Một số hàm tử trên phạm trù môđun

Với nhu cầu học hỏi của sinh viên khoa toán và nhiều người khác quan tâm đến toán học nói chung và đại số nói riêng thì việc nghiên cứu môn đại số cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc lý

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Th.S Đỗ Văn Kiên

Hà Nội – Năm 2016

Trong thời gian học tại trường ĐHSP Hà Nội 2, được sự dạy dỗ chỉ bảotận tình của các thầy cô giáo, tôi đã học hỏi và tiếp thu được nhiều trithức khoa học, kinh nghiệm và phương pháp học tốt, bước đầu được làmquen với công việc nghiên cứu khoa học.

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán,các thầy cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ dìu dắt chúngtôi trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo Đỗ VănKiên, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quýbáu cho tôi trong thời gian thực hiện khóa luận

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thâncòn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinh viên để khóaluận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Hậu

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóa luận này

là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thân dưới sự hướngdẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là thầy Đỗ VănKiên Những nội dung này không trùng với kết quả nghiên cứu của cáctác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Hậu

Lời mở đầu 1

1.1 Một số kiến thức cơ bản về môđun 4

1.2 Dãy khớp 15

1.3 Môđun tự do, môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 18

1.4 Tích tenxơ 23

1.5 Phạm trù và hàm tử 26

2 Hàm tử Hom 32 2.1 Khái niệm hàm tử Hom 32

2.2 Một số tính chất 40

3 Hàm tử địa phương hóa 49 3.1 Môđun các thương 49

3.2 Khái niệm hàm tử địa phương hoá 59

3.3 Một số tính chất 61

4 Hàm tử tenxơ 67 4.1 Khái niệm hàm tử tenxơ 67

4.2 Một số tính chất 70

5 Hàm tử I- xoắn 77 5.1 Vành Noetherian 77

5.2 Môđun xoắn 78

5.3 Khái niệm hàm tử I-xoắn 79

5.4 Một số tính chất 81

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một nghành chiếm vị trí quan trọng trong toán học Nó

góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học hiện đại Với nhu cầu học

hỏi của sinh viên khoa toán và nhiều người khác quan tâm đến toán học

nói chung và đại số nói riêng thì việc nghiên cứu môn đại số cần có sự

hiểu biết một cách sâu sắc lý thuyết phạm trù và hàm tử và cấu trúc

đại số

Lý thuyết và phạm trù được phát triển không chỉ đơn thuần như một

lý thuyết toán học nhờ vào định hướng và phương pháp mới, mà quan

trọng nó thâu tóm được khái niệm của nhiều nghành toán học khác vào

trong ngôn ngữ chung, tổng quát hơn Đặc biệt tạo khả năng phát biểu

những tính chất chung của những cấu trúc toán học khác nhau Bên

cạnh đó các cấu trúc đại số bao gồm nhóm, vành, trường, môđun thì

môđun là một trong những khái niệm quan trọng của đại số hiện đại

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tôi thấy hàm tử Hom, hàm tử

địa phương hóa, hàm tử tenxơ và hàm tử I-xoắn là những hàm tử quan

trọng trong phạm trù các môđun Vì vậy tôi đã chọn đề tài "Một số

hàm tử trên phạm trù môđun"

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học đồng thời

muốn đi sâu, tìm tòi nghiên cứu về các hàm tử trong phạm trù môđun:

hàm tử Hom, hàm tử địa phương hóa, tử tenxơ và hàm tử I-xoắn cùng

với một số tính chất của các hàm tử

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu hàm tử trong phạm trù môđun: hàm tử Hom, hàm tử

tenxơ, hàm tử địa phương hóa và hàm tử I-xoắn

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu giáo trình, sách tham khảo và các tài liệu liên quan

đến nội dung nghiên cứu

6 Cấu trúc khóa luận

Luận văn gồm 5 chương

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này trang bị kiến thức cơ bản về môđun, về

dãy khớp, môđun tự do, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh, tích tenxơ,

khái niệm phạm trù và hàm tử

• Chương 2: Hàm tử Hom

Trong chương này trình bày các kiến thức và tính chất cơ bản của

hàm tử Hom Mối quan hệ của hàm tử Hom với các môđun nội xạ,

xạ ảnh,

• Chương 3: Hàm tử địa phương hóa

Trong chương này trình bày kiến thức và tính chất cơ bản của hàm

tử địa phương hóa Mối liên hệ giữa hàm tử địa phương hóa với

hàm tử Hom

• Chương 4: Hàm tử Tenxơ

Trong chương này trình bày kiến thức và tính chất cơ bản của hàm

tử tenxơ Mối liên hệ giữa hàm tử tenxơ với hàm tử Hom, mối liên

hệ giữa hàm tử tenxơ với hàm tử địa phương hóa

• Chương 5: Hàm tử I-xoắn

Trong chương này trình bày khái niệm và một số tính chất như tính

khớp, tính chất nội xạ của hàm tử I-xoắn

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hậu

Kiến thức cơ sở

Trong chương này trình bày lại một số kiến thức cơ bản về môđun, định

nghĩa và tính chất cơ bản của dãy khớp, môđun tự do, môđun nội xạ

,môđun xạ ảnh và khái niệm phạm trù và hàm tử

1.1.1 Môđun

Định nghĩa 1.1 Cho R là một vành có đơn vị 1 6= 0 và M là một nhóm

cộng Abel Ta gọi M là R-môđun trái nếu có ánh xạ

iii) (ab)x = a(bx)

iv) 1.x = x

với mọi a, b ∈ R và mọi x, y ∈ M

Chú ý: Nếu tiên đề iii) được thay bởi (ab)x = b(ax) thì M được gọi là

môđun phải Nếu vành R giao hoán thì khái niệm môđun trái và môđun

phải là như nhau Trong toàn bộ khóa luận này các R-môđun đều là các

R-môđun trái

Ví dụ 1.1 Mỗi ideal trái của vành R là một R-môđun Đặc biệt mỗi

ideal của R là một R-môđun và R cũng là một R-môđun

Ví dụ 1.2 K là một trường thì các K-môđun chính là các không gian

vectơ trên K

Ví dụ 1.3 Mỗi nhóm Abel cộng M đều được coi là Z-môđun với phépnhân ngoài xác định như sau, với mỗi x ∈ M và n ∈ Z thì nx =

x + x + · · · + x với n nguyên dương, 0x = 0M

Nhận xét 1.1 Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ khái niệm môđun là một

khái niệm tổng quát của các khái niệm: vành, ideal, không gian vectơ,

nhóm Abel Ngoài ra mỗi môđun tự nó là một Z-môđun

1.1.2 Môđun con

Định nghĩa 1.2 Một tập con không rỗng N của một R-môđun M được

gọi là một R-môđun con của M nếu N cùng với hai phép toán trong M

thu hẹp vào N là một R-môđun Khi N là một môđun con của M , thì

ta nói rằng M là một môđun mở rộng của N

Định lý 1.1 Một tập con N của R-môđun M là một R-môđun con của

M nếu và chỉ nếu 0M ∈ N và ax + by ∈ N với mọi x, y ∈ N và a, b ∈ R

Ví dụ 1.4 Mỗi R-môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường là

môđun con không 0 và M

Ví dụ 1.5 Mọi nhóm con của một nhóm Abel M đều là một Z-môđun

Ví dụ 1.6 Mọi ideal của một vành R có đơn vị 1 6= 0 đều là một môđun

Ni được gọi là tổng của họ {Ni}

i∈I các môđun con của M

i∈INi cũng là R-môđun con của M

1.1.3 Môđun con sinh bởi một tập

Định nghĩa 1.4 Cho M là một R-môđun, S ⊂ M Theo định lý 1.2

giao tất cả các môđun con của M chứa S là một môđun con của M

chứa S (đó là môđun con nhỏ nhất của M chứa tập hợp con S đã cho)

Môđun này được gọi là môđun con sinh bởi tập S và kí hiệu hSi Như

vậy hSi=∩Mα (với Mα là các môđun con của M chứa S)

i)Nếu hSi=M thì S là tập sinh của M hay M được sinh bởi S

ii)Nếu hSi=M và S hữu hạn thì M gọi là môđun hữu hạn sinh

Đặc biệt

• Nếu S = {a} và hSi = M thì M được gọi là môđun xyclic

• Nếu S = ∅ thì h∅i = h0i

(x + N ) + (y + N ) = x + y + N

Trên M/N xác định phép nhân vô hướng như sau

a (x + N ) = ax + N, a ∈ R, x ∈ M

Khi đó M/N là một R-môđun

Thật vậy mọi a, b ∈ R, mọi x + N, y + N ∈ M/N

a(x + N + y + N ) = a(x + y + N ) = a(x + y + N )

Ví dụ 1.7 Cho M là R-môđun, tồn tại các môđun con {0} và M Do

đó tồn tại các môđun thương

Ví dụ 1.9 Cho R là vành có đơn vị thì R là R-môđun I là ideal của

R thì I là R-môđun của R Khi đó, tồn tại môđun thương

R/I = {x + I|x ∈ R}.

1.1.5 Đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.5 Cho M , N là các R-môđun, ánh xạ

f : M → N

gọi là đồng cấu môđun (hay R-đồng cấu hoặc ánh xạ tuyến tính) nếu

thõa mãn các điều kiện sau

i) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ M

ii) f (ax) = af (x), ∀a ∈ R, ∀x ∈ M

• Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương

ứng được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu

• Cho M , N là các R-môđun, M là môđun con của N , khi đó ánh xạ

là đồng cấu gọi là đồng cấu đồng nhất.

•Nếu f (M)={0} thì f được gọi là đồng cấu không, thường được viết là

Nhận xét 1.3 Cho R-đồng cấu f : M → N Khi đó

i) f là đồng cấu không khi và chỉ khi Kerf = M

ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = N

Do f là một đồng cấu giữa hai nhóm Abel M và N nên f (−x) = −f (x)

với x ∈ M và f (0M) = 0N

Ví dụ 1.10 Ánh xạ

0 : M → N

x 7→ 0

∀x ∈ M là đồng cấu Ta gọi nó là đồng cấu tầm thường

Ví dụ 1.11 Với mỗi môđun con N của một R-môđun M ánh xạ nhúng

i : N → M

biến mỗi phần tử của N thành chính nó là một đơn cấu gọi là đơn cấu

chính tắc hay phép nhúng chính tắc

Ví dụ 1.12 Cho N là một môđun con của một R-môđun M thì ta có

môđun thương M/N Khi đó quy tắc

môđun con của M, B là môđun con của N Khi đó

1 f (A) = {f (x) |x ∈ A} là một môđun con của N

2 f−1(B) = {x ∈ M |f (x) = B} là môđun con của M

Đặc biệt:

i) Kerf = {x ∈ M |f (x) = 0} = f−1(0).

ii) Imf = {f (x) |x ∈ M } = f (M )

Mệnh đề 1.3 Cho M, N là các R-môđun, f : M → N là R-đồng cấu

môđun, khi đó các điều kiện sau đây tương đương

i)f = θ

ii) Imf = N

iii) Kerf = M

Mệnh đề 1.4 (Định lý đồng cấu môđun) Cho f : M → N là đồng cấu,

Kerf là môđun con của M và p : M → M/Kerf là toàn cấu chính tắc.Khi đó tồn tại duy nhất một đơn cấu

con của N và N là một môđun con của M Khi đó ta có đẳng cấu

M /N ∼= (M /P )/(N /P )

Hệ quả 1.3 (Định lý đẳng cấu Noether thứ hai) Nếu M, N là hai

môđun con của cùng một môđun thì ta có

(M + N )/N ∼= M /(M ∩ N )

Mệnh đề 1.5 Cho M, N, P là các R - môđun f : M → N và g : N → P

là các R-đồng cấu môđun, khi đó h = g ◦ f là đồng cấu tầm thường nếu

và chỉ nếu Imf ⊆ Kerg

1.1.6.Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các

(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi+ yi)i∈I

a(xi)i∈I = (axi)i∈I

Với (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈ Q

i∈I

Mi, a ∈ R Khi đó Q

i∈I

Mi là R-môđun gọi là tích

trực tiếp của họ môđun {Mi}i∈I

Định nghĩa 1.7 (Tổng trực tiếp) Cho họ không rỗng các môđun{Mi}i∈I Xét tập con của Q

i∈I

Mi gồm các bộ x = (xi), mà hầu hết các

thành phần bằng 0, trừ ra một số hữu hạn Dễ thấy đó là tập con ổn

định trong{Mi}i∈I, và do vậy nó là môđun con Ta gọi là môđun tổng

trực tiếp của họ và kí hiệu là ⊕

Định lý 1.5 Cho M, N, P là các R-môđun ,các đồng cấu f : M → N

và f : N → P Nếu h = g ◦ f là một đồng cấu thì ba phát biểu sau đây

là đúng

i) f là đơn cấu

ii) g là toàn cấu

iii) N ∼= Imf ⊕ Kerg

Định nghĩa 1.8 (Hạng tử trực tiếp) Cho M là R-môđun, N là môđun

con của M Ta nói N là hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại

môđun con P sao cho M = N ⊕ P Khi đó ta cũng nói P cũng là một

môđun con phụ thuộc của N trong M

Nhận xét 1.5 i) Nếu M là không gian vectơ hữu hạn chiều thì mọi

không gian vectơ con của M đều có một không gian con phụ

ii) M = ⊕n

i=1

Mi ⇔ M = M1 + M2 + + Mn, Mi∩P Mj = 0, j = 1, mĐặc biệt M = N ⊕ P ⇔ M = N + P, N ∩ P = 0

được gọi là một dãy khớp ngắn.

Định nghĩa 1.11 Dãy khớp các đồng cấu

· · · → N −→ Mf −→ P → · · ·g

được gọi là chẻ ra tại môđun M , nếu Imf =Kerg là một hạng tử trực

tiếp của M Tức tồn tại môđun con A sao cho

M = Imf ⊕ A = Kerg ⊕ A

Nhận xét 1.6 i) Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ ra tại mỗi

môđun trung gian

ii) Xét dãy khớp ngắn 0 → N −→ Mf −→ P → 0 chẻ ra nếu và chỉ nếug

nó chẻ ra tại M

Ví dụ 1.13 Cho đồng cấu h : N → M

0 → Kerh → Ni → Mh → M /Imh → 0p

trong đó i là phép nhúng và p là phép chiếu chính tắc mà tính khớp tại

các môđun trung gian Kerh, N , M , M /Imh gần như là hiển nhiên

Ví dụ 1.14 Cho h : N → M là một đơn cấu mà không là đẳng cấu

Khi đó Kerh = 0 và do vậy "dãy khớp của h" là dãy khớp ngắn

0 → N −→ Mh −→ M /Imh → 0.p

Tương tự nếu h là toàn cấu mà không là đẳng cấu thì "dãy khớp của h"

cũng là dãy khớp ngắn

0 → Kerh −→ Ni −→ M → 0.h

Ví dụ 1.15 Cho M là R-môđun, N là môđun con của M Đơn cấu

i : N → M và p : M → M /N tạo thành dãy khớp ngắn (trong đó i là

Định lý 1.6 (Điều kiện tương đương của dãy khớp ngắn)

các R-đồng cấu của những môđun chẻ ra tại môđun M nếu tồn tại một

đồng cấu f : M → N sao cho h ◦ f = 1N là R- tự đẳng cấu

Khi đó

M ∼= Imf ⊕ Img ∼= N ⊕ Img

Hệ quả 1.6 Một dãy khớp tùy ý

· · · → N −→ Mf −→ P → · · ·g

các R-đồng cấu của những môđun chẻ ra tại môđun M nếu tồn tại một

đồng cấu k : P → M sao cho g ◦ k = 1P là R- tự đẳng cấu Khi đó

M ∼= Imf ⊕ Img ∼= Imf ⊕ P

Định lý 1.8 Dãy khớp ngắn

0 → N −→ Mf −→ P → 0g

chẻ ra nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau thõa mãn

i) Tồn tại đồng cấu f0 : M → N sao cho f0 ◦ f = 1N

ii) Tồn tại một đồng cấu g0 : P → M sao cho g0 ◦ g = 1P

1.3.1.Môđun tự do

Định nghĩa 1.12 Tập con S của R-môđun M được gọi là độc lập tuyến

tính, nếu từ mỗi đẳng thức

a1x1 + + anxn = 0

với x1, · · · , xn ∈ S từng đôi một khác nhau, ta rút a1 = · · · = an = 0

Nếu trái lại S được gọi là tập phụ thuộc tuyến tính Nếu môđun M có

một hệ sinh S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là môđun tự do và tập

S gọi là một cơ sở của M

Ví dụ 1.17 Vành R là môđun tự do trên chính nó với cở sở là {1}

Ví dụ 1.18 Mỗi không gian vectơ trên trường K đều là một K-môđun

tự do vì nó luôn có cơ sở

Ví dụ 1.19 Vành đa thức R[X] trên vành giao hoán R là một R-môđun

tự do với cơ sở {1, X, X2, · · ·}

Ví dụ 1.20 Vành Z6 tập tất cả các lớp số nguyên thặng dư theo môđun

6 là một Z-môđun Tuy nhiên do 6x = 0 với mọi x ∈ Z6 nên Z6 không

có cơ sở và vì vậy nó không phải là một Z-môđun tự do

Định lý 1.9 R-môđun là tự do nếu và chỉ nếu tồn tại một tập chỉ số I

sao cho

M ∼= R(I)

Nhận xét 1.7 Nếu M là một môđun tự do với cơ sở S thì M ∼= R(S)

Định lý 1.10 R-môđun M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng

trực tiếp của họ nào đó bản sao của vành hệ tử R

Định lý 1.11 (Định lý tính phổ dụng của môđun tự do)

Cho M là một R-môđun tự do với cơ sở S và N là một R-môđun bất kì

Khi đó mỗi ánh xạ g : S → N đều mở rộng được thành đồng cấu duy

nhất f : M → N

Định lý 1.12 Mỗi R-môđun đều đẳng cấu với một môđun thương của

một R-môđun tự do

1.3.2 Môđun nội xạ

Định nghĩa 1.13 Cho R-môđun E được goị là nội xạ nếu thõa mãn tính

chất phổ dụng sau đây: với các R-đồng cấu f : N → M và g : N → E

trong đó f là đơn cấu, luôn tồn tại duy nhất một R-đồng cấu h : M → E

sao cho g = h ◦ f , tức làm cho biểu đồ sau (dòng trên là khớp) là giao

Ví dụ 1.21 Dễ thấy rằng mỗi không gian vectơ V trên trường K đều

là một K-môđun nội xạ vì mỗi ánh xạ tuyến tính từ một không gian

vectơ con của W đến V đều có thể mở rộng ra toàn không gian vectơ V

Nhận xét 1.8 Mỗi R-môđun đều có thể nhúng vào R-môđun nội xạ

Định lý 1.13 Cho (Ei)i∈I là một họ các R-môđun Khi đó tích trực

tiếp Πi∈IEi là nội xạ khi và chỉ khi Ei là nội xạ với mọi i ∈ I

Bổ đề 1.1 (Bổ đề Zorn) Nếu trong tập hợp sắp thứ tự mà mỗi tập con

sắp toàn phần có cận trên thì trong tập hợp đó đều có phần tử cực đại

Sau đây ta có một tiêu chuẩn đơn giản nhưng rất hữu hiệu để kiểm

tra tính nội xạ của một môđun

Định lý 1.14 (Tiêu chuẩn Baer) Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ

khi mỗi R-đồng cấu I → E từ một ideal I của R (xem như R-môđun)

vào E luôn được mở rộng thành đồng cấu R → E

Định lý 1.15 Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mọi dãy khớp

ngắn

0 → E −→ Mf −→ Mg 0 → 0

là chẻ ra

Định nghĩa 1.14 i) Một R-môđun M được gọi môđun chia được, nếu

mọi phần tử không là ước của không a ∈ R ta luôn có

aM = {ax,∀x ∈ M } = M

ii) Một nhóm Abel G được gọi là nhóm chia được nếu G là Z-môđunchia được

Mệnh đề 1.6 Mọi môđun nội xạ là chia được

Định lý 1.16 Giả sử R là một vành chính Khi đó một R-môđun E là

nội xạ khi và chỉ khi E là chia được

Hệ quả 1.7 Một nhóm Abel là nội xạ khi và chỉ khi nó là chia được

Định lý 1.17 Mỗi R-môđun luôn đẳng cấu với môđun con của một

R-môđun nội xạ

1.3.3 Môđun xạ ảnh

Định nghĩa 1.15 Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi

R-đồng cấu f : M → N và g : P → N trong đó f là toàn cấu, tồn tại

duy nhất một R-đồng cấu h : P → M sao cho g = f ◦ h, tức làm cho

biểu đồ sau (dòng cuối là khớp) là giao hoán.

Khi đó ta nói h là một nâng lên của g

Định lý 1.18 Cho(Pi)i∈I là một họ các R-môđun Khi đó tổng trực tiếp

⊕i∈IEi là xạ ảnh khi và chỉ khi Pi là xạ ảnh với mọi i ∈ I

Định lý 1.19 Một R-môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P đẳng cấu với

một hạng tử trực tiếp của R-môđun tự do Hơn nữa, mọi hạng tử trực

tiếp của một môđun xạ ảnh là xạ ảnh

Hệ quả 1.8 Một R-môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi mọi dãy khớp

ngắn

0 → N −→ Mf −→ P → 0g

là chẻ ra

Hệ quả 1.9 Mọi môđun tự do là xạ ảnh

Ví dụ 1.22 Xét vành R = Z6 Gọi M, N lần lượt là các R-môđun concủa R sinh bởi phần tử 2 và 3 của R Khi đó R = M ⊕ N suy ra M, N

là các R-môđun xạ ảnh Hai môđun này không tự do trên R vì 2 · 3 = 0

Ví dụ 1.23 Nhận xét rằng mọi Z-môđun xạ ảnh đều không xoắn Do

đó mỗi Z-môđun xoắn, chẳng hạn Z2 không phải là một môđun xạ ảnh

1.4 Tích tenxơ

Cho M , N , P là các R-môđun và luôn giả thiết vành R là vành giao

hoán có đơn vị là 1 Khi đó ánh xạ

Định lý 1.20 (Tính phổ dụng của tích ten xơ) Giả sử M, N là các

R-môđun và g : M × N → M ⊗ N là ánh xạ ten xơ Khi đó với mỗi ánh

xạ song tuyến tính f : M × N → P với P là một R-môđun, tồn tại duy

nhất một đồng cấu R-môđun h : M ⊗ N → P sao cho f = h ◦ g

Định nghĩa 1.16 Cho M , N là hai R-môđun Tích tenxơ của M và

N là cặp (T, ϕ) với T là một R-môđun và ϕ : M × N → T là một ánh

xạ song tuyến tính có tính chất là với mỗi R-môđun P và một ánh xạ

song tuyến tính φ : M × N → P , đều tồn tại duy nhất một đồng cấu

R-môđun f : T → P sao cho f ◦ ϕ = φ tức biểu đồ sau giao hoán

φ

$$I I I I I

ii) Không phải mọi phần tử của M ⊗ N đều có dạng x ⊗ y với x ∈ M, y ∈

N Ta chỉ có thể kết luận mọi phần tử của đều biểu diễn được dưới

Định lý 1.21 Với hai R-môđun M và N luôn tồn tại tích tenxơ (T, ϕ)

trên chúng Hơn nữa, nếu (T0, ϕ0) là một tích ten xơ khác của M và Nthì tồn tại duy nhất một R-đẳng cấu f : T → T0 sao cho ϕ0 = f ◦ ϕ.Mệnh đề 1.7 Cho M, N, P là các R-môđun Khi đó ta cũng những R-

đẳng cấu sau

i) (Giao hoán) M ⊗R N ∼= N ⊗R M

ii) (Kết hợp) (M ⊗RN )⊗RP ∼= M ⊗R(N ⊗RP ).

iii) (Phân phối) (M ⊗RN )⊕RP ∼= (M ⊗RN )⊕R(M ⊗RP )

iv) (Kết hợp)(M ⊗RR) ∼= (R⊗RM ) ∼= M

Định nghĩa 1.17 (Tích ten xơ của hai đồng cấu)

Cho f : M → M0, g : N → N0 các đồng cấu R-môđun, ánh xạ

h : M × N → M0 ⊗ N0

(x, y) 7→ f (x) ⊗ g(y)

là song tuyến tính, tồn tại duy nhất đồng cấu f ⊗ g : M ⊗ N → M0⊗ N0

thõa mãn f ⊗ g(x ⊗ y) = f (x) ⊗ g(y)

Đồng cấu f ⊗ g gọi là tích ten xơ của f và g

Nhận xét 1.10 Nếu f và g là hai đơn cấu thì chưa chắc f ⊗ g là đơn

ii) Nếu f, g là các toàn cấu thì f ⊗ g cũng là toàn cấu.

Định lý 1.22 Cho M, N là những R-môđun Giả sử M phân tích được

Định lý 1.23 Cho f : M → M0 và f : N → N0 là các toàn cấu

R-môđun Khi đó tích ten xơ f ⊗ g : M ⊗ N → M0⊗ N0 là toàn cấu nhóm,

đồng thời hạt nhân Ker(f ⊗ g) là nhóm con của M ⊗ N được sinh bởi

phần tử x ⊗ y trong đó x ∈ Kerf hoặc y ∈ Kerg

1.5.1.Phạm trù

Định nghĩa 1.18 Một phạm trù K được cho bởi

(K1) Một lớp các vật Ob(K) mà mỗi phần tử của Ob(K) được gọi là

một vật của phạm trù K

(K2) Hai vật A, B tùy ý của Ob(K) luôn xác định một tập hợp

MorK(A, B) các cấu xạ từ vật A đến vật B sao cho với hai cặp

khác nhau của vật (A, B) 6= (C, D)

MorK(A, B) ∩ MorK(C, D) = ∅

(K3) Với mỗi bộ ba (A, B, C) tùy ý các vật Ob(K) luôn có một ánh xạ

MorK(B, C) × MorK(A, B) 3 (β, α) 7→ βα ∈ MorK(A, C)

gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau đây thõa mãn

i) Kết hợp γ(βα) = (γβ)α, ∀α ∈ MorK(A, B), β ∈ MorK(B, C), γ ∈

MorK(C, D)

ii) Có đồng nhất với mỗi vật A ∈ Ob(K) tùy ý luôn tồn tại một cấu xạ

1A ∈ MorK(A, A) gọi là phần tử đồng nhất, sao cho

Ngoài ra, ta viết A ∈ K thay cho A ∈ Ob(K), α ∈ K thay cho α ∈

Mor(K) và viết α : A → B thay cho α ∈ Mor(A, B)

Định nghĩa 1.19 Cho K là một phạm trù và α : A → B là một cấu

xạ Khi đó ta có định nghĩa sau

i) α được gọi là đơn cấu nếu

αγ1 = αγ2 ⇒ γ1 = γ2, ∀ C ∈ K, ∀ γ1, γ2 ∈ MorK(C, A)

ii) α được gọi là toàn cấu nếu

β1α = β2α ⇒ β1 = β2, ∀ C ∈ K, ∀ β1, β2 ∈ MorK(B, C)

iii) α được gọi là song cấu nếu α vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu

iv) α được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại β ∈ MorK(B, A) sao cho βα = 1A

và αβ = 1B

v) Nếu A = B thì α được gọi là tự đồng cấu Một cấu xạ vừa là tự đồng

cấu vừa là đẳng cấu thì được gọi là một tự đẳng cấu

• Mor(A, B)=Hom(A, B) là tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm từ

nhóm Abel A vào nhóm Abel B

• Tích các cấu xạ bằng ánh xạ hợp thành

Ví dụ 1.26 Phạm trù nhóm các R-môđun

• Ob(R) là lớp tất cả các R-môđun

• Tích các cấu xạ là tích các R-đồng cấu

1.5.2.Hàm tử

Định nghĩa 1.20 Cho P và Q là hai phạm trù Một hàm tử hiệp

biến (tương ứng nghịch biến) F từ P vào Q là một cặp các ánh xạ

F = (FO, FM)

FO : Ob(P) → Ob(Q)

FM : Mor(P) → Mor(Q)

thõa mãn các điều kiện sau đây

i) ∀ A, B ∈ Ob(P), ∀ α ∈ Mor(A, B) ⇒ FM(α) ∈ Mor(FO(A), FO(B)),

(tương ứng mọi α ∈ Mor(A, B) ⇒ FM(α) ∈ Mor(FO(B), FO(A))

ii) FM(1A) = 1FO(A), ∀A ∈ Ob(P)

iii) ∀ A, B, C ∈ Ob(P), ∀ α ∈ Mor(A, B), β ∈ Mor(B, C) ⇒ FM(βα) =

FM(β) · FM(α)

(tương ứng ∀ A, B, C ∈ Ob(P), ∀ α ∈ Mor(A, B), β ∈ Mor(B, C)

⇒ FM(βα) = FM(α) · FM(β).)

Để thuận tiện ta viết F thay cho FO và FM Giả sử F : P → Q,

G : Q → R Khi đó, bằng cách lấy hợp thành ta được hàm tử mới

G ◦ F : P → R gọi là hàm tử hợp thành của F và G Nếu F và G cùng

hiệp biến hoặc nghịch biến thì G ◦ F hiệp biến, ngược lại G ◦ F là nghịch

biến

Ví dụ 1.27 Hàm tử quên F từ phạm trù các Nhóm Abel vào phạm trù

tập hợp được định nghĩa như sau

FO : Ob(Ω0) 3 A 7→ A ∈ Ob(Ω)

FM : Mor(Ω0) 3 α 7→ α ∈ Mor(Ω)

Ví dụ 1.28 Hàm tử biểu diễn

Cho K là một phạm trù và A ∈ K Khi đó ta xác định một hàm tử

MorK(A, −) từ K vào tập hợp σ như sau

MorK(A, −) : Ob (K) 3 X 7→ MorK(A, X) ∈ Ob(Ω),

và với X, Y ∈ Ob(K), α ∈ MorK(X, Y )

MorK(A, −) : Mor (K) 3 α 7→ MorK(A, α) ∈ Mor(Ω),

ở đây MorK(A, α) được xác định bởi

MorK(A, α) : Mor (A, X) 3 β 7→ αβ ∈ MorK(A, Y )

Khi đó MorK(A, −) là một hàm tử hiệp biến

Tương tự, ta xây dựng được một hàm tử Mor(−, A) từ K vào tập hợp

Ω như sau

MorK(−, A) : Ob (K) 3 X 7→ MorK(X, A) ∈ Ob(Ω),

và với X, Y ∈ Ob(K), α ∈ MorK(X, Y )

MorK(−, A) : Mor (K) 3 α 7→ MorK(α, A) ∈ Mor(Ω),

ở đây MorK(α, A) được xác định bởi

MorK(α, A) : Mor (Y, A) 3 β 7→ βα ∈ MorK(X, A)

Khi đó MorK(−, A) là một hàm tử nghịch biến

Định nghĩa 1.21 i) Hàm tử MR → MR được gọi là hàm tử khớp trái

(hoặc khớp phải) nếu mọi dãy khớp ngắn các R-môđun

Hàm tử Hom

Trong chương này trình bày các kiến thức và tính chất cơ bản của hàm

tử Hom Mối quan hệ của hàm tử Hom với các môđun nội xạ, xạ ảnh,

Cho M, N là các R-môđun Ta gọi tập tất cả các R-đồng cấu từ M tới

N là HomR(M, N ) hoặc Hom(M, N ) khi R đã rõ

Định lý 2.1 Cho M , N là các R-môđun Trên HomR(M, N ) ta định

nghĩa phép cộng như sau (f + g)(x) = f (x) + g(x) với mỗi x ∈ M , f ,

g ∈ HomR(M, N ) Lúc đó ( HomR(M, N ) , +) trở thành nhóm Abel

Vậy (HomR(M, N) , +) là một nhóm Abel.

Định lý 2.2 Cho M, N là các R-môđun Trên HomR(M, N ) ta định

nghĩa phép cộng như sau (f + g)(x) = f (x) + g(x) với mỗi x ∈ M ,

f , g ∈ HomR(M, N ) và (rf )(x) = rf (x) với ∀r ∈ R, x ∈ M , f ∈

HomR(M, N ) Lúc đó HomR(M, N ) trở thành một R-môđun

Chứng minh Theo định lý 2.1 ta có (HomR(M,N) , +) là một nhóm Abel

Bây giờ ta xét tương ứng

Vậy rf là một đồng cấu R-môđun

Kiểm tra bốn tiên đề của R-môđun