Tài liệu gồm 124 trang tuyển chọn và phân dạng các bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt chương trình Giải tích 12 chương 3 và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN Nguyên hàm NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Định lí: 1) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K 2) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Do F ( x ) + C , C ∈ họ tất nguyên hàm ) dx ∫ f ( x= f ( x ) K Ký hiệu F ( x) + C Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: ) dx ( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ) ∫ f ' ( x= f ( x) + C Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k số khác Tính chất 3: ∫ f ( x ) ± g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) d x Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp ∫ dx= α = ∫ x dx ∫ e dx= x https://toanmath.com/ α = ∫ u du ∫ e du= ex + C u +C α +1 u + C (α ≠ −1) α +1 du ∫ u= ln x + C ax ∫ a dx = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1) x ∫ du= x+C α +1 x + C (α ≠ −1) α +1 dx ∫ x= Nguyên hàm hàm số hợp (u = u ( x )) u ln u + C eu + C au ∫ a du = ln a + C ( a > 0, a ≠ 1) u − cos x + C ∫ sin xdx = = ∫ cos xdx ∫ cos 2 = ∫ cos udu sin x + C = dx tan x + C x ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin ∫ sin − cos u + C ∫ sin udu = x du tan u + C = u sin u + C u du = − cot u + C B - BÀI TẬP Câu DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có đạo hàm [ a; b ] (2): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có nguyên hàm [ a; b ] (3): Mọi hàm số đạo hàm [ a; b ] có nguyên hàm [ a; b ] (4): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có giá trị lớn giá trị nhỏ [ a; b ] Câu B C D A Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx B ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx C ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx D ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0;k ∈ ) A Câu Cho f ( x ) , g ( x ) hàm số xác định liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx B ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) + g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx C Câu Câu D Khẳng định sau khẳng định sai? A ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈ B ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục C ∫x D (∫ α +1 x với α ≠ −1 α +1 ′ f ( x ) dx = f ( x ) α dx = ) Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm f ( x ) , g ( x ) Xét mệnh đề sau: ( I ) F ( x ) + G ( x ) nguyên hàm f ( x ) + g ( x ) ( II ) k F ( x ) nguyên hàm k f ( x ) với k ∈ ( III ) F ( x ) G ( x ) nguyên hàm f ( x ) g ( x ) Các mệnh đề https://toanmath.com/ A ( II ) ( III ) Câu B Cả mệnh đề C ( I ) ( III ) D ( I ) ( II ) Mệnh đề sau sai? A ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục ) dx f ( x ) + C với hàm số f ( x ) có đạo hàm ∫ f ′ ( x= C ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục D ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với số k với hàm số f ( x ) liên tục B Câu Cho hàm số f ( x ) xác định K F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K Khẳng định đúng? A f ′ ( x ) = F ( x ) , ∀x ∈ K B F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K C F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K Câu D F ′ ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ K Cho hàm số f ( x ) xác định K Khẳng định sau sai? A Nếu hàm số F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K với số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K B Nếu f ( x ) liên tục K có ngun hàm K C Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) K F ′ ( x ) = f ( x ) với x∈K D Nếu hàm số F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K hàm số F ( − x ) nguyên hàm f ( x ) K Câu DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Cho f ( x ) = , chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: x+2 A Trên ( −2; +∞ ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x )= ln ( x + ) + C1 ; khoảng ( −∞; −2 ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x )= ln ( − x − ) + C2 ( C1 , C2 số) B Trên khoảng ( −∞; −2 ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) G ( x )= ln ( − x − ) − C Trên ( −2; +∞ ) , nguyên hàm hàm số f ( x ) F = ( x ) ln ( x + ) D Nếu F ( x ) G ( x ) hai nguyên hàm của f ( x ) chúng sai khác số Câu 10 Khẳng định sai? A ∫ cos x dx = − sin x + C C ∫ x d= x x2 + C Câu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau x4 + C A ∫ x3dx = C ∫ sin xdx= C − cos x Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A ∫ dx= x + 2C ( C số) C ∫ 0dx = C ( C số) https://toanmath.com/ dx ∫ x= D ∫ e d= x B x ln x + C ex + C dx ln x + C ∫ x= D ∫ 2e= dx ( e + C ) B x x x n +1 dx + C ( C số; n ∈ ) B ∫ x= n +1 D ∫ e x d= x e x − C ( C số) n Câu 13 Tìm nguyên hàm F ( x ) = ∫ π dx A F (= x) π 2x + C B F (= x ) 2π x + C π x2 π3 +C C F ( x= ) D F= ( x) A F ( x ) = e x + sin x + 2018 x + C B F ( x ) = e x − sin x + 2018 x + C e x + sin x + 2018 x C F ( x ) = e x + sin x + 2018 + C D F ( x ) = e x + cos x + 2018 Câu 14 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = +C x ) x3 − là: Câu 15 Nguyên hàm hàm số f (= B x − x + C C x + C x − 9x + C e x ) e.x + Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f (= D x − x + C x e +1 + 4x + C B e x + C C A 101376 e +1 Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − x + e.x e +1 + 4x + C D e +1 A e −1 A 20 x − 12 x + C C 20 x − 12 x + x + C Câu 18 Khẳng định sau sai? B x5 − x3 + x + C x4 + 2x2 − 2x + C D x5 + C C ∫ = dx ln x + C D ∫ e x d= x ex + C x Câu 19 Nguyên hàm hàm số y = x − x + x x3 3x x 3x − + +C − − ln x + C A B x 3 x 3x x 3x − + ln x + C − + ln x + C C D 3 a b Câu 20 Cho hàm số f ( x ) = + + , với a , b số hữu tỉ thỏa điều kiện x x A ∫ dx = C ∫ f ( x ) dx= B ∫ x d=x − 3ln Tính T= a + b B T = A T = −1 D T = C T = −2 Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + A F ( x ) = x + x + B F ( x ) = x3 + x + C C F ( x ) = x + x + x + C D F ( x ) = x3 + x + C Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f (= x) A = F ( x) C F ( x ) ( 3x + 1) +8 18 ( 3x + 1) = https://toanmath.com/ 18 B = F ( x) D F ( x ) ( 3x + 1) −2 18 ( 3x + 1) = ( 3x + 1) ? Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = A − x4 + x2 + +C 3x B 1 − x − x −2 − 2x + C x2 Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f ( x )= x + C − x4 + x2 + +C 3x D − x3 x − − +C x 1 + − x x2 A x + ln x − − x x C x + ln x + − x + C x Câu 25 Nguyên hàm f ( x ) = x − x + x là: − 2x + C x D x + ln x − − x + C x B x + ln x + 4 B x − x3 + x +C 3 D C x − x + x +C Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f = ( x ) x + x 2018 A 4 x − x + x +C 3 3 x − x + x +C 3 x 2019 x 2019 +C +C B x3 + 2019 673 1 x 2019 + 6054 x 2017 + C C D + +C x x 673 x e + tan x + C nguyên hàm hàm số f(x) Câu 27 Hàm số F ( x) = 1 A f ( x= B f ( x= ) ex − ) ex + sin x sin x −x e C f = D f ( x= ( x) e x 1 + ) ex + cos x cos x Câu 28 Nếu ∫ f ( x ) dx =+ ln x + C với x ∈ ( 0; +∞ ) hàm số f ( x ) x 1 A f ( x ) = B f ( = − 2+ x) x+ x x 2x 1 C f ( x= D f ( x ) = − 2+ ) + ln ( x ) x x 2x x − x +1 Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x −1 x2 +C + ln x −1 + C D x + ln x − + C A x + B + C + C x −1 ( x − 1) A x+ A F ( x ) = x − tan x + C sin x B F ( x ) = x + tan x + C C F ( x ) = x + cot x + C D F ( x ) = x − cot x + C Câu 30 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x )= − Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số = f ( x ) 3cos x + A −3sin x + https://toanmath.com/ +C x B 3sin x − +C x ( 0; + ∞ ) x2 C 3cos x + + C x D 3cos x + ln x + C Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f (= x ) x + sin x A x + cos x + C B x3 + sin x + C C x3 − cos x + C x) x + 8sin x Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số f (= x 8cos x + C ∫ f ( x ) dx =− C ∫ f ( x ) dx = x − 8cos x + C A D x − sin x + C x 8cos x + C ∫ f ( x ) dx =+ D ∫ f ( x ) dx = x + 8cos x + C B x Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos 2 A ∫ f ( x ) dx =+ B x sinx + C C x + sinx + C ∫ f ( x ) dx = 2 x sinx + C ∫ f ( x ) dx =− x D ∫ f ( x ) dx = − sinx + C 2 Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x )= x + cos x A C Câu 36 ∫ x2 f ( x ) dx = + sin x + C B ∫ f ( x ) dx = x sin x + cos x + C D ∫(x + x3 ) dx có dạng − sin x + C ∫ f ( x ) dx = ∫ x2 f ( x ) dx = − sin x + C a b x + x + C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: B C D 32 A 1 a b 1+ Câu 37 ∫ x3 + x + x + C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a x dx có dạng 12 3 bằng: 36 A B 12 C D Không tồn 1+ Câu 38 ∫ ( ( 2a + 1) x3 + bx ) dx , a, b hai số hữu tỉ Biết ( ∫ ( ( 2a + 1) x + bx ) dx= A 1; ) x + x3 + C Giá trị a, b bằng: B 3; C − ; D 1 x sin x − cos x π x − 3cos x, F = Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện: f ( x ) = 2 A F ( x) = x − 3sin x + + π2 π2 x 3sin x + C F ( x) =− Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số f ( x= ) 2x + π2 −cotx + x − A F( x) = 16 −cotx + x C F( x) = https://toanmath.com/ x 3sin x − B F ( x) =− π2 D F ( x) = x − 3sin x + − π2 π thỏa mãn F( ) = −1 là: sin x π2 B F( x)= cotx − x + 16 π2 2 −cotx + x − D F( x) = 16 Câu 41 Nếu e sin ∫ f ( x)dx =+ x A e x + cos x x + C f ( x) hàm nào? B e x − sin x C e x + cos x x3 − Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x) f ( x) = biết F(1) = x x 1 − + B F ( x) = A F ( x) = x x2 1 − − C F ( x) = D F (x) = x 2 x) + : Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f (= x x A x + 3ln x + C ( Câu 44 C x ) ∫( Tính x + )dx x −1 D e x + sin x x2 + + x x2 + − x B x + 3ln x + C D 16 x − 3ln x + C + 3ln x + C 33 x − ln x + C 5 C x + ln x + C D x + ln x + C Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số f ( x) = x − x + x − thỏa mãn F(1) = là: A − 33 x + ln x + C B A F( x) = x − x3 + x − B F( x) = x − x3 + x + 10 C F( x) = x − x3 + x − x D F( x) = x − x3 + x − x + 10 y (2 x + 1)5 là: Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số= 1 A B (2 x + 1)6 + C (2 x + 1)6 + C 12 C (2 x + 1)6 + C D 10(2 x + 1) + C Câu 47 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + x − thỏa mãn điều kiện F ( ) = x4 x + − 4x C x − x + x = F ’ ( x ) x3 – x + F ( −1) = Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết A x − x B A F (= x ) x – x3 − x − x ) x – x3 − x + C F (= D Đáp án khác B F ( x ) x – x +2x + = D F ( x ) = x + x3 + x + Câu 49 Hàm số f ( x ) xác định, liên tục có đạo hàm f ′ ( x )= x − Biết f ( ) = Tính f ( ) + f ( ) ? A 10 B 12 C D 11 Câu 50 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn đồng thời điều kiện f ′ ( x )= x + sin x f ( ) = Tìm f ( x) x2 A f ( x ) = − cos x + x2 + cos x C f ( x= ) https://toanmath.com/ x2 B f ( x ) = − cos x − x2 D f ( x ) = + cos x + 2 Câu 51 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x )= − 5cos x f ( ) = Mệnh đề đúng? A f ( x ) =+ x 5sin x + B f ( x ) =− x 5sin x − C f ( x ) =− x 5sin x + D f ( x ) =+ x 5sin x + Câu 52 Biết F ( x ) nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x đồ thị hàm số y = F ( x ) π qua điểm M ( 0;1) Tính F 2 π π π π B F = −1 C F = D F = A F = 2 2 2 2 Câu 53 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − x + thỏa mãn F ( ) = , giá trị F (1) A B 13 C Câu 54 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ax + F (1) = , f (1) = D 11 b 1, ( x ≠ ) , biết F ( −1) = x2 3x + + A F ( x ) = 2x 3x − − B F ( x ) = 2x 3x 3x − − + − D F ( x ) = 2x 2 4x Câu 55 Biết hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) = x + x − m + , f ( ) = đồ thị hàm số C F ( x ) = y = f ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ −5 Hàm số f ( x ) A x3 + x − x − B x3 + x − x − Câu 56 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f (= x) C x3 + x − x − ( x − 3) D x3 + x + x − thỏa mãn F ( ) = Giá trị biểu thức log 3F (1) − F ( ) A 10 B −4 C D Câu 57 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + ( m − 1) x + m + , với m tham số thực Một nguyên hàm f ( x ) biết F (1) = F ( ) = là: A F ( x ) = x + x + x + B F ( x ) = x + x + C F ( x ) =x + x + D Đáp án A B https://toanmath.com/ C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có đạo hàm [ a; b ] (2): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có nguyên hàm [ a; b ] (3): Mọi hàm số đạo hàm [ a; b ] có nguyên hàm [ a; b ] (4): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có giá trị lớn giá trị nhỏ [ a; b ] B A C Hướng dẫn giải D Chọn B Khẳng định (1): Sai, hàm số y = x liện tục [ −1;1] khơng có đạo hàm x = nên khơng thể có đạo hàm [ −1;1] Khẳng định (2): hàm số liên tục [ a; b ] có nguyên hàm [ a; b ] Khẳng định (3): Đúng hàm số có đạo hàm [ a; b ] liên tục [ a; b ] nên có nguyên hàm [ a; b ] Khẳng định (4): Đúng hàm số liên tục [ a; b ] có giá trị lớn giá trị nhỏ [ a; b ] Câu Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx B ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx C ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx D ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k ≠ 0;k ∈ ) A Câu Hướng dẫn giải Chọn B Cho f ( x ) , g ( x ) hàm số xác định liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx B ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) + g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx C Câu D Hướng dẫn giải Chọn A Ngun hàm khơng có tính chất nguyên hàm tích tích nguyên hàm Hoặc B, C, D tính chất nguyên hàm nên A sai Khẳng định sau khẳng định sai? A ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈ ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục α C ∫ xα dx = x với α ≠ −1 α +1 B +1 D ( ∫ f ( x ) dx )′ = f ( x ) https://toanmath.com/ Hướng dẫn giải Chọn A Ta có ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k ∈ sai tính chất k ∈ \ {0} Câu Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) hàm số liên tục, có F ( x ) , G ( x ) nguyên hàm f ( x ) , g ( x ) Xét mệnh đề sau: ( I ) F ( x ) + G ( x ) nguyên hàm f ( x ) + g ( x ) ( II ) k F ( x ) nguyên hàm k f ( x ) với k ∈ ( III ) F ( x ) G ( x ) nguyên hàm f ( x ) g ( x ) Các mệnh đề A ( II ) ( III ) C ( I ) ( III ) B Cả mệnh đề D ( I ) ( II ) Hướng dẫn giải Chọn D Theo tính chất ngun hàm ( I ) ( II ) đúng, ( III ) sai Câu Mệnh đề sau sai? A ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục ) dx f ( x ) + C với hàm số f ( x ) có đạo hàm ∫ f ′ ( x= C ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx , với hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục D ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với số k với hàm số f ( x ) liên tục B Chọn D Mệnh đề: Hướng dẫn giải ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với số k với hàm số f ( x ) liên tục mệnh đề sai k = ∫ kf ( x ) dx ≠ k ∫ f ( x ) dx Câu Cho hàm số f ( x ) xác định K F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K Khẳng định đúng? A f ′ ( x ) = F ( x ) , ∀x ∈ K B F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K C F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K D F ′ ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x ∈ K Hướng dẫn giải Chọn B Ta có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx , ∀x ∈ K ⇒ F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ K Cho hàm số f ( x ) xác định K Khẳng định sau sai? ′ Câu A Nếu hàm số F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K với số C , hàm số G= ( x ) F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K B Nếu f ( x ) liên tục K có ngun hàm K C Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) K F ′ ( x ) = f ( x ) với x∈K D Nếu hàm số F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K hàm số F ( − x ) nguyên hàm f ( x ) K Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo định lí trang 95 SGK 12 CB suy khẳng định A https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu DẠNG Tìm ∫ x sin xdx ta thu kết sau đây? 1 x sin x − cos x + C 1 D x sin x − cos x Hướng dẫn giải A x sin x + cos x + C B C x sin x + cos x Ta có: I = ∫ x sin xdx Câu du = dx u = x Đặt: ⇒ dv = sin xdx v = − cos x 1 1 Khi đó: I = uv − ∫ vdu = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C 2 Chọn B Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x sin x là: − x cos x − sin x + C A F ( x ) = B F ( x )= x cos x − sin x + C C F ( x ) = − x cos x + sin x + C D F ( x )= x cos x + sin x + C Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I = f ( x ) dx ∫ x sin x dx ∫= du = dx u = x Đặt Ta có v = − cos x dv = sin x dx I= − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + C ∫ f ( x ) dx = ∫ x sin x dx = Câu Biết ∫ x cos xdx = A ab = ax sin x + b cos x + C với a , b số hữu tỉ Tính tích ab ? B ab = C ab = − Hướng dẫn giải D ab = − Chọn A du = dx u = x Đặt ⇒ d v = cos xdx v = sin x 1 1 Khi ∫ x cos = xdx x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C 2 1 ⇒ a =, b = Vậy ab = x2 + a ) ( Cho biết F ( x ) = Tìm nguyên hàm x + x − nguyên hàm f ( x ) = x x2 g ( x ) = x cos ax Câu https://toanmath.com/ 1 x sin x − cos x + C 1 D x sin x + cos x + C Hướng dẫn giải A x sin x − cos x + C B C x sin x + cos x + C Chọn C ( x + a) Ta có F ′ ( x ) = x + + = Suy a = x x2 Khi ∫ g ( x ) dx = ∫ x cos xdx = ∫ xd sin x = x.sin x − ∫ sin xdx = x.sin x + cos x + C 2 Câu Nguyên hàm I = ∫ x sin xdx là: x − x sin x − cos x ) + C ( 1 C x − cos x − x sin x + C 4 A B 1 cos x + ( x + x sin x ) + C D Đáp án A C Hướng dẫn giải biến đổi: 1 − cos x I= xdx − ∫ x cos xdx = x − ∫ x cos xdx + C1 ∫ x sin xdx = ∫ x dx = ∫ 2 Ta I1 I1 = ∫ x cos xdx Câu du = dx u = x Đặt ⇒ dv = cos x v = sin x 1 1 = ⇒ I1 ∫ x cos= xdx x sin x − ∫ sin= xdx x sin x + cos x + C 2 1 1 ⇒= I C x − x sin x − cos x ) + C ( x − cos x − x sin x += 4 1 = − cos x + ( x + x sin x ) + C Chọn C Tìm nguyên hàm= I ∫ ( x − 1) sin xdx = A I (1 − x ) cos x + sin x += ( − x ) cos x + sin x + C C B I 2 − x cos − x cos x + sin x ( ) ( ) x + sin x + C = += C C I D I 4 Hướng dẫn giải Chọn D du = dx u= x − Đặt ⇒ dv = sin xdx v = − cos x Khi 1 1 I= − ( x − 1) cos x + ∫ cos xdx = − ( x − 1) cos x + sin x + C ∫ ( x − 1) sin xdx = 2 Câu Tìm nguyên hàm ∫ sin xdx https://toanmath.com/ A = ∫ sin xdx B ∫ sin xdx = − cos x + C cos x + C x C ∫ sin= xdx cos x + C D ∫ sin xdx = −2 x cos x + 2sin x + C Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x , ta có ∫ sin xdx = ∫ 2t sin tdt du = 2dt u = 2t Đặt ta có v = − cos t dv = sin tdt ∫ 2t sin tdt =−2t cos t + ∫ cos tdt =−2t cos t + 2sin t + C =−2 x cos x + 2sin x + C Câu Nguyên hàm I = ∫ x sin x cos xdx là: A I1 =− x cos3 x + t − t + C , t =sin x B I1 =− x cos3 x + t − t + C , t =sin x 3 C D = I1 x cos3 x + t − t += C , t sin x = I1 x cos3 x + t − t += C , t sin x 3 Hướng dẫn giải Ta đặt: = u x= du dx ⇒ du = sin x cos x u = − cos xdx ⇒ I =∫ x sin x cos xdx =− x cos3 x + ∫ cos3 xdx + C1 I1 Xét I1 = = xdx ∫ cos x (1 − sin x ) dx ∫ cos Đặt t= sin x ⇒ dt= cos xdx ⇒ I1 =∫ (1 − t ) dt =t − t + C2 Câu ⇒I= − x cos3 x + I1 = − x cos3 x + t − t + C Chọn A x Một nguyên hàm f ( x ) = : cos x A x tan x − ln cos x B x tan x + ln ( cos x ) C x tan x + ln cos x D x tan x − ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I = ∫ dx cos x u = x du = dx Đặt: ⇒ dv = cos x dx v = tan x Khi đó: I = uv − ∫ vdu = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x + ln cos x + C Chọn C Câu 10 Một nguyên hàm f ( x ) = A x cot x − ln sinx https://toanmath.com/ x : sin x B − x cot x + ln ( sin x ) C − x tan x + ln cos x D x tan x − ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I = ∫ dx sin x u = x du = dx Đặt: ⇒ dv = sin x dx v = − cot x Khi đó: I = uv − ∫ vdu = − x cot x + ∫ cot xdx = − x cot x + ln sin x + C Chọn B x π π − ; F ( x ) nguyên hàm xf ′ ( x ) thỏa mãn cos x 2 π π F ( ) = Biết a ∈ − ; thỏa mãn tan a = Tính F ( a ) − 10a + 3a 2 1 A − ln10 B − ln10 C ln10 D ln10 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: F ( x ) = ∫ xf ′ ( x ) dx = ∫ xd f= ( x ) xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx Câu 11 Cho f ( x ) = Ta lại có: x ∫ f ( x ) dx = ∫ cos x dx = ∫ xd ( tan = xdx x tan x − ∫ x ) x tan x − ∫ tan= sin x dx cos x d ( cos x ) =x tan x + ln cos x + C ⇒ F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x + C cos x , đó: F ( x ) = xf ( x ) − x tan x − ln cos x Lại có: F ( ) = ⇒ C = = x tan x + ∫ ⇒ F ( a ) = af ( a ) − a tan a − ln cos a Khi f (a) = a = a (1 + tan a ) = 10a cos a 1 = + tan a = 10 ⇔ cos a = 10 cos a ⇔ cos a = 10 Vậy F ( a ) − 10a + 3a= 10a − 3a − ln 1 − 10a + 3a = ln10 10 DẠNG Câu 12 Họ nguyên hàm ∫ e x (1 + x ) dx là: A I =e x + xe x + C C I = x e + xe x + C B I =+ ex D I = 2e x + xe x + C Hướng dẫn giải Ta có: I = ∫ e x (1 + x ) dx = ∫ e x dx + ∫ e x xdx = e x + C1 + ∫ xe x dx I1 Xét I1 = ∫ e x xdx = u x= du x Đặt ⇒ x x = dv e = dx v e https://toanmath.com/ x xe + C ⇒ I1 = xe x − ∫ xe x dx ⇒ I1 = ⇒ I = ex + x xe + C2 x xe + C Chọn B Câu 13 Biết ∫ xe x dx = axe x + be x + C ( a, b ∈ ) Tính tích ab A ab = − B ab = C ab = − Hướng dẫn giải D ab = Chọn C du = dx u = x Đặt ⇒ 2x 2x dv = e dx v = e 1 2x 2x 2x Suy ra: ∫ xe= xe x − ∫ e x dx = dx xe − e + C 2 1 Vậy: a = ; b = − ⇒ ab = − 2x 2x Câu 14 Cho biết ∫ xe= e ( ax + b ) + C , a, b ∈ C số Mệnh đề dx 0 A a + 2b = B b > a C ab D 2a + b = Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u =x ⇒ du =dx , e2 x 2x d= v e dx ⇒= v xe x e2 x xe x e x e2 x x −∫ dx = − + C = Ta có ∫ xe 2= dx ( x − 1) + C Suy a = , b = −1 2 4 x ) ( ax + b ) e x nguyên hàm hàm số= y ( x + 3) e x Khi a + b Câu 15 Biết F (= A B C Hướng dẫn giải Ta có: ∫ ( 2x+3) e x dx = ( ax+b ) e x , nghĩa là: D ( ax+b ) e x ' = ( 2x+3) e x ⇔ a.e x + e x ( ax + b ) = ( 2x+3) e x ⇔ e x ( ax + a + b ) = ( 2x+3) e x Đồng hệ số ta được: a=2 b =1 Vậy a + b = Chọn B Câu 16 Biết ∫ ( x + 3) e −2 x dx = S m2 + n2 − e −2 x ( x + n ) + C , với m, n ∈ Tính = m A S = 10 B S = C S = 65 D S = 41 Hướng dẫn giải Chọn C du = dx u= x + ⇒ Đặt −2 x −2 x dv = e dx v = − e https://toanmath.com/ 1 1 dx = − e −2 x ( x + 3) − e −2 x + C − e −2 x ( x + 3) + ∫ e −2 x dx = 2 −2 x −2 x =− e ( x + + 1) + C =− e ( x + ) + C ⇒ m = 4; n = 4 S = m + n = 65 Câu 17 Tìm nguyên hàm = I ∫ ( x − 1) e − x dx Khi ∫ ( x + 3) e −2 x A I = − ( x + 1) e − x + C B I = − ( x − 1) e − x + C C I = − ( x + 3) e − x + C D I = − ( x − 3) e − x + C Hướng dẫn giải Chọn A 2x −1 2dx u = du = Đặt ⇒ −x −x dv = e dx v = −e Ta có I = − ( x − 1) e − x + ∫ 2.e − x dx = − ( x − 1) e − x − 2e − x + C = − ( x + 1) e − x + C Câu 18 Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f (= x) 1) 11e − A F (= B F (1)= e + ( x + 1) e x F ( ) = Tính F (1) C F (1)= e + D F (1)= e + Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F= ( x) ∫ ( x + 1) e dx x u x + du = 5dx = Đặt ⇒ x x dv = e dx v=e F ( x ) =( x + 1) e x − ∫ 5e x dx = ( x + 1) e x − 5e x + C =( x − ) e x + C Mặt khác F ( ) = ⇔ −4 + C =3 ⇔ C = ⇒ F ( x ) =( x − ) e x + Vậy F (1)= e + x) Câu 19 Cho hàm số f (= x ) ( mx + n ) e x ( m, n ∈ ) ( x − 3) e x Nếu F (= nguyên hàm f ( x) hiệu m − n A B C Hướng dẫn giải: D Chọn A Tính ∫ ( x − 3) e x dx Đặt u = x − ⇒ du = 2dx; dv = e x dx ⇒ v = e x Suy ra: ∫ ( x − 3) e dx =( x − 3) e x x − ∫ e x dx + C = ( x − 3) e x − 2e x + C =( x − ) e x + C Suy ra: m = ; n = −5 Vậy m − n = F ( 0) = F ( −1) f ( x) = e x nguyên hàm hàm số Hãy tính 15 10 10 15 A − B − C D −4 e e e e Hướng dẫn giải Chọn C Câu 20 Cho F ( x) T = Ta có I f ( x ) dx ∫= https://toanmath.com/ x ∫ e dx Đặt x =t ⇒ x =t ⇒ dx = I 3t dt khi= e x dx 3∫ et t dt ∫= t = u 2tdt = du Đặt t 3et t − ∫ et tdt ⇒ t ⇒= I et t − ∫ et td= t e dt = dv e = v Tính ∫ et tdt ( ) = t u= dt d u Đặt t ⇒ ∫ e t t dt = tet − ∫ et dt = te t − e t ⇒ t = v e v e dt d= Vậy ⇒ = x ) 3e I 3et t − ( et t − et ) + C ⇒ F (= Theo giả thiết ta có ⇒ F ( −1) = x ( x2 − e F ( ) =⇒ C= −4 x x −e ⇒ F (= x ) 3e 3 x x )+C x − (e 15 −4 e DẠNG Câu 21 Kết ∫ ln xdx là: A x ln x + x + C C x ln x + C Ta có: I = ∫ ln xdx B Đáp án khác D x ln x − x + C Hướng dẫn giải dx u = ln x du = Đặt: ⇒ x dv = dx v = x Khi đó: = I uv − ∫ vdu = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C Chọn D Câu 22 Nguyên hàm I = ∫ x ln xdx với: x2 ln x − ∫ xdx + C C x ln x − ∫ xdx + C A Ta đặt: B D x ln x − ∫ xdx + C Hướng dẫn giải du = dx u = ln x x ⇒ dv = xdx v = x x2 ⇒ = I ∫ x ln xdx = ln x − ∫ xdx 2 Chọn B Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số = f ( x ) x ln ( x + ) x2 x2 + x ln x + − +C A ∫ ( ) x2 − x2 − x ln ( x + ) − +C B ∫ f= ( x ) dx f ( x= ) dx https://toanmath.com/ x2 ln x − ∫ xdx + C 2 x x −e x )−4 x2 x2 + x ln x + − +C ( ) ∫ 2 x2 − x2 + 4x d ln x x x + − +C D ∫ f= ( ) ( ) 2 Hướng dẫn giải Chọn B dx = u d = u ln ( x + ) x+2 Đặt ⇒ dv = xdx v = x x2 x2 ln ( x + ) − ∫ dx suy ∫ f ( x = ) dx ∫ x ln ( x + 2= ) dx 2 x+2 x2 x2 − x2 − 4x = = + − +C x x ln ( x + ) − ∫ x − + d ln ( ) x+2 2 2 ln x Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm g ( x ) = ? ( x + 1) C f ( x= ) dx − ln x − x ln x + ln + 1999 x +1 x +1 ln x x − ln + 2016 C x +1 x +1 A − ln x x − ln + 1998 x +1 x +1 ln x x + ln + 2017 D x +1 x +1 Hướng dẫn giải B u = ln x du = dx x Đặt ⇒ dv = dx v = −1 ( x + 1) x +1 S ⇒ = 1 dx − ln x − ln x − lnx 1 dx +∫ = + ∫ − = + + ∫ dx − ∫ dx x +1 x ( x + 1) x +1 x +1 x x +1 x x +1 x − ln x − ln x S C ⇔= + ( ln x − ln x + ) + = + ln +C x +1 x +1 x +1 Chọn A ln ( cos x ) dx là: Câu 25 Họ nguyên hàm I = ∫ sin x A cot x.ln ( cos x ) + x + C B − cot x.ln ( cos x ) − x + C C cot x.ln ( cos x ) − x + C Ta đặt: u = ln ( cos x ) du = − tan xdx ⇒ dx v = − cot x dv = sin x D − cot x.ln ( cos x ) + x + C Hướng dẫn giải ⇒I= − cot x.ln ( cos x ) − ∫ dx = − cot x.ln ( cos x ) − x + C Chọn B Câu 26 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x https://toanmath.com/ A ∫ C ∫ 32 x ( 3ln x − ) + C 32 f= x d x x ( 3ln x − 1) + C ( ) f= ( x ) dx Chọn A I ∫= f ( x ) dx = Đặt: t = ∫ 32 x ( 3ln x − ) + C ∫ 32 x d x x ( 3ln x − ) + C D ∫ f= ( ) Hướng dẫn giải B f= ( x ) dx x ln x.dx x ⇒ dt = dx ⇒ 2tdt = dx x = ⇒ I ∫ t= ln t dt ∫ t ln t.dt du = dt = u t ln t Đặt: ⇒ dv = t dt v = t 1 1 = ⇒ I t ln t − = t dt t ln t − t= +C t ( 3ln t − 1) + C ∫ 3 3 32 = x 3ln x − + C 32 = x ( 3ln x − ) + C ln ( x + 3) cho F ( −2 ) + F (1) = Câu 27 Giả sử F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = Giá trị x2 F ( −1) + F ( ) ( A ) 10 ln − ln B ln Hướng dẫn giải C D ln + ln Chọn A Cách 1: Ta có hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( −3;0 ) ( 0; +∞ ) Tính ∫ ln ( x + 3) dx x2 = u ln ( x + 3) du = dx x+3 Đặt (Chọn C = − ) ⇒ dx 1 x+3 dv = v = − − = − x 3x x ln ( x + 3) x+3 x+3 Suy ra: F ( x ) = ∫ x dx =− 3x ln ( x + 3) + ∫ 3x dx =− 3x ln ( x + 3) + ln x + C •Xét khoảng ( −3;0 ) , ta có: F ( −2= ) ln + C1 ; F ( −1=) ln + C1 3 •Xét khoảng ( 0; +∞ ) , ta có: F (1) = − ln + C2 = − ln + C2 ; F ( ) = − ln + ln + C2 3 1 ⇔ ln + C1 + − ln + C2 =0 ⇔ C1 + C2 =ln Suy ra: F ( −2 ) + F (1) = 3 https://toanmath.com/ Do đó: F ( −1) + F= ( ) ln + C1 + − ln + ln + C2 3 10 ln − ln = ln − ln + ln + ln = 3 Cách 2: (Tận dụng máy tính) •Xét khoảng ( −3;0 ) , ta có: F ( −1) − = F ( −2 ) ln ( x + 3) dx ≈ 0, 231 → A (lưu vào A ) (1) x2 −2 −1 −1 ( x ) dx ∫ ∫ f= −2 •Xét khoảng ( 0; +∞ ) , ta có: F ( 2) − F = (1) ln ( x + 3) dx ≈ 0, 738 → B (lưu vào A ) ( ) x2 dx ∫ ∫ f ( x )= •Lấy (1) cộng ( ) theo vế ta được: F ( −1) + F ( ) − F ( −2 ) − F (1) = A + B ⇔ F ( −1) + F ( ) = A + B ≈ 0,969 So phương án ta Chọn A − x2 Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln ? 4+ x − x2 x − 16 − x A x ln B − x − 2x2 ln 4+ x 4+ x − x2 C x ln + 2x2 4+ x x − 16 − x D + 2x2 ln 4+ x Hướng dẫn giải x − x du = 16 u = ln x − 16 Đặt: 4+ x ⇒ 4 v = x − = x − 16 dv = x dx 4 4− x x − 16 − x x − 16 − x ⇒ ∫ x= = − − 2x2 + C ln dx ln xdx ln ∫ + + + x 4 x 4 x Chọn B x dx Câu 29 Tìm H = ∫ ? ( x sin x + cos x ) A H = x + tan x + C cos x ( x sin x + cos x ) B H = x − tan x + C cos x ( x sin x + cos x ) −x + tan x + C cos x ( x sin x + cos x ) −x D H = − tan x + C cos x ( x sin x + cos x ) Hướng dẫn giải x x cos x x Ta có: H ∫= dx ∫ dx = 2 ( x sin x + cos x ) ( x sin x + cos x ) cos x = C H https://toanmath.com/ x x sin x + cos x du = dx u = cos x cos x Đặt ⇒ d ( x sin x + cos x ) x cos x dv = v = − = dx 2 x sin x + cos x ( x sin x + cos x ) ( x sin x + cos x ) x 1 −x ⇒H = − +∫ dx = + tan x + C cos x x sin x + cos x cos x cos x ( x sin x + cos x ) Chọn C a b Câu 30 ∫ x x + + x ln x dx có dạng x + + x ln x − x + C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: A B C D Không tồn Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm Ta có: ∫ ( 2x ∫ ( 2x ∫ 2x * I1 = ∫ ( 2x ) x + + x ln= x dx Để tìm ) ( ) ( ) x + + x ln x dx Sau đó, ta xác định giá trị a ∫ 2x ) x + dx + ∫ x ln x dx đặt I1 x + + x ln x dx ta= ∫ 2x x + dx I = ∫ x ln x dx tìm I1 , I x + dx Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = Suy ra: I1 = x 1, xdx = tdt x + 1, t ≥ ta t =+ ∫ x x + dx = ∫ 2t dt = t + C1 = 3 ( ) x + + C1 , C1 số * I = ∫ x ln x dx Dùng phương pháp nguyên hàm phần du = dx = u ln x x , ta được: Đặt ⇒ dv = xdx v = x I= ∫ x ln x dx= ∫ udv= uv − ∫ vdu 1 1 x ln x − ∫ x ⋅ dx = x ln x − ∫ xdx = x ln x − x + C2 2 x 2 2 2 ∫ x x + + x ln x dx = I1 + I = x + + C1 + x ln x − x + C2 2 2 = x + + x ln x − x + C a b Suy để ∫ x x + + x ln x dx có dạng x + + x ln x − x + C a= ∈ , b = ∈ Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ = ) ( ( ) ) ( https://toanmath.com/ ( ) ( ) ( ∫ 2x * I1 = a ( ) b x ln x − x + C Sau đó, với a a b đáp án ta lấy đạo hàm x + + x ln x − x + C Khơng khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn Sai lầm thường gặp: A Đáp án A sai Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A sai lầm C Đáp án C sai Một số học sinh sai lầm sau: Ta thay giá trị a đáp án vào x2 + + ) x + dx Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = Suy ra: x + 1, tdt = xdx x + 1, t ≥ ta t = ) ( 3 t + C1 = x + + C1 , C1 số 3 Học sinh tìm = I2 x ln x − x + C2 theo phân tích 1 2 2 ∫ x x + + x ln x dx = I1 + I = x + + C1 + x ln x − x + C2 1 2 = x + + x ln x − x + C a b Suy để ∫ x x + + x ln x dx có dạng x + + x ln x − x + C thì= a 1,= b 3 Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm D Đáp án D sai Một số học sinh sai lầm sau: I1 = ∫ x x + dx = ∫ t dt = ) ( ) ( ( ∫ 2x * I1 = ) ( ) ( ) x + dx Dùng phương pháp đổi biến Đặt t = Suy ra: x + 1, tdt = xdx x + 1, t ≥ ta t = ) ( 3 t + C1 = x + + C1 , C1 số 3 Học sinh tìm = I2 x ln x − x + C2 theo phân tích 1 2 x x + + x ln x dx = I + I = x + + C1 + x ln x − x + C2 ∫ 1 2 = x + + x ln x − x + C a b Suy để ∫ x x + + x ln x dx có dạng x + + x ln x − x + C a= ∈ , b = ∉ Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm tính sai giá trị b I1 = ∫ x x + dx = ∫ t dt = ) ( ( ) ) ( https://toanmath.com/ ( ) ( ) Câu 31 Cho F ( x) = A I = f ( x) nguyên hàm hàm số Tính x 2x e −3 2e 2 B I = e ∫ f ′( x) ln xdx bằng: 2−e e −2 C I = e e Hướng dẫn giải 2 D I = − e2 2e Chọn A Do F ( x) = e Tính I = ∫ f ( x) 1 f ( x) ′ nguyên hàm hàm số nên − = ⇔ f ( x) = x x 2x x 2x 1 ln x = u dx = du ⇒ x f ′( x) ln xdx Đặt f ′ ( x ) dx = dv f ( x ) = v e e f ′( x) e2 − 1 Khi I f ( x ) ln ( x ) − ∫ = dx = − ln ( x ) − = 2e x x 2x 1 a + ln x Câu 32 Cho = F ( x) ( ln x + b ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = , a , b ∈ x x Tính S= a + b B S = C S = D S = A S = −2 Hướng dẫn giải Chọn B + ln x = f ( x ) dx ∫ Ta có I ∫= dx x 1 u 1 + ln x = x dx = du Đặt ⇒ d d x = v − = x v x 1 1 I= − (1 + ln x ) + ∫ dx = − (1 + ln x ) − + C = − ( ln x + ) + C ⇒ a = −1; b = x x x x x Vậy S = a + b = a Câu 33 Cho số thực a , b khác không Xét hàm số= f ( x) + bxe x với x khác −1 ( x + 1) e Biết f ′ ( ) = −22 e ∫ f ( x ) dx = Tính a + b ? A 19 B Chọn D Ta có f ′ (= x) −3a ( x + 1) C Hướng dẫn giải + be x + bxe x nên f ′ ( ) =−3a + b =−22 (1) 1 a dx x + bx x e d = a + b xe x dx = aI + bJ 3 ∫ ∫ ∫ + x x + ( ) ( ) 0 0 1 dx Tính I = ∫ = − = ( x + 1) ( x + 1) f ( x ) dx ∫= = u x= du d x Tính J = ∫ xe x dx Đặt ⇒ x = dx v e x dv e= https://toanmath.com/ D 10 1 Khi J = ( xe x ) − ∫ e x dx =e x − e x =1 Suy 83 a + b =5 ( ) −3a + b =−22 a = 10 Từ (1) ( ) ta có 3a Vậy a + b = ⇔ b = + = b Câu 34 Cho a số thực dương Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số 1 1 = f ( x ) e x ln ( ax ) + thỏa mãn F = F ( 2018 ) = e 2018 Mệnh đề sau x a đúng? ;1 A a ∈ B a ∈ 0; C a ∈ [1; 2018 ) D a ∈ [ 2018; +∞ ) 2018 2018 Hướng dẫn giải Chọn A 1 ex x d e ln d = I ∫ e x ln ( ax ) + = x ax x + ( ) ∫ ∫ x dx (1) x Tính ∫ e x ln ( ax ) dx : ln ( ax ) du = dx ex u = x x ⇒ = − e ln ax d x e ln ax Đặt ⇒ x ) ( ) ( ∫ ∫ x dx x x dv = e dx v = e = F ( x ) e x ln ( ax ) + C Thay vào (1), ta được: 1 a1 C = e F a = Với e ln1 + C = a= 2018 ln ( a.2018 ) = F ( 2018 ) = e 2018 e 2018 ln ( a.2018 ) + C = e 2018 ;1 Vậy a ∈ 2018 DẠNG 4: Câu 35 Phát biểu sau đúng? A ∫ e x sin = xdx e x cos x − ∫ e x cos xdx C ∫ e x sin = xdx e x cos x + ∫ e x cos xdx B ∫ e x sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx D ∫ e x sin xdx = −e x cos x − ∫ e x cos xdx Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u = e x du = e x dx ⇒ dv = sin xdx v = − cos x x ⇒ ∫ e sin xdx = −e x cos x + ∫ e x cos xdx Câu 36 Tìm J = ∫ e x sinxdx x ? e ( cos x − sin x ) + C ex C J= ( sin x − cos x ) + C J A = https://toanmath.com/ ex ( sin x + cos x ) + C ex = J D ( sin x + cos x + 1) + C Hướng dẫn giải B J= x u e= du e x dx = Đặt: ⇒ dv1 = sin x.dx v1 = − cos x ⇒J= −e x cos x + ∫ e x cos xdx = −e x cos x + T (T = ∫ e cos xdx ) x Tính T = ∫ e x cos xdx : ⇒ = T e x sin x − ∫ e x sin xdx = e x sin x − J ex ⇒J= −e cos x + e sin x − J ⇔ J = e ( sin x − cos x ) ⇔ J = ( sin x − cos x ) + C Chọn C x https://toanmath.com/ x x ... 1) , đáp án A nguyên hàm f ( x ) x2 + 2x + ′ , đáp án B nguyên hàm f ( x ) F x = ( ( )) ( x + 1) ( F ( x ) )′ = x + 2x ( x + 1) , đáp án C nguyên hàm f ( x ) x2 + 2x ′ , đáp án D nguyên hàm. .. định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có đạo hàm [ a; b ] (2): Mọi hàm số liên tục [ a; b ] có nguyên hàm [ a; b ] (3): Mọi hàm số đạo hàm [ a; b ] có nguyên hàm [ a;... (2): hàm số liên tục [ a; b ] có nguyên hàm [ a; b ] Khẳng định (3): Đúng hàm số có đạo hàm [ a; b ] liên tục [ a; b ] nên có nguyên hàm [ a; b ] Khẳng định (4): Đúng hàm số liên tục [ a; b ] có