Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHẮC LẠI KIẾN THỨC : ➤ Cho hàm số y = f (x) Khi y có n điểm cực trị phương trình y = có n nghiệm phân biệt ➤ Khi biện luận nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0, ta cần lưu ý phương trình có hai nghiệm phân biệt khi: √ a = −b ± ∆ nghiệm phương trình x1,2 = 2a ∆ = b − 4ac > ➤ Lưu ý: ➥ Một là, toán hỏi dạng "Chứng minh hàm số có hai điểm cực trị".Và vậy, sau xét phương trình y = ta tiếp tục xét tiếp biểu thức ∆ = b2 − 4ac chứng minh ∆ > ➥ Hai là, cần lưu ý điều kiện để hàm số đạt cực dại cực tiểu cách sử dụng đạo hàm cấp 2: f (x0 ) = f (x0 ) < f (x0 ) = ⇒ Hàm số đạt cực đại x = x0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu x = x0 f (x0 ) > •Lưu ý sau tìm xong m ta phải có bước thử lại giả sử f (x0 ) = không f (x0 ) = ➥ Ba là, với toán "cực trị liên quan đến hoành độ", giả sử phương trình y = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 để biết hoành độ xCD , xCT ta "phải dựa vào dạng đồ thị hoặcbảng biến thiên Cụ thể sau: a > ⇒ xCD < xCT a < ⇒ xCD > xCT ➥ Bốn là, với toán "cực trị liên quan đến tung độ", ta thay hoành độ cực trị (HĐCT) vào độ thị hàm số y = f (x) Điều thật hữu hiệu "hoành độ cực trị đẹp" Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu Với HĐCT có biểu diễn phức tạp ta phải tìm tung độ cực trị cách thay HĐCT vào Phương trình nối hai điểm cực trị (đây phần dư phép chia y cho y’.) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m + 1)x2 + 3x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Hướng dẫn giải Tập xác định D = R Đạo hàm y = (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + y = ⇔ (m2 − 1)x2 + 2(m + 1)x + = Hàm số có hai cực trị ⇔ y = có hai nghiệm phân biệt m2 − = m = ±1 ⇔ ⇔ ∆ = (m + 1)2 − 3(m2 − 1) > −2m2 + 2m + > m = Vậy giá trị m cần tìm −1 < m < ⇔ m = ±1 −1 < m < ⇔ m = −1 < m < 2x3 + (m + 1)x2 + (m2 + 4m + 3)x − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu hoành độ cực trị dương Bài 2: Cho hàm số y = Hướng dẫn giải Tập xác định D = R Đạo hàm y = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + Hàm số có hai điểm cực trị dương ⇔ y = có hai nghiệm phân biệt dương ∆ = (m + 1)2 − 2(m2 + 4m + 3) > ⇔ S = −(m + 1) > P = m + 4m + > Vậy giá trị m cần tìm −5 < m < −3 ⇔ −5 < m < −3 Bài 3: Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + (3m − 4)x + Tìm m để hàm số đạt cực đại x = Hướng dẫn giải Tập xác định D = R Đạo hàm y = 3x2 − 2(m + 1)x + 3m − y = 6x − 2(m + 1) Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453 Facebook: Nhóm ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN mục tiêu Hàm số đạt cực đại x = ⇒ f (1) = f (1) < ⇔ 3 − 2(m + 1) + 3m − = ⇔m=3 6 − 2(m + 1) < Vậy giá trị m cần tìm m = Với m = 3, ta có: y = x3 − 4x + 5x + 5, tập xác định D = R x=1 y = 3x2 − 8x + 5, y = ⇔ x= Do hàm số y có hệ số a = > nên xCD < xCT ⇒ xCD = (thỏa mãn YCBT) Bài 4: Tìm m để hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 9x − m có điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn |x1 − x2 | = Hướng dẫn giải Tập xác định D = R Ta có: y = 3x2 − 6(m + 1)x + 9; y = ⇔ x2 − 2(m + 1)x + = (1) Yêucâu toán tương đương với(1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn |x1 − x2 | = √ √ ∆ = (m + 1)2 − > m2 + 2m − > m > −1 + hay m < −1 − ⇔ ⇔ ⇔ |x1 − x2 | = (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = √ √ m > −1 + hay m < −1 − m = −3 ⇔ ⇔ m=1 4(m + 1)2 − 4.3 = Vậy giá trị cần tìm m m=-3 hay m=1 Bài 5: Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − (1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị hàm số cách gốc tọa độ Hướng dẫn giải Tập xác định D = R Ta có: y = −3x2 + 6x + 3(m2 − 1) y = ⇔ x2 − 2x − m2 + = (2) Hàm số (1) có hai cực trị (2) có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m2 > ⇔ m=0 x=1−m Khi y = ⇔ x=1+m Gọi A,B hai điểm cực trị cảu đồ thị hàm số (1) A(1 − m; −2 − 2m3 ) B(1 + m; −2 + 2m3 ) Do O cách A B ⇔ OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔ m = ± (vì m = 0) Nhận gia sư lớp THPT THCS Liên hệ sđt 0931438453