Lý thuyết khối đa diện trần đình cư

CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN KHỐI ĐA DIỆN LỒI KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word MỤC LỤC CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN DẠNG KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Lồi VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN DẠNG KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng hình không gian tạo số hữu hạn đa giác Các đa giác có tính chất a) Hai đa giác phân biệt khơng giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện (H) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện (H) Người ta gọi hình hình đa diện Nói cách tổng qt: Hình đa diện (gọi tắt đa diện) (H) hình tạo sốhữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất Mỗi đa giác gọi mặt đa diện Các đỉnh cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện (H), kể hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngồi khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Mỗi đa diện (H) chia điểm lại khơng gian thành hai miền khơng giao nhau: miền miền ngồi (H) Trong có miền ngồi chứa hoàn toàn đường thẳng d Khối đa diện (H) hợp hình đa diện (H) miền II HAI HÌNH BẲNG NHAU Phép dời hình khơng gian khối đa diện • Trong khơng gian quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian • Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện thành ( H ) đa diện ( H ') , biến đỉnh, cạnh, mặt đa diện (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng đa diện ( H ') r uuuuur r a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v phép biến hình biến điểm M thành M ' cho MM ' = v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( P ) phép biến hình biến điểm thuộc biến điểm M không thuộc ( P ) thành ( P ) thành điểm M ' cho ( P ) mặt phẳng trung trực MM ' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( H) ( P) biến hình thành ( P ) gọi mặt phẳng đối xứng ( H ) c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành biến điếm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( H ) thành O gọi tâm đối xứng ( H ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word d) Phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình điểm thuộc d thành nó, biến điểm M khơng thuộc d thành điểm M ' cho d trung trực MM ' Phép đối xứng qua đường thẳng d gọi phép đối xứng qua trục d Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình ( H ) thành d gọi trục đối xứng ( H ) Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Nhận xét • Hai đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện • Hai tứ diện có cạnh tương ứng III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện ( H ) hợp hai khối đa diện ( H1 ) , ( H ) , cho ( H1 ) ( H ) khơng có điểm chung ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) , hay lắp ghép hai khối đa diện ( H1 ) ( H ) với để khối đa diện ( H ) Ví dụ Xét khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Mặt phẳng BDD ' B ' cắt khối lập phương theo thiết diện hình chữ nhật BDD ' B ' Thiết diện chia điểm lại khối lập phương làm hai phần Mỗi phần với hình chữ nhật BDD ' B ' tạo thành khối lăng trụ, có hai khối lăng trụ: ABD A ' B ' D ' BCD.B ' C ' D ' Khi ta nói mặt phẳng ( P ) chia khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' thành hai khối lăng trụ ABD A ' B ' D ' BCD.B ' C ' D ' Tương tự ta chia tiếp khối trụ ABD A ' B ' D ' thành ba khối tứ diện: ADBB ', ADB ' D ' AA ' B ' D ' Nhận xét: Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Về phía ngồi khối lăng trụ ta ghép thêm khối lăng trụ tam giác với khối lăng trụ cho, cho hai khối lăng trụ có chung mặt bên Hỏi khối đa diện lập thành có cạnh? A B 12 C 15 D 18 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụ đứng tứ giác nên có 12 cạnh Câu Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Về phía ngồi khối chóp ta ghép thêm khối chóp tứ diện có cạnh a, cho mặt khối tứ diện trùng với mặt khối chóp cho Hỏi khối đa diện lập thành có mặt? A B C D Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụ tam giác nên có mặt Câu Tứ diện có mặt phẳng đối xứng A B C D Hướng dẫn giải Giả sử (P) mặt phẳng đối xứng tứ diện S.ABC, phép đối xứng qua D (P) biến tứ diện thành nó, biến đỉnh thành đỉnh lại Với đỉnh S ta có trường hợp sau D(P) (S) = S ba điểm lại phải có điểm bất động, điểm A (P) qua SA, hai điểm B C đối xứng với qua phép đối xứng D(P) nên (P) mặt phẳng trung trực của CB Nếu thay A B C ta có kết tương tự Tóm lại tứ diện ABCD có mặt phẳng đối xứng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Các Mặt Phẳng Đối xứng Của Một Tứ Diện Đều Vậy chọn đáp án C Câu Hình lập phương có mặt phẳng đối xứng ? A B C D Hướng dẫn giải Hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có mặt phẳng đối xứng Ba mặt phẳng trung trực cạnh AB, AD, AA ' Sáu mặt phẳng chứa đường chéo hình lập phương Các Mặt Phẳng Đối Xứng Của Hình Lập Phương Vậy chọn đáp án D Câu Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là: A B C http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D Hướng dẫn giải Các Mặt Phẳng Đối Xứng Hình Bát Diện Đều Vậy chọn đáp án D Quy luật tìm mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên từ trung điểm cạnh mà tìm Đảm bảo chọn mp đối xứng điểm dư phải chia phía Ví dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng điểm S S' điểm dư lại phải đối xứng qua ABCD Nếu chọn SBS'D điểm dư A C đối xứng qua SBS'D, r r Câu Trong không gian cho hai vecto u v Với M điểm bất kỳ, ta gọi M ảnh M qua phép Tur M2 ảnh M1 qua phép Tvr Khi phép biến hình biến điểm M thành đểm M2 là: r r r A Phép tịnh tiến theo vecto u + v B Phép tịnh tiến theo vecto u r C Phép tịnh tiến theo vecto v D Một phép biến hình khác Hướng dẫn giải Theo định nghĩa phép tịnh tiến vecto uuuuur r uuuuur r r Tur ( M ) = M ⇔ MM = u  uuuuur uuuuuur r r uuuuuur r  ⇒ MM + M 1M = u + v ⇔ MM = u + v Tvr ( M ) = M ⇔ M 1M = v  r r Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành điểm M2 phép tịnh tiến theo vecto u + v Vậy chọn đáp án A Câu Có phép tịnh tiến biến đường thẳng thành nó? A Khơng có B C Hướng dẫn giải Chọn đáp án D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D Vô số Câu Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Có phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b? A Khơng có B C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Câu Trong không gian cho (P) (Q) hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Khơng có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) B Có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) C Có hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) D Có vơ số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Câu 10 Trong không gian cho hai tam giác ABC A'B'C' (AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C') Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Không thể thực phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác B Tồn phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác C Có nhiều hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác D Có thể thực vơ số phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác Hướng dẫn giải Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực phép tịnh tiến biến ΔABC thành ΔA'B'C' phải có điều kiện, hai tam giác ABC A'B'C' phải nằm hai mặt phẳng song song (hoặc trùng nhau) uuur uuuur uuur uuuuu r AB = A ' B, AC = A ' C ' r uuuur Khi phép tịnh tiến theo vecto u = A ' A biến ΔA'B'C' thành ΔABC phép tịnh tiến theo vecto r uuuur v = A ' A biến ΔA'B'C' thành ΔABC Như có hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác Câu 11 Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' Gọi I, J lần luợt trung điểm cạnh AD, BC Phép tịnh r uuur tiến theo vecto u = AD biến tam giác A'IJ thành tam giác A C'CD B CD'P với P trung điểm B'C' C KDC với K trung điểm A'D' D DC'D' Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Gọi T phép tịnh tiến theo vecto r uuur u = AD Ta có T ( I ) = D, T ( J ) = C , T ( A ' ) = K Vậy T ( ∆A ' IJ ) = ∆KDC Vậy chọn đáp án C Câu 12 Cho hai mặt phẳng (α) (β) song song với Với M điểm bất kỳ, ta gọi M ảnh M qua phép đối xứng Đ α M ảnh M1 qua phép đối xứng Đ β Phép biến hình f = Đ α o Đ β Biến điểm M thành M2 A Một phép biến hình khác B Phép đồng C Phép tịnh tiến D Phép đối xứng qua mặt phẳng Hướng dẫn giải Gọi I, J MM , M 1M ( I ∈ ( α ) , J ∈ ( β ) ) trung điểm Ta có: uuuuur uuuu r Dα ( M ) = M ⇒ MM = IM uuuuuur uuuur Dβ ( M ) = M ⇒ M 1M = 2M J Suy ra: uuuuur uuuu r uuuur uu r r MM = IM + M J = IJ = u (không đổi) r Vậy M ảnh M qua phép tịnh tiến u ( ) Vậy chọn đáp án D Câu 13 Trong không gian tam giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Hướng dẫn giải Trong không gian, với tam giác ABC có bốn mặt phẳng đối xứng Đó là: Ba mặt phẳng trung trực ba cạnh mặt phẳng chứa ΔABC Vậy chọn đáp án D Câu 14 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có kích thước a, b, c (a < b < c) Hình hộp chữ nhật có mặt đối xứng A B C D Hướng dẫn giải Hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có mặt đối xứng, mặt phẳng trung trực AB, AD, AA' Vậy chọn đáp án C Câu 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với (ABCD) Hình chóp có mặt đối xứng nào? A Khơng có B (SAB) C (SAC) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D (SAD) Hướng dẫn giải Ta có: BD ⊥ ( SAC ) O trung điểm BD Suy (SAC) mặt phẳng trung trực BD Suy (SAC) mặt đối xứng hình chóp, mặt phẳng Vậy chọn đáp án C Câu 16 Trong không gian cho hai điểm I J phân biệt Với môi điểm M ta gọi M ảnh M qua phép đối xứng tâm DI, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm D J Khi hợp thành D I DJ biến điểm M thành điểm M2 A Phép đối xứng qua mặt phẳng B Phép tịnh tiến C Phép đối xứng tâm D Phép đồng Hướng dẫn giải Ta có: uuuuur uuuu r DI ( M ) = M ⇒ MM = IM uuuuuur uuuur DJ ( M ) = M ⇒ M 1M = 2M J Do đó: uuuuur uuuu r uuuur uu r MM = IM + M J = IJ (không đổi) ( ) r uu r Vậy M2 ảnh M qua phép tịnh tiến theo vecto u = IJ Vậy chọn đáp án B Câu 17 Trong hình đây, hình khơng có tâm đối xứng A Hình hộp B Hình lăng trụ tứ giác C Hình lập phương D Tứ diện Hướng dẫn giải • Hình hộp có tâm đối xứng giao điểm bốn đường chéo • Hình lăng trụ tứ giác đều, hình lập phương hình hộp đặc biệt nên có tâm đối xứng • Tứ diện khơng có tâm đối xứng Thật vậy, giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng O Nhận thấy đỉnh A, B, C, D tâm đối xứng tứ diện ABCD, nên ảnh A qua đối xứng tâm O ba đỉnh lại, DO (A) = B O trung điểm AB, trung điểm AB tâm đối xứng ABCD Câu 18 Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng A B C Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng là: (SAC), (SBD), (SMN), (SIJ) , với M, N, I, J trung điểm AB, CD, DA, BC Vậy chọn đáp án D Câu 19 Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' tâm O (tâm đối xứng) Ảnh đoạn thẳng A'B qua phép đối xứng tâm DO đoạn thẳng A DC' B CD' C DB' D AC' Hướng dẫn giải Ta có DO ( A ' ) = C ; DO ( B ) = D ' Do DO ( A ' B ) = CD ' Vậy chọn đáp án B Câu 20 Trong không gian cho hai đường thẳng song song a b Với môi điểm M ta gọi M ảnh M qua phép đối xứng tâm Da, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm D b Khi hợp thành D a o Db biến điểm M thành điểm M2 A Phép đối xứng trục B Phép đối xứng qua mặt phẳng C Phép đối xứng tâm D Phép tịnh tiến Hướng dẫn giải Gọi I, J trung điểm MM1, M1M2 Các điểm M, M1, M2, I, J nằm mặt phẳng (P) vng góc với a b I J Ta có: uuuur uuuu r DI ( M ) = M ⇒ MM = IM uuuuuur uuuur DJ ( M ) = M ⇒ M 1M = 2M J uuuuur uuuu r uuuur uu r r Suy ra: MM = IM + M J = IJ = u (không đổi) ( ) Vậy chọn đáp án D Câu 21 Trong không gian cho hai hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Vói điểm M ta gọi M ảnh M qua phép đối xứng tâm D α, M2 ảnh M qua phép đối xứng tâm D β Khi hợp thành Dα o Dβ biến điểm M thành điểm M2 A Phép tịnh tiến B Phép đối xứng qua mặt phẳng http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word C Phép đối xứng tâm D Phép đối xứng trục Hướng dẫn giải Gọi I, J, O trung điểm MM 1, M1M2, MM2 (với MM ⊥ ( α ) I ∈ ( α ) , M 1M ⊥ ( β ) J ∈ ( β ) ) Ta có: IO / / M 1M nên IO ⊥ ( β ) , gọi a giao tuyến (α) (β) IO ⊥ a O ∈ a Suy hai điểm M M2 đối xứng qua đường thẳng a Vậy hợp thành Dα o Dβ biến điểm M thành điểm M phép đối xứng qua đường thẳng a Vậy chọn đáp án D Câu 22 Tứ diện có trục đối xứng A Khơng có B C D Hướng dẫn giải Tứ diện có ba trục đối xứng ba đường thẳng qua trung điểm cặp cạnh đối Vậy chọn đáp án D Câu 23 Hình chóp tứ giác có trục đối xứng? A Khơng có B C D Hướng dẫn giải Hình chóp tứ giác có trục đối xứng trục đường tròn ngoại tiếp đáy Vậy chọn đáp án B Câu 24 Hình vng có trục đối xứng? A B C D Hướng dẫn giải • Trong khơng gian, hình vng có trục đối xứng, là: • Hai đường thẳng chứa hai đường chéo AC, BD • Đường thẳng qua trung điểm AB, CD đường thẳng qua trung điểm AD BC • Trục ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp hình vng Vậy chọn đáp án D Câu 25 Tìm mệnh đề mệnh đề sau A Nếu hình H có trục đối xứng có tâm đối xứng B Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng C Nếu hình H có mặt đối xứng có trục đối xứng có tâm đối xứng D Nếu hình H có mặt đối xứng có tâm đối xứng nằm mặt đối xứng có tâm đối xứng Hướng dẫn giải • Hình chóp tứ giác có trục đối xứng, khơng có tâm đối xứng Như A sai • Hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) có mặt phẳng đối xứng (SAC), hình chóp khơng có trục đối xứng Như B sai http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word • Hình chóp tứ giác có mặt đối xứng có trục đối xứng, khơng có tâm đối xứng Như C sai Vậy chọn đáp án D DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Lồi VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện giới hạn (H) gọi đa diện lồi (Hình 2.1) Lưu ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mơi mặt phẳng qua mặt (Hình 2.2) Cơng thức ƠLE: Trong đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt Đ – C + M = II KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Quan sát khối tứ diện (Hình 2.2.1), ta thấy mặt tam giác đều, đỉnh đỉnh chung ba mặt Đối với khối lập phương (Hình 2.2.2), ta thấy mặt hình vng, đỉnh đỉnh chung ba mặt Những khối đa diện nói gọi khối đa diện http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {p;q} Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó khối đa diện loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, loại {3,5} Tùy theo số mặt chúng, năm loại khối đa diện kể theo theo thứ tự gọi khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt Khối mười hai mặt Khối hai mươi mặt Nhận xét: • Hai khối đa diện có số mặt có cạnh • Hai khối đa diện có số mặt đồng dạng với Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Kứ diện {3, 3} Khối Lập Phương 12 {4, 3} Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4} Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3} http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Trong khối đa diện đây, khối có số cạnh số lẻ? A Khối chóp; B Khối tứ diện; C Khối hộp; D Khối lăng trụ Hướng dẫn giải • Khối chóp n- giác có tổng số cạnh 2n • Khối tứ diện có cạnh • Khối hộp có 12 cạnh • Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ số cạnh 3n, số lẻ Ví dụ: xét lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có cạnh số lẻ Vậy, Chọn đáp án D Câu Trong khối đa diện đây, khối có số mặt ln số chẵn? A Khối lăng trụ; B Khối chóp; C Khối chóp cụt; D Khối đa diện Hướng dẫn giải • Khối lăng trụ n-giác với n số lẻ có số mặt n + số lẻ Ví dụ: Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có số mặt • Khối chóp n-giác với n số chẵn, số mặt n +1 số lẻ Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác số mặt • Khối chóp cụt: Tương tự khối lăng trụ Ví dụ: Khối chóp cụt tam giác có số mặt http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 20 {3, 5} • Trong khơng gian ba chiều, có khối đa diện đều, chúng khối đa diện có tất mặt, cạnh góc đỉnh Chúng giới thiệu hình đây: Năm khối đa diện Tứ diện Khối lập phương Khối tám mặt Khối mười hai mặt Khối hai mươi mặt Tên chúng gọi theo số mặt khối tương ứng 4, 6, 8, 12, 20 Các khối có số mặt chẵn Vậy chọn đáp án D Câu Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Khối tứ diện có cạnh B Khối lập phương có 12 cạnh C Số cạnh khối chóp D Khối mặt có cạnh chẵn Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Vì khối mặt có tất 12 cạnh Ta nhắc lại sau: Mỗi khối đa diện xác định bới ký hiệu {p, q} p = số cạnh mặt (hoặc số đỉnh mặt) q = số mặt gặp đỉnh (hoặc số cạnh gặp đỉnh) Kí hiệu {p, q} đặc trưng số lượng khối đa diện Ký hiệu {p, q} năm khối đa diện cho bảng sau Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Ký hiệu {p, q} Khối diện {3, 3} Khối Lập Phương 12 {4, 3} Khối Tám Mặt Đều 12 {3, 4} Khối Mười Hai Mặt Đều 20 30 12 {5, 3} http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khối Hai Mươi Mặt Đều 12 30 20 {3, 5} Lời bình: Ta dùng phương pháp loại trừ sau A Khối tứ diện có cạnh Đúng có cạnh bên + cạnh đáy Như tổng B Khối lập phương có 12 cạnh Đúng có cạnh bên + mặt đáy (mỗi mặt cạnh) Vậy tổng 12 C Số cạnh khối chóp chẵn Đúng Ta lấy ví dụ sau Chóp tam giác có cạnh, chóp tứ giác có cạnh, Vậy D sai Chọn D Câu Trong khối đa diện lồi với mặt tam giác, gọi C số cạnh M số mặt hệ thức sau đúng? A 2M = 3C B 3M = 2C C 3M = 5C D 2M = C Hướng dẫn giải Vì mặt tam giác có M mặt, nên số cạnh 3M Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên C= 3M Vậy 2C = 3M Vậy chọn đáp án B Câu Trong khối đa diện lồi mà đỉnh chung ba cạnh, gọi C số cạnh Đ số mặt hệ thức sau đúng? A 3Đ = 2C B 3Đ = C C 4Đ = 3C Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D C = 2Đ Vì có Đ đỉnh, mà đỉnh có cạnh chung nên số cạnh 3Đ Mà cạnh có đỉnh nên ta có C = 3D Vậy 2C = 3D Vậy chọn đáp án A Câu Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, mặt Vậy khối đa diện có cạnh? A 12 B 15 C 18 D 20 Hướng dẫn giải Áp dụng định lí Ơle: Ð−C + M = ⇔ 10 − C + = ⇔ C = 15 Vậy chọn đáp án B Câu Khối 12 mặt {mỗi mặt ngũ giác đều} có cạnh? A 16 B 18 C 20 D 30 Hướng dẫn giải Vì mặt ngũ giác có M mặt {M=12} Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên C= 5M 5.12 = = 30 2 Chọn đáp án D Câu Khối 20 mặt {mỗi mặt tam giác đều} có cạnh? A 16 B 18 C 20 D 30 Hướng dẫn giải Vì mặt tam giác có M mặt {M=20} Nhưng cạnh cạnh chung hai mặt nên C= 3.20 = 30 Chọn đáp án D Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Số đỉnh số mặt hình đa diện ln nhau; B Tồn hình đa diện có số đỉnh số cạnh nhau; C Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh D Tồn hình đa diện có số cạnh số mặt Hướng dẫn giải A Số đỉnh số mặt hình đa diện ln Mệnh đề sai Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C': Có mặt có đỉnh B Tồn hình đa diện có số đỉnh số cạnh Là mệnh đề Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác C, D khơng thể xảy Nên mệnh đề sai http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số cạnh hình đa diện ln A Lớn B lớn C lớn D lớn Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh Câu 11 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số đỉnh, mặt hình đa diện A Lớn B lớn C lớn D lớn Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Ví dụ hình chóp tam giác hình tứ diện cạnh số mặt Câu 12 Cho đa diện (H) có tất mặt tam giác Khẳng định sau đúng? A Tổng mặt (H) số chẵn B Tổng mặt (H) gấp đôi tổng số đỉnh (H) C Tổng số cạnh (H) số không chia hết cho D Tổng số cạnh (H) gấp đôi tổng số mặt (H) Hướng dẫn giải Gọi tổng số mặt (H) M tổng số cạnh (H) C Ta có: 3M = 2C Suy M số chẵn Vậy chọn đáp án A Ví dụ: Xét hình tứ diện ABCD • Tổng mặt (chẵn) • Tổng mặt 4, tổng đỉnh Như vậy, tổng mặt gấp đôi tổng số đỉnh của, nên mệnh đề sai • Tổng cạnh 6, số chia hết cho Như câu C sai • Tổng số cạnh 6, tổng mặt Như tổng cạnh gấp đôi tổng mặt Câu 13 Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đơi số đỉnh A Khối 20 mặt B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối 12 mặt Hướng dẫn giải Khối bát diện có cạnh 12 có số đỉnh Nên chọn đáp án C Câu 14 Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số đỉnh số mặt A Khối 12 mặt B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối tứ diện Hướng dẫn giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Khối tứ diện có số mặt số đỉnh Vậy chọn đáp án D Câu 15 Cho đa diện (H) có tất mặt tứ giác Khẳng định sau đúng? A Tổng số cạnh (H) tổng số mặt (H) B Tổng mặt (H) tổng số đỉnh (H) C Tổng số cạnh (H) số chẵn D Tổng số mặt (H) số lẻ Hướng dẫn giải Gọi tổng số mặt (H) M tổng số cạnh (H) C Ta có: 4M = 2C ⇒ C = 2M Suy C số chẵn Vậy chọn đáp án C Ta kiểm nghiệm sau: Xét hình lập phương ABCD.A'B'C'D' • Tổng cạnh 12, tổng mặt Như đáp án A sai • Tổng mặt 6, tổng đỉnh Như đáp án B sai • Tổng mặt (chẵn) Như đáp án D sai Câu 16 Mỗi đỉnh bát diện đỉnh chung cạnh? A B C Hướng dẫn giải Ta thấy đỉnh đỉnh chung cạnh Ví dụ: Xét đỉnh B, B đỉnh chung cạnh: BA, BS, BC, BS' Vậy chọn đáp án B Câu 17 Cho khối đa diện Khẳng định sau sai A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện loại {4;3} D Số cạnh bát diện 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word D Hướng dẫn giải Khối bát diện loại {3;4} Vậy chọn đáp án C Câu 18 Cho khối chóp có đáy n-giác Mệnh đề sau đúng? A Số mặt khối chóp 2n B Số cạnh khối chóp n+2 C Số đỉnh số mặt n+1 D Số đỉnh khối chóp 2n+1 Hướng dẫn giải Vậy chọn đáp án C Câu 19 Khối đa diện lồi có số mặt nhiều là: A 12 B 30 C D 20 Hướng dẫn giải Đa diện lồi có số mặt nhiều đa diện 20 mặt có 30 cạnh Vậy chọn đáp án D Câu 20 Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Khối đa diện khối đa diện có tất cạnh B Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác C Khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác cạnh D Có vơ số khối đa diện lồi khơng có số cạnh Hướng dẫn giải Vậy chọn đáp án C Câu 21 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Hình lập phương đa diện B Tứ diện đa diện lồi C Hình hộp đa diện lồi D Hình tạo hai tứ diện chung đáy ghép với đa diện lồi Hướng dẫn giải • Hình lập phương chắn chắn đa diện nên mệnh đề A • Tứ diện đa diện lồi mệnh đề http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word • Hình hộp đa diện lồi, mệnh đề Vậy chọn đáp án D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Lồi VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện giới hạn (H) gọi đa diện. .. khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa. .. Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {p;q} Nhận xét: Các mặt khối đa diện đa giác