Một số hàm tử trên phạm trù môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hậu MỘT SỐ HÀM TỬ TRÊN PHẠM TRÙ MÔĐUN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Hậu MỘT SỐ HÀM TỬ TRÊN PHẠM TRÙ MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Th.S Đỗ Văn Kiên Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian học trường ĐHSP Hà Nội 2, dạy dỗ bảo tận tình thầy cô giáo, học hỏi tiếp thu nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phương pháp học tốt, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô tổ Đại số trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt trưởng thành ngày hôm Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Đỗ Văn Kiên, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho thời gian thực khóa luận Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hậu LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung mà trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Đỗ Văn Kiên Những nội dung không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Hậu Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức sở 1.1 Một số kiến thức môđun 1.2 Dãy khớp 15 1.3 Môđun tự do, môđun nội xạ môđun xạ ảnh 18 1.4 Tích tenxơ 23 1.5 Phạm trù hàm tử 26 Hàm tử Hom 32 2.1 Khái niệm hàm tử Hom 32 2.2 Một số tính chất 40 Hàm tử địa phương hóa 49 3.1 Môđun thương 49 3.2 Khái niệm hàm tử địa phương hoá 59 3.3 Một số tính chất 61 Hàm tử tenxơ 4.1 67 Khái niệm hàm tử tenxơ i 67 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 4.2 Nguyễn Thị Hậu Một số tính chất Hàm tử I- xoắn 70 77 5.1 Vành Noetherian 77 5.2 Môđun xoắn 78 5.3 Khái niệm hàm tử I-xoắn 79 5.4 Một số tính chất 81 Kết luận 86 Tài liệu tham khảo 87 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Lời mở đầu Lý chọn đề tài Đại số nghành chiếm vị trí quan trọng toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển toán học đại Với nhu cầu học hỏi sinh viên khoa toán nhiều người khác quan tâm đến toán học nói chung đại số nói riêng việc nghiên cứu môn đại số cần có hiểu biết cách sâu sắc lý thuyết phạm trù hàm tử cấu trúc đại số Lý thuyết phạm trù phát triển không đơn lý thuyết toán học nhờ vào định hướng phương pháp mới, mà quan trọng thâu tóm khái niệm nhiều nghành toán học khác vào ngôn ngữ chung, tổng quát Đặc biệt tạo khả phát biểu tính chất chung cấu trúc toán học khác Bên cạnh cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun môđun khái niệm quan trọng đại số đại Trong trình học tập nghiên cứu thấy hàm tử Hom, hàm tử địa phương hóa, hàm tử tenxơ hàm tử I-xoắn hàm tử quan trọng phạm trù môđun Vì chọn đề tài "Một số hàm tử phạm trù môđun" Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học đồng thời muốn sâu, tìm tòi nghiên cứu hàm tử phạm trù môđun: hàm tử Hom, hàm tử địa phương hóa, tử tenxơ hàm tử I-xoắn với số tính chất hàm tử Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu hàm tử phạm trù môđun: hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, hàm tử địa phương hóa hàm tử I-xoắn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Luận văn gồm chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trang bị kiến thức môđun, dãy khớp, môđun tự do, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, tích tenxơ, khái niệm phạm trù hàm tử • Chương 2: Hàm tử Hom Trong chương trình bày kiến thức tính chất Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu hàm tử Hom Mối quan hệ hàm tử Hom với môđun nội xạ, xạ ảnh, • Chương 3: Hàm tử địa phương hóa Trong chương trình bày kiến thức tính chất hàm tử địa phương hóa Mối liên hệ hàm tử địa phương hóa với hàm tử Hom • Chương 4: Hàm tử Tenxơ Trong chương trình bày kiến thức tính chất hàm tử tenxơ Mối liên hệ hàm tử tenxơ với hàm tử Hom, mối liên hệ hàm tử tenxơ với hàm tử địa phương hóa • Chương 5: Hàm tử I-xoắn Trong chương trình bày khái niệm số tính chất tính khớp, tính chất nội xạ hàm tử I-xoắn Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hậu Chương Kiến thức sở Trong chương trình bày lại số kiến thức môđun, định nghĩa tính chất dãy khớp, môđun tự do, môđun nội xạ ,môđun xạ ảnh khái niệm phạm trù hàm tử 1.1 Một số kiến thức môđun 1.1.1 Môđun Định nghĩa 1.1 Cho R vành có đơn vị = M nhóm cộng Abel Ta gọi M R-môđun trái có ánh xạ R×M →M (a, x) → ax thõa mãn điều kiện sau i) a(x + y) = ax + by ii) (a + b)x = ax + by Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu chẻ Mệnh đề 4.1 Cho M, N, P R-môđun Khi ta có R-đẳng cấu sau: HomR (M ⊗R N, P ) ∼ = HomR (M, HomR (N, P )) Chứng minh Trước hết ta xây dựng R-đồng cấu f : HomR (M ⊗R N, P ) → HomR (M, HomR (N, P )) Giả sử φ phần tử tùy ý HomR (M ⊗R N, P ) Từ định nghĩa tích ten xơ, ánh xạ hạn chế lên M × N φ (ta kí hiệu ánh xạ φ) φ:M ×N →P R- song tuyến tính Khi với phần tử u ∈ M cho trước tùy ý ta xác định R-đồng cấu cảm sinh φu : N → P φu (v) = φ(u, v), ∀v ∈ N , tức φu ∈ HomR (N, P ) Khi dễ dàng kiểm tra tương ứng u → φu , ∀u ∈ M cho ta R-đồng cấu fφ : M → HomR (N, P ) Bây ta đặt f (φ) = fφ , rõ ràng f xác định R-đồng cấu Tiếp theo, để chứng minh f đẳng cấu ta xác định ánh xạ g : HomR (M, HomR (N, P )) → HomR (M ⊗R N, P ) sau: Với phần tử tùy ý ϕ tùy ý HomR (M, HomR (N, P )) 73 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu cảm sinh ánh xạ R- song tuyến tính gϕ : M × N → P xác định gϕ (u, v) = (ϕ(u)) (v),∀u ∈ M, v ∈ N Lại theo tính phổ dụng tích ten xơ, gϕ cảm sinh R- đồng cấu gϕ : M ⊗R N → P Khi ta đặt g(ϕ) = gϕ Từ cách xây dựng f g suy g ◦ f = 1HomR (M ⊗R N,P ) , f ◦ g = 1HomR (M,HomR (N,P )) Điều chứng tỏ f đẳng cấu định lý chứng minh Định lý 4.5 Cho R M vành giao hoán có đơn vị Giả sử M R-môđun S tập nhân đóng R Khi tương ứng tự nhiên ϕ : S −1 R⊗R M → S −1 M r rx ⊗x→ s s r ∈ S −1 R, x ∈ M ánh xạ đẳng cấu s −1 S R-môđun với Chứng minh Dễ thấy tương ứng g : S −1 R × M → S −1 M r rx ( , x) → s s 74 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu ánh xạ song tuyến tính Theo định lý tính phổ dụng tích ten xơ, tương ứng cảm sinh đồng cấu R-môđun ϕ : S −1 R⊗R M → S −1 M thõa mãn ϕ ((r/s) ⊗ x) = rs/s với r/s ∈ S −1 R, x ∈ M Ta thấy ϕ đồng cấu S −1 R-môđun ϕ b r ⊗x t s =ϕ br ⊗x ts = brx b r = ϕ ⊗x ts t s với r/s, b/t ∈ S −1 R, x ∈ M Rõ ràng f toàn cấu, ta cần chứng minh f đơn cấu Trước hết ta nhận thấy phần tử tùy ý z ∈ S −1 R⊗R M n (ri /si ⊗ xi ), với si ∈ S, ri ∈ R, xi ∈ M Đặt tổng có dạng z = i=1 s = Πni=1 si , ti = Πi=j sj , ta có n n (ri /si ⊗ xi ) = i=1 n (ri ti /s ⊗ xi ) = i=1 n (1/s ⊗ ri ti xi ) = 1/s ⊗ i=1 ri ti xi i=1 Điều chứng tỏ phần tử tùy ý z ∈ S −1 R⊗R M viết dạng z = 1/s ⊗ x với s ∈ S x ∈ M Bây giả sử f (z) = 0, tức x/s = Theo định nghĩa quan hệ tương đương, tồn t ∈ S cho tx = Từ suy t 1 ⊗ x = ⊗ x = ⊗ tx = ⊗ = s st st st Vậy f đơn ánh định lý chứng minh Mệnh đề 4.2 Cho M, N R-môđun S tập nhân đóng 75 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu R Chứng minh S −1 (M ⊗R N ) ∼ = S −1 M ⊗S −1 R S −1 N Chứng minh Biến đổi vế phải vế trái S −1 M ⊗S −1 R S −1 N ∼ = (S −1 R⊗R M )⊗S −1 R S −1 N ∼ = (M ⊗R S −1 R)⊗S −1 R S −1 N ∼ = M ⊗R (S −1 R⊗S −1 R S −1 N ) ∼ = M ⊗R (S −1 R⊗S −1 R (S −1 R⊗R N )) ∼ = M ⊗R ((S −1 R⊗S −1 R S −1 R)⊗R N )) ∼ = M ⊗R (S −1 R⊗R N ) ∼ = M ⊗R (N ⊗R S −1 R) ∼ = (M ⊗R N )⊗R S −1 R ∼ = S −1 (M ⊗R N ) 76 Chương Hàm tử I- xoắn Trong chương trình bày khái niệm số tính chất tính khớp, tính chất nội xạ hàm tử I-xoắn 5.1 Vành Noetherian Định nghĩa 5.1 Cho R vành giao hoán có đơn vị 1, vành R gọi vành Noetherian thỏa mãn điều kiện sau i) Mỗi ideal R hữu hạn sinh ii) Mỗi dây chuyền tăng ideal R: I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · cho Ii = Ij , i = j dừng, tức ∃ no ∈ N : In = Ino , ∀n ≥ no iii) Mỗi tập hợp Σ = ∅ ideal R chứa phần tử tối đại Ví dụ 5.1 Z vành Noetherian ideal Z hữu hạn sinh Ngoài ra, ta lấy dãy giảm không dừng Z ⊃ 2Z ⊃ 22 Z, · · · 77 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 5.2 Nguyễn Thị Hậu Môđun xoắn Định nghĩa 5.2 Cho R vành Noetherian, I ⊂ R ideal, M R-môđun, N môđun M Đặt N : I := {m ∈ M |mI ⊆ N } M với mI = {ma|a ∈ I} Mệnh đề 5.1 (N : I )là môđun M M Chứng minh Vì N môđun M nên với ∀ n ∈ N , ta có nI ⊆ N (theo định nghĩa (N : I )) ⇒ N : I = ∅ M M ∀ m, n ∈ N : I ⇒ mI ⊆ N, nI ⊆ N M Khi (m + n) I ⊂ mI + nI ⊆ N ⇒ (m + n) ∈ N : I M ∀ m ∈ N : I , ∀r ∈ R Khi mI ⊆ N M (rm) I = r (mI) ⊆ N ⇒ rm ∈ N : I M (do R vành giao hoán) Vậy (N : I )là môđun M M Định nghĩa 5.3 Cho I ideal R, M R-môđun ta định nghĩa : In ΓI (M ) = n∈N M : I n môđun M Mệnh đề 5.2 ΓI (M ) = M n∈N Chứng minh Dễ thấy ∈ : I n ⇒ ∈ M : In ⇒ M : In = M Lấy m, n ∈ : I n , lúc tồn mo , no ∈ N cho m ∈ : I mo , M M n ∈ : I no Đặt k = max {mo , no } Khi ta suy m, n ∈ : I k M M 78 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu : In ⇒ m + n ∈ : Ik ⇒ m + n ∈ M M n∈N Mọi r ∈ R, m ∈ : I n suy tồn no ∈ N cho m ∈ : I no M M ⇒ rm ∈ : I no M Do : I n môđun M (theo mệnh đề 5.1) M : In Suy rm ∈ n∈N n 0:I Vậy M n∈N M môđun M Định nghĩa 5.4 R-môđun M gọi môđun xoắn ΓI (M ) = M Ví dụ 5.2 Cho R vành, R R-môđun 0R -xoắn (0 : {0R }n ) Thật vậy, ta cần chứng minh R = n>0 Lấy x ∈ R, ta có x.0R = ⇒ x ∈ n (0 : {0R } ) ⇒ R ⊂ n>0 R (0 : {0R }n ) n>0 R (0 : {0R } ) ⊂ R Hiển nhiên R n>0 (0 : {0R }n ) Vậy R = n>0 5.3 R n R Khái niệm hàm tử I-xoắn Định nghĩa 5.5 Cho R vành notherian, I ⊂ R ideal Khi ΓI (−) : MR → MR M → ΓI (M ) với đồng cấu R-môđun f : M → N ta xét quy tắc ΓI (f ) : ΓI (M ) → ΓI (N ) m → f (m) 79 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Khi ta ΓI (f ) đồng cấu R-môđun Thứ kiểm tra ΓI (f ) ánh xạ Nếu m ∈ ΓI (M ) ⇒ ∃ mo ∈ N cho m ∈ ∪(0 : I mo ) ⇒ mI mo = M no Nếu n ∈ ΓI (M ) ⇒ ∃no ∈ N cho n ∈ ∪(0 : I ) ⇒ nI no = M Nếu m = n ⇒ mI mo = nI no ⇒ mI mo − nI no =0 suy f (mI mo − nI no ) = ⇒ f (mI mo ) − f (nI no ) = 0, suy f (mI mo ) = f (nI no ) ⇒ ΓI f (m) = ΓI f (n) Vậy ΓI (f ) ánh xạ Thứ hai kiểm tra ΓI (f ) đồng cấu R-môđun ∀r, r ∈ R, m, m ∈ ΓI , ta có ΓI (f )(rm + r m ) = f (rm + r m ) = f (rm) + f (r m ) = rf (m) + r f (m ) = rΓI (f )(m) + r ΓI (f )(m ) Vậy ΓI (f ) đồng cấu R-môđun Vậy ΓI (−) gọi hàm tử I-xoắn Định lý 5.1 Hàm tử ΓI (−) hàm tử tuyến tính hiệp biến Ta kiểm tra ΓI (−) thỏa mãn bốn điều kiện sau i) ∀m ∈ ΓI (M ), ta có ΓI (idM )(m) = idM (m) = m = idΓI (M ) (m) Suy ΓI (idM ) = idΓI (M ) ii) ∀m ∈ ΓI (M ), ∀f : M → N, g : N → P đồng cấu R-môđun ta 80 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu có ΓI (g ◦ f )(m) =(g ◦ f )(m) = g(f (m)) = g ◦ (ΓI (f )(m)) = (ΓI (g) ◦ ΓI (f ))(m) Suy ΓI (g ◦ f ) = ΓI (g) ◦ ΓI (f ) iii) ∀m ∈ ΓI (M ), ∀f, g : M → N đồng cấu R-môđun ta có ΓI (f + g)(m) = (f + g)(m) = f (m) + g(m) = ΓI (f )(m) + ΓI (g)(m) = (ΓI (f ) + ΓI (g))(m) Suy ΓI (g + f ) = ΓI (g) + ΓI (f ) iv) ∀r ∈ R, ∀f : M → N đồng cấu R-môđun, ta có ΓI (rf )(m) = (rf )(m) = rf (m) = rΓI (f )(m) Suy ΓI (rf ) = rΓI (f ) Vậy ΓI (−)hàm tử tuyến tính hiệp biến 5.4 Một số tính chất Định lý 5.2 Cho R vành Noetherian, I ⊂ R ideal, hàm tử ΓI (−) khớp trái Chứng minh Giả sử dãy đông cấu R-môđun sau khớp f g → M −→ N −→ P → 81 (5.1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu ta cần chứng minh dãy sau khớp ΓI (f ) ΓI (g) → ΓI (M ) −→ ΓI (N ) −→ ΓI (P ) (5.2) Chứng minh ΓI (f ) đơn cấu Ta có: Ker(ΓI (f )) = {m ∈ ΓI (M ) : (ΓI (f ))(m) = 0} = {m ∈ ΓI (M ) : f (m) = 0} = (do f đơn cấu) Suy ΓI (f ) đơn cấu Chứng minh Im(ΓI (f )) = Ker(ΓI (g)) Vì g ◦ f = hàm tử ΓI (−) hiệp biến tuyến tính nên ta có ΓI (g) ◦ ΓI (f ) = ΓI (g ◦ f ) = ΓI (0) = Suy Im(ΓI (f )) ⊆ Ker(ΓI (g)) (1) Ngược lại ∀x ∈ Ker(ΓI (g)) ⇒ ΓI (g)(x) = g(x) = 0, suy x ∈ Kerg = Imf ⇒ ∃ m ∈ M : f (m) = Nếu x ∈ ΓI (N ) ⇒ ∃ no ∈ N : xI no = ⇒ I no x = I no f (m) = f (I no m) = (do f đồng cấu R-môđun) ⇒ I no m = (do f đơn cấu) ⇒ x ∈ Im(ΓI (f )) Suy (Ker(ΓI (g)) ⊆ Im(ΓI (f )) (2) Từ (1) (2) suy Im(ΓI (f )) = Ker((ΓI (g)) Vậy ΓI (f ) khớp trái Ví dụ 5.3 Hàm tử ΓI (−) nói chung không hàm tử khớp 82 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Chọn R = Z, I = 2Z f :Z→Z z → 2z p : Z → Z/2Z z → z + 2Z Khi dãy đồng cấu Z-môđun f p → Z −→ Z −→ Z/2Z → khớp, dãy đồng cấu Z-môđun Γ2Z (f ) Γ2Z (p) → Γ2Z (Z) −→ Γ2Z (Z) −→ Γ2Z (Z/2Z) → không khớp Vì Γ2Z (Z) = ∪ (0 : (2Z)n ) = n∈N Z Γ2Z (Z/2Z) = ∪ (0 : (2Z)n ) = 2Z n∈N Z/2Z Tức Γ2Z (p) không toàn cấu Vậy hàm tử ΓI (−) không khớp Định lý 5.3 Cho R vành Noether, I ideal R, E R-môđun nội xạ Khi ΓI (E) nội xạ Chứng minh Gọi J ideal R nên ta có phép nhúng j : J → R f : J → ΓI (E) đồng cấu R-môđun Có ΓI (E) ⊆ E nên ta có phép 83 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu nhúng ΓI (E) → E G  j G xR x xx  f xxxg  x  |x   ΓI (E)  h _   i   Õ J E Vì E nội xạ nên tồn h : R → E thõa mãn h ◦ j = i ◦ f Đặt eo = h(1) ∈ E ta có ∀a ∈ J, f (a) = a.f (1) = a(i ◦ f )(1) = a(h ◦ j)(1) = ah(1) = a.eo Suy f (J) = Jeo Nhắc lại (Bổ đề Artin-Ress): Nếu M R-môđun hữu hạn sinh, N ⊆ M , I ideal R tồn c > cho I n M ∩ N = I n−c (I c M ∩ N ), ∀n ≥ c Ta có Reo môđun hữu hạn sinh, ΓI (Reo ) ⊆ Reo Áp dụng bổ đề ArtinRess: ∃ k1 > 0, cho I n Reo ∩ ΓI (Reo ) = I n−k1 (I k1 Reo ∩ ΓI (Reo )) ∀n ≥ k1 Do R Noether, Reo hữu hạn sinh nên tồn k2 > cho ΓI (Reo ) = : I k2 Reo Đặt k = k1 + k2 suy I k eo ∩ ΓI (Reo ) = I k2 (I k1 eo ∩ ΓI (Reo )) = Mà f (J) ⊆ ΓI (E), ΓI (f (J)) = f (J) = Jeo Suy ΓI (Jeo ) = Jeo ⊆ ΓI (Reo ) ⇒ I k eo ∩ Jeo = Ta có tổng trực tiếp I k eo ⊕ Jeo 84 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Hậu Xét ánh xạ p : I k eo ⊕ Jeo → Jeo phép chiếu tắc hợp thành − p : I k + J → Jeo → E a + b → beo ta có biểu đồ G j GR ww w w p www w  {ww h Ik + J E thõa mãn p = h ◦ j Ta có I k h(1) = h(I k ) = h ◦ j(I k ) = p(I k ) = ⇒ h(1) ∈ (0 : I k ) ⊆ ΓI (E) Xét ánh xạ E g : R → ΓI (E) x → xh(1) Ta kiểm tra (g ◦ j)(b) = f (b), thật vậy, ta có g ◦ j(b) = g(b) = bh(1) = h(b) = (h ◦ j)(b) = p(b) = beo = bh(1) = h(b) = f (b) Vậy ΓI (E) nội xạ 85 Kết luận chung Khóa luận đề cập đến vấn đề sau: • Khóa luận trình bày khái niệm số tính chất hàm tử Hom, hàm tử địa phương hoá, hàm tử ten xơ, hàm tử I-xoắn Đối với vấn đề lựa chọn cho khoá luận, hi vọng vấn đề giúp cho việc nghiên cứu vấn đề khác đại số thuận lợi • Buổi đầu làm quen với nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian khả chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, mong thầy cô, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện thực trở thành tài liệu tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên • Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo Đỗ Văn Kiên, người hướng dẫn bảo tận tình cho nghiên cứu đề tài Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ đại số đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận 86 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường (2007), Đại số đại, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Viết Đông-Trần Huyền (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh [3] Dương Quốc Việt (2008) Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất đại học sư phạm [4] Sze-Tsen-Hu (1973), Nhập môn đại số đồng điều, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp 87 ... hàm tử phạm trù môđun: hàm tử Hom, hàm tử địa phương hóa, tử tenxơ hàm tử I-xoắn với số tính chất hàm tử Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu hàm tử phạm trù môđun: hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, hàm tử. .. trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun môđun khái niệm quan trọng đại số đại Trong trình học tập nghiên cứu thấy hàm tử Hom, hàm tử địa phương hóa, hàm tử tenxơ hàm tử I-xoắn hàm tử quan... phương hóa với hàm tử Hom • Chương 4: Hàm tử Tenxơ Trong chương trình bày kiến thức tính chất hàm tử tenxơ Mối liên hệ hàm tử tenxơ với hàm tử Hom, mối liên hệ hàm tử tenxơ với hàm tử địa phương