MỘT SỐ QUY LUẬT, CẶP PHẠM TRÙ CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI VIỆC HỌC, DẠY, NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ

MỘT SỐ QUY LUẬT, CẶP PHẠM TRÙ CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VỚI VIỆC HỌC, DẠY, NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ

MỤC LỤC

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

5

6

6

6

6

6

6

7

7

10

11

11

11

12

12

12

13

15

16

1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Là một giáo viên khi dạy toán cho học sinh, ngoài việc cung cấp những tri thức khoa học cơ bản, thì việc truyền cho học sinh niềm say mê khoa học, ham học hỏi, thích tìm tòi, khám phá cái mới, tư duy sáng tạo là rất cần thiết Để làm được việc này chúng ta cần trang bị cho học sinh các kiểu

tư duy khác nhau, trong đó tư duy biện chứng là không thể thiếu Tư duy biện chứng là gì? Và vận dụng chúng vào toán học như thế nào? Làm sao trang bị cho học sinh tư duy đó? Điều đó đã thúc đẩy tôi chọn đề tài này để nghiên cứu

2 Mục đích, nhiệm vụ

1 Mục đích

Tư duy biện chứng là gì? Trong giáo trình triết học của nhà xuất bản

chính trị đã trình bày rất kỹ Nên mục đích của đề tài này là:

Làm rõ một số quy luật, cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật được vận dụng trong học toán, dạy toán, nghiên cứu toán.

2 Nhiệm vụ

Chọn một số quy luật, cặp phạm trù để phân tích làm rõ: khái niệm, sự vận dụng trong toán học, rút ra ý nghĩa và bài học cho bản thân

3 Cơ sở lý luận, phương pháp nghiên cứu

1 Cơ sở lý luận

Phép biện chứng duy vật

2 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập tư liệu, thông tin từ giáo trình, bài giảng, Internet, báo chí, Lập đề cương chi tiết các vấn đề của đề tài cần làm sáng tỏ

Phân tích, tổng hợp, đánh giá các nguồn tài liệu đã thu thập

Sắp xếp thành một đề tài hoàn chỉnh

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

1 Đối tượng

Sự vận dụng các quy luật, cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật trong toán học

2 Phạm vi

Do thời gian không cho phép nên chỉ nghiên cứu “quy luật phủ định của phủ định”, cặp phạm trù “cái chung và cái riêng”, “nội dung và hình thức”

2 NỘI DUNG

1 Quy luật phủ định của phủ định

1 Khái niệm

Phạm trù là những khái niệm rộng nhất phản ánh những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ chung, cơ bản nhất của các sự vật và hiện tượng thuộc một lĩnh vực nhất định

Các phạm trù của phép biện chứng duy vật là những khái niệm chung nhất phản ánh những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ cơ bản

và phổ biến nhất không phải chỉ của một lĩnh vực nhất định nào đấy của hiện thực, mà của toàn bộ thế giới hiện thực, bao gồm cả tự nhiên, xã hội

và tư duy

Phủ định là sự thay thế sự vật này bằng sự vật khác trong quá trình vận động và phát triển

Phủ định biện chứng là phạm trù triết học dùng để chỉ sự phủ định tự thân, là mắt khâu trong quá trình dẫn tới sự ra đời sự vật mới, tiến bộ hơn sự vật cũ

Quy luật phủ định của phủ định nêu lên mối liên hệ, sự kế thừa giữa cái khẳng định, nhờ đó phủ định biện chứng là điều kiện cho sự phát triển; nó bảo tồn nội dung tích cực của các giai đoạn trước và bổ sung thêm những thuộc tính mới làm cho sự phát triển đi theo đường “xoáy ốc”

2 Trong toán học

Một số phát minh ra cái mới trong toán học ra đời dựa vào quy luật

“phủ định của phủ định” Đừng hiểu lầm phát minh ra cái “mới” thì

“mới” phải là mới toanh, còn mở rộng cái cũ thì không mới lắm Có một một người đã nhận xét về một công trình nghiên cứu toán học: “Cũng chả có gì mới lắm, chẳng qua chỉ là một sự mở rộng ” Nói như vậy là không hiểu gì về quy luật “phủ định của phủ định” Không bao giờ có cái “mới toanh” hiểu theo nghĩa là “không dính dáng gì đến cái cũ” Cái

“mới” bao giờ cũng là cái cũ mà ra, các phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng lên vai những nhà phát minh thế hệ trước, kế thừa các thành quả của họ Các thành quả này chỉ đẻ ra vấn đề cho thế hệ sau nghiên cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết các vấn đề lí luận hay thực tiễn mới đặt ra Kết quả nghiên cứu sẽ là một lý thuyết mới vừa kế thừa những mặt tích cực của lý thuyết cũ (đây là mặt thống nhất giữa hai lý thuyết mới và cũ), vừa phủ định những mặt tiêu cực của lý thuyết cũ, theo nghĩa là nó giải quyết được những yêu cầu mới mà lý thuyết cũ đành bất lực

Ví dụ:

+ Lý thuyết số phức đã kế thừa những mặt tích cực của lý thuyết số thực

vì nó cũng phải thỏa mãn các tính chất của một trường đồng thời nó phủ định mặt tiêu cực của lý thuyết số thực là đã bó tay trước việc lấy căn bậc hai các số âm, nhờ vậy mà phương pháp Cacđanô đã trót lọt trong việc giải các phương trình bậc ba.

+ Bằng cách phủ định tiên đề Oclit, phủ định hình học Oclit, Lobasepki

đã phát minh ra hình học mang tên ông Những nghiên cứu khách quan của ông và của các tác giả khác ngày càng cho thấy rõ hình học Lobasepki, một mặt phủ định hình học Oclit nhưng mặt khác lại là sự

mở rộng hình học Oclit; hình học Oclit trở thành trường hợp giới hạn của hình học Lobasepki khi góc nhọn giữa hai đường thẳng song song

với một đường thẳng a xuất phát từ một điểm A nằm ngoài a, dần tới 0.

2 Cái chung và cái riêng

1 Khái niệm và mối liên hệ

1 Khái niệm

Cái riêng là phạm trù chỉ một sự vật, một hiện tượng, một quá

trình nhất định

Cái chung là phạm trù triết học dùng để chỉ những mặt, những

thuộc tính không những có một kết cấu vật chất nhất định, mà còn được lặp lại trong nhiều sự vật, hiện tượng hay quá trình riêng lẻ khác

2 Mối liên hệ

Cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng mà biểu hiện sự tồn tại của mình

Cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung

Cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận, nhưng sâu sắc hơn cái chung

2 Trong toán học

1 Các phát minh lý thuyết chủ yếu là những sự mở rộng

Người ta đã sắp xếp chương trình học toán nói chung là dẫn dắt học sinh từ những trường hợp riêng rồi khái quát dần lên những cái chung như từ số tự nhiên rồi đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông rồi đến tam giác thường, từ tam giác rồi đến tứ giác, từ hàm lượng giác các góc nhọn rồi đến hàm lượng giác các góc suy rộng, Khi làm bài tập học sinh phải vận dụng những khái niệm chung, những định lý chung vào các trường hợp riêng cụ thể cho từng bài

Nói rộng ra thì phát minh lý thuyết có tầm cỡ trong lĩnh vực toán học luôn luôn là một sự mở rộng từ một cái “riêng” đã biết đến một hay nhiều “cái chung” trước đó chưa ai biết, mà “cái riêng” đã biết

chỉ là một trường hợp đặc biệt.

Ví dụ: Năm 2004 Laumon và Ngô Bảo Châu đã chứng minh được Bổ đề cơ bản cho một lớp nhóm đặc biệt, và sau đó Ngô Bảo Châu đã chứng minh được Bổ đề trong trường hợp tổng quát.

Cũng có những phát minh chỉ là phát hiện ra một trường hợp riêng trước đó chưa ai biết của một cái chung đã biết

2 Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau:

Ví dụ:

+ Ta có thể xem hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nếu ta nhìn hình thoi dưới góc độ có các cạnh đối diện song song; ta cũng có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của tứ giác có vòng tròn nội tiếp nếu ta nhìn nó dưới góc độ “có vòng tròn nội tiếp”; ta còn

có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của các tứ giác có hai đường chéo vuông góc nếu ta nhìn nó ở góc độ “có hai đường chéo vuông góc”

+ Trung điểm của một đoạn thẳng có thể được xem xét dưới các góc

độ sau đây:trọng tâm của đoạn thẳng, tâm một vòng tròn không chiều (tập hợp các điểm cách trung điểm của đoạn thẳng một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng) trong không gian một chiều (đường thẳng chứa đoạn thẳng), tâm đối xứng của đoạn thẳng hay của hai đầu mút của đoạn thẳng, điểm liên hợp điều hòa của điểm xa vô tận trên đường thẳng (chứa đoạn thẳng) đối với hai đầu mút của đoạn thẳng.

+ Nếu p là một số nguyên tố thì p+1 có thể xem như là số nguyên đi liền sau p nhưng cũng có thể xem như là tổng các ước số của p.

3 Một cái chung, đem đặc biệt hóa từng bộ phận khác nhau, bằng những cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau:

Ví dụ:

+ Một tứ giác đem đặc biệt hóa theo các tính chất và quan hệ giữa các cạnh và các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông Đặc biệt hóa tứ giác bằng cách cho một cạnh triệt tiêu, hoặc bằng cách cho một góc đạt giới hạn 180 0 để

có tam giác.

+ Bài toán con bướm:

Cho I là trung điểm của dây cung PQ của đường tròn (O;R) Qua I vẽ 2 dây cung

AB và CD Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AC và BD với PQ Chứng minh rằng: IM = IN.

Tuy đây là bải toán trong hình học Euclide nhưng ta vẫn có thể phát biểu bài toán này trong hình học affine như sau:

Bài toán affine: Cho I là trung điểm của dây cung PQ của elip (E) Qua I vẽ 2

dây cung AB và CD Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AC và BD với (d) Chứng minh rằng I là trung điểm của MN

Bổ sung thêm đường thẳng vô tận (l) Để đơn giản ta dùng chung ký hiệu cho đường thẳng xạ ảnh và đường thẳng affine tương ứng sau khi bổ xung điểm vô tận, ta được bài toán xạ ảnh như sau:

Bài toán xạ ảnh:Cho conic (S) Một đường thẳng d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt

PQ Một đường thẳng (l) tùy ý cắt (d) tại J Gọi I là điểm liên hợp với J đối với conic (S) Hai đường thẳng phân biệt (khác d) qua I cắt (S) tại A, B và C, D Gọi

M AC d= Ç , N BD d= Ç Chứng minh rằng (MNIJ)= -1.

Bằng cách chọn đường thẳng vô tận (l) qua J và tiếp xúc với conic (S) ta được bài toán affine mới như sau:

Bài 1.1: Trong A 2 , cho một đường thẳng (d) cắt một parabol (P) tại hai điểm phân biệt P,Q gọi I là trung điểm của PQ Qua I dựng các dây cung AB và CD của (P) gọi M AD d= Ç , N BC d= Ç Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của MN

Bằng cách chọn đường thẳng vô tận (l) qua J và cắt conic (S) tại hai điểm phân

biết ta được bài toán affine mới như sau:

Bài 1.2: Trong A 2 , cho một đường thẳng (d) cắt một hyperbol (H) tại hai điểm phân biệt P,Q gọi I là trung điểm của PQ Qua I dựng các dây cung AB và CD của (H) gọi M AD d = Ç , N BC d = Ç Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của MN

Qua bài toán con bướm nêu trên ta thấy từ bài toán xạ ảnh, khi chọn đường thẳng

vô tận khác nhau thì sẽ thu được các bài toán khác nhau.

Chú ý: Khi nói đến “cái” thì phải hình dung đó là một tổng thể có nhiều bộ phận và giữa các bộ phận đó có những quan hệ Vì vậy nhìn một cái “riêng” theo nhiều quan điểm khác nhau thường trước hết là nhìn từng bộ phận, từng quan hệ đó theo nhiều cách khác nhau, sau đó tổ hợp lại các cách nhìn từng bộ phận, từng quan hệ đó thành những cách nhìn khác nhau về “cái riêng” đã cho

3 Ý nghĩa

Tập nhìn một cái “riêng” theo nhiều góc độ khác nhau là một điều rất quan trọng đối với việc rèn luyện óc sáng tạo toán học

Trong dạy học bằng cách tổng quá hóa rồi đặc biệt hóa, ta có thể tạo

ra hàng trăm bài toán thoạt nhìn cứ tưởng là khác nhau, nhưng thực ra chúng chỉ là một Tập cho học sinh tư duy tổng quát hóa và đặc biệt hóa

để thấy các trường hợp riệng, cũng như từ các trường hợp riêng mà nhìn

ra trường hợp tổng quát của nó, như vậy học sinh sẽ cảm thấy học một

mà biết mười, các em sẽ thích thú tìm tòi, và tạo cảm hứng tự mình sáng tạo ra các bài toán mới

Tập cho học sinh phân biệt cái chung, cái riêng để phát hiện ra thuộc tính bản chất và thuộc tính đặc trưng của một khái niệm Từ đó phân chia khái niệm Việc nắm vững cách phân chia khái niệm cũng giúp cho việc giải các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán biện luận theo tham số, bài toán chứng minh bằng phản chứng, một cách chính xác và đầy đủ, không bỏ sót trường hợp Ví dụ phân chia các tập hợp số

3 Nội dung và hình thức

1 Khái niệm và mối quan hệ

1 Khái niệm

Nội dung là phạm trù chỉ tổng hợp tất cả những mặt, những yếu

tố, những quá trình tạo nên sự vật

Hình thức là phạm trù chỉ phương thức tồn tại và phát triển của

Số phức

Số

Số hữu tỉ

Số

vô tỉ

Số hữu tỉ dương

Số không

Số hữu tỉ âm

Số vô

tỉ dương

Số vô

tỉ âm

Số nguyên

dương

Số dương không nguyên

Số nguyên âm

Số âm không nguyên

tố của sự vật đó.

2 Mối quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức

Nội dung và hình thức luôn gắn bó chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất

Nội dung giữ vai trò quyết định đối với hình thức trong quá trình vận động và phát triển của sự vật

Nếu hình thức phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ tạo điều kiện thuận lợi thúc đẩy nội dung phát triển; nếu không phù hợp với nội dung thì hình thức sẽ ngăn cản, kìm hãm sự phát triển của nội dung

2 Trong toán học

1 Cùng một nội dung có thể chứa đựng trong nhiều hình thức khác nhau:

Trong toán học hiện đại, phương pháp tiên đề đã trở thành một văn phong để trình bày các lý thuyết toán học Mỗi hệ tiên đề có nhiều mô hình Mỗi mô hình là một hình thức chứa đựng nội dung hàm ẩn trong hệ tiên đề Gần gũi nhất đối với mọi người là hai mô hình của hình học Oclit rất phổ biến trong nhà trường: hình học tổng hợp với các hình và những suy diễn trên các hình đó để tìm ra các tính chất của chúng; hình học giải tích với các tọa độ, các phương trình, các bất phương trình, các đẳng thức và bất đẳng thức nhờ đó

mà ta đi sâu vào các tính chất của không gian Oclit Rõ ràng đó là hai hình thức khác nhau cùng chứa đựng một nội dung là hình học Oclit Hình học Lobasepki cũng có nhiều mô hình khác nhau trong đó hai

mô hình quen thuộc nhất là mô hình Poangcare và mô hình Keli-Clanh

Số tự nhiên là một khái niệm trừu tượng được xuất hiện từ việc tìm ra một cách thuận tiện để so sánh các tập hợp mà không cần trực tiếp thiết lập một liên hệ 1- 1 giữa các phần tử của các tập hợp đó

Nội dung của chúng là lực lượng các tập hợp hữu hạn Nội dung đó xuất hiện dưới rất nhiều hình thức, mà hình thức văn minh nhất là các

số Nhưng chính các số cũng có nhiều hình thức biểu hiện, chẳng hạn như các số La Mã và các số Ả Rập Các số Ả Rập là phổ biến nhất Chúng lại có thể xuất hiện trong những hệ đếm cơ số khác nhau, trong đó phổ biến nhất là hệ thập phân rồi đến hệ nhị phân

Các số cụ thể như 1,2,3,4, đã là những hình thức chứa đựng nội dung là lực lượng các tập hợp Đến lượt các chữ a,b,c, x,y, lại là những hình thức để biểu diễn một cái gì đó không còn ứng với lực lượng những tập hợp cụ thể nữa Chẳng hạn, trong phương trình

ax2+bx+c=0 thì a,b,c có thể là bất cứ số thực nào còn x lại chỉ là một

số chưa biết, còn phải tìm

Trong hình học, các hình như đường thẳng, tam giác, vòng tròn

là những hình thức lộ ra bên ngoài, của những quan hệ bên trong (nội dung), ví dụ như hình vẽ vòng tròn chứa đựng nội dung “sự cách đều một điểm cố định”

2 Nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại nội dung:

Tuy một nội dung có thể diễn tả biởi nhiều hình thức phong phú nhưng không có nghĩa là có thể tùy tiện khi suy nghĩ để tìm ra những hình thức khác nhau của cùng một nội dung, mà khi đi tìm hình thức diễn tả nội dung, tư duy con người vẫn luôn bị nội dung chi phối, coi nội dung là kim chỉ nam cho việc tìm tòi

Ví dụ: Trong hai mô hình của hình học Lobasepki, thì độ dài được biểu diễn bằng logarit là vì chỉ có cách đó thì định nghĩa về độ dài của đoạn thẳng mới thỏa mãn được các tiên đề của hình học Lobasepki.

Hình thức ảnh hưởng trở lại nội dung Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung những khó khăn và thuận lợi riêng