Đang tải... (xem toàn văn)
Trong d ng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thức nào đó thường là hệ thứ[r]
CHUYEN DE SO PHUC Kiến thức Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bï z° = a' + b”¡ Ta định nghĩa: Z+z'=(a+a)+(b+b}i {ee (a—=a)+(b—b}i Zz'= qa — bb + (ab — a`b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z= a + ð¡ #0 (ức a“+bŸ > 0) Ta định nghĩa số nghịch đảo z” số phức z # số LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO MR HIỆP : 096.79.79.369 2.1 Dạng 1: Các phép toán số phức , Ví dụ 1: Cho sơ phức z = Tai Giải: *Wz= X2 1z 2 =2.1, , Tính sơ phức sau: - z; z7; - (z y; l+z+z7 —43 (B(0;-1),C(4;-1) +i) Tìm tập hợp điểm biểu diễnA = |: +2iz „ biết x— y—1=0 t=4=> B(4,-1),C(0;-1) Gia stt z, =x+yi x,y €R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có: Np = (a,b,c),a° +b? +c’ £0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z„ đường tròn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện lz —2— il = | Z— 2i| Tìm số phức z có mơđun nhỏ Giả sử số phức z cần tìm có dạng z=x + yi Ta c6|x-2+(y—4)i]=|x+(y-2)i] (x,y e R) biểu diễn điểm M(x;y) fx 29 +(y-4)? =f? + (9-2 y=-—x+4 Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thắng x + y=4 Mặt khác |z|= f/x? + y? = Vx? +27 -8x +16 = V2x? -8x416 Hay |z|=a|2(x—2}+8 >2v® Dat Z= xt yl (X, y © A) taco u= | (x+3)+(y-1)i |] (x +1)-(y-3)i | =x’ +y?+4x—-4y+6+ 2(x y-4)i Tacé: ue RS x-y-4=0 Tập hop cac diém biéu dién ctia z la duong thang d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mơ đun z nhỏ độ dai OM nho nhat OM L đ Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Iz( + i) —3+ 2i| = Giai Gọi z—x+ yi(x,y€ R)>z =x— Vi v13 Fd +i)-342)= > ox? + y? 5y =0 Goi M (x:y) điểm biểu diễn z mặt phắng tọa độ Oxy = M e (C) đường trịn có tâm 26 ICL:>)và bán kính ®=—— 2'2 Gọi d đường thăng qua O [ > d:y=5x Gọi M¡, M; hai giao điểm d va (C) > M, as) OM, > OM, Ta tha * lo =OI + vaM, Co) R>OM(M e(€)) : gk ek ger 15, —>sơ phức cân tìm ứng với điêm biêu diễn MỊ hay z = + a! Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biêu diễn số phức z cho u = z+2+3¡ sô thuân ảo Z—I Giải LIEN HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO'NG CAO MR HIEP : 096.79.79.369 , Ộ u số ảo chi Ẫ x“+y +2x+2y-3=0 x +(y-1) >0 S x+1) (x+1) +(v4+1yY +(y +1) =5 (x; y) # (051) Vay tap hop cac diém biéu dién ctia z đường tròn tâm I(-1:-1), bán kính V5 > trừ điểm (0:1) Bài (tâp tự luyện Bài Giả sử M(2) điểm mặt phăng tọa biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M2) thỏa mãn điêu kiện sau a) |e+(=30|=|e+3—2j| — b 2|z-j|=|z-z+2j| A ©)|z=(3-42|=2 ⁄ x Bài Trong sô phức thỏa mãn lz —2+ 3i = Tìm sơ phức z có médun nho nhat xe Bài Trong mặt phăng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: |z —I | = E — 3i- Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mơdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện |z —2— il = |z —2i| Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện |z +ÌT— 5i| = E +3- Tìm số phức z có mơđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn lz —2— i = V52, tìm số phức z mà |z —4+2iJ nhỏ nhật Bài Tìm số phức Z có mơ đun lớn thỏa mãn điều kiện Trong tất số phức z thỏa mãn |z —2+ 2i| =1, tìm số phức có H nhỏ Bài § Trong sơ phức z thỏa mãn điêu kiện (+z, —I =1.Tim so phuc c6 m6 dun nho nhất, LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO ME HIỆP : 099,79.79.369 +) Nếu w = > w có bậc hai +) Nếu w=a>0(a € R) > wo hai can bac hai la Va +) Néu w=a wc hai bậc hai va-Va J—ai va -J—ai +) Néu w=a + bi (b# 0) Giả sử z =x +yi (x, y thuéc R) la mot can bac hai cia W © = w © (xtyi)’=a + bi = x? _ y? -~a 2xy =b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mơi sơ phức khác có hai bậc hai hai sơ đơi Ví dụ: Tìm bậc hai sô phức sau: a) 4+6A5i b) -1-2V6i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bac hai cha w = 4+ 6V5i Khi đó: z?= w © (x+yj)?= 4+ 645 vxy s4 [ye 2xy=6 x°T Ko © | =4 (2) (2) ©xỶ!- 4x”°— 45=0x”=0x=+3 xXx=3>y= V5 x=-3>y=-J5 Vậy số phức w =4 + 6^/5 ¡ có hai bậc hai là: zr=3+ 5i z2 = -3 -^|5ï 2) Giả sit z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 V6 i LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO MR HIỆP : 096.79.79.369 Vậy số phức w =4 + 64/5 ¡ có hai bậc hai là: z¡ = 42 -^3/3i Zo = -/2 +3 i 2.5.2 Vẫn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phuong trinh bac hai: Az* +Bz +C = (1) (A, B, C e C, A¥0) Phuong phap: Tinh A = B*—4AC *) Néu A # phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z¡ = “Bro ,Z2= — (trong õ bậc hai cua A) *) Néu A = phương trình (1) có nghiệm kép: z¡ = Z2 = ¬ Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập sơ phức a)z°—z+l1=0 Giải: b) x°+2x+5=0 €)z°+2z”-3=0 a) z’—-z+1=0 vA=l-4=-3=3/7 vx bậc hai A +iJf3 vx Phương trình có nghiệm: z¡ = 1+iV3 43 =—†_——I 2 43 Z;=————I 2 b)x °+2x+5=0 ¥ A=4-20=-16=16i" ¥ Can bac hai cua A 1a +47 Vv Phuong trinh co nghiém: x, =—1-—2i, x, =—1+2i c) z+2z7 -3=0 ¥ datt=z v Phương trình trở thành: LIEN HE MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO MP HIEP : 096.79.79.369 b) z+ (1-3i)z— 2(1 + i) = (tham khdao) Giải: a) Xét phương trình: z” + 2z + =0 Ta có: A = -4 = 47° = phương trình có hai nghiệm: z¡ = -1 +2i z¿ = -l — 2i b) Ta có: A = (1-31)? +8(1+i) = 2i = (14i)” nén 1+i 1a mét can bac hai cua s6 phitc 21 31-14+1+4+i — Phương trình có hai nghiệm là: z¡ = ——————=2i;Z¿= 31-1-1-i ———— Vi du 3: Goi z va za hai nghiệm phức phương trình z” +2z+10=0 A=|z| Giai: Ta co +|z,| =-l+i Tính giá trị biểu thức +2z+10=0(z+1) =-9(z41) =(3i) z=-143i z=-l-ải ä ==1+3i =|a|=a|(IŸ +3? =x10 Z2 =—1~3i =|z;|= v10 Vay A= Fan +|z) = 20 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z” — 6z +13 = 0Tính z+—— Zt+l - Giải: ?—6z+13=0 -3\' c°~6+13=0©(z—3ÿ =-4 -3Ý = (27) =-4s(s—3) =| Zz=3+2¡ LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO MR HIỆP : G96.79.79.369 Giải Điều kiện: z—Ï Phương trình cho tương đương với zˆ — (4 + 3i ) z+14+7i=0 Phương trình có biệt thức A =(4+3/} —4(1+7i)=3-4i =(2-i) Phương trình có hai nghiệm là: z = Ï+ 2¡ z=3+¡ > Bài tập tự luyện Bail Cho z„ z, nghiệm phức phương trình 2z” —4z+11=0 Tính giá trị biêu thức _ la +Ìs:] (z,+2z,)° q + i) 2009 Bai2 Giai phuong trinh: z* — Bài Gọi z,:z, nghiệm phức phương trình: zZ”“—4z+5=0.Tính: q _— iy* z+2¡ =0 tập số phức (Tham khảo) (— ĐẾ” +( 2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai - Đối với dang ta thường øặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), ngun tặc ta găng phân tích trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc nhật bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta có thê đặt ân phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biệt cách giải q Plhurơng pháp phân tích thành nhân từ Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: zˆ — zÌ+z”—6z—16=0 Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-l z=2 Phương trình cho tương đương với (z — 2)(z + )(£ Giải ta bốn nghiệm: z=-—Ï; + 8) =0 z= 2; z= +24/2i Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z + (2— 20z” + (5 — 4i)z — 10i = (1)biết phương trình có nghiệm thuân ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yI vớiy c R Phuong trinh (1) c6 dang: (iy)’ + (2i-2)(yi)? + (5-4i)(yi) — 10i= © -iy` — 2y” + 2iy” + 5iy + 4y— 10i=0=0+0i đồng hoá hai ta được: L7 táy=6 —y'+2y*+5y-10=0 giải hệ ta nghiệm y = Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 21 = vé trái (1) phân tích dạng: z”+(2—202Z”+(5—4jz— I0i =(z—20ŒŸ +az+b) (a,be R) đồng hoá hai ta giải a= b = =(1)©(z-200”+2z+5)=0© £= 2j +, Z=2I 41 zZ+2z+5=0 ©4z=-I-2i z=-l+2¡ Vậy phương trình (1) có nghiệm TÊN HỆ MUA FILE WGRD TOÁN CHẤT LƯƯỢNG CAO MR HIEP : 096.79.79.369 & eee S% =-2 Khi ta có phương trình (z+2)(z ~(5-i)z+8-i) =0 Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ 1; z= 3- 21 Ví dụ 5: Giải phương trình zÌ— (2 — 3i)z + 3“ — 2i)z + 9i =O biét rang phuong trinh co nghiệm thuan ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, be R Thay vào phương trình ta được: (bi) —(2-3i)(bi) +3(1-2i)(bi) +91 =0 ; â 2b +6b+(b 3b +3b+9]i =0 2b? + 6b =0 œb=-3 ~b3—3b?+3b+9 =0 >z=-3i Phương trình có thê phân tích (z+ 3i)(z? -2z+3)=0 Các nghiệm phương trình z= -31; z = l+ V2i b Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (Z” + z)” + 4(Z + z) -12= Giải: Dat t =z’ + z, phương trình cho có dạng: a —l+ V23i LIEN HE MUA FILE WGRD TSAN CHAT LUO'NG CAO MR HIEP : 096.79.79.369 Vi du 2: Giai phuong trinh sau trén tap sé phire (z* + 3z +6)” + 2z(z* + 3z +6) — 3z°=0 Giải: Đặt t = zˆ + 3z +6 phương trình cho có dang: t+2zt— 3zˆ = ©(t— z)(+3z) =0 , Noten t=zZz =z 4ter6-1=00742066=065] = ae Vậy phương trình cho có nghiệm z 14+VJ5i z 1-VJ5i z=-3+3 z=-3-/3 Vi du 3: Giai phuong trinh: (z* — z)(z+3)(z+ 2) =10,z€C Giải: PTS z(z+2)(z—(z£+3)=10 t=5 z=-l+6 Vậy phương trình có nghiệm: z=—1+ V6 ;z=-lti Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức z” — z` + > +z+l=0_ (tham khảo) LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO MR, HIỆP : 096.79,79.369 Phương trình (2) có dạng: =0 @) A=1-4.2=-9=97 PT (3) co nghiém t= Với t= 1437 I-31 t3 t= 2 tải ta CÓ Z——= < 1+3; TỶ —2z?—(1+3/)z—2=0@) Có A=(I+3)”+16=8+6¡=9+6ï+¡ =(3+0)7 PT(4) có nghiệm: Voi te 013011) taco z—-—= — xj iy ie (43) - G+) & 22° -(1-3i)z-2=0(4) = inl ... 2x+3y+lI=3x-2y+2 b) Theo gia thiét ta co: —x+5y=1 & —x+2y=4x-y-3 —5x+3y=-3 LiEN HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO''NG CAO MR HIEP : 096.79.79.365 > Bai tap tự luyện Bail Tìm số thực x y biết: a) (3x—2)... Giải LIEN HE MUA FILE WORD TOAN CHAT LUO''NG CAO MR HIEP : 096.79.79.369 , Ộ u số ảo chi Ẫ x“+y +2x+2y-3=0 x +(y-1) >0 S x+1) (x+1) +(v4+1yY +(y +1) =5 (x; y) # (051) Vay tap hop cac diém biéu dién... (+z, —I =1.Tim so phuc c6 m6 dun nho nhất, LIÊN HỆ MUA FILE WORD TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO ME HIỆP : 099,79.79.369 +) Nếu w = > w có bậc hai +) Nếu w=a>0(a € R) > wo hai can bac hai la Va +) Néu w=a