MỘT SỐ QUY LUẬT, CẶP PHẠM TRÙ CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI VIỆC HỌC, DẠY, NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ

MỘT SỐ QUY LUẬT, CẶP PHẠM TRÙ CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI VIỆC HỌC, DẠY, NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ

MỤC LỤC .10 11 11 11 .12 12 .12 .13 .15 16 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Là giáo viên dạy toán cho học sinh, việc cung cấp tri thức khoa học bản, việc truyền cho học sinh niềm say mê khoa học, ham học hỏi, thích tìm tịi, khám phá mới, tư sáng tạo cần thiết Để làm việc cần trang bị cho học sinh kiểu tư khác nhau, tư biện chứng khơng thể thiếu Tư biện chứng gì? Và vận dụng chúng vào toán học nào? Làm trang bị cho học sinh tư đó? Điều thúc đẩy chọn đề tài để nghiên cứu Mục đích, nhiệm vụ Mục đích Tư biện chứng gì? Trong giáo trình triết học nhà xuất trị trình bày kỹ Nên mục đích đề tài là: Làm rõ số quy luật, cặp phạm trù phép biện chứng vật vận dụng học toán, dạy toán, nghiên cứu toán Nhiệm vụ Chọn số quy luật, cặp phạm trù để phân tích làm rõ: khái niệm, vận dụng toán học, rút ý nghĩa học cho thân Cơ sở lý luận, phương pháp nghiên cứu Cơ sở lý luận Phép biện chứng vật Phương pháp nghiên cứu Thu thập tư liệu, thông tin từ giáo trình, giảng, Internet, báo chí, Lập đề cương chi tiết vấn đề đề tài cần làm sáng tỏ Phân tích, tổng hợp, đánh giá nguồn tài liệu thu thập Sắp xếp thành đề tài hoàn chỉnh Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng Sự vận dụng quy luật, cặp phạm trù phép biện chứng vật tốn học Phạm vi Do thời gian khơng cho phép nên nghiên cứu “quy luật phủ định phủ định”, cặp phạm trù “cái chung riêng”, “nội dung hình thức” NỘI DUNG Quy luật phủ định phủ định Khái niệm Phạm trù khái niệm rộng phản ánh mặt, thuộc tính, mối liên hệ chung, vật tượng thuộc lĩnh vực định Các phạm trù phép biện chứng vật khái niệm chung phản ánh mặt, thuộc tính, mối liên hệ phổ biến lĩnh vực định thực, mà toàn giới thực, bao gồm tự nhiên, xã hội tư Phủ định thay vật vật khác trình vận động phát triển Phủ định biện chứng phạm trù triết học dùng để phủ định tự thân, mắt khâu trình dẫn tới đời vật mới, tiến vật cũ Quy luật phủ định phủ định nêu lên mối liên hệ, kế thừa khẳng định, nhờ phủ định biện chứng điều kiện cho phát triển; bảo tồn nội dung tích cực giai đoạn trước bổ sung thêm thuộc tính làm cho phát triển theo đường “xoáy ốc” Trong toán học Một số phát minh toán học đời dựa vào quy luật “phủ định phủ định” Đừng hiểu lầm phát minh “mới” “mới” phải toanh, cịn mở rộng cũ khơng Có một người nhận xét cơng trình nghiên cứu tốn học: “Cũng chả có lắm, chẳng qua mở rộng ” Nói khơng hiểu quy luật “phủ định phủ định” Khơng có “mới toanh” hiểu theo nghĩa “khơng dính dáng đến cũ” Cái “mới” cũ mà ra, phát minh hệ sau đứng lên vai nhà phát minh hệ trước, kế thừa thành họ Các thành đẻ vấn đề cho hệ sau nghiên cứu chúng bất lực việc giải vấn đề lí luận hay thực tiễn đặt Kết nghiên cứu lý thuyết vừa kế thừa mặt tích cực lý thuyết cũ (đây mặt thống hai lý thuyết cũ), vừa phủ định mặt tiêu cực lý thuyết cũ, theo nghĩa giải yêu cầu mà lý thuyết cũ đành bất lực Ví dụ: + Lý thuyết số phức kế thừa mặt tích cực lý thuyết số thực phải thỏa mãn tính chất trường đồng thời phủ định mặt tiêu cực lý thuyết số thực bó tay trước việc lấy bậc hai số âm, nhờ mà phương pháp Cacđanơ trót lọt việc giải phương trình bậc ba + Bằng cách phủ định tiên đề Oclit, phủ định hình học Oclit, Lobasepki phát minh hình học mang tên ông Những nghiên cứu khách quan ông tác giả khác ngày cho thấy rõ hình học Lobasepki, mặt phủ định hình học Oclit mặt khác lại mở rộng hình học Oclit; hình học Oclit trở thành trường hợp giới hạn hình học Lobasepki góc nhọn hai đường thẳng song song với đường thẳng a xuất phát từ điểm A nằm a, dần tới Cái chung riêng Khái niệm mối liên hệ Khái niệm Cái riêng phạm trù vật, tượng, trình định Cái chung phạm trù triết học dùng để mặt, thuộc tính khơng có kết cấu vật chất định, mà cịn lặp lại nhiều vật, tượng hay trình riêng lẻ khác Mối liên hệ Cái chung tồn riêng, thông qua riêng mà biểu tồn Cái riêng tồn mối liên hệ với chung Cái riêng toàn bộ, phong phú chung, chung phận, sâu sắc chung Trong toán học Các phát minh lý thuyết chủ yếu mở rộng Người ta xếp chương trình học tốn nói chung dẫn dắt học sinh từ trường hợp riêng khái quát dần lên chung từ số tự nhiên đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông đến tam giác thường, từ tam giác đến tứ giác, từ hàm lượng giác góc nhọn đến hàm lượng giác góc suy rộng, Khi làm tập học sinh phải vận dụng khái niệm chung, định lý chung vào trường hợp riêng cụ thể cho Nói rộng phát minh lý thuyết có tầm cỡ lĩnh vực tốn học luôn mở rộng từ “riêng” biết đến hay nhiều “cái chung” trước chưa biết, mà “cái riêng” biết trường hợp đặc biệt Ví dụ: Năm 2004 Laumon Ngô Bảo Châu chứng minh Bổ đề cho lớp nhóm đặc biệt, sau Ngơ Bảo Châu chứng minh Bổ đề trường hợp tổng quát Cũng có phát minh phát trường hợp riêng trước chưa biết chung biết Một riêng trường hợp đặc biệt nhiều chung khác nhau: Ví dụ: + Ta xem hình thoi trường hợp đặc biệt hình bình hành ta nhìn hình thoi góc độ có cạnh đối diện song song; ta xem trường hợp đặc biệt tứ giác có vịng trịn nội tiếp ta nhìn góc độ “có vịng trịn nội tiếp”; ta cịn xem trường hợp đặc biệt tứ giác có hai đường chéo vng góc ta nhìn góc độ “có hai đường chéo vng góc” + Trung điểm đoạn thẳng xem xét góc độ sau đây:trọng tâm đoạn thẳng, tâm vịng trịn khơng chiều (tập hợp điểm cách trung điểm đoạn thẳng đoạn thẳng nửa đoạn thẳng) không gian chiều (đường thẳng chứa đoạn thẳng), tâm đối xứng đoạn thẳng hay hai đầu mút đoạn thẳng, điểm liên hợp điều hịa điểm xa vơ tận đường thẳng (chứa đoạn thẳng) hai đầu mút đoạn thẳng + Nếu p số nguyên tố p+1 xem số nguyên liền sau p xem tổng ước số p Một chung, đem đặc biệt hóa phận khác nhau, cách khác cho nhiều riêng khác nhau: Ví dụ: + Một tứ giác đem đặc biệt hóa theo tính chất quan hệ cạnh góc cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vng Đặc biệt hóa tứ giác cách cho cạnh triệt tiêu, cách cho góc đạt giới hạn 1800 để có tam giác + Bài tốn bướm: Cho I trung điểm dây cung PQ đường tròn (O;R) Qua I vẽ dây cung AB CD Gọi M, N giao điểm AC BD với PQ Chứng minh rằng: IM = IN Tuy bải tốn hình học Euclide ta phát biểu tốn hình học affine sau: Bài tốn affine: Cho I trung điểm dây cung PQ elip (E) Qua I vẽ dây cung AB CD Gọi M, N giao điểm AC BD với (d) Chứng minh I trung điểm MN Bổ sung thêm đường thẳng vô tận (l) Để đơn giản ta dùng chung ký hiệu cho đường thẳng xạ ảnh đường thẳng affine tương ứng sau bổ xung điểm vô tận, ta toán xạ ảnh sau: Bài toán xạ ảnh:Cho conic (S) Một đường thẳng d cắt (S) điểm phân biệt PQ Một đường thẳng (l) tùy ý cắt (d) J Gọi I điểm liên hợp với J conic (S) Hai đường thẳng phân biệt (khác d) qua I cắt (S) A, B C, D Gọi M = AC ∩d , N = BD ∩ d Chứng minh (MNIJ)= -1 Bằng cách chọn đường thẳng vô tận (l) qua J tiếp xúc với conic (S) ta toán affine sau: Bài 1.1: Trong A2, cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt P,Q gọi I trung điểm PQ Qua I dựng dây cung AB CD (P) gọi M = AD ∩ d , N = BC ∩ d Chứng minh I trung điểm MN Bằng cách chọn đường thẳng vô tận (l) qua J cắt conic (S) hai điểm phân biết ta toán affine sau: Bài 1.2: Trong A2, cho đường thẳng (d) cắt hyperbol (H) hai điểm phân biệt P,Q gọi I trung điểm PQ Qua I dựng dây cung AB CD (H) gọi M = AD ∩ d , N = BC ∩ d Chứng minh I trung điểm MN Qua toán bướm nêu ta thấy từ toán xạ ảnh, chọn đường thẳng vơ tận khác thu tốn khác Chú ý: Khi nói đến “cái” phải hình dung tổng thể có nhiều phận phận có quan hệ Vì nhìn “riêng” theo nhiều quan điểm khác thường trước hết nhìn phận, quan hệ theo nhiều cách khác nhau, sau tổ hợp lại cách nhìn phận, quan hệ thành cách nhìn khác “cái riêng” cho Ý nghĩa Tập nhìn “riêng” theo nhiều góc độ khác điều quan trọng việc rèn luyện óc sáng tạo tốn học Trong dạy học cách tổng hóa đặc biệt hóa, ta tạo hàng trăm tốn nhìn tưởng khác nhau, thực chúng Tập cho học sinh tư tổng quát hóa đặc biệt hóa để thấy trường hợp riệng, từ trường hợp riêng mà nhìn trường hợp tổng qt nó, học sinh cảm thấy học mà biết mười, em thích thú tìm tịi, tạo cảm hứng tự sáng tạo toán 10 Tập cho học sinh phân biệt chung, riêng để phát thuộc tính chất thuộc tính đặc trưng khái niệm Từ phân chia khái niệm Việc nắm vững cách phân chia khái niệm giúp cho việc giải tốn dựng hình, tốn quỹ tích, tốn biện luận theo tham số, toán chứng minh phản chứng, cách xác đầy đủ, khơng bỏ sót trường hợp Ví dụ phân chia tập hợp số Số phức Số thực Số vô tỉ Số hữu tỉ Số nguyên dương Số hữu tỉ âm Số không Số hữu tỉ dương Số dương không nguyên Số ảo Số nguyên âm Số vô tỉ dương Số vô tỉ âm Số âm không nguyên Nội dung hình thức Khái niệm mối quan hệ Khái niệm Nội dung phạm trù tổng hợp tất mặt, yếu tố, trình tạo nên vật Hình thức phạm trù phương thức tồn phát triển vật, hệ thống mối liên hệ tương đối bền vững yếu 11 tố vật Mối quan hệ biện chứng nội dung hình thức Nội dung hình thức ln gắn bó chặt chẽ với thể thống Nội dung giữ vai trị định hình thức trình vận động phát triển vật Nếu hình thức phù hợp với nội dung hình thức tạo điều kiện thuận lợi thúc đẩy nội dung phát triển; không phù hợp với nội dung hình thức ngăn cản, kìm hãm phát triển nội dung Trong toán học Cùng nội dung chứa đựng nhiều hình thức khác nhau: Trong tốn học đại, phương pháp tiên đề trở thành văn phong để trình bày lý thuyết tốn học Mỗi hệ tiên đề có nhiều mơ hình Mỗi mơ hình hình thức chứa đựng nội dung hàm ẩn hệ tiên đề Gần gũi người hai mơ hình hình học Oclit phổ biến nhà trường: hình học tổng hợp với hình suy diễn hình để tìm tính chất chúng; hình học giải tích với tọa độ, phương trình, bất phương trình, đẳng thức bất đẳng thức nhờ mà ta sâu vào tính chất khơng gian Oclit Rõ ràng hai hình thức khác chứa đựng nội dung hình học Oclit Hình học Lobasepki có nhiều mơ hình khác hai mơ hình quen thuộc mơ hình Poangcare mơ hình KeliClanh Số tự nhiên khái niệm trừu tượng xuất từ việc tìm cách thuận tiện để so sánh tập hợp mà không cần trực tiếp thiết lập liên hệ 1- phần tử tập hợp 12 Nội dung chúng lực lượng tập hợp hữu hạn Nội dung xuất nhiều hình thức, mà hình thức văn minh số Nhưng số có nhiều hình thức biểu hiện, chẳng hạn số La Mã số Ả Rập Các số Ả Rập phổ biến Chúng lại xuất hệ đếm số khác nhau, phổ biến hệ thập phân đến hệ nhị phân Các số cụ thể 1,2,3,4, hình thức chứa đựng nội dung lực lượng tập hợp Đến lượt chữ a,b,c, x,y, lại hình thức để biểu diễn khơng cịn ứng với lực lượng tập hợp cụ thể Chẳng hạn, phương trình ax2+bx+c=0 a,b,c số thực x lại số chưa biết, cịn phải tìm Trong hình học, đường thẳng, tam giác, vịng trịn hình thức lộ bên ngoài, quan hệ bên (nội dung), ví dụ hình vẽ vịng trịn chứa đựng nội dung “sự cách điểm cố định” Nội dung định hình thức hình thức tác động trở lại nội dung: Tuy nội dung diễn tả biởi nhiều hình thức phong phú khơng có nghĩa tùy tiện suy nghĩ để tìm hình thức khác nội dung, mà tìm hình thức diễn tả nội dung, tư người bị nội dung chi phối, coi nội dung kim nam cho việc tìm tịi Ví dụ: Trong hai mơ hình hình học Lobasepki, độ dài biểu diễn logarit có cách định nghĩa độ dài đoạn thẳng thỏa mãn tiên đề hình học Lobasepki Hình thức ảnh hưởng trở lại nội dung Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung khó khăn thuận lợi riêng 13 Ví dụ, nghiên cứu hình học Oclit dùng phương pháp tổng hợp phương pháp giải tích Phương pháp tổng hợp có huy động nhiều trí tưởng tượng khơng gian trí tưởng tượng nhiều giúp ta tìm mắt xích logic nối giả thiết với kết luận, đưa đến lời giải hay, gọn, đẹp Nhưng phương pháp tổng hợp có dở tốn hình học lại đòi hỏi sáng tạo phương pháp giải riêng nhờ vào trực giác mà tìm qua việc phân tích giả thiết kết luận để tìm cách xây dựng cầu logic nối hai bên lại Phương pháp tổng hợp lại khả vào vô bé vô lớn nên dễ bị trực giác đánh lừa, dễ mắc sai lầm, dễ bỏ sót nghiệm Chẳng hạn với phương pháp tổng hợp nghiên cứu tiếp xúc bình thường, khó mà nghiên cứu mật tiếp, thái tiếp đường, mặt trực giác tiếp xúc bình thường hay mật tiếp Phương pháp tổng hợp cịn gây khó khăn chỗ phải phân biệt nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau, chẳng hạn đường bậc hai không suy biến phải chia ba trường hợp (elip, hypebol, parabol) Phương pháp tổng hợp không cho phép đưa phần tử ảo vào nên phải phân biệt trường hợp có cắt hay khơng cắt nhau, tiếp xúc với (như vấn đề trục đẳng phương hai vòng tròn) Phương pháp giải tích cho ta cách giải tổng quát cho nhiều trường hợp; có người nói: dùng phương pháp giải tích mà đến phương trình hay bất phương trình giống người đường lên toa tàu hỏa Lên ngủ mà tới đích nhờ có đường ray Với phương pháp giải tích, ta gói nhiều trường hợp khác vào chung phương trình, đưa phần tử ảo vào Ví dụ phương trình 14 ax2+2bxy+cy2+2dx+2cy+d=0 gói tất đường cong bậc hai suy biến khơng suy biến, có điểm thực hay khơng có điểm thực Phương pháp giải tích cho phép sử dụng phép tính vi tích phân để nghiên cứu sâu vào vô bé vô lớn mật tiếp, thái tiếp, tượng xảy vô tận Phương pháp giải tích cịn cho phép chuyển số chiều khơng gian từ bé lên lớn cách tương đối dễ dàng Ví dụ từ hình học phẳng lên hình học khơng gian cần thêm tọa độ thứ ba cao độ (bên cạnh hồnh độ tung độ); cịn mở đường cho khái niệm khơng gian nhiều chiều, chí vơ số chiều, lúc mà với phương pháp tổng hợp, chuyển từ hình học phẳng lên hình học khơng gian thấy khó Ý nghĩa Muốn trở thành nhà giáo dạy giỏi, dù giáo viên phổ thơng, điều kiện cần thân phải tham gia nghiên cứu khoa học; người nghiên cứu (trong người giáo viên) có khả diễn tả nội dung thành nhiều hình thức khác nhau, có sản phẩm phụ cơng trình nghiên cứu, mà cịn có khả sâu vào tư sáng tạo để hướng dẫn học trị biết “tư duy”, lại có nhiều phẩm chất để giáo dục học trò nâng cao sức sáng tạo, phẩm chất “có tư tưởng” tiến cơng phẩm chất quan trọng Cùng số (một nội dung), học sinh tiểu học nhiều phải diễn tả thành hình thức khác để tính tốn cho nhanh, ví dụ học sinh lớp một, phải cộng thêm “chín” thấy khó “chín” số lớn (đối với em) nên phải dùng que tính làm được, em thơng minh viết “chín” khơng phải hình thức mà hình thức 10-1 để biến phép cộng thêm chín (khó) thành hai phép cộng thêm mười trừ (cả hai dễ) Một cách vô ý thức em thông minh vậy, thực vận dụng triết học tư biện chứng 15 mối quan hệ qua lại nội dung hình thức; nội dung (chín) chứa đựng nhiều hình thức (9 10-1) hình thức tác động trở lại nội dung (hình thức 10-1 làm cho phép cộng thêm chín trở lên dễ hơn) Dĩ nhiên, học sinh lớp hiểu tư tưởng triết học giáo viên thần thoại hóa “chín” thành tiên có phép biến hóa thần thơng, thành có gái có lưng ong (9), lại cầu bắc qua sơng (10-1) Hoặc phải tính 8+9+6+2 học sinh viết tổng hình thức khác 8+2+10-1+6 (thực chất vận dụng luật giao hốn phép cộng) để tính nhẩm cho nhanh, đem đặt cạnh để có 10, đổi thành 10-1 có 10+10+5=25 KẾT LUẬN Phủ định biện chứng phủ định trơn mà kế thừa có bổ sung thêm mới, cách phủ định biện chứng ta có phát minh Đây đường hay gặp tốn học Bằng cách tổng qt hóa, đặc biệt hóa, ta phát chung thu riêng độc đáo, sở cho việc sáng tạo hàng trăm dạng toán, tập cho học sinh, tất chúng nhìn tưởng khác nhau, thực xuất phát từ gốc mà Cùng nội dung tốn học có nhiều hình thức thể khác nhau, hình thức có ưu điểm nhược điểm nó, ta cần phối hợp, tận dụng ưu điểm hình thức để phục vụ cho mục đích Trong nghiên cứu khoa học thân: phải biết tiếp thu thành tựu khoa học kỹ thuật nhân loại, kế thừa phát huy hay, mặt tích cực, phát triển thêm cho phù hợp với nhu cầu, tình hình Các phát minh thường đời từ vấn đề cần cải tiến, cách vận dụng tư phân tích, tổng hợp, phát riêng, chung, trường hợp đặc, đường khám phá, q trình khám phá, gặp khó khăn, khó khăn 16 dẫn đến vấn đề, vấn đề nảy sinh cần nghiên cứu giải Giải vấn đề thân phát triển Như mâu thuẫn động lực phát triển Trong dạy học: tập cho học sinh tư biện chứng thơng qua ví dụ đơn giản để em thích thú, tìm tịi khám phá, số tư đặc biệt quan trọng phân tích tổng hợp, cụ thể trừu tượng, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, suy diễn quy nạp, Do thời gian không cho phép nên tiểu luận khơng trình bày hết Đây hướng phát triển thú vị dành cho đề tài tiểu luận 17 ... tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng Sự vận dụng quy luật, cặp phạm trù phép biện chứng vật toán học Phạm vi Do thời gian không cho phép nên nghiên cứu ? ?quy luật phủ định phủ định”, cặp phạm trù. .. học toán, dạy toán, nghiên cứu toán Nhiệm vụ Chọn số quy luật, cặp phạm trù để phân tích làm rõ: khái niệm, vận dụng toán học, rút ý nghĩa học cho thân Cơ sở lý luận, phương pháp nghiên cứu Cơ... nghiên cứu Mục đích, nhiệm vụ Mục đích Tư biện chứng gì? Trong giáo trình triết học nhà xuất trị trình bày kỹ Nên mục đích đề tài là: Làm rõ số quy luật, cặp phạm trù phép biện chứng vật vận dụng học