Phạm trù môđun

Khóa luận tốt nghiệp Phạm trù mơđun LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên, khóa luận em hoàn thành Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô giáo khoa Tốn, thầy tổ Đại số tạo điều kiện cho em suốt thời gian em làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên – người giúp đỡ em tận tình q trình chuẩn bị hồn thành khóa luận Do lần làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian lực thân hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện hơn.Một lần em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đàm Thị Thu Dung Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán GVHD: Đỗ Văn Kiên LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hoàn thành sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo, Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên Trong trình làm khóa luận em có tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan đề tài khóa luận kết nghiên cứu khoa học riêng em khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đàm Thị Thu Dung MỤC LỤC A MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Kế hoạch triển khai B NỘI DUNG CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun đồng cấu môđun 1.2 Bài tập .16 CHƯƠNG : PHẠM TRÙ MÔĐUN 17 2.1 Phạm trù môđun 17 2.2 Tổng trực tiếp 19 2.3 Tích trực tiếp 21 2.4 Dãy khớp 24 2.5 Môđun tự 34 2.6 Bài tập 40 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 42 KẾT LUẬN 45 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Ngày nay, người ta coi đối tượng chủ yếu Đại số cấu trúc đại số : nhóm, vành, trường, mơđun…trong mơđun khái niệm quan trọng Đại số đại, có ứng dụng nhiều ngành tốn học : phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số… Trên sở kiến thức học Đại số đại cương,với mong muốn tìm hiểu sâu số vấn đề Đại số đại với giúp đỡ tận tình thầy giáo Đỗ Văn Kiên, em mạnh dạn thực khóa luận tốt nghiệp với tiêu đề : “ PHẠM TRÙ MÔĐUN ” Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức phạm trù Môđun Đối tượng phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Các kiến thức phạm trù môđun, đồng cấu môđun, dãy khớp môđun tự +) Phạm vi: Nội dung kiến thức phạm vi đại số môđun Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lí thuyết phạm trù mơđun Phương pháp nghiên cứu +) Phân tích tài liệu có liên quan +) Tổng hợp kinh nghiệm thân Cấu trúc khóa luận Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phạm trù mô đun Chương 3: Bài tập ứng dụng Đàm Thị Thu Dung K35C – Toán GVHD: Đỗ Văn Kiên Kế hoạch triển khai Tháng 11-12: Nhận đề tài hoàn thành đề cương Tháng 12-2/2013: Tìm hiểu kiến thức liên quan tới đề tài Tháng 5/2013: Hoàn thành đề tài nghiên cứu bảo vệ B NỘI DUNG CHƯƠNG : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa môđun) Cho M nhóm cộng giao hốn, R vành có đơn vị 1R M gọi môđun trái vành R có phép tốn gọi nhân ngồi hay nhân với vơ hướng RMM (r, x)  r.x thỏa mãn điều kiện sau với r,sR ; x, y  M : i) r(x  y)  rx  ry ii) (r  s).x  rx sx iii) (r.s)x  r.(sx) iv) 1R.x  x Tương tự ta có khái niệm R - môđun phải Chú ý 1.1.1 1) Một môđun trái vành R gọi R- môđun trái 2) Nếu M giao hốn hai khái niệm R - mơđun phải R- môđun trái giống Từ trở R- môđun trái gọi chung R- môđun 3) Nếu 0M , 0N tương ứng phần tử trung hòa M R ta dễ dàng suy từ định nghĩa (với m,m'M, với r  , m0R  M M M m.r) = (  m)r = m(  r) r, r ' R ) : Có nói khái niệm mơđun mở rộng khái niệm nhóm aben khái niệm khơng gian véctơ Ví dụ 1.1.1 Cho R vành giao hốn có đơn vị R R- mơđun Ví dụ 1.1.2 Z vành có đơn vị 1, M nhóm cộng aben M Z - mơđun Ví dụ 1.1.3 Cho V K - khơng gian véctơ V K mơđun Ví dụ 1.1.4 Tập S   , R - môđun M  S, M  f : S  M : f - ánh xạ    S, M R- mơđun Tính chất 1.1.1 Cho M R - mơđun.Khi   ,  R ; x, yM i) 0 x  ii)   x   x    x iii)     x   x   x   x  y    x   y R 0 M M Chứng minh : 1.x  0M i)  1.x  1   x R  1.x  0R.x  0R x  0M   M    0M  M    0M  0M  0M   0M  0M  0M  0M ◻ ii)    x   x ta có: =        x = 0R.x = 0M     x   x Tương tự có iii)  x    x ◻     x   x =     x    x = x      x   x   x Tương tự có :   x  y    x   y ◻ Định nghĩa 1.1.2 (Định nghĩa môđun con) Cho M R - môđun, N tập ổn định M với hai phép toán N gọi môđun M N R -mơđun phép tốn M thu hẹp vào N Định lí 1.1.1 (Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun con) Cho M R - môđun,   N  M Khi điều kiện sau tương đương : i) N R - môđun M ii)  R , x, yN iii) ,  R , x, yN ta có x  yN  xN  x   yN Ví dụ 1.1.5 a) Một R- mơđun M có hai môđun M tập hợp 0 Gọi hai môđun tầm thường b) Cho N iđean trái R Nếu vành R xem R - mơđun N môđun R Mệnh đề 1.1.1 Giao họ mơđun R - môđun M môđun M 1) 2  3  6 Ví dụ 1.1.6 Mệnh đề 1.1.2 2)  pZ  với P tập tất số nguyên tố pP Giả sử A, B hai môđun R - mơđun M Thế A  B môđun M A  B  a  b / a  A, b B Định nghĩa 1.1.3 (Định nghĩa tổng môđun) Giả sử  Ai / i I họ tùy ý mơđun R - mơđun M Khi mơđun sinh tập kí hiệu S   A i gọi tổng môđun Ai , I  Ai I Mệnh đề 1.1.3 Cho  Ai / i I họ tùy ý mơđun M Khi I A i =   / A i , iJ  I, J hữu hạn J Định nghĩa 1.1.4 (Định nghĩa môđun sinh tập) Giả sử M R - môđun, S  M , tồn môđun M chứa S chẳng hạn M Gọi  N i iI họ môđun M chứa S Đặt  S   N I i theo mệnh đề 1.2,  S  R - môđun M Nếu J  I , J hữu hạn   i (1)xi   ixi  với i J J Do  đẳng cấu nên i x 0i với i I Vậy  (1) / i I độc lập i tuyến tính sở A ◻ Mệnh đề 2.5.3 (Xây dựng mô đun tự vật phổ dụng phạm trù (hay qua toán phổ dụng)) U  e i/ i I Cho F R- môđun tự với sở R- môđun Khi ánh xạ f : U  A A mở rộng cách thành đồng cấu  : F  A Chứng minh: Đồng cấu  : F  A Bây  : F  A xác định hệ thức :  ( ei xi )   f (ei)xi đồng cấu mở rộng f : (ei )  f(e i ), i I   f(e )x  ( e x )    e x   (e )x i i i i i i i i Điều chứng tỏ    □ Định lí chứng tỏ tính chất phổ dụng đặc trưng mơđun tự Định lí 2.5.1 Giả sử U tập R - môđun F , U F có tính chất : ánh xạ f từ U đến R - mơđun Y mở rộng thành đồng cấu  : F  Y Khi F tự với sở U Chứng minh : Trước hết ta chứng minh U hệ sinh Gọi X môđun F sinh tập U Khi đơn cấu tắc i : U  X mở rộng thành đồng cấu g:FX Xét đơn cấu tắc h : X  F Khi   hg : F  F mở rộng i Đồng thời đồng cấu đồng rộng i Bởi id F : F  F mở hg  idF Điều chứng tỏ h phải toàn cấu, tức XF Bây ta chứng minh tập U độc lập tuyến tính Giả sử U  b / i I i Xét môđun tự R( I ) với sở tắc i e / i I Xét ánh xạ f:UR (I) , bi  ei Khi f mở rộng thành đồng cấu Giả sử  g:FR i i i br0,r R (I) hầu hết trừ số hữu hạn Thế I   g   bi i r   g(bi )ri  ei i r   ri  0, I  I I với i I Điều chứng tỏ b / i I hệ độc lập tuyến tính ◻ i Định lí 2.5.2 Giả sử R vành Khi mơđun R - môđun tự tự Chứng minh : Phép chứng minh có sử dụng hai bổ đề sau : (a) Mọi tập hợp E trang bị thứ tự tốt (tức tập khác rỗng E có phần tử tối tiểu) (b) Nguyên lí quy nạp siêu hạn : Giả sử E tập hợp thứ tự tốt  tính chất phần tử E cho ''y  x, có tính chất   x có tính chất '' y Khi phần tử E có tính chất  Giả sử F R- môđun tự với sở u / i I Khi F □ R i ta chứng minh định lí cho F □ R ) (I i với sở tắc e / i I (I) Bởi Giả sử M môđun F Ta I thành tập thứ tự tốt gọi Ai môđun sinh tập  ej / j  i Gọi Mi  Ai  M phép chiếu p i : R() I  R , (xj )  xi pi (M i ) iđêan vành R Do giả thiết R iđêan iđêan chính, chẳng hạn pi (M i )  R Khi tồn b  M pi (b i )  a i i i cho Nếu  ta chọn b i  họ  b / i I  Bây ta chứng minh theo bước sau i Bước M sinh b , j  i i j điều xảy với k  i Lấy phần b , j  Giả sử Mk sinh j k tử tùy ý x  M Khi p (x)  ar i i i pi (x  bir)  pi (x)  pi (bir)  Thành phần thứ i phần tử x bir nên x  b i r  Mk Theo giả thiết quy nạp, x  bir biểu thị tuyến tính qua bj , j  k x biểu thị tuyến tính qua bj , j  i Điều chứng tỏ b j , j  i Bước M sinh bj , j I Lấy phần tử tùy ý x  M , với k  i Mi sinh x  e i r1  e i r2   e i rm m với giả thiết i  i   i Như xA m im x  M biểu thị tuyến tính qua b j , j  im Bước Hệ  bj / b j  0, j I độc lập tuyến tính Giả sử ngược lại ta có Khi x im bi r1  bi r2   bi rm  0, rm  0, m với i  i   i Xét phép chiếu p ta có m im   pi   b i ri   a i rm  rm  a i  Điều vơ lí  j1  m m j m m Vậy hệ  bj / b j  0 lập thành sở M Hệ 2.5.1 Mọi nhóm nhóm aben tự aben tự 2.6 Bài tập Bài tập 2.6.1 Chứng tỏ Zm  Zn □ Zmn m, n nguyên tố Bài tập 2.6.2 Giả sử K L hai môđun môđun M Chứng tỏ dãy sau khớp   K  L  K  LK  L    M / (K  L)  M / K  M / LM / (K  L)  Bài tập 2.6.3 Giả sử p số nguyên tố Q p Chứng minh :  x / x  Z vµ n  N  n  p  Q / Z  Q / Z  tập hợp tất số  p nguyên tố p Bài tập 2.6.4 Chứng minh môđun A môđun M hạng tử trực tiếp môđun M / A tự Bài tập 2.6.5 Giả sử R miền nguyên Phần tử a môđun M gọi xoắn tồn  r R cho ar  Mơđun M gọi khơng xoắn có phần tử xoắn Chứng minh môđun tự R không xoắn CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài tập 3.1 Cho M R - môđun N môđun M ; M / N N R - môđun hữu hạn sinh Chứng minh M R - môđun hữu hạn sinh Giải : Do N hữu hạn sinh nên tồn x1 , x , , x n  N Ni  Rxi , với i  1, n thảo mãn : N  N1  N2   Nn Với a M a M / N Do tồn rn1 , , rm cho : a  rn1 xn1   rm x m  rn1xn1   rm x m Suy a  (rn1xn1   rm xm )  N Do tồn b N , giả sử b  r x   r x để n n a  (rn1x n1   rm x m )  r1x1   rn x n Suy a  r1x1   rn x n  (rn1x n1   rm x m ) Đặt hay a  Rx1   Rxm Ni  Rxi , i=n  1, m ta có m N1   Nm  m m i1 i1 Suy M   N i Do M   N i m N i1 i hay M R - môđun hữu hạn sinh Bài tập 3.2 Cho U tập R - môđun F U, F thỏa mãn : ánh xạ f : U  Y , Y R - môđun, mở rộng thành đồng cấu  : F  Y Chứng minh F môđun tự với sở U Giải : Ta chứng minh U hệ sinh F U độc lập tuyến tính + U hệ sinh F Thật : Gọi X môđun F sinh U , X  (U) Khi ánh xạ i : U  X đơn cấu tắc mở rộng thành ui  ui đồng cấu g : F  X Xét đơn cấu tắc h : X  F xx Khi   hg : F  F mở rộng i Mặt khác idF : F  F mở rộng i Nên hg  id F hay h tồn cấu Do : h(X)  X  F tức U hệ sinh F + U độc lập tuyến tính Thật : Giả sử U  b / i I i  Xét môđun tự với sở tắc ei / i  I I Khi ánh xạ f : U  R mở rộng thành đồng cấu I :FR Giả sử  b i xi  0, xi  hầu hết trừ số hữu hạn xi iI    bx   (b )x   ei xi   x i  tức U độc lập tuyến tính   i i  i i  iI  iI iI Vậy F môđun tự với sở U Bài tập 3.3 Cho M R - môđun, A môđun M Chứng minh : A hạng tử trực tiếp M M / A môđun tự Giải : +) Do M / A môđun tự nên M / A có sở U  u / i I i  u i  x  A , xi M, i I +) Với x M với ta có : x  A  M / A , I cho tồn ri  I, i x  A   ri xi   ri (xi  A)   ri xi  A Tức iI iI iI x   ri xi  A iI Từ suy tồn a A cho x  r x  a ii B  (x i, iI)  Đặt hay x   ri x i  a  r ' x / r ' R  môđun M iI iI i i iI i Ta thấy B  xi  B, với i I  xi  b  a, bB, a  A Do M  A  B (*) Ta chứng minh A  B  0 Với yA  B   yA nên y  A  A  yB  i i i Với y  B, tồm  R (iI) x cho y  iI y  A   i xi  A mà y  A  A nên iI  x  A   (x  A)  A    Từ suy y  iI i i iI i Vậy M  A  B i i hay A hạng tử trực tiếp M hay A  B  0 KẾT LUẬN Đề tài khơng có ý nghĩa mặt lí thuyết mà có ý nghĩa mặt thực tiễn Nó cung cấp phần lý thuyết quan trọng mơđun phạm trù mơđun Qua đó, có ứng dụng Đại số đại vào phương trình đạo hàm riêng, hình học đại số … Tuy nhiên, thời gian có hạn trình độ em hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong đóng góp ý kiến thầy, giáo bạn sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện Một lần em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo tổ Đại số đặc biệt thầy giáo Đỗ Văn Kiên - người tận tình giúp đỡ em việc hồn thành khóa luận DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình Đại số đại, NXB ĐHQGHN 2) Nguyễn Hữu Việt Hưng (1988), Đại số đại cương, NXB GD 3) Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết vành mơđun, NXB GD 4) SZE-TSENHU (1975), Nhập môn đại số đồng điều 5) Nguyễn Thị Hằng (2008), Một số lớp môđun đặc biệt, ĐHSPHN2 6) Trần Thị Phương Thùy (2004), Dãy khớp, ĐHSPHN2 ... đề : “ PHẠM TRÙ MƠĐUN ” Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức phạm trù Môđun Đối tượng phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Các kiến thức phạm trù môđun, đồng cấu môđun, dãy khớp môđun tự +) Phạm. .. A) e) Lớp R- mơđun kí hiệu RMod (hay Mod) lập thành phạm trù với vật môđun cấu xạ đồng cấu môđun gọi phạm trù R- môđun trái hay phạm trù môđun 2.2 Tổng trực tiếp Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa... Z- môđun xyclic hữu hạn tồn dãy khớp ngắn f g  Z ZM  2) Tồn dãy khớp Z- môđun  Z2  Z4  Z4  Z2  CHƯƠNG : PHẠM TRÙ MƠĐUN 2.1 Phạm trù mơđun Định nghĩa 2.1.1 (Định nghĩa phạm trù) Một phạm