giải ngay bài toán này tôi xin mở rộng hơn bài toán này như sau: Bài toán 2Mở rộng Brasil TST 2017: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BE, CF cắt nhau ở I.. PD AD AD ID Nhận xét: Có[r]
Mở rộng khai thác toán hay đề Brazil TST' 2017 Nguyễn Duy Khương-chuyên Toán khod 1518-THPT chuyén Ha Noi Amsterdam Tóm tắt nội dung: Trong viết này, muốn đề cập số khai thác liên quan đến toán hay đề Brazil TST' 2017 Qua viết muốn nhấn mạnh tầm quan trọng phép đổi mơ hình việc giải tốn sáng tạo hình học Bài tốn có nội dung sau: Bài tốn 1(Brazil TST 2017): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lây M,N AB, AC cho: BMI = MỊN =CN Lây T tâm nội tiếp tam giác AMAN Tiếp tuyến (Ó) tai A cat MN tai P Chitng minh rang: PA = PI Nhận xét: Tai lại xuất giả thiết BM = CN = MN lạ mắt trên? Thay giải tốn tơi xin mở rộng toán sau: Bài toán 2(Mở rộng Brasil TS'T 2017): Cho tam giác ABC có đường phân giác BE,CT' cắt Ï Tiếp tuyến A (AEF) cát BƠ P Chứng minh rang: PI||EF va PI = PA Lời giải(Nura Rhyon): Gọi 5, Œ, !ƒ giao điểm EF véi BC, AD, AP (cha ¥ AIM BC = D), theo hang diém điều hồ thì: (S, BƠ) = —1 đó: ⁄5AG =90° Ta có: ZHAG = ZHAF + ZGAF = ZGAE+ ZAEF = ZHGA d6 H la trung diém SG Ap dung dinh If Menelaus cho tam gidc SGD véi cat tuyén PS AG AG IG AHP tathu h : —— = PI PD =_— AD 5: —~ Ap = — —TP haytay la:là PI |SG PA Nhận xét: Có lẽ bạn chưa nhận tốn tốn 2, sau tơi nói rõ lí toán nhỏ LGi giai bai toan 1: Goi NINAM MN MN ie = F, MINAN we = E Taco: FAT AN’uy ne i m8 | EA" AM BAAN ~= AMAN ~= FAAM ~“mặn FA” AM °° theo dinh lf Thales dao (AFF) FB = MN+FM r FA FA x6 = eR OFC EA AN —— Fa == —— Fa hay hay lARà EF||BEE|BC Vay (AEF) tiép xac (ABC) dé PA tiếp tuyến tới Vay áp dụng toán cho tam giác AAƒN thi: PI = PA hay diéu phải chứng minh Nhận xét: Nhờ việc sử dụng hợp lí tốn mở rộng cho lời giải tuyệt đẹp tự nhiên Trong trình đổi mơ hình để giải tốn 2, tơi tìm toán sau: Bài toán 3(Nguyễn Duy Khương): cắt ƒ Cho tam giác ABC có đường cao AD,E,ŒF X tâm dudng tron Luler cia tam gidc ABC I= DFOBE,J = DEQCF trung điểm đoạn AM Lay L la tam DIJ AX M BC = M, Chitng minh rang: DL di qua Lời giải: Đổ đề: Cho tam giác ABC có trực tâm !ƒ cdc duéng cao AD, BE, CF Gọi BHựn DF.=P.CHẲAnDE minh rang: AI L PQ =(Q) Gọi Ï tầm uler tam giác ABŒ Chiing minh(Ban doc tự vé hinh): Lay K la tam (BHC) IK L PQ Lại có: ZHFB = ZHDB = 90° HF BD PF.PD, cht ý F, De tương tự thì: va (BHC) (Euler) FQ/(puez) cua tam giác = TQ/(ane) ABC nên Chứng Ta chi can chitng minh néi tiép nén PH.PB = Pp/(Euler) = PP/(BHO): Chứng P?Q trục đăng phương (Euler) dé chi J, K la tam (Euler) va (BHC) điều phải chứng minh dé Ik L PQ hay 1a ta cé Quay trở lại toán ban đầu, theo bổ đề thì: 77 L AM, lấy P = AMO TJ thi PAF7 nội tiếp Gọi K trung điểm đoạn AM Ta có: /“ÚDA=⁄LDI—⁄EBA= 90°— ⁄IJD~ 90°+ ⁄A= ⁄A—(⁄H.JD-— ⁄HJT) =⁄ZA+⁄ZMAB- (180°—