Bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải

H ọc sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá tr ị b... V ậy đáp án chính xác là đáp ánA..[r]

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số

( )

F x gọi nguyên hàm hàm số f x( ) K F'( )x = f x( ) với x∈K

Định lí:

1) Nếu F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) K với số C, hàm số

( ) ( )

G x =F x +C nguyên hàm f x( ) K

2) Nếu F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) K nguyên hàm f x( )

K có dạng F x( )+C, với C số

Do F x( )+C C, ∈ họ tất nguyên hàm f x( ) K Ký hiệu

( ) x ( )

f x d =F x +C

∫

2 Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1: (∫ f x d( ) x)′ = f x( ) ∫ f '( )x dx= f x( )+C Tính chất 2: ∫kf x d( ) x=k f x d∫ ( ) x với k số khác

Tính chất 3: ∫f x( )±g x( )dx=∫ f x d( ) x±∫g x d( ) x

3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x( ) liên tục K có nguyên hàm K

4 Bảng nguyên hàm số hàm sốsơ cấp

Nguyên hàm hàm sốsơ cấp Nguyên hàm c( ủ( )a hàm s) ố hợp u=u x

x

d = +x C

∫ ∫du= +u C

( )

1

1

x

1

x dα xα C α

α

+

= + ≠ −

+

∫ 1 ( )

u

1

u dα uα C α

α

+

= + ≠ −

+

∫

1

x ln

d x C

x = +

∫ 1du lnu C

u = +

∫

x

x x

e d =e +C

∫ ∫e du u=eu +C

( )

x 0,

ln

x

x a

a d C a a

a

= + > ≠

∫ u ( 0, 1)

ln

u

u a

a d C a a

a

= + > ≠

sin dxx = −cos x+C

∫ ∫sin duu = −cos u+C

cos xdx=sinx C+

∫ ∫cos udu=sinu+C

2

1

x tan cos xd = x C+

∫ 12 u tan

cos ud = u+C

∫

2

1

x cot

sin xd = − x C+

∫ 12 u cot

sin ud = − u+C

∫

B - BÀI TẬP

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT

Câu Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục [ ]a b; có đạo hàm [ ]a b; (2): Mọi hàm số liên tục [ ]a b; có nguyên hàm [ ]a b; (3): Mọi hàm sốđạo hàm [ ]a b; có nguyên hàm [ ]a b;

(4): Mọi hàm số liên tục [ ]a b; có giá trị lớn giá trị nhỏ [ ]a b;

A 2 B 3 C 1 D 4

Câu Cho hai hàm số f x( ), g x( ) liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x( )dx+∫g x( )dx

B ∫f x g x( ) ( ) dx=∫ f x( )d x g x∫ ( )dx

C ∫f x( ) ( )−g x dx=∫ f x( )dx−∫g x( )dx

D ∫kf x( )dx=k f x∫ ( )dx(k≠0;k∈)

Câu Cho f x( ), g x( ) hàm sốxác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh

đề sai?

A ∫ f x g x( ) ( )dx=∫ f x( )d x g x∫ ( )dx B ∫2f x( )dx=2∫ f x( )dx

C ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x( )dx+∫g x( )dx. D

( ) ( ) d ( )d ( )d

f x −g x x= f x x− g x x

 

 

∫ ∫ ∫

Câu Khẳng định sau khẳng định sai?

A ∫kf x( )dx=k f x∫ ( )dx với k∈

B ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x( )dx+∫g x( )dx với f x( ); g x( ) liên tục 

C d 1

1

xα x xα

α +

= +

∫ với α ≠ −1

D (∫ f x( )dx)′ = f x( )

Câu Cho hai hàm số f x( ), g x( ) hàm số liên tục, có F x( ), G x( ) nguyên hàm f x( ), g x( ) Xét mệnh đề sau:

( )I F x( )+G x( ) nguyên hàm f x( ) ( )+g x

( )II k F x ( ) nguyên hàm k f x ( ) với k∈

A ( )II ( )III B Cả mệnh đề C ( )I ( )III D ( )I ( )II

Câu Mệnh đề sau sai?

A ∫f x( ) ( )−g x dx=∫ f x dx( ) −∫g x dx( ) , với hàm số f x( ) ( ), g x liên tục 

B ∫ f′( )x dx= f x( )+C với hàm số f x( ) có đạo hàm 

C ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x dx( ) +∫g x dx( ) , với hàm số f x( ) ( ), g x liên tục 

D ∫kf x dx( ) =k f x dx∫ ( ) với số k với hàm số f x( ) liên tục 

Câu Cho hàm số f x( ) xác định K F x( ) nguyên hàm f x( ) K Khẳng

định đúng?

A f′( )x =F x( ), ∀ ∈x K B F x′( )= f x( ), ∀ ∈x K

C F x( )= f x( ), ∀ ∈x K D F x′( )= f′( )x , ∀ ∈x K

Câu Cho hàm số f x( ) xác định K Khẳng định sau sai?

A Nếu hàm số F x( ) nguyên hàm f x( ) K với số C, hàm số

( ) ( )

G x =F x +C nguyên hàm f x( ) K

B Nếu f x( ) liên tục K có ngun hàm K

C Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm f x( ) K F x′( )= f x( ) với

x∈K

D Nếu hàm số F x( ) nguyên hàm f x( ) K hàm số F( )−x nguyên hàm f x( ) K

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Cho ( )

2

f x x =

+ , chọn mệnh đềsai mệnh đề sau:

A Trên (− +∞2; ), nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=ln(x+2)+C1; khoảng

(−∞ −; 2), nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=ln(− − +x 2) C2 (C C1, 2 số)

B Trên khoảng (−∞ −; 2), nguyên hàm hàm số f x( ) G x( )=ln(− − −x 2)

C Trên (− +∞2; ), nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=ln(x+2)

D Nếu F x( ) G x( ) hai nguyên hàm của f x( ) chúng sai khác số

Câu 10 Khẳng định sai?

A ∫cos dx x= −sinx C+ B 1dx ln x C

x = +

∫

C

2 dx x=x +C

∫ D ∫e dx x=ex+C

Câu 11 Tìm mệnh đềsai mệnh đề sau

A

4

d

4

x C

x x= +

∫ B 1dx lnx C

x = +

∫

C ∫sin dx x= −C cosx. D 2e dx e( x )

x= +C

∫

Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A ∫dx= +x 2C (C hằng số) B

1

d

1

n

n x

x x C

n +

= +

+

∫ (C hằng số; n∈)

C ∫0dx=C(C hằng số) D e dx ex

x= −C

Câu 13 Tìm nguyên hàm F x( )=∫π2dx

A F x( )=π2x C+ B F x( )=2πx C+

C ( )

3

F x =π +C D ( )

2

2

x F x =π +C

Câu 14 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=ex+cosx+2018

A F x( )=ex+sinx+2018x C+ B F x( )=ex−sinx+2018x C+

C F x( )=ex+sinx+2018x D F x( )=ex+sinx+2018+C

Câu 15 Nguyên hàm hàm số f x( )=2x3−9 là:

A 1

2x − x C+ B

4

4x −9x C+ C 1

4x +C D

3

4x −9x C+

Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=e.xe+4

A 101376 B e xe 1− +C C

e

4 e

x

x C +

+ +

+ D

e

e

4 e

x

x C +

+ +

+

Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=5x4−6x2+1

A

20x −12x C+ B

2

x − x + +x C

C 20x5−12x3+ +x C. D

2

2

4

x

x x C

+ − +

Câu 18 Khẳng định sau sai?

A ∫0 dx=C B

5

d

x x x= +C

∫ C 1dx lnx C

x = +

∫ D ∫e dx x=ex+C

Câu 19 Nguyên hàm hàm số y x2 3x x

= − +

A

3

3 ln

3

x x

x C

− − + B

3

2

3

3

x x

C x − + +

C

3

3 ln

3

x x

x C

− + + D

3

3 ln

3

x x

x C

− + +

Câu 20 Cho hàm số f x( ) a2 b

x x

= + + , với a, b số hữu tỉ thỏa điều kiện

( ) 1

d 3ln

f x x= −

∫ Tính T = +a b

A T = −1 B T =2 C T = −2 D T =0

Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

f x = x + x+

A F x( )=x3+x2+5. B F x( )=x3+ +x C

C F x( )=x3+x2+5x C+ D F x( )=x3+x2+C

Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x( )=(3x+1)5?

A ( ) ( )

6

3

8 18

x

F x = + + B ( ) ( )

6

3

2 18

x

F x = + −

C ( ) ( )

6

3

18

x

F x = + D ( ) ( )

6

3

6

x

Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

1

3

f x x

x

= − −

A

4

3

x x

C x

− + + +

B 22 2x C

x

− − +

C

4

3

x x

C x

+ +

− + D

3

1

3

x x

C x

− − − +

Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 7x6 12

x x

= + + −

A x7 ln x 2x x

+ − − B x7 ln x 2x C

x

+ + − +

C x7 lnx 2x C x

+ + − + D x7 ln x 2x C x

+ − − +

Câu 25 Nguyên hàm ( )

2

f x =x −x + x là:

A 1 4

4x −x +3 x +C B

4 3

1

4x −3x +3 x +C

C 1 3

4x −x +3 x +C D

4 3

1

4x −3x +3 x +C

Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=3 x+x2018là

A

2019

673

x

x+ +C B

2019

2

2019

x

x + +C

C

2019

1

673

x

C

x + + D

2017

1

6054

2 x + x +C

Câu 27 Hàm số F x( )=ex+tanx C+ nguyên hàm hàm số f(x)

A ( ) 12 sin

x

f x e

x

= − B ( ) 12

sin

x

f x e

x = +

C ( ) 2

cos x

x e

f x e

x −

 

=  + 

  D ( )

1 cos

x

f x e

x = +

Câu 28 Nếu f x( )dx ln 2x C x

= + +

∫ với x∈(0;+∞) hàm số f x( )

A f x( ) 12

x x

= − + B ( )

2

f x x

x

= +

C f x( ) 12 ln 2( )x

x

= + D ( ) 12

2

f x

x x

= − + Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( )

2

1

x x

f x

x − + =

−

A

1

x C

x

+ +

− B ( )2

1

1 C

x

+ +

− C

2

ln

2

x

x C

+ − + D x2+ln x− +1 C

Câu 30 Nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 12 sin

f x

x

= −

A F x( )=3x−tanx C+ B F x( )=3x+tanx C+

C F x( )=3x+cotx C+ D F x( )=3x−cotx C+

Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 3cosx 12 x

= + (0;+ ∞)

A 3sinx C x

− + + B 3sinx C

x

− + C 3cosx C x

Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=3x2 +sinx

A

cos

x + x C+ B

sin

x + x C+ C

cos

x − x C+ D

3x −sinx C+

Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=3x2+8sinx

A ∫ f x( )dx=6x−8 cosx C+ B ∫ f x( )dx=6x+8 cosx C+

C ∫ f x( )dx=x3−8 cosx C+ D ∫ f x( )dx=x3+8 cosx C+

Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos2

x f x =   

 

A ∫ f x( )dx= +x sinx C+ B ∫ f x( )dx= −x sinx C+

C ( )d 1sin 2

x

f x x= + x C+

∫ D ( )d 1sin

2

x

f x x= − x C+

∫

Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )= +x cosx

A ( )

2

d sin

2

x

f x x= + x C+

∫ B ∫ f x( )dx= −1 sinx C+

C ∫ f x( )dx=xsinx+cosx C+ D ( )

2

d sin

2

x

f x x= − x C+

∫

Câu 36 ∫(x2+2x3)dx có dạng

3

a b

x + x +C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 2 B 1 C 9 D 32

Câu 37 3

3x x dx

 + 

+

 

 

 

∫ có dạng

12

a b

x + x +C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a

bằng:

A 1 B 12 C 36(1 3)

5 + D Không tồn

Câu 38 ∫((2a+1)x3+bx2)dx, a b, hai số hữu tỉ Biết

( )

( 2)

2

4

a+ x +bx dx= x +x +C

∫ Giá trị a b, bằng:

A 1; B 3; C 1;

8

− D

1

sin cos

4x x−2 x

Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )thỏa mãn điều kiện: ( ) 3cos ,

f x = x− x F  π =   A

2

( ) 3sin

4

F x =x − x+ +π B

2

( ) 3sin

4

F x =x − x−π C

2

( ) 3sin

4

F x =x − x+π D

2

( ) 3sin

4

F x =x − x+ −π Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12

sin

f x x

x

= + thỏa mãn F( )

4

π = −

là:

A

2

F( ) ot

16

x = −c x+x −π B

2

F( ) ot

16

x =c x−x +π C F( )x = −c xot +x2 D

2

F( ) ot

16

Câu 41 Nếu ∫ f x dx( ) =ex+sin2x C+ f x( ) hàm nào?

A

cos x

e + x B x sin

e − x C x cos

e + x D x sin

e + x

Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x)

3

1

( ) x

f x x

−

= biết F(1) =

A

2

1

( )

2

x F x

x

= − + B

2

1

( )

2

x F x

x = + +

C

2

1

( )

2

x F x

x

= − − D

2

1

(x)

2

x F

x = + −

Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f x( )

x x

= + :

A 4 x+3ln x +C B 2 x+3ln x +C

C ( )4 x −1+3ln x +C D 16 x−3ln x +C

Câu 44 Tính

3

( x )dx x + ∫

A 33 ln

5 x x C

− + + B 33 ln

5 x − x +C

C 53

4 ln

3 x + x +C. D

3

3

4 ln

5 x + x +C

Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số f x( )=4x3−3x2+2x−2 thỏa mãn F(1)=9 là:

A F( )x =x4 − +x3 x2−2 B F( )x =x4− +x3 x2+10

C F( )x =x4 − +x3 x2−2x D F( )x =x4− +x3 x2−2x+10

Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số y=(2x+1)5 là:

A (2 1)6

12 x+ +C B

6

1

(2 1) x+ +C

C 1

(2 1)

2 x+ +C D

4

10(2x+1) +C

Câu 47 Nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=2x2+x3−4 thỏa mãn điều kiện F( )0 =0

A 2x3−4x4 B

4

2

4

3

x

x + − x C x3−x4+2x D Đáp án khác Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F x’( )=4x3 – 3x2+2 F( )− =1

A F x( )=x4–x3−2x−3 B F x( )=x4 –x3+2x+3

C F x( )=x4–x3−2x+3 D F x( )=x4+x3+2x+3

Câu 49 Hàm số f x( ) xác định, liên tục  có đạo hàm f′( )x = −x Biết

( )0

f = Tính f ( )2 + f ( )4 ?

A 10 B 12 C 4 D 11

Câu 50 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn đồng thời điều kiện f′( )x = +x sinx f ( )0 =1 Tìm

( ) f x

A ( )

cos

2

x

f x = − x+ B ( )

2

cos

2

x

f x = − x−

C ( )

cos

x

f x = + x D ( )

2

1 cos

2

x

Câu 51 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f′( )x = −3 cosx f ( )0 =5 Mệnh đềnào đúng?

A f x( )=3x+5sinx+2 B f x( )=3x−5sinx−5

C f x( )=3x−5sinx+5 D f x( )=3x+5sinx+5

Câu 52 Biết F x( ) nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx đồ thị hàm số y=F x( ) qua điểm M( )0;1 Tính

2

F  π  

A

2

F  = π

  B F

π   = −  

  C F

π   =  

  D F

π   =     Câu 53 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=x2−2x+3 thỏa mãn F( )0 =2, giá trị

của F( )1

A 4 B 13

3 C 2 D

11

Câu 54 Tìm nguyên hàmF x( )của hàm số f x( ) ax b2(x 0)

x

= + ≠ , biết F( )− =1 1,

( )1

F = , f ( )1 =0

A ( )

3

4

x F x

x

= + + B ( )

2

3

4

x F x

x

= − −

C ( )

3

2 4

x F x

x

= + − D ( )

2

3

2 2

x F x

x

= − −

Câu 55 Biết hàm số y= f x( ) có f′( )x =3x2+2x m− +1, f ( )2 =1 đồ thị hàm số

( )

y= f x cắt trục tung điểm có tung độ −5 Hàm số f x( )

A x3+x2−3x−5 B x3+2x2−5x−5 C 2x3+x2−7x−5 D x3+x2+4x−5

Câu 56 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) (= 2x−3)2 thỏa mãn ( )0

F = Giá trị biểu thức log23F( )1 −2F( )2 

A 10 B −4 C 4 D 2

Câu 57 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) ( )

4

f x = x + m− x+ +m , với m tham số

thực Một nguyên hàm f x( ) biết F( )1 =8 F( )0 =1 là:

A F x( )=x4+2x2+6x+1 B F x( )=x4+6x+1

C ( )

2

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT

Câu Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục [ ]a b; có đạo hàm [ ]a b; (2): Mọi hàm số liên tục [ ]a b; có nguyên hàm [ ]a b; (3): Mọi hàm sốđạo hàm [ ]a b; có nguyên hàm [ ]a b;

(4): Mọi hàm số liên tục [ ]a b; có giá trị lớn giá trị nhỏ [ ]a b;

A 2 B 3 C 1 D 4

Hướng dẫn giải Chọn B

Khẳng định (1): Sai, hàm số y= x liện tục [−1;1] khơng có đạo hàm x=0 nên khơng thểcó đạo hàm [−1;1]

Khẳng định (2): hàm sốliêntục [ ]a b; có nguyênhàm [ ]a b; Khẳng định (3): Đúng hàm số có đạohàm [ ]a b; liên tục [ ]a b; nên

đều có nguyênhàm [ ]a b;

Khẳng định (4): Đúng hàm số liên tục [ ]a b; có giá trị lớn giá trị nhỏ [ ]a b;

Câu Cho hai hàm số f x( ), g x( ) liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x( )dx+∫g x( )dx

B ∫f x g x( ) ( ) dx=∫ f x( )d x g x∫ ( )dx

C ∫f x( ) ( )−g x dx=∫ f x( )dx−∫g x( )dx

D ∫kf x( )dx=k f x∫ ( )dx (k≠0;k∈)

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu Cho f x( ), g x( ) hàm sốxác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh

đề sai?

A ∫ f x g x( ) ( )dx=∫ f x( )d x g x∫ ( )dx B ∫2f x( )dx=2∫ f x( )dx

C ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x( )dx+∫g x( )dx. D

( ) ( ) d ( )d ( )d

f x −g x x= f x x− g x x

 

 

∫ ∫ ∫

Hướng dẫn giải Chọn A

Ngun hàm khơng có tính chất ngun hàm tích tích nguyên hàm Hoặc B, C, D tính chất nguyên hàm nên A sai

Câu Khẳng định sau khẳng định sai?

A ∫kf x( )dx=k f x∫ ( )dx với k∈

B ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x( )dx+∫g x( )dx với f x( ); g x( ) liên tục 

C d 1

1

xα x xα

α +

= +

∫ với α ≠ −1

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ∫kf x( )dx=k f x∫ ( )dx với k∈ sai tính chất k∈\ 0{ }

Câu Cho hai hàm số f x( ), g x( ) hàm số liên tục, có F x( ), G x( ) nguyên hàm f x( ), g x( ) Xét mệnh đề sau:

( )I F x( )+G x( ) nguyên hàm f x( ) ( )+g x

( )II k F x ( ) nguyên hàm k f x ( ) với k∈

( )III F x G x( ) ( ) nguyên hàm f x g x( ) ( ) Các mệnh đềđúng

A ( )II ( )III B Cả mệnh đề C ( )I ( )III D ( )I ( )II

Hướng dẫn giải Chọn D

Theo tính chất nguyên hàm ( )I ( )II đúng, ( )III sai

Câu Mệnh đềnào sau sai?

A ∫f x( ) ( )−g x dx=∫ f x dx( ) −∫g x dx( ) , với hàm số f x( ) ( ), g x liên tục 

B ∫ f′( )x dx= f x( )+C với hàm số f x( ) có đạo hàm 

C ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x dx( ) +∫g x dx( ) , với hàm số f x( ) ( ), g x liên tục 

D ∫kf x dx( ) =k f x dx∫ ( ) với số k với hàm số f x( ) liên tục 

Hướng dẫn giải Chọn D

Mệnh đề: ∫kf x dx( ) =k f x dx∫ ( ) với số k với hàm số f x( ) liên tục

 mệnh đề sai k=0 ∫kf x dx( ) ≠k f x dx∫ ( )

Câu Cho hàm số f x( ) xác định K F x( ) nguyên hàm f x( ) K Khẳng

định đúng?

A f′( )x =F x( ), ∀ ∈x K B F x′( )= f x( ), ∀ ∈x K

C F x( )= f x( ), ∀ ∈x K D F x′( )= f′( )x , ∀ ∈x K

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có F x( )=∫ f x( )dx, ∀ ∈x K ⇒F x( )′ = f x( ), ∀ ∈x K

Câu Cho hàm số f x( ) xác định K Khẳng định sau sai?

A Nếu hàm số F x( ) nguyên hàm f x( ) K với số C, hàm số

( ) ( )

G x =F x +C nguyên hàm f x( ) K

B Nếu f x( ) liên tục K có nguyên hàm K

C Hàm số F x( ) gọi nguyên hàm f x( ) K F x′( )= f x( ) với

x∈K

D Nếu hàm số F x( ) nguyên hàm f x( ) K hàm số F( )−x nguyên hàm f x( ) K

Dựa theo định lí Sự tồn nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Cho ( )

2

f x x =

+ , chọn mệnh đềsai mệnh đề sau:

A Trên (− +∞2; ), nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=ln(x+2)+C1; khoảng

(−∞ −; 2), nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=ln(− − +x 2) C2 (C C1, 2 số)

B Trên khoảng (−∞ −; 2), nguyên hàm hàm số f x( ) G x( )=ln(− − −x 2)

C Trên (− +∞2; ), nguyên hàm hàm số f x( ) F x( )=ln(x+2)

D Nếu F x( ) G x( ) hai nguyên hàm của f x( ) chúng sai khác số

Hướng dẫn giải Chọn D

D sai F x( )=ln(x+2) G x( )=ln(− − −x 2) nguyên hàm hàm số f x( ) khoảng khác khác

Câu 10 Khẳng định sai?

A ∫cos dx x= −sinx C+ B 1dx ln x C

x = +

∫

C

2 dx x=x +C

∫ D ∫e dx x=ex+C

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ∫cos dx x=sinx C+ ⇒ A sai

Câu 11 Tìm mệnh đềsai mệnh đề sau

A

4

d

4

x C

x x= +

∫ B 1dx lnx C

x = +

∫

C ∫sin dx x= −C cosx. D ∫2e dx x=2 e( x+C)

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có 1dx ln x C

x = +

∫

Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A ∫dx= +x 2C (C hằng số) B

1

d

1

n

n x

x x C

n +

= +

+

∫ (C hằng số; n∈)

C ∫0dx=C(C hằng số) D ∫e dx x=ex−C(C hằng số)

Hướng dẫn giải Chọn B

Đáp án B sai cơng thức chỉđúng bổsung thêm điều kiện n≠ −1

Câu 13 Tìm nguyên hàm F x( )=∫π2dx

A F x( )=π2x C+ B F x( )=2πx C+

C ( )

3

F x =π +C D ( )

2

2

x F x =π +C

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( ) 2

d

F x =∫π x=π x C+ (vì π2

số)

A F x( )=ex+sinx+2018x C+ B F x( )=ex−sinx+2018x C+

C ( ) ex sin 2018

F x = + x+ x D ( ) ex sin 2018

F x = + x+ +C

Hướng dẫn giải Chọn A

Câu 15 Nguyên hàm hàm số f x( )=2x3−9 là:

A 1

2x − x C+ B

4

4x −9x C+ C 1

4x +C D

3

4x −9x C+

Hướng dẫn giải Chọn A

( )

2x −9 dx

∫

4

x

x C

= − +

2

x

x C = − +

Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=e.xe+4

A 101376 B e xe 1− +C C

e

4 e

x

x C +

+ +

+ D

e

e

4 e

x

x C +

+ +

+

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có ( ) ( )

e

e e

d e d

e

x

f x x x x x C

+

= + = + +

+

∫ ∫

Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=5x4−6x2+1

A 20x3−12x C+ B x5−2x3+ +x C

C 20x5−12x3+ +x C. D

2

2

4

x

x x C

+ − +

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ∫(5x4−6x2 +1 d) x=x5−2x3+ +x C

Câu 18 Khẳng định sau sai?

A ∫0 dx=C B

5

d

x x x= +C

∫ C 1dx lnx C

x = +

∫ D ∫e dx x=ex+C

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: 1dx ln x C

x = +

∫ ⇒ C sai

Câu 19 Nguyên hàm hàm số

3

y x x

x

= − +

A

3

3 ln

3

x x

x C

− − + B

3

2

3

3

x x

C x − + +

C

3

3 ln

3

x x

x C

− + + D

3

3 ln

3

x x

x C

− + +

Hướng dẫn giải Chọn D

Áp dụng cơng thức ngun hàm ta có

3

2

3 d ln

3

x x

x x x x C

x

 − +  = − + +

 

 

Câu 20 Cho hàm số f x( ) a2 b

x x

= + + , với a, b số hữu tỉ thỏa điều kiện

( ) 1

d 3ln

f x x= −

∫ Tính T = +a b

A T = −1 B T =2 C T = −2 D T =0

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ( )

1

d

f x x=

∫

1

2 d

a b

x

x x

 + + 

 

 

∫

1

ln

a

b x x

x

 

= − + + 

  = + +a bln

Theo giả thiết, ta có 3ln 2− = + +a bln Từđó suy a=1, b= −3 Vậy T = + = −a b

Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=3x2+2x+5là

A F x( )=x3+x2+5. B F x( )=x3+ +x C

C F x( )=x3+x2+5x C+ D F x( )=x3+x2+C

Hướng dẫn giải Chọn C

Nguyên hàm hàm số ( )

3

f x = x + x+ ( )

5

F x =x +x + x C+

Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x( )=(3x+1)5?

A ( ) ( )

6

3

8 18

x

F x = + + B ( ) ( )

6

3

2 18

x

F x = + −

C ( ) ( )

6

3

18

x

F x = + D ( ) ( )

6

3

6

x

F x = +

Hướng dẫn giải Chọn D

Áp dụng ( ) ( )

1

1 d

1

ax b

ax b x C

a

α α

α + +

+ = +

+

∫ với α ≠ −1 C số

Vậy hàm sốởphương án D thỏa yêu cầu đề

Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

1

3

f x x

x

= − −

A

4

3

x x

C x

− + +

+ B 22 2x C x

− − +

C

4

3

x x

C x

+ +

− + D

3

1

3

x x

C x

−

− − +

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có 12 d

3

x x

x

 − − 

 

 

∫ 2

d

x− x x

 

=  − − 

 

∫ x33 3x C

x

= − − − +

Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 7x6 12

x x

= + + −

A

ln

x x x

x

+ − − B

ln

x x x C

x

C

ln

x x x C

x

+ + − + D

ln

x x x C

x

+ − − +

Hướng dẫn giải Chọn D

( )d

f x x

∫

ln

x x x C

x

= + − − +

Câu 25 Nguyên hàm ( )

2

f x =x −x + x là:

A 1 4

4x −x +3 x +C B

4 3

1

4x −3x +3 x +C

C 1 3

4x −x +3 x +C D

4 3

1

4x −3x +3 x +C

Hướng dẫn giải

Ta có:

( ) 4

2

4 3

x −x + x dx= x − x + x +C

∫

Chọn A

Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=3 x+x2018là

A

2019

673

x

x+ +C B

2019

2

2019

x

x + +C

C

2019

1

673

x

C

x + + D

2017

1

6054

2 x + x +C

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

( 2018)

3 x+x dx

∫ 12 2018

3x x dx

 

=  + 

 

∫

3

2019

3

3 2019

2

x x

C

= + + 2019

2

2019

x

x C

= + +

Câu 27 Hàm số F x( )=ex+tanx C+ nguyên hàm hàm số f(x)

A ( ) 12 sin x

f x e

x

= − B ( ) 12

sin x

f x e

x

= +

C ( ) 2

cos x

x e

f x e

x −

 

=  + 

  D ( )

1 cos x

f x e

x

= +

Hướng dẫn giải

Ta có: ( tan ) 12

cos

x x

e x C e

x ′

+ + = +

Chọn D

Câu 28 Nếu f x( )dx ln 2x C x

= + +

∫ với x∈(0;+∞) hàm số f x( )

A f x( ) 12

x x

= − + B ( )

2

f x x

x

= +

C f x( ) 12 ln 2( )x

x

= + D ( ) 12

2

f x

x x

= − + Hướng dẫn giải

Chọn A

Do ( ) ( ) ( )

2

1 1 1

ln ln

2

x

f x x x

x x x x x x

′

′ ′

    ′

= +  =  + = − + = − +

    với x∈(0;+∞)

Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( )

2

1

x x

f x

x − + =

−

A

1

x C

x

+ +

− B ( )2

1

1 C

x

+ +

− C

ln

2

x

x C

+ − + D x2+ln x− +1 C

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ( )

2

1

1

x x

f x x

x x

− +

= = +

− −

( )d ln

2

x

f x x x C

⇒∫ = + − +

Câu 30 Nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 12 sin

f x

x

= −

A F x( )=3x−tanx C+ B F x( )=3x+tanx C+

C F x( )=3x+cotx C+ D F x( )=3x−cotx C+

Hướng dẫn giải Chọn C

Nguyên hàm hàm số ( ) 12

sin

f x

x

= − F x( )=3x+cotx C+

Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) 3cosx 12 x

= + (0;+ ∞)

A 3sinx C x

− + + B 3sinx C x

− + C 3cosx C x

+ + D 3cosx+lnx C+

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ( )d 3cos 12 d 3sin

b

a

f x x x x x C

x x

 

=  +  = − +

 

∫ ∫

Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=3x2 +sinx

A x3+cosx C+ B x3+sinx C+ C x3−cosx C+ D 3x3−sinx C+

Hướng dẫn giải Chọn C

Họ nguyên hàm hàm số f x( )=3x2 +sinx x3−cosx C+

Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=3x2+8sinx

A ∫ f x( )dx=6x−8 cosx C+ B ∫ f x( )dx=6x+8 cosx C+

C ∫ f x( )dx=x3−8 cosx C+ D ∫ f x( )dx=x3+8 cosx C+

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: ∫ f x( )dx ( )

3x 8sinx dx

=∫ +

8 cos

x x C

= − +

Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos2

x f x =   

 

C ( )d 1sin 2

x

f x x= + x C+

∫ D ( )d 1sin

2

x

f x x= − x C+

∫

Lời giải

Chọn C

Ta có ( )d cos d 1sin

2 2

x x

f x x=  +  x= + x C+

 

∫ ∫

Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )= +x cosx

A ( )

2

d sin

2

x

f x x= + x C+

∫ B ∫ f x( )dx= −1 sinx C+

C ∫ f x( )dx=xsinx+cosx C+ D ( )

2

d sin

2

x

f x x= − x C+

∫

Hướng dẫn giải Chọn A

( )d ( cos )d sin

2

x

f x x= x+ x x= + x C+

∫ ∫

Câu 36 ( 3)

2

x + x dx

∫ có dạng

3

a b

x + x +C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 2 B 1 C 9 D 32

Hướng dẫn giải Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm ( 3)

2

x + x dx

∫ Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

( 3)

2

3

x + x dx= x + x +C

∫

Suy để ( 3) x +x dx

∫ có dạng

3

a b

x + x +C a=1,b=2

Chọn B

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a ởcác đáp án vào

3

a b

x + x +C Sau đó, với a đáp án ta lấy đạo hàm

3

a b

x + x +C Ví dụ:

A Thay a=2 vào

3

a b

x + x +C ta

3

b

x + x +C Lấy đạo hàm

3

b x + x +C

:

3

2

2

3

b

x x C x bx

′

 + +  = +

 

  , không tồn số hữu tỉ b cho

2 3

2 ,

x + x = x +bx ∀ ∈x  nên ta loại

đáp án A

B Thay a=1 vào

3

a b

x + x +C ta

3

b

x + x +C Lấy đạo hàm

3

b x + x +C

:

3

1

3

b

x x C x bx

′

 + +  = +

 

  , tồn số hữu tỉ b cho

2 3

2 ,

C Thay a=9 vào

3

a b

x + x +C ta

3

b

x + x +C Lấy đạo hàm

3

b

x + x +C:

3

3

4

b

x x C x bx

′

 + +  = +

 

  , khơng tồn số hữu tỉ b cho

2 3

9x +2x =2x +bx ,∀ ∈x  nên ta loại

đáp án C

D Thay a=32 vào

3

a b

x + x +C ta 32

3

b

x + x +C Lấy đạo hàm

3

32

3

b

x + x +C:

3

32

32

3

b

x x C x bx

′

 + +  = +

 

  , khơng tồn số hữu tỉ b cho

2 3

32x +2x =2x +bx ,∀ ∈x  nên ta loại

đáp án D

Chú ý:

Ta cần so sánh hệ số x2 vế đẳng thức x2 +2x3 =2x2+bx3;

2 3

9x +2x =2x +bx ;

2 3

32x +2x =2x +bx loại nhanh đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp:

A Đáp án A sai

Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Nên khoanh đáp ánA C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm sau:

( 3)

2

x + x dx= x + x +C

∫

Vì thế, a=9 để ( 3)

2

x + x dx= x + x +C

∫ có dạng

3

a b

x + x +C Học sinh khoanh đáp án C sai lầm

D Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm sau:

( 3)

2

x + x dx= x + x +C

∫

Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề nên tìm giá trị b

Để ( 3)

2

x + x dx

∫ có dạng

3

a b

x + x +C b=32 Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm

Câu 37 3

3x x dx

 + 

+

 

 

 

∫ có dạng

12

a b

x + x +C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a

bằng:

A 1 B 12 C 36(1 3)

5 + D Không tồn

Hướng dẫn giải Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm 3

3x x dx

 + 

+

 

 

 

3

1 1

3x x dx 12x 30 x C

 +  +

+ = + +

 

 

 

∫

Suy để 3

3x x dx

 + 

+

 

 

 

∫ có dạng

12

a b

x + x +C ,

5

a= ∈ b= + ∉ Chọn D

Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a ởcác đáp án vào

12

a b

x + x +C Sau đó, với a đáp án ta lấy đạo hàm

12

a b

x + x +C Ví dụ:

A Thay a=1 vào

12

a b

x + x +C ta

12

b

x + x +C Lấy đạo hàm

4

1

12

b

x + x +C:

4

1

12

b

x x C x bx

′

 + +  = +

 

  , khơng tồn số hữu tỉ b cho

3 5

1

,

3x x 3x bx x

+

+ = + ∀ ∈ nên ta

loại đáp ánA

B Thay a=12 vào

12

a b

x + x +C ta

6

b

x + x +C Lấy đạo hàm

6

b

x + x +C:

4

4

b

x x C x bx

′

 + +  = +

 

  , khơng tồn số hữu tỉ b cho

3 5

1

4 ,

3x x x bx x

+

+ = + ∀ ∈ nên ta loại đáp án B

C Loại đáp ánC

Ta loại nhanh đáp án C 36(1 3)

5 + ∉ a∈

Vậy đáp án xác đáp án D Sai lầm thường gặp:

A Đáp án A sai

Một số học sinh khơng đọc kĩ đềnên sau tìm giá trị a ( khơng tìm giá trị b

).Học sinh khoanh đáp án A sai lầm

B Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm tìm giá trị a sau:

( )

3 6

1 1

3

3x x dx 3x x C x x C

+

 +  +

+ = ⋅ + ⋅ + = + +

 

 

 

∫

Vì thế, a=12 để 3 1( 3)

3x x dx x x C

+

 + 

+ = + +

 

 

 

∫ có dạng

12

a b

x + x +C Thế là, học sinh khoanh đáp án B sai lầm

C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm tìm giá trị b khơng

( )

3 6

1 1

3

3x x dx 3x x C x x C

+

 +  +

+ = ⋅ + ⋅ + = + +

 

 

 

∫

Vì thế, 36(1 3)

5

b= + để ( )

6

1

3x x dx x x C

+

 + 

+ = + +

 

 

 

∫ có dạng

4

12

a b

x + x +C

Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

Câu 38 ∫((2a+1)x3+bx2)dx, a b, hai số hữu tỉ Biết

( )

( 2)

2

4

a+ x +bx dx= x +x +C

∫ Giá trị a b, bằng:

A 1; B 3; C 1;

− D

1

sin cos

4x x−2 x

Hướng dẫn giải Cách 1:

Ta cần tìm ∫((2a+1)x3+bx2)dx Ta có:

( )

( 2) 1( )

2

4

a+ x +bx dx= a+ x + bx +C

∫

Vì ta có giả thiết ((2 1) 2)

4

a+ x +bx dx= x +x +C

∫ nên 1(2 1)

4 a+ x +3bx +C có dạng

4

3

4x +x +C

Để 1( )

2

4 a+ x +3bx +C có dạng

4

3

4x +x +C

( )

1

2

4

1

a b

 + =

   = 

, nghĩa

3

a b

=   = 

Vậy đáp án xác đáp ánA

Cách 2:

Ta loại nhanh đáp án C giá trị a ởđáp án C không thỏa điều kiện a∈

Tiếp theo, ta thay giá trị a b, đáp án A, B vào ∫((2a+1)x3+bx2)dx tìm

( )

( 2)

2a+1 x +bx dx

∫

Ta có: (3 3 2)

4

x + x dx= x +x +C

∫ nên đáp án xác đáp ánA

Chú ý:

Giả sử giá trị a b, ởcác đáp án A, B, C khơng thỏa u cầu tốn đáp án xác Chọn D

Sai lầm thường gặp: B Đáp án B sai

Một số học sinh không ý đến thứ tự xếp nên học sinh khoanh đáp án B sai lầm

C Đáp án C sai

( )

( 2) ( )

2a+1 x +bx dx= 2a+1 x +bx +C

∫

Vì ta có giả thiết (( ) 2)

2

4

a+ x +bx dx= x +x +C

∫ nên (2a+1)x4+bx3+C có dạng

4

3

4x +x +C

Để 1( )

2

4 a+ x +3bx +C có dạng

4

3

4x +x +C

( )

2

4

a b

 + = 

  = 

,

nghĩa

1

a b  = −    = 

Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )thỏa mãn điều kiện: ( ) 3cos ,

f x = x− x F  π =   A

2

( ) 3sin

4

F x =x − x+ +π B

2

( ) 3sin

4

F x =x − x−π C

2

( ) 3sin

4

F x =x − x+π D

2

( ) 3sin

4

F x =x − x+ −π Hướng dẫn giải

Ta có: F x( ) (=∫ 2x−3cosx dx) =x2−3sinx C+

2

3 3sin

2 2

F  π = ⇔  π − π + = ⇔ = −C C π

   

Vậy

2

( ) 3sin

4

F x =x − x+ −π Chọn D

Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12 sin

f x x

x

= + thỏa mãn F( )

4

π = −

là:

A

2

F( ) ot

16

x = −c x+x −π B

2

F( ) ot

16

x =c x−x +π C F( )x = −c xot +x2 D

2

F( ) ot

16

x = −c x+x −π Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) 12 cot

sin

F x x dx x x C

x

 

=  +  = − +

 

∫

2

1 cot

4 4 16

F  π = − ⇔  π − π + = − ⇔ =C C π

   

Vậy

2

F( ) ot

16

x = −c x+x −π Chọn A

Câu 41 Nếu

( ) x sin

f x dx=e + x C+

∫ f x( ) hàm nào?

A ex+cos2x B ex−sin 2x C ex+cos 2x D ex+sin 2x Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

sin sin

x x

Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x)

3

1

( ) x

f x x

−

= biết F(1) =

A

2

1

( )

2

x F x

x

= − + B

2

1

( )

2

x F x

x = + +

C

2

1

( )

2

x F x

x

= − − D

2

1

(x)

2

x F

x = + − Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

3

2

1 1

2

x x

F x dx x dx C

x x x

−  

= =  −  = + +

 

∫ ∫

( ) 12

1 0

2

F = ⇔ + + = ⇔ =C C −

Vậy

2 1 3

(x)

2

x F

x = + − Chọn D

Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f x( )

x x

= + :

A 4 x+3ln x +C B 2 x+3ln x +C

C ( )

4 x − +3ln x +C D 16 x−3ln x +C

Hướng dẫn giải

Ta có: dx x 3ln x C

x x

 +  = + +

 

 

∫

Chọn A

Câu 44 Tính (3 x2 4)dx x + ∫

A 33 ln

5 x x C

− + + B 33 ln

5 x − x +C

C 53 ln

3 x + x +C. D

3

3

4 ln

5 x + x +C

Hướng dẫn giải

Ta có:

3

3

4 ln

x

x dx x C

x

 +  = + +

 

 

∫

Chọn D

Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số f x( )=4x3−3x2+2x−2 thỏa mãn F(1)=9 là:

A F( )x =x4− +x3 x2−2 B F( )x =x4 − +x3 x2 +10

C F( )x =x4− +x3 x2−2x D F( )x =x4− +x3 x2−2x+10

Hướng dẫn giải

Ta có: F x( )=∫(4x3−3x2+2x−2)dx=x4−x3+x2−2x C+

( ) 4

1 1 2.1 10 F( ) 10

F = ⇔ − + − + = ⇔ =C C ⇒ x =x −x +x − x+

Chọn D

Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số y=(2x+1)5 là:

A (2 1)6

12 x+ +C B

6

1

C 1

(2 1)

2 x+ +C D

4

10(2x+1) +C

Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) ( ) ( )

6

5 1

2

2 12

x

x+ dx= + = x+ +C

∫

Chọn A

Câu 47 Nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

f x = x +x − thỏa mãn điều kiện F( )0 =0

A 2x3−4x4 B

4

2

4

3

x

x + − x C x3−x4+2x D Đáp án khác Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) ( )

3

2

2 4

3

x x

F x =∫ x + −x dx= + − x C+

( ) 2.03 04 ( )

0 0

3 4

x

F = ⇔ + + = ⇔ = ⇒C C F x = x + − x

Chọn D

Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F’( )x =4x3 – 3x2+2 F( )− =1

A F x( )=x4–x3−2x−3 B F x( )=x4 –x3+2x+3

C ( )

–

F x =x x − x+ D ( )

2

F x =x +x + x+ Hướng dẫn giải

Ta có: F x( )=∫F x d′( ) x=∫(4x3−3x2+2)dx=x4−x3+2x+C

( ) ( ) ( )4 ( )

1 1 3

F − = ⇔ − − − + − + = ⇔ =C C

Vậy F x( )=x4 –x3+2x+3

Chọn B Câu 49 17THàm số

( ) f x xác đị

nh, liên tục  có đạo hàm f′( )x = −x Biết

( )0

f =

Tính f ( )2 + f ( )4 ?

A 10 B 12 C 4 D 11

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ( )

( )

1

1

x x

f x

x x

− ≥

 ′ = 

− − <



Khi x≥1 ( ) ( )

2

1

1 d

x

f x =∫ x− x= − +x C

Khi x<1 ( ) ( )

2

2

1 d

2

x

f x = − x− x= − −x+C

 

∫

Theo đề ta có f ( )0 =317T nên

C = ( )

2

3

x

f x  x

⇒ = − − +

 

17T

x<1

Mặt khác hàm số f x( ) liên tục x=1 nên ( ) ( ) ( )

1

lim lim

x→− f x =x→+ f x = f

2

1

1

lim lim

2

x x

x x

x x C

− +

→ →

      

⇔ − − + =  − + 

   

   

1

1

2 C

 

⇔ − − + = − +

  ⇔C1=4

Vậy x≥1 ( )

2

4

x

Câu 50 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn đồng thời điều kiện f′( )x = +x sinx f ( )0 =1 Tìm

( ) f x

A ( )

cos

2

x

f x = − x+ B ( )

2

cos

2

x

f x = − x−

C ( )

cos

x

f x = + x D ( )

2

1 cos

2

x

f x = + x+

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có f′( )x = +x sinx ( )

cos

x

f x x C

⇒ = − + ; f ( )0 =1⇔ − + =1 C 1⇔ =C Vậy ( )

2

cos

2

x

f x = − x+

Câu 51 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f′( )x = −3 cosx f ( )0 =5 Mệnh đềnào đúng?

A f x( )=3x+5sinx+2 B f x( )=3x−5sinx−5

C f x( )=3x−5sinx+5 D f x( )=3x+5sinx+5

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có f x( ) (=∫ cos− x)dx=3x−5sinx C+

Lại có: f ( )0 = ⇔5 3.0 5sin 0− + = ⇔ =C C Vậy f x( )=3x−5sinx+5

Câu 52 Biết F x( ) nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx đồ thị hàm số y=F x( ) qua điểm M( )0;1 Tính

2

F  π   A

2

F  = π

  B F

π   = −  

  C F

π   =  

  D F

π   =     Hướng dẫn giải

Chọn A

* Ta có F x( )= −cosx C+ , với C số tùy ý

* Đồ thị hàm số y=F x( ) qua điểm M( )0;1 nên

1= −cos 0+C ⇔ =C 2⇒F x( )= −cosx+2 Do

2

F  = π  

Câu 53 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=x2−2x+3 thỏa mãn F( )0 =2, giá trị F( )1

A 4 B 13

3 C 2 D

11

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

3

2

2 3d

3

x

x − x+ x= −x + x C+

∫

( )

F x nguyên hàm hàm số f x( ) có F( )0 =2⇒ =C Vậy ( )

3

3

3

x

F x = −x + x+ ( )1 13

F

Câu 54 Tìm nguyên hàmF x( )của hàm số f x( ) ax b2(x 0)

x

= + ≠ , biết F( )− =1 1,

( )1

F = , f ( )1 =0

A ( )

3

4

x F x

x

= + + B ( )

2

3

4

x F x

x

= − −

C ( )

3

2 4

x F x

x

= + − D ( )

2

3

2 2

x F x

x = − −

Hướng dẫn giải Chọn A

( ) ( ) ( 2) 2

2

d d d

2

b ax bx ax b

F x f x x ax x ax bx x C C

x x

− −

 

= =  +  = + = + + = − +

−

 

∫ ∫ ∫

Ta có:

( ) ( ) ( )

3

2

1

3

1 4

2

1 0 7

4

a

b C a

F

a

F b C b

f a b

C  + + =  =

 

− =

  

  

= ⇔ − + = ⇔ = −

  

 =  

  + =  =

 

 

Vậy ( )

2

3

4

x F x

x = + +

Câu 55 Biết hàm số y= f x( ) có f′( )x =3x2+2x− +m 1, f ( )2 =1 đồ thị hàm số

( )

y= f x cắt trục tung điểm có tung độ −5 Hàm số f x( )

A

3

x +x − x− B

2 5

x + x − x− C

2x +x −7x−5 D

4

x +x + x−

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( ) ( ) ( )

3 d

f x =∫ x + x− +m x=x +x + −m x C+

Theo đề bài, ta có ( )

( ) ( ) ( )

2 12

3

5

0 5

f m C m

f x x x x

C

f C

=

  − + + =  =

 ⇒ ⇒ ⇒ = + − −

   = −

= −  = − 

 



Câu 56 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) (= 2x−3)2 thỏa mãn ( )0

F = Giá trị biểu thức log23F( )1 −2F( )2 

A 10 B −4 C 4 D 2

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

( ) ( )

3F −2F =3F( )1 −F( )2 +F( )2 −F( )0 +F( )0 ( ) ( )

1

2

1

3 d d

3

f x x f x x

= ∫ +∫ + =4

( ) ( )

2

log 3F 2F log

⇒  − = =

Câu 57 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=4x3+2(m−1)x+ +m 5, với m tham số thực Một nguyên hàm f x( ) biết F( )1 =8 F( )0 =1 là:

A ( )

2

F x =x + x + x+ B ( )

6

C F x( )=x4+2x2 +1. D Đáp án A và B Hướng dẫn giải

Ta có:

( ) ( ) ( )

3

4x m x m dx x m x m x C

 + − + +  = + − + + +

 

∫

Lại có:

( ) ( )

0 1

1

1

F C C

m m C m

F =

  =  =

 ⇔ ⇔

  + − + + + =  =

=  



Vậy F x( )=x4+6x+1

Chọn B

Câu 58 Tìm 2 3

1

2! 3! !

n

n

x

T dx

x x x

x

n =

+ + + + +

∫ ?

A

2

! !ln

2! !

n

x x

T x n n x C

n

 

= +  + + + + +

 

B

2

! !ln

2! !

n

x x

T x n n x C

n

 

= −  + + + + +

 

C

2

!ln

2! !

n

x x

T n x C

n

 

=  + + + + +

 

D

2

!ln !

2! !

n n

x x

T n x x n C

n

 

=  + + + + − +

 

Hướng dẫn giải

Đặt ( ) ( )

( )

2

1

2! 3! 4! ! 2! 3! !

n n

x x x x x x x

g x x g x x

n n

− ′

= + + + + + + ⇒ = + + + + +

−

Ta có: ( ) ( ) !( ( ) ( ))

!

n n

x

g x g x x n g x g x

n

′ ′

− = ⇒ = −

( ) ( )

( ) ( )( )

2

!

! ! !ln ! !ln

2! !

n

n g x g g x x x

T dx n dx n x n n x n x C

g x g x n

′ −

   ′   

 

⇒ = =  −  = − = −  + + + + +

 

 

∫ ∫

DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ f(x) hàm hữu tỉ: ( ) ( )

( )

P x f x

Q x =

– Nếu bậc P(x) ≥ bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức

– Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định)

Chẳng hạn:

( )( )

A B

x a x b− − = x a− + x b−

2

2

1

,

( )( )

A Bx C

với b ac

x m ax bx c x m ax bx c

+

= + ∆ = − <

− + + − + +

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a− x b− = x a− + x a− + x b− + x b−

BÀI TẬP

Câu 59 Cho hàm số

4

5

( ) x

f x

x +

= Khi đó:

A

3

2

( )

3

x

f x dx C

x = − +

∫ B f x dx( ) 2x3 C

x = − + ∫

C

3

2

( )

3

x

f x dx C

x = + +

∫ D

3

2

2

( ) ln

3

x

f x dx= + x +C ∫

Câu 60 Nguyên hàm F x( ) hàm số

2

1 ( ) x

f x

x

 + 

=  

  hàm số hàm số sau?

A

3

1

( )

3

x

F x x C

x

= − + + B

3

1

( )

3

x

F x x C

x

= + + +

C

3

2

3 ( )

2

x x

F x C

x +

= + D

3

2

3 ( )

2

x x

F x C

x

 

+

 

=  +

 

 

 

Câu 61 Nguyên hàm hàm số

4

2x

y x

+ = là:

A

2

3

x

C x

− + B 3x3 C x

− − + C

3

2

3

x

C x

+ + D

3

x

C x − +

Câu 62 Tính nguyên hàm d

2x x

 

 + 

 

∫ A 1ln

2 x+ +C B ( )

1

ln

2 x+ +C C 2 ln 2x+ +3 C D ln 2x+ +3 C.

Câu 63 Nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

f x x

=

+ , biết

e

2

F −  =   là:

A ( ) ln 1

2

F x = x+ − B F x( )=2 ln 2x+ +1

C ( ) 1ln 1

F x = x+ + D ( ) ln 1

2

Câu 64 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

1

f x x

=

− F( )2 =1 Tính F( )3

A F( )3 =ln 1− B F( )3 =ln 1+ C ( )3

F = D ( )3

4

F =

Câu 65 Biết F x( ) nguyên hàm ( )

1

f x x

=

+ F( )0 =2 F( )1

A ln B 2+ln C 3 D 4

Câu 66 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3 (3 x)

f x =

− :

A

( )2

1

2 2x C

− +

+ B ( )

1

4 2− x +C C ( )2

2

3 2− x +C D ( )2

1

2 2− x +C Câu 67 Hàm sốnào không nguyên hàm hàm số ( ) (2 2)

( 1) x x f x x + = + A 1 x x x − −

+ B

2 1 x x x + −

+ C

2 1 x x x + +

+ D

2

1

x x+

Câu 68 Tính

( 3)dx

x x− ∫

A 1ln

3

x C

x− + B

1 ln x C x +

+ C 1ln

3

x C

x+ + D

1 ln x C x − +

Câu 69 F x( ) một nguyên hàm hàm số ( )

2

f x x

x

= +

+ Biết F( )0 =0, ( )1 ln

b

F a

c

= +

trong a, b, c sốnguyên dương b

c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a b c+ +

A 4 B 9 C 3 D 12

Câu 70 Hàm sốnào sau không nguyên hàm hàm số ( )

( ) 2 x x f x x + = +

A ( ) 1 x x F x x − − =

+ B ( ) 2 1 x x F x x + − =

+ C ( ) 1 x x F x x + + =

+ D ( ) x F x x = + Câu 71 Cho biết 13 d ln ln

( 1)( 2)

x

x a x b x C

x x

−

= + + − +

+ −

∫ Mệnh đềnào sau đúng?

A a+2b=8 B a b+ =8 C 2a b− =8 D a b− =8

Câu 72 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

2 x f x x + =

− thỏa mãn F(2)=3 Tìm F x( )

:

A F x( )= +x ln 2x− +3 1 B F x( )= +x ln(2x− +3) 1 C F x( )= +x ln 2x− +3 1 D F x( )= +x ln | 2x− −3 | 1. Câu 73 Tích phân ( )

2 d ln x

I x a b c

x

−

= = +

+

∫ , a, b, c số nguyên Tính giá trị biểu thức a b c+ + ?

A 3 B 0 C 1 D 2

Câu 74 Tính 2

4 3dx

x − x+

A 1ln x C x − +

− B

1 ln x C x − +

− C

2

ln x −4x+ +3 C. D ln x C x − + −

Câu 75 Nguyên hàm 2

7 6dx

x − x+

∫ là:

A 1ln

5 x C x − +

− B

1 ln x C x − + −

C 1ln

5 x − x+ +C. D

2

1

ln

5 x x C

− − + +

Câu 76 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

2

f x x

=

+ , biết F( )0 =1 Giá trị F( )−2

A 1 1ln

+ B 1 1ln

2

+ C 1 ln 3+ D 1(1 ln 3)

2 +

Câu 77 Tìm nguyên hàm 2d I x x = − ∫

A 1ln

2 x I C x + = + − B ln 2 x I C x − = + +

C 1ln

4 x I C x − = + + D ln x I C x + = + − Câu 78 Tìm nguyên hàm 2 d

3 x x x x + + + ∫

A 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+

= + − + +

+ +

∫

B 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+ = + − + +

+ +

∫

C 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+

= + + + +

+ +

∫

D 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+ = + + + +

+ +

∫

Câu 79 Nguyên hàm

3

2

2

3

x x x

dx

x x

− + +

− +

∫ là:

A ln x x C x − + +

− B

2 ln x x C x − + + −

C 1 ln

2 x x C x − + +

− D

2 ln x x C x − + + −

Câu 80 Nguyên hàm 32

2 x dx x x + − − +

∫ là:

A 2 ln x− −1 ln x+ +2 C B −2 ln x− +1 ln x+ +2 C

C 2 ln x− +1 ln x+ +2 C D −2 ln x− −1 ln x+ +2 C

Câu 81 Nguyên hàm hàm số

3

2

3

( )

2

x x x

f x

x x

+ + −

=

+ + biết ( )

1

3

F =

A ( )

2 13

2

x

F x x

x

= + + −

+ B ( )

2

2 13

2

x

F x x

x

= + + +

C ( )

2

2

x

F x x

x = + +

+ D ( )

2

2

2

x

F x x C

x

= + + +

+ Câu 82 Biết ln có hai số a b để ( )

4

ax b F x

x

+ =

+ (4a b− ≠0) nguyên hàm hàm số f x( ) thỏa mãn: 2f2( )x =F x( )−1 f′( )x

Khẳng định đầy đủ nhất?

A a=1, b=4 B a=1, b= −1 C a=1, b∈\ 4{ }. D a∈, b∈

DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83 Họ nguyên hàm hàm số f x( )= x+3x x3 :

A

2

2

4

x x x x

C

+ + B

3 2

5 27

3

x x x x

C

+ +

C

2

2

3

x x x x

C

− + D

3 2

2

3

x x x x

C

+ +

Câu 84 Nguyên hàm ( )

3

1

3

f x

x x

= + + là:

A 2 x+33 x2 +3x C+ B 2 43 3

x+ x + x C+

C 1

3

2 x+ x + x C+ D

3

1

3

2 x+3 x + x C+

Câu 85 Tính

dx x −

∫ thu kết là:

A

1

C x

− B −2 1− +x C C

2

1−x +C D 1− +x C

Câu 86 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) x 12

x

= + − Nguyên hàm f x( ) biết

( )3

F = là:

A ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + − + B ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + + +

C ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + − − D ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + + −

Câu 87 Cho (x 2) (x 1)

2

dx

a x b x C

x+ + x+ = + + + + + +

∫ Khiđó 3a b+ bằng:

A

3

−

B 1

3 C

4

3 D

2

Câu 88 Tìm

1

x

Q dx

x − =

+ ∫

?

A 2

1 ln

Q= x − + x+ x − +C B 2

1 ln

Q= x − − x+ x − +C

C 2

ln 1

Câu 89 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1

2

f x m

x

= + −

+ thỏa mãn F( )0 =0

( )3

F = Khi đó, giá trị tham số m

A −2 B 3 C −3 D 2

Câu 90 Hàm số F x( ) (= ax b+ ) 4x+1 (a b, số thực) nguyên hàm

( ) 12

4

x f x

x =

+ Tính a b+

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 91 Biết F x( )=(ax2+bx+c) 2x−3 (a b c, , ∈) nguyên hàm hàm số

( ) 20 30 11

2

x x

f x

x

− +

=

− khoảng

3 ;

 +∞

 

  Tính T = + +a b c

A T =8 B T =5 C T =6 D T =7

DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐLƯỢNG GIÁC Câu 92 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2 cos 2x

A −2 sin 2x C+ B sin 2x C+ C 2 sin 2x C+ D sin 2x C+

Câu 93 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=sin 5x+2

A 5 cos 5x C+ B 1cos

5 x x C

− + + C 1cos

5 x+ x C+ D cos 5x+2x C+

Câu 94 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2x+sin 2x

A 1cos 2

x − x C+ B 1cos 2

x + x C+ C x2−2 cos 2x C+ D x2+2 cos 2x C+

Câu 95 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=cos 22 x là:

A 1 cos

2

x C

+ + B cos

2

x x

C

− + C 1 cos

2

x C

− + D cos

2

x x

C

+ +

Câu 96 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos

f x =  x+π  

A ( )d 3sin

6

f x x=  x+π +C

 

∫ B ( )d 1sin

3

f x x= −  x+π +C

 

∫

C ( )d sin

6

f x x=  x+π+C

 

∫ D ( )d 1sin

3

f x x=  x+π +C

 

∫

Câu 97 Cho F x( )=cos 2x−sinx C+ nguyên hàm hàm số f x( ) Tính f ( )π

A f ( )π = −3 B f ( )π 1= C f ( )π = −1 D f ( )π =0

Câu 98 Tính: cos

dx x

+

∫

A 2 tan

x C

+ B tan

2

x C

+ C 1tan

2

x C

+ D 1tan

4

x C

+

Câu 99 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=6x+sin 3x, biết ( )0

F =

A ( ) cos

3

x

F x = x − + B ( ) cos

3

x

C ( ) cos

3

3

x

F x = x + + D ( ) cos

3

3

x

F x = x − +

Câu 100 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=tan2x là:

A cotx− +x C B tanx− +x C C −cotx− +x C D −tanx− +x C

Câu 101 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số 12 cos

y

x

= − F( )0 =1 Khi đó, ta có F x( ) là:

A −tanx B −tanx+1 C tanx+1 D tanx−1

Câu 102 Cho hàm số f x( )=sin 24 x Khi đó:

A ( ) sin 1sin

8

f x dx=  x+ x+ x+C

 

∫ B ( ) cos 1sin

8

f x dx=  x− x+ x+C

 

∫

C ( ) cos 1sin

8

f x dx=  x+ x+ x+C

 

∫ D ( ) sin 1sin

8

f x dx=  x− x+ x+C

 

∫

Câu 103 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=sin 2( − x) thỏa mãn 1

F  =   

Mệnh đềnào sau đúng?

A ( ) 1cos 2( )

2

F x = − − x + B F x( )=cos 2( − x)

C F x( )=cos 2( − x)+1 D ( ) 1cos 2( )

2

F x = − x +

Câu 104 Nguyên hàm ∫(sin 2x+cosx dx) là:

A 1cos sin

2 x+ x C+ B −cos 2x+sinx C+

C 1cos sin

2 x x C

− + + D −cos 2x−sinx C+

Câu 105 Nguyên hàm ∫sin 2( x+ +3) cos 2( − x)dx là:

A −2 cos 2( x+ −3) sin 2( − x)+C B −2 cos 2( x+ +3) sin 2( − x)+C

C 2 cos 2( x+ −3) sin 2( − x)+C D 2 cos 2( x+ +3) sin 2( − x)+C

Câu 106 Nguyên hàm ∫sin2(3x+ +1) cosx dx là:

A 1 3sin 6( 2) sin

2x− x+ + x C+ B x−3sin 6( x+ +2) sinx C+

C 1 3sin 3( 1) sin

2x− x+ + x C+ D ( )

1

3sin sin 2x− x+ − x C+

Câu 107 Kết quảnào nguyên hàm ∫(sin3x+cos3x dx) ?

A 3cos sinx 2x−3sin cosx x C+ B 3sin (sin cos )

2 x x− x +C

C 3 sin sin

x x−π +C

  D 3 sin cos sinx x x C

π

 − +

 

 

Câu 108 Cho hàm số f x( )=cos cosx x Một nguyên hàm hàm số f x( ) x=0 là:

A 3sin 3x+sinx B sin sin

8

x x

+ C sin sin

2

x x

+ D cos cos

8

x x

Câu 109 Họ nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

cot

f x = x

là:

A cotx− +x C B −cotx− +x C C cotx+ +x C D tanx+ +x C Câu 110 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin 42

1 cos

x f x

x

=

+ thỏa mãn F

π

  =  

  Tính F( )0 A F( )0 = − +4 ln B F( )0 = − −4 ln 2. C F( )0 = −4 ln D F( )0 = +4 ln

Câu 111 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=tan2x

F  = π

  Tính F

π

−     

A

4

F−π = −π

  B F

π π

− = −  

  C F

π

− = −  

  D F

π π

− = +  

 

Câu 112 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (= +1 sinx)2 biết

2

F  = π π   A ( ) cos 1sin

2

F x = x+ x− x B ( ) cos 1sin

2

F x = x− x− x

C ( ) cos 1sin

2

F x = x− x+ x D ( ) cos 1sin

2

F x = x+ x+ x

Câu 113 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( ) 3sin cos

5sin cos

x x

f x

x x

− +

=

−

A 17 ln 5sin cos

26x 78 x x C

− + − + B 17 ln 5sin cos

26x 78 x x C

− − − +

C 17 ln 5sin cos

26x+78 x− x +C D

17

ln 5sin cos

26x−78 x− x +C

Câu 114 Biết (sin 2x cos 2x)2dx x acos 4x C b

− = + +

∫ , với a, b sốnguyên dương, a

b phân

số tối giản C∈ Giá trị a b+

A 5 B 4 C 2 D 3

Câu 115 Tính I =∫8sin cos dx x x=acos 4x b+ cos 2x C+ Khi đó, a b−

A 3 B −1 C 1 D 2

Câu 116 F x( ) nguyên hàm hàm số y=2 sin cos 3x x F( )0 =0,

A F x( )=cos 4x−cos 2x B ( ) cos cos

4 8

x x

F x = − −

C ( ) cos cos

2 4

x x

F x = − − D ( ) cos cos

4

x x

F x = − +

Câu 117 Cho α∈ Hàm sốnào sau nguyên hàm hàm số f x( )=sinx

A F x1( )= −cosx B 2( ) sin sin

2

x x

F x = +α −α

C 3( ) sin sin

2

x x

F x = − α+  α − 

    D 4( ) cos sin

2

x x

F x = α+ α−

Câu 118 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( ) tan 22

f x = x+

A tan 22 d tan 2

2

x x x x C

 +  = − +

 

 

∫ B tan 22 d tan

2

x

x x x C

 +  = − +

 

 

∫

C tan 22 d tan

2

x x x x C

 +  = − +

 

 

∫ D tan 22 d tan

2 2

x x

x x C

 +  = − +

 

 

Câu 119 Hàm số F x( )=ln sinx−3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sau

đây?

A ( ) sin 3cos

cos 3sin

x x

f x

x x

− =

+ B ( )

cos 3sin sin 3cos

x x

f x

x x

− −

=

−

C ( ) cos 3sin

sin 3cos

x x

f x

x x

+ =

− D f x( )=cosx+3sinx

Câu 120 Hàm số ( ) cos sin

cos sin

x x

f x

x x

− =

+ có nguyên hàm F x( ) thỏa mãn

3

4

F  = π π

  Giá trị

2

F  π

  bằng?

A 3 11ln

4

π −

B 3

4

π

C 3

8

π

D 3 ln

4

π −

Câu 121 Tìm

sin sin cos

x

I dx

x x

=

+

∫

?

A 1( ln sin cos )

I = x+ x+ x +C B I = +x ln sinx+cosx +C

C I = −x ln sinx+cosx +C D 1( ln sin cos )

2

I = x− x+ x +C

Câu 14 Biết s inx cos s inx

cos s inx cos s inx

x

I dx A B dx

x x

−

 

= = +  

+  + 

∫ ∫ Kết A, B

A

2

A= =B B

2

A= = −B C 1,

2

A= − B= D 1,

2

A= B= −

Câu 122 Tìm

4

4

cos

sin cos

x

I dx

x x

=

+ ∫

?

A 1 ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

  + 

=  −  + −

 

  B

1 sin

ln

2 2 sin

x

I x C

x

 + 

= −  +

−

 

C 1 ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

  + 

=  +  + −

 

  D

1 sin

ln

2 2 sin

x

I x C

x

 + 

= −  +

−

 

Câu 123 Họ nguyên hàm hàm số f x( )= −3sin 2x+2 cosx−ex

A −6 cos 2x+2 sinx− +ex C B 6 cos 2x−2 sinx− +ex C

C 3cos 2 sin e

x

x− x− +C D 3cos 2 sin e

2

x

x+ x− +C

Câu 124 Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]0; \

π π   

  thỏa mãn f′( )x =tanx,

5

; \

4

x  π π   π ∀ ∈ −   

   , f ( )0 =0, f ( )π =1 Tỉ số

2

f  π 

  f

π

      bằng:

A 2 log e 1( 2 + ) B 2 C 1 ln 2( )

2 ln

+

+ D 2 log e( − )

A

5 dx

x

∫ 2.52

ln

x

C

= + B

5 dx

x

∫ = 2 ln 525x +C

C ∫5 d2x x =2.5 ln 52x +C D ∫5 d2x x

1

25

x

C x

+

= +

+

Câu 126 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( )

2018

e x

f x =

A ( )

2018

1

d e

2018 x

f x x= +C

∫

B ( )

2018

d e x

f x x= +C

∫ .

C ( )

2018

d 2018e x

f x x= +C

∫ . D ( ) 2018

d e xln 2018

f x x= +C

∫ .

Câu 127 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

e x

f x =

, biết F( )0 =1

A F x( )=e2x B ( )

e

2

x

F x = + C F x( )=2e2x−1 D F x( )=ex

Câu 128 Cho F x( )là nguyên hàm f x( )=e3x thỏa mãn F( )0 =1 Mệnh đềnào sau

đúng?

A ( ) 1e3

3

x

F x = + B ( ) 1e3

3 x

F x =

C ( )

e

3

x

F x = + D ( )

e

3

x

F x = − +

Câu 129 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=ex+2x thỏa mãn ( )0

F = Tìm F x( )

A ( )

e

2 x

F x = +x + B ( )

2e

2 x

F x = +x −

C ( ) e

x

F x = +x + D ( ) e

2

x

F x = +x +

Câu 130 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f′( )x =2018 ln 2018 cosx − x f ( )0 =2 Phát biểu sau

đúng?

A f x( )=2018x+sinx+1 B ( ) 2018 sin ln 2018

x

f x = + x+

C ( ) 2018 sin ln 2018

x

f x = − x+ D f x( )=2018x−sinx+1

Câu 131 Tính

3

(2 x)

e dx

+

∫

A 3

3

x x

x+ e + e +C B 4

3

x x

x+ e + e +C C 4

3

x x

x+ e − e +C D 4

3

x x

x+ e + e +C Câu 132 Nếu F x( ) nguyên hàm ( ) (1 )

x x

f x =e −e− F(0)=3 F x( ) là?

A ex−x B ex− +x C ex− +x C D ex− +x

Câu 133 Họ nguyên hàm hàm số f x( )= −ex e−x :

A ex+e−x+C B ex−e−x+C

C − +ex e−x+C D ex+ +ex C

A f x( )=e−x+ +ex B

( )

2

x x

f x =e −e− + x

C f x( )= −ex e−x+1 D ( )

2

x x

f x =e +e− + x Câu 135 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=e2x−e−3x :

A

3

3

x x

e e

C

−

+ + B

2

2

x x

e e

C

−

+ +

C

3

2

x x

e e

C

−

+ + D

2

3

x x

e e

C

−

+ +

Câu 136 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=32x−2−3x :

A

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

+ + B

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

− +

C

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

+ + D

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

− +

Câu 137 Hàm số y= f x( ) có nguyên hàm F x( )=e2x Tìm nguyên hàm hàm số ( )

ex

f x +

A ( ) 1d e e e

x x

x

f x

x − C

+ = − +

∫ B ( ) 1d 2e e

e

x x

x

f x

x − C

+ = − +

∫

C ( ) 1d 2e e

e

x x

x

f x

x − C

+ = + +

∫ D ( ) 1d 1e e

e

x x

x

f x

x − C

+ = − +

∫

Câu 138 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=e ex( + −x)

A ∫ f x( )dx=e−x+C. B ∫ f x( )dx=ex+ +x C

C ∫ f x( )dx=ex+e−x+C D ∫ f x( )dx=ex+C

Câu 139 F x( ) nguyên hàm hàm số y=xex2 Hàm sốnào sau F x( )?

A ( ) 2

x

F x = e + B ( ) 1( 5)

2 x

F x = e +

C ( )

2

x

F x = − e +C. D ( ) 1(2 2)

2

x

F x = − −e

Câu 140 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

4 x x

x

x f x =  − 

 

A ( ) 12

ln12

x

x x

F x = − +C B F x( )=12x+x x+C

C ( )

2

ln ln

x x

x

x x F x =  − 

  D ( )

2

2 ln

ln ln

x x

x

x x F x =  − 

 

Câu 141 Tính nguyên hàm hàm số ( ) e 2017 2018e5 x x

f x

x

−

 

=  − 

 

A f x( )dx 2017ex 20184 C x

= + +

∫ B f x( )dx 2017ex 504, 54 C

x

= + +

∫

C f x( )dx 2017ex 504, 54 C x

= − +

∫ D f x( )dx 2017ex 20184 C

x

= − +

Câu 142 Tính

2

2 7x x xdx

∫

A 84

ln 84

x

C

+ B

2

2 ln 4.ln 3.ln

x x x

C

+ C 84x+C D 84 ln 84x +C Câu 143 Nguyên hàm

2

2

x x

e

dx e

+ −

∫ là:

A

1

3

5

3

x x

e + − e− +C B

5

3

5

3

x x

e + + e +C

C

1

3

5

3

x x

e + − e +C D

5

3

5

3

x x

e + + e− +C

Câu 144 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

3 x

f x e

=

+ ( )

1

0 ln

3

F = − Tập nghiệm S

phương trình ( ) ln( x 3)

F x + e + =

A S ={ }2 B S = −{ 2; 2} C S ={ }1; D S = −{ 2;1}. Câu 145 Hàm số ( ) e3 1(9 24 17)

27 x

F x = + x − x+ +C nguyên hàm hàm sốnào

A f x( )=(x2+2x−1 e) 3x+1 B f x( )=(x2−2x−1 e) 3x+1 C f x( )=(x2−2x+1 e) 3x+1 D f x( )=(x2−2x−1 e) 3x−1

Câu 146 Cho hai hàm số F x( )=(x2+ax b e+ ) −x f x( )= − +( x2 3x+6)e−x Tìm a b để

( )

F x nguyên hàm hàm số f x( )

A a=1,b= −7 B a= −1,b= −7 C a= −1,b=7 D a=1,b=7

Câu 147 Tìm

n x

F =∫x e dx

?

A ( ) ( ) ( )

1 ! n ! n

x n n n n

F=e x −nx − +n n− x − + +n − − x+n − +x +C

B F =exxn−nxn−1+n n( −1)xn−2+ + n!( )−1 n−1x+n!( )−1 n+C

C F =n e! x+C

D F=xn −nxn−1+n n( −1)xn−2+ + n!( )−1 n−1x+n!( )−1 n + +ex C

Câu 148 Giả sử 3 2

(2 4) ( )

x x

e x + x − x+ dx= ax +bx +cx+d e +C

∫ Khi a b c d+ + +

A -2 B 3 C 2 D 5

Câu 149 Tính nguyên hàm hàm số ( ) e 2017 2018e5 x x

f x

x

−

 

=  − 

 

A f x( )dx 2017ex 20184 C x

= + +

∫ B f x( )dx 2017ex 504, 54 C

x

= + +

∫

C f x( )dx 2017ex 504, 54 C x

= − +

∫ D f x( )dx 2017ex 20184 C

x

= − +

∫

Câu 150 Giả sử 3 2

(2 4) ( )

x x

e x + x − x+ dx= ax +bx +cx+d e +C

∫ Khi a b c d+ + +

A -2 B 3 C 2 D 5

Câu 151 Cho F x( )=(ax2 +bx c− )e2x làmột nguyên hàm hàm số f x( )=(2018x2−3x+1 e) 2x

trên khoảng (−∞ +∞; ) Tính T = +a 2b+4c

Câu 152 Biết F x( )=(ax2+bx c e+ ) −x nguyên hàm hàm số f x( )=(2x2−5x+2)e−x

 Tính giá trị biểu thức f F ( )0 

A e−

− B

20e C 9e D 3e

Câu 153 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=2x, thỏa mãn ( )0 ln

F = Tính giá trị

biểu thức T =F( )0 +F( )1 +F( )2 + + F(2017)

A

2017

2

1009 ln

T = + B T =22017.2018 C

2017

2

ln

T = − D

2018

2

ln

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 59 Cho hàm số

4

5

( ) x

f x

x +

= Khi đó:

A. ( ) x

f x dx C

x = − +

∫ B f x dx( ) 2x3 C

x = − + ∫ C ( ) x

f x dx C

x = + + ∫ D 2

( ) ln

3

x

f x dx= + x +C ∫

Hướng dẫn giải

Ta có:

4

2

2

5 5

2

3

x x

dx x dx C

x x x

+ =  +  = − +

 

 

∫ ∫

Chọn A

Câu 60 Nguyên hàm F x( ) hàm số

2

1

( ) x

f x

x  +  =  

  hàm số hàm số sau? A

3

1

( )

3

x

F x x C

x

= − + + B.

3

1

( )

3

x

F x x C

x = + + + C. 3 ( ) x x

F x C

x +

= + D.

3 3 ( ) x x

F x C

x   +   =  +      

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2

2

2

1 2x 1

x 2x

3

x x x

dx d x C

x x x x

 +  = + + =  + + = + − +

   

 

 

∫ ∫ ∫

Chọn A

Câu 61 Nguyên hàm hàm số

4

2x

y x

+ = là:

A. 3 x C x

− + B. 3

3x C

x

− − + C.

3 3 x C x

+ + D. 3 x C x − +

Hướng dẫn giải

Ta có:

4

2

2

2 3

2

3

x x

dx x dx C

x x x

+ =  +  = − +

 

 

∫ ∫

Chọn A

Câu 62 Tính nguyên hàm d

2x x

 

 + 

 

∫ A. 1ln

2 x+ +C B ( )

1

ln

2 x+ +C C 2 ln 2x+ +3 C D ln 2x+ +3 C.

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có: d 1 d 2( 3) 1ln

2x x 2x x x C

  =   + = + +

 +   + 

   

∫ ∫

Câu 63 Nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

f x x

=

+ , biết

e

2

F −  =   là:

A ( ) ln 1

2

C ( ) 1ln 1

F x = x+ + D ( ) ln 1

2

F x = x+ +

Hướng dẫn giải Chọn C

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng

( )

d

2

F x x

x =

+

∫ 1ln

2 x C

= + +

Mà e

2

F −  =  

1 e

ln

2 C

−  

⇔  + + =

  ⇔ =C Câu 64 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

1

f x x

=

− F( )2 =1 Tính F( )3

A F( )3 =ln 1− B F( )3 =ln 1+ C ( )3

F = D ( )3

4

F =

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: ( ) d ln

1

F x x x C

x

= = − +

−

∫

Theo đề F( )2 = ⇔1 ln1+ = ⇔ =C C Vậy F( )3 =ln 1+

Câu 65 Biết F x( ) nguyên hàm ( )

1

f x x

=

+ F( )0 =2 F( )1

A ln B 2+ln C 3 D 4

Hướng dẫn giải Chọn B

( )

d ln

1

F x x x C

x

= = + +

+

∫ mà F( )0 =2 nên F x( )=ln x+ +1

Do F( )1 = +2 ln

Câu 66 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3 (3 x)

f x =

− :

A

( )2

1

2 2x C

− +

+ B. ( )

1

4 2− x +C C. ( )2

2

3 2− x +C D. ( )2

1

2 2− x +C Hướng dẫn giải

Ta có:

( )3 ( )2

2

3 2

dx C

x x

= +

− −

∫

Chọn D

Câu 67 Hàm sốnào không nguyên hàm hàm số ( ) (2 2)

( 1)

x x

f x x

+ =

+ A

2

1

x x

x − −

+ B.

2

1

x x

x + −

+ C.

2

1

x x

x + +

+ D.

2

1

x x+ Hướng dẫn giải

Ta có:

( ) ( )

2

2

2

1 1 1

2

0 1 1

1 2

1 1

x x

x x x x

x x x

− −

+ +

′

 + −  = = + +

 + 

+ +

 

Câu 68 Tính

( 3)dx

x x− ∫

A. 1ln

3

x C

x− + B.

1

ln

x

C x + +

C. 1ln

3

x C

x+ + D.

1

ln

x

C x − +

Hướng dẫn giải

Ta có:

( 3) 13 13 13.ln

x

dx dx C

x x x x x

−

 

=  −  = +

−  − 

∫ ∫

Chọn D

Câu 69 F x( ) một nguyên hàm hàm số ( )

2

f x x

x

= +

+ Biết F( )0 =0, ( )1 ln

b

F a

c

= +

trong a, b, c sốnguyên dương b

c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a b c+ +

A 4 B 9 C 3 D 12

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( ) d

2

F x x x

x

 

=  + 

+

 

∫

ln 2

x x C

= + + +

Do F( )0 =0⇒ C= ⇒0 ( ) 1ln

2

F x =x + x+ Vậy ( )1 1ln

2

F = + ⇒ a=1; b=1; c=2 ⇒ a b c+ + =4

Câu 70 Hàm sốnào sau không nguyên hàm hàm số ( )

( )

2

2

x x

f x x

+ =

+

A ( )

1

x x

F x

x − − =

+ B ( ) 2

1

x x

F x

x + − =

+ C ( )

1

x x

F x

x + + =

+ D ( )

1

x F x

x =

+ Hướng dẫn giải

Chọn C

( )

( )

( )

2

1

2

x x

F x

x

+ ′ =

+ , đáp án A nguyên hàm f x( )

( )

( )

( )

2

2

2

1

x x

F x

x

+ +

′ =

+ , đáp án B nguyên hàm f x( )

( )

( )

( )

2

3

2

x x

F x

x

+ ′ =

+ , đáp án C nguyên hàm f x( )

( )

( )

( )

2

4

2

x x

F x

x

+ ′ =

+ , đáp án D nguyên hàm f x( )

Câu 71 Cho biết 13 d ln ln

( 1)( 2)

x

x a x b x C

x x

− = + + − +

+ −

∫ Mệnh đềnào sau đúng?

A a+2b=8 B a b+ =8 C 2a b− =8 D a b− =8

Hướng dẫn giải Chọn D

2 13 d

( 1)( 2)

x

x

x x

−

+ −

∫ d

1 x

x x

 

=  − 

+ −

 

∫ 1

5 d d

1 x x

x x

= −

+ −

∫ ∫ =5 ln x+ −1 3ln x− +2 C

Vậy

3

a b

=   = −

 ⇒ − =a b

Câu 72 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

2

x f x

x

+ =

− thỏa mãn F(2)=3 Tìm F x( ) :

A F x( )= +x ln 2x− +3 1 B F x( )= +x ln(2x− +3) 1 C F x( )= +x ln 2x− +3 1 D F x( )= +x ln | 2x− −3 | 1.

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ( ) 1d

2

x

F x x

x + =

−

∫ d ln

2x x x x C

 

=  +  = + − +

−

 

∫

Lại có F(2)=3⇔ +2 ln 1+ =C 3⇔ =C

Câu 73 Tích phân ( )

2

2

1

d ln

1

x

I x a b c

x

−

= = +

+

∫ , a, b, c số ngun Tính giá trị biểu thức a b c+ + ?

A 3 B 0 C 1 D 2

Hướng dẫn giải Chọn D

( )2

2

1 d

x

I x

x

− =

+

∫

0

2

1 d

1

x x x

 

=  − 

+

 

∫ ( )1

0

ln 1 ln

x x

= − + = −

Khi a= −1, b=2, c=1 Vậy a b c+ + =2

Câu 74 Tính 2

4 3dx

x − x+

∫ , kết là:

A. 1ln

2

x

C x

− +

− B.

1

ln

2

x

C x

− +

− C.

2

ln x −4x+ +3 C. D. ln

x

C x

− +

−

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )( )

2

1 1

ln

4 3

dx dx x

dx C

x x x x x x x

−

 

= =  −  = +

− + − −  − −  −

∫ ∫ ∫

Chọn B

Câu 75 Nguyên hàm 2

7 6dx

x − x+

∫ là:

A. 1ln

5

x

C x

− +

− B.

1

ln

5

x

C x

− +

−

C. 1ln

5 x − x+ +C. D.

2

1

ln

5 x x C

− − + +

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )( ) ( )

2

1 1 1 1

ln ln ln

7 6 5

x

dx dx dx x x C C

x x x x x x x

−

 

= =  −  = − − − + = +

− + − −  − −  −

∫ ∫ ∫

Chọn B

Câu 76 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

2

f x x

=

+ , biết F( )0 =1 Giá trị F( )−2

A 1 1ln

+ B 1 1ln

2

+ C 1 ln 3+ D 1(1 ln 3)

2 +

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( ) ( )d d 1ln

2

x

F x f x x x C

x

= = = + +

+

∫ ∫

( ) ( ) ( )

0 ln1 1 ln 1 ln

2 2

F = ⇔ + = ⇔ = ⇒C C F x = x+ + ⇒F − = +

Câu 77 Tìm nguyên hàm 2d

I x

x

= −

∫

A. 1ln

2

x

I C

x +

= +

− B.

1

ln

2

x

I C

x −

= +

+

C. 1ln

4

x

I C

x −

= +

+ D.

1

ln

4

x

I C

x +

= +

− Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

( 2)(1 2)d 14 12 12 d 14ln 22

x

I x x C

x x x x x

+

 

= − = −  −  = +

− +  − +  −

∫ ∫

Câu 78 Tìm nguyên hàm 2 d

3

x

x

x x

+

+ +

∫

A. 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+ = + − + +

+ +

∫

B. 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+ = + − + +

+ +

∫

C. 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+ = + + + +

+ +

∫

D. 2 d ln ln

3

x

x x x C

x x

+ = + + + +

+ +

∫

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

( )( )

2

3

d d d

3 2

x x

x x x

x x x x x x

+ = + =  − 

 

+ + + +  + + 

∫ ∫ ∫ =2 ln x+ −1 ln x+ +2 C

Câu 79 Nguyên hàm

3

2

2

3

x x x

dx

x x

− + +

− +

∫ là:

A. ln

2

x

x C

x −

+ +

− B.

2

1

ln

2

x

x C

x −

+ +

−

C. ln

2

x

x C

x −

+ +

− D.

2

ln

x

x C

x −

+ +

−

Hướng dẫn giải

3

2

2

2 1 1

2 ln

3 2 1

x x x x

dx x dx x dx x C

x x x x x x x

− + + =  +  =  + −  = + − +

   

− +  − +   − −  −

∫ ∫ ∫

Chọn D

Câu 80 Nguyên hàm 32

2

x

dx

x x

+ − − +

∫ là:

A. ln x− −1 ln x+ +2 C B. −2 ln x− +1 ln x+ +2 C

C. ln x− +1 ln x+ +2 C D. −2 ln x− −1 ln x+ +2 C

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )( )

2

3 3

2 ln ln

2 2

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

+ = + =  −  = − − − + +

 

− − + − +  − + 

∫ ∫ ∫

Chọn B

Câu 81 Nguyên hàm hàm số

3

2

3

( )

2

x x x

f x

x x

+ + −

=

+ + biết ( )

1

3

F =

A. ( )

2 13

2

x

F x x

x

= + + −

+ B ( )

2

2 13

2

x

F x x

x

= + + +

+ C. ( )

2

2

2

x

F x x

x = + +

+ D ( )

2

2

2

x

F x x C

x

= + + +

+ Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

3 2

2

3 2

d d ( )

2 ( 1)

x x x x

x x x x C F x

x x x x

 

+ + −

=  + −  = + + + =

+ +  +  +

∫ ∫

Mà ( )1 1 1 13

3

F = ⇔ + + + = ⇔ = −C C nên ( )

2

2 13

2

x

F x x

x

= + + −

+ Câu 82 Biết ln có hai số a b để ( )

4

ax b F x

x

+ =

+ (4a b− ≠0) nguyên hàm hàm số f x( ) thỏa mãn: 2f2( )x =F x( )−1 f′( )x

Khẳng định đầy đủ nhất?

A. a=1, b=4 B. a=1, b= −1 C. a=1, b∈\ 4{ }. D. a∈, b∈

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ( )

4

ax b F x

x

+ =

+ nguyên hàm f x( ) nên ( ) ( ) ( )2

4

a b

f x F x

x

− ′

= =

+

( )

( )3

2

4

b a

f x x

−

′ =

+

Do đó: 2( ) ( ( ) ) ( )

2f x = F x −1 f′ x ( )

( ) ( )

2

4

2

1

4

a b ax b b a

x

x x

−  +  −

⇔ = − 

+

 

+ +

( )

4a b ax b x

⇔ − = − + − − ⇔(x+4 1)( −a)= ⇔ =0 a (do x+ ≠4 0) Với a=1 mà 4a b− ≠0 nên b≠4

Vậy a=1, b∈\ 4{ }

+ Vì 4a b− ≠0 nên loại phương án A: a=1, b=4 phương án D: a∈, b∈

+ Để kiểm tra hai phương án lại, ta lấy b=0, a=1 Khi đó, ta có

( )

4

x F x

x

=

+ , ( ) ( )2

4

f x x

=

+ , ( ) ( )3

8

f x

x

′ = −

+

Thay vào 2f2( )x =(F x( )−1) f′( )x thấy nên

DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83 Họ nguyên hàm hàm số f x( )= x+3x x3 :

A

2

2

4

x x x x

C

+ + B.

3 2

5 27

3

x x x x

C

+ +

C.

2

2

3

x x x x

C

− + D.

3 2

2

3

x x x x

C

+ +

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

3

3 2

3 2

3

3 8

x x x x x x

x+ x x dx= + + =C + +C

∫

Chọn D

Câu 84 Nguyên hàm ( )

3

1

3

f x

x x

= + + là:

A. x+33 x2 +3x C+ B. 43 3

x+ x + x C+

C.

3

2 x+ x + x C+ D.

3

1

3 x+3 x + x C+

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

1

3

3

2

3

1

3 dx x 2x dx 2x 3x 3x C x x 3x C

x x

− −

 

 + +  = + + = + + + = + + +

 

 

   

∫ ∫

Chọn A

Câu 85 Tính

dx x −

∫ thu kết là:

A.

1

C x

− B −2 1− +x C C

2

1−x +C D 1− +x C

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

dx

x C

x = − − +

−

∫ Chọn B

Câu 86 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) x 12

x

= + − Nguyên hàm f x( ) biết

( )3

F = là:

A. ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + − + B. ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + + +

C. ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + − − D. ( ) ( 1)3 1

3

F x x

x

= + + −

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )3

1

1

3

x dx x C

x x

 + −  = + + +

 

 

∫

Theo đề bài, ta lại có: ( )3 (3 1)3

3 3

F = ⇔ + + + = ⇔ =C C

( ) ( )3 1

1

3

F x x

x

= + + +

Câu 87 Cho (x 2) (x 1)

2

dx

a x b x C

x+ + x+ = + + + + + +

∫ Khiđó 3a b+ bằng:

A

3

−

B 1

3 C

4

3 D

2

Hướng dẫn giải Chọn C

2

( 1) dx (x 2) (x 1)

3

2

dx

x x x x C

x+ + x+ = + − + = + + − + + +

∫ ∫

2

;

3

a b

⇒ = = −

4

3

a b

⇒ + =

Câu 88 Tìm

1

x

Q dx

x − =

+ ∫

?

A. 2

1 ln

Q= x − + x+ x − +C B. 2

1 ln

Q= x − − x+ x − +C

C. 2

ln 1

Q= x+ x − − x − +C D. Cảđáp án B,C

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 1

1

x x

x x

≥  −

≥ ⇔  < −

+ 

Trường hợp 1: Nếu x≥1

2

2 2

1 1

1 ln

1 1 1 1

x x x

Q dx dx dx dx x x x C

x x x x

− −

= = = − = − − + − +

+ − − −

∫ ∫ ∫ ∫

Trường hợp 2: Nếu x< −1

2

2 2

1 1

ln 1

1 1 1 1

x x x

Q dx dx dx dx x x x C

x x x x

− −

= = = − = + − − − +

+ − − −

∫ ∫ ∫ ∫

Chọn D

Câu 89 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) 1

2

f x m

x

= + −

+ thỏa mãn F( )0 =0

( )3

F = Khi đó, giá trị tham số m

A. −2 B. C. −3 D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có F x( ) 1 d

2 x m x

 

=  + − 

+

 

∫ = x+ +1 (m−1)x C+

Theo giả thiết, ta có ( )

( )

0

3

F F

= 



= 

1

3

C

C m

+ = 

⇒  + = 

1

C m

= −  ⇔  =



Vậy F x( ) = x+ +1 2x−1

Câu 90 Hàm số F x( ) (= ax b+ ) 4x+1 (a b, số thực) nguyên hàm

( ) 12

4

x f x

x =

A 0 B 1 C 2 D 3

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ( ) ( )

4

x

F x a x ax b

x

′ = + + +

+

6

4

ax a b

x + + =

+

Để F x( ) nguyên hàm f x( ) 12

4

ax a b x

x x

+ + =

+ +

6 12

2

a a

a b b

= =

 

⇔ ⇔

+ = = −

 

Do a b+ =1

Câu 91 Biết F x( )=(ax2+bx+c) 2x−3 (a b c, , ∈) nguyên hàm hàm số

( ) 20 30 11

2

x x

f x

x

− +

=

− khoảng

3 ;

 +∞

 

  Tính T = + +a b c

A. T =8 B. T =5 C. T =6 D. T =7

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có F x′( )= f x( )

Tính ( ) (2 ) ( )

2

F x ax b x ax bx c

x

′ = + − + + +

−

( )( )

2

2

ax b x ax bx c

x

+ − + + +

=

−

( )

2

5

2

ax b a x b c

x

+ − − +

=

−

Do (3 )

2

ax b a x b c

x

+ − − +

−

2

20 30 11

2

x x

x − + =

−

( )

2

5ax 3b 6a x 3b c 20x 30x 11

⇒ + − − + = − +

5 20

3 30

3 11

a

b a

b c =  

⇒ − = − − + = 

4

a b c

=   ⇒ = −

 = 

7

DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐLƯỢNG GIÁC Câu 92 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2 cos 2x

A −2 sin 2x C+ B sin 2x C+ C 2 sin 2x C+ D sin 2x C+

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ∫ f x( )dx=∫2 cos dx x sin 21 sin

2 x C x C

= + = +

Câu 93 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=sin 5x+2

A 5 cos 5x C+ B 1cos

5 x x C

− + + C 1cos

5 x+ x C+ D cos 5x+2x C+

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ( )d (sin d) 1cos

5

f x x= x+ x= − x+ x C+

∫ ∫

Câu 94 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2x+sin 2x

A 1cos 2

x − x C+ B 1cos 2

x + x C+ C x2−2 cos 2x C+ D x2+2 cos 2x C+

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ∫ f x x( )d =∫(2x+sin dx x) 1cos 2

x x C

= − +

Câu 95 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=cos 22 x là:

A. cos

2

x C

+ + B. cos

2

x x

C

− + C. cos

2

x C

− + D. cos

2

x x

C

+ +

Hướng dẫn giải

Ta có: cos 2 cos sin

2

x x x

x dx=  + dx= + +C

 

∫ ∫

Chọn D

Câu 96 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) cos

f x =  x+π  

A ( )d 3sin

6

f x x=  x+π +C

 

∫ B ( )d 1sin

3

f x x= −  x+π +C

 

∫

C ( )d sin

6

f x x=  x+π+C

 

∫ D ( )d 1sin

3

f x x=  x+π +C

 

∫

Hướng dẫn giải Chọn D

Áp dụng công thức: cos(ax b)dx 1sin(ax b) C a

+ = + +

∫ .

Câu 97 Cho F x( )=cos 2x−sinx C+ nguyên hàm hàm số f x( ) Tính f ( )π

A f ( )π = −3 B f ( )π 1= C f ( )π = −1 D f ( )π =0

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: f x( )=F x′( ) ⇒ f x( )= −2 sin 2x−cosx

Câu 98 Tính: cos

dx x

+

∫

A 2 tan

x C

+ B. tan

2

x C

+ C. 1tan

2

x C

+ D. 1tan

4

x C

+

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

tan

1 cos

2 cos

dx dx x

C x

x= = +

+

∫ ∫

Chọn B

Câu 99 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=6x+sin 3x, biết ( )0

F =

A ( ) cos

3

x

F x = x − + B ( ) cos

3

x

F x = x − −

C ( ) cos

3

x

F x = x + + D ( ) cos

3

x

F x = x − +

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

 ( ) ( ) cos ( )

d sin d

3

x

f x x= x+ x x= x − + =C F x

∫ ∫

 ( )0

F = 1.1

3 C

⇔ − + = ⇔ =C

Vậy ( ) cos

3

3

x

F x = x − +

Câu 100 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=tan2x là:

A cotx− +x C B. tanx− +x C C. −cotx− +x C D. −tanx− +x C

Hướng dẫn giải

Ta có: ∫tan2xdx=∫(tan2 x+ −1 1)dx=tanx− +x C

Chọn B

Câu 101 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số 12

cos

y

x

= − F( )0 =1 Khi đó, ta có F x( ) là:

A −tanx B. −tanx+1 C. tanx+1 D. tanx−1

Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) 2 tan

cos

dx

F x x C

x

= −∫ = − + Mà F( )0 = ⇔ −1 tan 0+ = ⇔ =C C

Vậy F x( )= −tanx+1

Chọn B

Câu 102 Cho hàm số f x( )=sin 24 x Khi đó:

A ( ) sin 1sin

8

f x dx=  x+ x+ x+C

 

∫ B. ( ) cos 1sin

8

f x dx=  x− x+ x+C

 

∫

C. ( ) cos 1sin

8

f x dx=  x+ x+ x+C

 

∫ D. ( ) sin 1sin

8

f x dx=  x− x+ x+C

 

∫

Ta có: ( )2 ( )

sin 2x x cos 4x cos cos

4

d = − dx= − x+ x dx

∫ ∫ ∫

( )

1 1

3 cos cos sin sin

8 x x dx x x x C

 

= − + =  − + +

 

∫

Chọn D

Câu 103 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=sin 2( − x) thỏa mãn 1

F  =   

Mệnh đềnào sau đúng?

A. ( ) 1cos 2( )

2

F x = − − x + B. F x( )=cos 2( − x)

C. F x( )=cos 2( − x)+1 D. ( ) 1cos 2( )

2

F x = − x +

Hướng dẫn giải Chọn D

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d sin d cos cos

2

F x =∫ f x x=∫ − x x= − − − x + =C − x +C

Mà 1 1cos 2.1 1 1 ( ) 1cos 2( )

2 2 2 2

F  = ⇔  − + = ⇔ + = ⇔ = ⇒C C C F x = − x +

   

Câu 104 Nguyên hàm ∫(sin 2x+cosx dx) là:

A. 1cos sin

2 x+ x C+ B. −cos 2x+sinx C+

C. 1cos sin

2 x x C

− + + D. −cos 2x−sinx C+

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )

sin cos cos sin

2

x+ x dx= − x+ x C+

∫

Chọn C

Câu 105 Nguyên hàm ∫sin 2( x+ +3) cos 2( − x)dx là:

A. −2 cos 2( x+ −3) sin 2( − x)+C B. −2 cos 2( x+ +3) sin 2( − x)+C

C. cos 2( x+ −3) sin 2( − x)+C D. cos 2( x+ +3) sin 2( − x)+C

Hướng dẫn giải

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

sin 2x+ +3 cos 2− x dx= −2 cos 2x+ −3 sin 2− x +C

 

 

∫

Chọn A

Câu 106 Nguyên hàm ∫sin2(3x+ +1) cosx dx là:

A. 3sin 6( 2) sin

2x− x+ + x C+ B. x−3sin 6( x+ +2) sinx C+

C. 3sin 3( 1) sin

2x− x+ + x C+ D. ( )

1

3sin sin 2x− x+ − x C+

Hướng dẫn giải

( ) ( ) ( )

( )

2 cos 1

sin cos cos cos cos

2 2

1

3sin sin

2

x

x x dx x dx x x dx

x x x C

− +

   

 + +  =  +  = − + +

   

 

= − + + +

∫ ∫ ∫

Chọn A

Câu 107 Kết quảnào nguyên hàm ∫(sin3x+cos3x dx) ?

A. 3cos sinx 2x−3sin cosx x C+ B. 3sin (sin cos )

2 x x− x +C

C. sin sin

x x−π +C

  D. sin cos sinx x x C

π

 − +

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )

( )

3 2

sin cos 3cos sin 3sin cos

3

sin sin cos sin sin

2

x x dx x x x x C

x x x C x x π C

+ = − +

 

= − + =  − +

 

∫

Chọn C

Câu 108 Cho hàm số f x( )=cos cosx x Một nguyên hàm hàm số f x( ) x=0 là:

A. 3sin 3x+sinx B sin sin

8

x x

+ C sin sin

2

x x

+ D cos cos

8

x x

+

Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) cos cos (cos ) 1sin 1sin

2

F x =∫ x dx= ∫ x+cos x dx= x+ x C+

( ) 1

0 sin sin 0

8

F = ⇔ + + = ⇔ =C C

Vậy ( ) cos cos

8

x x

F x = +

Chọn D

Câu 109 Họ nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

cot

f x = x

là:

A. cotx− +x C B −cotx− +x C C cotx+ +x C D tanx+ +x C Hướng dẫn giải

Ta có: ∫cot2xdx=∫(cot2x+ −1 1)dx= −cotx− +x C

Chọn B

Câu 110 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin 42

1 cos

x f x

x

=

+ thỏa mãn F

π

  =  

  Tính F( )0 A. F( )0 = − +4 ln B. F( )0 = − −4 ln 2. C. F( )0 = −4 ln D. F( )0 = +4 ln

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách

Ta có F x( )=∫ f x( )dx

( ) ( )'

2.cos cos

sin sin cos sin cos

d d d d

1 cos

1 cos 1 cos cos

2

x x

x x x x x

F x x x x x

x

x x x

− +

= = + = =

+ + + +

(3 cos ) ( ) ( )

2 d cos 2 d cos

3 cos cos

x

x x

x x

+ −  

= − + = −  −  +

+  + 

∫ ∫

( )

2 cos 2x ln cos 2x C

= − + + + +

Do cos( ) ln cos ln

2

F  = ⇔ − + π π + + π + = ⇔ = −C C

 

( )0 cos 0( ) ln cos ln ln

F

⇒ = − + + + + − = − +

Cách 2:

( ) ( ) ( )

2

2

2 0

0

sin

d 0

1 cos

x

x F x F F F

x

π

π  π

= =  − = −

+  

∫

( ) 2

0

sin

0 d 0,15888

1 cos

x

F x

x

π

⇒ = − ≈

+

∫

Câu 111 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=tan2x

F  = π

  Tính F

π

−     

A.

4

F−π = −π

  B F

π π

− = −  

  C F

π

− = −  

  D F

π π

− = +  

 

Hướng dẫn giải Chọn B

( )

2

tan x xd =  tan x+ −1 d x=tanx− +x C

∫ ∫

Do tan

4 4

F  = ⇔ π π π− + = ⇔ = ⋅C C π  

Vậy tan

4 4

F−π = −π   − −π + = −π π

     

Câu 112 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( ) (= +1 sinx)2 biết

2

F  = π π   A. ( ) cos 1sin

2

F x = x+ x− x B. ( ) cos 1sin

2

F x = x− x− x

C. ( ) cos 1sin

2

F x = x− x+ x D. ( ) cos 1sin

2

F x = x+ x+ x

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có

( )2 ( 2 ) cos

1 sin sin sin sin

2

x

x dx x x dx  x − dx

+ = + + =  + + 

 

∫ ∫ ∫

3

2 cos sin

2x x x c

= − − +

3 3

2 cos sin

2 2 4

F  = ⇔ π π π − π + π + =c π ⇔ =c

 

Vậy ( ) cos 1sin

2

F x = x− x− x

Câu 113 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( ) 3sin cos

5sin cos

x x

f x

x x

− +

=

A. 17 ln 5sin cos

26x 78 x x C

− + − + B. 17 ln 5sin cos

26x 78 x x C

− − − +

C. 17 ln 5sin cos

26x+78 x− x +C D.

17

ln 5sin cos

26x−78 x− x +C

Hướng dẫn giải Chọn A

( ) ( )

3sin cos 5sin cos 15 cos 3sin

17

5 3 26

15

78

x x A x x B x x

A

A B

A B

B

− + = − + +

−  =  + = −

 

⇒ ⇒

− + =

  =



Câu 114 Biết (sin 2x cos 2x)2dx x acos 4x C b

− = + +

∫ , với a, b sốnguyên dương, a

b phân

số tối giản C∈ Giá trị a b+

A 5 B 4 C 2 D 3

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ∫(sin 2x−cos 2x)2dx =∫(1 sin cos 2− x x)dx=∫(1 sin 4− x)dx 1cos 4

x x C

= + +

Mà (sin 2x cos 2x)2dx x acos 4x C b

− = + +

∫ nên

4

a b

=   =

 ⇒ + =a b Câu 115 Tính I =∫8sin cos dx x x=acos 4x b+ cos 2x C+ Khi đó, a b−

A 3 B −1 C 1 D 2

Hướng dẫn giải Chọn C

8sin cos d

I =∫ x x x =4∫(sin 4x+sin 2x)dx= −cos 4x−2 cos 2x C+ ⇒ = −a 1,b= −2

Câu 116 F x( ) nguyên hàm hàm số y=2 sin cos 3x x F( )0 =0,

A F x( )=cos 4x−cos 2x B ( ) cos cos

4 8

x x

F x = − −

C ( ) cos cos

2 4

x x

F x = − − D ( ) cos cos

4

x x

F x = − +

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có y=sin 4x−sin 2x ( ) cos cos

4

x x

F x C

⇒ = − + + , F( )0 =0 nên

4

C= − Nên ( ) cos cos

2 4

x x

F x = − −

Câu 117 Cho α∈ Hàm sốnào sau nguyên hàm hàm số f x( )=sinx

A F x1( )= −cosx B 2( ) sin sin

2

x x

F x = +α −α

C 3( ) sin sin

2

x x

F x = − α+  α − 

    D 4( ) cos sin

2

x x

F x = α+ α−

Ta có ∫sin dx x= −cosx C+ Đáp án A nguyên hàm hàm số f x( )=sinx

2 sin sin cos cos

2

x x

x

α α α

+ − = − Đáp án B nguyên hàm củ

a hàm số f x( )=sinx

( )

2 sin sin cos cos

2

x x

x

α α α

   

−  +   − = −

    Đáp án C nguyên hàm hàm số

( ) sin

f x = x

2 cos sin sin sin

2

x x

x

α + α − = α − Đáp án D không phả

i nguyên hàm hàm số

( ) sin

f x = x

Câu 118 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( ) tan 22

f x = x+

A tan 22 d tan 2

2

x x x x C

 +  = − +

 

 

∫ B tan 22 d tan

2

x

x x x C

 +  = − +

 

 

∫

C tan 22 d tan

2

x x x x C

 +  = − +

 

 

∫ D tan 22 d tan

2 2

x x

x x C

 +  = − +

 

 

∫

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: tan 22 d 12 d tan

2 cos 2 2

x x

x x x C

x

 +  =  −  = − +

   

   

∫ ∫

Câu 119 Hàm số F x( )=ln sinx−3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sau

đây?

A ( ) sin 3cos

cos 3sin

x x

f x

x x

− =

+ B ( )

cos 3sin

sin 3cos

x x

f x

x x

− −

=

−

C ( ) cos 3sin

sin 3cos

x x

f x

x x

+ =

− D f x( )=cosx+3sinx

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

Câu 120 Hàm số ( ) cos sin

cos sin

x x

f x

x x

− =

+ có nguyên hàm F x( ) thỏa mãn

3

4

F  = π π

  Giá trị

2

F  π

  bằng? A. 11ln

4

π −

B.

4

π

C.

8

π

D. ln

4

π −

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( )

( ) ( )

3 11

sin cos sin cos

2

cos sin

x x x x

f x

x x

+ + − +

=

+

3 11 sin cos

2 cos sin

x x

x x

− +

= +

+

( ) ( )d

F x f x x

⇒ =∫ 11 sin cos d

2 cos sin

x x

x

x x

− +

 

=  + 

+

 

∫ 11 sin cos

d

2 cos sin

x x

x x

x x

− +

= +

+

∫

( )

3 11

d cos sin

2x cosx sinx x x

= + +

+

∫ 11ln cos sin

2x x x C

= + + +

( ) ( ) ( ) cos 3sin

ln sin 3cos

sin 3cos

x x

f x F x x x

x x

+ ′

′

= = − =

Mà

4

F  = π π  

3 11

ln

8 C

π π

⇒ + + = 11ln

4

C

⇒ = −

Do 3 11ln

2 4

F  = + = − π π C π

 

Câu 121 Tìm

sin sin cos

x

I dx

x x

=

+

∫

?

A. 1( ln sin cos )

I = x+ x+ x +C B. I = +x ln sinx+cosx +C

C. I = −x ln sinx+cosx +C D. 1( ln sin cos )

2

I = x− x+ x +C

Hướng dẫn giải

Đặt: cos

sin cos

x

T dx

x x

=

+

∫

( )

1

sin cos sin cos

1

sin cos sin cos sin cos

x x x x

I T dx dx dx x C

x x x x x x

+

⇒ + = + = = +

+ + +

∫ ∫ ∫

Ta lại có:

( ) ( )

2

sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos

sin cos

ln sin cos

sin cos

x x x x

I T dx dx dx

x x x x x x

d x x

I T x x C

x x

−

− = − = =

+ + +

+

⇔ − = − = − + +

+

∫ ∫ ∫

∫

Từ ( ) ( )1 ; ta có hệ:

( )

( )

1

2

1

ln sin cos

2

ln sin cos

ln sin cos

2

I x x x C

I T x C

I T x x C

T x x x C

 = − + +

 + = +

 ⇒

 − = − + + 

  = + + +

 Chọn D

Câu 14 Biết s inx cos s inx

cos s inx cos s inx

x

I dx A B dx

x x

−

 

= = +  

+  + 

∫ ∫ Kết A, B

A

2

A= =B B

2

A= = −B C 1,

2

A= − B= D 1,

2

A= B= −

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

cos s in cos s in

sin cos s in

cos sin cos s in cos s in

s in = cos s in cos s in ( ) cos ( ) s in

A x x B x x

x x x

A B

x x x x x x

x A x x B x x A B x A B x

+ + −

−

 

= +  =

+  +  +

⇒ + + − = + + −

Do đó:

1

0 2

1

2

A

A B

A B

B  =  + =

 ⇔

 − = 

  = −



Câu 122 Tìm

4

4

cos

sin cos

x

I dx

x x

=

+ ∫

A 1 ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

  + 

=  −  + −

 

  B.

1 sin

ln

2 2 sin

x

I x C

x

 + 

= −  + −

 

C. 1 ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

  + 

=  +  + −

 

  D.

1 sin

ln

2 2 sin

x

I x C

x

 + 

= −  + −

 

Hướng dẫn giải

Đặt:

4

4

sin

sin cos

x

T dx

x x

=

+ ∫

( )

4 4

1

4 4 4

cos sin sin cos

1

sin cos sin cos sin cos

x x x x

I T dx dx dx x C

x x x x x x

+

⇒ + = + = = +

+ + +

∫ ∫ ∫

Mặt khác:

( )

4 4

4 4 4

2

2

2

2

cos sin cos sin

sin cos sin cos sin cos

cos sin cos

1

1 sin cos 1 sin

2

2 cos 2 sin

ln

2 sin 2 2 sin

x x x x

I T dx dx dx

x x x x x x

x x x

I T dx dx

x x x

x x

I T dx C

x x

−

− = − =

+ + +

−

⇔ − = =

− −

 + 

⇔ − = =  +

−  − 

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

Từ ( ) ( )1 ; ta có hệ:

1

2

1 sin

ln

2 2 sin

1 sin

ln 1 1 2 sin 2

2 2 sin ln

2 2 sin

x

I x C

I T x C

x x

I T C x

x T x C

x

   + 

= + +

  

+ = +  

   

−

  

   ⇒  

+

 − = + 

    

  −   =  − + +

 

    

−

 

 

 Chọn C

Câu 123 Họ nguyên hàm hàm số f x( )= −3sin 2x+2 cosx−ex

A −6 cos 2x+2 sinx− +ex C B 6 cos 2x−2 sinx− +ex C

C 3cos 2 sin e

x

x− x− +C D 3cos 2 sin e

2

x

x+ x− +C

Hướng dẫn giải Chọn D

( )

3sin 2 cos e d cos 2 sin e

x x

x x x x x C

− + − = + − +

∫

Câu 124 Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]0; \

π π   

  thỏa mãn f′( )x =tanx,

5

; \

4

x  π π   π ∀ ∈ −   

   , f ( )0 =0, f ( )π =1 Tỉ số

2

f  π 

  f

π

      bằng:

A. log e 1( + ) B. C.

( )

1 ln 2 ln

+

+ D. log e( − )

Ta có ( )

( )

1

2

ln cos

2

tan d ln cos

ln cos

2

x C x

f x x x x C

x C x

π

π π

− + ≤ <



= = − + = 

− − + < ≤



∫

( )0

f = ⇒C = f ( )π = ⇒1 C2 =1

Khi ( )

( )

ln cos

2

ln cos

2

x x

f x

x x

π

π π

− ≤ <

 == 

− − + < ≤



Suy (ln 1)

3

f  π  = +

 

1 ln

4

f   = π

 

DẠNG 6: NGUN HÀM HÀM SỐMŨ LƠGARIT Câu 125 Tìm họ ngun hàm hàm số f x( )=52x

A ∫5 d2x x

2

5

ln

x

C

= + B ∫5 d2x x 25

2 ln

x

C

= +

C ∫5 d2x x =2.5 ln 52x +C D ∫5 d2x x

1

25

x

C x

+

= +

+

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ∫5 d2x x =∫25 dx x 25

ln 25

x

C

= + 25

2 ln

x

C = +

19T

Câu 126 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( )

2018

e x

f x =

19T

A ( )

2018

1

d e

2018 x

f x x= +C

∫

B ( )

2018

d e x

f x x= +C

∫ .

19T

C ( )

2018

d 2018e x

f x x= +C

∫ . D ( ) 2018

d e xln 2018

f x x= +C

∫ .

19T

Hướng dẫn giải 19T

Chọn A 19T

Theo công thức nguyên hàm mở rộng

Câu 127 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( )

2

e x

f x =

, biết F( )0 =1

A F x( )=e2x B ( )

e

2

x

F x = + C F x( )=2e2x−1 D F x( )=ex

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: ( ) ( )d e d2 1e2

2

x x

F x =∫ f x x=∫ x= +C

Theo giả thiết: ( )0 1

2

F = ⇒ =C Vậy ( )

2

e

2

x

F x = +

Câu 128 Cho F x( )là nguyên hàm f x( )=e3x thỏa mãn F( )0 =1 Mệnh đềnào sau

đúng?

A ( ) 1e3

3

x

F x = + B ( ) 1e3

3

x

F x =

C ( ) 1e3

x

F x = + D ( ) 1e3

3

x

F x = − +

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( ) e d3 1e3

3

x x

F x =∫ x= +C

Lại có ( )0 1

3

F = ⇔ + = ⇔ =C C

Câu 129 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=ex+2x thỏa mãn ( )0

F = Tìm F x( )

A ( )

e

2 x

F x = +x + B ( )

2e

2 x

F x = +x −

C ( ) e x

F x = +x + D ( ) e

2 x

Hướng dẫn giải Chọn D

( ) ( )

ex d ex

F x =∫ + x x= +x +C

( )

2

F = e0

2

C

⇔ + =

2

C

⇔ =

( )

e

2

x

F x = +x +

Câu 130 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f′( )x =2018 ln 2018 cosx − x f ( )0 =2 Phát biểu sau

đúng?

A f x( )=2018x+sinx+1 B ( ) 2018 sin ln 2018

x

f x = + x+

C ( ) 2018 sin ln 2018

x

f x = − x+ D f x( )=2018x−sinx+1

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có ( ) (2018 ln 2018 cosx )d

f x =∫ − x x 2018x sin

x C

= − +

Mà f ( )0 =2 ⇔20180−sin 0+ =C 2⇔ =C Vậy f x( )=2018x−sinx+1

Câu 131 Tính

3

(2+e x) dx ∫

A.

3

x x

x+ e + e +C B 4

3

x x

x+ e + e +C C 4

3

x x

x+ e − e +C D 4

3

x x

x+ e + e +C Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) ( )

3 6x

3x 3x 6x 4e

2 4e x 4x

3

x

e

e dx e d C

+ = + + = + + +

∫ ∫

Chọn D

Câu 132 Nếu F x( ) nguyên hàm ( ) (1 )

x x

f x =e −e− F(0)=3 F x( ) là?

A. x

e −x B ex− +x C x

e − +x C D ex− +x

Hướng dẫn giải

Ta có: F x( )=∫ex 1( −e−x)dx=∫(ex−1)dx=ex− +x C

( )

0 3

F = ⇔e − + = ⇔ =C C

Vậy F x( )=ex− +x

Chọn B

Câu 133 Họ nguyên hàm hàm số f x( )= −ex e−x :

A ex+e−x+C B. ex−e−x+C

C. − +ex e−x+C D. ex+ +ex C

Hướng dẫn giải

Ta có: ∫(ex−e−x)dx=ex+e−x+C

Chọn A

A. f x( )=e−x+ +ex B

( )

2

x x

f x =e −e− + x C f x( )= −ex e−x+1 D ( )

2

x x

f x =e +e− + x Hướng dẫn giải

Ta có: ∫(ex+e−x+1)dx=ex−e−x+ +x C

Chọn C

Câu 135 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=e2x−e−3x :

A

3

3

x x

e e

C

−

+ + B.

2

2

x x

e e

C

−

+ +

C.

3

2

x x

e e

C

−

+ + D.

2

3

x x

e e

C

−

+ +

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

2

2

x x

x x e e

e e dx C

− −

− = + +

∫

Chọn B

Câu 136 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=32x−2−3x :

A

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

+ + B.

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

− +

C.

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

+ + D.

2

3

2.ln 3.ln

x x

C

−

− +

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

2 3

3

2.ln 3.ln

x x

x x

dx C

− −

− = + +

∫

Chọn A

Câu 137 Hàm số y= f x( ) có nguyên hàm F x( )=e2x Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ex

f x +

A ( ) 1d e e e

x x

x

f x

x − C

+ = − +

∫ B ( ) 1d 2e e

e

x x

x

f x

x − C

+ = − +

∫

C ( ) 1d 2e e e

x x

x

f x

x − C

+

= + +

∫ D ( ) 1d 1e e

e

x x

x

f x

x − C

+

= − +

∫

Hướng dẫn giải Chọn B

Vì hàm số y= f x( ) có nguyên hàm F x( )=e2x nên ta có: f x( )=(F x( ))′ =2e2x

Khi đó: ( ) 1d 2e2 1d

e e

x

x x

f x

x x

+ +

=

∫ ∫ =∫(2ex+e−x)dx =2ex−e−x+C

Câu 138 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=e ex( + −x)

A ∫ f x( )dx=e−x+C. B ∫ f x( )dx=ex+ +x C

C ∫ f x( )dx=ex+e−x+C D ∫ f x( )dx=ex+C

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 139 F x( ) nguyên hàm hàm số y=xex2 Hàm sốnào sau F x( )?

A ( ) 2

x

F x = e + B ( ) 1( 5)

2

x

F x = e +

C ( )

2 x

F x = − e +C. D ( ) 1(2 2)

2 x

F x = − −e

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta thấy đáp án C 2

2

x x x

e C xe xe

′

− +  = − ≠

 

  nên hàm số ởđáp án C không

nguyên hàm hàm y=xex2

Câu 140 Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số ( ) 22

x x x

x f x =  − 

  A ( ) 12

ln12

x

x x

F x = − +C B F x( )=12x+x x+C

C ( )

2

ln ln

x x

x

x x F x =  − 

  D ( )

2

2 ln

ln ln

x x

x

x x F x =  − 

 

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có ( ) 22 12

4

x x x

x

x

f x =  − = − x

 

Nên ( ) (12 )d 12

ln12

x

x x x

F x =∫ − x x= − +C

Câu 141 Tính nguyên hàm hàm số ( ) e 2017 2018e5 x x

f x

x

−

 

=  − 

 

A f x( )dx 2017ex 20184 C x

= + +

∫ B f x( )dx 2017ex 504, 54 C

x

= + +

∫

C ( )d 2017ex 504, 54

f x x C

x

= − +

∫ D ( )d 2017ex 20184

f x x C

x

= − +

∫

Hướng dẫn giải Chọn B

( ) ( 5)

4

504, d 2017ex 2018 d 2017ex

f x x x x C

x

−

= − = + +

∫ ∫

Câu 142 Tính

2

2 7x x x

dx

∫

A. 84

ln 84

x

C

+ B

2

2 ln 4.ln 3.ln

x x x

C

+ C 84x+C D 84 ln 84x +C Hướng dẫn giải

Ta có: 72 84 84

ln 84

x

x x x x

dx= dx= +C

∫ ∫

Chọn A Câu 143 Nguyên hàm

2

2

x x

e

dx e

+ −

A.

1

3

5

3

x x

e + − e− +C B.

5

3

5

3

x x

e + + e +C

C.

1

3

5

3

x x

e + − e +C D.

5

3

5

3

x x

e + + e− +C

Hướng dẫn giải

Ta có:

5

2

2 1

3 3 3

3

3

2

2

3

x x x x

x x

x x x

x x

x

e e

dx dx e e dx e e dx e e C

e e e

+ −  +   + − −   + −  + −

 

= − =  −  =  −  = + +

     

 

∫ ∫ ∫ ∫

Chọn D

Câu 144 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

3 x

f x e

=

+ ( )

1

0 ln

3

F = − Tập nghiệm S

phương trình 3F x( )+ln(ex+ =3)

A. S ={ }2 B S = −{ 2; 2} C S ={ }1; D S = −{ 2;1}. Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) d 1 d 1( ln( 3))

3 3

x

x

x x

x e

F x x x e C

e e

 

= =  −  = − + +

+  + 

∫ ∫

Do ( )0 1ln

3

F = − nên C=0 Vậy ( ) 1( ln( 3))

x

F x = x− e +

Do đó: 3F x( )+ln(ex+ = ⇔ =3) x

Chọn A

Câu 145 Hàm số ( ) e3 1(9 24 17) 27

x

F x = + x − x+ +C nguyên hàm hàm sốnào

A ( ) ( )

2 e x

f x = x + x− + B ( ) ( )

2 e x

f x = x − x− + C ( ) ( )

2 e x

f x = x − x+ + D ( ) ( )

2 e x

f x = x − x− −

Hướng dẫn giải Chọn C

( ) 1( ) 1( ) 1( )

e 24 17 3.e 24 17 e 24 17

27 27

x x x

F x + x x + x x + x x

′  

  ′

′ = − +  =  − + + − + 

   

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

1

3.e 24 17 e 18 24 e 27 54 27 e

27 27

x x x x

x x x x x x x

+ + + +

 

=  − + + − = − + = − +

Câu 146 Cho hai hàm số F x( )=(x2+ax b e+ ) −x f x( )= − +( x2 3x+6)e−x Tìm a b để

( )

F x nguyên hàm hàm số f x( )

A. a=1,b= −7 B. a= −1,b= −7 C. a= −1,b=7 D. a=1,b=7

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có F x′( )= −( x2+ −(2 a x) + −a b e) −x = f x( ) nên

6

a a

a b b

− = = −

 ⇔

 − =  = −

 

Câu 147 Tìm

n x

F =∫x e dx

?

B. F =exxn−nxn−1+n n( −1)xn−2+ + n!( )−1 n−1x+n!( )−1 n+C

C. F =n e! x+C

D. ( ) ( ) ( )

1 ! n ! n

n n n x

F =x −nx − +n n− x − + +n − − x+n − + +e C

Hướng dẫn giải

Lưu ý: ta ln có điều sau e f xx ( ) =′ e f xx ( )+e fx ′( )x + =C exf x( )+ f′( )x +C

( ) ( ( ) ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

1

1 2

1

1

1 ! 1 !

1 ! !

n

x n n n n n n

n n

x n n n

F e x n x n x n x n n x n x n x n

F e x nx n n x n x n

−

− − − − −

−

− −



=  + − + − + − + − + + − + + −

 

⇔ =  − + − + + − + − 

∫

Chọn B

Câu 148 Giả sử ∫e2x(2x3+5x2−2x+4)dx=(ax3+bx2+cx+d e) 2x+C Khi a b c d+ + +

A -2 B 3 C 2 D 5

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ∫e2x(2x3+5x2−2x+4)dx=(ax3+bx2+cx+d e) 2x+C nên

( )

( )

3 2 2

3 2

3 2

( ) ' (3 ) ( )

2 (3 ) (2 )

(2 4)

x x x

x x

ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d

ax a b x b c x c d e

x x x e

+ + + + = + + + + + +

= + + + + + +

= + − +

Do

2

3

2 2

2

a a

a b b

b c c

c d d

= =

 

 + =  =

 ⇔

 + = −  = −

 

 + =  =

 

Vậy a b c d+ + + =3

Câu 149 Tính nguyên hàm hàm số ( ) e 2017 2018e5 x x

f x

x

−

 

=  − 

 

A f x( )dx 2017ex 20184 C x

= + +

∫ B f x( )dx 2017ex 504, 54 C

x

= + +

∫

C f x( )dx 2017ex 504, 54 C x

= − +

∫ D f x( )dx 2017ex 20184 C

x

= − +

∫

Hướng dẫn giải Chọn B

( ) ( 5)

4

504, d 2017ex 2018 d 2017ex

f x x x x C

x

−

= − = + +

∫ ∫

Câu 150 Giả sử 3 2

(2 4) ( )

x x

e x + x − x+ dx= ax +bx +cx+d e +C

∫ Khi a b c d+ + +

A -2 B 3 C 2 D 5

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có ∫e2x(2x3+5x2−2x+4)dx=(ax3+bx2+cx+d e) 2x+C nên

( )

( )

3 2 2

3 2

3 2

( ) ' (3 ) ( )

2 (3 ) (2 )

(2 4)

x x x

x x

ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d

ax a b x b c x c d e

x x x e

+ + + + = + + + + + +

= + + + + + +

Do

2

3

2 2

2

a a

a b b

b c c

c d d

= =

 

 + =  =

 ⇔

 + = −  = −

 

 + =  =

 

Vậy a b c d+ + + =3

Câu 151 Cho F x( )=(ax2 +bx c− )e2x làmột nguyên hàm hàm số f x( )=(2018x2−3x+1 e) 2x

trên khoảng (−∞ +∞; ) Tính T = +a 2b+4c

A. T = −3035 B. T =1007 C. T = −5053 D. T =1011

Hướng dẫn giải Chọn A

Vì ( ) ( )

e x

F x = ax +bx c− làmột nguyên hàm hàm số ( ) ( )

2018 e x

f x = x − x+

khoảng (−∞ +∞; ) nên ta có: (F x( ))′ = f x( ), với x∈ −∞ +∞( ; )

( )

( ) ( )

2 2 e x 2018 e x

ax x b a c b x x

⇔ + + − + = − + , với x∈ −∞ +∞( ; )

2 2018

2

2

a

b a

c b =  

⇔ + = − − + = 

1009 2021

2 2023

4

a b c

  =   ⇔ = −

  = − 

Vậy T = +a 2b+4c 1009 2021 2023

2

   

= + − + − 

   = −3035 Câu 152 Biết ( ) ( ) x

F x = ax +bx c e+ − nguyên hàm hàm số ( ) ( )

2 x

f x = x − x+ e−

 Tính giá trị biểu thức f F ( )0 

A. −e−1 B. 20e2 C. 9e D. 3e

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

x x x x

F x′ = ax +bx+c e′ − + ax +bx+c e− ′ = ax b e+ − − ax +bx+c e−

( ) ( )

2 x

F x′ = − ax + a b x b c e− + −  −

Vì F x( )=(ax2+bx c e+ ) −x nguyên hàm hàm số f x( )=(2x2−5x+2)e−x  nên:

( ) ( ) ( ) ( )

, x x,

F x′ = f x ∀ ∈ ⇔ −x   ax + a b x b c e− + −  − = x − x+ e− ∀ ∈x 

2

2

2

a a

a b b

b c c

− = = −

 

 

⇔ − = − ⇔ =  − =  = −

 

Như F x( )= −( 2x2+ −x 1)e−x⇒F( )0 = −( 2.02+ −0 1)e−0 = −1 Bởi f F ( )0 = f ( )− =1 (2.12+5.1 2+ )e=9e

Câu 153 Gọi F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=2x, thỏa mãn ( )0 ln

F = Tính giá trị

A.

2017

2

1009 ln

T = + B. T =22017.2018 C.

2017

2

ln

T = − D.

2018

2

ln

T = −

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có: ( ) ( )d d

ln

x x

F x =∫ f x x=∫ x= +C

Mà ( )0

ln

F = 1 ( )

ln ln ln

x

C C F x

⇒ + = ⇒ = ⇒ =

Khi đó:

( )0 ( )1 ( )2 (2017)

T =F +F +F + +F

0 2017 2018 2018

2 2 1 2

ln ln ln ln ln 2 ln

− −

= + + + + = =

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN

Câu Cho hàm số ( ) 22

1

x f x

x

=

+ Khi đó:

A ∫ f x dx( ) =2 ln 1( +x2)+C B ∫ f x dx( ) =3ln 1( +x2)+C

C ∫ f x dx( ) =4 ln 1( +x2)+C D ∫ f x dx( ) =ln 1( +x2)+C

Câu Cho hàm số ( ) ( )4

1

f x =x x + Biết F(x) nguyên hàm f x( )đồ thị hàm số y=F x( )

đi qua điểm M( )1; Khi F(x) là:

A ( ) ( )

1 2

4

x

F x = + − B ( ) ( )

5

1 15

10

x

F x = + −

C ( ) ( )

1 15

10

x

F x = + + D ( ) ( 1)5 14

10

F x = x + +

Câu Tính 2

1

x dx x

− −

∫ thu kết là:

A 1

1

x C x

+ +

− B 1

x C x+

−

C

1−x+C D

2

ln 1−x +C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x x

+ =

+ + là:

A 2 ln x2+ + +x C. B ln x2+ + +x C

C

ln

2

x x

C

+ +

+ D

4 ln x + + +x C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

4

x f x

x x

+ =

+ − :

A 1.ln 4

2 x + x− +C B

2

ln x +4x− +4 C

C 2 ln x2+4x− +4 C. D 4 ln x2+4x− +4 C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x

=

+ là:

A 2 ln x2+ +4 C B

2

ln

2

x

C

+ +

C ln x2+ +4 C D 4 ln x2+ +4 C Câu Họ nguyên hàm hàm số

2

3 ( )

4

x f x

x

=

+ là:

A

3ln x + +4 C B

3ln x C

C ln x3+ +4 C D −ln x3+ +4 C Câu Một nguyên hàm ( ) 2

1

x f x

x

=

+ là:

A 1ln

2 x+ B ( )

2

2 ln x +1 C 1ln( 1)

2 x + D

2

ln(x +1)

Câu Tính

3

( )

1

x

F x dx

x

= −

∫

A F x( )=ln x4− +1 C B ( ) 1ln 4

F x = x − +C C ( ) 1ln

2

F x = x − +C D ( ) 1ln

3

F x = x − +C

Câu 10 Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin cos

x f x

x

=

− là:

A −ln cosx− +3 C B 2 ln cosx− +3 C

C ln cos

2

x

C

−

− + D 4 ln cosx− +3 C

Câu 11 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin 3cos

x f x

x

=

+ F 2

π

  =  

  Tính F( )0

A ( )0 1ln 2

3

F = − + B ( )0 2ln 2

F = − + C ( )0 2ln 2

3

F = − − D

( )

0 ln 2

3

F = − −

Câu 12 Nguyên hàm hàm số: y=sin x cos x2 là:

A 1sin3 1sin5

3 x−5 x C+ B

3

1

sin sin

3 x x C

− + +

C

sin x+sin x C+ D

sin x−sin x C+

Câu 13 Nguyên hàm hàm số: y=sin x cosx3 là:

A 1cos4

4 x C+ B

4

1 sin

4 x C+ C

3

1 sin

3 x C+ D

2

cos x C

− +

Câu 14 Tính

2

cos sinx x dx

∫

A 3sin sin

12

x x

C

−

+ B 3cos cos

12

x x

C

−

+

C

sin

x C

+ D sinx cos2x C+

Câu 15 Họ nguyên hàm hàm số ( )

sin

f x

x

= là:

A ln cot

x C

+ B ln tan

2

x C

+

C ln tan

x C

− + D ln sinx +C

Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=tanx là:

C

tan

x C

+ D ln cos( x)+C

Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

2

1 sin

2 sin

4

x f x

x π

− =

 + 

 

 

A ∫ f x( )dx=ln sinx+cosx +C B ( )d 1ln sin cos

f x x= x+ x +C

∫

C ∫ f x( )dx=ln sin 2+ x +C D ( )d 1ln sin 2

f x x= + x +C

∫

Câu 18 Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

x x

e f x

e

=

+ là:

A − − +ex C B 3ex+ +9 C

C −2 lnex+ +3 C D lnex+ +3 C Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2 2x x2 là:

A

1

ln 2.2x +C B

2

1 ln

x

C

+ C

ln

2x +C D

2

ln 2.2x +C Câu 20 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2xex2 là:

A

2

x

e C

− +

B

2

2

x

e C

+

C x

e C

− + D ex2+C

Câu 21 Tính

2

x

x e +dx

∫

A ex2+1+C B 1

2 x

e +C

C 1

2 x

e + +C D 1

2 x

e − +C

Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) lnx x

=

A ∫ f x( )dx=ln2x C+ B ( )d 1ln2

f x x= x C+

∫

C ∫ f x( )dx=lnx C+ D ( )d x

f x x=e +C ∫

Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ln 2x

x

= :

A ln 2x C+ B ln2x C+

C

ln 2

x C

+ D ln

2

x C

+

Câu 24 Nguyên hàm lnxdx x( 0)

x

+

>

∫

A 1ln2 ln

2 x+ x C+ B

2

ln

x+ x C+ C ln2x+lnx C+ D 1ln2

x+ x C+

Câu 25 Tính ( )

2 ln

dx F x

x x

=

+

∫

C ( ) ln

F x = x+ +C D ( ) ln

2

F x = x+ +C

Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) lnx

x

= là:

A

ln x C+ B lnx C+ C

2

ln

x C

+ D ln

2

x C

+

Câu 27 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22 ln( 1)

x

f x x

x

= +

+ là:

A 1ln (2 1) C

2 x + + B

2

ln(x + +1) C

C 1ln (2 1) C

2 x + + D

2

1

ln ( 1) C

2 x + +

Câu 28 Tính

.ln

dx x x ∫

A lnx C+ B ln | |x +C

C ln(lnx) C+ D ln | lnx | C+

Câu 29 Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số ( )

2

f x

x

=

− thỏa mãnF( )5 =7

A F x( )=2 2x−1 B F x( )=2 2x− +1

C F x( )= 2x− +1 4. D F x( )= 2x− −1 10

Câu 30 Họ nguyên hàm

1d

x x + x

∫

A 1 (3 1) .

8 x + +C B

2

3

( 1)

8 x + +C C

2

3

3

( 1)

8 x + +C D

2

3

1

( 1)

8 x + +C

Câu 31 Biết ∫ f x( )dx=2 ln 3x ( x− +1) C với 1;

x∈ +∞

 

Tìm khẳng định khẳng định sau

A ∫ f ( )3x dx=2 ln 9x ( x− +1) C B ∫ f ( )3x dx=6 ln 3x ( x− +1) C

C ∫ f ( )3x dx=6 ln 9x ( x− +1) C D ∫ f ( )3x dx=3 ln 9x ( x− +1) C

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ

HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 32 Cho∫ f x dx( ) =F x( )+C Khi với a ≠ 0, ta có ∫ f(ax b dx+ ) bằng:

A (a ) C

2aF x b+ + B a F (ax b+ +) C

C 1F(ax b) C

a + + D F(ax b+ +) C

Câu 33 Hàm số f x( )=x(1−x)10 có nguyên hàm là:

A

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x = − − − +C B

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x = − + − +C

11 10

Câu 34 Tính x2

(1 )

d x x

+

∫ thu kết là:

A ln x x( 2+ +1) C B ln x 1+x2 +C

C

2

ln

x

C x

+

+ D

2

1 ln

2

x C x +

+

Câu 35 Tính∫x x( +1)3dx :

A ( ) ( )

5

1

5

x x

C

+ +

+ + B ( ) ( )

5

1

5

x x

C

+ +

− +

C

5

3

3

5

x x x

x C

+ + − + D

5

3

3

5

x x x

x C

+ − + +

Câu 36 Tìm nguyên hàm 15

( 7) d

x x + x

∫

A 1( 7)16

2 x + +C B ( )

16

1

7

32 x C

− + + C ( 7)16

16 x + +C D ( )

16

1

7 32 x + +C

Câu 37 Xét I =∫x3(4x4−3 d)5 x Bằng cách đặt: u=4x4−3, khẳng định sau đúng?

A 5d 16

I = ∫u u B 5d 12

I = ∫u u C I =∫u u5d D 5d

I = ∫u u

Câu 38 Cho ∫2x(3x−2 d)6 x=A(3x−2)8+B(3x−2)7+C với A, B∈ C∈ Giá trị biểu thức 12A+7B

A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7

Câu 39 Giả sử (1 )2017d (1 ) (1 )

a b

x x

x x x C

a b

− −

− = − +

∫ với a b, sốnguyên dương Tính

2a b− bằng:

A 2017 B 2018 C 2019 D 2020

Câu 40 Nguyên hàm 2

1

x dx x +

∫ là:

A lnt +C, với t =x2+1 B −lnt +C, với t=x2+1

C 1ln

2 t +C, với

2

1

t=x + D 1ln

2 t C

− + , với t=x2 +1

Câu 41 Tính

( )4

d

x x x +

∫ là:

A

( 2 )5

1

5

C x

− +

+ B ( 2 )3

1

3

C x

− +

+

C

( 2 )5

4

C x

− +

+ D ( 2 )3

1

C x

− +

+

Câu 42 Hàm sốnào sau nguyên hàm ( )

( )

2017 2019

7

2

x

K dx

x

− =

+

∫ ?

A

2018

1

18162

x x

−

 

 + 

  B

( ) ( )

( )

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

+ + −

C ( ) ( )

( )

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

− + + −

+ D

( ) ( )

( )

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

+ − −

+

Câu 43 Với phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm 21

1dx

x +

∫ bằng:

A 1

2t +C B

1

2t+C C

2

t +C D t C+

Câu 44 Giả sử ( )

( )( )( ) ( )

2 d

1

x x

C

x x x x g x

+

= − +

+ + + +

∫ (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x( )=0

A −1 B 1 C 3 D −3

HÀM CHỨA CĂN THỨC

Câu 45 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )= 2x+3

A ( )d 2 3

f x x= x x+ +C

∫ B ( )d 1(2 3)

3

f x x= x+ x+ +C

∫

C ( )d 2(2 3) 3

f x x= x+ x+ +C

∫ D ∫ f x( )dx= 2x+ +3 C

Câu 46 Hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số

1

y= x+ ?

A ( ) ( )

4

3

F x = x+ +C

B ( ) 43( 1)4

3

F x = x+ +C

C ( ) 3( )3

1

4

F x = x+ x+ +C D ( ) 34( 1)3

4

F x = x+ +C

Câu 47 Tìm hàm số F x( ) biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )= x F( )1 =1

A ( )

3

F x = x x B ( )

3

F x = x x+

C ( ) 1

2

2

F x

x

= + D ( )

3

F x = x x−

Câu 48 Tìm họ nguyên hàm hàm số ( )

2

f x

x

=

+

A ( )d 2

f x x= x+ +C

∫ B ∫ f x x( )d = 2x+ +1 C

C ∫ f x x( )d =2 2x+ +1 C D ( )

( )

1 d

2

f x x C

x x

= +

+ +

∫

Câu 49 Một nguyên hàm hàm số: f x( )=x 1+x2 là:

A ( )

3

1

( )

3

F x = +x B ( )

2

1

( )

3

F x = +x

C ( )

2 2

2

( )

2

x

F x = +x D ( )

2

1

( )

2

F x = +x

Câu 50 Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2x x2 +1 là:

A 2 (x2+1)3 +C B ( )3

2 x C

C ( )3

1

x + +C D ( )3

1

3 x C

−

+ +

Câu 51 Họ nguyên hàm hàm số

( )

f x = x −x là:

A 1 ( 2)3

1

3 −x +C B ( )

3

1 x C

− − +

C ( 2)3

2 1−x +C D (1 2)3

3 x C

− − +

Câu 52 Họ nguyên hàm hàm số

( )

f x =x x− là:

A 3(3 1)7 3(3 1)5

21 x− +15 x− +C B ( ) ( )

6

3

1

3

18 x− +12 x− +C

C 13(3 1)3 3(3 1)

9 x− + x− +C D ( ) ( )

4

3

1

3

12 x− +3 x− +C

Câu 53 Họ nguyên hàm hàm số

( ) 2

f x = x − x là:

A ( ) ( )

3

3

3

6 12

x x

C

− −

− + + B ( ) ( )

4

3

3

8 14

x x

C

− −

− + +

C ( ) ( )

3

3

3

6 12

x x

C

− −

− + D ( ) ( )

4

3

3

8 14

x x

C

− −

− +

Câu 54 Cho

5d

I =∫x x + x, đặt u= x2+5 viết I theo u du ta

A I =∫(u4−5u2)d u B I =∫u u2d C I =∫(u4−5u3)d u D

4

( )d

I =∫ u + u u Câu 55 Cho

4

1 d

I =∫x + x x u= 2x+1 Mệnh đềnào sai?

A ( )

3 2

1

1 d

I = ∫x x − x B ( )

3 2

1 d

I =∫u u − u

C

3

5

1

1

2

u u

I =  − 

  D ( )

3 2

1

1 d

I = ∫u u − u

Câu 56 Khi tính nguyên hàm d

x x x

− +

∫ , cách đặt u= x+1 ta nguyên hàm nào?

A ( )

2u u −4 du

∫ B ( )

4 d

u − u

∫ C ( )

2 u −4 du

∫ D ( )

3 d

u − u

∫

Câu 57 Cho ( )

2

( )

1

x

f x x

x

= + +

+ , biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) thỏa

( )0

F = Tính

4

F  

 

A 125

16 B

126

16 C

123

16 D

127 16 .

Câu 58 Tính tích phân:

5

d

3

x I

x x

=

+

∫ kết I =aln 3+bln Tổng a b+

A 2 B 3 C −1 D 1

Câu 59 Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

1

x f x

x

=

A 1( )

2

3 x + −x +C B ( )

2

1

1

3 x x C

− + − +

C 1( 1)

3 x + −x +C D ( )

2

1

2

3 x x C

− + − +

Câu 60 Họ nguyên hàm hàm số

2

2 ( )

1

x f x

x

=

+ là:

A x2+ +1 C B

2

1

2

C x

+ +

C 2 x2+ +1 C D 4 x2+ +1 C

Câu 61 Họ nguyên hàm hàm số

2

4 ( )

4

x f x

x

=

− là:

A −2 4−x2 +C B 4 4−x2 +C

C

2

4

x C

−

− + D −4 4−x2 +C

Câu 62 Với phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm

2

1

2

I dx

x x

=

− + +

∫ bằng:

A sint C+ B − +t C C −cost C+ D t C+

Câu 63 Biết khoảng 3;

 + ∞

 

 , hàm số ( )

2

20 30

2

x x

f x

x

− +

=

− có nguyên hàm

( ) ( )

2

F x = ax +bx+c x− (a, b, c số nguyên) Tổng S= + +a b c

A 4 B 3 C 5 D 6

Câu 64 12

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ có dạng 1 ( 1)3

4

a b

x x x C

x

+

− + + + + , a b,

là hai số hữu tỉ Giá trị ,b a bằng:

A 2; B 1; C a b, ∈∅ D 1;

Câu 65 Tìm ( )

1

1 n n n

dx T

x +

=

+

∫

?

A

1

1

1 n

n

T C

x

−

 

= +  +

  B

1

1 n

n

T C

x

 

= +  +

 

C ( )

1

1

n n

T = x + − +C D ( )

1

1

n n

T = x + +C

Câu 66 Tìm 12 2

x

R dx

x x

− =

+

∫ ?

A tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t

+

= − + +

− với

1 arctan

2

x t=   

 

B tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t

+

= − − +

− với

1 arctan

2

x t=   

 

C tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t

+

= + +

− với

1 arctan

2

x t=   

 

D R= tan 2t−1ln1 sin 2+ t +C

− với

1

arctan x

t=   

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 67 Theo phương pháp đổi biến số với t=cos ,x u=sinx, nguyên hàm

(tan cot )

I =∫ x+ x dx là:

A −lnt +lnu +C B lnt −ln u +C

C lnt +lnu +C D −lnt −lnu +C

Câu 68 Biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=sin3x.cosx F( )0 =π Tính

F  π

 .

A F  = − π π

  . B

2

F  = π π

  C

1

2

F  = − + π π

  D

1

2

F  = + π π

 

Câu 69 Tìm nguyên hàm

2

sin d sin

x x x

+

∫ Kết

A

2

1 sin

x C

+ +

B sin+ 2x+C C − +1 sin2 x+C D 2 sin+ x+C

Câu 70 Nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=sin cos 22 x x thỏa

F  = π

 

A ( ) 1sin 23 sin 25

6 10 15

F x = x− x+ B ( ) 1sin 23 sin 25

6 10 15

F x = x+ x−

C ( ) 1sin 23 sin 25

6 10 15

F x = x− x− D ( ) 1sin 23 sin 25

6 10 15

F x = x+ x−

Câu 71 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )=tan5x A ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x= x− x+ x +C

∫

B ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x= x+ x− x +C

∫

C ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x= x+ x+ x +C

∫

D ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x= x− x− x +C

∫

Câu 72 Theo phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm

3

2 sin cos

1 sin

x x

I dx

x

+ =

−

∫ là:

A 23t+C B 63t+C C 33t+C D 123t+C

HÀM MŨ –LÔGARIT

Câu 73 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )=x e2 x3+1

A d ln

4

t t t t t t C

t

− − − −

− + −  = − − +

 

 

∫ B ∫ f x( )dx=3ex3+1+C

C ( )

d

x

f x x= e + +C

∫ D ( )

3

d

x

x

f x x= e + +C

∫

Câu 74 Tìm nguyên hàm d

1 x

x I

e

= +

A I = −x ln 1−ex +C. B I = +x ln 1+ex +C

C I = − −x ln 1+ex +C D I = −x ln 1+ex +C

Câu 75 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

2ex

f x =

+ thỏa mãn F( )0 =10 Tìm F x( )

A ( ) 1( ln 2e( 3)) 10 ln

3

x

F x = x− + + + B ( ) 1( 10 ln 2e( 3))

3

x

F x = x+ − +

C ( ) ln e 10 ln ln

3

x

F x = x−  + + + −

 

  D

( ) ln ln

ln e 10

3

x

F x = x−  + + − −

 

 

Câu 76 Với phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm ln 2xdx x

∫ bằng:

A 1

2t +C B

2

t +C C 2t2+C D 4t2+C

Câu 77 Hàm sốnào nguyên hàm hàm số y=2sinx.2cosx(cosx−sinx)?

A

sin cos

2 x x

y= + +C. B 2sin 2cos

ln

x x

y= C y=ln 2.2sinx+cosx D

sin cos

2 ln

x x

y C

+

= − +

Câu 78 Cho hàm số f x( ) x ln

x

= Hàm sốnào không là nguyên hàm hàm số f x( )?

A F x( )=2 x+C B ( ) 2( x 1)

F x = − +C

C ( ) 2( x 1)

F x = + +C D

( ) x

F x = + +C

Câu 79 Nguyên hàm ( ) ln

.ln

x f x

x x

+

=

A ln d ln ln ln

x

x x C

x x

+

= +

∫ B ln

d ln ln ln

x

x x x C

x x

+

= +

∫

C ln d ln ln ln

x

x x x C

x x

+ = + +

∫ D ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x

+ = +

∫

Câu 80 ∫((x+1)ex2− +5x 4⋅e7x−3+cos 2x dx) có dạng ( 1)2 sin

6

x

a b

e + + x C+ , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a b, bằng:

A 3; B 1; C 3; D 6;

Câu 81 Tìm ( )

( )

3

1 1

x x

e x x

I dx

x e x

− + −

=

− − +

∫ ?

A I = +x ln(ex x− + +1 1) C B I = −x ln(ex x− + +1 1) C

C ln( x 1)

I = e x− + +C D ln( x 1)

I = e x− − +C

Câu 82 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ( )

( ) 2

1

ln x 2017

x

x x

f x

+

+ +

=

A ( ) ( )

ln x + +1 1008 ln ln x + +1 1

B ( ) ( )

ln x + +1 2016 ln ln x + +1 1

C 1ln( 1) 2016 ln ln( 1) x + +  x + + 

D 1 ( ) ( )

ln 1008 ln ln 1

2 x + +  x + + 

Câu 83 Tìm ( )

( )

2

2

2 ln ln ln

x x x x

G dx

x x x

+ + +

=

+

∫ ?

A 1

ln

G C

x x x

−

= − +

+ B

1

ln

G C

x x x

= − +

+

C 1

ln

G C

x x x

= − +

+ D

1

ln

G C

x x x

= + +

+

Câu 84 Hàm sốnào sau nguyên hàm ( )

( )

1

1 ln

.ln ln

n n n

x h x

x− x x x

− =

+ ?

A 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n −n + + B

1

ln x ln xn lnnx 2016

n +n + +

C 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n

− + + + D 1ln x 1ln xn lnn x 2016

n n

HƯỚNG DẪN GIẢI

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN

Câu 1. Cho hàm số ( ) 22

1

x f x

x

=

+ Khi đó:

A. ∫ f x dx( ) =2 ln 1( +x2)+C B. ∫ f x dx( ) =3ln 1( +x2)+C

C. ∫ f x dx( ) =4 ln 1( +x2)+C D. ∫ f x dx( ) =ln 1( +x2)+C

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

2

2

1 2x

ln

1

d x dx

x C

x x

+

= = + +

+ +

∫ ∫

Chọn D

Câu 2. Cho hàm số ( ) ( )4

1

f x =x x + Biết F(x) nguyên hàm f x( )đồ thị hàm số y=F x( )

đi qua điểm M( )1; Khi F(x) là:

A ( ) ( )

1 2

4

x

F x = + − B. ( ) ( )

5

1 15

10

x

F x = + −

C. ( ) ( )

5

1 15

10

x

F x = + + D. ( ) ( 1)5 14

10

F x = x + +

Hướng dẫn giải

Ta có ( ) ( 1)4 ( 1) (4 1) ( 1)5

2 10

F x =∫x x + dx= ∫ x + d x + = x + +C

( ) ( )5 14 ( ) ( 2 )5 14

1; ( ) : ( ) 1

10 10

M ∈ C y=F x ⇔ = + + ⇔ =C C ⇒F x = x + +

Chọn D Câu 3. Tính 2

1

x dx x

− −

∫ thu kết là:

A 1

1

x C x

+ +

− B.

x C x+

−

C.

1−x+C D.

2

ln 1−x +C

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

2

2

1

ln

1

d x

x dx

x C

x x

− −

= = − +

− −

∫ ∫

Chọn D

Câu 4. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x x

+ =

+ + là:

A 2 ln x2+ + +x C. B. ln x2+ + +x C

C.

ln

2

x x

C

+ +

+ D. ln x2+ + +x C

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

2

2

4

2

ln

4

d x x

x

dx x x C

x x x x

+ + +

= = + + +

+ + + +

∫ ∫

Câu 5. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

4

x f x

x x

+ =

+ − :

A 1.ln 4

2 x + x− +C B.

2

ln x +4x− +4 C

C. ln x2+4x− +4 C. D. ln x2+4x− +4 C

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

2

2

4

2 1

.ln 4

4 4

d x x

x

dx x x C

x x x x

+ +

+ = = + − +

+ − + +

∫ ∫

Chọn A

Câu 6. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x

=

+ là:

A. ln x2+ +4 C B

2

ln

2

x

C

+ +

C ln x2+ +4 C D 4 ln x2+ +4 C Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

2

2

4

ln

4

d x x

x C

x x

+

= = + +

+ +

∫ ∫

Chọn C

Câu 7. Họ nguyên hàm hàm số

2

3 ( )

4

x f x

x

=

+ là:

A. 3ln x3+ +4 C B −3ln x3+ +4 C C ln x3+ +4 C D −ln x3+ +4 C

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

3

3

3

4

ln

4

d x x dx

x C

x x

+

= = + +

+ +

∫ ∫

Chọn C

Câu 8. Một nguyên hàm ( ) 2

x f x

x

=

+ là:

A. 1ln

2 x+ B ( )

2

2 ln x +1 C 1ln( 1)

2 x + D

2

ln(x +1)

Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) ( )

2

2

2

1

1

ln

1 2

d x x dx

x

x x

+

= = +

+ +

∫ ∫

Chọn C Câu 9. Tính

3

( )

1

x

F x dx

x

= −

∫

A. F x( )=ln x4− +1 C B ( ) 1ln 4

F x = x − +C C ( ) 1ln

2

F x = x − +C D ( ) 1ln

3

F x = x − +C

Ta có:

3

4

4

1 ( 1)

ln

1 4

x d x

dx x C

x x

−

= = − +

− −

∫ ∫

Ta có:

3

4

4

1 ( 1)

ln

1 4

x d x

dx x C

x x

−

= = − +

− −

∫ ∫

Chọn B

Câu 10. Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin

cos

x f x

x

=

− là:

A. ln cos− x− +3 C B 2 ln cosx− +3 C

C ln cos

2

x

C

−

− + D 4 ln cosx− +3 C

Hướng dẫn giải

Ta có: sin (cos 3) ln cos

cos cos

d x

x

dx x C

x x

− −

= = − − +

− −

∫ ∫

Chọn A

Câu 11. Biết F x( ) nguyên hàm hàm số ( ) sin

1 3cos

x f x

x

=

+ F 2

π

  =  

  Tính F( )0

A. ( )0 1ln 2

F = − + B. ( )0 2ln 2

F = − + C. ( )0 2ln 2

F = − − D.

( )

0 ln 2

3

F = − −

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: sin d d 3cos( ) 1ln 3cos

1 3cos 3cos

x x

x x C

x x

+

= − = − + +

+ +

∫ ∫

Do 2 ( )0 2ln 2

2

F  = ⇔ = ⇒ π C F = − +

 

Câu 12. Nguyên hàm hàm số: y=sin x cos x2 là:

A 1sin3 1sin5

3 x−5 x C+ B.

3

1

sin sin

3 x x C

− + +

C. sin3x+sin5 x C+ D. sin3x−sin5x C+

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

sin x.cos dx= sin x−sin x cos x dx

∫ ∫

( ) ( ) sin3 sin5

sin sin

3

x x

sin x x d x C

=∫ − = − +

Chọn A

Câu 13. Nguyên hàm hàm số: y=sin x cosx3 là:

A 1cos4

4 x C+ B.

4

1 sin

4 x C+ C.

3

1 sin

3 x C+ D.

2

cos x C

− +

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

4

3 sin

sin cos sin sin

4

x

x x dx= x d x = +C

∫ ∫

Chọn B Câu 14. Tính

2

cos sinx x dx

∫

A. 3sin sin

12

x x

C

− +

B 3cos cos

12

x x

C

− +

3

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

3

2 sin

cos sin sin sin

3

x

x x dx= x d x = +C

∫ ∫

Chọn C

Câu 15. Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin

f x

x

= là:

A. ln cot

x C

+ B ln tan

2

x C

+

C ln tan

x C

− + D ln sinx +C

Hướng dẫn giải

Ta có: sin 2 sin 2 (cos2 ) 1ln cos

sin cos cos cos cos

d x

dx x dx x dx x

C

x x x x x

− −

= = = = +

− − − +

∫ ∫ ∫ ∫

Chọn B

Câu 16. Họ nguyên hàm hàm số f x( )=tanx là:

A. ln cosx +C B −ln cosx +C

C

tan

x C

+ D ln cos( x)+C

Hướng dẫn giải

Ta có: tan sin ( ) ln cos

cos cos

d cosx x dx

x dx x C

x x

= = − = − +

∫ ∫ ∫

Chọn B

Câu 17. Tìm nguyên hàm hàm số ( )

2

1 sin

2 sin

4

x f x

x π

− =

 + 

 

 

A. ∫ f x( )dx=ln sinx+cosx +C B ( )d 1ln sin cos

f x x= x+ x +C

∫

C. ∫ f x( )dx=ln sin 2+ x +C D. ( )d 1ln sin 2

f x x= + x +C

∫

Hướng dẫn giải Chọn A

Áp dụng công thức sin− x=cos 2x=cos2x−sin2x sin2 (sin cos )2

x π x x

 + = +

 

 

Hàm sốđược rút gọn thành ( ) cos sin

sin cos

x x

f x

x x

− =

+

Nguyên hàm ( )d d sin( cos )

sin cos

x x

f x x

x x

+ =

+

∫ ∫ =ln sinx+cosx +C

Câu 18. Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

x x

e f x

e

=

+ là:

A − − +ex C B 3ex+ +9 C

C −2 lnex+ +3 C D lnex+ +3 C Hướng dẫn giải

Ta có: ( 3) ln

3

x x

x

x x

d e e

dx e C

e e

+

= = + +

+ +

∫ ∫

Câu 19. Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2 2x x2 là:

A.

1

ln 2.2x +C B

2

1 ln

x

C

+ C

ln

2x +C D

2

ln 2.2x +C Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2 ln 22 ( )2 2

ln ln ln

x x x x

x dx= x = d = +C

∫ ∫ ∫

Chọn B

Câu 20. Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2xex2 là:

A

2

x

e C

− +

B.

2

2

x

e C

+

C. − +ex C D. ex2+C

Hướng dẫn giải

Ta có: ∫2 x e dxx2 =∫d e( )x2 =ex2 +C

Chọn D Câu 21. Tính

2

x

x e +dx

∫

A ex2+1+C B.

2

x

e +C

C.

2 x

e + +C D.

2 x

e − +C

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 ( 1)

2

x x x

I =∫xe +dx= ∫d e + = e + +C

Chọn C

Câu 22. Tìm nguyên hàm hàm số f x( ) lnx x

=

A. ∫ f x( )dx=ln2x C+ B. ( )d 1ln2

f x x= x C+

∫

C. ∫ f x( )dx=lnx C+ D. ∫ f x( )dx=ex+C Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có ∫ f x( )dx=∫ln d lnx ( )x 1ln2

2 x C

= +

Câu 23. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ln 2x

x

= :

A ln 2x C+ B. ln2x C+

C.

ln 2

x C

+ D. ln

2

x C

+

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

ln ln

ln ln

2

x x

dx x d x C

x = = +

∫ ∫

Chọn C

Câu 24. Nguyên hàm lnxdx x( 0)

x

+ >

∫

2

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có lnxdx 1dx lnxdx

x x x

+ = +

∫ ∫ ∫ ( )

d ln d ln ln ln

2

x x x x x C

x

=∫ +∫ = + +

Câu 25. Tính ( )

2 ln

dx F x

x x

=

+

∫

A. F x( )=2 lnx+ +1 C B F x( )= lnx+ +1 C C ( ) ln

4

F x = x+ +C D ( ) ln

2

F x = x+ +C

Hướng dẫn giải

Ta có: F x( )=∫d( lnx+ =1) lnx+ +1 C

Chọn B

Câu 26. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) lnx

x

= là:

A. ln2x C+ B lnx C+ C

ln

x C

+ D ln

2

x C

+

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

2

ln ln

ln lnx

2

x x

dx x d C

x = = +

∫ ∫

Chọn C

Câu 27. Họ nguyên hàm hàm số 2

2

( ) ln( 1)

1

x

f x x

x

= +

+ là:

A. 1ln (2 1) C

2 x + + B

2

ln(x + +1) C

C 1ln (2 1) C

2 x + + D

2

1

ln ( 1) C

2 x + +

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2

2

2

ln( 1) ln( 1) d(ln( 1)) ln ( 1) C

1

x

x dx x x x

x + + = + + = + +

∫ ∫

Chọn D Câu 28. Tính

.ln

dx x x ∫

A. lnx C+ B ln | |x +C

C ln(lnx) C+ D ln | lnx | C+

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )ln ln ln

.ln ln

d x

dx

x C

x x = x = +

∫ ∫

Chọn D

Câu 29. Tìm nguyên hàm F x( )của hàm số ( )

2

f x

x

=

− thỏa mãnF( )5 =7

A F x( )=2 2x−1 B F x( )=2 2x− +1

C F x( )= 2x− +1 4. D F x( )= 2x− −1 10

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có dx=2 d 2( x−1)

− −

Do F( )5 =7 nên 6+ =C ⇒ =C

Câu 30. Họ nguyên hàm

1d

x x + x

∫

A. 1 (3 1) .

8 x + +C B.

2

3

( 1)

8 x + +C C.

2

3

3

( 1)

8 x + +C D.

2

3

1

( 1)

8 x + +C

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

1d

x x + x

∫ ( ) (13 )

1 d

2 x x

= ∫ + + 3( )43

1

8 x C

= + + ( 2 )4

3

3

1

8 x C

= + +

Câu 31. Biết ∫ f x( )dx=2 ln 3x ( x− +1) C với 1;

x∈ +∞

 

Tìm khẳng định khẳng định sau

A. ∫ f ( )3x dx=2 ln 9x ( x− +1) C B. ∫ f ( )3x dx=6 ln 3x ( x− +1) C

C. ∫ f ( )3x dx=6 ln 9x ( x− +1) C D. ∫ f ( )3x dx=3 ln 9x ( x− +1) C Lởi giải

Chọn A

Cách 1:

( )d ln 3( 1)

f x x= x x− +C

∫ ⇒ ∫ f ( )3x dx ( ) ( )3 d

3 f x x

= ∫ 12 3( ) (ln 3.3 1)

3 x x C

= − +

( )

2 ln 9x x C

= − +

Cách 2:

Ta có ∫ f x( )dx=2 ln 3x ( x− +1) C ⇒ f x( )=(2 ln 3x ( x− +1) C)′ ln 3( 1)

3

x x

x

= − +

−

Khi ( )3 ln 9( 1) 18

9

x

f x x

x

= − +

−

( )3 d

f x x

∫ ln 9( 1) 18 d

9

x

x x

x

 

=  − + 

−

 

∫ ( )

2 ln d d

9

x x x

x

 

= − +  + 

−

 

∫ ∫

( ) ( ) ( )

2

9 ln 9 ln

9 x x x x x C

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ

Nếu ∫ f x( )dx=F x( )+C ∫ f u x ( ) 'u x( )dx=F u x ( )+C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I =∫ f x( )dx, ta phân tích

( ) ( ( )) '( )

f x =g u x u x ta thực phép đổi biến số t=u x( ), suy dt=u x'( )dx

Khi ta nguyên hàm: ∫g t( )dt=G t( )+ =C G u x ( )+C

Chú ý:Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t=u x( )

HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 32. Cho∫ f x dx( ) =F x( )+C Khi với a ≠ 0, ta có ∫ f(ax b dx+ ) bằng:

A. (a ) C

2aF x b+ + B a F (ax b+ +) C

C 1F(ax b) C

a + + D F(ax b+ +) C

Hướng dẫn giải

Ta có: I =∫ f ax b dx( + )

Đặt: t ax b dt adx 1dt dx

a

= + ⇒ = ⇒ =

Khi đó: I f t dt( ) 1F t( ) C

a a

= ∫ = +

Suy ra: I 1F ax b( ) C

a

= + +

Chọn C

Câu 33. Hàm số f x( )=x(1−x)10 có nguyên hàm là:

A

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x = − − − +C B.

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x = − + − +C

C.

11 10

( 1) ( 1)

11 10

x x

C

− −

+ + D.

11 10

( 1) ( 1)

( )

11 10

x x

F x = − − − +C

Hướng dẫn giải

Ta có: I =∫x 1( −x)10.dx Đăt: t = − ⇒ − =1 x dt dx x, = −1 t

Khi ( ) 10 11 10 12 11

1 ( )

12 11

I =∫ t− t dt=∫ t −t dt= t − t +c

Suy (1 )12 (1 )11

12 11

I = −x − −x +C

Chọn A Câu 34. Tính x2

(1 )

d x x

+

∫ thu kết là:

A ( )

ln x x + +1 C B. ln x 1+x2 +C

C.

2

ln

x

C x

+

+ D.

2

1 ln

2

x C x +

+

Ta có: x2 2x 2

(1 ) (1 )

d xd

x x = x x

+ +

∫ ∫ Đặt: ,

2

t= +x ⇒ dt=x dx x = −t

Khi đó:

( )

2

1 1 1

.ln ln

2 2

t x

I dt C I C

t t t x

−

= = + ⇒ = +

− +

∫

Chọn D Câu 35. Tính ( )

3

1

x x+ dx

∫ :

A. ( ) ( )

5

1

5

x x

C

+ +

+ + B ( ) ( )

5

1

5

x x

C

+ +

− +

C

5

3

3

5

x x x

x C

+ + − + D

5

3

3

5

x x x

x C

+ − + +

Hướng dẫn giải

Ta có: I =∫x x( +1)3dx

Đặt: t= + ⇒x dt =dx x, = −t

Khi đó: ( ) ( 3)

1

5

t t I = t− t dt= t −t dt= − +C

 

∫ ∫

Suy ra: ( ) ( )

5

1

5

x x

I = + − + +C

Chọn B

Câu 36. Tìm nguyên hàm ∫x x( 2+7) d15 x A. 1( 7)16

2 x + +C B. ( )

16

1

7

32 x C

− + + C. ( 7)16

16 x + +C D. ( )

16

1

7 32 x + +C

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt d d d 1d

2

t=x + ⇒ t= x x⇒x x= t

Ta có ( )

16

16

2 15 15 1

( 7) d d

2 16 32

t

x x + x= t t= + =C x + +C

∫ ∫

Câu 37. Xét 3( )5

4 d

I =∫x x − x Bằng cách đặt:

4

u= x − , khẳng định sau đúng?

A. 5d

16

I = ∫u u B. 5d

12

I = ∫u u C. I =∫u u5d D. 5d

I = ∫u u

Hướng dẫn giải Chọn A

4 3

4 d 16 d d d

16

u= x − ⇒ u= x x⇒ u=x x

5

1 d 16

I u u

⇒ = ∫

Câu 38. Cho ∫2x(3x−2 d)6 x= A(3x−2)8+B(3x−2)7+C với A, B∈ C∈ Giá trị biểu thức 12A+7B

A. 23

252 B.

241

252 C.

52

9 D.

7

Hướng dẫn giải

Đặt t=3x−2

3

t

x +

⇒ = 1d d

3 t x

⇒ =

Ta có: 2 d6

3

t

t t

+

∫ ( 6)

+2 d

9 t t t

= ∫

9

t t

C

= + + ( )8 ( )7

36 x 63 x C

= − + − +

Suy

36

A= ,

63

B= , 12 7 36+ 63=9

Câu 39. Giả sử (1 )2017d (1 ) (1 )

a b

x x

x x x C

a b

− −

− = − +

∫ với a b, sốnguyên dương Tính 2a b−

bằng:

A. 2017 B 2018 C 2019 D 2020

Hướng dẫn giải

Tacó:

( )2017 ( )( )2017 (( )2017 ( )2018) (1 )2018 (1 )2019

1 d 1 d 1 d

2018 2019

x x

x −x x= x− + −x x= −x − −x x= − − + − +C

∫ ∫ ∫

Vậy a=2019,b=2018⇒2a b− =2020

Chọn D

Câu 40. Nguyên hàm 2

1

x dx x +

∫ là:

A. lnt +C, với t =x2+1 B. ln− t +C, với t=x2+1

C. 1ln

2 t +C, với

2

1

t=x + D. 1ln

2 t C

− + , với t=x2 +1

Hướng dẫn giải

Đặt t=x2+ ⇒1 dt=2xdx

2

1 1

ln

1 2

x

dx dt t C

x t

⇒ = = = +

+

∫ ∫

Chọn C Câu 41. Tính ( )

2

2 d

x x x + ∫

là:

A.

( 2 )5

1

5

C x

− +

+ B ( 2 )3

1

3

C x

− +

+

C

( 2 )5

4

C x

− +

+ D ( 2 )3

1

C x

− +

+

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )4

d

x

I x

x

=

+

∫

Đặt: t=x2+ ⇒9 dt=2 x dx

Khi đó: I

4

1

3

dt

t dt C

t t

−

=∫ =∫ = − +

Suy ra:

( )

3

I C

x

= − +

+

Chọn B

Câu 42. Hàm sốnào sau nguyên hàm ( )

( )

2017 2019

7

2

x

K dx

x

− =

+

A.

2018

1

18162

x x

−

 

 + 

  B.

( ) ( )

( )

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

+ + −

+

C. ( ) ( )

( )

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

− + + −

+ D.

( ) ( )

( )

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

+ − −

+

Hướng dẫn giải

Ta có: ( )

( ) ( )

2017 2017

2019

7 1

2

2

x x

K dx dx

x

x x

−  − 

= =  

+

 

+ +

∫ ∫

Đặt

( )2 ( )2

7

2 2 1 98 1

x dt

t dt dx dx

x x x

−

= ⇒ = ⇔ =

+ + +

2018 2018

2017

1

9 18162 18162

t x

K t dt C C

x

−

 

⇒ = = + =   +

+

 

∫

Chọn D

Câu 43. Với phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm 21

1dx

x +

∫ bằng:

A.

2t +C B.

1

2t+C C.

2

t +C D. t C+

Hướng dẫn giải

Ta đặt: tan , ; 12

2 cos

x t t dx dt

t π π

 

= ∈ − ⇒ =

 

2

1

1dx dt t C

x

⇒ = = = +

+

∫ ∫

Chọn D

Câu 44. Giả sử ( )

( )( )( ) ( )

2 d

1

x x

C

x x x x g x

+

= − +

+ + + +

∫ (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x( )=0

A. −1 B.1 C. D. −3

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có x x( +1)(x+2)(x+ + =3) ( )( )

3

x + x x + x+ + =(x2+3x)+12

Đặt t=x2+3x, dt=(2x+3 d) x

Tích phân ban đầu trở thành

( )2

d

1

t

C t

t

= − +

+ +

∫

Trở lại biến x, ta có ( )

( )( )( )

2 d

1 3

x x

C

x x x x x x

+

= − +

+ + + + + +

∫

Vậy g x( )=x2+3x+1

( )

0

2

g x = ⇔ x + x+ = ⇔ =x − +

2

HÀM CHỨA CĂN THỨC

Câu 45. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )= 2x+3

A. ( )d 2

3

f x x= x x+ +C

∫ B. ( )d 1(2 3)

3

f x x= x+ x+ +C

∫

C. ( )d 2(2 3) 3

f x x= x+ x+ +C

∫ D. ∫ f x( )dx= 2x+ +3 C

Hướng dẫn giải Chọn B

Xét I =∫( 2x+3 d) x

Đặt 2x+ =3 t

2

t x

⇔ = + ⇔2 dt t=2dx

2

d t d

I =∫t t t=∫ t

3t C

= + 1( 3)3

3 x C

= + + ( )d 1(2 3)

3

f x x x x C

⇔∫ = + + +

Câu 46. Hàm số F x( ) nguyên hàm hàm số

1

y= x+ ?

A ( ) ( )

4

3

F x = x+ +C

B. ( ) 43( 1)4

3

F x = x+ +C

C. ( ) 3( )3

1

4

F x = x+ x+ +C D. ( ) 34( 1)3

4

F x = x+ +C

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có:

1d

I =∫ x+ x

Đặt: t=3 x+1

1

t x

⇒ = +

3 dt t dx

⇒ =

2

.3 d

I t t t

⇒ =∫

3 dt t

=∫

4t C

= + 33 ( )4

1

4 x C

= + + 3( )3

1

4 x x C

= + + +

Vậy ( ) 3( )3

1

4

F x = x+ x+ +C18T

Câu 47. Tìm hàm số F x( ) biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )= x F( )1 =1

A. ( )

3

F x = x x B. ( )

3

F x = x x+

C. ( ) 1

2

2

F x

x

= + D. ( )

3

F x = x x−

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: F x( )=∫ x xd

Đặt t= x suy t2 =x dx=2dt Khi

.2 d

I =∫t t t= t +C

3

I x x C

⇒ = +

Vì F( )1 =1 nên

3

C= Vậy ( )

3

F x = x x+

Câu 48. Tìm họ nguyên hàm hàm số ( )

2

f x

x

=

+

A. ( )d 2

f x x= x+ +C

C. ∫ f x x( )d =2 2x+ +1 C D. ( )

( )

1 d

2

f x x C

x x

= +

+ +

∫

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt 2x+ =1 t ⇒2x+ =1 t2 ⇒dx=tdt

Khi ta có 1d

2 x+ x

∫ =12∫tdtt = dt

= ∫

2t C

= +

2 x C

= + +

Câu 49. Một nguyên hàm hàm số: f x( )=x 1+x2 là:

A. ( )

3

1

( )

3

F x = +x B ( )

2

1

( )

3

F x = +x

C ( )

2 2

2

( )

2

x

F x = +x D ( )

2

1

( )

2

F x = +x

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

I =∫x +x dx

Đặt: t= 1+x2 ⇒ = +t2 x2⇒t dt =x dx Khi đó: I

3

3

t t t dt t dt C

=∫ =∫ = +

Suy ra: I ( )

3

1

3 x C

= + +

Chọn A

Câu 50. Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2x x2 +1 là:

A. ( 1)3

3 x + +C B ( )

3

2 x C

− + +

C ( )3

1

x + +C D ( 1)3

3 x C

− + +

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

I =∫ x x + dx

Đặt: t= x2+ ⇒ =1 t2 x2+ ⇒1 2tdt=2xdx

Khi đó: I 2

.2

3

t

t t dt t dt C

=∫ =∫ = +

Suy ra: I ( )3

1

3 x C

= + +

Chọn A

Câu 51. Họ nguyên hàm hàm số f x( )=2x 1−x2 là:

A. (1 2)3

3 −x +C B ( )

3

1 x C

− − +

C 2 (1−x2)3 +C D (1 2)3

3 x C

− − +

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

I =∫ x −x dx

Đặt: t= 1−x2 ⇒ = −t2 x2⇒ −2tdt=2xdx

Khi đó: I .( )2 2 2

3

t

t t dt t dt K

Suy ra: I ( 2)3

1

3 x C

= − − +

Chọn D

Câu 52. Họ nguyên hàm hàm số

( )

f x =x x− là:

A 3(3 1)7 3(3 1)5

21 x− +15 x− +C B. ( ) ( )

6

3

1

3

18 x− +12 x− +C

C. 13(3 1)3 3(3 1)

9 x− + x− +C D. ( ) ( )

4

3

1

3

12 x− +3 x− +C

Hướng dẫn giải

Ta có:

3

I =∫x x− dx Đặt: t =33x− ⇒ =1 t3 3x− ⇒1 t dt2. =dx

Khi đó: ( 4)

3 3

t t t

I = + t t dt= t +t dt=  + +C

 

∫ ∫

Suy 1 3(3 1)7 13(3 1)5

3

I =  x− + x− +C

 

Chọn A

Câu 53. Họ nguyên hàm hàm số

( ) 2

f x = x − x là:

A. ( ) ( )

3

3

3

6 12

x x

C

− −

− + + B ( ) ( )

4

3

3

8 14

x x

C

− −

− + +

C ( ) ( )

3

3

3

6 12

x x

C

− −

− + D ( ) ( )

4

3

3

8 14

x x

C

− −

− +

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

I =∫ x − xdx

Đặt: 3

1 2

2

t= − x⇒ = −t x⇒ − t dt =dx Mặt khác: 2x= −1 t3

Khi đó: I 3 3

(1 ) (t )

2 2

t t

t t t dt t dt   C

= − − = − − = −  − +

 

∫ ∫

Suy ra: I ( ) ( )

4

3 1 2 1 2

3

2

x x

C

 − − 

 

= − − +

 

 

Chọn B

Câu 54. Cho

5d

I =∫x x + x, đặt u= x2+5 viết I theo u du ta

A. I =∫(u4−5u2)d u B I =∫u u2d C I =∫(u4−5u3)d u D.

4

( )d

I =∫ u + u u

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt u= x2+5 ⇒u2 =x2+ ⇒5 u ud =x xd

Khi đó:

5d

I =∫x x + x 2 ( )

5d d

x x x x u u u u

=∫ + =∫ − ( 2)

5 d

u u u

=∫ −

Câu 55. Cho

4

1 d

A. ( )

2

1

1 d

I = ∫x x − x B. ( )

3 2

1 d

I =∫u u − u

C.

3

5

1

1

2

u u

I =  − 

  D. ( )

3 2

1

1 d

I = ∫u u − u

Hướng dẫn giải Chọn B

4

1 d

I =∫x + x x

Đặt u= 2x+1 1( 1)

x u

⇒ = − ⇒dx=u ud , đổi cận: x= ⇒ =0 u 1, x= ⇒ =4 u

Khi 3( )

1

1

1 d

2

I = ∫ u − u u

Câu 56. Khi tính nguyên hàm d

x x x

− +

∫ , cách đặt u= x+1 ta nguyên hàm nào?

A. ∫2u u( 2−4 d) u B. ∫(u2−4 d) u C. ∫2(u2−4 d) u D. ∫(u2−3 d) u

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt u= x+1, u≥0 nên

1

u = +x

2

d d

1

x u u x u

=  ⇒ 

= −



Khi d

1

x x x

− +

∫ u2 3.2 du u u

− −

=∫ ( )

2 u du

=∫ −

Câu 57. Cho ( )

2

( )

1

x

f x x

x

= + +

+ , biết F x( ) nguyên hàm hàm số f x( ) thỏa

( )0

F = Tính

4

F  

 

A. 125

16 B.

126

16 C

123

16 D

127 16 .

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt t= x2+ ⇒1 t td =x xd

( )

( )d d

1

x

f x x x x

x

= + +

+

∫ ∫ ( )

2t dt t 5t C

=∫ + = + + ( )

1

x x C

= + + + +

(0)

F = ⇒ =C

Vậy 125

4 16

F  = 

 

Câu 58. Tính tích phân:

5

d

3

x I

x x

=

+

∫ kết I =aln 3+bln Tổng a b+

A. B. C. −1 D.

Hướng dẫn giải Chọn D

5

1

dx I

x x

=

+

Đặt u= 3x+1

2

1

u

x −

→ = 12

3

dx udu

→ =

Đổi cận: x= → =1 u x= → =5 u

Vậy ( )

( )( )

4

4

2

2

2

1

2

ln ln ln ln ln

1 1

u u u

I du du

u u u u

+ − − −

= = = = − = −

− + − +

∫ ∫

Do a=2; b= −1 → + =a b

Câu 59. Họ nguyên hàm hàm số ( )

3

1

x f x

x

=

− là:

A. 1( 2)

3 x + −x +C B ( )

2

1

1

3 x x C

− + − +

C 1( )

1

3 x + −x +C D ( )

2

1

2

3 x x C

− + − +

Hướng dẫn giải

Ta có :

3

1

x

I dx

x

= −

∫

Đặt t= 1−x2 ⇒ = −t2 x2⇒ −tdt=xdx

Khi đó: (1 2)

( 1)

3

t t

I tdt t dt t C

t

−

= −∫ =∫ − = − +

Thay t= 1−x2 ta ( )

2

2 2

( )

1

3

x

I = − − −x + = −C x + −x +C

Chọn D

Câu 60. Họ nguyên hàm hàm số

2

2 ( )

1

x f x

x

=

+ là:

A. x2+ +1 C B

2

1

2

C x

+ +

C 2 x2+ +1 C D 4 x2+ +1 C

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2

x

I dx

x

=

+

∫

Đặt: t= x2+ ⇒ =1 t2 x2+ ⇒1 t dt =2 x dx

Khi đó: I t dt 2t C t

=∫ = +

Suy ra: I =2 x2+ +1 C

Chọn C

Câu 61. Họ nguyên hàm hàm số

2

4 ( )

4

x f x

x

=

− là:

A. −2 4−x2 +C B. 4−x2 +C

C.

2

4

x C

−

− + D. −4 4−x2 +C

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

4

x

I dx

x

=

−

Khi đó:

4 4

tdt

I t C I x C

t

−

=∫ = − + ⇒ == − − +

Chọn D

Câu 62. Với phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm

2

1

2

I dx

x x

=

− + +

∫ bằng:

A. sint C+ B. − +t C C. −cost C+ D. t C+

Hướng dẫn giải

Ta biến đổi:

( )2

1

4

I dx

x

=

− −

∫

Đặt sin , , cos

2

x− = t t∈ − π π⇒dx= tdt

 

I dt t C

⇒ =∫ = +

Chọn D

Câu 63. Biết 17Trằng17T khoảng

3 ;

 + ∞

 

 , hàm số ( )

2

20 30

2

x x

f x

x

− +

=

− có nguyên hàm

( ) ( )

2

F x = ax +bx c+ x− (a, b, c số nguyên) Tổng S= + +a b c

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt t= 2x− ⇒ =3 t2 2x− ⇒3 dx=t td

Khi 20 30 7d

2

x x

x x

− +

−

∫

2

2

3

20 30

2

d

t t

t t t

 +  −  + +

   

   

=∫ ( )

5t 15t dt

=∫ + +

5

5

t t t C

= + + + ( )5 ( )3

2x 2x 2x C

= − + − + − +

( )2 ( )

2x 2x 2x 2x 2x C

= − − + − − + − + ( )

4x 2x 2x C

= − + − +

Vậy F x( )=(4x2−2x+1) 2x−3 Suy S= + + =a b c

Câu 64. 12

2

x x dx

x

 + + + + + 

 

 

 

∫ có dạng 1 ( 1)3

4

a b

x x x C

x

+

− + + + + , a b,

là hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:

A. 2; B 1; C. a b, ∈∅ D. 1;

Hướng dẫn giải Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm 12

2

x x dx

x

 + + + + + 

 

 

 

∫ Sau đó, ta xác định giá trị a

Ta có:

3

2

1 1

1

2

x x dx x dx x dx

x x

 +   + 

+ + + + = + + + +

   

   

   

∫ ∫ ∫

Để tìm ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ ta đặt 1 12

2

I x dx

x

 + 

=  + + 

 

∫ I2 =∫ x+1dx tìm

*Tìm 1 12

2

I x dx

x

 + 

=  + + 

 

∫

3

1

1 1

2

I x dx x x C

x x

 +  +

=  + +  = − + +

 

∫ , C1 số

*Tìm I2 =∫ x+1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t= x+1,t≥0 ta t2 = +x 1, 2tdt =dx

Suy ( )

3

2

2 2

2

1

3

I =∫ x+ dx=∫ t dt= t +C = x+ +C

( )3

3 4

1 2

2

1 1 1

1

2 4

x x dx I I x x C x C x x

x x x

 +  + +

+ + + + = + = − + + + + + = − + +

 

 

 

∫

Suy để

2

1

1

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ có dạng 1 ( 1)3

4

a b

x x x C

x

+

− + + + +

1 ,

a= ∈ b= ∈

Vậy đáp án xác đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a b, ởcác đáp án vào ( )

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x

+

− + + + + Sau đó, với

mỗi a b, ởcác đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm ( )

3

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C

Sai lầm thường gặp: A Đáp án A sai

Một số học sinh không ý đến thứ tự b a, nên học sinh khoanh đáp án A sai lầm

B.Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2 =∫ x+1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t= x+1,t≥0 ta t2 = +x 1,tdt=dx

Suy ( )

3

2

2 2

1

1

3

I =∫ x+ dx=∫t dt= t +C = x+ +C

( )3

3 4

1 2

2

1 1 1 1

1

2 4

x x dx I I x x C x C x x

x x x

 +  + +

+ + + + = + = − + + + + + = − + +

 

 

 

∫

Suy để

2

1

1

2

x x dx

x

 + 

+ + + +

 

 

 

∫ có dạng ( )

3

4 1

1

4

a b

x x x C

x

+

− + + + +

1 ,

a= ∈ b= ∈

Thế là, học sinh khoanh đáp án B sai lầm

C.Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2 =∫ x+1dx

2

1

2

I x dx C

x

= + = +

+

Suy 12

x x dx

x  +  + + + +      

∫ khơng thể có dạng

( )3

4 1

1

4

a b

x x x C

x

+

− + + + + , với a b, ∈

Nên không tồn a b, thỏa yêu cầu toán Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

Câu 65. Tìm ( )

1 n n n dx T x + = + ∫ ? A. 1 n n T C x −   = +  +

  B.

1 1 n n T C x   = +  +  

C. ( )

1

1

n n

T = x + − +C D. ( )

1

1

n n

T = x + +C

Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) 1 1

1 1

1

1 1

1 . 1

1 n n n n n n n

n n n

n

n n

dx dx x

T dx x dx

x x x x x − − − − − − + + + +   = = = =  +      +  +   +        ∫ ∫ ∫ ∫

Đặt:

1

1

1 n

n n

n

t dt nx

x x − − + = + ⇒ = − = − 1 1 1 n n n n

T t dt t C C

n x − − − −   ⇒ = − = + = +  +   ∫

Chọn A Câu 66. Tìm

1 2 x R dx x x − = + ∫ ?

A. tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t

+

= − + +

− với

1 arctan

2

x t=   

 

B. tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t

+

= − − +

− với

1 arctan

2

x t=   

 

C. tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t

+

= + +

− với

1 arctan

2

x t=   

 

D. tan 1ln1 sin

2 sin

t t

R C

t

+

= − +

− với

1 arctan

2

x t=   

 

Hướng dẫn giải

Đặt x=2 cos 2t với 0;

t∈ π 

 

Ta có:

2

4 sin

2 2 sin sin sin

2 2 cos cos cos

dx t dt

x t t t

x t t t

= −    − − = = =  + + 

2 2

1 sin sin cos

.4 sin

4 cos cos cos cos

1 tan 1 sin

t t t

R t dt dt dt

t t t t

Chọn A

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t =cos ,x u=sinx, nguyên hàm I =∫(tanx+cotx dx)

là:

A. ln− t +lnu +C B. lnt −ln u +C

C. lnt +lnu +C D. ln− t −lnu +C

Hướng dẫn giải

Ta có: (tan cot ) sin cos

cos sin

x x

x x dx dx dx

x x

+ = +

∫ ∫ ∫

Xét 1 sin

cos

x

I dx

x

=∫ Đặt t cosx dt sinxdx I1 1dt lnt C1 t

= ⇒ = − ⇒ = −∫ = − +

Xét 2 cos

sin

x

I dx

x

=∫ Đặt u sinx du cosxdx I2 1du ln u C2 u

= ⇒ = ⇒ =∫ = +

1 ln ln

I I I t u C

⇒ = + = − + +

Chọn A Câu 68. Biết46T

( )

F x

nguyên hàm hàm số ( )

3

sin cos

f x = x x

F( )0 =π Tính

F  π

 .

A.

F  = − π π

  . B.

2

F  = π π

  C.

1

2

F  = − + π π

  D.

1

2

F  = + π π

 

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt t=sinx⇒dt=cos dx x

( ) ( )d

F x =∫ f x x =∫sin3xcos dx x =∫t t3d

4

4

t C

= + sin4

4

x C

= +

( )0

F =π

4

sin

4 C

π π

⇒ + = ⇔ =C π ( )

4

sin

x

F x π

⇒ = +

4

sin

2

F

π π

  =    

1 π

= +

Câu 69. Tìm nguyên hàm

2

sin d sin

x x x

+

∫ Kết

A.

2

1 sin

x C

+ +

B. sin+ 2x+C C. − +1 sin2 x+C D. sin+ x+C

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt t= sin+ x

2

1 sin d sin d

t x t t x x

⇒ = + ⇒ = ⇒

2

sin 2

d d

1 sin

x t

x t

t x

= +

∫ ∫

2

2dt 2t C sin x C

=∫ = + = + +

Câu 70. Nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=sin cos 22 x x thỏa F  = π

A. ( )

sin sin

6 10 15

F x = x− x+ B. ( )

sin sin

6 10 15

F x = x+ x−

C. ( ) 1sin 23 sin 25

6 10 15

F x = x− x− D. ( ) 1sin 23 sin 25

6 10 15

F x = x+ x−

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt t=sin 2x ⇒dt =2.cos dx x 1d cos d

2 t x x

⇒ =

Ta có:

( )

sin cos d

F x =∫ x x x 1( 2)d

2 t t t

= ∫ − ( 4)

d

2 t t t

= ∫ −

6t 10t C

= − +

3

1

sin sin

6 x 10 x C

= − +

0

F  = π

 

3

1

sin sin

6 10 C

π π

⇔ − + =

15

C

⇔ = −

Vậy ( ) 1sin 23 sin 25

6 10 15

F x = x− x−

Câu 71. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )=tan5x

A. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x= x− x+ x +C

∫

B. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x= x+ x− x +C

∫

C. ( )

d tan tan ln cos

4

f x x= x+ x+ x +C

∫

D. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x= x− x− x +C

∫

Hướng dẫn giải

ChọnD

( ) 5

5

sin

d tan d d

cos

x

I f x x x x x

x

=∫ =∫ =∫

( ) ( )

2

5

1 os os s inx sin sin s inx

d d

cos cos

c x c x

x

x x

x x

− −

=∫ =∫

Đặt t=cosx⇒dt= −sin dx x ( ) ( )( ) ( )

2 2 4

5

1 1 2

d d

t t t t

I t t

t t

− − − +

=∫ − =∫ −

5

1

dt

t t t

 

= − + −  =

 

∫ 1

2 d ln

4

t t t t t t C

t

− − − −

− + −  = − − +

 

 

∫

4

4

1 1

cos cos ln cos ln cos

4 x x x C cosx cosx x C

− −

= − − + = − − +

( 2 ) (2 2 )

tan tan ln cos

4 x x x C

= + − + − +

( ) ( )

tan tan tan ln cos

4 x x x x C

= + + − + − +

4

1 1

tan tan ln cos

4 x x x C

= − − + +

4

1

Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm

3

2 sin cos

1 sin

x x

I dx

x

+ =

−

∫ là:

A. 23t+C B. 63t+C C. 33t+C D. 123t+C

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )

( )

3 3

2 sin cos

2 sin cos

1 sin sin cos

x x

x x

I dx dx

x x x

+ +

= =

− −

∫ ∫

Đặt t=sinx−cosx⇒dt=(sinx+cosx dx)

1

3

3

2

2

2

3

I dt t C t C

t

⇒ = = + = +

 

+ − 

 

∫

Chọn B

HÀM MŨ –LÔGARIT

Câu 73. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x( )=x e2 x3+1

A. d ln

4

t t t t t t C

t

− − − −

− + −  = − − +

 

 

∫ B. ∫ f x( )dx=3ex3+1+C

C. ( )

d

x

f x x= e + +C

∫ D. ( )

3

d

x

x

f x x= e + +C

∫

Hướng dẫn giải

ChọnC

Đặt t=x3+ ⇒1 dt=3 dx x2

Do đó, ta có ( ) 2 1 1 1

d d d

3 3

x t t x

f x x= x e + x= e t= e + =C e + +C

∫ ∫ ∫

Vậy ( )

3 1

1 d

3 x

f x x= e + +C

∫

Câu 74. Tìm nguyên hàm d

1 x

x I

e

= +

∫

A. ln x

I = −x −e +C. B. ln x

I = +x +e +C

C. ln x

I = − −x +e +C D. ln x

I = −x +e +C

Hướng dẫn giải Chọn D

( )

d d

1

x

x x x

x e x

I

e e e

= =

+ +

∫ ∫

Đặt t=ex⇒dt =e dxx

( d ) 1 ln ln ln ln ln

(1 )

1 x

x x x

x x

e x dt

I t t C e e C x e C

t t t t

e e

 

= = =  − = − + + = − + + = − + +

+ +

+  

∫ ∫ ∫

Câu 75. Cho F x( ) nguyên hàm hàm số ( )

2ex

f x =

+ thỏa mãn F( )0 =10 Tìm F x( )

A. ( ) 1( ln 2e( 3)) 10 ln

3

x

F x = x− + + + B. ( ) 1( 10 ln 2e( 3))

3

x

C. ( ) ln e 10 ln ln

3

x

F x = x−  + + + −

 

  D.

( ) ln ln

ln e 10

3

x

F x = x−  + + − −

 

 

Hướng dẫn giải Chọn A

( ) ( ) ( e )

d d d

2e 2e e

x

x x x

F x = f x x= x= x

+ +

∫ ∫ ∫

Đặt t=ex⇒dt =e dx x Suy

( ) ( ) 1 e 1( ( ))

d ln ln ln 2e

2 3 3 2e 3

x

x x

t

F x t C C x C

t t t

 

= = + =  + = − + +

+ +  + 

∫

Vì F( )0 =10 nên 10 1(0 ln 5) 10 ln

3 C C

= − + ⇔ = +

Vậy ( ) 1( ln 2e( 3)) 10 ln

3

x

F x = x− + + +

Câu 76. Với phương pháp đổi biến số (x→t), nguyên hàm ln 2xdx x

∫ bằng:

A.

2t +C B.

2

t +C C.

2t +C D.

4t +C

Hướng dẫn giải

Đặt ln 2 1

2

t x dt dx dt dx

x x

= ⇒ = ⇒ =

2

ln

2

x

dx tdt t C

x

⇒∫ = =∫ = +

Chọn A

Câu 77. Hàm sốnào nguyên hàm hàm số y=2sinx.2cosx(cosx−sinx)?

A

sin cos

2 x x

y= + +C. B. 2sin 2cos

ln

x x

y= C. y=ln 2.2sinx+cosx D.

sin cos

2 ln

x x

y C

+

= − +

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: I =∫2sinx.2cosx(cosx−sinx)dx =∫2sinx+cosx(cosx−sinx)dx

Đặt: t=sinx+cosx ⇒dt=(cosx−sinx)dx

2 d

ln

t t

I t C

⇒ =∫ = + 2sin cos

ln

x x

C

+

= + 2sin 2cos

ln

x x

C

= +

Vậy hàm sốđã cho có nguyên hàm hàm số:

sin cos

2

ln

x x

y=

Câu 78. Cho hàm số f x( ) x ln

x

= Hàm sốnào không là nguyên hàm hàm số f x( )?

A F x( )=2 x+C B ( ) 2( x 1)

F x = − +C

C ( ) 2( x 1)

F x = + +C D.

( ) x

Chọn A

Cách 1: Đặt t x 2dt dx x

= ⇒ =

2 ln

( ) ( ) 2.ln 2.2 2.2

x

t t x

F x f x dx dx dt C C

x

=∫ =∫ =∫ = + = + nên A sai

Ngoài ra:

+ D F x( )=2.2 x +C

+ Bđúng F x( )=2.2 x − + =2 C 2.2 x+C′

+ C F x( )=2.2 x + + =2 C 2.2 x+C′

Cách 2: Ta thấy B, C, D khác số nên theo định nghĩa nguyên hàm chúng phải nguyên hàm hàm số Chỉ cịn A “ lẻ loi” nên chắn sai A sai

Cách 3: Lấy phương án A, B, C, D đạo hàm tìm A sai

Câu 79. Nguyên hàm ( )

1 ln ln

x f x

x x

+ =

A. ln d ln ln ln

x

x x C

x x

+ = +

∫ B. ln d ln 2.ln

.ln

x

x x x C

x x

+ = +

∫

C. ln d ln ln ln

x

x x x C

x x

+ = + +

∫ D. ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x

+ = +

∫

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có ( )d ln d

.ln

x

I f x x x

x x

+

=∫ =∫

Đặt xlnx=t ⇒(lnx+1 d) x=dt Khi ta có ln d ln

x

I x

x x

+

=∫ 1dt

t

=∫ =lnt +C

ln lnx x C

= +

Câu 80. ∫((x+1)ex2− +5x 4⋅e7x−3+cos 2x dx) có dạng ( )

2

sin

6

x

a b

e + + x C+ , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a b, bằng:

A. 3; B 1; C. 3; D. 6;

Hướng dẫn giải Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm ∫((x+1)e2(x+1)+cos 2x dx) Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

( )

( 5 4 7 3 ) ( ) ( 4) (7 3) ( ) ( 1)2

1 x x x cos x x x cos x cos

x+ e − + ⋅e − + x dx=  x+ e − + + − + x dx = x+ e + dx+ x dx

 

∫ ∫ ∫ ∫

Để tìm ( ) ( )

2 5 4

1 x x x cos

x e − + e − x dx

 + ⋅ + 

 

 

∫ ta đặt I1 =∫(x+1)e(x+1)2 dx I2 =∫cos 2x dx

và tìm I I1, 2

*Tìm I1=∫(x+1)e(x+1)2dx

Đặt t=(x+1 ;)2 dt=2(x+1)(x+1)′dx=2(x+1)dx

( ) ( )2 ( )2

1

1 1

1 1

1

2 2

x t t x

*Tìm I2 =∫cos 2x dx

2

1 cos sin

2

I =∫ x dx= x C+

( )

( 2 ) ( )2 ( )2

1

5

1 2

1 1

1 cos sin sin

2 2

x x

x x x

x+ e − + ⋅e − + x dx= +I I = e + +C + x C+ = e + + x C+ ∫

Suy để (( ) 5 4 7 3 )

1 x x x cos

x+ e − + ⋅e − + x dx

∫ có dạng ( 1)2 sin

6

x

a b

e + + x C+

3 ,

a= ∈ b= ∈ Chọn A

Cách 2:

Sử dụng phương pháp loại trừ cách thay giá trị ,a b ởcác đáp án vào ( )2

1

sin

6

x

a b

e + + x C+ lấy đạo hàm chúng

Sai lầm thường gặp B Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm chỗkhông đểý đến thứ tự xếp b a, nên khoanh đáp án B

sai lầm

C.Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm I2 =∫cos 2x dx

2 cos sin 2

I =∫ x dx= x C+

( )

( 2 ) ( )2 ( )2

1

5

1 2

1

1 cos sin sin

2

x x

x x x

x+ e − + ⋅e − + x dx= +I I = e + +C + x C+ = e + + x C+ ∫

Suy để (( ) 5 4 7 3 )

1 x x x cos

x+ e − + ⋅e − + x dx

∫ có dạng ( 1)2 sin

6

x

a b

e + + x C+

3 ,

a= ∈ b= ∈ D.Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm I1 =∫(x+1)e(x+1)2dx

Đặt t=(x+1 ;)2 dt=(x+1)(x+1)′dx=(x+1)dx

( ) ( )2 ( )2

1

1 1

x t t x

I =∫ x+ e + dx=∫e dt= +e C =e + +C , C1 số

Học sinh tìm 2 1sin 2

I = x C+ nên ta được:

( )

( 5 4 7 3 ) ( 1)2 ( 1)2

1 2

1

1 cos sin sin

2

x x

x x x

x+ e − + ⋅e − + x dx= +I I =e + +C + x C+ =e + + x C+ ∫

Suy để (( ) 5 4 7 3 )

1 x x x cos

x+ e − + ⋅e − + x dx

∫ có dạng ( 1)2 sin

6

x

a b

e + + x C+

6 ,

a= ∈ b= ∈

Câu 81. Tìm

( )

( )

3

1 1

x x

e x x

I dx

x e x

− + −

=

− − +

∫

?

A. ln( x 1)

I = +x e x− + +C B. ln( x 1)

I = −x e x− + +C

( )

( ) ( ( ) () ) (( ) )

1 1

3 2

1 1 1 1

x x

x x

x x x

x e x e x

e x x e x

I dx dx dx dx

x e x x e x x e x

− − + + −

− + − −

= = = +

− − + − − + − − +

∫ ∫ ∫ ∫

Đặt: 1 (2 1)

2

x x

x e x e x

t e x dt e x dx dx

x x

−

 

= − + ⇒ = + −  =

− −

 

Vậy

( )

( ) ln ln( 1)

1 1

x

x x

e x

I dx dx x dt x t C x e x C

t

x e x

−

⇒ = + = + = + + = + − + +

− − +

∫ ∫ ∫

Chọn A

Câu 82. Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ( )

( ) 2

1

ln 2017

ln

x x

x x

f x

e x e +

+ +

=

 + 

 

 

?

A. ( ) ( )

ln x + +1 1008 ln ln x + +1 1

B. ( ) ( )

ln x + +1 2016 ln ln x + +1 1

C. ( ) ( )

ln 2016 ln ln 1

2 x + +  x + + 

D. 1ln( 1) 1008 ln ln( 1) x + +  x + + 

Hướng dẫn giải

Đặt ( )

( ) 2

1

ln 2017

ln

x x

x x

I dx

e x e +

+ +

=

 + 

 

 

∫

+Ta có:

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( () () )

2

2

2

2 2

1

ln 2017

ln 2017 ln 2017

1 ln lne ln 1

ln

x x

x x

x x x x x

I dx dx dx

x x x x

e x e +

 + + 

+ + + +  

= = =

 +  +  + +  +  + + 

 

 

∫ ∫ ∫

+ Đặt: ( 2)

2

2

ln 1

1

x

t x dt dx

x

= + + ⇒ =

+

( ) ( ) ( ) ( )

2016 2016

1 1008 ln C

2 2

1 1

ln 1008 ln ln 1 ln 1008 ln ln 1

2 2

t

I dt dt t t

t t

I x x C x x C

+  

⇒ = =  +  = + +

 

   

⇔ = + + +  + + + = + +  + + +

∫ ∫

Chọn D Câu 83. Tìm

( )

( )

2

2

2 ln ln ln

x x x x

G dx

x x x

+ + +

=

+

∫

?

A. 1

ln

G C

x x x

−

= − +

+ B.

1

ln

G C

x x x

= − +

+

C. 1

ln

G C

x x x

= − +

+ D.

1

ln

G C

x x x

= + +

+

Hướng dẫn giải

( )

( ) ( ) ( ( ) () )

( ) ( ) ( )

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 ln ln

2 ln ln ln

ln ln

ln

1 1 1

ln ln ln

x x x x x x

x x x x x x x x

G dx dx dx

x x x x x x

x x x

x x x

G dx dx J J dx

x x x x x x x x x x x x

 + + + +

+ + +   + + +

= = =

+ +

+

 +  + −  + 

⇔ =  +  = − + = +  = 

 +  +  + 

   

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Xét nguyên hàm:

( )2

1 ln

x

J dx

x x x

+ =

+

∫

+ Đặt: t x lnx dt 1 x

x x

+

= + ⇒ = + =

2

1 1

ln

J dt C C

t t x x

− −

⇒ = = + = +

+

∫

Do đó: 1

ln

G J C

x x x x

− −

= + = − +

+

Chọn A

Câu 84. Hàm sốnào sau nguyên hàm ( )

( )

1

1 ln ln ln

n n n

x h x

x− x x x

− =

+ ?

A. 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n −n + + B.

1

ln x ln xn lnnx 2016

n +n + +

C. 1ln x 1ln xn lnnx 2016

n n

− + + + D. 1ln x 1ln xn lnn x 2016

n n

− − + −

Hướng dẫn giải

Ta có:

( ) ( )

1

1 ln ln 1 ln

ln ln

.ln ln ln ln

1 n

n n n n n n

n

x x x

L dx dx dx

x x x x

x x x x x x x x

x x

− − −

− − −

= = =

 

+ + +

 

 

∫ ∫ ∫

Đặt: t lnx dt ln2 xdx

x x

−

= ⇒ =

( ) ( )

1

1

n

n n n

dt t dt

L

t t t t

−

⇒ = =

+ +

∫ ∫

+ Đặt u= + ⇒tn du=n t.n−1dt

( )

1 1 1 1

ln ln ln

1

ln

1 1 ln

.ln ln ln

ln

1 ln

1

n

n n n

n

n n n

n

du u

L du u u C C

n u u n u u n n u

x

t x x

L C C C

x

n t n n x x

x

−

 

⇒ = =  −  =  − −  + = +

−  − 

⇔ = + = + = +

+ + +

∫ ∫

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u v liên tục đoạn [ ]a b; có đạo hàm liên tục đoạn [ ]a b;

Khi đó:∫u vd =uv−∫v ud ( )*

Để tính nguyên hàm ∫ f x( )dx phần ta làm sau:

Bước Chọn u v, cho f x( )dx=u vd (chú ý dv=v x'( )dx)

Sau tính v=∫dv du=u'.dx

Bước Thay vào cơng thức ( )* tính ∫v ud

Chú ý. Cần phải lựa chọn dv hợp lí cho ta dễdàng tìm v tích phân ∫v ud dễtính

d

u v

∫ Ta thường gặp dạng sau

● Dạng ( ) sin d cos

x

I P x x

x

 

=  

 

∫ , P x( ) đa thức.u

Với dạng này, ta đặt

( )

sin

d d

cos

u P x x

v x

x

=  

  

=

  

 



● Dạng ( ) ax bd

I =∫P x e + x, trong P x( ) đa thức Với dạng này, ta đặt ( )

d ax bd

u P x v e + x  =

 

=



● Dạng I =∫P x( ) (ln mx+n)dx, P x( ) đa thức Với dạng này, ta đặt ( )

( )

ln

d d

u mx n

v P x x

= +

 

=



● Dạng sin d cos

x

x

I e x

x

 

=  

 

∫ .

Với dạng này, ta đặt

sin cos d xd

x u

x v e x

  

=

  

  

 = 

BÀI TẬP

DẠNG

Câu Tìm ∫xsin 2xdx ta thu kết quảnào sau đây?

A xsinx+cosx C+ B 1 sin 1cos 4x x−2 x C+

C xsinx+cosx D 1 sin 1cos

4x x−2 x

Câu Nguyên hàm hàm số f x( )=xsinx là:

C F x( )= −xcosx+sinx C+ D F x( )=xcosx+sinx C+ Câu Biết ∫xcos dx x=axsin 2x b+ cos 2x C+ với a, b số hữu tỉ Tính tích ab?

A

8

ab= B

4

ab= C

8

ab= − D

4

ab= −

Câu Cho biết ( ) 3

F x x x

x

= + − nguyên hàm ( ) ( )

2

2

x a

f x

x +

= Tìm nguyên hàm

của g x( )=xcosax

A xsinx−cosx C+ B 1 sin 1cos 2x x−4 x C+

C xsinx+cosx C+ D 1 sin 1cos

2x x+4 x C+

Câu Nguyên hàm

sin

I =∫x xdx là:

A 1(2 sin cos )

8 x −x x− x +C B ( )

2

1

cos sin

8 x+4 x +x x +C

C 1 1cos sin

4 x x x x C

 − − +

 

  D Đáp án A C

Câu Tìm nguyên hàm I =∫(x−1 sin d) x x

A (1 )cos sin

2

x x x

I = − + +C B (2 )cos sin

2

x x x

I = − + +C

C (1 )cos sin

4

x x x

I = − + +C D (2 )cos sin

4

x x x

I = − + +C

Câu Tìm nguyên hàm sin∫ x xd

A sin d cos

x x x C

x

= +

∫ B ∫sin x xd = −cos x+C

C ∫sin x xd =cos x+C D ∫sin x xd = −2 xcos x+2 sin x+C

Câu Nguyên hàm

sin cos

I =∫x x xdx là:

A 1 cos3 , sin

I = −x x t+ − t +C t= x B 1 cos3 , sin

I = −x x t+ − t +C t= x

C 1 cos3 , sin

I =x x t+ − t +C t= x D 1 cos3 , sin

I =x x t+ − t +C t= x

Câu Một nguyên hàm ( ) 2

cos

x f x

x

= :

A xtanx−ln cos x B xtanx+ln cos x( )

C xtanx+ln cos x D xtanx−ln sinx

Câu 10 Một nguyên hàm ( ) 2

sin

x f x

x

= :

A xcotx−ln sinx B −xcotx+ln sin( x)

Câu 11 Cho ( ) 2

cos

x f x

x

= ;

2

π π

− 

 

  F x( ) nguyên hàm xf′( )x thỏa mãn

( )0

F = Biết ;

2

a∈ − π π 

  thỏa mãn tana=3 Tính ( )

2

10

F a − a + a

A 1ln10

− B 1ln10

4

− C 1ln10

2 D ln10

DẠNG

Câu 12 Họ nguyên hàm x(1 )

e +x dx ∫ là:

A I =ex+xex+C B

2

x x

I =e + xe +C

C

2

x x

I = e +xe +C D I =2ex+xex+C

Câu 13 Biết 2 ( )

d ,

x x x

xe x=axe +be +C a b∈

∫  Tính tích ab

A

4

ab= − B

4

ab= C

8

ab= − D

8

ab=

Câu 14 Cho biết ∫xe d2x x 1e2 ( )

x

ax b C

= + + , a b, ∈ C số Mệnh đề

nào

A a+2b=0 B b>a C ab D 2a b+ =0

Câu 15 Biết F x( ) (= ax b e+ ) x lànguyênhàmcủahàmsố y=(2x+3)ex.Khiđó a b+

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 16 Biết (x )e 2xdx e 2x(2x n) C m

− −

+ = − + +

∫ , với m n, ∈ Tính S =m2+n2

A S =10 B S =5 C S =65 D S =41

Câu 17 Tìm nguyên hàm I =∫(2x−1)e−xdx

A I = −(2x+1)e−x+C. B I = −(2x−1)e−x+C

C I = −(2x+3)e−x+C D I = −(2x−3)e−x+C

Câu 18 Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x( ) (= 5x+1 e) x F( )0 =3 TínhF( )1

A F( )1 =11e 3− B F( )1 = +e C F( )1 = +e D F( )1 = +e

Câu 19 Cho hàm số ( ) (2 3)

x

f x = x− e

Nếu ( ) ( )

x

F x = mx+n e (m n, ∈)

nguyên hàm

( )

f x

hiệu m n−

A 7 B 3 C 1 D 5

Câu 20 Cho F x( ) nguyên hàm hàm số f x( )=e3x F( )0 =2 Hãy tính F( )−1

A 6 15 e

− B 4 10

e

− C 15

e − D

10 e

DẠNG

Câu 21 Kết ∫lnxdx là:

A xlnx+ +x C B Đáp án khác

C xlnx C+ D xlnx− +x C

A

ln

x

x−∫xdx C+ B

2

1 ln

2

x

x−∫ xdx C+

C 2ln

x x−∫ xdx C+ D x2lnx−∫xdx C+

Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=xln(x+2)

A ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= x+ − + +C

∫

B ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= − x+ − − +C

∫

C ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= x+ − + +C

∫

D ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= − x+ − + +C

∫

Câu 24 Hàm sốnào sau nguyên hàm ( )

( )2

ln x g x x = + ?

A ln ln ln 1999

1

x x x

x x

− −

+ +

+ + B

ln ln 1998 1 x x x x − − + + +

C ln ln 2016

1

x x

x+ − x+ + D

ln

ln 2017

1

x x

x+ + x+ +

Câu 25 Họ nguyên hàm ln cos( 2 ) sin

x

I dx

x

=∫ là:

A cot ln cosx ( x)+ +x C B −cot ln cosx ( x)− +x C

C cot ln cosx ( x)− +x C D −cot ln cosx ( x)+ +x C

Câu 26 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )= xlnx

A ( ) ( )

3

1

d 3ln

9

f x x= x x− +C

∫ B ( ) ( )

3

2

d 3ln

3

f x x= x x− +C

∫

C ( ) ( )

3

2

d 3ln

9

f x x= x x− +C

∫ D ( ) ( )

3

2

d 3ln

9

f x x= x x− +C

∫

Câu 27 Giả sử F x( ) nguyên hàm f x( ) ln(x2 3) x

+

= cho F( )− +2 F( )1 =0 Giá trị F( )− +1 F( )2

A 10ln 5ln

3 −6 B 0 C

7 ln

3 D

2

ln ln

3 +6

Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

2 ln x f x x

x  −  =   +  ? A 2 ln x x x x  − −  + 

  B

4 2 16 ln 4 x x x x  −   − −    +      C 2 ln x x x x  − +  + 

  D

4 2 16 ln 4 x x x x  −   − +    +     

Câu 29 Tìm

( ) 2 sin cos x dx H

x x x

=

+

A

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

= + +

+

B

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

= − +

+

C

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

−

= + +

+

D

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

−

= − +

+

Câu 30 ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ có dạng ( )

3

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 3 B 2 C 1 D Không tồn

Câu 31 Cho ( ) 12

F x x

= nguyên hàm hàm số f x( )

x Tính

e

( ) ln d

f x′ x x ∫ bằng:

A

2

e

2e

I = − B

2

2 e e

I = − C

2

e

e

I = − D

2

3 e 2e

I = −

Câu 32 Cho F x( ) a(lnx b) x

= + nguyên hàm hàm số f x( ) ln2 x

x +

= , a, b∈ Tính S= +a b

A S = −2 B S =1 C S =2 D S =0

Câu 33 Cho số thực a, b khác không Xét hàm số ( )

( )3 e

1

x

a

f x bx

x

= +

+ với x khác −1

Biết f′( )0 = −22 ( )

1

d

f x x=

∫ Tính a b+ ?

A 19 B 7 C 8 D 10

Câu 34 Cho a số thực dương Biết F x( ) nguyên hàm hàm số

( ) ( )

ex ln

f x ax

x

 

=  + 

  thỏa mãn

1

F a

  =  

  ( )

2018

2018 e

F = Mệnh đềnào sau

đúng?

A ;1

2018

a∈ 

  B

1 0;

2018

a∈ 

  C a∈[1; 2018) D a∈[2018;+∞)

DẠNG 4:

Câu 35 Phát biểu sau đúng?

A ∫e sin dx x x=e cosx x−∫e cos d x x x B ∫e sin dx x x= −e cosx x+∫e cos d x x x

C e sin dx e cosx e cos d x

x x= x+ x x

∫ ∫ D e sin dx e cosx e cos d x

x x= − x− x x

∫ ∫

Câu 36 Tìm sinx

x

J =∫e dx

?

A (cos sin )

x

e

J = x− x +C B (sin cos )

2

x

e

J = x+ x +C

C (sin cos )

x

e

J = x− x +C D (sin cos 1)

2

x

e

HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG

Câu Tìm ∫xsin 2xdx ta thu kết quảnào sau đây?

A xsinx+cosx C+ B 1 sin 1cos 4x x−2 x C+

C xsinx+cosx D 1 sin 1cos

4x x−2 x

Hướng dẫn giải

Ta có: I =∫xsin 2xdx

Đặt: 1

sin cos

2

du dx

u x

dv xdx v x

=  =

 ⇒

 =  = −

 

Khi đó: cos cos cos 1sin

2 2

I =uv−∫vdu= − x x+ ∫ xdx= − x x+ x C+ Chọn B

Câu Nguyên hàm hàm số f x( )=xsinx là:

A F x( )= −xcosx−sinx C+ B F x( )=xcosx−sinx C+ C F x( )= −xcosx+sinx C+ D F x( )=xcosx+sinx C+

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: I =∫ f x( )dx=∫xsin dx x

Đặt

d sin d

u x

v x x

=   =

 Ta có

d d

cos

u x

v x

=   = −



( )d sin d cos cos d cos sin

I =∫ f x x=∫x x x= −x x+∫ x x= −x x+ x C+

Câu Biết ∫xcos dx x=axsin 2x b+ cos 2x C+ với a, b số hữu tỉ Tính tích ab?

A

8

ab= B

4

ab= C

8

ab= − D

4

ab= −

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

d d

1

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

=  =

 ⇒

 =  =

 

Khi cos d sin sin d

2

x x x= x x− x x

∫ ∫ sin 1cos

2x x x C

= + +

1

a

⇒ = ,

4

b=

Vậy

8

ab=

Câu Cho biết ( ) 3

F x x x

x

= + − nguyên hàm ( ) ( )

2

2

x a

f x

x +

= Tìm nguyên hàm

A xsinx−cosx C+ B 1 sin 1cos 2x x−4 x C+

C xsinx+cosx C+ D 1 sin 1cos

2x x+4 x C+

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có ( ) ( )

2 2

2

1

2 x a

F x x

x x

+

′ = + + = Suy a=1

Khi ∫g x( )dx=∫xcos dx x=∫xd sinx=x.sinx−∫sin dx x=x.sinx+cosx C+

Câu Nguyên hàm

sin

I =∫x xdx là:

A 1(2 sin cos )

8 x −x x− x +C B ( )

2

1

cos sin

8 x+4 x +x x +C

C 1 1cos sin

4 x x x x C

 − − +

 

  D Đáp án A C

Hướng dẫn giải

Ta biến đổi:

1

2

1

1 cos 1 1

sin cos cos

2 2

I

x

I = x xdx= x − dx= xdx− x xdx= x − x xdx C+

 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 cos I =∫x xdx

Đặt 1

cos sin

2

du dx

u x

dv x v x

=  =

 ⇒

 =  =

 

1

1 1

cos sin sin sin cos

2 2

I x xdx x x xdx x x x C

⇒ =∫ = − ∫ = + +

( )

( )

2

2

1 1

cos sin 2 sin cos

4

1

cos sin

8

I x x x x C x x x x C

x x x x C

 

⇒ =  − − + = − − +

 

= − + + +

Chọn C

Câu Tìm nguyên hàm I =∫(x−1 sin d) x x

A (1 )cos sin

2

x x x

I = − + +C B (2 )cos sin

2

x x x

I = − + +C

C (1 )cos sin

4

x x x

I = − + +C D (2 )cos sin

4

x x x

I = − + +C

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt

d d

1

1

d sin d cos

2

u x

u x

v x x v x

=  = −

 ⇒

 =  = −

 

Khi

( ) 1( ) 1( )

1 sin d cos cos d cos sin

2 2

I =∫ x− x x= − x− x+ ∫ x x= − x− x+ x C+

A sin d cos

x x x C

x

= +

∫ B ∫sin x xd = −cos x+C

C ∫sin x xd =cos x+C D ∫sin x xd = −2 xcos x+2 sin x+C

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt t= x, ta có ∫sin x xd =∫2 sin dt t t

Đặt

d sin d

u t

v t t

=   =

 ta có

d 2d

cos

u t

v t

=   = − 

2 sin dt t t= −2 cost t+ cos dt t= −2 cost t+2 sint+ = −C xcos x+2 sin x+C

∫ ∫

Câu Nguyên hàm

sin cos

I =∫x x xdx là:

A 1 cos3 , sin

I = −x x t+ − t +C t= x B 1 cos3 , sin

I = −x x t+ − t +C t= x

C 3

1

1

cos , sin

3

I =x x t+ − t +C t= x D 3

1

2

cos , sin

3

I =x x t+ − t +C t= x

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

2

sin cos cos

u x du dx

du x x u xdx

= =

 

⇒

 

= = −

 

1

2 3

1

sin cos cos cos

I

I x x xdx x x xdx C

⇒ =∫ = − +∫ +



Xét I1=∫cos3xdx=∫cosx(1 sin− 2x dx)

Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx

( 2)

1

1

3

I t dt t t C

⇒ =∫ − = − +

3 3

1

1

cos cos

3

I x x I x x t t C

⇒ = − + = − + − +

Chọn A

Câu Một nguyên hàm ( ) 2

cos

x f x

x

= :

A xtanx−ln cos x B xtanx+ln cos x( )

C xtanx+ln cos x D xtanx−ln sinx

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

cos

x

I dx

x =∫

Đặt:

2

1

tan cos

u x

du dx

v x

dv dx

x =

  =

 ⇒

 =  =

 

Khi đó: I =uv−∫vdu=xtanx−∫tanxdx=xtanx+ln cosx +C Chọn C

Câu 10 Một nguyên hàm ( ) 2

sin

x f x

x

= :

C −xtanx+ln cos x D xtanx−ln sinx

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

sin

x

I dx

x =∫

Đặt:

2

1

cot sin

u x

du dx

v x

dv dx

x =

  =

 ⇒

 =  = −

 

Khi đó: I =uv−∫vdu= −xcotx+∫cotxdx= −xcotx+ln sinx +C Chọn B

Câu 11 Cho ( ) 2 cos

x f x

x

= ;

2

π π

− 

 

  F x( ) nguyên hàm xf′( )x thỏa mãn

( )0

F = Biết ;

2

a∈ − π π 

  thỏa mãn tana=3 Tính ( )

2

10

F a − a + a

A 1ln10

− B 1ln10

4

− C 1ln10

2 D ln10

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có: F x( )=∫xf′( )x dx =∫x f xd ( ) =xf x( )−∫ f x( )dx

Ta lại có: ( )d 2 d

cos

x

f x x x

x

=

∫ ∫ =∫xd tan( x)=xtanx−∫tan dx x tan sin d cos

x

x x x

x

= −∫

( )

1

tan d cos

cos

x x x

x

= +∫ =xtanx+ln cosx +C ⇒F x( )=xf x( )−xtanx−ln cosx +C

Lại có: F( )0 =0⇒ =C 0, đó: F x( )=xf x( )−xtanx−ln cosx

( ) ( ) tan ln cos

F a af a a a a

⇒ = − −

Khi ( ) 2

cos

a f a

a

= ( )

1 tan

a a

= + =10a 12 tan2

cos a = + a =10

2

cos

10

a

⇔ =

1 cos

10

a

⇔ =

Vậy F a( )−10a2+3a 10 ln 10

10

a a a a

= − − − + 1ln10

2

=

DẠNG

Câu 12 Họ nguyên hàm ∫ex(1+x dx) là:

A I =ex+xex+C B

2

x x

I =e + xe +C

C

2

x x

I = e +xe +C D I =2ex+xex+C

Hướng dẫn giải

Ta có:

( )

1

1

x x x x x

I

I =∫e +x dx=∫e dx+∫e xdx=e +C +∫xe dx



Xét I1=∫e xdxx

Đặt u x x du xx

dv e dx v e

= =

 

⇒

 =  =

1

1

x x x

I xe xe dx I xe C

⇒ = −∫ ⇒ = +

1

x x

I e xe C

⇒ = + +

Chọn B

Câu 13 Biết ∫xe2xdx=axe2x+be2x+C , (a b∈) Tính tích ab

A

4

ab= − B

4

ab= C

8

ab= − D

8

ab=

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt 2 2

d d

1

d d

2

x x

u x

u x

v e

v e x

=  =

 ⇒

  =

=

 

Suy ra: d 2 d

2

x x x

xe x= xe − e x

∫ ∫ 2

2

x x

xe e C

= − +

Vậy: 1; .1

2

a= b= − ⇒ab= −

Câu 14 Cho biết ∫xe d2x x 1e2 ( )

x

ax b C

= + + , a b, ∈ C số Mệnh đề

nào

A a+2b=0 B b>a C ab D 2a b+ =0

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt u= ⇒x du=dx,

2

2 e

d e d

2

x x

v= x⇒ =v Ta có ∫xe d2x x

2

e e

d

2

x x

x

x

= −∫ e2 e2

2

x x

x

C

= − + e2 (2 1)

4

x

x C

= − + Suy a=2, b= −1

Câu 15 Biết F x( ) (= ax b e+ ) x lànguyênhàmcủahàmsố y=(2x+3)ex.Khiđó a b+

A 2 B 3 C 4 D 5

Hướng dẫn giải

Tacó: ∫(2x+3)e xxd =(ax+b)ex,nghĩalà:

(ax+b)ex ' (2x+3)ex

  =

 

( ) ( )

x x ax = 2x+3 x

a e e b e

⇔ + +

(ax ) (= 2x+3)

x x

e a b e

⇔ + +

Đồngnhấthệsốtađược:a=2vàb=1 Vậy a b+ =3

Chọn B

Câu 16 Biết (x )e 2xdx e 2x(2x n) C m

− −

+ = − + +

∫ , với m n, ∈ Tính S =m2+n2

A S =10 B S =5 C S =65 D S =41

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt

d d

3

1

u x

u= +x  =

 ⇒

Khi ( ) 2 ( )

3 d d

2

x x x

x+ e− x= − e− x+ + e− x

∫ ∫ ( )

2

x x

e− x e− C

= − + − +

( ) ( )

2

1

4

x x

e− x C e− x C

= − + + + = − + + ⇒ =m 4;n=7

2

65

S =m +n =

Câu 17 Tìm nguyên hàm I =∫(2x−1)e−xdx

A I = −(2x+1)e−x+C. B I = −(2x−1)e−x+C

C I = −(2x+3)e−x+C D I = −(2x−3)e−x+C

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt d 2d

d

x x

u x u x

dv e− x v e−

= − =

 

⇒

 

= = −

 

Ta có I = −(2x−1)e−x+∫2.e−xdx= −(2x−1)e−x−2e−x+ = −C (2x+1)e−x+C

Câu 18 Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x( ) (= 5x+1 e) x F( )0 =3 TínhF( )1

A F( )1 =11e 3− B F( )1 = +e C F( )1 = +e D F( )1 = +e

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có F x( ) (=∫ 5x+1 e d) x x

Đặt

d e dx

u x

v x

= +

  = 

d 5d

ex

u x

v

= 

⇒  =



( ) (5 e) x 5e dx

F x = x+ −∫ x=(5x+1 e) x−5ex+C =(5x−4 e) x+C Mặt khác F( )0 =3⇔ − + =4 C 3⇔ =C

( ) (5 e) x

F x x

⇒ = − +

Vậy F( )1 = +e

Câu 19 Cho hàm số f x( ) (= 2x−3)ex Nếu F x( ) (= mx+n e) x (m n, ∈) nguyên hàm

( )

f x

hiệu m n−

A 7 B 3 C 1 D 5

Hướng dẫn giải: Chọn A

Tính∫(2x−3)e xxd

Đặt u=2x− ⇒3 du=2d ; dx v=e xxd ⇒ =v ex Suy ra:

(2x−3)e xxd =(2x−3)ex−2 e x Cxd +

∫ ∫ =(2x−3)ex−2ex+C =(2x−5)ex+C

Suy ra: m=2; n= −5 Vậy m n− =7

Câu 20 17TCho

( )

F x

nguyên hàm hàm số ( )

3

e x

f x =

F( )0 =2 Hãy tính F( )−1

A 6 15 e

− B 4 10

e

− C 15

e − D

10 e

Hướng dẫn giải Chọn C

Đặt x= ⇒ =t x t3

dx dt t

⇒ = 2

e dx et d

I =∫ x= ∫ t t

Đặt

2

2 d d e

e dt d t

t t u

t u

v

t v

=

 = 

 ⇒

 

= =

 

 ( )

2

3 et e dt

I t t t

⇒ = − ∫

3ett e dtt t

= − ∫

Tính e dt

t t ∫

Đặt d d

e dt d et

t u t u

t v v

= =

 

⇒

 

= =

  e d e e d e e

t t t t t

t t t t t

⇒∫ = −∫ = −

Vậy ⇒ =I 3ett2−6 e( tt−et)+C ( ) 3 ( 3 )

3e x e x e x

F x x x C

⇒ = − − +

Theo giả thiết ta có F( )0 = ⇒ = −2 C ( ) 3 ( 3 )

3e x e x e x

F x x x

⇒ = − − −

( ) 15

1

e

F

⇒ − = −

DẠNG

Câu 21 Kết ∫lnxdx là:

A xlnx+ +x C B Đáp án khác

C xlnx C+ D xlnx− +x C

Hướng dẫn giải

Ta có: I =∫lnxdx

Đặt: ln

dx

u x du

x dv dx

v x 

= =

 ⇒

 = 

  =

Khi đó: I =uv−∫vdu=xlnx−∫dx=xlnx− +x C Chọn D

Câu 22 Nguyên hàm I =∫xlnxdx với:

A

ln

x

x−∫xdx C+ B

2

1 ln

2

x

x−∫ xdx C+

C 2ln

x x−∫ xdx C+ D

ln

x x−∫xdx C+

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

2

1 ln

2

du dx

u x x

dv xdx x

v

 =

 =

 ⇒

 = 

  =



2

1

ln ln

2

x

I x xdx x xdx

⇒ =∫ = −∫

Chọn B

Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f x( )=xln(x+2)

A ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= x+ − + +C

∫

B ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= − x+ − − +C

C ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= x+ − + +C

∫

D ( ) ( )

2

4

d ln

2

x x x

f x x= − x+ − + +C

∫

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt ( ) 2

d d

ln 2

d d

2

x u

u x x

x v x x

v

 =



= +

 ⇒ +

 

=

  =



suy ( ) ( ) ( )

2

1

d ln d ln d

2 2

x x

f x x x x x x x

x

= + = + −

+

∫ ∫ ∫

( ) ( )

2 2

1 4

ln 2 d ln

2 2 2

x x x x

x x x x C

x

− −

 

= + −  − +  = + − +

+

 

∫

Câu 24 Hàm sốnào sau nguyên hàm ( )

( )2

ln

x g x

x

=

+ ?

A ln ln ln 1999

1

x x x

x x

− −

+ +

+ + B

ln

ln 1998

1

x x

x x

−

− +

+ +

C ln ln 2016

1

x x

x+ − x+ + D

ln

ln 2017

1

x x

x+ + x+ +

Hướng dẫn giải

Đặt

( )2

1 ln

1

1

1

u x du dx

x

dv dx

v x

x

 =

  =

 ⇒

 =  −

 +  =

  +

( )

( )

ln ln 1 lnx

1 1 1

ln ln

ln ln ln

1 1

x x dx

S dx dx dx

x x x x x x x x x

x x x

S x x C C

x x x

− −   −

⇒ = + = +  −  = + + −

+ + +  +  + +

− −

⇔ = + − + + = + +

+ + +

∫ ∫ ∫ ∫

Chọn A

Câu 25 Họ nguyên hàm ln cos( 2 ) sin

x

I dx

x

=∫ là:

A cot ln cosx ( x)+ +x C B −cot ln cosx ( x)− +x C

C cot ln cosx ( x)− +x C D −cot ln cosx ( x)+ +x C

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

( )

2

ln cos

tan cot sin

u x

du xdx

dx

v x

dv

x

=

 = −



 ⇒

  = −

= 



( ) ( )

cot ln cos cot ln cos

I x x dx x x x C

⇒ = − −∫ = − − +

Chọn B

A ( ) ( )

2

1

d 3ln

9

f x x= x x− +C

∫ B ( ) ( )

3

2

d 3ln

3

f x x= x x− +C

∫

C ( ) ( )

3

2

d 3ln

9

f x x= x x− +C

∫ D ( ) ( )

3

2

d 3ln

9

f x x= x x− +C

∫

Hướng dẫn giải Chọn A

( )d ln d

I =∫ f x x=∫ x x x

Đặt: d d d d

2

t x t x t t x

x

= ⇒ = ⇒ =

2 2

2 ln d ln d

I t t t t t t

⇒ = ∫ = ∫

Đặt: 2 3

1

d d

ln

d d

3

u t

u t t

v t t t

v

 =

 =

 

⇒

 

=

  =



( )

3 3

1 1

2 ln d ln 3ln

3 3 9

I  t t t t  t t t C t t C

⇒ =  − =  − + = − +

 ∫   

( )

3

2

3ln

9x x C

= − +

( )

3

1

3ln

9x x C

= − +

Câu 27 Giả sử F x( ) nguyên hàm f x( ) ln(x2 3) x

+

= cho F( )− +2 F( )1 =0 Giá trị F( )− +1 F( )2

A 10ln 5ln

3 −6 B 0 C

7 ln

3 D

2

ln ln

3 +6

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách1: Ta có hàm số f x( ) liên tục khoảng (−3; 0) (0;+∞) Tính ln(x2 3)dx

x

+

∫

Đặt

( )

2

1

ln d d

3 d

1

d

3

u x u x

x x

x v

v x

x x



= +

  =

 ⇒ +

  +

=

  = − − = −

 

(Chọn

3

C = − )

Suy ra: ( ) ln( 2 3)d 3ln( 3) d

3

x x

F x x x x

x x x

+ +

=∫ = − + +∫ 3ln( 3) 1ln

3

x

x x C

x +

= − + + +

•Xét khoảng (−3; 0), ta có: ( )2 1ln 1

F − = +C ; ( )1 2ln 1

F − = +C

•Xét khoảng (0;+∞), ta có:

( ) 2

4

1 ln ln

3

F = − +C = − +C ; ( )2 5ln 1ln 2

6

F = − + +C

Suy ra: F( )− +2 F( )1 =0 ⇔1ln 2+C1  + −8ln 2+C2=0

   

7 ln

C C

Do đó: ( )1 ( )2 2ln 1 5ln 1ln 2

3

F − +F = +C   + − + +C 

   

2 10

ln ln ln ln ln ln

3 3

= − + + = −

Cách2: (Tận dụng máy tính)

•Xét khoảng (−3; 0), ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2

ln

1 d x d 0, 231

F F f x x x A

x

− −

− −

+

− − − =∫ = ∫ ≈ → (lưu vào A)( )1

•Xét khoảng (0;+∞), ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

1

ln

2 d x d 0, 738

F F f x x x B

x

+

− =∫ =∫ ≈ → (lưu vào A)( )2

•Lấy ( )1 cộng ( )2 theo vếta được:

( )1 ( )2 ( )2 ( )1 ( )1 ( )2 0, 969

F − +F −F − −F = + ⇔A B F − +F = + ≈A B

So phương án ta

Chọn A

Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số ( )

2 ln x f x x

x  −  =   +  ? A 2 ln x x x x  −  −  + 

  B

4 2 16 ln 4 x x x x  −   −  −    +      C 2 ln x x x x  − +  + 

  D

4 2 16 ln 4 x x x x  −   − +    +     

Hướng dẫn giải

Đặt: 4 16 ln 16 16 4 x x du u x x x x v dv x dx

  =  −   =   + ⇒ −     −  =  = − =  

2 4

4

2 2

4 16 16

ln ln ln

4 4 4

x x x x x

x dx xdx x C

x x x

 −   −   −   −   − 

⇒   =   − =   − +

+ + +

         

∫ ∫

Chọn B Câu 29 Tìm

( ) 2 sin cos x dx H

x x x

=

+

∫ ?

A

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

= + +

+

B

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

= − +

+

C

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

−

= + +

+

D

( ) tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

−

= − +

+

Hướng dẫn giải

Ta có: ( ) ( ) 2 cos cos

sin cos sin cos

x x x x

H dx dx

x

x x x x x x

= =

+ +

Đặt

( ) (( ))

2

2

sin cos

cos cos

sin cos

cos

sin cos sin cos sin cos

x x x x

u du dx

x x

d x x x

x x

dv dx v

x x x x x x x x x

 =  +

=

 

 ⇒

 + 

 = =  = −



 + +  +



( )

2

1

tan

cos x sin cos cos cos sin cos

x x

H dx x C

x x x x x x x x

−

⇒ = − + = + +

+ ∫ +

Chọn C

Câu 30 ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ có dạng ( )

3

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 3 B 2 C 1 D Không tồn

Hướng dẫn giải Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có:

( )

2x x + +1 xlnx dx= 2x x +1dx+ xlnx dx

∫ ∫ ∫

Để tìm ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ ta đặt

1

I =∫ x x + dx I2 =∫xlnx dx tìm I I1, 2 *I1=∫2x x2+1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt

1,

t= x + t≥ ta t2 =x2+1, xdx=tdt Suy ra:

( )3

2

1 1

2

2

3

I =∫ x x + dx=∫ t dt= t +C = x + +C , C1 số *I2 =∫xlnx dx

Dùng phương pháp nguyên hàm phần

Đặt

2

1 ln

1

du dx

u x x

dv xdx

v x

 =

 =

 ⇒

 = 

  =



, ta được:

2

2 2 2

2

ln

1 1 1 1

ln ln ln

2 2 2

I x x dx udv uv vdu

x x x dx x x xdx x x x C

x

= = = −

= − ⋅ = − = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

3

2 2

1 2

3

2 2

2 1

2 ln ln

3

2 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

+ + = + = + + + − +

= + + − +

∫

Suy để ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ có dạng ( )

3

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C

2 ,

a= ∈ b= ∈ Chọn B

Ta thay giá trị a ởcác đáp án vào ( )

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C Sau đó, với a

của đáp án ta lấy đạo hàm ( )

3

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C

Không khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên việc tìm đạo hàm trởnên khó khăn

Sai lầm thường gặp: A Đáp án A sai

Một số học sinh khơng đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A sai lầm

C Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I =∫ x x + dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt

1,

t= x + t≥ ta t2 =x2+1,tdt=2xdx Suy ra:

( )3

2

1 1

1

2 1

3

I =∫ x x + dx=∫t dt= t +C = x + +C , C1 số Học sinh tìm 2 2ln 2

2

I = x x− x +C theo phân tích

( ) ( )

( )

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

+ + = + = + + + − +

= + + − +

∫

Suy để ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ có dạng ( )

3

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C a=1,b=3

Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

D Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I =∫ x x + dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t= x2+1,t≥1 ta t2 =x2+1,tdt=2xdx Suy ra:

( )3

2

1 1

1

2 1

3

I =∫ x x + dx=∫t dt= t +C = x + +C , C1 số

Học sinh tìm 2

2

1

ln

2

I = x x− x +C theo phân tích

( ) ( )

( )

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1

1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

+ + = + = + + + − +

= + + − +

∫

Suy để ( )

2x x + +1 xlnx dx

∫ có dạng ( )

3

2 2

1 ln

3

a b

x + + x x− x +C

1

1 ,

3

a= ∈ b= ∉

Câu 31 Cho ( ) 12

F x x

= nguyên hàm hàm số f x( )

x Tính

e

( ) ln d

f x′ x x ∫ bằng:

A

2

e

2e

I = − B

2

2 e e

I = − C

2

e

e

I = − D

2

3 e 2e

I = −

Hướng dẫn giải Chọn A

Do ( ) 12

2

F x x

= nguyên hàm hàm số f x( )

x nên

( )

2

f x

x x

′

 

=   ( )

1 f x x ⇔ = − Tính e

( ) ln d

I =∫ f x′ x x Đặt

( ) ( )

1

ln d d

d d

x u x u

x

f x x v

f x v



= =

 ⇒

 ′ = 

  =

Khi ( ) ( )e e ( )

1

.ln f x d

I f x x x

x ′ = −∫ ( ) e e 2 1 1 ln x x x

= − − e2 23

2e

−

=

Câu 32 Cho F x( ) a(lnx b) x

= + nguyên hàm hàm số f x( ) ln2 x

x +

= , a, b∈ Tính S = +a b

A S = −2 B S =1 C S =2 D S =0

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có I f x( )dx ln2 x dx

x +   = =     ∫ ∫ Đặt ln d d x u x v x + =    =  d d x u x v x  =  ⇒  − = 

( )

1

1 ln d

I x x

x x

= − + +∫ 1(1 lnx) C

x x

= − + − + 1(lnx 2) C

x

= − + + ⇒ = −a 1;b=2

Vậy S = + =a b

Câu 33 Cho số thực a, b khác không Xét hàm số ( )

( )3 e

1

x

a

f x bx

x

= +

+ với x khác −1

Biết f′( )0 = −22 ( )

1

d

f x x=

∫ Tính a b+ ?

A 19 B 7 C 8 D 10

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có ( )

( )4

3

e e

1

x x

a

f x b bx

x −

′ = + +

+ nên f′( )0 = − + = −3a b 22 ( )1

( )

( )

1

3

0

d e d

1

x

a

f x x bx x

x   =  +  +    

∫ ∫ 1( )3

0 d e d x x

a b x x aI bJ

x = + = + + ∫ ∫ Tính ( ) d x I x = +

∫ ( )2

1

1

0 x

= − =

+

Tính

1

e dx

Khi ( )

0

1

e e d e e

0

x x x x

J = x −∫ x= − = Suy

8a b+ = ( )2

Từ ( )1 ( )2 ta có

3 22

3

5

a b a

b

− + = − 

 

+ = 

8

a b

= 

⇔  =

 Vậy a b+ =10

Câu 34 Cho a số thực dương Biết F x( ) nguyên hàm hàm số

( ) ( )

ex ln

f x ax

x

 

=  + 

  thỏa mãn

1

F a

  =  

  ( )

2018

2018 e

F = Mệnh đềnào sau

đúng?

A ;1 2018

a∈ 

  B

1 0;

2018

a∈ 

  C a∈[1; 2018) D a∈[2018;+∞)

Hướng dẫn giải Chọn A

( ) ( ) e

e ln d e ln d d

x

x x

I ax x ax x x

x x

 

=  +  = +

 

∫ ∫ ∫ (1)

 Tính ∫e lnx ( )ax dx:

Đặt ( )

1

ln d d

d e d

e x

x

u ax u x

x

v x

v 

 = =

 ⇒

 

=

 

  = ( ) ( )

e

e ln d e ln d

x

x x

ax x ax x

x

⇒∫ = −∫

Thay vào (1), ta được: F x( )=e lnx ( )ax +C Với

( ) 2018

1

2018 e

F a F

   = 

   

 =

 ( )

1

2018 2018

e ln1

e ln 2018 e

a C

a C

 + =



 + =





( )

0

ln 2018

C a = 

 =



 e

2018

a=



 Vậy ;1

2018

a∈ 

 

DẠNG 4:

Câu 35 Phát biểu sau đúng?

A ∫e sin dx x x=e cosx x−∫e cos d x x x B ∫e sin dx x x= −e cosx x+∫e cos d x x x

C ∫e sin dx x x=e cosx x+∫e cos d x x x D ∫e sin dx x x= −e cosx x−∫e cos d x x x

Hướng dẫn giải Chọn B

Đặt

e d sin d

x

u

v x x

 = 

= 

d cos x

du e x

v x

 =

⇒  = − 

e sin dx e cosx e cos d x

x x x x x

⇒∫ = − +∫

Câu 36 Tìm sinx

x

J =∫e dx

?

A (cos sin )

x

e

J = x− x +C B (sin cos )

2

x

e

J = x+ x +C

C (sin cos )

x

e

J = x− x +C D (sin cos 1)

2

x

e

J = x+ x+ +C

Đặt: 1

1

sin dx cos

x x

u e du e dx

dv x v x

 =  =

⇒

 

= = −

 

( )

cos cos cos cos

x x x x

J e x e xdx e x T T e xdx

⇒ = − +∫ = − + =∫

Tính T =∫ex.cosxdx:

( ) ( )

sin sin sin

cos sin sin cos sin cos

2

x x x

x

x x x

T e x e xdx e x J

e

J e x e x J J e x x J x x C

⇒ = − = −

⇒ = − + − ⇔ = − ⇔ = − +