Lý thuyết và các dạng bài về số phức 2017 2018 file word có lời giải chi tiết

Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm Mx;y.. Ví dụ 1: Giả sử Mz là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z... Tìm căn bậc hai của một số phức.. Tìm căn bậc hai củ





 Tìm môđun của số phức z iz

x y

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i;

b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

Bài 4 Cho hai số phức: z1 2 5 ; zi 2  3 4i Xác định phần thực, phần ảo của số phức z z1 2

a) z (2 3 )(1  i  i) 4 i b) z(2 2 )(3 2 )(5 4 ) (2 3 ) i  i  i   i 3

c) z = 2i(3 + i)(2 + 4i)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 3

i i



 

 Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i

a) Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i  (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

b) Ta có: 1 (1 )(1 ) 2

i i

Bài 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn: z 2 3 1i   i  (1 i)2011

Bài 3 Tìm phần thực, phần ảo của số phức z =(1i)19

2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số của số phức.

Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: z z z, , , ta sẽ sử dụng Dạng đại số của z là z x yi với x y R, 

Gọi z= a+ bi (a, b R) Ta có z  a2b2 và z2 a2 b22abi

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 7

Ví dụ 7: Tìm số phức z biết 5 3

1 0

i z

a) z 2 và z là số thuần ảo b) z 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó

Bài 6 Tìm số phức z thoả mãn z  2 và z2 là số thuần ảo.

Bài 7 Giải phương trình:

z z

i i

Giả sử z = x+yi (x, y  R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y) Sửdụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M

Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa

mãn một trong các điều kiện sau đây:

 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức

z thỏa mãn (1) là đường tròn có tâm tại I(1;-1) và bán kính R = 2

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 là đường tròn tâm O, bán kính 2

Ví dụ 4: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 i  z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y  R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y)

Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy M ( )C là đường tròn có tâm

Gọi d là đường thẳng đi qua O và I  d y: 5x

Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C) 1 3 15

thỏa mãn điều kiện sau

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

3 2

z i  z i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ nhất

nhất

nhất

z  i  , hãy tìm số phức có z nhỏ nhất

2 11

i z i



 Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất

2.5 Dạng 5 Phương trình bậc hai trên tập số phức

2.5.1 Vấn đề 1 Tìm căn bậc hai của một số phức (Đọc thêm)

Cho số phức w = a + bi Tìm căn bậc hai của số phức này.

Phương pháp:

+) Nếu w = 0  w có một căn bậc hai là 0

+) Nếu w = a > 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là a và - a

+) Nếu w = a < 0 (a  R)  w có hai căn bậc hai là ai và - ai

Để tìm căn bậc hai của w ta cần giải hệ này để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm đúng phương trình

đó cho ta một căn bậc hai của w

Nhận xét: Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.

Ví dụ: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 13

a) 4 + 6 5 i b) -1-2 6 i

Giải:

1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = 4 + 6 5 i

Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = 4 + 6 5 i

2 2

3 5

(1)4

x = 3  y = 5

x = -3  y = - 5

Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 3 + 5 i và z2 = -3 - 5 i

2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) là một căn bậc hai của w = -1-2 6 i

Khi đó: z2 = w  (x+yi)2 = -1-2 6 i 

2 2

6(1)1

x = 2  y = - 3

x = - 2  y = 3

Vậy số phức w = 4 + 6 5 i có hai căn bậc hai là: z1 = 2 - 3 i và z2 = - 2 + 3 i

2.5.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = 0 (1) (A, B, C  C, A  0)



 (trong đó  là một căn bậc hai của )

*) Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 =

2

B A

 Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1, i 3, i 3

Ví dụ 2: Giải các phương trình bậc hai sau:

a) z2 + 2z + 5 = 0

b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 (tham khảo)

Giải:

a) Xét phương trình: z2 + 2z + 5 = 0

Ta có:  = -4 = 4i2  phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i

b) Ta có:  = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2

nên 1+i là một căn bậc hai của số phức 2i

 Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3 1 1 2

Bài 1 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2

2z  4z11 0 Tính giá trị của biểu thức

 trên tập số phức (Tham khảo)

Bài 3 Gọi z z1; 2 là các nghiệm phức của phương trình: 2

2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy về bậc hai

- Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thểquy được về bậc hai

- Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân

tử ( để đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai

- Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đãbiết cách giải

a Phương pháp phân tích thành nhân tử.

Ví dụ 1: Giải các phương trình: z3 – 27 = 0

Giải: z3 – 27 = 0  (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0  2

2,3

11

3 3 3

3 9 0

2

z z

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình trên tập hợp số phức: z4 z36z2 6z 16 0

Giải:

Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2

Phương trình đã cho tương đương với z 2 z1 z28 0

Giải ra ta được bốn nghiệm: z1; z2; z2 2i

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 17

Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)biết rằng phương trình có nghiệm

thuần ảo (Tham khảo)

Giải:

Đặt z = yi với y  R

Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = 0

 -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = 0 = 0 + 0i

đồng nhất hoá hai vế ta được:

 giải hệ này ta được nghiệm duy nhất y = 2

Suy ra phương trình (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i

* Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i

 vế trái của (1) có thể phân tích dưới dạng:

z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b  R)

đồng nhất hoá hai vế ta giải được a = 2 và b = 5

 (1)  (z – 2i)(z2 +2z + 5) = 0  2

22

Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình z3 3 i z 2 2 i z 16 2 i0 biết rằng phương trình có 1 nghiệm

Ví dụ 5: Giải phương trình z3 2 3 i z 23 1 2  i z 9i 0biết rằng phương trình có một nghiệm

thuần ảo (tham khảo)

Giải

Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, bR

Thay vào phương trình ta được:

1 232

12

i z

z

z z

Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2= 0

Vậy phương trình có các nghiệm: z  1 6;z 1 i

Ví dụ 4: Giải phương trình sau trên tập số phức

2

1 02

z

z  z    z (tham khảo)

Giải:

Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z0

Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( 2 12 1 1

PT (3) có 2 nghiệm t=1 3

2

i

,t=1 32

i

 

 Bài tập tự luyện

Bài 1 Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết rằng phương trình có một nghiệm

thuần ảo.(tham khảo)

Bài 2 Cho phương trình: z 3 – (4 + i)z 2 + (3 + 8i)z – 15i = 0 Biết phương trình có một nghiệm thực.

Gọi z1, z2, z3 là các nghiệm của phương trình Hãy tính z12 z22 z32

Bài 3 Gọi z z z z1, , ,2 3 4là bốn nghiệm của phương trình 4 3 2

c) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 21