103 câu hỏi trắc nghiệm SỐ PHỨC có lời giải chi tiết

Gọi m là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán... Tính tổng của.[r]

(1)

WWW.MATHVN.COM Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Cho số phức z thỏa mãn z2i  z4i

3

z  i  Giá trị lớn biểu thức P z2 là:

A 13 1 B 10 1 C. 13 D 10

Lời giải Chọn C

Gọi M x y điểm biểu diễn số phức z ta có:  ; 

2

z i  z i x2y22x2y42

y

  ; z 3 3i   điểm M nằm đường tròn tâm I3;3 bán kính Biểu thức P z2 AM A2; 0, theo hình vẽ giá trị lớn P z2 đạt M4;3 nên maxP  4 2 23 0 2  13

Câu 2: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Trong tập số phức, cho phương trình

2

6

z  zm , m    1 Gọi m giá trị 0 m để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt z , 1 z thỏa mãn 2 z z1 1z z2 2 Hỏi khoảng 0; 20 có giá trị  m   ? 0

A 13 B 11 C 12 D.10

Lời giải

Chọn D

Điều kiện để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt là:   9 m0m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt z , 1 z thỏa mãn 2 z z1 1z z2 2  1 phải có nghiệm phức Suy  0m

Vậy khoảng 0; 20 có 10 số  m 0

Câu 3: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Gọi số phức za bi , a b  thỏa mãn , 

1

z   1iz1 có phần thực đồng thời z khơng số thực Khi a b : A a b   B a b  C. a b  D a b  

Theo giả thiết z   1 a12b21

(2)

WWW.MATHVN.COM

Giải hệ có từ hai phương trình kết hợp điều kiện z không số thực ta

a  ,b  1 Suy a b  1 Trình bày lại

Theo giả thiết z   1 a12b21 1

Lại có 1iz1a b 1  a b 1i có phần thực nên

a b b

   



  

2 Giải hệ có từ hai phương trình ta a  ,1 b  1

Suy a b  1

Câu 4: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Cho số phức z thoả mãn1 i

z



số thực

z m với m   Gọi m giá trị m để có số phức thoả mãn tốn 0

Khi đó:

A 0 0;1

m   

 

B 0 1;1

2

m   

 

C 0 3;

2

m   

 

D. 0 1;3

2

m   

 

Lời giải Chọn D

Giả sử za bi , a b   , 

Đặt: w 1 i

z



  1 i

a bi



 2  

1

a b a b i

a b

     

 2 2

a b a b

i

a b a b

 

 

 

w số thực nên: ab  1

Mặt khác: a 2 bi ma22b2 m2  2

Thay 1 vào 2 được: a22a2 m2 2a24a 4 m2 0  3

Để có số phức thoả mãn tốn PT  3 phải có nghiệm a



   4 4  m2 m22 1;3

2

m 

   

  (Vì m mơ-đun) Trình bày lại

Giả sử za bi ,vì z 0 nên 2

0

a b   *

Đặt: w 1 i

z



  1 i

a bi



 2  

1

a b a b i

a b

     

 2 2

a b a b

i

a b a b

 

 

 

w số thực nên: ab  1 Kết hợp  * suy ab 

Mặt khác: a 2 bi ma22b2 m2  2 .(Vì m mô-đun nên m  ) 0 Thay 1 vào 2 được: a22a2 m2 g a 2a24a 4 m20  3 Để có số phức thoả mãn tốn PT  3 phải có nghiệm a  0 Có khả sau :

KN1 : PT 3 có nghiệm kép a  0 ĐK:

 

2

0

2

0

m

g m



  

  

 

  

 

  

 

 

(3)

WWW.MATHVN.COM

ĐK:

 

2

0

2

0 4 0

m

g m



  

  

 

  

 

  

 

 

Từ suy 0 1;3

2

m  

    

 

Câu 5: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Trong tập hợp số phức, gọi z , 1 z 2

nghiệm phương trình 2017 0

4

z  z  , với z có thành phần ảo dương Cho số phức z 2

thoả mãn zz1  Giá trị nhỏ P zz2

A. 2016 1 B 2017

2 

C 2016

2 

D 2017 1

Lời giải Chọn A

Xét phương trình 2017

4

z  z 

Ta có:   2016  phương trình có hai nghiệm phức

1

2

1 2016

2

1 2016

2

z i



 

  

 

 

Khi đó: z1z2 i 2016

   

2 1 2 2016

zz  zz  z z  z z  zz P 

Vậy Pmin  2016 1

Câu 6: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Gọi S tập hợp số thực m cho với mỗi m có số phức thỏa mãn S zm 

4

z

z  số ảo Tính tổng

các phần tử tập S

A 10 B 0 C 16 D.

Cách 1:

Gọi z x iy với ,x y   ta có   

 

2

2 2 2

4 4

x iy x iy x x y iy

z x iy

z x iy x y x y

     



  

      

là số ảo x x 4y2 0x22y24

Mà zm 6x m 2y2 36

Ta hệ phương trình

 

2

2 2

2

2 2

2

36

4 36

36

4

2 4 2

4

m x

m x m

x m y m

m

y x

x y y

m

 

 

        

  

 

  

  

  

  

  

    

   

(4)

WWW.MATHVN.COM

Ycbt

2

36

4

m m

  

    



 

2

36

2

4

m m



  



2

36

2

4

m m



  

 10

m

  m   2 m   6 Vậy tổng 10 6   

Cách 2:

Để có số phức thỏa mãn ycbt hpt  

 

2 2

2

36

2

x m y

x y

   

 

  

 

có nghiệm

Nghĩa hai đường tròn   C1 : x m 2y236   C2 : x22y2 4 tiếp xúc Xét  C có tâm1 I12; 0 bán kính R 1 2, C có tâm2 I2m; 0 bán kính R  2

Cần có : 2

1 2

I I R R

  



 



2

m m

  

 

 

  

6; 6;10;

m

   

Vậy tổng 10 6   

Câu 7: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-) Cho số phức z thỏa mãn z i  Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức wiz  đường trịn Tính bán kính đường trịn i

A r 22 B r 20 C r  4 D. r  5

Gọi w x yi, x y   , 

Ta có: wiz 1 ixyiiz 1 i z(y1) (1 x i) Mà z i 5 y 1 xi 5x2y1252.

Câu 8: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-) Cho số phức thỏa z  Biết tập hợp số phức 3

w z i đường tròn Tìm tâm đường trịn

A. I0;1 B I0; 1  C I  1; 0 D I1; 0

Đặt w x yi x y, ,   

Ta có w  z i xyi z izxy1iz x 1y i Mặt khác ta có z  suy 3 x21y2 9 hay

 2

2 1 9

x  y 

Vây tập hợp số phức w z i đường tròn tâm I0;1

Câu 9: (Đề tham khảo BGD ) Cho số phức za bi a b   thỏa mãn ,  z  2 i z1i

z  Tính Pa b

A P   1 B P   5 C P  3 D P  7

(5)

WWW.MATHVN.COM

     

2

z  i z i   a  b i z i z

   

2

1 1 2

a z a a b

b z b a b



     

 

 

 

    

 

Lấy  1 trừ  2 theo vế ta a b  1 0ba Thay vào  1 ta

 2  

2

a z

a a a a

a a

   



      

  

 

Suy b 4

Do z 3 4i có z   (thỏa điều kiện 5 z  ) 1

Vậy Pa b  3 47

Câu 10: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-) Đường tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện z i  z i ? 

A.Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đường elip D Một đoạn thẳng

Gọi z xiy , (với x y,  ) biểu diễn điểm M x y mặt phẳng tọa độ  ; 

xoy 

Ta có z i  z i xy1i  xy1i

 2  2

2

1

 x  y  x  y y0 (phương trình đường thẳng)

Câu 11: (THTT Số 3-486 tháng 12 )Có số phức z thỏa mãn z  zz 1?

A 0 B 1 C. D 3

Giả sử  z x yi x y,  z  x yi z z 2x

Bài ta có

2

1

2

  



   

  

 

  

    

  

  

x y

z x y

z z x x

Với 1 1

2

       

x y y

Do có số phức thỏa mãn 1

2

 

z i , 2

2

 

z i , 3

2

  

z i , 4

2

  

z i

Câu 12: (THTT Số 3-486 tháng 12 ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 zz2 mặt phẳng tọa độ

A đường thẳng B đường tròn C.parabol D hypebol

(6)

WWW.MATHVN.COM

Bài ta có 2 x 1 yi  2x2 2 x12y2  2x2

 2  2 2 2

1 2

 x y  x x  x y x  x  y  x

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1 zz2 mặt phẳng tọa độ parabol

Câu 13: (THTT Số 3-486 tháng 12 )Tìm giá trị lớn P z2z  z2 z 1 với z số phức

thỏa mãn z 1

A B 3 C. 13

4 D 5

Cách 1: Đặt za bi a b  ,   Do z 1 nên a2b21

Sử dụng công thức: u v u v ta có: z2z  z z 1 z 1 a12b2  2 a

 2    2  2

2 2 2

1 1 2

                  

z z a bi a bi a b a ab b i a b a ab b

 2

2(2 1)2 2 1 2 1

 a a b a  a (vì a2b21)

Vậy P 2a 1 2 a

 TH1:

2  

a

Suy P 2a 1 2 a2 2 a 2 a    3 3 (vì 0 2 a 2)

 TH2:

2  

a

Suy  

2

1 13

2 2 2 2 2

2 4

P a   a    a   a    a    

 

Đẳng thức xảy 2

2

a a

    

Cách 2: Đặt za bi a b  ,   Do  z  nên 1 a2b2 Nhận xét:1 a   1;1

Lập luận cách

   

1

2

1

2 2 ,

2

2 2

1

2 2 ,

2

f a a a a

P a a

f a a a a

 

     

 

     



        

 

Ta có  

1

2 ,

2 2

1

2 ,

2 2

a a

f a

a a

 

  

 



  



    

 



Xét  

8

f a  a

Lập bbt xét dấu f a ta thấy hàm số đạt giá trị lớn 13

7

a 

Câu 14: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần ) Cho số phức z w thỏa mãn

(7)

WWW.MATHVN.COM A maxT  176 B maxT 14 C maxT 4 D. maxT  106

Đặt z x yi x y ,   Do  zw 3 4i nên w3x  4y i

Mặt khác zw  nên zw  2x322y42  4x24y212x16y25  2x22y26x8y28

 1 Suy T  z  w  x2y2 3x24y2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T22 2 x22y26x8y25

 2 Dấu " " xảy x2y2  3x24y2

Từ  1  2 ta có T2 2 28 25    106T  106 Vậy MaxT  106

Câu 15: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần ) Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C ,

D điểm biểu diễn số phức z1   , i z2  1 2i, z3  , i z4  3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S

A. 17

2

S  B 19

2

S  C 23

2

S  D 21

2

S 

Ta có z1   1 i A1;1, z2 1 2iB1; 2, z3  2 i C2; 1 , z4 3iD0; 3 

O

x y

A

B

C

D

1

2

1 

3  

1

3; 2

AC   



13

AC  , n  2;3 véc tơ pháp tuyến AC , phương trình AC :

   

2 x1 3 y1 02x3y  Khoảng cách từ B đến AC là:

 ;  3.2

13 13

d B AC       ;  13 7

2 13

ABC

S  d B AC AC 

Khoảng cách từ D đến AC là:  ;  10

13 13

d D AC    

  ;  10 13

2 13

ADC

S  d D AC AC 

Vậy 17

2

ABC ADC

(8)

WWW.MATHVN.COM Câu 16: (THTT Số 4-487 tháng ) Cho số phức z thoả mãn z 3 4i  5 Gọi M m

giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z22 z i Tính mơđun số phức

wM mi

A w  1258 B. w  1258 C w 2 314 D w 2 309

Lời giải Chọn B

Giả sử za bi ( ,a b   )

 2  2

3 5

z  i   a  b  (1)

   

2 2 2 2

2

P z  z i  a b a  b  a b

  (2)

Từ (1) (2) ta có 20a264 8 P a P222P137 (*) Phương trình (*) có nghiệm    4P2184P1716 0

13 P 33 w 1258

    

Câu 17: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội ) Cho số phức z , biết điểm biểu diễn hình học của số phức z ; iz z i z tạo thành tam giác có diện tích 18 Mô đun số phức z

A 2 B 3 C 6 D 9

Gọi za bi , a b  , nên izai b , z i z a bi b ai   a b a b i  Ta gọi A a b ,  ,  Bb a, , C a b a b  ,  nên AB b a a b,  , ACb a, 

1 ,

S  AB AC 2

2 a b

   1 2 18

2 a b

    a2b2 

Câu 18: (THPT Chun Hồng Văn Thụ-Hịa Bình ) Cho số phức z thỏa mãn z 2 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 3 2i2i z là đường trịn Bán kính R đường trịn ?

A 7 B 20 C 2 D

Ta có w 3 2i2i z

2

w i

z

i

 

 

 Đặt w x yi x y   , 

Khi

2

x yi i

z

i

  





Ta có z 2 2

2

x yi i

i

  

 



 

3

2

x y i

i

  

 



 

3

2

x y i

i

  

 



 

3 2

x y i i

       x 3 y2i 2 x32y22 2 52 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w 3 2i2i z đường trịn có bán kính

2

(9)

WWW.MATHVN.COM Câu 19: (THPT Chun Hồng Văn Thụ-Hịa Bình ) Cho số phức z thỏa mãn 4 z i 3z i 10

Giá trị nhỏ z bằng:

A 1

2 B

5

7 C

3

2 D 1

Gọi za bi a b   Khi đó: , 

4 z i 3z i 4 a2b123 a2b12 4232a2b12a2b12

 

2

10 25 z

    z 

Vậy giá trị nhỏ z 1, đạt 24;

25 25

a b hay 24

25 25

z  i

Câu 20: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N , P điểm biểu diễn số phức z1  , i z2  , i z3  1 3i Khẳng định sau đúng?

A Tam giác MNP cân B Tam giác MNP

C Tam giác MNP vuông D Tam giác MNP vuông cân

M điểm biểu diễn số phức z1  nên tọa độ điểm M 1 i  1;1

N điểm biểu diễn số phức z2  nên tọa độ điểm N 8 i 8;1

P điểm biểu diễn số phức z3 1 3i nên tọa độ điểm P 1; 3 

Ta có MN  7;0, MP 0; 4  nên MN MP

MN MP

 

 

  

 

  hay tam giác MNP vuông M tam giác cân

Câu 21: (THTT số 5-488 tháng 2) Có số phức z thỏa mãn z z 3i

z i z i

 

 

  ?

A 0 B.1 C 2 D 4

Gọi za bi a b   ,  Ta có:

1

z z i

z i z i

   

 

  

 

   

2 2 2

2

1

3

a b a b

     

  

    

 

2

6

a b

b b

    

  

   



1

a b

   

 

Vậy có số phức thỏa mãn z  i

Câu 22: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần ) Số phức z a bi ( với a, b số nguyên) thỏa mãn

(10)

WWW.MATHVN.COM 10

A 9 B. C 6 D 7

Ta có: 1 3i z  1 3i a bi    a 3bb3a i Vì 1 3i z  số thực nên b3a0 b 3a  1

2

z  i   a 2 5b i 1a225b2  2

Thế  1 vào  2 ta có: a225 3 a21

10a 34a 28

   

2

7 (

a b

a

  

  

 

 loại)

Vậy a b   2

Câu 23: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần ) Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2

1 5, 3

z   z   i  z   i Giá trị nhỏ z1z2

A.

2 B

7

2 C

1

2 D

3

Giả sử z1a1b i a b1  1, 1 , z2a2b i a b2  2, 2  Ta có

1 5

z    2

1 25

a b

    Do đó, tập hợp điểm A biểu diễn cho số phức z 1

đường tròn    2

: 25

C x  y  có tâm điểm I  5;0 bán kính R 5

2 3

z   i  z   i a212b232 a232b262

2

8a 6b 35

    Do tập hợp điểm B biểu diễn cho số phức z đường thẳng 2

: 8x 6y 35

   

Khi đó, ta có z1z2 AB

Suy 1 2 min

min

z z  AB d I ;  R  

2

8 6.0 35

  

 



5 

Vậy giá trị nhỏ z1z2

Câu 24: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần ) Cho số phức w x yi, x y   thỏa mãn điều kiện , 

2 4 2

w   w Đặt P8x2y212 Khẳng định đúng?

A.  

2

P  w  B.  

2

P  w  C. P w 42 D.  

2

4

P  w 

Đáp án A B có giá trị nên em sửa đáp án A

A  

2

w

P    B.  

2

P  w  C P w 42 D  

2

4

P  w 

Ta có

4

w  xyi24 x2y22xyi4

 2

2 4 2 4 4 2

w x y x y

(11)

Do

2 4 2

w   w  x2y2424x y2 2 x2y2

x2 y2 42 4x y2 4x2 y2

     

   

4 2 2 2 2

2 16 4

x y x y x y x y x y

        

   

4 2 2 2

2 4 12

x y x y x y x y

         

 22  2  2

4 12

x y x y x y

         x2y2228x2y212

 2  2 2

8 x y 12 x y

        

2

P w

   

Câu 25: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần ) Cho số phức za bi a b   thỏa mãn , 

1

z  i z i Tính Sa3b

A

3

S  B. S   5 C S  5 D

3

S  

Ta có z 1 3i z i0a bi  1 3i i a 2b2 

 2

1

a b a b i

      

2

1

3

a

b a b

     

  

 

 2

1

3

a b

b b

   

     

   

  

1

a

b

     

   

5

S

  

Câu 26: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần ) Biết số phức z thỏa mãn z 3 4i  biểu thức

2

T  z  z i đạt giá trị lớn Tính z

A z  33 B z 50 C z  10 D. z 5

Đặt zxyi, theo giả thiết z 3 4i  x32y42 5  C

Ngoài T  z22 z i 24x2y 3 T 0   đạt giá trị lớn

Rõ ràng  C   có điểm chung 23 13 33

2

T



   

Vì T đạt giá trị lớn nên T 33 suy 4x2y300 y15 2 x thay vào  C ta

2

5x 50x1250x5y Vậy z 5

Câu 27: (THTT số 6-489 tháng 3) Cho hai điểm A , B hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z , 0 z khác 1 thỏa mãn đẳng thức z02z12z z0 1 Hỏi ba điểm O, A , B tạo thành tam giác gì? (O gốc tọa độ)? Chọn phương án đầy đủ

A Cân O B Vuông cân O C.Đều D Vuông O

(12)

WWW.MATHVN.COM 12 Chọn C

Theo giả thiết suy ra: OA z0 , OB z1 AB z1z0

Ta có: 2

0 1

z z  z z  z02z z0 1z120z0z1z02z z0 1z12

3 3

0 0 1

z z z z z z OA OB

         

Xét  2 2

1 0 1

z z z z  z z  z z  z1z02  z1.z0

2

AB OA OB AB OB

   

Vậy ABOBOA hay tam giác OAB tam giác

Câu 28: (THTT số 6-489 tháng ) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ

z i P

z



 , với z số phức khác 0 thỏa mãn z 2 Tính 2Mm

A 2

2

M m B.

2

M m C 2Mm10 D 2M m6

z i P

z



 z i z i

z z

 

  1

2

z

   Dấu xảy z2i Vậy

2

M 

z i P

z



 z i z i

z z

 

  z i

z



 1

2

z

   Dấu xảy z 2i

Vậy

2

m 

Vậy

2

M m

Câu 29: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần ) Cho số phức za bi a b, ,a0 thỏa mãn

1

z  i  z z 10 Tính Pa b

A. P  4 B P   4 C P   2 D P  2

Từ giả thiết z 1 2i  z z 10 ta có hệ phương trình    

2

1

10

a b

    

 

 

 

2

10

a b

 

  

 

  2

2

2 10

a b

b b

 

   

  

 

3

a b

   

  

hay

3

a b

   

  

(loại) Vậy P 4

Câu 30: (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần ) Cho số phức z thỏa mãn z   , số phức w thỏa mãn 1 i

2

w  i  Tìm giá trị nhỏ zw

A 13 3 B. 17 C 17 D 13 3

(13)

Gọi M x y biểu diễn số phức z ;   x iy M thuộc đường trịn  C có tâm 1 I1 1;1 , bán

kính R  1

 ; 

N x y  biểu diễn số phức wxiy N thuộc đường trịn  C có tâm 2 I22; 3 , bán

kính R  Giá trị nhỏ z2 w giá trị nhỏ đoạn MN Ta có I I 1 2 1; 4 I I1 2  17 R1R2  C1  C 2

min

MN

 I I1 2R1R2  17

Câu 31: (THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần ) Cho số phức z1   , i z2  số i

phức z thay đổi thỏa mãn zz12 zz2216 Gọi M m giá trị lớn

giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2m2

A 15 B 7 C 11 D.

Giả sử z x yi x y ,   

Ta có: zz12 zz22 16 xyi 2 i2 xyi 2 i216 x2y124

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I0;1 bán kính

R 

Do m  , 1 M  3

Vậy 2

8

M m 

Câu 32: [2D4 -3](THPT Chuyên Hạ Long-Quãng Ninh lần ) Cho số p , q thỏa mãn điều kiện:p  , 1 q  , 1 1

pq  số dương a , b Xét hàm số:

1

p

yx 

x 0có đồ thị

 C Gọi  S diện tích hình phẳng giới hạn 1  C , trục hoành, đường thẳng x , Gọi a  S2 diện tích hình phẳng giới hạn  C , trục tung, đường thẳng y , Gọi b  S diện

tích hình phẳng giới hạn trục hoành, trục tung hai đường thẳng x , ya  Khi so b

sánh S1S2 S ta nhận bất đẳng thức bất đẳng thức đây?

O x

y

2



1

1 

I

O x

y

yb

1

p

yx  xa

a b

2

S

1

(14)

WWW.MATHVN.COM 14 A

p q

a b

ab

p  q  B

1

p q

a b

ab

p q

 

 

  C

1

p q

a b

ab

p q

 

 

  D.

p q

a b

ab p  q  Lời giải

Chọn D

Ta có: SS1S2

 1

1

0

d

a

a p p

p x a

S x x

p p

  

   

 

 ;

1

1 1

1

0

d

1 1

b

b p q q

p y y b

S y y

q q

p

  

 

 

   

 

      

   

    



 



Vì: 1 1

1

1 1

p

q

p p

p q

    

  

Vậy

p q

a b

ab p  q 

Câu 33: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần ) Gọi  H tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa

1 z  mặt phẳng phức Tính diện tích hình  H

A 2 B. 3 C 4 D 5

Đặt z x yi, z 1 x 1 yi  x12y2 Do 1 z 1 2 1 x12y2 2

 2

1 x y

    

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình phẳng nằm đường trịn tâm I1; 0 bán kính R  nằm ngồi đường trịn 2 I1; 0 bán kính r  1

Diện tích hình phẳng S.22.123

Câu 34: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - ) Có số phức z thỏa mãn điều kiện

2

z  z z?

A 1 B 4 C 2 D.

(15)

Đặt za bi a b   ,  Ta có z2  z2z

a bi2 a2 b2 a bi

      2

2abi b b a bi

    

2

2ab b

b b a

  

 

  



2

0

2

b

a

b a

       

 

  



 b0a0z

 1

2

a  b  1

2

z i

   

Vậy có số phức thỏa ycbt

Câu 35: (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – ) Cho hai số phức z , 1 z có điểm biểu diễn 2

là M , 1 M thuộc đường trịn có phương trình 2 x2y2 1

1

z z  Tính giá trị biểu thức P z1z2

A

2

P  B P  C

2

P  D. P 

Ta có M , 1 M thuộc đường trịn tâm 2 O0; 0 bán kính R  1

Vì z1z2  nên suy M M  Vậy tam giác 1 2 OM M tam giác cạnh 1 2

Gọi H trung điểm M M OH trung tuyến tam giác 1 2 OM M có cạnh 1

bằng Suy

2

OH 

2



Ta có P z1z2  OM 1OM2  2OH 2OH

 

Câu 36: (SGD Bắc Giang – ) Cho

1

2

3

d

3

x

x a b

x x

 

 

 , với a , b số hữu tỉ Khi đó, giá

trị a

A. 26

27

 B. 26

27 C.

27

26 D.

25 27



Ta có:    

1

2 2

2

1

3

2 26 32

d d

27 27 27

3

x

x x x x x x x

x x

 

        

   

 

Câu 37: (SGD Bắc Giang – ) Cho số phức z thỏa mãn z 2z  7 3i Tính z z

A. B. 13

4 C.

25

4 D.

(16)

Giả sử zxyi x y   , 

Ta có: z 2z   7 3i z x2y2 2x2yi   7 x y3i

2 4

2

3

2

x

x y x x

y y y

  

     

 



  

 

Vậy z  5

Câu 38: (SGD Bắc Giang – ) Cho hai số phức z , w thỏa mãn

1 2

z i

w i w i

   

 

    

 

Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P zw

A. min 2

2

P   B. Pmin  1 C.

5 2

2

P   D. min 2

2

P  

Giả sử za bi ; w x yi a b x y   Ta có , , , 

3

z  i  a32b22 Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hình 1 trịn tâm I3; 2, bán kính R  1

1 2

w  i  w i x12y22x22y12xy Suy tập hợp điểm N biểu diễn số phức w nửa mặt phẳng giới hạn đường thẳng :xy (tính bờ đường thẳng) (hình vẽ)

Ta có  , 

2

d I   Gọi H hình chiếu I 

Khi  , 

2

zw MN d I  R  Suy min

2

P  

Câu 39: (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần ) Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z1   i z2iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức z1z2

A. m 2 2 B m  1 C m 2 D m 2

Gọi z1 x yi(x, y   ), theo giả thiết đề ta có z2   y xi

Khi z1  1 i 2x12y124

Vì tồn t   để x  1 sint y 1 cost Do z1z22 xy2yx2 2 x 2 y2

 

2 sint cost

     12 sin

4

t 

 

    

 

12

 

y

x

2 I

(17)

Do m  12 2 2 2

Câu 40: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần ) Cho số phức za bi (a, b số thực ) thỏa mãn

2

z z  z i  Tính giá trị biểu thức

T a b

A T 4 3 B T  3 2 C. T  3 2 D T  4

Ta có z z2z i 0a bi a bi   2a bi   i

2 2 2 2

2 2

a a b a b a b i bi i a a b a b a b i bi i

               

  2

2 2

2

a a b a

a a b a b a b b i

b a b b

   



         

   

 

2

0

2

a a

b b

b b b

b

  



 

  

 

  

 

 

2

1

0

b b

b

 

  

 

     

   



Suy

3 2

T a b  

Câu 41: (THPT Trần Phú – Hà Tĩnh - Lần )Có số phức z thỏa mãn z 1 3i 3

z2i2 số ảo?

A. B. C. D.

Giả sử z x yi x y  ,  Khi z 1 3i 3 2x12y32 18 1 

 2   2  2  

2 2 2

z i x y i  x  y  x y i

Theo giả thiết ta có  

 

2

x y

 



    

  



Với x y thay vào  1 ta phương trình 2y20 y 0 x2

1

z

 

Với x y2 thay vào  1 ta phương trình 2

1

y

y y

y

   

    

  

 

2

3

3 5

z i

     

 

     



Vậy có 3 số phức thỏa mãn u cầu tốn

Câu 42: (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – Lần ) Giả sử z z hai nghiệm phức phương 1, 2 trình 2 i z z1 2i z  1 3i z1z2  Tính M  2z13z2

A. M 19 B. M 25 C. M  5 D. M  19

(18)

WWW.MATHVN.COM 18 Chọn D

Từ giả thiết, ta có 2 z 1  z 2 i  z  10 2 z 1 2 z22.z2 10

 

4

5 z z 10

     z  (vì z  ) 0

Gọi z1x1y1i z2x2y2i Ta có z1  z2  nên 2 2

1 2

x y x y 

Mặt khác, z1z2  nên x1x22y1y22  Suy 1 2 1 2

x x y y 

Khi M  2z13z2  2x13x222y13y22

 2  2  

1 1 2

4 x y y y 12 x x y y

     

Vậy M  19

Câu 43: (SGD Thanh Hóa – ) Cho z , 1 z hai số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z 5 3i  , đồng thời z1z2  Tập hợp điểm biểu diễn số phức wz1z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình đây?

A.

2

5

2

x y

   

   

   

    B.    

2

10 36

x  y 

C. x102y62 16 D.

2

5

9

2

x y

   

   

   

   

Gọi A , B , M điểm biểu diễn z , 1 z , 2 w Khi A , B thuộc đường tròn

  C : x52y3225 AB z1z2 

 C có tâm I5;3 bán kính R  , gọi 5 T trung điểm AB T trung điểm

của OM 2

3

IT  IA TA 

Gọi J điểm đối xứng O qua I suy J10; 6 IT đường trung bình tam giác

OJM , JM 2IT 

Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính có phương trình

 2  2

10 36

(19)

WWW.MATHVN.COM 19 Câu 44: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần ) Biết số phức z có phần ảo

khác thỏa mãn z2i  10 z z  25 Điểm sau biểu diễn số phức z trên?

A. P4; 3  B. N3; 4 C. M3; 4 D. Q4; 3

Giả sử zxyi x y, , y0

Ta có z2i  10  xyi2i  10

x 2 y 1i 10

     x22y12 10x2y24x2y 5

Lại có z z 25x2y2 25 nên 25 4 x2y52xy10 y10 2 x

 2

2

10 25

x x

    5x240x750

3

x x

 

  

 + Với x 5 y , khơng thỏa mãn y 0

+ Với x 3 y , thỏa mãn y 0z 3 4i Do điểm M3; 4 biểu diễn số phức z

Câu 45: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần ) Cho A , B hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z , 0 z khác 1 thỏa mãn đẳng thức 2

0 

z z z z Hỏi ba

điểm O, A , B tạo thành tam giác (O gốc tọa độ) ? Chọn phương án đầy đủ

A. Đều B. Cân O C. Vuông O D. Vuông cân O

Do z10 nên chia vế đẳng thức cho

z , ta được:

2

0 0

0

1 1

1 3

1

2 2

 

        

   

   

z z z

i z i z

z z z

Đặt z1 OAa 0 1

2

OB z   i z a

Lại có 0 1 1 1 1

2 2

   

        

   

z z i z z i z 0 1 1

2

AB z z    i z a

Vậy OAB

Câu 46: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần ) Gọi M m giá trị lớn nhỏ P z i

z



 , với z số phức khác thỏa mãn z  Tính tỷ 2

số M

m

A. M

m  B.

M

m  C.

3

M

m  D.

1

M m  Lời giải

(20)

Gọi T z i T 1z i

z



   

Nếu T  1 Khơng có số phức thoả mãn yêu cầu toán

Nếu 1

1

i i

T z z T

T T

        

 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức T hình trịn tâm I1;0 có bán kính

2

R 

3 2

M OB OI R m OA OI R



   

   

    

 

3

M m

 

Câu 47: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần ) Cho số phức z thỏa mãn

1i z 2  1i z 2 4 Gọi mmax z , nmin z số phức wmni Tính

2018

w

A 41009 B 51009 C. 61009 D 21009

Ta có 1i z 2  1i z 2 4  z  1 i z   i

Gọi M điểm biểu diễn số phức z , F 1 1;1 điểm biểu diễn số phức z1   i

 

2 1;

F  điểm biểu diễn số phức z2  Khi ta có i MF1MF24 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z Elip nhận F 1 F làm hai tiêu điểm 2

Ta có F F1 22c2c2 2c

Mặt khác 2a4a2 suy b a2c2  42

Do Elip có độ dài trục lớn A A1 22a , độ dài trục bé B B1 22b2

Mặt khác O trung điểm AB nên mmax z max OM OA1a2 nmin z min OM OB1b

(21)

WWW.MATHVN.COM 21 Câu 48: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần ) Cho số phức z thỏa mãn

z 2 iz 2 i25 Biết tập hợp điểm M biểu diễn số phức w2z 2 3i đường tròn tâm I a b bán kính  ;  c Giá trị a b c 

A. 17 B. 20 C. 10 D. 18

Giả sử za bi a b   w;   x yi x y   ; 

z 2 iz 2 i25a 2 b1i  a 2 b1i25

 2  2

2 25

a b

      1

Theo giả thiết: w2z 2 3ixyi2a bi  2 3ixyi2a 2 3 2 b i

2 2

3

2

x a

y b y

b

 

 

 

 

 

  

  

 

 2

Thay  2 vào  1 ta được:    

2

2 25 100

2

x y

 

   

        

   

   

Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm I2;5 bán kính R 10 Vậy a b c  17

Câu 49: (SGD Hà Tĩnh – Lần ) Biết hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z  1 4i 

2

1 4i

2

z    Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a2b12 Giá trị

nhỏ P zz1  z2z2  bằng:2

A. min 9945

11

P  B. Pmin  5 C min 9945

13

P  D. Pmin  5

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi M , 1 M , M điểm biểu diễn cho số phức 2 z , 1 2z , z hệ trục tọa độ Oxy 2 Khi quỹ tích điểm M đường tròn 1  C tâm 1 I3; 4, bán kính R  ; 1

quỹ tích điểm M đường 2  C trịn tâm 2 I6;8, bán kính R 1; quỹ tích điểm M đường thẳng d: 3x2y12

(22)

WWW.MATHVN.COM 22 I3

I2

I1 M

8

6

3

O y

x B

A

Gọi  C có tâm 3 3 138 64; 13 13

I  

 , R  đường tròn đối xứng với 1  C qua d Khi 2

   

min MM MM 2 min MM MM 2 với M3 C3

Gọi A , B giao điểm đoạn thẳng I I với 1  C , 1  C Khi với điểm 3

 

1

M  C , M3 C3 , Md ta có MM1MM3 2 AB , dấu "=" xảy

1 ,

M  A M B Do Pmin AB 2 I I1 3 2 1 3 9945 13

I I

 

Câu 50: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần ) Cho số phức z thỏa mãn z i  z 1 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w z 2i mặt phẳng tọa độ đường thẳng Phương trình đường thẳng là:

A. x4y  B. x3y4 C.  x 3y  D. x3y4

Giả sử wxyi, x y   Khi ,  w z 2izw2i x y2i Do biểu thức

z i  z  i trở thành xy2i i  xy2i 1 2i  xy3i  x1 yi

 2  2

2 3 1

x y x y

      x3y4

Câu 51: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - ) Số phức z1i  1i2 1i2018 có phần ảo

A. 21009 B. 21009 C.1 2 1009 D. 210091

Có              

2018

2 2018 1 2018

1 1 i 1

z i i i i i i

i

 

 

            

 

Do  2018  2 1009  1009 1009 2 504 1009

1i 1i   2i 2 i i2 i

 

Suy z1i 2 1009i1  210091  1 2 1009i

(23)

WWW.MATHVN.COM 23 Câu 52: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - ) Khai triển biểu thức x2 x 12018 viết thành

2 4036

0 4036

a a xa x  a x Tổng S a0a2a4a6 a4034a4036 bằng:

A. 21009 B. C. 21009 D. 1

Ta có x2 x 12018 a0a x1 a x2 2 a4036x4036

Cho x  ta i i2 i 12018a0a1ia2a3ia4a5ia6 a4036 Hay S a0a2a4a6 a4034a4036    i 12018  

Câu 53: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - ) Cho số phức z , 1 z , 2 z thỏa mãn điều kiện 3 z 1 4,

2

z  , z  3 4z z1 216z z2 39z z1 3 48 Giá trị biểu thức P z1z2z3 bằng:

A. B.8 C. D.

Ta có z 1 4, z  , 2 z  nên 3 z z1 1 z12 16, z z2 2  z22  , z z3 3 z32 Khi 4z z1 216z z2 39z z1 3 48 z z z z3 3z z z z1 3z z z z2 3 48

z3 z1 z2z z z1 48

     z3z1z2 2 hay P z1z2z3 

Câu 54: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - ) Cho số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z 1 12

2 4i

z    Giá trị nhỏ z1z2 là:

A. B. C. D. 17

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi z1x1y1i z2x2y2i, x , 1 y , 1 x , 2 y   ;2 đồng thời M1x y 1; 1

 

2 2;

M x y điểm biểu diễn số phức z , 1 z 2

Theo giả thiết, ta có:

   

2

1

2

144

3 25

x y

  

 

   

 

Do M thuộc đường trịn 1  C có tâm 1 O0; 0 bán kính R 1 12, M thuộc đường trịn 2  C2 có tâm I3; 4 bán kính R  2

Mặt khác, ta có  2

1

5

O C

OI R R

   

   

 

(24)

(C2)

(C1)

M2

O

M1

I

Khi z1z2 M M1 2 Suy z1z2min M M1 2 min M M1 2R12R2

Câu 55: (SGD Bắc Ninh – Lần - ) Cho số phức z thỏa mãn 2018 2017

11z 10iz 10iz11 0. Mệnh đề sau đúng?

A 3; 2

z 

  B z 1; 2 C z 0;1 D z 2;3

Lời giải Chọn A

Đặt z x yi

2018 2017

11z 10iz 10iz11 0

2017

2017 11 10 11 10

11 10 11 10

iz iz

z z

z i z i

 

   

 

 

2

2017

2

100 121 220

121 100 220

x y y

z

x y y

  

 

  

TH1: 2

1

z  x y 

 2  2

100 x y 121 220y 121 x y 100 220y

       

 

1 sai

z

 

TH2: 2

1

z   x y 

 2  2

100 x y 121 220y 121 x y 100 220y

       

 

1 sai

z

 

TH2: z  1 x2y2 1 Thay vào thấy

Vậy z 1

Câu 56: (SGD Bắc Ninh – Lần - ) Cho số phức z thỏa mãn z2  z2 5 Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính Mm ?

A 17

2

M m B Mm8 C Mm1 D Mm4

Lời giải

Chọn D

(25)

Ta có MF1MF2 5 M chạy Elip có trục lớn 2a 5 , trục nhỏ

25

2

4

b   

Mà z OM Do giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z

2

M  ;

2

m  Suy raMm4

Câu 57: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - ) Cho phương trình z42z36z28z  có bốn nghiệm phức phân biệt z , 1 z , 2 z , 3 z Tính giá trị biểu thức 4

    

1 4 4

T  z  z  z  z 

A. T 2i B T  1 C. T  2i D. T  0

Đặt    

2

f z z  z  z  z  f z  Ta có z2 4 z24i2z2iz2i

  2      2   

T z i z i z i z i z i z i z i z i

             

   2

f i f i

   

Câu 58: Cho M tập hợp số phức z thỏa 2z i  2iz Gọi z , 1 z hai số phức thuộc tập hợp 2 M cho z1z2 1 Tính giá trị biểu thức P z1z2

A. P  B.

2

P  C. P  D. P 2

Đặt z x yi với x, y  

Ta có:   2

2z i  2iz  2x 2y1 i  2yxi x y 

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức đường tròn

O;1 z1  z2 1

Ta có: z1z22 z1z22 2z12 z22P2  3 P

Câu 59: Tìm mơđun số phức z biết z 4 1 i  z4 3 zi

A.

2

z  B. z 2 C. z 4 D. z  1

Ta có z 4 1 i z 4 3 zi1 3i z z  4 z 4 i Suy 1 3i z  z  4 z 4 i  10 z  z 4 2 z 42

  2 2

2

10z z z

     8 z2 32 z24 z 

Câu 60: Cho số phức z x yi với ,x y   thỏa mãn z  1 i z 3 3i  Gọi ,m M lần

lượt giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thứcPx2y Tính tỉ số M

(26)

WWW.MATHVN.COM 26 A.

4 B.

7

2 C.

5

4 D.

14

x

1

3

J

O I

1

Gọi A điểm biểu diễn số phức z

Từ giả thiết z  1 i 1ta có A điểm nằm bên ngồi hình trịn  C1 có tâm I 1;1 bán kính R  1

Mặt khác z 3 3i  ta có A điểm nằm bên hình trịn  C2 có tâm J3;3

bán kính R 2

Ta lại có: Px2yx2yP0  Do để tồn ,x y   phần gạch chéo

phải có điểm chung tức  ; 

5

P

d J       9P  5 4P14 Suy

7

4; 14

2

M

m M

m

   

Câu 61: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i  z 2 3i Biết z 1 2i  z 7 4i 6 2, M x y ;  điểm biểu diễn số phức z, x thuộc khoảng

A 0; 2 B 1;3 C 4;8 D. 2; 4 Lời giải

Chọn D

Ta có: z 2 3i  z 2 3i x22y32 x22y32 y0 Ta có: z 1 2i z 7 4i 6  x124 x72166

x 12 x 72 16

        2x228x130  x 11

 2

11

11 28 130

x

x x x

    

    





11

6

x

x x

   

  



3

x

  Thử lại thấy thỏa Vậy x  3 2; 4

Câu 62: Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z i  z i  Gọi S đường cong tạo tất điểm 6 biểu diễn số phức z i i  1 z thay đổi Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong S

A 12 B.12 C 9 D BF

(27)

Gọi M điểm biểu diễn số phức wz i 1i Suy ra:

w

z i

i

 



Viết lại giả thiết: 6

1

w w

z i z i i i i i

i i

          

   w w 2 2i 6

1

MF MF

   với F10; 0, F22; 2 , F F1 22c2

Tập hợp điểm M điểm biểu diễn số phức w elip có độ dài trục lớn 2a 6 2,2c 2 2,

2

4

b a c  Diện tích elip S  .a b12

Câu 63: Trên tập hợp số phức, cho phương trình z2bz  với ,c 0 b c   Biết hai nghiệm

phương trình có dạng w  23 w15i với w số phức Tính

2

S b  c

A S  32 B. S 1608 C. S 1144 D. S  64

Lời giải

Chọn A

Từ đề suy    

   

2

3

2 15 15

w b w c

w i b w i c

     

 

      

 

2 15 9 3

2 15

w i w c

w i w b

   

   

     

  Giả sử w x yi, x y  ,

Khi w   3 x yi, 2w15i 9 2x 9 2y15i

Theo đề ta có 2 15 9 3

2 15

w i w c

w i w b

   

  

     

 

 

  

 

   

2 15

x y i x yi c

x y i x yi b

      

  

       

 

Vì ,b c   nên  2 15 2 9

5

2 15

x y y x x

y

y y

    

   





 



  

 



Suy w  6 5i, 2 15 9 3 34

6

2 15

w i w c c

b

w i w b

   

  





 

 

     

 



2

2 32

Sb  c 

Câu 64: Cho hai số phức z , 1 z thỏa 2 z1  z2 2 5 Gọi M , N điểm biểu diễn hai số phức

1

z , z mặt phẳng tọa độ Biết 2 MN 2 2 Gọi H đỉnh thứ tư hình bình hành

OMHN K trung điểm ON Tính lKH

A. l 3 B. l 6 C l  41 D. l 

Lời giải

(28)

y

x

2 2

K

H

N M

O

Xét tam giác OMN ta có 

2 2

4 cos

2

OM ON MN

MON

OM ON

 

 

Vì MONONH 180 nên cos

ONH  

Xét tam giác HNK có



2

2 cos

HK  NH NK  NH NK KNH 

2

2 2 .1 .cos

2

OM  ON OM ON ONH

   

   41

Câu 65: Giá trị biểu thức C1000 C1002 C1004 C1006  C 10098 C100100

A.2100 B.250 C. 2100 D. 2 50

Ta có

 100 2 100 100

100 100 100 100

1i C iC i C  i C C1000 C1002 C1004  C100100  C1001 C1003 C1005 C10099 i

Mặt khác    

50

100

1i 1i 

   

50

2i

  250

Vậy 98 100 50

100 100 100 100 C100 100

C C C C   C  

Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn z  Giá trị lớn biểu thức 1 P 1 z2 1z

A. B. C. D 4

Lời giải

Chọn B

Gọi số phức zxyi, với ,x y  

Theo giả thiết, ta có z  1 x2y2  Suy 11  x

(29)

Vậy Pmax 2 2x2 2 x 

x   ,

5

y  

Câu 67: Cho số phức z thoả mãn z  3 4i  biểu thức P z22 zi2 đạt giá trị lớn Môđun số phức z

A.10 B 5 C.13 D. 10

Đặt zxyi với ,x y   gọi M x y điểm biểu diễn z Oxy , ta có  ; 

3

z  i  x32y42 5

Và P z22 z i 2x22y2x2y12 4x2y

Như P4x2y34x32y423 422 x32y42 2333

Dấu “=” xảy

   

3

4

4 10

x y

t

x y

 



 

 

    



5 0,5

x y t

  

 

  

Vậy P đạt giá trị lớn z 5 5i  z 5

Câu 68: Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  biểu thức

2

M  z  z i đạt giá trị lớn Môđun số phức z 2 i

A. B. C. 25 D.

Đặt zx yi, x y,   z 3 4i  x32y425  1 Ta có: M  z22 z i 2x22y2x2y12 4x2y

   

4 x y 23

      20 x32y42 2333

Dấu " " xảy khi

4

x y

 

 kết hợp với  1 suy

5 5

1, 3

x y z i

    



     



Thử lại ta có Mmax 33z  5 5i z   i

Câu 69: Cho số phức z Gọi A , B điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z 

và 1 i z  Tính z biết diện tích tam giác OAB

A z 2 B z 4 C z  2 D. z  4

Ta có OA z , OB 1i z  z , AB 1i z z  iz  z Suy OAB vuông cân A ( OAAB OA2AB2OB2)

Ta có:

2

OAB

(30)

Câu 70: Cho hàm số y f x  xác định liên tục \ {0} thỏa mãn:

       

2

x f x  x f x x f x  với đồng thời f 1 2 Tính  

4

1

d

f x x



A ln

  B. ln

4

  C ln

4

  D ln

4

 

Từ giả thiết ta có: xf x 12  f x xf x

Đặt  

2

1

u u dx

u x f x u u x C x C

u u u

  



           

Vậy x f x   1

x C



 

 , mà f 1   2 C

Vậy    

4

1

d ln

4

f x f x x

x x

      

Câu 71: Trong số phức z thỏa mãn z 2 4i  z2i Số phức z có môđun nhỏ

A. z   i B. z  2 2i C. z 2 2i D. z 3 2i

Đặt z a bi (a, b  ) Khi z 2 4i  z2i

 a2  b4i  ab2i  a22b42 a2b22

 a b 4b 4 a

Khi đó:

 2  2

2 2

4 16 2 2

z  a b  a  a  a  a  a  

Đẳng thức xảy 

2

a b

  

 

Vậy z 2 2i

Câu 72: Trong nặt phẳng phức, xét M x y ;  điểm biểu diễn số phức z x yi x y ;   thỏa mãn

z i z i



 số thực Tập hợp điểm M

A Parabol B Trục thực

C Đường tròn trừ hai điểm trục ảo D. Trục ảo trừ điểm 0;1 Lời giải

Chọn D

Ta có  

2 2 2

2 2

2z

z i

z i z i i

z i z i z i



  

 

  

 

2

1

x y x yi i

x y

   



 

2

2 2

2

1

x y y x

i

x y x y

  

 

   

một số thực

1

x y

   

 

Chọn đáp án D

Câu 73: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z  3 1

zw zw Khi w bằng:

A 3 B.

2 C. D.

(31)

Lời giải

Chọn A

Ta có:

1 1

zw zw

1

z w

zw z w



  



 

2

0

z w zw

zw z w

 

 



2 0

z w zw

   

2

1

2

z w w

 

    

 

2

1

2

i

z w  w

 

     

   

1

2 i

z  w

    

 

1

2 i

z w

     z  w

Vậy w  3

Câu 74: Gọi z , 1 z nghiệm phức phương trình 2 z24z  Giá trị 5 0

2018 2018

1

(z 1) (z 1)

A. 21010i B. 21009i C 0 D. 22018

Hướng dẫn giải Chọn C

1

2

4

2

z i z

z z

z i z

   

    

   

z112018z212018    

2018 2018

1 i i

     21009  21009

1 2i i 2i i

     

 2i 1009  2i1009

    2i 1009 2i 1009 

Câu 75: Cho số phức z thỏa mãn

z i

 

  Giá trị nhỏ z 3 2i

A. 10

5 B 2 10 C 10 D

10

Giả sử z x yi x y,   Ta có 

1

z i

 

   z2i  z 3 i      

2 2

2

x y x y

        y 3x

Lại có:z 3 2i  x32y22  x323x52  10x236x34

2

18 16

10

10 10

x

 

    

 

2 10



Vậy GTNN z 3 2i 10

5

Câu 76: Cho số phức z 3 5i2018 Biết phần ảo z có dạng a b 3c 5d 15 Trong số a, b , c, d có số ?

A 2 B 1 C 4 D.

(32)

Ta có:

 2018 2018 2018 2018  

0

3 k k k k

k

z i C  i



  

Phần ảo số phức z

      

1008 2018 2 1 2 1

2 2018

3 m m m

m m

C    





  

1008

2 1009

2018

1 m.3 15 15

m m

m

C 



 

Suy ab  c d  0

Câu 77: Cho số phức z thỏa mãn zz  zz 2 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ T  z2i Tổng M bằngn

A.1 10 B 2 10 C 4 D 1

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi zxyi, ,x y  

Ta có 2

2

x x

yi y

   

 



 

 

 

 

Gọi M x y điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Khi tập hợp  ;  điểm M hình vng ABCD (hình vẽ)

-2

-1

-1 N O y

x

D C

B A

Điểm N0; 2  biểu diễn số phức, T  z2i MN

Dựa vào hình vẽ ta có MNd M AB ,  nên mminT  , MN NC 10 nên

max 10

M  T  , Mm 1 10

Câu 78: Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 3 4i 10 Giá trị nhỏ Pmin biểu thức

1

P z  i bằng?

A Pmin  17 B. Pmin  34 C. Pmin 2 10 D. min 34

2

P 

Hướng dẫn giải Chọn A

Giả sử za bi a b  ,   Ta có 

1 10

z  z  i   a12b2  a32b42 10

(33)

Elip  E có độ dài trục lớn 2a 10 tiêu cự 2cF F1 24 Do a  , 5 2

c  b2a2c2 17

Lại có: P z 1 2i  a12b22 MI

Suy Pmin IMmin IM  hay b Pmin  17

Câu 79: Gọi z , 1 z nghiệm phức phương trình 2

4 13

z  z  , với z có phần ảo dương Biết 1

số phức z thỏa mãn zz1  zz2 , phần thực nhỏ z

A. B. 2 C. D.

Ta có

4 13

z  z   z  1 3i z  2 3i Gọi zxyi, với ,x y  

Theo giả thiết, 2 zz1  zz2  x22y32  x22y32

 2  2  2  2

4 x y  x y

       

     

2

2 16

x y

    

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền hình trịn  C có tâm I2;5, bán kính R 4, kể hình trịn

Do đó, phần thực nhỏ z xmin  

Câu 80: Cho hai số thực a b thoả mãn

2

4

lim

2

x

x x

ax b x



   

  

 



 

Khi a2b bằng:

A. 4 B. 5 C. D. 3

Ta có:

 

2

4

lim lim

2 2

x x

ax b x ax b

x x

 

 

   

        

   

 

   

Mà

2

4

lim

2

x

x x

ax b x



   

  

 



   

5

lim

2 2

x x x ax b

 

      

  

 

2

5

0

a

b

 

   

  

 

5

a

b

    

   

(34)

WWW.MATHVN.COM 34 Câu 81: Cho số phức z , w thỏa mãn z 5 3i 3, iw 4 2i 2 Tìm giá trị lớn biểu

thức T  3iz2w

A. 554 B. 578 13 C. 578

D. 554 13

5 3 15 9

z  i   iz i  đường trịn có tâm I9;15 R 9

4 2 4

iw  i   w i  đường trịn có tâm J4; 8  R 4

3

T  iz w đạt giá trị lớn T  IJRR 55413

Câu 82: Cho số phức z thỏa mãn z   Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w xác định 1

2 3

w  i z  ilà đường trịn bán kính R Tính R

A. R 5 17 B. R 5 10 C. R 5 D. R 5 13

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   đường tròn 1  C tâm I1; 0 bán kính R  Ta có 5  C nhận trục hồnh trục đối xứng nên tọa độ điểm biểu diễn z nằm

trên đường tròn hay z   1 Ta có

2 

w  i z  iw2 3 iz12 3 i 3 4iw5 7 i  3 iz1

5  2 3  1

w i i z

       w5 7 i 5 13

Câu 83: Với số phức z thỏa mãn z  1 i 2, ta ln có

A. z  1 B. 2z  1 i C. 2z  1 i D z i 2

Lời giải

Chọn B

Ta có z  z    1 i i z    1 i i 2 Vì 2z  1 i z  1 i z  z  1 i z 3

Câu 84: Xét số phức z1 3 4i z2 2 mi , m   Giá trị nhỏ môđun số phức 

z z

bằng ?

A.

5 B 2 C 3 D

1

Lời giải

(35)

  

 

2

3 4 25 25 25

mi i m m i

z mi m m

i

z i i i

    

  

    

  

2

6

25 25

z m m

z

 

   

     

   

2

36 48 16 48 64

25

z m m m m

z

    

 

2

1

25 100 4

25 25 25

z m z m

z z

 

     

Hoặc dùng công thức: 2

1

z z

z  z

Câu 85: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi  H tập hợp điểm biểu diễn số phức w1 3i z  thỏa mãn z  1 Tính diện tích hình  H

A. 8 B.18 C.16 D. 4

Ta có w1 3i z 2w 3 3i1 3iz1

3 3

w i i z

      

Vậy điểm biểu diễn số phức w nằm hình trịn có bán kính r 4 Diện tích hình  H Sr2 16

Câu 86: Cho z , 1 z số phức thỏa mãn 2 z1  z2  z12z2  Tính giá trị biểu thức

1

2

P z z

A. P 2 B. P  C. P  3 D. P 1

Đặt z1a1b i1 , z2 a2b i2

Suy a12b12 a22b22 1 2 1 2 1 2

z  z  a a b b 

Suy P 2z1z2 

Câu 87: Cho hình phẳng H giới hạn đường y ln 2 x1, y  , 0 x  , 0 x  Tính thể tích 1 của khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox

A 2ln

3  B 2ln



 C ln

2



 

 

 

 

D 3 ln

2 

 

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y ln 2 x1với trục Ox : y  0

 

ln 2x1 0x0

Thể tích cần tìm:  

1

0

ln dx

(36)

Đặt:  

2

ln du dx

2

dv dx

u x

x v x



   



 

   



 

1

0

2

ln dx

2

x

V x x

x

 

    



  

1

0

1

ln dx

2x

   

      



 

  

1

0

1

ln ln

2

x x

   

      

   

 

1

ln ln ln

2



  

     

 

Câu 88: Cho ba số phức z , 1 z ,2 z thỏa mãn 3

1

2

1

6

2

z z z

z z z

z z



   

 

  



  

 

Tính giá trị biểu thức

2 3

M  z z  z z

A  6 2 B  6 2 C 2

2

 

D. 2

2

  

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi M , N , P điểm biểu diễn hệ trục tọa độ số phức z , 1 z ,2 z 3

Suy ra: M , N , P thuộc đường tròn O;1

1

MN  z z

4 

 cos

4

OMN 

  OMN150 MON1500

Ta có: z3z1  z z1 3z1  z z3 1z12  z z3 1z z3 2  z z3 1z2

2 



6

2

MN MP 

   MOP1500



60

NOP

   NOP NP1 z2z3 

Vậy 2

2

M   

Câu 89: Có tất giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn

2 1 10

z m  i z  1 i z 2 3i

A 40 B 41 C 165 D 164

(37)

WWW.MATHVN.COM 37 Chọn B

Giả sử z x yi x y ,  , M x y ; là điểm biểu diễn số phức z

2 1 10

z m  i

 z2m1i2 100

 x2m12y12100

Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C tâm I2m 1;1, R 10

1

z  i z  i

 x1  y1i2  x2  3y i

 x12y12 x223y2

 2x8y11

Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x8y11

Để có hai số phức z đường thẳng  cắt đường tròn  C điểm phân biệt

Tức d I   ,  10  

2

2 11

10

2

m     

 20 20

4 m

 

 

Vậy có 41 giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 90: Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z1 2 3i 2 z2 1 2i  Tìm giá trị lớn

1

P z z

A. P  3 34 B P  3 10 C P 6 D P  3

Gọi M x y điểm biểu diễn số phức  1; 1 z , 1 N x y 2; 2là điểm biểu diễn số phức z 2

Số phức z thỏa mãn 1 z1 2 3i 2x122y1324 suy M x y nằm  1; 1 đường tròn tâm I  2;3 bán kính R 1

Số phức z thỏa mãn 2 z2 1 2i  x212y122 suy N x y 2; 2 nằm đường tròn tâm J1; 2  bán kính R  2

(38)

Câu 91: Gọi z , 1 z 2 nghiệm phức phương trình

0

az bz  , c

 

, , , 0,

a b c a b  ac Đặt P z1z22 z1z22 Mệnh đề sau đúng?

A

2

c P

a

 B P c

a

 C P 2c

a

 D. P 4c

a



Ta có z , 1 z nghiệm phức phương trình 2 az2bz  nên c 0

2 1,2

4

b i ac b z

a

  



Do z1 z2 b

a

  

2

1

4

i ac b z z

a



 

Suy P z1z22 z1z22

2 2

2

4

b ac b c

a a a

 

 

   

 

Câu 92: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P 1 z 3 1z

A P 2 10 B P 6 C P 3 15 D. P 2

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

1

P z  z  12321z2 1 z2  10 1  z2

 

10 1

  2

Vậy Pmax 2

Câu 93: Cho số phức z thỏa mãn z 1 3i z    3 i 10, z  Tính z 1

A 65

4

z    B 65

2

z   C. 65

2

z    D 65

4

z  

1 3 10

z  i z    i zz3  3z 1i4 10

 3 2 12 10

z z z

      z2z 3 2 z 12160

 

4

10z 10z 160

   

2

1 65

2

1 65

2

z

  

   

  

  

1 65

2

z  

  ( z  ) 1

Câu 94: Xét số phức za bi , a b   thỏa mãn đồng thời hai điều kiện ,  z  z 4 3i

1

z  i z  i đạt giá trị nhỏ Giá trị Pa2b là:

A 252

50

P   B 41

5

P   C 61

10

P   D 18

5

P  

(39)

Ta có: z  z 4 3i a2b2 a42b32

8a 6b 25

   

: 25

M x y

     

( , )

f a b  z  i z  i  f a b ,  a12b12 a22b32 Gọi A  1;1, B2; 3  Khi f a b ,  AMBM

Như ta cần tìm M : 8x6y250 cho f a b , AM BM nhỏ

M I B' B

A

M

A B nằm phía  nên gọi B điểm đối xứng B qua 

Khi AMBM AM B M ABAM BM nhỏ AB M  AB 

BB   qua B2; 3 nên BB: 6x8y36

Gọi I BB  ta có tọa độ I nghiệm hệ: 25

6 36

x y

  

 

  



4 25

219 50

x

y

     

    

hay ; 219

25 50

I  

 

42

2 25

2 144

25 B

B I B

B

x

x x x

y y y

y

 



 

 

 

 



 

  

  

 

hay 42; 144

25 25

B  

 

 

17 169

; 17;169

25 25 25

AB     

 



Phương trình AB:169x17y186

Tọa độ M nghiệm hệ:

67

169 17 186 50

8 25 119

50

x

x y

y

 

 

  

 



 

   

  

 

Vậy 2 61

10

Pa b x y 

Câu 95: Hỏi có số phức z thỏa đồng thời điều kiện z i  z số ảo? 2

A 2 B 3 C 0 D 4

Lời giải

Chọn D

Đặt z x iy (với ,x y   )

Ta có: z i 5x2y12 25

 1

(40)

Ta có: z số ảo 2 x2 y2 x y

x y

 

    

 

  

2

Suy x2x1225 hay x2x12 25 x 4 x  3 x 3 x  Vậy có số phức z thỏa yêu cầu toán

Câu 96: Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 10 i z

    Mệnh đề đúng?

A.

2 z  B

3

2

2 z  C z  2 D

1

z 

1 2i z 10 i z

    z 2 z 1i 10

z

    

  10

2

z z i

z

     z 2 2 z 12 10

z

    

  2 2

10

2

z z

z

     5 z45 z210  z 

Vậy

2 z 

Câu 97: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

2

2 2018

z i  z  z i  đường trịn Tìm tâm I đường trịn

A. 4;

3

 



 

 

B. 5;

3 

 

 

 

C. 1;1 D. 4;

3



 

 

 

Gọi M x y biểu diễn số phức z Khi  ; 

2

2 2018

z i  z  z i 

 2  2  2  2

2

2 2 3 2018

x y x y x y

          

2

6x 6y 16x 10y 1997

      2 1997 0

3

x y x y

     

Tâm đường tròn 4;

3

 



 

 

Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn z  2 i z  1 i 13 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức i

z  

A. m 1 B. 13

13

m  C. 13

13

m  D.

13

m 

(41)

Gọi zxyi, x y   , ,  A2; 1  B  1;1 Tọa độ điểm biểu diễn số phức z

 ;  M x y

Ta có AB  13 z  2 i z  1 i 13 MA MB  13 Suy MA MB  AB nên

 ; 

M x y thuộc đoạn thẳng AB

Xét P z  2 i MC với C  2;1

x y

-2 -1

2

-1

A B

C

O M

Do đó, Pmin BC M B

Câu 99: Cho số phức z thoả mãn z  , tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức i w2iz trong mặt phẳng Oxy

A. Đường trịn tâm I0; 1 , bán kính R 2

B. Đường tròn tâm I  1; 0, bán kính R 2

C. Đường trịn tâm I1; 0, bán kính R 2

D. Đường trịn tâm I0;1, bán kính R 2

Ta có: w2iz1

2

w z

i



 

Đặt wx yix y   , 

Mặt khác: z i 1

2

w i i



    w 1 2 w12x12 y2  Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w2iz mặt phẳng Oxy là: đường tròn 1 tâm I  1; 0, bán kính R 2

Câu 100: Nếu z số phức thỏa mãn z  z2i giá trị nhỏ z i z4

A. B. C. D.

Đặt zx yi biểu diễn điểm M x y ; 

2

z  z i  y 

4

(42)

WWW.MATHVN.COM 42 Câu 101: Biết phương trình z43z34z23z 1 có nghiệm phức z , 1 z , 2 z Tính 3

1

T  z  z  z

A. T  3 B.T  4 C. T  1 D. T  2

4

3

z  z  z  z  z2 3z 12

z z

     

2

1

2

z z z z                  1

3

z z

   

       

    Đặt

1

t z z

 

2

3

ptt  t 

2 t t      

Ta có: z 1

z

  z2  z 1

2 z i    z z

 

2

z z

     z

1

T  z  z  z 3

2 i 2 i

     

Câu 102: Có số phức z thoả mãn z3i 

z

z  số ảo?

A 0 B vô số C 1 D 2

Giả sử z x yi x y  , 

Ta có z3i  5x2y32 

4

z x yi

 

  

   

 2

4

x yi x yi

x y         2 2 4

x x y yi

x y       z

z  số ảo

2

4

x x y

   

Ta có hệ:  

2 2 x y

x x y

               2

4

y x

x x y

          

Thay  1 vào  2 , ta có:

2

3

4 2 y y y            2

9y 12y 24y 16 4y

       10 13 y y       

*y2x2 Ta có z 2 2i

* 10

13 13

y x Ta có 10

13 13

z  i Vậy có số phức z thỏa yêu cầu toán

Câu 103: Cho số phức z Gọi ,A B điểm mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức

z 1 i z  Tính mơ đun số phức z biết tam giác OAB có diện tích 32

(43)

WWW.MATHVN.COM 43 Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi A a b ;  biểu diễn z B a b a b  ;   biểu diễn 1 i z  Tam giác OAB có OA z , OB z 2, AB a2b2  z Suy tam giác OAB vuông cân A

1 OAB

S  OA AB 32

2 z