Dãy tựa khớp trong phạm trù môđun

1 mở đầu Trong nghiên cứu vành môđun ng-ời ta quan tâm không vành môđun mà quan tâm đên ánh xạ đồng cấu chúng DÃy khớp dÃy nửa khớp từ lâu đà trở thành đối t-ợng nghiên cứu đ-ợc nhiếu ng-ời quan tâm Những kiến thức dÃy khớp biểu đồ giao hoán môđun đồng cấu môđun đà đ-ợc sử dụng nh- công cụ để định nghĩa số lớp môđun quan trọng nh- môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun tự do, môđun phẳng, vành QF, lp vành khỏc Việc nghiên cứu dÃy nửa khớp đà cho thông tin mối quan hệ lớp môđun cấu trúc chúng Những kết phần quan trọng đại số đồng điều Trong năm gần có nhiều công trình nghiên cứu đối t-ợng đ-ợc khái quát hoá từ dÃy khớp nửa khớp Các dÃy tựa khớp đà đ-ợc tác giả S M Anvariyeh B Davvaz đề xuất nghiên cứu báo "On quasi - exact sequences " đ-ợc dịch "Về dÃy tựa khớp" Những kết nghiên cứu tác giả đà làm sáng tỏ nhiều kiến thức môđun vành khác môđun th-ơng chúng Các kết đà đ-ợc nghiên cứu môđun nội xạ, môđun xạ ảnh với phân tích thành tổng trực tiếp môđun Chúng lựa chọn đề tài Luận văn tính chất dÃy tựa khớp phạm trù môđun, qua muốn nâng cao hiếu biết cấu trúc đại số đại.Việc thực đề tài luận văn nhằm mục đích tập d-ợt việc triển khai nghiên cứu đề tài khoa học toán học Luận văn đ-ợc chia làm hai ch-ơng Ch-ơng thứ nhÊt cã nhiƯm vơ hƯ thèng ho¸ c¸c kiÕn thøc sở lý thuyết vành môđun đ-ợc trình bày ví dụ Chúng dành phần thích đáng cho việc giải số tập đối t-ợng đ-ợc cho tài liệu chuyên khảo Luận văn đ-ợc thực tr-ờng Đại Học Vinh thời gian quý năm 2008 Mặc dù thời gian hạn chế, ®iỊu kiƯn tiÕp xóc víi c¸n bé h-íng dÈn cã khó khăn nh-ng đà cố gắng lĩnh hội kiến ý kiến bảo cán h-ớng dẫn đạo chuyên nghành Đại số lý thuyết số tr-ờng Đại học Vinh.Tuy luận văn nhiều thiếu sót, cố gắng sữa chữa hoàn chỉnh thời gian sớm Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng tới Thầy giáo h-ớng dẫn - ng-ời đà dành cho bảo tận tình, nghiêm khắc đầy lòng nhân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán thầy cô khoa Toán, Khoa Đào Tạo Sau Đại Học -Tr-ờng Đại Học Vinh đà trực tiếp giảng dạy giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù đà nhiều cố gắng nh-ng thật khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận đ-ợc ý kiến góp ý thầy cô giáo bạn Vinh, tháng năm 2009 Tác giả Hoàng Bá Dũng Ch-ơng I Các khái niệm sở Trong ch-ơng hệ thống hoá định nghĩa kết liên quan đến luận văn Các môđun vành đ-ợc hiểu môđun phải unita (nếu không nói thêm) 1.1 MộT Số KIếN THứC CƠ Sở Về Môđun 1.1.1 Một số khái niệm môđun Giả sử M môđun vành R A môđun M Ta định nghĩa số loại môđun th-ờng đ-ợc sử dụng nghiên cứu vành môđun nh- sau: 1.1.1.1 Định nghĩa a) Môđun A môđun M đ-ợc gọi môđun thực A M b) Môđun A M đ-ợc gọi môđun đơn A không chứa môđun thực khác 0, nghĩa có môđun A Môđun M đ-ợc gọi môđun đơn M có môđun M c) Môđun A môđun M đ-ợc gọi tối đại M A M A không chứa môđun thực M d) Môđun A M bé chứa tập hợp X M đ-ợc gọi mô đun sinh X Khi X đ-ợc gọi tập sinh hay hệ sinh A Trong tr-êng hỵp A = M ta nãi X hệ sinh M hay M đ-ợc sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M môđun hữu hạn sinh 1.1.1.2 Định nghĩa a) Giả sử F = {AiiI } họ tuỳ ý môđun R- môđun M Khi môđun sinh tập S = môđun Ai họ đà cho, ký hiệu Ai Ai đ-ợc gọi tỉng cđa I I b) Mét hä F = {Ai i I } môđun môđun M đ-ợc gọi độc lập (hay khả tổng) Aj   Ai víi mäi j  I Trong tr-ờng hợp tổng i j Ai Ai I đ-ợc gọi tổng trực tiếp họ môđun F M kí hiệu I Môđun M đ-ợc gọi phân tích đ-ợc thành tổng trực tiÕp cña mét hä: F = {Ai i  I } môđun môđun M Ai = M I Tổng trực tiếp họ môđun định nghĩa nh- đ-ợc gọi tổng trực tiÕp NÕu M lµ tỉng trùc tiÕp cđa họ môđun F = {Ai i I } phần tử x M đ-ợc biểu diễn thành tổng hữu hạn nhất: x = a1 + a2 + + an ®ã Ai víi i = 1, 2, , n c) Cho F = {Ai iI} lµ mét hä R- môđun.Tích Đềcác Ai họ F với phép toán đ-ợc định nghĩa theo thành phần làm I thành R-môđun Môđun đun đ-ợc gọi tÝch trùc tiÕpcđa hä F TËp cđa tÝch §Ị Ai gồm tất phần tử (ai) mà = I hầu hết, trừ số hữu hạn số iI, làm thành môđun môđun tích trực tiếp nói Môđun đ-ợc gọi đối tích (hay tổng trực tiếp ngoài) họ F = {Ai iI} đ-ợc ký hiệu Ai Trong I tr-ờng hợp tất môđun A i họ F môđun A tích trực tiếp tổng trực tiếp nói đ-ợc gọi luỹ thừa A kí hiệu t-ơng ứng A I A(I) t-ơng ứng Ng-ời ta dùng thuật ngữ tích (tổng) trực tiếp I copy môđun A Nếu R- môđun M tổng trực tiếp họ môđun con{Ai iI} M đẳng cấu với tổng trực tiếp họ R-môđun {Ai iI} Đảo lại, {A i iI} họ R-môđun M = Ai tổng I trực tiếp họ môđun đà cho Khi M có họ môđun {A'i iI} với Ai đẳng cấu với Ai,với iI M tổng trực tiếp môđun A' i Do số tr-ờng hợp, không cần phân biệt tổng trực tiếp vµ tỉng trùc tiÕp ngoµi, ng-êi ta dïng chung mét thuật ngữ cho hai đối t-ợng tổng trực tiếp 1.1.1.3 Định nghĩa a) Môđun M đ-ợc gọi không phân tích đ-ợc không biểu diễn đ-ợc d-ới dạng tổng trực tiếp hai môđun thực b) Giả sử M có phân tích M =  Mi I NÕu Mi  lµ môđun không phân tích đ-ợc M, i I phân tích đ-ợc gọi phân tích thành tổng trực tiếp môđun không phân tích đ-ợc 1.1.2 Môđun cốt yếu, môđun bé Căn đế môđun 1.1.2.1 Định nghĩa Cho A môđun môđun M A đ-ợc gọi môđun cốt yếu M với môđun X M có A X Trong tr-ờng hợp nµy ta cịng nãi M lµ mét më réng cèt u cđa A, vµ sư dơng ký hiƯu A  e M Mét më réng cèt yÕu M cña A đ-ợc gọi mở rộng cốt yếu thực M A Môđun M đ-ợc gọi môđun khác không M môđun cốt yếu M Đối với môđun A khác môđun M tồn mở rộng cèt yÕu cña A M Më réng cèt yÕu tối đại A M đ-ợc gọi bao ®ãng cđa A M Mét m«®un A cđa M đ-ợc gọi đóng M A không cã më réng cèt yÕu thùc sù M Ta xây dựng ví dụ cho môđun đóng M cách lấy môđun A t ý cđa M Khi ®ã M cã môđun X cho X giao với A Theo Bổ đề Zorn, ta có môđun B tối đại số môđun X có tính chất Khi B môđun ®ãng 1.1.2.2 TÝnh chÊt cđa m«®un cèt u a) A  e M  xR  A  0,   x  M b) A  B  M th× A  e M  A  e B, B  e M c) A  e M, K  M  A  K e K d) Giao họ hữu hạn môđun cốt yếu môđun M môđun cốt yếu cña M e) A  B  M, B/A  e M/A  B  e M g) Cho Ai, Mi môđun M, iI cho M = tån t¹i e  Ai, Ai  Mi i I thì: I Mi I Mi (ii)  Ai e  Mi (i) Tån t¹i I I I 1.1.2.3 Định nghĩa Cho A môđun môđun M A đ-ợc gọi môđun bé M với môđun thực X cđa M th× A + X  M Ký hiệu A M Môđun M đ-ợc gọi môđun hổng môđun thực môđun bé môđun M 1.1.2.4 Tính chất môđun bé a) Nếu A B B  C th× A 0 C víi A, B, C môđun M b) Cho A M, A  N NÕu N   M th× A 0 N c) Tỉng mét sè h÷u hạn môđun bé môđun M môđun bé môđun M d) Nếu A B, B  M ®ã B 0 M  B/A 0 M/A vµA 0 M e) NÕu A  B  C, B 0 C th× A 0 C 1.1.2.5 Định nghĩa a)Tổng tất môđun bé môđun M đ-ợc gọi môđun M Ký hiệu Rad(M) b) Giao tất môđun cốt yếu môđun M đ-ợc gọi đế (socle) môđun M Ký hiệu Soc(M) 1.1.2.6 Tính chất đế (a) Rad(M) giao tất môđun tối đại M (b) Soc(M) tổng tất môđun đơn môđun M (c) R- môđun M môđun nửa đơn chØ Soc(M) = M NhËn xÐt Theo tµi liƯu tham khảo Cơ sở lý thuyết môđun vành (T.s Ngun TiÕn Quang - T.s Ngun Duy Thn) Ch-¬ng IVmơc 1.7 ch-ơng V mục 1.2: a) Giả sử n= p1r p 2r p nr víi pi nguyªn tè Khi ®ã Soc(Zn) = n Z p1 p2 pn VËy ta suy Zn môđun nửa đơn n = p 1.p2 pn víi pi nguyªn tè b) mZ mqZ  Z qZ = Zq 1.1.3 Bï giao vµ bù cộng môđun 1.1.3.1 Định nghĩa Cho A môđun M Môđun A' M tối đại số môđun M có giao với A không đ-ợc gọi bù-giao (complement) A M Môđun B M đ-ợc gọi môđun bù - giao (complement submodule) tồn môđun A M cho B lµ bï - giao cđa A M 1.1.3.2 Mệnh đề Môđun B M đóng tồn môđun A M cho B lµ mét bï - giao cđa A M Nhận xét Bù-giao môđun M tồn nh-ng nói chung không 1.1.3.3 Tính chất 1) Cho A môđun M, môđun B bù - giao A thì: (a) B ®ãng M (b) B  A e M 2) (a) Mỗi môđun A M tồn môđun đóng (bù - giao) B cho A môđun cốt yếu B (b) Nếu A môđun đóng B B môđun đóng M A môđun đóng M (c) Nếu A môđun M B môđun đóng M cho A  B = vµ A  B e M B bù - giao A M 1.1.3.4 Định nghĩa Cho A môđun M Môđun P M tối tiểu số môđun M thoả mÃn điều kiện: A + P = M môđun P đ-ợc gäi lµ bï - céng (supplement) cđa A M Môđun B M đ-ợc gọi môđun bï - céng (supplement submodule) nÕu B lµ bï - cộng môđun M Nhận xÐt NÕu M = A  B th× B võa lµ bï - giao, võa lµ bï - céng cđa A M Kh¸c víi bï - giao cđa mét môđun con, bù - cộng môđun M không tồn Ví dụ Trong môđun ZZ môđun khác có môđun bù - cộng 1.1.3.5 Tính chất Cho A P môđun M P lµ bï - céng cđa A nÕu vµ chØ nÕu M = A + P vµ A  P 0 P 1.1.3.6 Định nghĩa Môđun M thoả mÃn điều kiện với môđun A B M cho A + B = M, A chøa bï - cộng B M ta nói M môđun khả bù (supplemented) 1.1.3.7 Định nghĩa Môđun M thoả mÃn điều kiện môđun A M có bù - cộng M đ-ợc gọi môđun khả bù yếu (weakly supplemented) 1.2 Đồng cấu môđun Từ khái niệm môđun cốt yếu, môđun bé đ-ợc trình bày mục 1.1.2 Trong mục hệ thống số khái niệm đồng cấu môđun cốt yếu, môđun bé 1.2.1 Đơn cấu cốt yếu, toàn cấu đối cốt yếu (toàn cấu bé) 1.2.1.1 Định nghĩa Đơn cấu f : K M đ-ợc gọi lµ cèt yÕu nÕu Im(f)  e M Toµn cÊu g: M N đ-ợc gọi đối cốt yếu nÕu Ker(g) 0 M 1.2.1.2.TÝnh chÊt a) NÕu  : M N đồng cấu môđun B e N th×  -1(B)  e M b) NÕu : M N đồng cấu môđun A 0 M th×  (A) 0 N c) Cho toàn cấu bé g: M N, K R-môđun M Khi K N g -1(K) M d) Cho đơn cấu cốt yếu g: M N, S R-môđun M Khi K e M g(S) e M Trong mục trình bày sơ l-ợc chứng minh tính chất a) b) tính chất lại chứng minh t-ơng tự 10 Chứng minh: a) Giả sử E môđun M E -1(B) = 0, B (E) = 0.Vì vËy  (E) = B  e N Tõ ®ã E  Ker    -1(B)  E = E -1(B) = Điều chøng tá  1 ( B)  e M  b) Gi¶ sư  (A) + D = N víi D môđun N Ta chứng minh A +  -1(D)= M (1) ThËt vËy, dÜ nhiªn A +  -1(D)  M ta xÐt víi phÇn tư m  M ta cã:  (m) =  (A)+d, a  A,  d  D Hay d =  (m) -  (a) =  (m-a)  m-a   -1(D)  m  A +  -1(D) vËy A +  -1(D) = M Do A 0 M nªn tõ (1) suy  -1(D) = M Bëi vËy  (A)   (M )  D Do ®ã N =  (A)+D = D VËy  (A) đối cốt yếu N 1.2.2 Đơn cấu chẻ ra, toàn cấu chẻ 1.2.2.1 Định nghĩa Đơn cÊu  : A  B cđa c¸c R - môđun đ-ợc gọi chẻ Im( ) hạng tử trực tiếp B 1.2.2.2 Định nghĩa Toàn cấu : A B R - môđun đ-ợc gọi chẻ Ker( ) hạng tử trực tiếp B 1.2.2.3 Mệnh đề a) Đồng cấu : A B đơn cấu chẻ tồn ®ång cÊu  : B  A cho   = idA Khi ®ã B = Im(  )  Ker(  ) b) §ång cÊu  : B C toàn cấu chẻ tồn đồng cấu : C B cho   = idC Khi ®ã B = Ker( ) Im( ) Sau hệ thống lại số kiến thức sở lớp môđun xạ ảnh nội xạ Đây lớp môđun có vai trò quan trọng nghiên cứu cấu trúc vành 21 f g gf  A  B  D  E 0 0 (3) Khi a) Nếu dÃy (1) dÃy U1- khớp B dÃy (2) U2- khớp D dÃy (3) dÃy g(U1)-khớp B U2- D b) Nếu (1) dÃy V1 -đối khớp B (2) dÃy V2-đối khớp D (3) dÃy V1 - đối khớp B f-1(V2) - đối khớp D Chứng minh: a) Ta có sơ đồ sau: C f f0 A g gf B g0 D E Theo gi¶ thiÕt ta cã Im(f0) = f-1(U1) víi U1  C Im(g) = g0-1(U2) víi U2  E ta cã f-1(U1) = f-1(g-1g(U1)) = (gf)-1(g(U1)) VËy Im(f0) = f-1(U1) =(gf)-1(g(U1)) Hay dÃy(3) dÃy g(U1)-khớp B Mặt khác dÃy (2) dÃy U2-khớp nên ta có Im(g) =g0-1(U2) Vì f toàn cấu g đơn cấu ta suy Im(g) = g(C) = g(f(B)) = Im(gf) Vậy Im(gf) = g0-1(U2) Điều có nghĩa dÃy (3) dÃy U2 -khớp D b) Giả thiết dÃy(1) dÃy V1 - đối khớp nên ta có f0(V1) = Ker(f) = f-1(0) g đơn cấu ta cã f-1(0) =f-1 (g-1(0)) = (gf)-1(0) VËy f0(V1) = (gf)-1(0) = Ker(gf) Điều suy dÃy (1) dÃy V1 - đối khớp Từ giả thiết dÃy(2) V2- đối khớp nên với V2 môđun C ta có g(V2) = Ker(g0) Mặt khác g(V2) = (gf)(f-1(V2)) Vậy Ker(g0) = (gf)(f-1(V2)) Hay dÃy(3) dÃy f-1(V2)-đối khớp D 22 2.2.1.5 Định lý Giả sử d·y f g  A  B C dÃy U - khớp B B1  B2   Bn …  …lµ dÃy R- môđun B Đặt Ci = g(Bi), Ai = f-1(f(A)  Bi) Ui = g (g-1 (U)  Bi ), fi=f l Ai, gi = glBi Khi ®ã d·y f g  Ai  Bi  C i  lµ mét d·y Ui - khíp t¹i Bi,  i  i i Chứng minh: Giả sử y Im(fi) Khi tồn t¹i x  Ai cho y = fi(x) = f(x) g-1(U) Bi.Từ cách đặt ta suy y gi-1(Ui) Ng-ợc lại ta giả sử y  gi-1(Ui) Khi ®ã y  g-1(U)  Bi = f(A) Bi, tồn a A ®Ĩ f(a) = y  Bi VËy víi a  Ai  y  im(fi) nªn gi-1(Ui) =Im(fi) Hay d·y dÃy Ui - khớp i 2.2.2 Tập sinh môđun dÃy tựa khớp 2.2.2.1 Định lý Cho dÃy U- khớp ngắn f g  A  B C  NÕu M lµ tËp sinh cđa A vµ N lµ lµ tËp sinh C Khi f(M) N' tập sinh cđa B Víi N' lµ tËp cđa B tho¶ m·n g(N') =N Chøng minh KÝ hiƯu < f(M) N' > R-môđun B sinh f(M) N' Ta cã< f(M)  N' >  B Ta chøng minhB  < f(M)  N' > ThËt vËy: Giả sử x B, có y C cho g(x) = y.Theo giả thiết N tËp sinh cđa C nªn g(x) =  yi R, (ai)I có giá hữu hạn víi yi N I Tõ gi¶ thiÕt g(N') = N g toàn cấu nên tồn xi N' cho yi = g(xi) 23  VËy ta cã g(x) = aig(xi) = g(  aixi ) I I  g(x) - g(  aixi ) = I  g(x -  aixi) = I VËy g(x -  aixi)  U Tõ gi¶ thiÕt Im(f) = g-1 (U) I  x -  aixi  g-1(U) = Im(f) I Do M lµ tËp sinh cđa A, f đơn cấu nên f(M) tập sinh cña Im(f), vËy: x -  aixi =  Hay x =  aixi +  I J I J bjzj với bj R, (bj)J có giá hữu hạn, zj  f(M) bjzj =  ckx'k víi ck  R, (ck)K có giá hữu hạn, K x k f(M)  N' VËy x  < f(M) N' >suy B  < f(M)  N' > ' Tõ ®ã ta có B =< f(M) N' >. Từ định lý ta thu đ-ợc hệ sau 2.2.2.2 Hệ Cho d·y U- khíp ng¾n f g  A  B C  NÕu A vµ C lµ môđun hữu hạn sinh B hữu hạn sinh 2.2.3 Biểu đồ giao hoán với dÃy tựa khớp 2.2.3.1 Định lý Nếu biểu đồ sau với đồng cấu môđun R f g A B C h D dòng tựa khớp h0f = tồn đồng cấu k : C D tho¶ m·n k g = h 24 Chứng minh Do dòng tựa khớp B nên ta suy tồn môđun U môđun C cho Im(f) = g-1(U) ®ång cÊu g : B  C lµ toµn cÊu.VËy y C tồn x B cho y = g(x) Ta xÐt quy t¾c k : C  D cho bëi y  k(y) = h(x) víi x  B tho¶ m·n y = g(x) Ta chứng minh k ánh xạ.Thật với u v thuộc C ta giả sử u = v u-v =0, g toàn cấu nên tồn m n thuộc B ®Ó u= g(m), v =g(n) Tõ u-v=0 ta cã g(m)-g(n) =  g(m-n) =  U VËy m-n g-1(U) mà dòng tựa khớp khớp nên m-n  Im(f) Tõ gi¶ thiÕt h g = nªn h(m-n) =  h(m) - h(n) = h(m) = h(n) Theo cách đặt ta có k(u) = h(m), k(v) = h(n) Nh- vËy víi u, v bÊt kú thuéc C u = v suy k(u) = k(v), hay k ánh xạ Ta chứng minh k đồng cấu.Thật vậy, với u , v thuéc C ta cã: k(u +v ) = h(m + n) víi mäi m, n tho¶ m·n u = g(m), v = g(n) Do h đồng cấu nªn h(m + n) = h(n) + h(n) = k(u) + k(v) VËy k(u +v ) = k(u) + k(v) (1) Víi  thuéc R ta cã k(  u) = h(  m) =  h(m) =  k(u) (2) Từ (1) (2) k đồng cấu Víi x bÊt kú thc B ®ã g(x)  C.Theo cách đặt k ta có k0g(x) = k(g(x)) = h(x).VËy k g = h B©y giê ta chøng minh k xác định nh- nhất.Thật vậy, giả sử có đồng cấu t : C D thoả mÃn t0g = h, với y y C tồn x B cho y = g(x), ta cã t(y) = t(g(x)) = (t0g)(x) = h(x) Mặt khác k(y) = k(g(x)) = h(x), vËy t(y) = k(y) víi mäi y bÊt k× thuộc C Hay t h Định lý đ-ợc chứng minh. 2.2.3.2 Định lý Cho biểu đồ đồng cấu đồng cấu môđun R 25 f g A  B  C0    A'  B' C' f ' g' Nếu dòng tựa khớp, dòng d-ới nửa khớp, hình vuông giao hoán tồn đồng cấu : C  C' tho¶ m·n  g = g' Chứng minh Vì dòng tựa khớp nên từ định nghĩa dÃy tựa khớp ta suy g toàn cấu tồn môđun U môđun C cho Im(f) = g-1(U) Vậy y thuộc C tồn x thuộc B cho y = g(x) Ta xÐt quy t¾c sau :  : C  C' y   (y)= g '(  (x)) Ta chøng minh quy tắc ánh xạ.Thật vậy, giả sử y , y2 thuéc C víi y1 = y2 , tồn x x2 thuộc B cho g(x1) = g(x2) Hay g (x1 - x2) =  U VËy x1 - x2  g-1(U) = Im(f) Do x1 - x2  Im(f) nªn tån t¹i z1 , z2 thuéc A cho f(z1 - z2) = x1 - x2 Giả thiết hình vuông sơ đồ giao hoán nên ta có (f(z1 - z2 )) =f '( (z1 - z2 )).Vì dòng d-ới dÃy nửa khớp nên Im (f ') Ker(g'), vËy f '(  (z1 - z2 ))  Ker(g') nªn g'( f '(  (z1 - z2 ))) = KÕt hỵp víi  (f(z1 - z2 )) =f '(  (z1 - z2 )) ta suy ra: g'(  (f(z1 - z2 ))) =  g'(  (x1 - x2) ) =  g'(  (x1)) = g ' (  (x2))   (y1) =  (y2 ) VËy víi y , y2 bÊt kú thuéc C ta cã y1 = y2  (y1) = (y2) nên quy tắc xác định nh- ánh xạ Ta chứng minh đồng cấu: 26 Với u, v thuộc C tồn x x' ®Ó g(x) = u, g(x') = v Ta cã  (u) = g '(  (x)),  (v) = g'(  (x')) nªn  (u + v) = g'(  (x) +  (x')) = g'(  (x)) + g'( (x')) = (u) + (v) Mặt khác víi r  R ta cã  (ru) = r(g'(  (x)) ) = r  (u) Tõ chøng minh ta suy đồng cấu Cũng từ cách đặt ta đ-ợc g = g' Bây chứng minh xác định nh- nhất.Thật vậy, giả sử có đồng cÊu  : C  C' tho¶ m·n  g = g'  Khi ®ã víi y thuộc C có x thuộc B để y = g(x) VËy  (y) =  (g(x)) = (  g )(x) = (g'  )(x) = = g'(  (x)) =  (y) Hay  (y) =  (y)  y  B nªn  Định lý đ-ợc chứng minh. 2.3 số kết DÃy tựA khớp liên quan đến số lớp môđun Trong phần đề cập đến dÃy tựa khớp liên quan đến số lớp môđun cho quen biết Phần ®-a mét sè vÝ dô chØ r»ng ®èi với môđun dÃy tựa khớp số môđun dÃy có thuộc tính định nh-ng số môđun lại thuộc tính Ta xét dÃy tựa khớp liên quan đến môđun cốt yếu, môđun bé, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ môđun nửa đơn.Tr-ớc hết ta có kết sau liên quan đến môđun cốt yếu môđun bé: 2.3.1 DÃy tựa khớp lớp môđun cốt yếu môđun đối cèt u 2.3.1.1 MƯnh ®Ị Cho d·y f g  A  B C  a) NÕu d·y dÃy U-khớp, với U cốt yếu C f cốt yếu b) Nếu dÃy dÃy V-đối khớp với V đối cốt yếu A g đối cốt yếu Chứng minh: a) §Ó chøng minh f cèt yÕu ta chøng minh Im(f) e B 27 Thật dÃy U -khớp nên Im(f) =g-1(U), U cốt yếu C nên áp dụng tính chất môđun cèt yÕu nªu 1.1.2 suy g-1(U) cèt yÕu B VËy nªn Im(f) cèt yÕu B b) T-¬ng tù ta chøng minh Ker(g) 0 B ThËt vËy dÃy đối khớp nên f(V) = Ker(g) Mặt khác V đối cốt yếu A nên áp dụng tính chất (f) môđun bé ta cã f(V) ®èi cèt yÕu B, vËy Ker(g) ®èi cốt yếu B Hay g toàn cấu đối cốt yếu. 2.3.1.2 Định lý Cho sơ đồ giao hoán f g  A  B  C     f g  A '  C'  B '  ' ' a) Gi· sư hµng thø nhÊt lµ U - khíp víi U 0 C, hµng thø hai lµ U' - khíp toàn cấu Khi g ®èi cèt yÕu th× g ' ®èi cèt yÕu b) Già sử hàng thứ nhât V- đối khớp, hàng thứ hai V' - đối khớp V' e A' đơn cấu Khi f' cốt yếu f cốt yếu Chứng minh: a) Từ giả thiết g đối cốt yếu U C, áp dụng tính chất 1.2.2 c) toàn cÊu bÐ ta cã Im(f) = g-1(U) 0 B.Hay f(A) B, áp dụng tính chất 1.2.2 b) cho đồng cÊu  : B  B' ta cã  f(A) B' Kết hợp với giả thiết sơ đồ giao hoán nên f'( (A)) = f'(A') = f(A) = g' -1(U') 0 B' Tõ Ker(g')  g' -1(U') B', áp dụng tính chất f) môđun bÐ ta cã Ker(g') 0 B' Do ®ã g' ®èi cốt yếu b) Giả thiết f' cốt yếu V'  e A', ¸p dơng tÝnh chÊt 1.2.2 d) ta cã f'(V') = = Ker(g') = g' -1(0)  e B', áp dụng tính chất 1.2.2 a) ®ång cÊu  : B  B', ta cã  -1(g' -1(0)) e B (g' )-1(0) = ( g)-1(0) e B Mặt khác ( g)-1(0) = g-1( -1(0)) kết hợp với đơn cấu nên suy 28 g-1(  -1(0)) = g-1(0) VËy f(V) = g-1(0)  e B mà f(V) Im(f) B, áp dụng tính chất 1.1.2.2 b) môđun cốt yếu ta có Im(f) e B Do f đơn cấu cốt yếu. 2.3.2 DÃy tựa khớp lớp môđun xạ ảnh 2.3.2.1 Định lý Nếu dÃy h f 0B  P1   A0 k g 0C  P2 A0 dÃy U-khớp R-môđun với P1 P2 môđun xạ ¶nh th× B  P2  C  P1 Chøng minh Gọi W R-môđun P1 P2 đ-ợc cho W = x, y / f ( x)  g ( y) U  Khi ®ã phÐp chiÕu  : W  P1 lµ toµn cÊu.ThËt vËy: nÕu x  P1 ®ã f(x)  A g toàn cấu, nên tồn y  P2 víi f(x) =g(y) VËy f(x)- g(y)=  U Do tồn (x,y) W để (x,y) = x Kết hợp với giả thiết P1 môđun-xạ ảnh, áp dụng tính chất 1.3.1.3 môđun xạ ảnh tính chất1.4.3.4 dÃy khớp chẻ ta có toàn cấu chẻ d·y khíp ng¾n i   Ker(  )  W P1    chỴ Do ®ã ta cã W  Ker(  )  P1 Nh-ng Ker  = ( x, y) W /  ( x, y)  0 = x, y  W / f ( x)  g ( y) U , x  0 = (0, y) W / g ( y) U   g 1 (U )  C hay W C P1 Xét ánh xạ ' : W  P2 ( x,y)  y vµ lập luận t-ơng tự ta đ-ợc W B P2 VËy B  P2  C  P1 Ta có điều phải chứng minh. 2.3.2.2 Định nghĩa Cho A A' R-môđun Ta nói A t-ơng đ-ơng xạ ảnh với A', kí hiệu A p A,' tồn R-môđun xạ ảnh P P' tho¶ m·n: A  P  A'  P' 29 Nhận xét Quan hệ t-ơng đ-ơng xạ ảnh môđun có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Do quan hệ t-ơng đ-ơng theo nghĩa lý thuyết tập hợp Tính chất sau mở rộng kết định lý 2.3.2.1 2.3.2.3 Định lý Cho các dÃy f g 0B  P  A0 (1) f g  B '  P '  A'  ' ' (2) dÃy (1) dÃy U - khíp, d·y (2) lµ d·y U - khíp Víi P , P ' ' môđun xạ ảnh Khi A p A ' B  p B ' Chøng minh: Tõ A  p A ' , tồn R-môđun xạ ảnh P1 P1' , cho: A P1  A '  P1 ' Nh- vËy ta cã d·y U - khíp ng¾n f g 0B  P  P1   A  P1  dÃy U ' - khớp ngắn f g  B '  P '  P '1  A'  P  ' ' ' Tõ A  P1  A'  P1' , ¸p dụng định nghĩa 2.3.2.2 ta có : B ( P '  P1' )  B '  ( P  P1 ) VËy B  p B ' 2.3.3 DÃy tựa khớp lớp môđun nội xạ 2.3.3.1 Mệnh đề Nếu dÃy f h  A  Q1   B0 g k  A  Q2   C 0 lµ dÃy V - đối khớp R-mô đun với Q1 Q2 môđun nội xạ B  Q2  C  Q1 Chøng minh Do tính chất dÃy V - đối khớp nên f g đơn cấu nên V f(V)  Q1 vµ V  g(V)  Q2 Chóng ta giả thiết V Q1 V Q2 , v× vËy V = (a, a) / a V   Q1  Q2 30 KÝ hiÖu tËp hỵp W = Q1  Q2 V XÐt ®ång cÊu t : V  Q2  Q2 (a, q) a q xác định t toàn cấu với ker(t) = V Vì từ ®Þnh lý ®ång cÊu ta cã Q2  b Q2  V  Q2 V V  Q2 hay Ker (t ) = V ' Tõ V  V Q2 Q1 Q2 nên áp dụng định lý đẵng cấu thứ hai ta có: Q1 Q2 Q1  Q2 Q1 W V    V  Q2 V V ' V  Q2 V MỈt khác V Ker(h) h toàn cấu nên áp dụng định lý đồng cấu đồng cấu h: Q1 B với h toàn cấu nên ta có Q1 W B Và ' B Từ V' V V môđun nội xạ V' W, áp dụng 1.4.3.3 ta có dÃy khíp ng¾n i h  V'  W  chẻ nên W W V' W  Im(i)  B  Q2 V' Chøng minh t-ơng tự ta đ-ợc W C Q1 Vậy B  Q2  C  Q1. §èi ngÉu víi khái niệm t-ơng đ-ơng xạ ảnh định nghĩa trên, ta có khái niệm t-ơng đ-ơng nội xạ sau đây: 2.3.3.2 Định nghĩa Cho A Và A ' R- môđun Ta nói A A' t-ơng đ-ơng nội xạ, kí hiệu A i A' tồn R-môđun nội xạ Q1 Q2 cho A  Q  A'  Q ' NhËn xét Quan hệ t-ơng đ-ơng nội xạ môđun có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu Do quan hệ t-ơng đ-ơng theo nghĩa lý thuyết tập hợp Kết sau phát biểu đối ngẫu với định lý 2.3.2.3 31 2.3.3.2 Định lý Cho dÃy AQ B (1)  A'  Q '  B ' (2) dÃy (1) dÃy V-đối khớp ,dÃy (2) dÃy V ' - đối khớp , Q Q ' R-môđun nội xạ Khi A i A' B i B ' Chøng minh: Tõ gi¶ thiÕt A i A' tồn R-môđun nội xạ Q1 Q1' cho A Q '  A'  Q '1 Nh- vËy ta thu ®-ỵc d·y V- ®èi khíp  A  Q1  Q  Q1  B  (1) vµ d·y V ' - ®èi khíp  A'  Q1  Q '  Q1  B '  ' ' (2) Tõ A  Q '  A' Q '1 , áp dụng định nghĩa 2.3.3.2 ta cã B  (Q '  Q1 )  B '  (Q  Q1 ) ' VËy B  i B '  2.3.4 D·y tùa khớp với môđun nửa đơn Tr-ớc hết nhắc lại kết dÃy khớp ngắn có liên quan đến môđun nửa đơn 2.3.4.1 Mệnh đề Cho dÃy khớp môđun f g A B C A C môđun nửa đơn Khi B môđun nửa đơn Đối với dÃy tự khớp ta có mệnh đề sau đây: 2.3.4.2 Mệnh đề Tồn dÃy tựa khớp môđun f g A B C A C môđun nửa đơn nh-ng B không môđun nửa đơn Chứng minh Xét dÃy đồng cấu Z-môđun 3Z   Z  i 18Z 18Z   Z 18Z  6Z 18Z 32 3Z ta cã (*) dÃy 6Z 18Z - khớp ngắn 18Z Từ nhận xÐt 1.1.2 ta cã A = 3Z 18Z  Z6 Z-môđun nửa đơn Z C= 18Z Z Z-môđun nửa đơn nh-ng B = Z/18Z Z/2Z Z/9Z không 6Z 18Z Z-môđun nửa đơn Z/9Z Z - môđun không phân tích đ-ợc nh-ng không nửa đơn Chú ý báo, tác giả đà chứng minh mệnh đề cách sử dụng d·y 0 Z 3Z Z  i Z  (*)     Z 9Z 9Z 9Z 3Z vµ kÕt luËn ta cã (*) lµ d·y 6Z Z - khíp ng¾n 9Z A  3Z 9Z  Z3 = { , , } C Z6 môđun nửa đơn nhiên B = Z9 môđun nửa đơn Rõ ràng lập luận tác giả không thực tế 9Z môđun 6Z nên không tồn môđun th-ơng 6Z/9Z KếT LUậN CHƯƠNG II Trong ch-ơng II hệ thống hoá số kết dÃy tựa khớp Các dÃy tựa khớp đ-ợc xây dựng phát tự nhiên khái niệm dÃy khớp dÃy nửa khớp Những mở rộng cho phép sử dụng ph-ơng pháp t-ơng tự hoá để đ-a dự đoán kết Tuy nhiên qua ví dụ thấy có khác biệt dÃy khớp dÃy tựa khớp 33 kết luận luận văn Luận văn đà đề cập giải số vấn đề sau : - HƯ thèng mét sè kh¸i niƯm tính chất sở môđun, đặcbiệt dÃy khớp 2- Giới thiệu đ-ợc định nghĩa dÃy tựa khớp, ví dụ minh hoạ dÃy tựa khớp 3- Hệ thống hoá số kết dÃy tựa khíp 4- XÐt mét sè d·y tùa khíp trªn mét số lớp môđun quen biết nh-, môđun nửa đơn, môđun cốt yếu, môđun đối cốt yếu, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 34 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiÕng viƯt [1] Ngun TiÕn Quang vµ Ngun Duy Thn (2001), Cơ sở lý thuyết mô đun vành, NXB Giáo dục [2] Ngô Thuc Lanh(1978), Đại số (Giáo trinh sau đại học), NXB Gíáo dục [3] Nguyễn xuân Tuyến Lê Văn Thuyết, Đại số trừu t-ợngTập I (Nhóm vành - Môđun), NXB Giáo dục [4] Sze- TsenHu (1973), Nhập môn đại số đồng điều, Nhà in Minh Sang Hµ Néi Tµi liƯu tiÕng anh [1] F W Anderson and K R Fuller (1992), Ring and Categories of Modules, Spring-Verlag, New York, Inc [2] S M Anvaryeh and B Davvaz (2002), U-split -Exact Sequences, Far East J Math Sci (FJMS) Vol 4, No 2, 209-219 [3] A Solian (1997), Theory of Modules, John Wiley & Sons 35 Mục lục trang Mở đầu Ch-ơng I : Các khái niệm sở 1.1 Một số kiến thức sở môđun 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Môđun xạ ảnh môđun nội xạ 11 1.4 D·y khíp 12 1.5 D·y nưa khíp 15 Ch-¬ng II : DÃy tựa khớp phạm trù môđun 18 2.1 Khái niệm chung dÃy tựa khớp phạm trù môđun 18 2.2 Một số kết dÃy tựa khớp dÃy đối khớp 20 2.3 Một số kết dÃy tựa khớp liên quan đến số lớp môđun 26 Kết luận luận văn 33 Tài liƯu tham kh¶o 34 ... cấu môđun, dÃy khớp dÃy nửa khớp 18 Ch-ơng II DÃy tựa khớp phạm trù môđuN Khái niệm dÃy tựa khớp đ-ợc xây dựng cách khái quát hoá từ khái niệm dÃy khớp Trong ch-ơng trình bày số kết dÃy tựa khớp. .. c¬ sở môđun 1.2 Đồng cấu môđun 1.3 Môđun xạ ảnh môđun nội xạ 11 1.4 DÃy khíp 12 1.5 D·y nưa khíp 15 Ch-¬ng II : DÃy tựa khớp phạm trù môđun 18 2.1 Khái niệm chung dÃy tựa khớp phạm trù môđun. .. (3) Khi a) Nếu dÃy (1) dÃy U1- khớp B dÃy (2) U2- khớp D dÃy (3) dÃy g(U1) -khớp B U2- D b) Nếu (1) dÃy V1 -đối khớp B (2) dÃy V2-đối khớp D (3) dÃy V1 - đối khớp B f-1(V2) - đối khớp D Chứng minh: