t dt t t C

t t

   

             

 

  

Chọn C

Câu 18:    

2

3

3 3

ln ln 1 1

ln ln

3

2 ln 2 ln 2 ln

x x

dx d x d x

x x x x

 

  

  

 

3

1 1 2

2 ln 2 ln

3 2 ln x d x 3 x C

      



 . Chọn A

(14)

DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM PHẦN 2. Câu 1: Xét nguyên hàm I  4x dx2 với phép đặt x2sint . Khi đó

A. I2 cos 2  t dt B. I2 cos3  t dt

C. I2 cos 2  t dt D. I2 2cos 2  t dt

Câu 2: Sử dụng phép đặt xtant thì 2

1 x

J dx

x 



 là nguyên hàm nào sau đây

A. J tantdt B. J tan 2tdt C. 1 tan 2

2

J   tdt D. 1 tan2 2

J   tdt

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số   21

1 f x

x 



A. Itanx C B. Icotx C C. Iarctanx C D. Iarccotx C

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  1x2 A.  

2

arcsin 1

2

x x x

f x dx   C

 B.  

2

arcsin 1

2

x x x

f x dx   C



C.  

2

2 arcsin 1

2

x x x

f x dx   C

 D.  

2

2arcsin 1

2

x x x

f x dx   C



Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số  

2

2 1

x f x

x 

 A.  

2

arcsin 1

2 2

x x x

f x dx   

 B.  

2

arcsin 1

2

x x x

f x dx   C



C.  

2

2 arcsin 1

2

x x x

f x dx   C

 D.  

2

2arcsin 1 2

2

x x x

f x dx    x



Câu 6: Tính nguyên hàm của hàm số f x x2 9x2 khi đặt x3sint

A. 81 81sin 4

8 32

t

t C

  B. 1sin 4

2 8 t

t C

  C. 1sin 4

4

t tC D. 2 1sin 4

2

t tC

Câu 7: Tính nguyên hàm của hàm số  

2

2 1

x f x

x 



A. arcsinxx 1x2C B. arcsin 1 1

2 2

x

x x C

  

C. arcsin

2 x

C

 D. arcsin 1 1

2 2

x

x x C

  

Câu 8: Cho nguyên hàm Ix2 4x dx2 . Nếu đổi biến số x2sint với ; 2 2 t   

  thì

A. 2 cos 4

2 t

I t C B. 2 sin 8

4 t

I t C

C. 2 cos 4

2 t

I t C D. 2 sin 4

2 t

I t C

Câu 9: Nguyên hàm

1 sin dx

x 

 với phép đặt tan 2 x

t trở thành A.

 2 2 1

dt t 

 B.

 3 2 1

dt t 

 C.

 2 3 1

dt t 

 D.

 2 2 3 1

dt t 



Câu 10: Sử dụng phép đặt xsint , tìm biểu diễn của nguyên hàm I 1x dt2

(15)

Trang 15

C. Icos cost tdt D. I4 sin cost tdt

Câu 11: Cho nguyên hàm I 4x dx2 . Khi đặt 2sin ;

2 2 x t t    

 

  ta được:

A. I 2t sin 2tC B. I 2t sin 2tC C. I t sin 2tC D. I 4t 2sin 2tC

Câu 12: Để tính nguyên hàm

2

1 x

I dx

x 

 . Bạn A làm như sau:

Bước 1: Đặt sin ; ; 0 cos

2 2

x t t     t dx tdt

 

 

Bước 2: Khi đó

2

1 sin .cos cos

sin sin

x tdt t

I dt

t t



 

Bước 3:

3

2 cot cot

cot

3 3

t x

I tdt C I C

       (với tsin )x Vậy bạn A làm đúng hay sai?

A. Bạn A làm sai bước 1 B. Bạn A làm sai bước 2 C. Bạn A làm sai bước 3 D. Bạn A làm hoàn toàn đúng

Câu 13: Cho nguyên hàm   2

4 dx F x

x 



 . Biết rằng  0 8

F  . Vậy F 2 có giá trị bằng A.  2

8

F  B.  2

2

F  C.  2

4

F  D. F 2 0

Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số  

2

1 1 f x

x x



 sau phép đặt xsint, với  

; \ 0

2 2 t    

  là

A. F t  tantC B. F t  cottC C. F t tantC D. F t cottC

2

9 x

f x

x 

 sau phép đặt x3sint , với  

; \ 0

2 2 t    

  là A.  

2 9 9cot

2 t

F t   t C B.F t  9cott 9t C

C.  

2 cot

2 t

F t  t C D. F t  cott t C

Đáp án

1‐A 2‐A 3‐C 4‐B 5‐A 6‐A 7‐B 8‐D 9‐A 10‐C 11‐B 12‐C 13‐C 14‐B 15‐D

(16)

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A

2sin

x t với ; 2cos 2 2

t   dx tdt

 

 

2

4 4 cos cos 4 cos 2 cos 2

I x dx t t dt tdt t dt

          .

Câu 2: Đáp án A

2

tan tan

cos 1

dt xdx

x t dx J tdt

t x

     



 

Câu 3: Đáp án C

2

tan arctan

cos 1

dt dx

x t dx dt t C x C

t x

        



 

Câu 4: Đáp án B

sin

x t với ; cos 2 2

t   dx tdt

 

 

2 1 sin 2

1 cos cos cos 1 cos 2

2 2 4

t t

x dx t t dt tdt t dt C

         

2

arcsin sin cos arcsin 1

2 2

x t t x x x

C C

  

   

sin

t   dx tdt

 

 

2

sin cos 1

sin 1 cos 2

cos 2

1

x dx t tdt

tdt t dt

t x

    



   

2

sin cos arcsin 1

2 2

t t t x x x

C C

  

   

3sin

t   dx tdt

 

2 9 81 sin cos cos2

x x dx t t t dt

   

 

2

81 81 81 81sin 4

sin 2 1 cos 4

4 8 8 32

t t

tdt t dt C

        .

sin

t   dx tdt

 

 

2

sin cos 1

sin 1 cos 2

cos 2

1

x dx t tdt

tdt t dt

t x

    



  

2

sin cos arcsin 1

2 2

t t t x x x

C C

  

   

Câu 8: Đáp án D

2sin

t   dx tdt

(17)

Trang 17

2 4 16 sin cos cos2

x x dx t t t dt

    4 sin 22 2 cos 4  2 sin 4

2 t

tdt t dt t C

       

2

tan 1 tan

2 2cos 2 2

2

x dx dx x

t dt

x

 

      

   

2

2 2 1

2 1

dx dt

t dx

t

   



Mặt khác  

 

2

1 2

sin 1 1 2

1 1 1 sin 1

t

t dx dt

x

t t x t



     

     

2

sin cos 1

x tdx tdt I  x dt cos sint  2tdt cos cost t dt

2sin ; 2 cos

2 2

x t t    dx tdt

 

 

 

2

4 4 cos 2 cos 2

I x dx tdt t dt

         2t sin 2tC

Câu 12: Đáp án C Bước 3 sai vì

2

2 2

cos 1 sin 1

1

sin sin sin

t t

I dt dt

t t t

  

     

 

    cott t C

 

2

2 2 tan

cos 4

dt dx

x t dx F x

t x

    





arctan

1 2

2 2 2

x t

dt C C

     

 0  2

8 8 4

F     C  F  Câu 14: Đáp án B

2

cos cos

sin cos

1

dx tdt

t t

x x

  



  2 cot

sin dt

t C

t

    Câu 15: Đáp án D

2

cos 9

3cos cos

sin t x

dx tdt dx tdt

x t



  

2

cos 1 1 cot

sin sin

t

dt dt t t C

t t

 

        

 

 

(18)

DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHÂN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM

Câu 1: Nguyên hàm I xlnx1dx bằng A.  

2 1

ln 1

2 4 2

x x x

x C

    

B.  

2 1 2

ln 1

2 4

x x x

x C

    

C.  

2 1

ln 1

2 4

x x

x x C

    

D.  

2

ln 1

2 4 2

x x x

x   C

Câu 2: Gọi F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  x lnx1 . Biết F 0 1 , vậy  

F x bằng:

A.     2

1 ln 1 1

2

x x

    

B.  

2 2

ln 1 1

2

x x

   

C.    

2

1 ln 1 1

2

x x

    

D.    

2

2 1 ln 1 1

2

x x

    

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số y lnx2 2

x 

 bằng:

A. ln  2 ln  2 2

x x x

C x

 

  B. ln  2 ln  2

2

x x x

C

x x

 

 

C. ln  2 ln  2

2 2

x x x

C x

 

  D. ln ln 2

2

x x

C x



 

Câu 4: Giả sử F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  x 1 lnx x

 

  

  . Biết F 1 0. Vậy F x  bằng:

A.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x  x x x

B.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x x x x

   

C.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x x x x

   

D.

2 2 ln2 ln2 1

4 2 4

x x x x

   

Câu 5: Hàm số f x xex có các nguyên hàm là:

A.   x x

F x xe  e C B.   x

F x x e C

C.   1 1

x

F x x e C

x

 

 

 D.    1

x

F x e x C

Câu 6: Hàm số f x   x1 sin x có các nguyên hàm là:

A. F x   x1 cos xsinx C B. F x   x 1 cos xsinx C C. F x   x 1 cos xsinx C D. F x   x 1 cos xsinx C Câu 7: Hàm số f x lnx có các nguyên hàm là:

A. F x xlnx 1 C B. F x  1 C x

 

C.   ln

2 x

F x  C D. F x  xlnx 1 C

Câu 8: Gọi hàm số F x  là một nguyên hàm của f x xcos 3x, biết F 0 1 . Vậy  

F x là:

A.   1 sin 3 1cos 3

3 9

F x  x x x C B.   1 sin 3 1cos3 1

3 9

(19)

Trang 19

C.   1 2sin 3

6

F x  x x D.   1 sin 3 1cos3 8

3 9 9

F x  x x x

Câu 9: Nguyên hàm F x  của f x xex

thỏa mãn F 0 1 là: A.    1 x 1

F x   x e  B.    1 x 2 F x   x e  C.    1 x 1

F x  x e  D.    1 x 2

F x  x e 

Câu 10: Kết quả nào sai trong các kết quả sau? A. sin .cos

2

x x

x xdx C

 B. xsinxdx cosxsinx C

C. xcosxdxxsinxcosx C D. sin 2 .cos 2 1sin 2

2 4

x x

x xdx   x C



Câu 11: Kết quả nào sai trong các kết quả sau? A.

3

3 1

3 8

x

x xe x

xe dx  e C

 B. x . x x

xe dxx e  e C



C.

2 . 2

x x x

xe dx e C

 D. xx dx xx 1x C

e e e



  



Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số    1 x

f x  x  e

A. f x dx  x12exC

 B. f x   x1exC

C. f x dx  x22x2ex C

 D. f x dx  x22x2exC



Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f x x23.lnx1 A.   3 ln1 1

3

f x dx x C

x

 

   

 

 B.   ln 1

3 f x dxx  x C

 



C.  f x dx  x3.lnx C D. f x dx  x3.ln1 C x

 



Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số f x  lnx

x

 qua phép đặt t x là A. F t 2 lnt 2t 4t C B. F t 2 lnt 2t 4t C C. 2 lnt t2 4t C D. 2 lnt t2 4t C

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số f x  ln 1 2 x x

  là:

A. F x  2 x1 ln 1  x2x C B. F x  2x1 ln 1  x x C

C. F x  1 x.ln 1 x ln x C

x 

     D. F x  1 x.ln 1 x ln x C

x 

   

Câu 16: Tìm nguyên hàm H của hàm số f x 3x21 ln x A.  

3 1 ln

3 x

H x x  x  x C B.

3 3ln

3 x

H x x  x C

C.  

3 1 ln

3 x

H x x  x C D.

3 3ln

3 x

H x x C

Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số f x cos x sau phép đặt t x x 0 là:

A. F t 2 cost t2sintC B. F t 2 sint t2 costC

C. F t  2 cost t2sintC D. F t 2 sint t2costC

Câu 18: Nguyên hàm của hàm số sin3

cos

x x

y

(20)

A. 2 tan

2 cos 2

x x

C x

  

B. 2 tan

2 cos 2

x x

C

x 

C. 2 tan 2 cos

x

x C x

  

D. 2 tan

2 cos x

x C x

  

Câu 19: Tìm nguyên hàm H của hàm số f x  xlnx

A. 3ln 2 9

x x x

H   C B. 2 ln 3

9

x x x

H   C

C. 6 ln 4 9

x x x

H   C D. 4 ln 6

9

x x x

H   C

Đáp án

1‐A 2‐A 3‐C 4‐B 5‐D 6‐B 7‐A 8‐D 9‐A 10‐A 11‐A 12‐A 13‐C 14‐D 15‐C 16‐A 17‐B 18‐B 19‐C

(21)

Trang 21 LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có ln 1 1 ln 1  2 1 2ln 1 1 ln 1

2 2 2

x x dx x d x  x x  x d x

  

   

2

1 ln 1 1 1 ln 1 1 1 1

2 2 1 2 2 1

x

x x dx x x x dx

x x

 

         

   

 

     

2

1 1 1 1

ln 1 ln 1 ln 1

2 2 2 2 4 2

x x x

x x  x x x   x C

           

  .

Ta có    ln 1 1 ln 1 1 ln 1 ln 1

2 2

F x  x x dx x  x dx x x x xd x

     

2

1 1

ln 1 ln 1 ln 1

2 1 2

x

x x x dx x x x x x

x

         



 2  1 ln  1

2

x x

x x C



    

Ta có lnx2 2dx lnx 2d 1 lnx 2 1dlnx 2

x x x x

   

       

 

  

 

ln 2

2

x dx

x x x

 

 





   

     

ln 2 1 2 ln 2 1ln 1ln 2

2 2 2 2

x x x x

dx x x C

x x x x

   

        





   

ln 2 ln 2

2

x x x

C

x x

 

  

Ta có 1 ln ln ln 1 ln  2 ln  ln 2

x

x xdx x dx dx xd x xd x

x x

      

 

 

    

 

2 2 2

1 1 1 1 1 1

ln ln ln ln ln

2x x 2 x d x 2 x 2x x 2 x 2 xdx

       

2 2

1 ln 1ln 1 2 ln ln

2 2 4 4 2

x x x x

x x x x   C

     

Mà    

2 2

1 2 ln ln

1 0

4 4 2

x x x x

F    C F x     C Câu 5: Đáp án D

Ta có xe dxx xd e x xexe dxx xex ex C Câu 6: Đáp án B

Ta có x1 sin xdxxsinxdxsinxdx xdcosxcosx  xcosxcosxdxcosx  

cos sin cos 1 cos sin

x x x x C x x x C

         

(22)

Ta có cos3 1 sin 3  1 sin 3 1 sin 3

3 3 3

x xdx xd x  x x xdx

   1 sin 3 1cos3

3x x 9 x C

  

Do  0 1 8   1 sin 3 1cos3 8

9 3 9 9

F    C F x  x x x . Câu 9: Đáp án A

Ta có: x  x x x

xe dx   xd e  xe  e dx

   x x  1 x

xe e C x e C

        Mà  0 1 1    1 x 1

F    C F x   x e  Câu 10: Đáp án A

Ta có xsinxdx xdcosx xcosxcosxdx xcosxsinx C . Câu 11: Đáp án A

Ta có 1  3 1 1 1 1

3 3 3 3 9

x x x x x x

xe dx xd e  xe  e dx xe  e C

  

Câu 12: Đáp án A Đặt

2 1 2

x x

du xdx

u x

v e dx

dv e dx

    

   



 . Suy ra    

2 1 x 2 x

f x dx x  e  x e dx

 

Đặt u 2xx du 2xdx

dv e dx v e dx

   



   



Suy ra f x dx  x21ex 2 x e dxx x21ex2 x ex 2.e dxx 

  

 2   2

1 x 2 x 2. x 1 x

x e x e e C x e C

        .

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng  . x  . x  . x  . x . x

f x e dx f x e  f x e  f x e  k e C

 .

 1 x  1 x 2 x 2. x  2 1  x

x  e dx x  e  xe  e  C x  x e C



Đặt 2 3

3

3ln 1

3

du dx

u x x

dv x dx x

v

  

   

 

  

  

 



Suy ra      

3 3

2 3.ln 1 3ln 1 3ln 1

3 3 3

x x x

x x dx x  x dx x  C

  x3.lnx C

Câu 14: Đáp án D Đặt t x2tdtdx

Suy ra      

2 ln

2 4 ln 4 ln 4 ln 4 ln 4

t

f x dx tdt t dt t t t d t t t dt

t

     

     4 lnt t 4t C

Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì 2 lnt t2  4t C 4 lnt t 4t C . Câu 15: Đáp án C

Đặt

 

1 ln 1

1

1 1 1

1

du dx

u x

x x

dv dt

v x

x x

 

   

  

   

      

 

(23)

Trang 23 Suy ra F x  1 x.ln 1 x 1dx 1 xln 1 x ln x C

x x x

 

        

Đặt  

 

2

3

1 ln

3 1

1

u x du dx

x

dv x dt

v x x x x



 

 

   

 

     

Suy ra        

3

2 1 ln 1 1 ln

3 x

F x x x  x x  dxx x  x  x C

Đặt t x2tdtdx . Suy ra F t 2 cost tdt

Đặt 2 2   2 sin 2cos

cos sin

u t du dt

F t t t t C

dv tdt v t

 

 

    

   

 

Đặt  

2

3

cos 1

sin

2.cos

cos cos

u x du dx

d x

x

v

dv dx

x

x x



  

 

  

  

 



Suy ra   2 1 12 2 tan

2 cos 2 cos 2cos 2

x x x

F x dx C

x x x

     

Đặt

1 ln

2 3

du dx

u x x

dv xdx v x x

  

  

 

 



  



 



2 ln 2 2 ln 4

3 3 3 9

H x x x xdx x x x x x C

      6 ln 4

9

x x x

C 

 

(24)

DẠNG 5. TÌM NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ.

Câu 1: Tìm ngun hàm của hàm số   1

1 x f x x   

A. f x dx    x 2 ln x 1 C B.  f x dx    x 2 ln x 1 C C.  f x dx   x 2ln x 1 C D. f x dx   x 2 ln x 1 C

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số  

2 4 3 x x f x x     A.  

2 2

10 ln 3

2

x x

f x dx   x C

 B.  

2 4

10 ln 3

2

x x

f x dx   x C



C.  

2 2

10 ln 3

2

x x

f x dx   x C

 D.  

2 4

10 ln 3

2

x x

f x dx   x C



Câu 3: Tìm một nguyen hàm của hàm số   5 2

3 2 x f x x x     A.    

2 3 ln

1 x f x dx

x  



 B.    

2 3 ln

1 x

f x dx C

x 

  





C.     3 ln

1 x

f x dx C

x 

 



 D.    

2 3 ln

1 x

f x dx C

x 

  





Câu 4: Cho 2  

2 3

dx

I f x C

x x

  

 

 , giá trị biểu thức f 2 bằng: A.  2 1ln 4

3

f   B.  2 1ln 4

3

f  C.  2 1ln 3

4

f   D.  2 1ln 3

4

f 

Câu 5: Cho nguyên hàm 22 1

4 4 1

x I dx x x    

 , nếu đổi biến số t2x1 thì A. 1ln 1

2

I t C

t

   B. 1ln 1 2

I t C

t

   C. I lnt 1 C t

   D. I lnt 1 C t   

 3 2 1 x f x x   là A.  

 2

2 1

1 1

F x C

x x

  

  B.    2

2 1

1 1

F x C

x x

  

 

C.  

 4

1 1

1 4 1

F x C

x x

  

  D.    4

1 1

1 4 1

F x C

x x

  

 

  2 1 x x f x x    là A.  

 2

3 2

1

1 1

F x x C

x x

    



 B.  

2

1 3ln 1

1

F x x x C

x

     

 C.  

 2

3 2

1

1 1

F x x C

x x

    



 D.  

2

1 3ln 1

1

F x x x C

x

     



Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số f x  21 2a 0

x a

 

 là: A.   1 ln

2

a x

F x C

a a x



  

 B.  

1 ln 2

x a

F x C

x a 

 

(25)

Trang 25 C.   1ln

2

x a

F x C

x a



 

 D.  

1 ln 2

x a

F x C

a x a



 



Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số f x    1

x a x b



  là A. F x  1 ln x a C

b a x b



 

  B.  

1 ln x b

F x C

a b x a



 

 

C. F x  1 ln x a C

a b x b



 

  D.  

1 ln x a

F x C

a b x b



  

 

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số   24 3

3 2 x f x x x  

  là A.   4 ln 2 ln 1

2 x

F x x C

x 

   

 B.  

1

4 ln 2 ln

2 x

F x x C

x 

   

 C.   4 ln 2 ln 2

1 x

F x x C

x 

    

 D.  

2

4 ln 2 ln

1 x

F x x C

x       Câu 11: Tìm 2 3 2 dx

x  x

 là

A. ln 1 ln 1

2 1 C

x  x  B.

2 ln 1 x C x   

C. ln 1 2 x

C x

 

 D. lnx2x 1 C

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số 3 5

2 x y x    là

A. F x 3x4 ln x 2 C B. F x   3x ln x 2 C C. F x 3xln x 2 C D. F x 3xln x 2 C

Câu 13: Một nguyên hàm của hàm số  

1 x f x x   là:

A. F x ln x1 B. F x  x ln x1 C. F x  x ln x1 D. F x 2 ln x1 Câu 14: Nguyên hàm F x  của  

2 2 1 2 1 x x f x x x   

  , thỏa mãn F 1 0 là: A.   2 2

1

F x x

x

  

 B.  

2 2

1

F x x

x

  

 C. F x  x 2lnx12 D.   2 2

1

F x x

x

  



Câu 15: Nếu một nguyên hàm của f x  là   1

1 x F x x  

 thì f x 1 là: A. 2x2 B. 22

x C.

2 1

ln x

x

  D.

 2 2

1

x

Câu 16: Tính 2

2 3

dx

x  x



A. 1ln 1

4 3

x

C x

  

 B.

1 3 ln 4 1 x C x   

 C.

1 3 ln 4 1 x C x  

 D.

1 1 ln 4 3 x C x   

Câu 17: Nguyên hàm của hàm số 22 3

(26)

A.   2ln 2 1 5ln 1

3 3

F x  x  x C B.   2ln 2 1 5ln 1

5 2

F x  x  x C

C.   2ln 2 1 5ln 1

3 3

F x   x  x C D.   2ln 2 1 5ln 1

3 3

F x   x  x C

Câu 18: Gọi F x  là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số   1

1 2 f x

x 

 thì F x  là:

A.   1ln 2

2

F x   xC B.   1ln 2

2

F x   xC

C. F x ln 2 xC D. F x  x 2 C

x x

 



Câu 19: Nguyên hàm của hàm số  

3 1 1 x f x

x  

 là: A.  

3

2 ln 1

3 2

x x

F x    x x C B.  

3

2ln 1

3 2

x x

F x    x x C

C.  

3

ln 1

3 2

x x

F x    x x C D.  

3

2ln 1

3 2

x x

F x    x x C

Câu 20: Cho hàm số    

2

3 1 x f x

x 

 . Một nguyên hàm F x  của f x  thỏa manãn  1 4

F   là: A.

2

2 2 2 ln

2 4

x

x x

 

 B.

2

2 1

2ln 4

2 2

x

x x

  

C.

2 2

2 ln 4

2 x

x x

   D.

2

2 2

2 ln 4

2 x

x x   

Đáp án

1‐C 2‐D 3‐A 4‐C 5‐B 6‐A 7‐B 8‐D 9‐C 10‐B 11‐B 12‐C 13‐C 14‐A 15‐B 16‐D 17‐D 18‐A 19‐B 20‐C

(27)

Ta có : 1 1 2 2ln 1

1 1

x

dx dx x x C

x x

        

 

   

 

Câu 2: Đáp án D Ta có

2

4 10 1

2 2 10 ln 3

3 3 2

x x

dx x dx x x x C

x x

           

 

   

 

Ta có    

  

2

3 2 1

5 1 2

3 2 3 1 1 3

x x

x

dx dx dx

x x x x x x

  

     

 

       

   2 ln x 3 ln x 1 C

 2  32

ln 3 ln 1 ln

1 x

x x C C

x 

      



Ta có 2    1ln 3

2 3 3 1 4 1

dx dx x

C

x x x x x



  

    

    1ln 3  2 1ln 3

4 1 4

x

f x f

x 

    



Đặt 2 1 1 22 1 2 1ln 1

2 2 2

t dt dt

t x I dt t C

t t t t



          

Câu 6: Đáp án A Ta có

 3   3    3 2  2 2 1

2 2 2 1 2

1

1 1 1 1 1

x x

dx dx dx C

x

x x x x x

 

 

       



      

  

Câu 7: Đáp án B Ta có

 

   

2

2 2

1 3 1 2 3 2 2

1 3ln 1

1 1

1 1 1

x x

dx dx dx x x C

x x

x x x

 

   

           

   

    

  

Ta có 21 2  1  1 ln 2

x a

dx dx C

x a x a x a a x a



  

   

 

Câu 9: Đáp án C Ta có

 1  1     1 ln

x b x a x a

dx dx C

x a x b a b x a x b a b x b

   

  

      

 

Ta có 24 3 5 1  2 5ln 2 ln 1 4ln 2 ln 2

3 2 1 2 1

x x

dx dx x x x C

x x x x x

  

          

    

 

Ta có   2 1 1 1

3 2 2 1

f x

x x x x

  

(28)

Suy ra 2 1 1 1 ln 2 ln 1 ln 2

3 2 2 1 1

x

dx dx x x C C

x x x x x



 

          

      

 

Câu 12: Đáp án C Ta có 3 5 3 1

2 2

x y

x x



  

 

Suy ra   3 5 3 1 3 ln 2

2 2

x

F x dx dx x x C

x x

  

        

   

 

Ta có   1 1

1 1

x f x

x x

  

 

Suy ra   1 1 ln 1

1 1

x

F x dx dx x x C

x x

 

        

   

 

Câu 14: Đáp án A Ta có  

 

2

2 1 2

1

2 1 1

x x

f x

x x x

 

  

  

Suy ra  

 

2

2 1 2 2

1

2 1 1 1

x x

F x dx dx x C

x x x x

 

 

       

     

 

Mà  1 0 2 0 2   2 2

1

F C C F x x

x

          

 Câu 15: Đáp án B

Ta có      

   

'

2

1 1 2 2

' 1

1 1 1

x x

F x f x F x f x

x x x x

   

        

    

Ta có   2 1 1 1 1

2 3 4 1 3

f x

x x x x

 

    

     

Suy ra 2   1 1 1

2 3 4 1 3

dx

f x dx

x x x x

 

    

     

  1ln 1

4 3

x C x



 

 Câu 17: Đáp án D

Ta có  

   

2

2 3 5 4

2 1 3 1 3 2 1

x f x

x x x x



  

   

   

2

2 3 5 4

2 1 3 1 3 2 1

x

I dx dx

x x x x

 



        

 

  5ln 1 2ln 2 1

3 x 3 x C

    

Ta có 1 1ln 2

1 2 xdx 2  xC



Câu 19: Đáp án B Ta có  

3

2

1 2

1

1 1

x

f x x x

x x



    

 

Suy ra  

2

1 1 2

1 1

x

F x dx x x dx

x x

  

      

   

 

3

2ln 1

3 2

x x

x x C

(29)

Trang 29 Câu 20: Đáp án C

Ta có     2

3

1 1 2

x

f x x

x x x



   

Suy ra     2

3

1 1 2

x

F x dx x dx

x x x

  

     

 

 

2

1 2ln

2 2

x

x C

x

   

Mà    

2

2 1

1 4 4 2 ln 4

2 2

x

F C F x x

x

         

(30)

DẠNG 6. TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Nguyên hàm F x  của hàm số f x tan2x thỏa F 0 3 là: A. f x tanx x 3 B. f x tanx x 3 C. f x tanx x 3 D. f x tanx x 3 Câu 2: Nếu '  cos2

4 f x  x 

  và   13 0

4 f  thì:

A.   1 1cos 2 3

2

f x x x

x

 

   

  B.  

7 sin

2

f x  x

C.   1cos 2 4

2

f x  x x D.   1cos 2 3

2

f x  x

Câu 3: Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số f x tan2x . Giá trị của  0

4 F    F

  bằng: A.

4 

B. 1 4 

 C. 1

4 

 D. 3

4   Câu 4: Nguyên hàm của hàm số cos sin x 2x dx bằng:

A. 3sin sin 3

12

x x

C

 

B. 3cos cos3 12

x x

C

 

C. sin3x C D. sin cosx 2x C Câu 5: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. cos 22 1sin 4

2 8 x

xdx  x C

 B. sin 22 1sin 4

2 8 x

xdx  x C



C. cos 4 1sin 4

4

xdx x C

 D. sin 22 xdx cos 22 x C

Câu 6: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. sin cosx xdx cos sinx x C B. sin cos 1cos 2

4

x xdx  x C



C.

3

2 cos

cos sin

3 x

x xdx  C

 D.

2

2 sin

sin cos

3 x

x xdx C



Câu 7: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. cos3 cos 1 1sin 4 1sin 2

2 4 2

x xdx  x xC

 



B. sin cos 1 1cos 4 1sin 2

2 4 2

x xdx  x xC

 



C. sin cos 1 1cos 4 1cos 2

2 4 2

x xdx  x xC

 



D. sin cos cos 2

4 x

x xdx C



Câu 8: Tìm nguyên hàm 1 sin x2dx thì:

A. 2 2cos sin 2

3 4

x x

x C

   B. 2 2 cos sin 2

3 4

x x

x C

  

C. 3 2cos sin 2

2 4

x x

x C

   D. 3 2cos sin 2

2 4

x x

x C

  

(31)

Trang 31 A. cos2x C B. 1cos3

3 x C C.

3 1

sin

3 x C D.

3

tan x C Câu 10: Nguyên hàm của hàm số: ysin cos2x 3x là:

A.1sin3 1sin5

3 x5 x C B.

3

1 1

sin sin

3 x 5 x C

  

C. sin3xsin5x C D. Đáp án khác Câu 11: Nguyên hàm của hàm số: ycos sin2x x là:

A. 1cos3

3 x C B.

3 cos x C

  C. 1sin3

3 x C D. Đáp án khác Câu 12: Một nguyên hàm của hàm số: ysin cos3x x là:

A. 1 cos 6 cos 2

2 8 2

x x

 

   

  B.

1 cos 6 cos 2

2 8 2

x x

  

 

 

C. cos8xcos 2x D. Đáp án khác

Câu 13: Nguyên hàm của hàm số:

5 cos 1 sin

x

y dx

x 



 là: A.

3

2 sin cos

cos sin

3 4

x x

x x  C B.

3

2 sin cos

sin sin

3 4

x x

x x  C

C.

4

sin sin cos

sin

4 3 2

x x x

x C

     D.

Câu 14: Tìm một nguyên hàm của hàm số ysin4x

A. 3 sin 4 sin 2

4 3 4

x x x

B. 3 sin 4 sin 2

8 32 4

x x x

C. 3 sin 8 sin 2

4 32 4

x x x

D. 1 sin 8 sin 2

4 32 4

x x

 

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số: 2cos 2 2

sin cos x

y dx

x x

 là:

A. F x  cosxsinx C B. F x cosxsinx C C. F x cotxtanx C D. F x  cotxtanx C Câu 16: Nguyên hàm của hàm số ysin3xcosx x3 bằng:

A. sin 2

12 x

C

 B.

4

cos cos

4 5

x x

C  

C.

4

cos cos

4 5

x x

C

  

D.

4 cos 2

24 x

C 

Câu 17: Nguyên hàm của hàm số 1

sin y

x  bằng

A. 1ln1 cos

2 cos x

C x

 

 B.

1 1 cos

ln 2 cos

x C x

 

 C.

1 cos ln

1 cos x

C x

 

 D.

1 cos ln

1 cos x

C x

 



Câu 18: Tìm một nguyên hàm của hàm số cos

4sin 9

x y

x 



A. 1ln 16sin 36

4 x B.

1ln 4sin 9

4 x

C. 1ln 15sin 36

4 x D.  

1

ln 4sin 32 6

4 x 

Câu 19: Tìm một nguyên hàm của hàm số cos2

3 cos 3sin

x y

x x



(32)

A. ln 3sin 2 4 3

sin 1

x x

 

 B.

sin 2

ln 4

sin 1

x x

 

 C. ln 3sin 2 4 3

2sin 1

x x

 

 D.

3sin 2

ln 4 3

8sin 1

x x

 



Câu 20: Tìm một nguyên hàm của hàm số 2sin2 cos2

3

y x x

A. sin 4

12 48

x  x

B. sin 2 cos

12 24

x x

x

  C. sin 2

12 24

x  x

D. 1 sin 23

18 x

Câu 21: Tìm một nguyên hàm của hàm số y4sin 52 xsin10x

A. 2 1 sin10 1cos10

10 5

x x x B. 2 1 sin10 2cos10

10 5

x x x

C. 2 1sin10 1 cos10

5 10

x x x D. 2 3 sin10 2cos10

10 5

x x x

Câu 22: Tìm một nguyên hàm của hàm số y2sin cos 2x x

A. 1cos 6 1cos 2 6

6 x 2 x

   B. 1cos 6 3cos 2 6

6 x 2 x

  

C. 1cos 6 3cos 2 8

6 x 2 x

   D. 1cos 6 5sin 2 8

6 x 2 x

  

Đáp án

1‐A 2‐A 3‐C 4‐A 5‐D 6‐A 7‐C 8‐D 9‐C 10‐A 11‐D 12‐D 13‐C 14‐B 15‐D 16‐C 17‐A 18‐A 19‐B 20‐A

21‐C 22‐A

(33)

Ta có F x  f x dx  tan2xdx

2

2 2

sin 1 cos 1 1

cos cos cos

x x

dx dx dx

x x x

  

     

 

  

2 tan

cos dx

dx x x C

x

     . Mà F 0  3 tanx x C x0  3 C 3 . Câu 2: Đáp án A

  cos2 1 cos 2

4 2 2

f x  x dx    x dx

    

  1 sin 2  1 1cos 2

2 x dx 2 x 2 x C

 

     

 



0

13 1 1cos 2 13 1 13 3

4 2 x 2 x C x 4 C 4 4 C

 

         

 

Câu 3: Đáp án C Ta có    

2

2 sin tan

cos x

F x f x dx xdx dx

x

  

2

1 cos 1

1

cos cos

x

dx dx

x x

  

    

 

 

2 tan .

cos dx

dx x x C

x

     Mà  0 tan 4 1

4 0 4

F F x x C



 

       

 

 

Ta có cos sin x 2x dxsin2xdsinx

sin 3sin sin 3

3 12

x x x

C  C

   

Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau:

 cos 22 1 cos 4 1sin 4

2 2 8

x x

xdx  dx  x C

 

 sin 22 1 cos 4 1sin 4

2 2 8

x x

xdx  dx  x C

 

 cos 4 1 sin 4  1sin 4

4 4

xdx d x  x C

 

Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau:  sin cosx xdxsinxdsinxsinx C

 sin cos 1 sin 2 cos 2

2 4

x

x xdx xdx  C

 

 cos sin2 cos2 cos  cos3

3 x

x xdx  xd x   C

 

 sin cos2 sin2 sin  sin3

3 x

x xdx xd x  C

 

(34)

Dựa vào các đáp án, ta có các nhận xét sau:

 cos3 cos 1 cos 4 cos 2  1 1sin 4 1sin 2

2 2 4 2

x xdx x x dx  x xC

 

 

 sin cos 1 sin 4 sin 2  1 1cos 4 1cos 2

2 2 4 2

x xdx x x dx  x xC

 

 

 sin cos 3sin 4sin3  sin  3sin2 sin4 1cos3 sin

2 3

x

x xdx x x d x   x C   x x C

 

 sin cos 1 sin 2 cos 2

2 4

x

x xdx xdx  C

 

Ta có 1 sin 2 1 2sin sin2  2 sin 1 cos 2 2

x

x dx x x dx dx xdx  dx

      

    

3 1 3 sin 2

2 sin cos 2 2 cos

2 2 2 4

x

dx xdx xdx x x C

         

Ta có  

3

2 sin

sin cos sin sin

3 x

x xdx xd x  C

 

Ta có sin cos2x 3xdxsin cos2x 2xdsinxsin2x1 sin 2x d sinx

sin2 sin4  sin  sin3 sin5

3 5

x x

x x d x C

    

Ta có  

3

2 cos

cos sin cos cos

3 x

x xdx  xd x   C

 

Ta có   sin cos3 1 sin 8 sin 2  1 cos8 cos 2

2 2 8 2

x x

f x dx x xdx x x dx    C

 

  

       

2

5 1 sin cos 1 sin

cos

sin

1 sin 1 sin 1 sin

x x x

x

F x dx dx d x

x x x

 

  

  

  

Đặt      

2

2 4 3 2

3 1

sin 1

1 4 3 2

t t t t

t x F t dt t t t dt t C

t 

             



 

  sin4 sin3 sin2 sin

4 3 2

x x x

F x      x C

Ta có sin4 sin2 2 1 1 cos 2 2 1 1 cos 2 cos 22 

4 4

xdx x dx  x dx  x x dx

   

 

1 1 3 cos 2 cos 4 3 sin 2 sin 4

1 cos 2 1 cos 4

4 2 8 2 8 8 4 32

x x x x x

x x dx dx C

   

              

   

 

(35)

Trang 35

  2 22 22 2

cos 2 cos sin 1 1

sin cos sin cos sin cos

x x x

F x dx dx dx

x x x x x x

  

     

 

    cotxtanx C

Ta có: F x sin3xcos3xdxcos cos3x  2x.sinxdx

cos3 cos5  cos  cos4 cos6

4 6

x x

x x d x C

      

Ta có:   1 sin 2 cos2  1ln cos 1

sin 1 cos cos 1 2 cos 1

d x

x x

F x dx dx C

x x x x



    

  

  

Ta có:   cos 1 4sin 9 1ln 4sin 9

4sin 9 4 4sin 9 4

d x

x

F x dx x C

x x



    

 

 

Chú ý: 1ln 16sin 36 1ln 4sin 9 1ln 4sin 9 1ln 4 4 x  4  x  4 x 4 , tức

1ln 4

4

C 

Câu 19: Đáp án B Ta có:

  

2

cos cos cos

3 cos 3sin sin 3sin 2 sin 1 sin 2

x x x

y

x x x x x x

  

     

     

sin

cos sin 2

ln

3 cos 3sin sin 2 sin 1 sin 1

d x

x x

F x dx C

x x x x x



   

    

 

Ta có:   2sin2 cos2 1 1 cos 4  sin 4

3 12 12 48

x x

F x  x xdx   x dx  C

Câu 21: Đáp án C Ta có:

  4sin 52 sin10  2 cos10  sin10  2 sin10 cos10

5 10

x x

F x  x x dx  x  x dx x  C

Ta có:   2sin cos 2 sin 6 sin 2  cos 6 cos 2

6 2

x x

F x  x xdx x x dx   C

(36)

DẠNG 7. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN NGUYÊN HÀM Câu 1: 15

ln dx x x

 bằng: A.

4

ln 4

x C

  B. 44 ln x C

  C. 14

4 ln xC D. 1 4 ln x C

 

Câu 2: sin5 cos

x dx x

 bằng: A. 14

4 cos x C

 

B. 14

4 cos xC C. 1

4 sin xC D. 1 4 sin x C

 

Câu 3: sin cos sin cos

x x

dx

x x

 

 bằng:

A.ln sinxcosx C B. ln sinxcosx C C. ln sinxcosxC D. ln sinxcosx C Câu 4: (tanxtan3x dx)

 bằng:

A.

2

tan 2

x C

  B.

2 tan xC

C.

2 tan x C

  D.

2

tan 2

x C  Câu 5: (x1)ex22x3dx

bằng:

A.

2

x x

x

x e   C

 

 

 

  B.  

3

1 3

1 x x x x e   C

C. 1 2

2

x x

e  C D. 1 2

2

x x

e   C

Câu 6: 24 1

4 2 5

x

dx x x

  

 bằng:

A. 2 1

4x 2x5C B.

1

4x 2x 5 C

 

C. ln 4x22x 5 C

D. 1ln 4 2 5

2 x  x C Câu 7: 3 cos

2 sin x

dx x 

 bằng:

A.3 ln(2 sin ) x C B. 3 ln sin x C C.

 2

3sin 2 sin

x C x 

 D.  

3sin ln sin

x C x

 

(37)

Trang 37 Câu 8: Tìm nguyên hàm H của hàm số

2

( ) 1

x f x

x 

 . A.

 

1

3 1

H C

x

 

 B.

3

1

ln 1 3

H x  C

C. 31 1

H C

x

 

 D.

3

ln 1

H x  C Câu 9: Tìm nguyên hàm H của hàm số

( ) (1 ) f x x x .

A.  

5

1 10 x

H  C B.  

5

1 5 x

H  C

C.  

5 1

2 x

H  C D.  5

1 H x  C Câu 10: Tìm nguyên hàm H của hàm số

2

( )

1 x f x

x 

 .

A. 1

1 2

H x  C B. 1

1 4

H x  C

C.

1

H x  C D.

2 1

H x  C Câu 11: Tìm nguyên hàm H của hàm số ( ) sin

2 x f x

cosx 

 . A. Hln cosx 2 C B. 1

cos 2

H C

x

 



C. H ln cosx 2 C D. 1

cos 2

H C

x

  



Câu 12: Tìm nguyên hàm H của hàm số f x   sinxcosxsinxcosx4 .

A.  

4

sin cos 4

x x

H  C B.  

4

sin cos 4

x x

H   C

C.  

5

sin cos 5

x x

H  C D.  

5

sin cos 5

x x

H   C

Câu 13: Tìm nguyên hàm H của hàm số

2

ln

( ) x

f x x  .

A.

ln

H  xC B.

ln

H xC

C.

3

ln 3

x

H  C D.

3

ln 3

x H C Câu 14: Tìm nguyên hàm H của hàm số sin

( ) cos x f x  xe . A. HesinxC

B. HecosxC

(38)

C. sin

sin x

H xe C D. cos

cos x H xe C Câu 15: Tìm nguyên hàm H của hàm số

tan

( ) cos

x

e f x

x

 .

A. tanx

H e C B. tanx

He C C. H sinxetanxC

D. Hsinxetanx C

Câu 16: Tìm nguyên hàm H của hàm số

cot

( ) sin

x

e f x

x

 .

A. Heco xt C

B. H eco xt C

C. t

cos co x

H xe C D. t

cos co x H  xe C Câu 17: Tìm nguyên hàm Hcủa hàm số f x( )tan ln(cos )x x .

A. H ln(cos )x C B. Hln(cos )x C C.

2

ln (cos ) 2

x

H  C D.

2

ln (cos ) 2

x H C

Câu 18: Tính nguyên hàm của hàm số

2

( )

1 x f x

x 

 . A. ln(x31)

B. ln(x3 1) C

C. 1

ln( 1)

3 x  C D.

3

1

ln 1 3 x  C Câu 19: Tính nguyên hàm của hàm số f x( )x x( 21)2016

. A. 1 2016

1

2 x  C B.  

2017

1

2017 x  C C. 1  2017

1

4034 x  C D.  

2016

1 1

2 x 

Câu 20: Giả sử nguyên hàm của hàm số

2

( )

1 x f x

x 

 làF x . Tìm F x  biết F(0) 4  

A.

( ) 1 1

4

F x  x    B.

( ) 1 1

4 F x  x   

B.

( ) 1 1

4

F x  x    D.

2

( ) 1

4 1 1 x F x

x



  

 

 3

1 ( )

3 5 f x

x 



A.

 4

1 1

.

5 3 5 x C B.  4

1 1

.

(39)

Trang 39 C.

 2

1 1

. 10 3 5

C x 

 D.  2

1 1

. 2 3 5

C x 



2016

ln

( ) x

f x

x



A. 1 2016

ln

2016 xC B.

2015

1 ln

2015 xC C.

2017

1 ln

2017 xC D.

2017

ln xC

5

( )

ln 5 x f x

x 



A. 5 5 64

ln 5

24 x C B.  

4

5 ln 5

4 x C C. 5 5 64

ln 5

24 x C

   D. 5 5 64

ln 5

4 x C

  

Câu 24: Giả sử nguyên hàm của hàm số

( ) sin cos

f x  x x là F(X) . Tìm F(X) biết (0) ln 2

2 F  

A. 1

sin ln 2

6 x B.

6

1

sin ln 2

6 x 2



  C.

sin ln 2 2

x  D.

sin 2 x Câu 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos sinx x

A. 2 cos3

3 x C

  B. 3 cos3

2 xC C.

3

3 cos

2 x C

  D. 3 sin3

2 x C

 

Câu 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos x x



A. sin xC B. cos xC C. 2 sin xC D. 2 cos xC Câu 27: Tìm nguyên hàm của hàm số

2 lnx

e x



A. lnx

e  C B. ln

2e x C C. 1 ln

2

x

e  C D. 1 ln

2

x

e  C

 

Câu 28: Tìm một nguyên hàm I của hàm số cos sin sin cos

x x

y

x x

 

 . A. Iln sinxcosx ln 8 B. cos sin 2

sin cos

x x

I

x x



 



C.  

2

cos sin 2 sin cos

x x

I

x x



 

 D. Iln sinxcosx ln 17 Câu 29: Tìm một nguyên hàm I của hàm số 22 3

3 2 x y

x x  

  .

A.  

ln 10 : 3 2

I x  x B.  

ln 10 3 2

(40)

C. ln 2 31

3 2

I

x x

 

     D. Iln 2x 3 ln 3 Câu 30: Tìm một nguyên hàm I của hàm số

tan

( 1 a)t n y x x. A. 1

tan 7 2

I x B. 1

tan sin 2

I x x

C. 1

tan 3sin cos 2

I x x x D. 1

tan 4 sin 2

I x x Câu 31: Xét các mệnh đề

  2 1 3

4 4

3

x dx x C



  2 1 3

4 4

3

x  dx x  C





2

3

1

ln 3

3 3 x dx

x C

x    





5

1

ln 3

3 x

dx x C

x

   





Số lượng mệnh đề đúng là

A. 1 mệnh đề B. 2 mệnh đề C.4 mệnh đề D. 3 mệnh đề Câu 32: Hàm số

sin cos

y x xdx có 1sin cos 6

n m

I x xClà một nguyên hàm, với mvà n là các số nguyên. Tính tổng m+ n

A. 6 B. 5 C. 7 D. 4

(41)

Trang 41 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1:

4

5

1 ln 1

(ln )

ln 4 4 ln

x

d x C C

x x



    



 .Chọn D.

Câu 2:

4

5

sin (cos ) cos 1

cos cos 4 4 cos

x d x x

dx C C

x x x



    



  . Chọn B.

Câu 3: sin cos (sin cos ) ln sin cos

sin cos sin cos

x x d x x

dx x x C

x x x x

       

 

  Chọn D.

Câu 4:  

2

tan tan

tan tan tan ( tan )

cos 2

xdx x

x x dx x d x C

x

    

   . Chọn D

Câu 5:    

2

2 2

2 1 3

1

2 2

x x

x x x x x x e

x e dx e d e C

 

     

   

  . Chọn D

Câu 6:  

2

4 2 5 ln 4 2 5

4 1 1

4 2 5 2 4 2 5 2

d x x x x

x

dx C

x x x x

   

   

   

  .C họn D

Câu 7: 3 cos 3 (sin 2) 3 ln sin 2

2 sin 2 sin

x d x

dx x C

x x



   

 

  . C họn A

Câu 8:

3

2

3

ln 1

1 ( 1)

1 3 1 3

x

x d x

dx C

x x

 

  

 

  . Chọn B

Câu 9:        

5

4

2 1 2 1

1 1 1

2 10

x x x dx x d x   C

  . Chọn A

Câu 10:        

1

2 2

2 2 2

2

1 1

1 1 1

1

2 2 2

1 1

2

d x x

x

dx x d x C x C

x x

 

        

 

   .

Chọn C.

Câu 11: sin (cos 2) ln cos 2

cos 2 cos 2

xdx d x

x C

x x



     

 

  . Chọn C.

Câu 12:

  4   4  sin cos 5

sin cos sin cos sin cos sin cos

5

x x

x x x x dx  x x d x x    C

  .

Chọn D. Câu 13:

2

ln ln

ln (ln ) 3

xdx x

xd x C

x    

  . Chọn D.

Câu 14: sin sin sin

cosxe xdx e xd(sin )x e x C

  . Chọn A.

Câu 15:

tan

tan tan

2 (tan )

cos

x

x x

e

dx e d x e C

x   

(42)

Câu 16:

cot

cot cot

2 (cot )

sin

x

x x

e

dx e d x e C

x     

  . Chọn B.

Câu 17: Ta có tan ln(cos ) ln(cos ) (ln(cos )) ln(cos ) 2

x

x x dx  x d x   C

  . Chọn C.

Câu 19: Ta có        

2017

2016 2016

2 1 2 1

1 1 1

2 4034

x

x x  dx x  d x    C

  . Chọn C.

Câu 20: Ta có  

2

1 1

( ) 1 1

2

1 1

x

F x dx d x x C

x x

     

 

 

Mà (0) 1 1

4 4 4

F    C    C  . Chọn A.

Câu 21: Ta có

   

 

2

3

3 5

1 1

( ) 3 5

10

3 5 10 5

x

F x dx x dx C C

x x



 

      

 

 

Chọn C.

Câu 22: Ta có  

2016 2017

2016

ln ln

( ) ln ln

2017

x x

F x dx xd x C

x

    . Chọn C.

Câu 23: ta có

     

 

1

5

6 5 6 5

6

5 5

1 5 5

ln 5 ln 5 ln 5

6 24

ln 5 24 ln 5

x

dx x d x x C C

x x

 

         

 

  .

Chọn B. Câu 24: Ta có

6

5 sin

sin cos sin (sin ) 6

x x xdx xd x  C

 

Mà (0) ln 2 ln 2

2 2

F     C  . Chọn B.

Câu 25: Ta có 2

cos sin cos (cos ) cos

3

x xdx  xd x   xC

  . Chọn A.

Câu 26: Ta có cos x dx 2 cos xd( x) 2 sin x C

x   

  . Chọn C.

Câu 27: Ta có

2 ln

2 ln ln

1 1

(2 ln 3)

2 2

x

x x

e

dx e d x e C

x 

 

   

  . Chọn C.

Câu 28: Ta có cos sin 1 (sin cos ) ln sin cos

sin cos sin cos

x x

dx d x x x x C

x x x x

     

 

  . Chọn A.

Câu 29: Ta có

  

2

2 3 2 3 1 1

ln 3 2

3 2 1 2 1 2

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

          

 

       

  

(43)

Trang 43 Câu 30: Ta có tan2 1 tan tan tan2 1 1tan2

2

x xdx xd x  xC

  . Chọn A.

Câu 31: Ta có

 2   2  1 3

) 4 4 4 4

3

x dx x d x x C

         . Đúng

 2 1 2 3

) 4 4

3

x dx x C

      . Sai vì 1 3  2  2

4 4 2 4

3 x   C  x  xdx x dx

 

2

3

1 1

) ln 3

3 3 3 3

d x x dx

x C

x x



    

 

  . Đúng

4

5

1

) ln 3

3 x

dx x C

x 

   



 . Sai vì

4

5

5 1

ln 3

3 3

x x

x C dx dx

x x



   

 

 

Chọn B.

Câu 32: Ta có 5   1 1 6

sin cos sin sin sin sin cos

6 6 5

n

x xdx xd x x C x x C

m  

      

 

 

Chọn A

(44)

PHẦN B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CĨ ĐÁP ÁN.

NGUN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM

Khái niệm nguyên hàm và tính chất 1. Khái niệm nguyên hàm

— Cho hàm số f x( ) xác định trên K. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )trờnKnu:F xÂ( )= f x( ), ." ẻx K

— Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì họ nguyên hàm của hàm số ( )

f x trên K là:

( ) ( ) , .

f x dx⋅ =F x +C const =C Ỵ

ị 

2. Tính chất: Nếu f x( ), ( )g x l2hmsliờntctrờnK vk ạ0thỡtaluụncú: Ãũ f x dxÂ( ) =f x( )+C. · òkf x dx( ) =kò f x dx( )

· ò êëéf x( )g x dx( )ûúù =ò f x dx( ) òg x dx( )

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)



1 1

x

x dx C

a a

a

+ ⋅ = +

+

ò

1

1 ( )

( )

1

n

n ax b

ax b dx C

a n

+ +

+ ⋅ = ⋅ +

+

ò

 1 dx lnx C

x⋅ = +

ò 1 dx 1 lnax b C

ax+b⋅ = ⋅a + +

ò

 12 dx 1 C

x x ⋅ = - +

ò 1 2 1 1

(ax +b) ⋅dx = - ⋅a ax +b +C

ò

 ò sinx dx⋅ = -cosx +C sin(ax b dx) 1cos(ax b) C

a

+ = - + +

ò

 ò cosx dx⋅ =sinx+C cos(ax b dx) 1 sin(ax b) C

a

+ ⋅ = ⋅ + +

ò

 12 cot

sin x ⋅dx= - x+C

ò 2 1 1cot( )

sin (ax+b)dx = -a ax +b +C

ò

 12 tan

cos x ⋅dx = x +C

ò 2 1 1tan( )

cos (ax +b)dx =a ax +b +C

ò

 òe dxx⋅ =ex +C eax b dx 1 eax b C

a

+ ⋅ = ⋅ + +

ò



ln

x

x a

a dx C

a

⋅ = +

ò 2 2 1 ln

2

dx x a

C

a x a

x a

-= ⋅ +

+

-ò

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax +b) thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1

a⋅

Một số lưu ý 1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.

(45)

Trang 45 tích (thương) của các ngun hàm của những hàm thành phần.

3. Muốn tìm ngun hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một

tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được ngun hàm (dựa vào bảng ngun hàm).

Dạng tốn 1. TÍNH NGUN HÀM BẰNG BẢNG NGUN HÀM

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 1 Tích của đa thức hoặc lũy thừa ¾¾ ¾PP  khai triển. 2 Tích các hàm mũ ¾¾ ¾PP  khai triển theo cơng thức mũ. 3 Chứa căn ¾¾ ¾PP  chuyển về lũy thừa.

4 Tích lượng giác bậc một của sin và cosin ¾¾ ¾PP  khai triển theo cơng thức tích thành tổng.

· sin .cos 1 sin( ) sin( ) 2

ax bx = éêë a+b x + a-b xùúû

· sin .sin 1 cos( ) cos( ) 2

ax bx = éêë a-b x - a+b xùúû

· cos .cos 1 cos( ) cos( ) 2

ax bx = éêë a+b x + a-b xùúû

5 Bậc chẵn của sin và cosin ¾¾ ¾PP  Hạ bậc.

B ‐ BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):

Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất

nguyên hàm.

a) ( ) 3 2

a

f a = a + ⋅ ĐS:

2

( ) .

4

a

F a =a + +C

……… …………

b) f b( )=2b3-5b+7.

ĐS:

4 5

( ) 7 .

2 2

b b

F b = - + b+C

……… …………

c) f c( )=6c5-12c3+c2-8.

ĐS:

3

6

( ) 3 8 .

3

c

F x =c - c + - c+C

……… …………

d) f x( )=(x2-3 ) (x ⋅ x + ⋅1)

ĐS:

4 2 3

( ) .

4 3 2

x x x

(46)

……… …………

e) f x( )=(3-x) 3

ĐS:

4 (3 )

( ) .

4

x

F x = - - +C

……… …………

f)

2

1 1

( )

3

f x x

x

= - - ⋅ ĐS:

3 1

( ) .

3 3

x x

F x C

x

= - - - + ………

…………

g) f x( )=10 2x

ĐS:

2 10

( ) .

2 ln10

x

F x = +C

……… …………

h) f x( ) x3 4x 3

x

= - + ⋅ ĐS:

4

( ) 2 3.ln .

4

x

F x = + x + x +C

……… …………

i) f t( ) 2t4 2

t2 +

= ⋅ ĐS: ( ) 2 2 .

3

F t t C

t

= ⋅ - + ………

…………

j) f x( ) x 21

x

-= ⋅ ĐS: F x( ) lnx 1 C.

x

= + + ………

…………

k) ( ) 2 sin2 2

x

f x = ⋅ ĐS: F x( )= +x sinx+C. ………

…………

l) f x( )=cos 2x

ĐS: ( ) 1 1sin 2 .

2 4

F x = x+ x+C

……… …………

m) f x( )=tan 2x

ĐS: F x( )=tanx- +x C. ………

…………

n) ( ) 2 1 2 sin cos

f x

x x

= ⋅ ĐS: ( ) 22 .

sin 2

F x C

x

= - + ………

…………

o) f x( )=2 sin cos x x ĐS: ( ) 1cos 5 cos .

5

(47)

Trang 47

……… …………

p) f x( )=e ex.( x -1).

ĐS: ( ) 1 .

2

x x

F x = e -e +C

……… …………

q) ( ) 2 2

cos

x

x e

f x e

x

-ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ

ỗố ứ ĐS: ( ) 2 tan .

x

F x = e + x +C

……… …………

r) I = ( x + 3x dx)⋅ .

ò ĐS:

2

3 .

2

I = ⋅x +C

……… …………

s)

3 1 2

I x dx

x

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ

= ỗ + ữ ữữ ỗố ứ

ũ ĐS: 2 33 .

3

I = x + x +C I 2 x 2 C.

x

= - +

……… …………

t)

3

1 3 5

2

I dx

x x x

=ò + + ⋅ ⋅ ĐS: ( ) 9 255 .

2 4

F x = x + x + x +C

……… …………

u) I = 4 sin2x dx⋅ .

ò ĐS: I =2x-sin 2x+C.

……… …………

v) 1 cos 4 .

2

x

I =ò + ⋅dx ĐS: sin 4 .

2 8

x x

I = + +C

……… …………

w) I = (3 cosx-3 )x-1 ⋅dx⋅

ò ĐS:

1 3

3 sin .

ln 3

x

I x C

-= - + ………

…………

x) I = (tanx-2 cot ) x dx2

ò ĐS: I =tanx-4 cotx-9x+C. ………

…………

y) I = 3u u.( -4) .du

ò ĐS: 33 33 .

7

I = u - u +C

……… …………

(48)

Phương pháp: Để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ), ta cần chứng minh:

( ) ( ).

F x¢ =f x

a) F x( )=5x3+4x2-7x+120và

2

( ) 15 8 7.

f x = x + x

-

b) F x( )=ln(x + x2 +3)và

2 1

( ) .

3

f x x

=

+

c) F x( )=(4x- ⋅5) ex

và

( ) (4 1) x.

f x = x- ⋅e

d) F x( )=tan4x +3x-5

và

5

( ) 4 tan 4 tan 3.

f x = x+ x +

e)

2

4 ( ) ln

3

x F x

x

ổ + ữử ỗ ữ = ỗỗ ữữ

ỗ + ố ứv

2

( ) .

( 4) ( 3)

x f x

x x

-=

+ ⋅ +

f)

2

2 1

( ) ln

2 1

x x

F x

x x

- + =

+ + và

2

2 2( 1)

( ) .

1

x f x

x

-=

+

BT 3. Tìm ngun hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau:

Phương pháp: Tìm ngun hàm của hàm số f x( ), tức đi tính

( ) ( ) .

f x dx⋅ =F x +C

ị Rồi sau đó thế F x( )o +C = ⋅⋅⋅ để tìm hằng số C. a) f x( )=x3-4x +5, (1)F =3.

ĐS:

4

2 5

( ) 5

4 4

x

F x = -x + x- ⋅

(49)

Trang 49

c)

2 3 5

( ) x , ( ) 1.

f x F e

x

-= = ĐS:

2

5 5

( ) 3 ln 2.

2 2

x e

F x = x - + -

d)

2 1 3

( ) , (1)

2

x

f x F

x

+

= = ⋅ ĐS:

2

( ) ln 1.

2

x

F x = + x +

e) f x( ) x x 1 , (1)F 2.

x

= + = - ĐS: ( ) 2 2 22

5 5

F x = x + x - ⋅

f) I =ò sin cos ,x x dx biết 0.

3

FÂổ ửữỗỗ ữỗ ữpữ =

ỗố ứ ĐS:

1 1 7

( ) cos cos

6 2 12

F x = - x- x+ ⋅

g)

4

2

3 2 5

,

x x

I dx

x

- +

=ò ⋅ biết F(1)=2. ĐS: F x( ) x3 x2 5 7.

x

= - - + h)

3

2

3 3 7

, ( 1)

x x x

I dx

x

+ +

-= ⋅

+

ò biết F(0)=8. ĐS:

2 8

( )

2 1

x

F x x

x

= + + ⋅ + i) sin2 ,

2

x

I =ò ⋅dx biết

2 4

Fổ ửữỗ ữ = ỗ ữỗ ữp p

ỗố ứ S:

sin 1

( )

2 2 2

x x

F x = + - ⋅

j) I x x 1 dx,

x

ổ ửữ ỗ ữ = ỗỗ + ữữ

ỗố ứ

ũ bit (1) 7 2

F = ⋅ ĐS:

2 1

( ) 3 3 ln 1.

2

x

F x x x

x

- + + + +

(50)

k) 2 cos22 1 ,

cos

x

I dx

x

-=ò bit

4 2

Fổ ửữỗ ữ = ỗ ữỗ ữp p

ỗố ứ S:F x( )=2x-tanx +1.

BT 4. Tìm điều kiện của tham số m hoặc a, b, c để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số ( ) :

f x

Phương pháp: Để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )F x¢( )= f x( ). Từ đó,

ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham số cần tìm.

a)

3

2

( ) (3 2) 4 3

( ) 3 10 4

F x mx m x x

f x x x

ìï = + + - +

ïï ⋅

íï = +

-ïïỵ ĐS: m =1.

b)

2

( ) ln 5

2 3

( )

3 5

F x x mx

x f x

x x

ìï = - +

ïïï ⋅

í +

ï =

ïï + + ïỵ

ĐS: m = -3.

c)

2

( ) ( )

( ) ( 3)

x x

F x ax bx c e

f x x e

ìï = + + ⋅

ïï ⋅

íï = - ⋅

ïïỵ ĐS: a =0, 1, 4.b= c= - d)

2

( ) ( )

( ) (2 8 7)

x x

F x ax bx c e

f x x x e

-ìï = + + ⋅

ïï ⋅

íï = - - + ⋅

ïïỵ ĐS: a =1, 3, b= - c=2. e)

2

( ) ( )

( ) ( 3 2)

x x

F x ax bx c e

f x x x e

-ìï = + + ⋅

ïï ⋅

íï = - + ⋅

(51)

Trang 51

f) ( ) ( 1)sin 2sin 2 3sin 3

( ) cos

b c

F x a x x x

f x x

ìïï = + + +

ïï ⋅

íï ï = ïïỵ

ĐS: a = = =b c 0.

g)

2

( ) ( ) 2 3

20 30 7

( )

2 3

F x ax bx c x

x x

f x

x

ìï = + + ⋅ -ïï

ï ⋅

í - +

ï =

ïï

-ïỵ

ĐS: a =4, 2, b= - c=1.

h)

2

( ) 3 , ( 3)

( ) ( ) 3

f x x x x

F x ax bx c x

ìï = - £

ïï ⋅

íï = + + ⋅

-ïïỵ ĐS:

2 2 12

; ;

5 5 5

a = b= - c= - ⋅

C ‐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x( )=x3 +3x +2 là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. ( )

4 3 2

4 2

x x

F x = + + x+C . B. ( )

4

3 2

3

x

F x = + x + x+C .

C. ( )

4

2

4 2

x x

F x = + + x+C . D. F x( )=3x2+3x+C .

Câu 2. Hàm số F x( )=5x3+4x2-7x+120+C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f x( )=15x2+8x-7. B. f x( )=5x2 +4x+7.

C. ( )

2

5 4 7

4 3 2

x x x

f x = + - . D. f x( )=5x2 +4x-7.

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y x2 3x 1

x

(52)

A. ( )

3 3

ln

3 2

x

F x = - x + x +C . B. ( )

3 3

ln

3 2

x

F x = - x + x+C.

C. ( )

3

2 3

ln

3 2

x

F x = + x + x +C . D. F x( ) 2x 3 12 C

x

= - - + .

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= x +1)(x+2)

A. ( )

3

2 3

2

3 2

x

F x = + x + x +C. B. ( )

3

2 2

2

3 3

x

F x = + x + x +C.

C. F x( )=2x+ +3 C. D. ( )

3 2

2

3 3

x

F x = - x + x+C.

Câu 5. Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2 2 32 5 2

f x

x x x

= + +

- là hàm số nào?

A. F x( ) ln 5 2x 2 lnx 3 C

x

= - - + - + . B.

( ) ln 5 2 2 ln 3

F x x x C

x

= - - + + + .

C. F x( ) ln 5 2x 2 lnx 3 C

x

= - + - + . D.

( ) ln 5 2 2 ln 3

F x x x C

x

= - - - + + .

Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=x3-3x2+5 là

A. 3x2-6x B. 3x2-6x +C C.

4

3 5

4 x

x x C - + + D.

4 5

x -x + x +C

Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số g x( )= -5x4 +4x2-6 là:

A. 4 6

3

x x x C

- + - + B. -20x3+8x+C C.

20x 8x

- + D. 4

3

x x C

- + +

Câu 8. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=(x-3)4 là

A. ( )

4 3 4

x

- B. 4(x-3)3 C. ( )

5 3 5

x

- D. ( ) 3 3

x

-

Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=x3-3x2+5 là

A. 3x2-6x B. 3x2-6x +C C.

4

3 5

4

x x x C

- + + D.

4 5

x -x + x +C

Câu 10. Một nguyên hàm của hàm số g x( )= -5x4 +4x2-6 là:

A. 4 6

3

x x x C

- + - + B. -20x3+8x+C C.

20x 8x

- + D. 4

3

x x C

(53)

Trang 53

Câu 11. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=(x-3)4 là:

A. ( )

4 3 4

x

- B. 4(x-3)3 C. ( )

5 3 5

x

- D. ( ) 3 3

x

-

Câu 12. Tớnh 3x2 1 2dx x

ổ ửữ

ỗ + - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ũ

A.

ln 2

3 x

x x C

+ - + B. x3 12 2x C

x

- - + C. x3+lnx +C D.

3 ln 2

x + x - x+C

Câu 13. Cho f x( )= - +x3 3x2-2x. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F( )1 =0 là: A.

4

3 1

4 4

x

x x

- + - + B.

3 1

4 4

x

x x

- + - - C.

4

3 1

4 x

x x

- + - - D.

3 1

4 x

x x - + - +

Câu 14. Gọi F x( )là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( )=3x2-2x+1 thì ( )

F x là:

A. F x( )=3x3-2x2+ +x C B. F x( )=x3-x2 + +1 C

C. F x( )=x x( 2- + +x 1) C D. ( ) 1 1

3 2

F x = x - x + +x C

Câu 15. Kết quả của òx x( +1)dxbằng:

A. ( )

3 1 ( )

3

x

F x = + +C B. ( )

3 1 ( )

6

x

F x = + +C

C.

2 ( )

2 3

x x

F x = ổỗỗỗ +xửữữữữ+C

ỗố ø D. ( )

2 3

2

( ) 1

6

x

F x = x + +C

Câu 16. Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 1

x

= là:

A. F x( ) 12

x

= - B. F x( ) 12

x

= C. F x( )=lnx D. 1

( )

F x

x

= -

Câu 17. Tìm họ nguyên hàm F x( )của hàm số f x( ) 3 sinx 2 x

= + , ta được kết quả là:

A. F x( )=3 cosx+2 lnx +C B. F x( )= -3 cosx +2 lnx +C

C. F x( )=3 cosx-2 lnx +C D. F x( )= -3 cosx-2 lnx +C

Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F x( ) của hàm sốf x( ) = 3x2 – 3x, ta được kết quả là:

A. ( ) 3

ln 3

x

F x =x - +C B. ( ) 3

ln 3

x

(54)

C.

3 3 ( )

3 ln 3

x

F x = - +C D.

3 3 ( )

3 ln 3

x

F x = + +C

Câu 19. Tính ị(1-x dx)9 , ta được kết quả là:

A. ( ) 1 (1 )10

10

F x = -x +C B. ( ) 1 (1 )10

10

F x = - -x +C

C. ( ) 1 (1 )10

10

F x = +x +C D. ( ) 1 (1 )10

10

F x = - +x +C

Câu 20. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm sốf x( )=x x( +2)2, ta được kết quả là: A.

4

3

4

( ) 2

4 3

x

F x = + x + x +C B.

4

( ) 2

4

x

F x = + x +C

C.

3

( ) 2

3

x

F x = + x +C D. Kết quả khác.

Câu 21. Họ nguyên hàm của f x( )=x2-2x+1 là:

A. ( ) 1 2

3

F x = x - + +x C B. F x( )=2x- +2 C

C. ( ) 1

3

F x = x -x + +x C D. ( ) 1 2

3

F x = x - x + +x C

Câu 22. Nguyên hàm của hàm sốf x( )=(2x +1)3 là:

A. 1(2 1)4

2 x+ +C B.

4

(2x+1) +C C. 2(2x+1)4 +C D. Kết quả khác

Câu 23. Nguyên hàm của hàm sốf x( )=(1 )- x 5 là:

A. 1 (1 2 )6

12 x C

- - + B. (1 )- x +C C. 5(1 )- x +C D.

5(1 )- x +C

Câu 24. Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x 32

x

+ là :

A. x2 3 C

x

- + B. x2 32 C x

+ + C. x2 +3 lnx2+C D. Kết quả khác

Câu 25. Tìm hàm số f x( ) biết rằng f x’( )=2x+1 và f( )1 =5

A. x2 + +x 3 B. x2 + -x 3 C. x2 +x D. Kết quả khác

Câu 26. Tìm hàm số y = f x( ) biết f x¢( )=(x2-x x)( +1) và f(0)=3 A.

4

( ) 3

4 2

x x

y = f x = - + B.

4

( ) 3

4 2

x x

y = f x = -

-

C.

4

( ) 3

4 2

x x

(55)

Trang 55

Câu 27. Cho f x( )=3x2 +2x-3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x =1. Nguyên hàm đó là kết quả nào sau đây?

A. F x( )=x3+x2-3x B. F x( )=x3+x2-3x+1

C. F x( )=x3+x2-3x +2 D. F x( )=x3+x2-3x -1

Câu 28. Tìm hàm số f x( ) biết rằng f x'( ) ax b2, '(1)f 0, (1)f 4, ( 1)f 2

x

= + = = - =

A.

2 1 5

2 2

x x

+ + B.

2 1 5

2 2

x x

- + C.

2 1 5

2 2

x x

+ - D. Kết quả khác

Câu 29. Một nguyên hàm của hàm sốf x( ) x2 3 2 x x

= + - là

A. ( )

3

3 4 3 ln

3 3

x

F x = + x - x C. ( )

3

3 3 3 ln

3 4

x

F x = + x - x

B. ( )

3

3 4

3 3

x

F x x

x

= - + D. ( )

3

3 4 3 ln

3 3

x

F x = + x + x

Câu 30. Một nguyên hàm của hàm sốf x( ) (= x-3)4 là:

A. ( )

4 3 ( )

4

x

F x = - B. F x( )=4(x-3)3 C. ( )

5 3 ( )

5

x

F x = - D.

( )3

3 ( )

3

x

F x = -

Câu 31. Nguyên hàm F x( ) của f x( )-x3+3x2-2x thỏa mãn F( )1 =0 là:

A. ( )

4

3 1

4 4

x

F x = - +x -x + B. ( )

4

3 1

4 4

x

F x = - +x -x -

C. ( )

4

3 1 4

x

F x = - +x -x - D. ( )

4

3 1

4

x

F x = - +x -x +

NHĨM 2: HÀM SỐ VƠ TỶ ( CHỨA CĂN)

Câu 32. Nguyên hàm của hàm số ( ) 1 2x 1

f x =

- là

A. ò f x d( ) x= 2x- +1 C. B. ò f x d( ) x=2 2x- +1 C .

C. ( ) x 2x 1

2

f x d = - +C

ò . D. ò f x d( ) x= -2 2x- +1 C.

Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1 3

f x

x

=

- .

A. ò f x d( ) x= -2 3- +x C. B. ò f x d( ) x= - 3- +x C .

C. ò f x d( ) x=2 3- +x C. D. ò f x d( ) x= -3 3- +x C.

(56)

A. ( ) x 1(2x 1 2x) 1 3

f x d = + + +C

ò . B.

( ) x 2(2x 1 2x) 1

3

f x d = + + +C

ò .

C. ( ) x 1 2x 1

3

f x d = - + +C

ò . D. ( ) x 1 2x 1

2

f x d = + +C

ị .

Câu 35. Tìm ngun hàm của hàm số f x( )= 5-3x.

A. ( ) x 2(5 3x) 5 3x

9

f x d = - - - +C

ò . B.

( ) x 2(5 3x) 5 3x

3

f x d = - -

-ò .

C. ( ) x 2(5 3x) 5 3x

9

f x d = -

-ò . D. ( ) x 2 5 3x

3

f x d = - - +C

ò .

Câu 36. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )= 3x-2.

A. ( ) x 3( 2)3 2

4

f x d = x- x- +C

ò . B.

( ) x 3( 2)3 2

4

f x d = - x- x- +C

ò .

C. ( ) x 2( 2) 2

3

f x d = x- x

-ò . D. ( ) ( )

2 1

x 2

3

f x d = x- - +C

ị .

Câu 37. Tìm ngun hàm của hàm số f x( )= 31-3x .

A. ( ) x 1(1 3x)31 3x

4

f x d = - - - +C

ò . B.

( ) x 3(1 3x)31 3x

4

f x d = - - - +C

ò .

C. ( ) x 1(1 3x)31 3x

4

f x d = - - +C

ò . D. ( ) ( )

2

x 1 3x

f x d = - - - +C

ò .

Câu 38. Hàm số F x( ) (= x+1)2 x + +1 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. ( ) 5( 1) 1

2

f x = x + x + B. ( ) 5( 1) 1

2

f x = x + x+ +C

C. ( ) 2( 1) 1

5

f x = x + x + D. f x( ) (= x+1) x+ +1 C

Câu 39. Biết một nguyên hàm của hàm số ( ) 1 1 1 3

f x

x

= +

- là hàm số F x( ) thỏa mãn ( )1 2

3

F - = . Khi đó F x( ) là hàm số nào sau đây?

A. ( ) 2 1 3x 3

3

F x = -x - + B. ( ) 2 1 3x 3

3

F x = -x - -

C. ( ) 2 1 3x 1

3

F x = -x - + D. ( ) 4 2 1 3x

3

(57)

Trang 57

Câu 40. Biết F x( )=6 1-x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

a f x

x

=

- . Khi đó giá trị của a bằng

A. -3. B. 3. C. 6. D. 1

6 .

Câu 41. Tính 1 1 2dx

x

ổ ửữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ

ũ

A.

2 2

x x

C

- + B. 2

2

x

x - +C C. 1 1

2

2 x - x+C D.

2 2

x C

x - +

Câu 42. Cho hàm số f x( ) 1 1

x

= + . Khi đó :

A. f x dx( ) 12 C

x

= - +

ò B. ò f x dx( ) = +x lnx +C

C. f x dx( ) x 12 C

x

= - +

ò D. ( )

2

1 1

1 2

f x dx

x

ổ ửữ ỗ ữ = ỗỗ + ữữ ỗố ứ

ũ

Cõu43. GiF x( )ltphpttccỏcnguyờnhmcahms ( ) 1 1 2

f x

x

=

- thì F x( ) là:

A. ( ) 1ln 2 2

F x =- - x +C B. ( ) 1ln 2

2

F x = - x +C

C. F x( )=ln 2- x +C D. F x( ) x 2 C

x x

= +

-

Câu 44. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )= 3x +4 biết F(0)=2. Kết quả là:

A. ( ) 2 (3 4)3 2

9 9

F x = x + + B. ( ) 2 (3 4)3 2

9 9

F x = x + -

C. ( ) 2 (3 4)3 10

3 3

F x = x+ + D. ( ) 2 (3 4)3 10

3 3

F x = x+ -

Câu 45. Tìm nguyên hàm 3x2 4dx

x

ổ ửữ ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ũ

A. 5 4 ln

3 x + x +C B.

3 3

4 ln

5 x x C

- + +

C. 3 4 ln

5 x - x +C D.

3 3

4 ln

5 x + x +C

Câu 46. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x( )= x2+k với 0 ?

(58)

A. ( ) ln

2 2

x k

f x = x + +k x+ x +k B.

2

1

( ) ln

2 2

x

f x = x + +k x + x +k

C. ( ) ln

2

k

f x = x+ x +k D.

2 1 ( )

f x

x k

=

+

Câu 47. Trong các hàm số sau:

(I)f x( )= x2+1 (II) f x( )= x2+ +1 5 (III)

2 1 ( )

1

f x x

=

+ (IV)

1

( ) - 2

1

f x x

=

+ Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F x( )=lnx+ x2 +1

A. Chỉ (I) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) D. Chỉ (III) và (IV)

Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số

2

3 1

( )

f x x

x

ổ ửữ

ỗ ữ

=ỗỗ + ữ ữ

ỗố ứ lhmsnosauõy:

A. ( ) 3 126 ln

5 5

F x = x x + x + x B.

3

1 1

( ) 3

F x x

x

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ ỗố ứ

C. ( )

2

( )

F x = x x + x D. ( ) 3 ln 125

5 5

F x = x x + x + x

Câu 49. Nguyên hàm ò(x x +e2017x)dx =

A.

2017

5

2 2017

x

e

x x + +C B.

2017

2

5 2017

x

e

x x + +C

C.

2017

3

5 2017

x

e

x x + +C D.

2017

2

5 2017

x

e

x x + +C

NHĨM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 50. Tìm ngun hàm của hàm số ( ) cos 3 6

f x = ổỗỗỗ x + ửữữữữ ỗố ứ

p

.

A. ( ) 1sin 3

3 6

f x dx = ổỗỗỗ x + ửữữữữ+C

ỗố ứ

ũ p . B. ( ). sin 3

6

f x dx = ổỗỗỗ x + ửữữữữ+C

ỗố ø

ò p .

C. ( ) 1sin 3

3 6

f x dx = - ổỗỗỗ x+ ửữữữữ+C

ỗố ứ

ũ p . D. ( ) 1sin 3

6 6

f x dx = ổỗỗỗ x+ ửữữữữ+C

ỗố ứ

ị p .

Câu 51. Tìm ngun hàm của hàm số ) 1 a 2

( t n

f x = + x .

A. ( ) 2 tan 2

x

f x dx = +C

ò . B. ( ) tan

2

x

f x dx = +C

ò .

C. ( ) 1tan

2 2

x

f x dx = +C

ò . D. ( ) 2 tan

2

x

f x dx = - +C

(59)

Trang 59

Câu 52. Tìm nguyên hàm của hàm số

2 1 ( )

sin

3

f x

x

=

æ ửữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ

p .

A. ( ) cot

3

f x dx = - ổỗỗỗx+ ửữữữữ+C

ỗố ø

ò p . B. ( ) 1cot

3 3

f x dx = - ổỗỗỗx+ ửữữữữ+C

ỗố ứ

ũ p .

C. ( ) cot

3

f x dx = ổỗỗỗx + ửữữữữ+C

ỗố ứ

ũ p . D. ( ) 1cot

3 3

f x dx = ổỗỗỗx + ửữữữữ+C

ỗố ứ

ũ p .

Câu 53. Tính ị(sinx-cosx dx)

A. -cosx-sinx +C B. -cosx+sinx +C

C. cosx-sinx +C D. cosx+sinx +C

Câu 54. Một nguyên hàm của hàm số ( ) 22 cos

f x

x

= là:

A. 2 tanx +C B. 2 cotx+C C. 2 sinx+C D. 2 cosx+C

Câu 55. Một nguyên hàm của hàm số ( ) 3 12 sin

f x

x

= - là:

A. 3x-tanx +C B. 3x+tanx +C C. 3x+cotx+C D.

3x-cotx+C

Câu 56. Cho f x( )=sinx-cosx. Một nguyên hàm F x( )caf x( )tha 0 4

Fổ ửữỗ ữ =ỗ ữỗ ữ

ỗố ứ

p

l:

A. -cosx-sinx + 2 B. cos sin 2

2

x x

- - +

C. cosx-sinx + 2 D. cos sin 2

2

x- x+

Câu 57. Cho hàm số f x( )=2x +sinx+2 cosx. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa (0) 1

F = là:

A. x2-cosx+2 sinx B. x2 +cosx +2 sinx +2

C. 2+cosx+2 sinx D. x2 +cosx +2 sinx-2

Câu 58. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=tan2x là:

A. tan

3

x

B.

3

2

tan 1

.

3 cos

x

x C. tanx-x D.

2 sin cos

x x

Câu 59. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=cos4x-sin4x là:

A. cos 2x B. 1sin 2

2 x C. 2 sin 2x D.

2 cos x

Câu 60. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sin4x+cos4x?

A. 1sin 4 4

x + x B. 1 sin 4

4x + x C.

3 1

sin 4

(60)

3 1 cos 4 4x-4 x

Câu 61. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=sin 2x +3x2 là:

A. F x( )=cos 2x+6x B. ( ) 1cos 2 6 2

F x = x+ x

C. ( ) 1cos 2 2

F x = - x+x D. ( ) 1cos 2

2

F x = - x-x

Câu 62. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x( )=2 sin 2x?

A. F x( )=sin2x B. F x( )=2 cos 2x

C. ( ) 1cos 2 2

F x = x D. F x( )= -cos 2x

Câu 63. Hàm số f x( )=sinx có một nguyên hàm là:

A. F x( )=cosx+C B. F x( )=sinx +C

C. F x( )= -cosx+1 D. F x( )= -sinx +C

Câu 64. Biết F x( )= ị(1+tan2x dx) khi đó F x( ) là:

A. ( ) 12

cos

F x C

x

= + B. F x( )=tanx+C

C. F x( )=-tanx+C D. F x( )=cotx +C

Câu 65. Gọi F x( )là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàmsố f x( )=sin 2x thì F x( )là:

A. F x( )=cos 2x+C B. F x( )=sin 2x +C C. F x( )= -cos 2x+C D. F x( )= -sin 2x+C

Câu 66. Gọi F x1( )là nguyên của hàm số f x1( )= sin2x thỏa mãn F1(0)=0 và F x2( )là

ngun của hàm số f x2( )=sin2x thỏa mãn F2(0)=0. Khi đó phương trình

1( ) 2( )

F x =F x có nghiệm là:

A. ,

2

x = p +k kp ỴZ B. ,

2

x = pk k ỴZ C. x =k kp, ỴZ D.

2 ,

x =k pk ỴZ

Câu 67. Ngun hàm của hàm số: y =cos sin2x x là:

A. 1cos3

3 x +C B.

3

cos x C

- + C. 1sin3

3 x+C D. Đáp án

khác.

Câu 68. Một nguyên hàm của hàm số: y =cos cosx x là:

A. F x( )=cos 6x B. F x( )=sin 6x C. 1 1sin 6 1sin 4

2 6 x 4 x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ D.

1 sin 6 sin 4

2 6 4

x x

ổ ửữ

ỗ ữ

- ỗỗ + ữữ ỗố ứ

(61)

Trang 61 A. 1 cos 6 cos 2

2 8 2

x x

ổ ửữ

ỗ ữ

- ỗỗ + ữữ

ỗố ứ B.

1 cos 6 cos 2

2 8 2

x x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

C.cos 8x+cos 2x D. Đáp án khác.

Câu 70. Tìm họ nguyên hàm F x( ) của hàm sốf x( )=cosx, ta được kết quả là:

A. F x( )=sinx +C B. F x( )= -sinx +C

C. F x( )=cosx+C D. F x( )= -cosx+C

Câu 71. Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x( )=cosx biết nguyên hàm này triệt tiêu khi

2

x = p ?

A. F x( )=sin x B. F x( )= -sin x

C. F x( )=sinx +1 D. F x( )=sinx-1

Câu 72. Tính

( )

2 1

cos 3x-1 dx

ò , ta được kết quả là:

A. F x( )=tan – 1( x )+C B. F x( )=cot – 1( x )+C C. ( ) 1tan – 1( )

3

F x = x +C D. ( ) 1cot – 1( )

3

F x = x +C

Câu 73. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )= tan2x biết 1 4

ỗố ø

p

. Kết quả là:

A. ( ) tan

4

F x = x- +x p B. ( ) tan

4

F x = x- -x p

C. ( ) tan

4

F x = -x x+p D. ( ) tan

4

F x = -x x-p

Câu 74. Tính ị sin(3x-1)dx , kết quả là: A. 1cos(3 1)

3 x C

- - + B. 1cos(3 1)

3 x- +C C. -cos(3x- +1) C D. Kết quả khác

Câu 75. Tìm ị(cos 6x-cos )x dx là:

A. 1sin 6 1sin 4

6 x 4 x C

- + + B. 6 sin 6x-5 sin 4x+C

C. 1sin 6 1sin 4

6 x-4 x +C D. -6 sin 6x +sin 4x+C

Câu 76. Trong các hàm số sau:

(I) f x( )= tan2x +2 (II) ( ) 22 cos

f x

x

= (III) f x( )=tan2x+1 Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx

A. (I), (II), (III) B. Chỉ (II), (III) C. Chỉ (III) D. Chỉ (II)

(62)

A. 1cos 5 cos

5 x x C

- - + B. 1cos 5 cos

5 x + x +C

C. 5 cos 5x+cosx +C D. Kết quả khác

Câu 78. Lựa chọn phương án đúng:

A. ò cotxdx =ln sinx +C B. ò sinxdx =cosx+C

C. 12dx 1 C

x

x = +

ò D. ò cosxdx = -sinx+C

Câu 79. Tìm ngun hàm ị(1+sin )x dx2

A. 2 2 cos 1sin 2

3x + x-4 x +C B.

2 1

2 cos sin 2 3x- x +4 x+C

C. 2 2 cos 2 1sin 2

3x- x-4 x+C D.

2 1

2 cos sin 2 3x- x-4 x +C

Câu 80. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?

2

1 1

( ) sin sin 3 (sin - sin )

4 2

1

( ) tan tan

3

1 1

( ) ln( 2 3)

2

2 3

I x xdx x x C

II xdx x C

x

III dx x x C

x x

= +

+ = + + +

+ +

ò ò

ò

A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Chỉ (II)

Câu 81. Tìm ị(sinx+1) cos3 xdx là:

A.

4 (cos 1)

4

x

C

+

+ B. sin

4

x C

+ C.

4 (sin 1)

4

x

C

+

+ D.

4(sinx+1) +C

Câu 82. Xét các mệnh đề

(I)F x( )= +x cosx là một nguyên hàm của

2 ( ) sin - cos

2 2

x x

f x = ỗổỗỗ ửữữữ

ữ ỗố ứ (II)

4

( ) 6

4

x

F x = + x là một nguyên hàm của f x( ) x3 3 x

= + (III) F x( )=tanx là một nguyên hàm của f x( )=- ln cosx Mệnh đề nào sai ?

A. (I) và (II) B. Chỉ (III) C. Chỉ (II) D. Chỉ (I) và (III)

Câu 83. Tìm sin3 2

x dx

ò .

A. ( ) 2cos3

3 2

x

F x = - +C B. ( ) 2cos3

3 2

x

F x = +C

C. ( ) 3cos3

2 2

x

F x = - +C D. ( ) 3cos3

2 2

x

F x = +C

(63)

Trang 63 A. ( ) 1sin4

4

F x = x+C B. ( ) 1sin4

4

F x = - x +C

C. ( ) 1cos4

4

F x = x+C D. ( ) 1cos4

4

F x = - x+C

Câu 85. Nguyên hàmF x( ) của hàm số f x( )=tan2x thỏa mãn F( )0 =3 là:

A. f x( )=tanx- +x 3 B. f x( )= tanx- -x 3

C. f x( )=tanx+ +x 3 D. f x( )=tanx+ -x 3

Câu 86. Nếu ( ) cos2 4

f xÂ = ổỗỗỗx+ ửữữữữ ỗố ứ

p

và ( )0 13 4

f = thì:

A. ( ) 1 1cos 2 3

2 2

f x = ổỗỗỗx+ xửữữữữ+

ỗố ứ B. ( )

1

cos 2 4 2

f x = -x x+

C. ( ) sin 7

2

f x = x+ D. ( ) 1cos 2 3

2

f x = x +

Câu 87. Nguyên hàm của hàm số y = f x( )=sinx+cosx-1 là:

A.

F x( )=sinx-cosx +C B. F x( )=sinx-cosx- +x C

C.

F x( )=cosx+sinx- +x C D. F x( )=sinx +cosx- +x C

Câu 88. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ? A.

ò sin cosx xdx = -cos sinx x +C B.

1

sin cos cos 2

2

x xdx = - x+C

ò

C.

3

2 cos

cos sin

3

x

x xdx =- +C

ò D.

3

2 sin

sin cos

3

x

x xdx = +C

ò

Câu 89. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A.

1 1 1

cos cos sin 4 sin 2

2 4 2

x xdx = ổỗỗỗ x+ xửữữữữ+C

ỗố ứ

ũ

B.

1 1 1

sin cos cos 4 cos 2

2 4 2

x xdx =- ỗỗỗổ x+ xửữữữữ+C

ỗố ứ

ò

C.

1

sin cos cos sin 3

x xdx =- x x+C

ò

D.

cos 2 sin cos

4

x

x xdx = - +C

ò

Câu 90. Nguyên hàm của hàm số: y = 2cos 2 2 sin cos

x dx

x x

ò là:

A. F x( )=- cos – sinx x+C B. F x( )= cosx+sinx +C

C. F x( )= cot – tanx x+C D. F x( )=- cot – tanx x +C

Câu 91. Tìm ngun hàm ị 2 sin cos x x dx ? A. ( ) 1cos 5 cos

5 x x

F x =- - +C B. ( ) 1cos 5 1cos

3 2

(64)

C. ( ) 1cos 5 1cos

2 x 3 C

F x = - - x+ D. ( ) 1cos 5 cos

5 x x C

F x = - +

Câu 92. Tìm ngun hàm: ị sin 22 xdx

A. 1 1sin 4

2x +8 x+C B. 1

sin 2

3 x+C C.

1 1

sin 4

2x-8 x +C D.

1 1

sin 4 2x-4 x+C

Câu 93. Tìm nguyên hàm

2

1

sin cosx xdx

ò =

A. 2 tan 2x +C B. 2cot2x+C C. 4cot2x+C D. 2 cot2x +C

A.

2 1

cos 2 sin 4

2 8

x

xdx = + x+C

ò B. sin 22 1sin 4

2 8

x

xdx = - x +C

ò

C.

1

cos 4 sin 4

4

xdx = x +C

ò D. òsin 22 xdx = -cos 22 x+C

A.

cot xdx = -cotx- +x C

ò B.

tan xdx = tanx- +x C

ò

C.

3

2 tan

tan

3

x

xdx = +C

ò D.

2 1 sin 2

sin

2 2

x xdx = ổỗỗỗx- ửữữữữ+C

ỗố ứ

ũ

Câu 96. Tìm hàm số f x( ) biết f x'( )=sinx-cosx và 0 4

fổ ửữỗ ữ =ỗ ữỗ ữ

ỗố ứ

p

.

A. f x( )= -cosx-sinx + 2 ` B. f x( )=cosx-sinx+ 2

C. ( ) cos sin 2

2

f x = x- x + D. ( ) cos sin 2

2

f x = x- x-

Câu 97. Tìm ngun hàm ị(1+sinx dx)2 A. 2 2 cos sin 2

3 4

x x

x C

- - + B.

2 sin 2

2 cos

3 4

x x

x C

+ - +

C.

2 sin 2

2 cos

3 4

x x

x C

- + + D.

2 sin 2

2 cos 2

3 4

x x

x C

- - +

NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT

Câu 98. Tìm ngun hàm của hàm số f x( )=ex -e-x.

A. ị f x d( ) x=ex +e-x +C . B. ò f x d( ) x= - +ex e-x +C .

C. ò f x d( ) x=ex-e-x +C. D. ò f x d( ) x= - -ex e-x +C.

(65)

Trang 65

A. ( ) x 2 . 1

9 ln 2 ln 9

x

f x d =ổ ửữỗ ữỗ ữỗ ữ +C

ỗ

-è ø

ò . B. ( ) x 9 . 1

2 ln 2 ln 9

x

ỗ

-ố ứ

ũ

.

C. ( ) x 2 . 1

3 ln 2 ln 9

x

ỗ

-è ø

ò . D.

( ) x 2 . 1

9 ln 2 ln 9

x

f x d =ổ ửữỗ ữỗ ữ +C

ỗ ữ

ỗ +

ố ứ

ò .

Câu 100. Họ nguyên hàm của hàm sốf x( )=ex(3+e-x) là

A. F x( )=3ex + +x C . B. F x( )=3ex +exlnex +C .

C. ( ) 3 x 1

x

F x e C

e

= - + . D. F x( )=3ex- +x C

.

Câu 101. Hàm số F x( )=7ex -tanx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. ( ) 7 2

cos

x

x e

f x e

x

-ỉ ư÷

ỗ ữ

= ỗỗ - ữữ

ỗố ứ. B. ( ) 1 7

cos

x

f x e

x

= + .

C. f x( )=7ex +tan2x-1. D. ( )

2 1 7

cos

x

f x e

x

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ - ữữ ỗố ứ.

Cõu102. Tỡmnguyờnhmcahmsf x( )= e4x

-.

A. ( ) x 1 2x

2

f x d = e - +C

ò . B. ò f x d( ) x=e2x 1- +C.

C. ( ) x 1 4x

2

f x d = e - +C

ò . D. ( ) x 1 2x

2

f x d = e - +C

ị .

Câu 103. Tính (e-x +4)dx

ò

A. e-x +4x+C B. 1x 4x C

e- + + C.

x

e- C

- + D.

4

x

e- x C

- + +

Câu 104. Tính e3x 12 dx

x

-ổ ửữ ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ũ

A.1 1

3

x

e C

x

- - +

B. 3e3x 1 C

x

- + +

C. 3e3x 1 C

x

- - +

D.

3

1 1

3

x

e C

x

- + +

Câu 105. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=9x +3x2 là

A. F x( )=9x +x3 B. F x( )=9 ln 9x +x3

C. ( ) 9

9

x

F x = +x D. ( ) 9

ln 9

x

F x = +x

Câu 106. Một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 1 2

x

x e

f x e

x

-ổ ửữ ỗ ữ = ỗỗ - ữữ

(66)

A.F x( ) ex 1 1

x

= - - B. F x( ) ex 1 1

x

= - +

C. F x( ) ex 1 1

x

= + - D. F x( ) ex 1 1

x

= + +

Câu 107. Hàm số f x( )=e1-xcó tất cả các nguyên hàm là:

A. F x( )=e1-x +C B. F x( )= -e1-x

C. ( ) 1

2

x

F x e C

x

-= +

- D.

1

( ) x

F x = -e- +C

Câu 108. Gọi F x( )là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( )=3x+1

thì F x( )là:

A. F x( )=3x+1+C B. F x( )=3 ln 3.3x +C

C. F x( )=3 ln 3.3x+1 +C D.

1 3 ( )

ln 3

x

F x C

+ = +

Câu 109. Gọi F x( )là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( )=ex -2 thì F x( )là:

A. F x( )=ex - +2 C

B. F x( )=ex -2x+C

C. F x( )=ex+1-2x+C D. ( ) 1 2

1

x

F x e x C

x

+

= - +

+

Câu 110. Nguyên hàm của hàm số f x( )=e2x-exlà:

A. 1 2

x x

e -e +C B. 2e2x -ex +C C. e ex( x -x)+C D. Kết quả khác

Câu 111. Nguyên hàm của hàm số ( ) 2 12

cos

x

f x e

x

= + là:

A. 2ex +tanx+C B. 2 2 cos

x e x

x

e x

-ổ ửữ

ỗ ữ

ỗỗố - ứữ C. tan

x

e + x+C D. Kết quả khác

Câu 112. Tính ị(3 cosx-3 )xdx , kết quả là: A. 3 sin 3

ln 3

x

x- +C B. 3 sin 3 ln 3

x

x C

- + + C.

3 3 sin

ln 3

x

x+ +C D. 3 sin 3 ln 3

x

x C

- - +

Câu 113. Hàm sốF x( )=ex +tanx+C là nguyên hàm của hàm số f x( )nào?

A. ( ) 12

sin

x

f x e

x

= - B. ( ) 12 sin

x

f x e

x

= + C. ( ) 12 cos

x

f x e

x

= + D. Kết quả khác

Câu 114. Nếu f x dx( ) =ex +sin 2x +C

ò thì f x( ) bằng

A. ex +cos 2x

B. ex -cos 2x

C. ex +2 cos 2x

D. 1

cos 2 2

x

(67)

Trang 67

Câu 115. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=2x -4x.

A. ( )

2 2 2 ( )

ln 2 ln 2

x x

F x = - +C B. ( ) 2 (1 2 1)

ln 2

x

F x = - - +C

C. ( ) 2 1 4

ln 2 ln 2

x x

F x = ổỗỗỗ - ửữữữữ+C

ỗố ứ D. ( )

2

( ) 1 2

2 ln 2

x

F x = - +C.

Câu 116. Tìm

2 1 x e dx x -ổ ửữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ø ò .

A. ( ) 1 1

3

x

F x e C

x

-= - + B. F x( ) 3e3x 1 C

x

-= + +

C. F x( ) 3e3x 1 C

x

-= - + D. ( ) 1 1 3

x

F x e C

x

-= + +

Câu 117. Tìm ex 3 52x

x e ổ ửữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ ũ .

A. ( ) 3 14

2

x

F x e C

x

= + + B. ( ) 3 14 2

x

F x e C

x

= - - +

C. ( ) 3 14

2

x

F x e C

x

= - + D. ( ) 3 14 2

x

F x e C

x

= - + +

Câu 118. Nguyên hàm của hàm số y = f x( )=e2x+3-2x +1

là:

A. F x( )=e2x+3-x2+ +x C B. ( )

2 2 2

x

e

F x x C

+

= - +

C. ( )

2 2

x

e

F x x x C

+

= - + + D. F x( )=2e2x+3-x2 + +x C

Câu 119. Nguyên hàm của hàm số y = f x( )=23x +42x+1 là

A ( )

3

2 4

2.ln 8 4.ln16

x x

F x C

+

= + + B. ( )

3

2 4

ln 2 ln 4

x x

F x C

+ = + +

C. ( )

3

2 4

ln 8 ln16

x x

F x C

+

= + + D. ( )

3

3.2 2.4 ln 2 ln 4

x x

F x C

+

= + +

Câu 120. Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. ò(ex +2x)dx =ex +2x +C B. ( 2 ) 2

ln 2

x

x x x

e + dx =e + +C

ò

C. ( ) ( )

3

2 1

1

3

x

x x e

e e + dx= + +C

ò D. 1xxdx x1 C

e e

-= +

ò

Câu 121. Tìm ngun hàm ị(2+e3x)2dx

A. 4 3 3 6 x x e e

x + + +C B.

3 4 4 3 6 x x e e

x + + +C

C. 4 5 4 3 6 x x e e

x + + +C D.

3 4 4 3 6 x x e e

(68)

Dạng tốn 2. TÍNH NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Bài tốn tổng qt: Tính ngun hàm ( ) , ( )

P x

I dx

Q x

=ò ⋅ với P x( ) và Q x( ) là các đa thức khơng căn.

Phương pháp giải:

— Nếu bậc của tử số P x( )³ bậc của mẫu số Q x( ) ¾¾ ¾PP  Chia đa thức.

— Nếu bậc của tử số P x( )< bậc của mẫu số Q x( ) ¾¾ ¾PP  Xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

1 1

( ) ( )

a b

ax m bx n an bm ax m bx n

ổ ửữ

ỗ ữ

Ã = ỗỗỗ - ữữ + + - ố + + ø

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A B m

mx n A B A B x Ab Ba

Ab Ba

x a x b x a x b x a x b

ìï + =

+ + ⋅ - + ï

· = + =  íï + =

⋅ - - - - ⋅ - ïỵ

2

1

,

( ) ( )

A Bx C

x m

x m ax bx c ax bx c

+

· = +

⋅ + + + + với

2 4 0.

b ac D = - <

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b

x a x b x a x b

· = + + + ⋅

-

⋅ - - -

+ Nếu mẫu số khơng phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).

BT 5. Tính các nguyên hàm sau:

a) 2 1

1

x

I dx

x

+

= ⋅ ⋅

-ò ĐS: I =2x +3 lnx- +1 C.

b) 3 1

2

x

I dx

x

+

= ⋅ ⋅

-ò ĐS: I =3x+7 lnx- +2 C. c) 3 13

( 1)

x

I dx

x

+

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 3 1 2 .

1 ( 1)

I C

x x

= - + +

+ +

(69)

Trang 69

d) 1

2 3

x

I dx

x

+

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 1ln 2 3 .

2 4

x

I = - x + +C

e)

4

2

3 2 1

x x x

I dx

x

- +

-=ò ⋅ ⋅ ĐS:

3 1

3 2 ln .

3

x

I x x C

x

= - + + +

f) 1

2

x x

I dx

x

+ +

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS:

2

3 ln 2 .

2

x

I = - +x x+ +C

g) 4 6 1

2 1

x x

I dx

x

+ +

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 2 1ln 2 1 .

2

I =x + x- x+ +C

h)

3

4 4 1

2 1

x x

I dx

x

+

-= ⋅ ⋅

+

ò ĐS:

3

2 1

ln 2 1 .

3 2 2 2

x x x

I = + - - x + +C

i)

( 1)

dx I

x x

= ⋅

⋅ +

ò ĐS: ln .

1

x

I C

x

= +

+

j) 2

4

dx I

x

= ⋅

-ò ĐS: 1ln 2 .

4 2

x

I C

x

-= +

+

k) 2

6 9

dx I

x x

= ⋅

- +

ò ĐS: 1 .

3

I C

x

= - + -

l) 2

6 5

dx I

x x

= ⋅

- +

ò ĐS: 1ln 5 .

4 1

x

I C

x

-= +

-

m) 2

2 3

dx I

x x

= ⋅

+

-ò ĐS: 1ln 1 .

5 2 3

x

I C

x

-= +

+

(70)

n) 2

2 7 5

dx I

x x

= ⋅

- +

ò ĐS: 1ln 2 5 .

3 1

x

I C

x

-= +

-

o) 24 5

2

x

I dx

x x

-= ⋅ ⋅

-ò ĐS: I =lnx- +2 3 lnx+ +1 C. p) 24 11

5 6

x

I dx

x x

+

= ⋅ ⋅

+ +

ò ĐS: I =3 lnx + +2 lnx + +3 C.

q) 2 1

6

x

I dx

x x

+

= ⋅ ⋅

-ò ĐS: 1ln 2 4 ln 3 .

5

I = x+ + x- +C

r) 25 3

3 2

x

I dx

x x

-= ⋅ ⋅

-

-ò ĐS: I = -2 lnx- +1 7 lnx- +2 C. s) 1 22

2

x

I dx

x x

-= ⋅ ⋅

-ò ĐS: 1ln 3ln 2 .

2 2

I = - x - x- +C

t)

2 7 12

x dx I

x x

= ⋅

- +

ò ĐS: I = +x 16 lnx- -4 9 lnx- +3 C. u)

2

1 1

x

I dx

x

+

= ⋅ ⋅

-ò ĐS: ln 1 .

1

x

I x C

x

-= + +

+ v)

2 2

x

I dx

x

= ⋅ ⋅ +

ò ĐS: 1 2 4 ln 2 .

2

I = x - x+ x+ +C

w) 23 2

4 4 1

x

I dx

x x

+

= ⋅ ⋅

- +

ò ĐS: 3ln 2 1 7 .

4 4(2 1)

I x C

x

= - - +

-

(71)

Trang 71 x)

2 3

2

x x

I dx

x

-= ⋅ ⋅

-ò ĐS:

3 2

ln .

3 2

x x

I x C

x

-= - - - +

+

y) 2

( 2)

x x

I dx

x

+

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 3 ln 2 2 .

2

I x x C

x

= - + - + + z) 2. 2 2

(1 )

x dx I

x

= ⋅

-ò ĐS: 1 ln 1 1 1 .

4 1 1 1

x

I C

x x x

ỉ - ư÷

ỗ ữ

= ỗỗ - - ữ+ ữữ

ỗ + - +

ố ứ

a)

2

2 5 3

2

x x

I dx

x x x

-

-= ⋅ ⋅

+

-ò ĐS: 3ln 2 ln 1 5ln 2 .

2 2

I = x - x- + x- +C

b)

2

2 8 10

4 4

x x

I dx

x x x

- +

= ⋅ ⋅

+ -

-ò

ĐS:

1 20 17

ln 2 ln 1 ln 2 .

6 3 2

I = x- - x + + x + +C

c)

3

1

5 6

x

I dx

x x x

+

= ⋅ ⋅

- +

ò

ĐS:

1 9 28

ln ln 2 ln 3 .

6 2 3

I = +x x - x- + x- +C

d)

2

3 3 3

3 2

x x

I dx

x x

+ +

= ⋅ ⋅

- +

ò ĐS: 2 ln 1 ln 2 3 .

1

I x x C

x

= - + + - +

(72)

e) 3

( 1)

dx I

x x

= ⋅

⋅ +

ò ĐS: ln 1ln( 1) .

3

I = x - x + +C

C ‐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 122. Một nguyên hàm của hàm số 3 5

2

x y

x

+ =

+ là:

A. F x( )=3x +4 ln x+ +2 C B. F x( )= -3x+lnx + +2 C

C. F x( )=3x-lnx + +2 C D. F x( )=3x+ln x+ +2 C

Câu 123. Một nguyên hàm của hàm số ( )

1

x f x

x

=

+ là:

A. lnx+1 B. x+lnx +1 C. x-lnx +1 D. 2 lnx +1

Câu 124. Cho hàm số

2

2 1

( )

2 1

x x

f x

x x

+ -=

+ + . Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(1)=0 là:

A. 2 2

1

x x

+

-+ B.

2 2

1

x x

+ +

+ C. ( ) 2 ln 1

x- x + D.

2 2

1

x x

- +

+

Câu 125. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số ( ) ( )

( )2 2

1

x x

f x x

+ =

+ ?

A.

2 1

1

x x

x

-+ B.

2 1

1

x x

x

+ +

+ C.

1

x

x+ D.

2 1

1

x x

x

+ -+

Câu 126. Cho hàm số ( ) ( )

2

3 1

x f x

x

+

= . Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa

( )1 4

F = - là :

A.

2 2

2 ln 4

2

x

x x

+ - + B.

2

2 1

2 ln 4

2 2

x

x x

+ - +

C.

2 2

2 ln 4

2

x

x x

+ - - D. F x( )=x3-2x +C

Câu 127. Nguyên hàm của hàm số ( )

3 1 1

x f x

x

-=

+ là:

A. ( )

3

2 ln 1

3 2

x x

(73)

Trang 73

( ) 2 ln 1

3 2

x x

F x = - + -x x+ +C

C. ( )

3

ln 1

3 2

x x

F x = - + -x x + +C D.

( ) 2 ln 1

3 2

x x

F x = - - -x x+ +C

Câu 128. Gọi hàm số F x( )là một nguyên hàm của

3

2

3 3 1

( )

2 1

x x x

f x

x x

+ + -=

+ + , biết 1

(1) 3

F = . Vậy F x( ) là:

A.

2 2 13

( )

2 1 6

x

F x x

x

= + +

-+ B.

2 2 13

( )

2 1 6

x

F x x

x

= + + + +

C.

2 1

( )

2 1

x

F x x C

x

= + + +

+ D.

2 2

( )

2 1

x

F x x

x

= + + +

Câu 129. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

2 2 1

( ) x x

f x

x

- +

= biết (1) 1 2

F = . Kết

quả là:

A.

2

( ) 2 ln 2

2

x

F x = - x+ x+ B.

2

( ) 2 ln 2

2

x

F x = - x+ x-

C.

2 1

( ) 2 ln

2 2

x

F x = - x+ x+ D.

2 1

( ) 2 ln

2 2

x

F x = - x+ x-

Câu 130. Ta có:

( )

2

3

3 3 3

( ) 2

1 2

3 2 1

1

A

x x A B C

f x B

x x

x x x

C

ìï = ïï

+ + ï

= = + + íï =

-

+ - ï

= ïïỵ

.

Tính ị f x dx( ) =F x( )+C, ta được kết quả là:

A.

( )2

3 2 1

( )

1 1 2

F x C

x x x

= + + +

- - +

B. ( ) 3 2 ln 1 ln 2

1

F x x x C

x

= - + - + - +

-

C. ( ) 3 ln 1 2 ln 2

1

F x x x C

x

= - - + - +

-

D. ( ) 3 ln 1 2 ln 2 1

1

F x x x C

x

= - - + + - + -

Câu 131. Nguyên hàm của hàm số f x( ) 1 12

x x

= - là :

A. lnx-lnx2 +C B. lnx 1 C

x

- + C. lnx 1 C x

+ + D. Kết quả khác

Câu 132. Tính nguyên hàm 1

2x+1dx

(74)

A. 1ln 2 1

2 x + +C B. -ln 2x + +1 C C. 1

ln 2 1

2 x C

- + + D. ln 2x + +1 C

Câu 133. Nguyên hàm của hàm số f x( ) =

4 2x 3

x

+ là :

A.

3

2 3

3

x

C x

- + B.

2

2 3

3

x

C x

- + C.

2 2

3 ln 3

x

x C

- + D. Kết quả khác

Câu 134. Kết quả của 2

1

x dx

x

-ò là:

A. 1-x2 +C B.

2 1

1 x C

-+

- C. 1

1-x +C D.

2

1 x C

- - +

Câu 135. Một nguyên hàm của hàm số ( )

1

x f x

x

=

+ là:

A. F x( )=lnx +1 B. F x( )= +x lnx+1

C. F x( )= -x lnx+1 D. F x( )=2 lnx +1

Câu 136. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sin4x+cos4x ?

A. ( ) 1sin 4 4

F x = +x x B. ( ) 1 sin 4

4

F x = x + x

C. ( ) 3 1 sin 4

4 16

F x = x + x D. ( ) 3 1cos 4

4 4

F x = x- x

Câu 137. Một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 1

2 5

f x x

=

+ là

A. ( ) 1ln 2 5 2016

2

F x = x + + B. F(x)=ln 2x +5

C.

( )2

2 ( )

2 5

F x

x

=

-+ D. ( )2

1 ( )

2 5

F x

x

=

-+

( )2

1 1 2

y f x

x

= =

+ là:

A. ( ) 1. 1

2 1 2

F x C

x

-= +

+ B. ( ) ( )

2 ln 1 2

F x = + x +C

C. ( ) 1. 1

2 1 2

F x C

x

= +

+ D. ( )

1 1 2

F x C

x

-= +

+

Câu 139. Nguyên hàm của hàm số ( ) sin 2 1

4 3

y f x x

x

= = +

- là:

A. ( ) 1.cos 2 1.ln 4 3

2 4

(75)

Trang 75 ( ) 1.cos 2 1.ln 4 3

2 4

F x =- x + x- +C

C. ( ) cos 2 1.ln 4 3 4

F x = x+ x- +C D.

( ) 1.cos 2 ln 4 3 2

F x =- x+ x- +C

A. 4 4 ln 2 1

2x-1dx = x- +C

ò B. 2x 1dx 2x lnx C

x

+ = + +

ò

C. 2 ln 2 1

2x-1dx = x- +C

ò D.

2 1

2 ln 1

1

x dx x x C

x

+

= - + + +

ò

A. 2 1 5ln 3 4

3 4 2 8

x x

dx x C

x

+ = - - - +

-ò B. 1 2 ln 1

1

x

dx x x C

x

+ = + - +

-ò

C. 2 2 ln 1

1dx x C

x- = - +

ò D. 6 3 ln 2( 3)

2x+3dx = x+ +C

ò

Câu 142. Nguyên hàm của hàm số:

3 1

x

y dx

x

=

-ò là:

A. 1 1 ln 1

3x +2x + +x x- +C B.

3

1 1

ln 1

3x +2x + +x x + +C

C. 1 1 ln 1

6x +2x + +x x- +C D.

3

1 1

ln 1

3x +4x + +x x- +C

Câu 143. Nguyên hàm của hàm số 22 3 .

2 1

I x dx

x x

= ò +

- - là:

A. F(x) = 2ln 2 1 5ln 1

3 x+ - 3 x- +C B. F(x) =

2 5

ln 2 1 ln 1

5 x 2 x C

= + + - +

C. F(x) = 2ln 2 1 5ln 1

3 x 3 x C

= - + + - + D. F(x) =

2 5

ln 2 1 ln 1

3 x 3 x C

- - + - +

2

3 1

x

dx x

-=

ò

A.

2 1 2 ln

3 2

x x C

x

- + + B.

3

2 1 2 ln 3

x x C

x

- - +

C.

3

2 1 2 ln

3 2

x

x C

x

- - + D.

3

2 1 2 ln

3 3

x

x C

x

(76)

Câu 145. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) ( )2

2 1

x x

f x x

+ =

+

A. ( )

2 1

1

x x

F x

x

-=

+ B. ( )

2 1

1

x x

F x

x

+ -=

+

C. ( )

2 1

1

x x

F x

x

+ + =

+ D. ( )

2 1

x F x

x

= +

(77)

Trang 77 Dạng tốn 3. TÍNH NGUN HÀM BẰNG

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Định lý: Cho ị f u du( ) =F u( )+C và u=u x( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ) ( ) ( ) .

f u xëéê ûùú⋅u x dx¢ ⋅ =F u xéêë ùúû+C

ị

1. Đổi biến số dạng 1: đặt t =j( ).x

· 1

2

( ) .

1 ( 1) ,

1

( ) 2

PP n

m n

PP n n

n

PP n

I f ax b xdx t ax b dt a dx

x

I dx t x dt n x dx

ax

I f ax b xdx t ax b dt ax dx

+ +

é = + ⋅ ¾¾¾ = +  = ê

ê

ỉ ư

ờ ỗ ữ

ờ = ỗỗ ữữ ắắắ = + = + ờ ỗố + ữứ

ê

ê = + ⋅ ¾¾¾ = +  = ê

ë

ò ò ò

với

, .

m n Ỵ

· I = ũ n f x( )f x dxÂ( ) ắắ ¾PP 

Đặt t= n f x( ), trừ một số trường hợp đổi biến dạng 2.

·

1 (ln )

1

( ln )

I f x dx

x

I f a b x dx

x

é

ê = ⋅ ⋅ ê

ê

ê = + ⋅ ⋅ ê

ë

ò

PP

¾¾ ¾ Đặt ln ln

t x

t a b x

é =

ê ⋅

ê = +

êë

· I = f e( )x ⋅e dxx⋅

ị ¾¾ ¾PP  Đặt t =ex.

· I = ò f(cos ) sinx ⋅ xdx ¾¾ ¾PP  Đặt t =cosx dt = -sinxdx. · I = ị f(sin ) cosx ⋅ xdx ¾¾ ¾PP  Đặt t =sinx dt =cosxdx.

· (tan ) 12

cos

I f x dx

x

= ò ⋅ ¾¾ ¾PP 

Đặt

2

1

tan (1 tan )

cos

t x dt dx x dx

x

=  = = +

· (cot ) 12

sin

I f x dx

x

= ị ⋅ ¾¾ ¾PP 

Đặt

2

1

cot (1 cot )

sin

t x dt dx x dx

x

=  = - ⋅ = - +

· I =ị f(sin ;cos ) sin 22x 2x ⋅ xdx ¾¾ ¾PP  Đặt

2

sin sin 2

cos sin 2

t x dt xdx

é =  =

ê ⋅

ê =  =

-êë

· I = ò f(sinx cos ) (sinx ⋅ xcos )x dx⋅ ¾¾ ¾PP  Đặt t =sinxcos x 2. Đổi biến số dạng 2: đặt x =j( ).t

· I =ị f a( 2-x2)⋅x dx2n ¾¾ ¾PP  Đặt x =a.sint dx =a.cos t dt · I =ị f( x2+a2)⋅x dx2n ¾¾ ¾PP  Đặt .tan 2

cos

adt

x a t dx

t

(78)

· I =ị f( x2-a2)⋅x dx2n ¾¾ ¾PP  Đặt sin2

cos cos

a a t

x dx dt

t t

=  = ⋅ ⋅

·

2 ( ) n

dx I

x a ax bx c

=

- + +

ị ¾¾ ¾PP  Đặt x a 1 dx dt2

t t

- =  = - ⋅

· I = Rén1ax +b, ,nkax + ⋅b dxù

ê ú

ë û

ị ¾¾ ¾PP  Đặt tn =ax+b với

{ }

. ; ; ; k

n =B C N N n n n ⋅

·

( )( )

dx I

x a x b

=

+ +

ò ¾¾ ¾PP  Đặt 0

0 0

0

x a

t x a x b

x b

x a

t x a x b

x b

ì ì

ï ï + >

ï ï

ï = + + + í

ï ï + >

ï ï

ï ỵ ⋅

í ì

ï ï + <

ï ï

ï = - - + - - í

ï ï + <

ï ï

ï ỵ

ỵ

BT 7. Tính các ngun hàm sau:

a) I = x⋅ -(1 x)2015⋅dx⋅

ò ĐS:

2016 2017

(1 ) (1 )

.

2016 2017

x x

I = - - + - +C

b) I = x x⋅( 2+1)3dx⋅

ò ĐS:

4

( 1)

. 8

x

I = + +C

c) I = x2⋅(x-1)9⋅dx⋅

ò ĐS:

12 11 10

( 1) 2( 1) ( 1)

.

12 11 10

x x x

I = - + - + - +C

d) I = x3⋅(2-3 )x2 8⋅dx⋅

ò ĐS:

2 10

(2 3 ) (2 3 )

.

180 81

x x

I = - - - +C

(79)

Trang 79

e) 2

2

xdx I

x

= ⋅

+

ò ĐS: 1ln 2 .

2

I = x + +C

f) 2 2

( 1)

x

I dx

x

= ⋅

+

ò ĐS: 2 ln 1 2 .

1

I x C

x

= + + +

+

g) 5

( 1)

x

I dx

x

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 1 3 1 1 1 .

4 1 3

( 1)

I C

x x

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗỗ - ÷÷+ +

+ è ø

h)

3

2

1 x

I dx

x ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ ữữ ỗ +

ố ứ

ũ S: 1 2 1 2 2 .

2(1 ) 4(1 )

I C

x x

= - + +

+ +

i)

3

2

1 1

1

I dx

x x ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ ỗố ứ

ũ ĐS: 14 13 32 1 .

4 2

I C

x

x x x

= - - - - +

j) 2

( 1)

xdx I

x

= ⋅

+

ò ĐS: ln 1 1 .

1

I x C

x

= + - + +

k) 3

(2 1)

xdx I

x

= ⋅

+

ò ĐS: 1 1 2 1 .

2 4(2 1) 2(2 1)

I C

x x

é ù

ê ú

= ⋅ê - ú+ + +

ë û

(80)

l)

5 1

x

I dx

x

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS:

4

2 1

ln( 1) .

4 2 2

x x

I = - + x + +C

m) 10 4

x

I dx

x

= ⋅

-ò ĐS:

5

1 2

ln .

20 2

x

I C

x

-= +

+

n)

1

x dx I

x

= ⋅

+

ò ĐS:

3

ln 1 .

3 2

x x

I = - + -x x+ +C

a)

2 ( 1)

2 4

x dx

I

x x

+

= ⋅

+

-ò ĐS: I = x2 +2x- +4 C.

b) I = x 2-x dx2 .

ò ĐS:

2

(2 )

. 3

x

I = - - +C

c)

2

2 4

xdx I

x

= ⋅

+

ò ĐS: 3 3( 4)2 .

2

I = x + +C

d)

1

x dx I

x

= ⋅

-ò ĐS:

2

2(3 4 8) 1

. 15

x x x

(81)

Trang 81

e) I = 5 1x -x dx2 .

ò ĐS:

4 15

(1 ) .

8

I = - -x +C

f) I =ò x5 (1 ) 3 - x2 2dx ĐS:

4 2

3(20 4 3) (1 )

. 320

x x x

I = - - - +C

g) 4 1 .

2 1 2

x

I dx

x

-=

+ +

ò ĐS:

2 1 4 2 1 5 ln 2 1 2 .

I = x + - x + + x+ + +C

h)

2 . 4

x

I dx

x

=

-ò ĐS:

2

(4 )

4 4 .

3

x

I = - - -x +C

i)

2 4

dx I

x x

= ⋅

+

ò ĐS:

2

1ln 4 2 .

4 4 2

x

I C

x

+

-= +

+ +

j)

3

2

2 3

. 1

x x x

I dx

x x

- + =

- +

ò ĐS:

2

2 ( 1)

2 1 .

3

x x

I = - + - x - + +x C

(82)

k) I = sin cos 3x x dx

ò ĐS: 2 (cos3 7 cos ) cos .

21

I = x- x x +C

l)

1 x

dx I

e

= ⋅

+

ò ĐS: ln 1 1 .

1 1

x x

e

I C

e

+

-= +

+ +

m)

2 ln 1 3 ln

dx I

x x x

= ⋅

+

ò ĐS:

2

1ln 1 3 ln 1 .

2 1 3 ln 1

x

I C

x

+

-= +

+ +

n)

2 1

xdx I

x x

= ⋅

+

-ò ĐS:

2

3 ( 1)

.

3 3

x x

I = + - +C

a) I ln2x 1dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS:

3 ln

. 3

x

I = +C

b) 3 ln 1 ln

x

I dx

x x

+

=ò ⋅ ĐS: I =3 lnx+ln lnx +C.

c) I (1 ln )x 1dx x

=ò + ⋅ ⋅ ĐS:

2 (1 ln )

. 2

x

(83)

Trang 83

d) ln 1

1 ln

x

I dx

x x

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS:

3 2 (1 ln )

2 1 ln .

3

x

I = + - + x +C

e)

2

ln 2x ln xdx I

x

+

=ò ⋅ ĐS: 3 3(2 ln )2 .

8

I = + x +C

f)

3

2 log 1 3 ln

x

I dx

x x

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS:

2

(1 3 ln ) 1

1 3 ln .

3 9 ln 2

x

I x C

ổ + ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ - + ữữ+

ỗ ữ

è ø

BT 10.Tính các nguyên hàm sau:

a)

1

x

dx I

e

= ⋅

-ò ĐS: ln 1 .

x x

e

I C

e

-= +

b)

2

x

dx I

e

= ⋅

+

ò ĐS: 1ln .

2 2

x x

e

I C

e

= +

+

c)

2 3

x x

dx I

e e

-= ⋅

+

-ò ĐS: ln 2 .

1

x x

e

I C

e

-= +

-

(84)

d)

x

x x

e

I dx

e e

-= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 1ln 1 .

2

x

I = e + +C

e)

4.

x x

dx I

e e

-= ⋅

-ò ĐS: 1ln 2 .

4 2

x x

e

I C

e

-= +

+

f) (1 )3

x x

e

I dx

e

+

=ò ⋅ ⋅ ĐS:

2

(1 ) 2(1 ) 3 1 .

2

x

e

I e x C

e

+

= + + + - +

g) 2 3

3 2

x x

e e

I dx

e e

+

= ⋅ ⋅

+ +

ò ĐS: 1ln( 3 2) 3ln 1 .

2 2 2

x

x x

x

e

I e e C

e

+

= + + + +

+

h)

2

1

x x

e

I dx

e

= ⋅ ⋅

-ò ĐS:

3 2 ( 1)

1 .

3

x

e

I = - +e - +C

i)

x x

dx I

e e

= ⋅

-ò ĐS: 2 ln 1 .

x x

I = ỗỗỗỗổe- + e- + ửữữữữ+C

ữ

ỗố ứ

j)

1

x

dx I

e

= ⋅

+

ò ĐS: 2 ln .

1

x x

e

I C

e

= +

+

(85)

Trang 85

a) cos 1 sin

xdx I

x

= ⋅

+

ò ĐS: I =ln 1+sinx +C.

b) (2 sin 3)cos

2 sin 1

x x

I dx

x

-= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 1(2 sin 1) 4 ln sin 1 . 2

I = x+ - x+ +C

c) 3 cos 2

(1 sin )

xdx I

x

= ⋅

-ò ĐS: 3 .

1 sin

I C

x

= +

-

d) 2 cos

3 2 sin

xdx I

x

= ⋅

+

ò ĐS: ln sin 3 .

2

I = ổỗỗỗ x + ửữữữữ+C

ỗố ø

e) I = sin cos 2x 3x dx

ò ĐS:

3

sin sin

.

3 5

x x

I = - +C

f) 1 sin2 1 sin 2

x

I dx

x

-= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 1ln 1 sin 2 .

2

I = + x +C

g) cos23 sin

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS: 1 sin .

sin

I x C

x

= - - +

(86)

h) sin 2 2

(2 sin )

x

I dx

x

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: 2 ln(2 sin ) 4 .

2 sin

I x C

x

= + + +

+

i) I = esinx.cos x dx

ò ĐS: I =esinx +C.

j) I = (cos3x-1).cos 2x dx

ò ĐS:

5

sin 2 sin sin 2 sin 2 .

5 3 4

x x x

I x C

x

= - + + + +

k) cos 2

6 5 sin sin

xdx I

x x

= ⋅

- +

ò ĐS: ln 3 sin .

2 sin

x

I C

x

ổ - ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ ữữ+ ỗ

-ố ứ

l) cos 2

11 sin cos

xdx I

x x

= ⋅

-

-ò ĐS: 1ln 5 sin .

3 2 sin

x

I C

x

-= +

-

a) sin 1 cos

xdx I

x

= ⋅

+

ò ĐS: I = -ln 1+cosx +C.

b) 4 sin3 1 cos

x

I dx

x

= ⋅ ⋅

+

(87)

Trang 87

c) I = cos2xsin3xdx

ò ĐS:

5

cos cos

.

5 3

x x

I = - +C

d) sin cos 1 cos

x x

I dx

x

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: cos cos2 ln cos 1 .

2

x

I = - x- x+ +C

e) sin 42

1 cos

x

I dx

x

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: I =6 ln(3+cos )x -2 cos 2x- +6 C.

f) sin sin 3

cos 2

x x

I dx

x

+

=ò ⋅ ⋅ ĐS: 2ln 2 cos 1 2 cos .

2 2 cos 1

x

I x C

x

+

= - +

+

g) 3

tan .sin (1 sin )

4 2

cos

x

x x

I dx

x p

ỉ ư÷

ỗ + ữ -ỗ ữ

ỗ ữ ỗố ø

=ò ⋅ ⋅ ĐS: 1 .

cos

I C

x

= +

h)

3 sin cos

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS: 13 1 .

cos 3 cos

I C

x x

= - +

(88)

a) tan2 cos

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS:

2 tan

. 2

x

I = +C

b)

4 sin cos

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS:

5 tan

. 5

x

I = +C

c)

4 tan cos 2

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS:

3

tan tan 1ln tan 1 .

3 2 tan 1

x x

I x C

x

-= - - - +

+

d) 2 2

5 cos 8 sin cos 3 sin

dx I

x x x x

= ⋅

- +

ò ĐS: 1ln 3 tan 5 .

2 tan 1

x

I C

x

-= +

-

e) (1 sin )3 4

2 sin cos cos

x dx I

x x x

+ ⋅

= ⋅

+

ò ĐS:

2

tan 3 tan 1

ln tan 1 .

4 4 8

x x

I = + + x+ +C

f) 4 2

cos sin

dx I

x x

=ò ⋅ ĐS:

3

tan 2 tan 1 .

3 tan

x

I x C

x

= + - +

g)

cos cos 4

dx I

x x p

=

ổ ửữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ

ũ ĐS: I = - 2 ln 1-tanx +C.

(89)

Trang 89

h)

tan 4 cos 2

x

I dx

x p

ổ ửữ ỗ - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ

=ũ S: 1 .

1 tan

I C

x

= +

+

a)

2 cos sin

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS: 1cot3 .

3

I = - x+C

b)

2 cos sin

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS:

7

15 cot 42 cot 35 cot

. 105

x x x

I = + + +C

c)

4

sin cot

dx I

x x

= ⋅

⋅

ò ĐS: 4 4cot3 .

3

I = - x +C

d) 3

cos sin

dx I

x x

=ò ⋅ ĐS: ln cot 1cot2 .

2

I = - x - x +C

e)

sin sin 6

dx I

x x p

=

ổ ửữ ỗ + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ

ũ S:I = -2 ln cotx +C.

f) sin 3

(sin cos )

x dx I

x x

= ⋅

+

ò ĐS: 1 2 .

2(1 cot )

I C

x

= +

(90)

a) sin cos sin cos

x x

I dx

x x

-= ⋅ ⋅

+

ò ĐS: I = -ln sinx +cosx +C.

b) cos 2

sin cos 2

xdx I

x x

= ⋅

+ +

ò ĐS: I =sinx+cosx+ -2 2 ln sinx+cosx+2

c) cos 2 3

(sin cos 2)

x dx I

x x

⋅

= ⋅

+ +

ò

ĐS: 1 2 1 .

sin cos 2

(sin cos 2)

I C

x x

= - +

+ +

d) I = sin (1x +sin ) 2x dx3

ò ĐS:

2 (1 sin )

. 4

x

I = + +C

a)

2 1

dx I

x

= ⋅

-ò ĐS:

2 .

1

x

I C

x

= +

-

b)

2 9

dx I

x x

= ⋅

-ò ĐS:

2

9 .

9

x

I C

x

-= - +

(91)

Trang 91 c)

2

( 1)

dx I

x

= ⋅

+

ò ĐS:

2 1 .

x

I C

x

= +

+

d)

2 25

dx I

x x

= ⋅

-ò ĐS:

2 25

. 25

x

I C

x

-= - +

e)

3

2 1

x

I dx

x

= ⋅

+

ò ĐS: 1( 2) 1 .

3

I = x - +x +C

f)

2 1 x

I dx

x

-=ò ⋅ ĐS:

3 2

(1 )

. 3

x

I C

x

-= - +

g)

2 4

dx I

x

= ⋅

-ò ĐS: I =lnx+ x2-4 +C.

Câu 146. Tính

2 1

2 5

x

dx

x x

+

ò

A.

2 2

2 5

x

C

x x

-+

- + B.

2

2 x -2x+ +5 C

C.

2 2 5

2

x x

C

- +

+ D. x2-2x+ +5 C

Câu 147. Họ nguyên hàm của hàm số ( )

2 1

x f x

x

=

(92)

A. F x( )=ln x2+ +1 C B. F x( )= x2+ +1 C

C. F x( )=2 x2+ +1 C D. ( )

( ) 2

3 1

F x C

x

= +

+

Câu 148. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=cos x esinx là

A. F x( )=esinx B. F x( )=ecosx C. F x( )=e-sinx D.

( ) sin sinx

F x = x e

Câu 149. Cho hàm số f x( )=x x( +1)2016 . Khi đó :

A. ( ) ( )

2017 1

4034

x

f x dx = + +C

ò B. ( ) ( )

2016 1

4032

x

f x dx = +

ò

C. ( ) ( )

2016 1

2016

x

f x dx = +

ò D. ( ) ( )

2017 1

2017

x

f x dx = +

ò

Câu 150. Hàm số F x( )=ex2 là nguyên hàm của hàm số

A. f x( )=2xex2 B. f x( )=e2x C. ( )

2

x

e f x

x

= D.

( ) 2

1

x

f x =x e -

Câu 151. Họ các nguyên hàm của hàm số f x( )= tanx là:

A. ( ) 12

cos

F x C

x

= + B. ( ) 12 sin

F x C

x

= +

C. F x( )=ln cosx +C D. F x( )= -ln cosx +C

Câu 152. Kết quả của ò cosx s inx+1dxbằng:

A. ( ) 2 (s in 1)3

3

F x = x + +C B. ( ) 2 (s in 1)3

3

F x = - x + +C

C. ( ) 2 (s in 1)

3

F x = x + +C D. ( ) 2(s in 1)3

3

F x = x+ +C

Câu 153. Kết quả của

3

x x

e dx

e +

ò bằng:

A. F x( )= ex + +3 C B. F x( )=2 ex + +3 C

C. F x( )=ex + +3 C D. ( )

3

x x

e

F x C

e x

= +

+

Câu 154. Hàm số f x( ) lnx

x

= có các nguyên hàm là:

A. F x( )=ln2x +C B. ( ) 1ln

2

F x = x+C

C. ( ) 1ln2

2

F x = x +C D. ( ) 12

.

F x C

x x

(93)

Trang 93

Câu 155. Hàm số ( ) ln (1 )

ln

x

f x x

x x

= + có các nguyên hàm là:

A. F x( )=ln2x +x2+C B.

2

ln ( )

2

x x

F x = + +C

C.

2 ln

( ) 2

x

F x = +x +C D.

2

( ) ln (ln )

2 ln

x

F x x x C

x

= + +

Câu 156. Gọi hàm số F x( )là một nguyên hàm của ( ) 1

s in

f x

x

= ,bit 1 2

ỗố ứ

p

.Vy

( )

F x là:

A. ( ) 1ln 1 cos 1

2 1 cos

x F x

x

+

= +

- B.

1 1 cos

( ) ln

2 1 cos

x F x

x

+ =

-

C. ( ) ln 1 cos 1

1 cos

x F x

x

+

= +

- D.

1 1 cos

( ) ln 1

2 1 cos

x F x

x

-= +

+

Câu 157. Gọi F x( )là nguyên của hàm số

2 ( )

8

x f x

x

=

- thỏa mãn F(2)=0. Khi đó phương trình F x( )=x có nghiệm là:

A. x =0 B. x =1 C. x = -1 D.

1 3

x = -

Câu 158. Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:

A. 1sin3 1sin5

3 x-5 x+C B.

3

1 1

sin sin

3 x 5 x C

- + +

C. sin3x sin5x + C D. Đápán khác.

Câu 159. Một nguyên hàm của hàm số:

3

2 2

x y

x

=

- là:

A. F x( )=x 2-x2 B. 1( 4) 2

3 x x

- + -

C. 1 2

3x x

- - D. 1( 4) 2

3 x x

- - -

Câu 160. Hàm số nào dướiđây là một nguyên hàm của hàm số:

2 1 4

y

x

=

+ A. F x( )= -ln(x- 4+x2) B. F x( )=ln(x + 4+x2)

C. F x( )=2 4+x2 D. F x( )= +x 2 4+x2

Câu 161. Một nguyên hàm của hàm số: f x( )=xsin 1+x2 là:

A. F x( )= - 1+x2cos 1+x2 +sin 1+x2

B. F x( )= - 1+x2cos 1+x2 -sin 1+x2

C. F x( )= 1+x2 cos 1+x2 +sin 1+x2

(94)

Câu 162. Một nguyên hàm của hàm số: f x( )=x 1+x2 là:

A. ( )

2 1

( ) 1

2

F x = +x B. ( )

3 1

( ) 1

3

F x = +x

C. ( )

2

( ) 1

2

x

F x = +x D. ( )

2 1

( ) 1

3

F x = +x

Câu 163. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( )=x(1-x)2015, ta được kết quả là:

A. ( ) 1 (1 )2017 1 (1 )2016

2017 2016

F x = -x + -x +C

B. ( ) 1 (1 )2017 1 (1 )2016

2017 2016

F x = -x - -x +C

C. ( ) 1 (1 )2017 1 (1 )2016

2017 2016

F x = - -x + -x +C

D. ( ) 1 (1 )2017 1 (1 )2016

2017 2016

F x = - -x - -x +C

Câu 164. Tìm nguyên hàm F x( ) biết

2 2 ( )

1

x f x

x x

=

+ - . Kết quả là:

A. ( ) 2 2( 1) 1

3 3

F x = x - x - x - B. ( ) 2 2( 1) 1

3 3

F x = x + x - x -

C. ( ) 2 2( 1) 1

3 3

F x = x - x + x - D. ( ) 2 2( 1) 1

3 3

F x = x + x + x -

Câu 165. Tính:

2 1

x

P dx

x

+

= ò

A. P =x x2 + - +1 x C B.

( )

2 1 ln 1

P = x + + x + x + +C

C.

2 1 ln 1 x 1

P x C

x

+ +

= + + + D. Đápán khác.

Câu 166. Tìm nguyên hàm F x( ) biết ( ) sin

sin cos

x f x

x x

=

+ . Kết quả là: A. ( ) 1( ln sin cos )

2

F x = x- x + x +C B.

( )

1

( ) ln sin cos

2

F x = x+ x+ x +C

C. ( ) 1( ln sin cos ) 2

F x = x- x- x +C D.

( )

1

( ) ln sin cos

2

F x = x + x- x +C

Câu 167. Tìm nguyên hàm F x( )biếtf x( )=cos cos sin 4x x x . Kết quả là:

A. ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1cos

28 20 12 4

(95)

Trang 95

B. ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1cos

28 20 12 4

F x = - x- x+ x + x +C

C. ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1cos

28 20 12 4

F x = x+ x- x- x +C

D. ( ) 1 cos 7 1 cos 5 1 cos 3 1cos

28 20 12 4

F x = - x+ x- x+ x +C

Câu 168. Tìm nguyên hàm F x( ) biết f x( )= x sin x . Kết quả là:

A. F x( )= -2 cosx x +4 x sin x +4 cos x +C

B. F x( )= -2 cosx x -4 x sin x +4 cos x +C

C. F x( )= -2 cosx x +4 x sin x -4 cos x +C

D. F x( )=2 cosx x +4 x sin x +4 cos x +C

Câu 169. Tính ngun hàm ịxex2+1dx, ta được:

A. ( ) 1

2

x

F x = e + +C

B. ( ) 1

2

x

F x = e - +C

C. ( ) 1

2

x

F x = - e + +C

D. ( ) 1

2

x

F x = e +C

Câu 170. Tính 2 x ln 2dx

x

ò . Kết quả sai là:

A. F x( )=2 2( x - +1) C B. F x( )=2 2( x +1)+C

C. F x( )=2 x +C D. F x( )=2 x+1+C

Câu 171. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của

2 1 ( )

1

f x

x

=

+ ?

A.

2 ( )

1

x F x

x

=

-+ B.

2 ( ) ln 1

F x = +x

C. F x( )=ln(x + 1+x2) D. F x( )=ln(x- 1+x2)

Câu 172. Nguyên hàm của hàm số ( ) 2

1

x f x

x

=

+ là

A. ( ) 1ln( 1)

2

F x = x + +C B. F x( )=ln(x2+1)+C

C. F x( )=2x+C D. ( ) 1ln 1

2 1

x

F x C

x

-= +

+

Câu 173. Tìm cos20

sin

x dx x

ò .

A. ( ) 119

19 sin

F x C

x

= - + B. ( ) 119 19 sin

F x C

x

= +

C. ( ) 119

19 cos

F x C

x

= - + D. ( ) 119 19 cos

F x C

x

(96)

Câu 174. Hàm số F x( )=ln sinx-3 cosx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. ( ) cos 3 sin

sin 3 cos

x x

f x

x x

+ =

- B.

cosx sin ( )

sin 3 cos

x f x

x x

- -=

-

C. f x( )=cosx +3 sinx D. ( ) sin 3 cos cos 3 sin

x x

f x

x x

-=

+

Câu 175. Tìm

2 1

2 5

x

dx

x x

+

ò .

A.

2 2

2 5

x

C

x x

- +

- + B.

2

2 x -2x+ +5 C

C.

2 2 5

2

x x

C

- +

+ D. x2-2x+ +5 C

Câu 176. Nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=sin cos 22 x x thỏa 0

2

ỗố ứ

p

l

A. ( ) 1sin 23 1 sin 25

6 10

F x = x + x B. ( ) 1sin 23 1 sin 25

6 10

F x = x- x

C. ( ) 1sin 23 1 sin 25 4

6 10 15

F x = x + x+ D.

( ) 1sin 23 1 sin 25 1

6 10 15

F x = x- x+

Câu 177. Một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( )

2

x x

e f x

e

=

+ thỏa F( )0 = -ln 3 là A. F x( )=ln(ex +2)+ln 3 B. F x( )=ln(ex +2)-ln 3

C. F x( )=ln(ex +2)+2 ln 3 D. F x( )=ln(ex +2)-2 ln 3

2

3 1

x

y f x

x

= =

+ là

A. ( )

3 1 3

x x

F x = + +C B. ( )

3 1 3

x

F x = + +C

C. ( )

3

2 1

3

x

F x = + +C D. ( )

3

2 1

3

x

F x = - + +C

Câu 179. 0034: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A. ( )

2

2 1 1

1

3

x x

x +x dx = + + +C

ò B.

( ) ( )

4

2 1

4

x

x +x dx = + +C

ò

C. ( ) ( )

4

2 1

2 1 .

4

x

x +x dx =x + +C

ò D. ( )

2

ln 1 2 1

x x

dx C

x

+

= +

+

ò

(97)

Trang 97

A. lnxdx ln2x C

x = +

ò

B.

2

ln ln

2

x x

dx C

x = +

ò

C. ( ) ( )

5

3 2 ln 3 2 ln

ln 3 2 ln

10 2

x x

dx C

x

+ +

+

= - +

ò

D.

2

ln ln

3

xxdx x C

x = +

ò

Câu 181. Nguyên hàm của hàm số y = f x( )=e2x +23x +x

là

A. ( )

2 23

2 ln 2 2

x x

e x

F x = + + +C B. ( )

2 23

2 ln 8 2

x x

e x

F x = + + +C

C. ( )

3

2 2

ln 8 2

x

x x

F x =e + + +C D. ( )

2 23 1 2 ln 8

x x

e

F x = + + +C

Câu 182. Hàm số F x( )=ln sinx-3 cosx là một nguyên hàm của hàm số nào trong các

hàm số sau đây:

A. ( ) cos 3 sin sin 3 cos

x x

f x

x x

+ =

- B. f x( )=cosx+3 sinx

C. ( ) cos 3 sin sin 3 cos

x x

f x

x x

- -=

- D. ( )

sin 3 cos cos 3 sin

x x

f x

x x

-=

+

Câu 183. Tính 2 x ln 2dx

x

ị , kết quả sai là:

A. 2 2( x + +1) C B. 2 2( x - +1) C C. 21+ x +C D. 2 x +C

Câu 184. Kết quả nào sai trong các kết quả sau:

A.

( ) ln ln ln( ( )) ln ln ln

dx

x C

x x x = +

ò B.

2

1 1 1

ln 2

1 1 1

dx x

C

x x x

+

-= +

+ + +

ò

C. 1tan

1 cos 2 2

dx x

C

x = +

+

ò D. 2 1ln 3 2

4 3 2

xdx

x C

x

-= - +

-ò

Câu 185. Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=e3 cosx.sinx

A. ( ) 1 cos .cos 3

x

f x dx = e x +C

ò B. ò f x dx( ) =3e3 cosx +C

C. ( ) 1 cos 3

x

f x dx = - e +C

ò D. ò f x dx( ) =3e3 cosx.cosx +C

Câu 186. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln

2

x f x

x

=

A.

2 ln ( )

4

x

f x dx = +C

ò B.

2 ln ( )

2

x

f x dx = +C

(98)

C.

2 ln ( )

4

x

f x dx C

x

= +

ò D. ( ) 12

2

f x dx C

x

= +

ò

Câu 187. Nguyên hàm của hàm số: I =ò x3 x-1 dx là:

A. F(x) = 2( 1)4 5( 1)3 6( 1)2 2( 1) 1

9 x 7 x 5 x 3 x x C

é ù

ê - + - + - + - ú - +

ê ú

ë û

B. F(x) = 2( 1)4 6( 1)3 6( 1)2 2( 1) 1

9 x 7 x 5 x 3 x x C

é ù

ê - + - + - + - ú - +

ê ú

ë û

C. F(x) = 2( 1)4 6( 1)3 6( 1)2 2( 1) 1

9 x 7 x 7 x 3 x x C

é ù

ê - + - + - + - ú - +

ê ú

ë û

D. F(x) = 2( 1)4 6( 1)3 6( 1)2 1( 1) 1

9 x 7 x 5 x 3 x x C

é ù

ê - + - + - + - ú - +

ê ú

ë û

Câu 188. Nguyên hàm của hàm số: x

2x 1 4

d

I = ⋅

- +

ò là:

A. F(x) = 2x- -1 4 ln( 2x- +1 4)+C B. F(x) =

( )

2x+ -1 4 ln 2x+ +1 4 +C

C. F(x) = 2x- +1 4 ln( 2x+ +1 4)+C D. F(x) =

( )

7

2x 1 ln 2x 1 4

2 C

- - - + +

5 cos 1 sin

x

y dx

x

=

-ò là:

A.

3

sin cos

cos

3 4

x x

x- - +C B.

3

sin 3 cos 4 sin

3 4

x x

x- - +C

C.

3

sin cos

sin

3 4

x x

x- - +C D.

3

sin cos

sin

9 4

x x

x- - +C

2

( ) x

x

x x e

y dx

x e

-+ =

+

ò là:

A. F(x) = xex + -1 lnxex + +1 C B. F(x) = ex + -1 lnxex + +1 C

C. F(x) = xex + -1 lnxe-x + +1 C D. F(x) = xex + +1 lnxex + +1 C

Câu 191. Nguyên hàm của hàm số: y 2dx 2

x a

=

-ò là:

A. 1 ln 2

x a

a x a

-+ +C B. 1

ln 2

x a

a x a

+

- +C C. 1

ln x a

a x a

-+ +C D. 1

ln x a

a x a

+ - +C

Câu 192. Nguyên hàm của hàm số: y 2dx 2

a x

=

(99)

Trang 99

A. 1 ln 2

a x

a a x

-+ +C B. 1

ln 2

a x

a a x

+

- +C C. 1

ln x a

a x a

-+ +C D. 1

ln x a

a x a

+ - +C

Câu 193. Nguyên hàm của hàm số: y = òx 4x+7 dxlà:

A. ( ) ( )

5

2

1 2 2

4 7 7 4 7

20 5 x 3 x C

é ù

ê + - ⋅ + ú+

ê ú

ë û B.

( )25 ( )32

1 2 4 7 7 2 4 7

18 5 x 3 x C

é ù

ê + - ⋅ + ú+

ê ú

ë û

C. ( ) ( )

5

2

1 2 2

4 7 7 4 7

14 5 x 3 x C

é ù

ê + - ⋅ + ú+

ê ú

ë û D.

( )52 ( )32

1 2 2

4 7 7 4 7

16 5 x 3 x C

é ù

ê + - ⋅ + ú+

ê ú

ë û

Dạng tốn 4. TÍNH NGUN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUN HÀM TỪNG PHẦN

Định lý: Nếu hai hàm số u=u x( ) và v=v x( ) có đạo hàm và liên tục trên K thì I =ịu x v x dx( )⋅ ¢( )⋅ =u x v x( ) ( )⋅ -ịu x v x dx¢( ) ( )⋅ ⋅ hay I = ịudv =uv-ịvdu ⋅

Vận dụng giải tốn:

— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác .sin ,

x

e x dx

ò

— Đặt:

Vi phân Nguyên m

u du dx

dv dx v

ìï = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ¾¾¾¾ = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

ïï ⋅

ớù = ắắắắắ =

ùùợ Suy ra:

.

I = òudv=uv-òvdu

— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv = phần cịn lại. Nghĩa là nếu có ln hay logax thì chọn u =ln hay log 1 .ln

ln

a

u x x

a

= = và dv = cịn lại. Nếu khơng có ln; log thì chọn u = đa thức và dv = cịn lại. Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u= lượng giác,….

(100)

a) I =òx⋅sinx dx⋅ ⋅ ĐS: I =sinx-cosx +C.

b) I = (1 )- x e dx⋅ x⋅ ⋅

ò ĐS: I =(3-2 )x e⋅ x +C.

c) I = ex⋅cosx dx⋅ ⋅

ò ĐS: (sin cos ) .

2

x

e

I = x + x +C

d) I =ò(2x- ⋅1) lnx dx⋅ ⋅ ĐS:

2

( )ln .

2

x

I = x -x x- + +x C

e) I = x e⋅ 3x⋅dx⋅

ò ĐS:

3

.

3 9

x x

xe e

I = - +C

f) I = x2⋅ln 2x dx⋅ ⋅

ò ĐS:

3ln 2 .

3 9

x x x

I = - +C

g) I =ò lnx dx⋅ ⋅ ĐS: I =xlnx- +x C.

(101)

Trang 101

h) I =ò(x+ ⋅1) sin 2x dx⋅ ⋅ ĐS: 1cos 2 1sin 2 .

2 4

x

I = - + x + x +C

i) I = x e⋅ -x⋅dx⋅

ò ĐS: I = - +(1 x e)⋅ -x +C.

j) I = ex⋅sinx dx⋅ ⋅

ò ĐS: (sin cos ) .

2

x

e x x

I = ⋅ - +C

k) I =ò x⋅cosx dx⋅ ⋅ ĐS: I =xsinx +cosx +C.

l) sin

2

x

I =ò x⋅ ⋅dx⋅ ĐS: 2 cos 4 sin .

2 2

x x

I = - x + +C

m) I = x e dx⋅ x⋅ ⋅

ò ĐS: I =xex -ex +C.

n) I =òx⋅ln(1-x dx)⋅ ⋅ ĐS:

2 ln(1 ) (1 )2

ln(1 ) .

2 2 4

x x x

I = -x - - - + +C

(102)

o) I = x⋅sin2x dx⋅ ⋅

ò ĐS:

2 sin 2 cos 2 .

4 4 8

x x x x

I = - - +C

p) I = ln(x+ 1+x2)⋅dx⋅

ò ĐS: I =xln(x+ 1+x2)- 1+x2 +C.

q) ln1 1

x

I x dx

x

+ = ⋅ ⋅ ⋅

-ò ĐS:

2 1 1

ln .

2 1

x x

I x C

x

- +

= + +

-

r) I ln3x dx x

=ò ⋅ ⋅ ĐS: ln2 12 .

2 4

x

I C

x x

= - - +

s) I =òx⋅sinx⋅cosx dx⋅ ⋅ ĐS: 1 cos 2 1sin 2 .

4 8

I = - x x+ x +C

t) I = e-2x⋅cos 3x dx⋅ ⋅

ò ĐS: 1 (3 sin 3 2 cos ) .

13

x

I = e- x- x +C

u)

1 cos 2

x dx I

x

⋅

= ⋅

+

ò ĐS: 1 tan 1ln cos .

2 2

I = x x+ x +C

v) I = x⋅(2 cos2x- ⋅1) dx⋅

ò ĐS: sin 2 1cos 2 .

2 4

x

(103)

Trang 103

w) I = x3⋅lnx dx⋅ ⋅

ò ĐS:

4ln .

4 16

x x x

I = - +C

x) 2

sin

x

I dx

x

=ò ⋅ ⋅ ĐS: I = -xcotx +ln sinx +C.

y) I = (x- ⋅2) e2x ⋅dx⋅

ò ĐS: 1( 2) 1 .

2 4

x x

I = x- e - e +C

z) I = x⋅ln(x2 + ⋅1) dx⋅

ò ĐS: I =(x2+1)ln(x2+ -1) x2- +1 C.

a) I x2 2 1 lnx dx x

-=ò ⋅ ⋅ ⋅ ĐS: I x 1 lnx x 1 C.

x x

ổ ửữ ỗ ữ

=ỗỗ + ữữ - + +

ỗố ứ

b) I =ò cos x dx⋅ ⋅ ĐS: I =2 x sin x -2 cos x +C.

c) I =ò sin x dx⋅ ⋅ ĐS: I = -2 x cos x +2 sin x +C.

(104)

d) I = (8x3-2 )x e⋅ x2⋅dx⋅

ò ĐS: I =(4x2- ⋅1) ex2 -4ex2 +C.

e) 3

. x

I =òx e ⋅dx⋅ ĐS: 1 2 1 .

2 2

x x

I = x e - e +C

f) I = x e5⋅ x3⋅dx⋅

ò ĐS: 1 3 1 .

3 3

x x

I = x e - e +C

g) I = esinx⋅sin 2x dx⋅ ⋅

ò ĐS: I =2 sin x esinx-2esinx +C.

h) I = x e⋅ x ⋅dx⋅

ò ĐS: I =2xe x -4 xe x +4e x +C.

i) I = x⋅ln(x2 + ⋅1) dx⋅

ò ĐS: 1( 1)ln( 1) .

2

I = x + x + -x - +x C

j) I 1 ln(2x 1) dx x

+ +

=ò ⋅ ⋅ ĐS: 1 1ln 1 ln .

1

x

I x C

x x x

= - - + + + +

(105)

Trang 105 k) I = ex⋅ln(ex + ⋅1) dx⋅

ò ĐS: I =(ex +1)ln(ex + -1) ex +C.

l) ln(4 83 3) ( 1)

x x

I dx

x

+ +

= ⋅ ⋅

+

ò ĐS:

2

4 8 3

ln 4 8 3 4 ln 1 .

2( 1)

x x

x x x C

x

+ +

+ + - + +

+

m) 1 1 ln( 1)

2

I x x dx

x

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ + - ỗố ứ

ũ ĐS: I =(x+ x -1)lnx + x - - -1 x x +C.

Câu 194. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=xex là:

A. ex +C B. e xx( - +1) C

C. e xx( +1)+C

D. 2

x

x e C

+

Câu 195. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=(x2+2 ).x ex

là:

A. (2x+2).ex B. x e2 x C. (x2 +x e). x D.

2

(x -2 ).x ex

Câu 196. Cho hàm số f x( )=x e. -x. Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(0)=1 là:

A. - +(x 1)e-x +1 B. - +(x 1)e-x +2 C. (x+1)e-x +1 D. (x +1)e-x +2

Câu 197. Cho f x( )=xsinx. Nguyên hàm của f x( ) là:

A. -xcosx+C B. xsinx +cosx+C

C. sinx+xcosx+C D. -xcosx+sinx +C

Câu 198. Nguyên hàm của hàm số f x( )=xex2 là hàm số:

A. F x( )=2ex2

B. ( ) 1 2

x

F x = e C. F x( )=2x e2 x2

D.

2

( ) x x

F x =e +xe

Câu 199. Cho

0

( ) ln

x

f x =ò tdt. Đạo hàm f x'( ) là hàm số nào dưới đây? A. 1

x B. lnx C.

2

(106)

Câu 200. Một nguyên hàm của f x( )=x e3 x

là:

A. (x3-3x2+6x-6)ex B. (x3-6x +6)ex

C. (x3+3x2-6)ex

D. 3x e2 x

Câu 201. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=x e. x2 là :

A. F x( )=2ex2

B. F x( )=2x e2 x2

C. ( ) 1 2

x

F x = e D.

( ) x2 x2

F x =xe +e

Câu 202. Hàm số f x( )=(x+1)sinx có các nguyên hàm là:

A. F x( )=(x+1)cosx +s inx +C B.

( ) ( 1)cos s in

F x = - +x x + x +C

C. F x( )= - +(x 1)cosx-s inx+C D. F x( )=(x+1)cosx-s inx +C

Câu 203. Hàm số f x( )=lnx có các nguyên hàm là:

A. F x( )=x(lnx- +1) C B. F x( ) 1 C

x

= +

C.

2 ln ( )

2

x

F x = +C D. F x( )=x(lnx + +1) C

Câu 204. Hàm số ( ) cos 1

cos

f x x x

x

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ

ỗố ứcúcỏcnguyờnhml:

A. ( ) sin 1

sin 2

x

F x x x C

x

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ+

ỗố ứ B.F x( )=x(1+sin )x -cosx +C C. F x( )=x(1+sin )x +cosx +C D. F x( )=x(1-sin )x +cosx +C

Câu 205. Gọi hàm số F x( )là một nguyên hàm của f x( )=xcos 3x, biết F(0)=1. Vậy

( )

F x là:

A. ( ) 1 sin 3 1cos 3

3 9

F x = x x+ x +C B. ( ) 1 sin 3 1cos 3 1

3 9

F x = x x+ x+

C. ( ) 1 2sin 3 6

F x = x x D. ( ) 1 sin 3 1cos 3 8

3 9 9

F x = x x+ x +

Câu 206. Tính ị xe dxx , ta được kết quả là:

A. F x( ) =ex –xex +C B. F x( )=ex +xex +C

C. F x( ) = -ex –xex +C D. F x( ) = -ex +xex +C

Câu 207. Tính ị xcosxdx, ta được kết quả là:

A. F x( )=xsinx+cosx +C B. F x( )=xsinx-cosx+C

C. F x( )= -xsinx +cosx+C D. F x( )= -xsinx-cosx+C

Câu 208. Tìm ịxcos 2xdx là:

A. 1 sin 2 1cos 2

2x x+ 4 x+C B.

1 1

(107)

Trang 107

C.

2sin 2 4

x x

C

+ D. sin 2x+C

Câu 209. Một nguyên hàm của hàm số f x( )=(x2 +2x e) x là

A. F x( )=(2x+2).ex B. F x( )=x e2 x

C. F x( )=(x2+x e). x D. F x( )=(x2-2 ).x ex

Câu 210. Một nguyên hàm của f x( )=x e2 x là

A. F x( )=(x2-2x +2)ex B.

3 ( )

3

x

F x = e

C. F x( )=(x2-2x-2)ex

D. F x( )=2xex

Câu 211. Nguyên hàm F x( ) của f x( )=xe-x thỏa F( )0 =1 là

A. F x( )= -(x +1)e-x +1 B. F x( )= -(x+1)e-x +2

C. F x( )=(x+1)e-x +1 D. F x( )=(x +1)e-x +2

A.

2.cos sin

2

x x

x xdx = - +C

ò B.

sin cos sin

x xdx = -x x+ x +C

ò

C. òxcosxdx =xsinx+cosx+C D.

cos 2 1

sin 2 sin 2

2 4

x x

x xdx =- + x +C

ò

A.

3

3 1

3 9

x

x xe x

xe dx = - e +C

ò B. òxe dxx =xex-ex +C

C.

2 . 2

x x x

xe dx = e +C

ò D. xxdx xx 1x C

e e e

-= - +

ò

A. ò lnxdx =xlnx- +x C B. lnxdx 1 C

x

= +

ò

C.

2

ln ln

2 4

x x

x xdx = x- +C

ò D.

3

2ln .ln

3 9

x x

x xdx = x- +C

ò

A. òln2xdx =xln2x-2(xlnx-x)+C B.

3

2 ln

ln

3

x

xdx = +C

ò

C. ln2xdx lnx 1 C

x x

x

-= - +

ò D. ln3 ln2 12

2 4

x x

dx C

x x x

-= - +

ò

A. 2 2 12

2 4

x x x

x x

dx C

e e e

-= - +

ò B. xe dx-x = -xe-x -e-x +C

(108)

C.

3

3 1

3 9

x

x xe x

xe dx = - e +C

ò D.

2

2 .

2

x x x

xe dx = e +C

ò

A.

3 2ln .1

3

x

x xdx C

x

= +

ò

B.

3

2ln .ln

3 9

x x

x xdx = x- +C

ò

C. ò ln(x+ 1+x dx2) =xln(x+ 1+x2)- 1+x2 +C

D. sin (sin cos )

2

x

x e x x

e xdx = - +C

ị

Câu 218. Tìm ngun hàm của hàm số f x( )=x.sin 2( x+1)

A. ( ) .cos 2( 1) 1.sin 2( 1)

2 4

x

f x dx = - x + + x + +C

ò

B. ( )

2

( ) .cos 2 1

4

x

f x dx = - x + +C

ò

C. ( ) .cos 2( 1) 1.sin 2( 1)

2 4

x

f x dx = x + - x + +C

ò

D. ( ) .cos 2( 1) 1.sin 2( 1)

2 2

x

f x dx = - x+ + x+ +C

ị

Câu 219. Tìm ngun hàm của hàm số f x( )=x.ln 1( +x)

A.

2 ( )

2( 1)

x

f x dx C

x

= +

+

ò

B. ( )

2

3 1

( ) ln 1 ln(1 )

2 6

x

f x dx = +x - x +x +C

ò

C. ( ) 1( 1 ln 1) ( ) 1

2 4 2

x

f x dx = x - +x - x + +C

ò

D. ( )

2

1 1

( ) ln 1 ln( 1)

2 4 2 2

x x

f x dx = +x - x - + x+ +C

ò

Câu 220. Nguyên hàm của hàm số: I =ò cos ln(sinx x+cos )x dx là:

A. F(x) = 1(1 sin ln 1) ( sin 2 ) 1sin 2

2 + x + x -4 x+C

B. F(x) = 1(1 sin ln 1) ( sin 2 ) 1sin 2

4 + x + x -2 x+C

C. F(x) = 1(1 sin ln 1) ( sin 2 ) 1sin 2

4 + x + x -4 x+C

D. F(x) = 1(1 sin ln 1) ( sin 2 ) 1sin 2

4 + x + x +4 x +C

(109)

Trang 109

A. F(x) = ( 2 cos 3) 1sin 3

3 9

x x

x C

+ + B. F(x) =

( 2 cos 3) 1 sin 3

3 9

x x

x C

-+ +

C. F(x) = ( 2 cos 3) 1sin 3

3 9

x x

x C

+

- + + D. F(x) =

( 2 cos 3) 1

sin 3

3 3

x x

x C

+ +

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM – DẠNG TOÁN KHÁC ( ĐỌC THÊM )

Câu 222. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hàm số

2 6 1

( )

2 3

x x

F x

x

+ + =

- và

2 10 ( )

2 3

x G x

x

+ =

- là nguyên hàm của cùng một hàm số.

B. Hàm số F x( )= +5 2 sin2x và G x( )= -1 cos 2x là nguyên hàm của cùng một hàm số.

C. Hàm số F x( )= x2-2x+2 là nguyên hàm của hàm số

2 1 ( )

2 2

x f x

x x

-=

- + .

D. Hàm số F x( )=sin x là nguyên hàm của hàm số f x( )=cos x .

Câu 223. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?

A. òkf x dx( ) =kị f x dx k( ) ( ỴR)

B. ò f x g x dx( ) ( ). =ò f x dx( ) .òg x dx( )

C. ò êëéf x( )+g x dx( )ûúù =ò f x dx( ) +òg x dx( )

D. ( ) ( ) ( )

1

m

m f x

f x f x dx C

m

+

¢ = +

+

ò

Câu 224. Để F x( ) (= asinx+bcosx e) x là một nguyên hàm của f x( )=cos x ex thì giá trị của a, b là :

A. a=1,b=0 B. a=0,b=1 C. a= =b 1 D. 1

2

a= =b

Câu 225. Cho hàm số f x( ) xác định trên K. Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của

hàm số f x( ) trên K nếu:

A. F x’( )= f x( )," ẻx K B.F x( )ạ f x( )," Ỵx K

C. f x( )=F x( )," Îx K D. f x( )¹F x( )," Îx K

Câu 226. Các tính chất nguyên hàm sau đây tính chất nào sai?

(110)

( )

( ) ( ) 0

Kf x dx =K f x dx K ¹

ị ị

C. ị ëéêf x( )g x dx( )ûúù = ò f x dx( ) òg x dx( ) D. ò F x dx( ) = f x( )+C

Câu 227. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai

A.

3

2 ( )

'( ) ( )

3

f x

f x f x dx = +C

ò B.

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

é ù = ê ú ë û

ò ò ò

C. ò éêëf x( )+g x dx( )úûù =ò f x dx( ) +ò g x dx( ) D. òkf x dx k( ) = ò f x dx( ) (k là hằng số)

Câu 228. Nếu f x( )=(ax2+bx +c) 2x-1 là một nguyên hàm của hàm số

2

10 7 2

( )

2 1

x x

g x

x

- + =

- trên khoảng 1

; 2 ổ ửữ ỗ +Ơữ ỗ ữ ỗ ữ

ỗố ứthỡa+ +b ccúgiỏtrl

A.3 B.0 C.4 D.2

Câu 229. Xác định a, b, c sao cho g x( )=(ax2 +bx +c) 2x-3 là một nguyên hàm của

hàm số

2

20 30 7

( )

2 3

x x

f x

x

- + =

- trong khoảng 3

; 2 ổ ửữ ỗ +Ơữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ø

A. a=4, 2, 2b= c= B. a=1, 2, b= - c=4

C. a= -2, 1, 4b= c= D. a=4, 2, b= - c=1

Câu 230. Tìm nguyên hàm F x( )=ex 2( tana 2x +btanx +c) là một nguyên hàm của

2 ( ) x tan

f x =e x trên khoản ; 2 2 æ ửữ ỗ- ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ

p p

A. ( ) 1tan2 2tan 2

2 2 2

x

F x =e ổỗỗỗỗ x- x + ửữữữữ

ữ

ỗố ứ B.

2 1 2 1

( ) tan tan

2 2 2

x

F x =e ổỗỗỗỗ x- x + ữửữữữ

ữ

ỗố ứ

C. ( ) 1tan2 2 tan 1

2 2 2

x

F x =e ổỗỗỗỗ x + x + ữửữữữữ

ỗố ứ D.

2 1 2 2

( ) tan tan

2 2 2

x

F x =e ổỗỗỗỗ x- x- ửữữữữ

ữ

ỗố ứ

Cõu231. Nu F x( )=(ax2+bx+c e) -x là một nguyên hàm của hàm số

( ) ( 2 7 4) x

f x = - x + x- e

- thì (a b c; ; ) bằng bao nhiêu?

A. (2; 3;1- ) B. (1; 3;2) C. (1; 1;1- ) D. (-2;7; 4- )

Câu 232. Cho ò f x dx( ) =F x( )+C . Khi đó, với a ¹0, ta cóị f ax( +b dx) bằng

A. 1 ( )

2aF ax +b +C B. ( )

1

F ax b C

(111)

Trang 111

C. F ax( +b)+C D. a F ax. ( +b)+C

Câu 233. Cho ( )

sin

cos ; 0

1 ; 0

1

x

x e x

f x

x x

ìï " < ïïï

= íï

" ³ ïï +

ïỵ

. Nhận xét nào sau đây đúng ?

A. ( )

sin ; 0

2 1 1; 0

x

e x

F x

x x

ìï " < ïï

= íï

+ - " ³

ïïỵ là một ngun hàm của f x( )

B. ( )

cos ; 0

2 1 1; 0

x

e x

F x

x x

ìï " < ïï

= íï

+ - " ³

C. ( )

sin ; 0

2 1 ; 0

x

e x

F x

x x

ìï " < ïï

= íï

+ " ³

D. ( )

cos ; 0

2 1 ; 0

x

e x

F x

x x

ìï " < ïï

= íï

+ " ³

Câu 234. Kết Một nguyên hàm (x 2 sin 3) xdx (x a)cos 3x sin 3x 2017

b c

= - + +

ị thì

tổng S =a b. +c bằng

A. S =15 B. S =14 C. S =3 D. S =10

Câu 235. Cho các hàm số ( ) ( ) ( )

2

20 30 7; 2 3

2 3

x x

f x F x ax bx c x

x

- +

= = + +

với

3 2

x> . Để hàm số F x( ) là một nguyên àm của hàm số f x( )thì các giá trị của , ,

a b clà

A. a=4;b=2;c = -1 B. a=4;b=2;c =1

C. a=4;b= -2;c = -1 D. a=4;b = -2;c=1

Định dạng
Số trang	111
Dung lượng	0,91 MB