Cô ngọc huyền LB các dạng toán cực TRỊ hàm số

Cô Ngọc Huyền LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb TÀI LIỆU TẶNG CÁC TRỊ GROUP HỆ THỐNG ĐÀO TẠO PHÁC ĐỒ TỐN 12 2K4 Cơ NGỌC HUYỀN LB 2K4 - Học Tốn Ngọc Huyền LB facebook.com/groups/toancongochuyenlb CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC DẠNG BÀI LIÊN QUAN A LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Ở phần ta xác định điểm nằm khoảng đồng biến, nghịch biến y hàm số, ngược lại Những điểm gọi điểm cực trị đồ thị điểm cực đại hàm số Điểm cực trị bao gồm điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số Đồ thị hàm số hình 1.7 có điểm cực đại điểm phía bên trái điểm cực tiểu phía bên phải (điểm đánh dấu) điểm cực tiểu O Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục khoảng  a; b  (có thể a x Hình 1.7  ; b  ) điểm xo   a; b  a Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực đại x0 b Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  với x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu x0 Với hàm liên tục hàm số đạt cực trị điểm làm cho y   y  khơng xác định (được thể hình 1.8) BON TIP y điểm cực đại y điểm cực đại không xác định Điểm cực trị hàm số x  c ; điểm cực trị đồ thị hàm số điểm có   tọa độ M c;f  c  O c x O c x Hình 1.8 Nếu hàm số đạt cực đại cực tiểu x  c x  c điểm làm cho y  y ' khơng xác định Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Huyền LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Chú ý   Nếu hàm số f x đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số ; f  x0  gọi giá trị cực đại (giá trị cực   tiểu) hàm số, kí hiệu fCĐ  fCT  , điểm M x0 ; f  x0  gọi điểm Chú ý Trong trắc nghiệm thường có câu hỏi đưa để đánh lừa thí sinh phải phân biệt điểm cực trị hàm số điểm cực trị đồ thị hàm số cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  đạt cực đại cực tiểu x0 f   x0   (điều kiện cần để hàm số đạt cực trị) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Ta thừa nhận định lí sau đây: Định lý Giả sử hàm số y  f  x  liên tục khoảng K   x0  h; x0  h  có đạo hàm BON TIP K K \x0  , với h  Ở định lý ta hiểu sau: * Khi f  x  đổi dấu từ a Nếu f   x   khoảng  x0  h; x0  f   x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực đại hàm số f  x  dương sang âm qua x  c x  c gọi điểm cực đại hàm số b Nếu f   x   khoảng  x0  h; x0  f   x   khoảng  x0 ; x0  h  x0 điểm cực tiểu hàm số f  x    * Khi f  x đổi dấu từ âm sang dương qua x  c x  c gọi điểm cực tiểu hàm số Hình 1.9 mơ tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị: điểm cực đại y y điểm cực tiểu O y BON TIP Nếu x  c điểm cực trị hàm y  f x x c O y Không phải điểm cực trị x c Không phải điểm cực trị f'  c   f'  c  không xác định, f'  c   chưa x  c điểm cực trị hàm số O c O x c Hình 1.9 Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học x Cô Ngọc Huyền LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Quy tắc để tìm cực trị Áp dụng định lý 1, ta có quy tắc tìm cực trị sau Quy tắc 1 Tìm tập xác định Tính f '  x  Tìm điểm f '  x   không xác định (điểm tới hạn) Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy cực trị Quy tắc Tìm tập xác định Tính f '  x  Giải phương trình f '  x   kí hiệu xi  i  1,2,3, , n nghiệm Tính f ''  x  f ''  xi  ,  i  1; 2; 3; n Dựa vào dấu f ''  xi  suy tính chất cực trị điểm xi Nếu f   xi   xi điểm cực tiểu Nếu f   xi   xi điểm cực đại B CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ Dạng Xác định điểm cực trị hàm số, điểm cực trị đồ thị hàm số, tìm giá trị cực trị hàm số Phương pháp chung: Sử dụng hai quy tắc quy tắc phần lý thuyết BON 1: Điểm cực trị hàm số f  x   x  x  3x  3 22 10 ;x  3 A x  1; x  B x   C x  1; x  D x  4; x  Đáp án A Lời giải Cách 1: Xét hàm số f  x   x  x  3x  3 x  Có TXĐ: D  Ta có f   x   x2  2x  3; y      x  1 Bảng biến thiên x 1  f   x + f  x    10    22 Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Từ BBT ta thấy hàm số có điểm cực đại x  1 điểm cực tiểu x  Cách 2: Sử dụng MTCT Ta sử dụng chức tính đạo hàm điểm máy tính Ấn qyY máy hình bên Nhập hàm số án) Chú ý Trong X  X  3X  giá trị X  1 (Ta thử phương 3 Tại x  1 y   suy x  1 điểm cực trị hàm số BON TIP trang Tương tự ta giữ nguyên hình thay x  1 thành x  kết 50 có ý tương tự Từ ta chọn A BON 2: Điểm cực trị hàm số f  x   x3  3x2  3x  chưa điểm cực trị hàm số, ta cần thử xem A x  1; x  3 B x  1; x  3 có đổi dấu qua khơng C x  0; x  D hàm số khơng có điểm cực trị hay Đáp án D Lời giải TXĐ: D  Ta có y    x  1  0, x   hàm số đồng biến Ta có BBT: x BON TIP Xét hàm số bậc f   x ba f  x   ax  bx  cx  d    f  x  với a  có  y  b  3ac  * Nếu b2  3ac  hàm số có hai cực trị * Nếu b2  3ac  hàm số khơng có cực trị Từ BBT suy hàm số khơng có cực trị Nhận xét: Từ BON BON ta nhận thấy với hàm số bậc ba có dạng f  x   ax3  bx2  cx  d,  a   tìm cực trị hàm số ta nên giải cách (xét phương trình y  ) thay sử dụng máy tính phương trình y  phương trình bậc hai giải nhanh chóng việc bấm máy thử trường hợp, tham khảo BON TIP bên cạnh để suy luận nhanh toán BON 3: Xét hai hàm số f  x   x4  x2  hàm số g  x    x  x  4 Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A Hàm số f  x  có hai điểm cực đại A  1;  B  1;  B Hàm số f  x  có điểm cực tiểu x  hàm số g  x  có giá trị cực đại C Hàm số f  x  có hai điểm cực tiểu điểm cực đại, hàm số g  x  có y  điểm cực đại D Hàm số f  x  hàm số g  x  có điểm cực tiểu x  Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Đáp án B Lời giải Từ toán xét biến thiên tổng quát hàm số bậc bốn trùng phương mà giới thiệu phần trước ta có: b Hàm số f  x   x4  x2  có  2  nên phương trình f   x   có ba a  x   b  nghiệm phân biệt  x     1 2a   b 1 x   a  Kết hợp với lý thuyết trang 28, f  x  có hệ số a  1  ta có nhanh bảng biến thiên: x f   x   f  x 1  0      * Từ ta loại C hàm số f  x  có hai điểm cực đại điểm cực tiểu * Ta loại A hàm số f  x  có hai điểm cực đại x  1 x  Còn A  1;  B  1;  hai điểm cực đại đồ thị hàm số, hàm số (xem lại ý (phần mở đầu chủ đề cực trị hàm số) phân biệt khái niệm) * Để loại hai phương án B D lại ta tiếp tục xét hàm số g  x  TXĐ: D  Ta có y  x3  2x; y    x  Bảng biến thiên: x f   x   f  x 0    BON TIP Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y  ax4  bx2  c,  a   nếu: ab  hàm số có điểm cực trị x  ab  hàm số có ba điểm cực trị x  0; x    b 2a  Từ BBT ta loại D x  điểm cực đại hàm số g  x  Vậy ta chọn B Đối với hàm bậc bốn trùng phương dạng y  ax  bx  c  a   x  Ta có y '  4ax  2bx     2ax  b   x   b  2a Số điểm cực trị phụ thuộc vào nghiệm phương trình 2ax2  b  b b  (tức a; b trái dấu) hàm số có ba điểm cực trị x  0; x    a Nếu 2a 2a b  (tức a; b dấu b  hàm số có điểm cực b Nếu 2a trị x  Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Tiếp tục toán áp dụng kết vừa thu được: BON 4: Cho hàm số y  x4  2x2  Mệnh đề đúng? BON TIP Đối với hàm bậc bốn trùng phương có dạng y  ax  bx  c,  a   có ab  , nếu: a a  x  điểm cực tiểu; x    b hai 2a điểm cực đại hàm số b a  ngược lại x  điểm cực đại; x    b 2a hai điểm cực tiểu hàm số A Hàm số có điểm cực đại hai điểm cực tiểu B Hàm số có hai điểm cực đại điểm cực tiểu C Hàm số có cực đại khơng có cực tiểu D Hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Đáp án B Lời giải Áp dụng kết vừa thu ta có kết luận hàm số ln có ba điểm cực trị hai hệ số a, b trái dấu Mặt khác hệ số a  1  nên đồ thị hàm số có dạng chữ M (mẹo nhớ), hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu Đến ta tiếp tục thu kết luận phần BON TIP Chú ý: Cần phân biệt rõ khái niệm “điểm cực trị hàm số” “cực trị hàm số” để tránh nhầm lẫn BON 5: Cho hàm số y  x4  6x2  8x  Kết luận sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x  2 đạt cực tiểu x  B Hàm số có giá trị cực đại y  25 giá trị cực tiểu y  2 C Hàm số có điểm cực trị x  2 điểm cực đại D Đồ thị hàm số cho có điểm cực tiểu A  2; 25  Đáp án C Lời giải  x  2 TXĐ: D  Ta có y   4x3  12x  8; y     x  Bảng biến thiên: x  2 + 0   f   x f  x Từ BON ta thấy đạo hàm x  qua điểm y không đổi dấu nên điểm x  điểm cực trị hàm số  25   Hàm số đạt cực đại điểm x  2 Từ ta chọn C Nhận xét: Đối với hàm bậc 4, đạo hàm đa thức bậc nên hàm có cực trị ba cực trị Hàm số có cực trị phương trình y   có nghiệm nghiệm (1 nghiệm đơn nghiệm kép), hàm số có cực trị phương trình y  có nghiệm phân biệt BON 6: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục \2 có bảng biến thiên phía dưới: x –∞ y’ – + + +∞ +∞ +∞ – -15 y –∞ –∞ Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đạt cực đại điểm x  đạt cực tiểu điểm x  B Hàm số có cực trị C Hàm số có giá trị cực tiểu D Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ -15 Đáp án C Lời giải Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị x mà qua y  đổi dấu, x  x  , hai điểm cực trị hàm số Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương qua x  , x  điểm cực tiểu hàm số, ngược lại x  lại điểm cực đại hàm số Từ ta loại A, B D sai giá trị cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Ta chọn C x  hàm số có giá trị cực tiểu y  BON 7: Hàm số y  f  x  liên tục x –∞ y’ có bảng biến thiên dưới: + +∞ – + +∞ y –∞ Mệnh đề sau đúng? A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho khơng có giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho khơng có giá trị cực tiểu Đáp án A Lời giải BON TIP Ở quy tắc ta có hàm số đạt cực trị điểm khiến cho đạo hàm khơng xác định Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy có hai giá trị x mà qua y đổi dấu Do hàm số cho có hai điểm cực trị x  1; x  Chú ý: Nhiều độc giả nghĩ x  khơng tồn y x  khơng phải điểm cực trị hàm số, sai lầm lớn Bởi hàm số đạt cực trị điểm khiến cho đạo hàm không xác định Ví dụ: Hàm số y  x có đạo hàm không tồn x  đạt cực tiểu x  BON Hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x   Phát biểu sau đúng? A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số khơng có điểm cực trị Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cô Ngọc Huyền LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Đáp án C Lời giải BON TIP Trong đa thức, dấu đa thức đổi qua nghiệm đơn nghiệm bội lẻ, cịn nghiệm bội chẵn khơng khiến đa thức đổi dấu x  Ta thấy f   x     x  Đến có nhiều độc giả kết luận ln hàm số có hai điểm cực trị, nhiên kết luận sai lầm, qua x  f   x  không đổi dấu,  x  1  , x Do hàm số có điểm cực trị x  BON : Hàm số sau khơng có cực trị? 2x x3 A y  x3  3x  B y  C y  x4  4x3  3x  D y  x2n  2017 x n   *  Đáp án B Lời giải BON TIP Hàm phân thức bậc bậc khơng có cực trị Hàm bậc bốn ln ln có cực trị (có ba cực trị có cực trị) Với A: Ta thấy hàm bậc ba có y   3x2  , phương trình y   ln có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại) Với B: Đây hàm phân thức bậc bậc nên khơng có cực trị Do ta chọn B Với C: Từ kết hàm số y  ax4  bx2  c  a   ta có kết luận hàm số bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị (do đồ thị dạng M; dạng W parabol) Với D: Ta có y  2nx2n1  2017 (phương trình ln có nghiệm) BON 10: Hàm số sau có ba điểm cực trị? A y  x4  2x2  10 B y  x4  2x2  C y  x  3x  5x  D y  2x4  Đáp án B Lời giải Ta loại ln C hàm số bậc ba có nhiều hai cực trị Tiếp theo ta đến với hàm bậc bốn Ta có hàm bậc bốn trùng phương có hai trường hợp, có điểm cực trị, có ba điểm cực trị Đến ta suy ra, hệ số a, b khác dấu hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị, ta chọn ln B Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Tìm điều kiện để hàm số cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 2.1 Xét hàm số bậc ba có dạng y  ax  bx  cx  d ,  a   Dạng Chú ý: Hàm số y  f  x  xác định D có cực trị  x0  D thỏa mãn hai điều kiện sau: i Đạo hàm hàm số x0 phải hàm số khơng có đạo hàm x0 ii f   x  phải đổi dấu qua x0 f   x0   Một số lưu ý cực trị hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d ,  a   BON TIP Qua ta rút kết quả, đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị, khơng có điểm cực trị Ta có y  3ax2  2bx  c - Để hàm số bậc ba có cực trị phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt     b2  3ac  - Ngược lại, để hàm số khơng có cực trị phương trình y '  vơ nghiệm có nghiệm kép  b  3ac  - Hoành độ x1 ; x2 điểm cực trị nghiệm phương trình y   - Để viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba, ta thường sử dụng phương pháp tách đạo hàm (xem toán tổng quát phía dưới) Một số tốn thường gặp: Bài tốn tổng quát 1: Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d ,  a   Tìm điều kiện để: a Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu (hay hai điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ trái dấu) b Hàm số có hai điểm cực trị dấu (hay hai điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dấu) c Hàm số có hai điểm cực trị x  x1 ; x  x2 so sánh với số thực  d Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị (điểm cực đại điểm cực tiểu) nằm phía, khác phía so với đường thẳng Chú ý Phương trình có hệ số 3a; 2b; c tất toán tổng quát hàm số bậc ba sách ta xét hệ số BON: Lời giải tổng quát ta xét , 3a; 2b; c hệ số khác với biệt số tổng quát mà ta ghi nhớ Ta có y   3ax  2bx  c; phương trình 3ax  2bx  c  có    b  3ac a Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu  y   có hai nghiệm phân biệt trái dấu  ac  b Hàm số có hai điểm cực trị dấu  y   có hai nghiệm phân biệt b2  3ac   dấu   c 0  x1 x2  3a  c Điều kiện để hàm số có cực trị x1 ; x2 thỏa mãn: * x1    x2 * x1  x2   *   x1  x2 Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cô Ngọc Huyền LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb d Điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía với đường thẳng  : mx  ny  k  Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  * Nếu  mx1  ny1  k  mx2  ny  k   A, B nằm phía so với  * Nếu  mx  ny1  k  mx2  ny2  k   A, B nằm khác phía so với  Một số trường hợp đặc biệt - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba nằm phía so với trục Oy  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt dấu - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba nằm hai phía trục Oy  phương trình y  có hai nghiệm trái dấu - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía với trục Ox  y  có hai nghiệm phân biệt yCĐ yCT  - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm hai phía với trục Ox  y  có hai nghiệm phân biệt yCĐ yCT  - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía trục Ox  y y   y  có hai nghiệm phân biệt  CĐ CT  yCĐ  yCT  - Hai điểm cực trị đồ thị hàm số nằm phía với trục Ox  y    y y  có hai nghiệm phân biệt  CĐ CT  yCĐ  yCT  Bài toán tổng quát 2: Viết phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d ,  a   Lời giải tổng quát Giả sử hàm bậc ba y  f  x   ax3  bx2  cx  d ,  a   có hai điểm cực trị x1 ; x2 Khi thực phép chia f  x  cho f '  x  ta f  x   Q  x  f   x   Ax  B  f  x1   Ax1  B Khi ta có  (Do f   x1   f   x2   )  f  x2   Ax2  B Vậy phương trình qua hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số y  f  x  có dạng y  Ax  B BON TIP Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba biểu diễn theo y’; y’’; y y.y g  x   y  18a Đến ta quay trở với toán 1, nhiệm vụ tìm số dư cách tổng quát Ta có y  3ax2  2bx  c ; y  6ax  2b Xét phép chia y cho y ta được: 1 b  y  y  x    g  x   *  , g  x  phương trình qua hai điểm cực trị 9a  3 đồ thị hàm số bậc ba 3ax  b 6ax  2b  g  x   y  y '  g  x Tiếp tục ta có  *   y  y 9a 18a y y.y  y  y '  g  x  g  x  y  18a 18a Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cô Ngọc Huyền LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Một công thức khác phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm bậc ba là: Cho hàm số y  ax  bx  cx  d ,  a   Sau thực phép chia tổng quát ta rút cơng thức phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị  2c 2b2  bc đồ thị hàm số bậc ba theo a, b, c, d y    x  d  9a  9a  Sau xin giới thiệu cách bấm máy tính để tìm nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba sau: Trước tiên ta xét BON đơn giản: BON 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  2x2  3x  A 26 x  y  15  B 25x  y  15  C 26 x  y  15  D 25 x  y  15  Đáp án A Lời giải Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số xác định bởi: 6x  g  x   x  x  3x   3x  x  18 Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn với số phức cách nhập:   MODE  2:CMPLX Nhập vào máy tính biểu thức g  x  sau:  6X18  X  X  3X   3X  X  Sử dụng máy tính Sử dụng tính tốn với số phức để giải toán 26  i Vậy phương trình qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho Ấn CALC, gán X i (ở máy tính i nút ENG) máy hiện: 26  x  26 x  y  15  Tiếp theo ta có tham số y BON 2: Cho hàm số y  x3  3x2  1  m  x   3m Tìm m cho đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho A m  0;  : mx  y  m   B m  0;  : mx  y  m   C m  0;  : y  202  200 x D m  0;  : y  202  200 x Đáp án B BON TIP Với dạng toán này, ta lưu ý trước tiên, ta cần tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị Lời giải Ta có y  3x  x  1  m  , y  x  Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu   32  1  m    m  Với m  ta thực hiện: Chuyển máy tính sang chế độ MODE 2:CMPLX Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Nhập vào máy tính biểu thức y  y y ta có 18 a  X  3X    M  X   M  3X  X    M   6X18 Ấn CALC Máy X? nhập i = Máy M? nhập 100 = Khi máy kết 202  200i Ta thấy 202  200i  2.100   2.100.i  y  m   mx Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho có dạng mx  y  m   Ta rút kết luận cách làm dạng tốn viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm bậc ba sau: Bước 1: Xác định y; y BON TIP Với bước cuối cùng, ta cần có kĩ khai triển đa thức sử dụng máy tính cầm tay, khuôn khổ sách nên giới thiệu vào sách Vậy mong quý độc giả đọc thêm phần Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính tốn với số phức: MODE  2:CMPLX y Nhập biểu thức y  y 18a Chú ý: Nếu tốn khơng chứa tham số ta sử dụng biến X máy, nhiên tốn có thêm tham số, ta sử dụng biến máy để biểu thị cho tham số cho, sách ta quy ước biến M để dễ định hình Bước 3: Gán giá trị Ấn CALC , gán X với i, gán M với 100 Lúc máy kết quả, từ tách hệ số i để đưa kết cuối cùng, giống hai BON Bài toán tổng quát 3: Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d ,  a   Giả sử hàm số có hai điểm cực trị (một điểm cực đại, điểm cực tiểu) Tìm khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số Lời giải tổng quát Hàm số có hai điểm cực trị  b  3ac  BON TIP Cho hàm số bậc ba dạng y  ax  bx  cx  d, với a0 b2  3ac  khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị Nếu hàm số d  với k  b2  3ac 9a 4k  k a Xét phương trình y    3ax2  2bx  c  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Lúc hai điểm cực trị đồ thị hàm số A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  Ta có d  AB  x  x2    y1  y2  2 Áp dụng tốn tổng qt ta có phương trình qua điểm A; B  2c 2b2  bc : y   x  d  9a  9a  Đặt k  bc b2  3ac 2c 2b 3ac  b     2 k  : y  2 kx  d  9a 9a 9a 9a Lúc ta có AB2   x1  x2   4x1 x2  2k  x1  x2  2  2b 2  2b  c c     AB     k     3a 3a   3a   3a   Nhắn tin cho page “Học Toán Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Huyền LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb   b2  3ac 4b2  12ac 4b  12ac  AB   4k  AB   4k a.9a 9a2 9a2   AB2  k  k a   AB    b  3ac 4k  k với k  9a a BON 1: Giá trị m để Cm  : y  x3  x2   m  1 x  m3  m để khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị Cm  85 27 C m  4 B m  1 A m  2 D m  3 Đáp án B Lời giải - Ta có b2  3ac    m  1  3m  Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  3m    m   - Áp dụng cơng thức tốn tổng qt ta có  3m   3m     9 85    Đến ta nhập phương trình vào 27 máy tính thử giá trị m phương án, từ ta chọn B thỏa mãn Trường hợp Cách bấm máy tính: Nhập vào hình  3X   3X  85 (do có 4    9 27   thừa số chung nên ta bỏ đi) Thử với A: Ấn rp2=thì máy kết khác nên ta loại A Trường hợp Thử với B: Tiếp tục ấn rp1= máy kết nên ta chọn B Bài toán tổng quát 4: Định m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm BON TIP Nếu đề yêu cầu hai điểm cực trị đồ thị cách đường thẳng d cần điều kiện I  d số y  ax  bx  cx  d ,  a   đối xứng qua đường thẳng d : y  kx  e Lời giải tổng quát Do đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng nên lúc điểm uốn I  x1 ; y1  thuộc d đường thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số Điểm uốn đồ thị hàm số bậc ba điểm có hồnh độ thỏa mãn y   yI  kxI  e  vng góc với d Tức m thỏa mãn hệ sau:   b2  c   k  1 3  a    nằm đồ thị hàm số y  ax  bx  cx  d, BON 1: Cho hàm số y  x3  3mx2  4m3 (với m tham số) có đồ thị  Cm  Tập BON TIP a  0 tất giá trị m để hai điểm cực trị đồ thị  Cm  đối xứng qua đường thẳng d : y  x   A    2  1  ; B   2   1  ; ; 0 C      ; 0 D    Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Đáp án B Lời giải Ta có: y  3x  6mx Để đồ thị hàm số có điểm cực trị  PT y  có hai nghiệm phân biệt     3m   m    y  6x  6m ; y   x  m Lúc điểm uốn I điểm có tọa độ m; 2m  m3  m  m Từ toán tổng quát ta có:    3m 2 (TM đk)   1 3 BON 2: Xác định tất giá trị m để hai điểm cực trị đồ thị hàm số y  x3  3x2  mx đối xứng qua đường thẳng x  y   B m  2 A m  C m  D m  Đáp án A Lời giải Ta có y  3x  6x  m ; y  x  ; y   x  Để ĐTHS có điểm cực trị  PT y  có hai nghiệm phân biệt     3m   m  Vậy điểm uốn I 1; m   1   m      Từ tốn tổng qt ta có:    m  (thỏa mãn đk) 32  m     1  3 3  Trên tốn tổng qt đưa phương hướng cơng thức cụ thể cho dạng hay gặp Sau xin đưa số BON khác không nằm toán tổng quát trên, nhiên BON có chung điểm phương trình y  tìm rõ nghiệm x1 ; x2 theo tham số m Một số BON khác BON 1: Giá trị m để đồ thị Cm  : y  x3   m   x2  11  3m có hai điểm cực trị A B cho ba điểm A; B; C  0; 1  thẳng hàng B m  A m  C m  D m  1 Đáp án B Lời giải x  Xét phương trình y    6x2   m   x    x   m Đồ thị Cm  có hai điểm cực trị A B  m   m  Áp dụng toán tổng qt ta có phương trình qua hai điểm cực trị A; B AB : y    m   x  11  3m Để A, B, C thẳng hàng C  0; 1  AB : y    m   x  11  3m  1  11  3m  m  (thỏa mãn yêu cầu đề bài) BON 2: Tất giá trị m để đồ thị C  : y  x m    3mx2  m2  x  m3  m có hai điểm cực trị A điểm cực đại, B điểm cực tiểu cho OA  2OB A m   2 B m  2  2; m  2  C m  3  D m  3  2; m  3  2 Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook: facebook.com/ngochuyenlb Đáp án D Lời giải Ta có b  3ac   0, m  Suy đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị BON TIP Ta có  y   phương trình y   có hai nghiệm phân biệt Sở dĩ toán ta kết luận x  x1 x1  m  1; x2  m   x1  x2 điểm cực đại hàm số x  x2 điểm cực tiểu Vì hệ số a   nên x  x1 điểm cực đại hàm số x  x2 điểm cực hàm số ta dựa vào cách nhận dạng đồ thị hàm bậc ba có phương trình y  có hai nghiệm  A  m  1;  2m  B  m  1; 2  2m  phân biệt hệ số a   đồ thị có dạng chữ N tiểu hàm số Theo đề ta có OA  2OB  OA2  2OB2  m2  6m    m  3  2 (thỏa mãn yêu cầu đề bài)   m  3  2 BON 3: Giá trị m để đồ thị hàm số Cm  : y  x  3mx  có hai điểm cực trị B, C cho tam giác ABC cân A với A  2;  A m  0; m  BON TIP Khi giải toán chứa tham số ta nên ý xem phương trình y  giải nghiệm hay khơng Ta có số kết sau: Tổng hệ số số hạng phương trình phương trình có nghiệm x  Tổng hệ số bậc chẵn hệ số bậc lẻ số hạng phương trình phương trình có nghiệm x  1 Lưu ý xét b2  3ac để giải nghiệm phương trình y  nhanh C m  B m  1; m  D m  Đáp án C Lời giải Để hàm số có hai cực trị y   3x2  3m  có hai nghiệm phân biệt    m  Khi tọa độ hai điểm cực trị B; C B  m ; m3  ; C    m ; 2 m3   BC  m ; 4 m  Gọi I trung điểm BC  I  0; 1 ABC cân A  AI BC   4 m  m3   m  0; m  Đối chiếu với điều kiện ta có m  giá trị cần tìm   BON 4: Giá trị m để đồ thị Cm  : y  x3  3mx2  m2  x  m3  4m  có hai điểm cực trị A, B cho OAB vuông O A m  1; m  B m  1; m  2 C m  1; m  1 D m  1; m  Đáp án A Lời giải x  m   y  m  Ta có y   3x2  6mx  m2     x  m   y  m    OA   m  1; m     A  m  1; m       B  m  1; m  1   OB   m  1; m  1  m  1 Do tam giác OAB vuông O  OA.OB   2m2  2m     m  Vậy m  1 m  giá trị cần tìm Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB” để đăng kí học ... (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số Dễ dàng chứng minh rằng, hàm số. .. đúng? A Hàm số có điểm cực đại B Hàm số có hai điểm cực trị C Hàm số có điểm cực trị D Hàm số khơng có điểm cực trị Nhắn tin cho page “Học Tốn Ngọc Huyền LB? ?? để đăng kí học Cơ Ngọc Hùn LB Facebook:... Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho khơng có giá trị cực đại C Hàm số cho có điểm cực trị D Hàm số cho khơng có giá trị cực tiểu Đáp án A Lời giải BON TIP Ở quy tắc ta có hàm số đạt cực