Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ VIẾT PT MẶT PHẲNG HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d ) : x2 y z ; ( P) : x y z Tìm giao (d) (P) Lời giải: Tọa độ giao điểm (d) (P) nghiệm hệ phương trình: x 3t x 3t x 3t x x2 y z y t y t y t y 1 2 x y z z 2t z 2t z 2t z 2(3t 2) 2 x y z 2) 33t 2.2 2.2t 33 00 t 11 Vậy giao điểm cần tìm (1;1;2) Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho (d1 ) : x2 y 4 z 3 x y 1 z ; (d ) : ; A(0;0;1) 2 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A song song với đường thẳng Lời giải: Theo giả thiết, véctơ phương đường thẳng cho là: ud1 (1;1;2); ud2 (2;3;1) Mặt phẳng (P) song song với d1 , d nên véctơ pháp tuyến (P) là: n( P ) ud1 , ud2 (5;3;1) Mặt phẳng (P) qua A nên phương trình mặt phẳng (P) là: 5( x 0) 3( y 0) 0) 1( 1(z 1) 1) 00 hay 5x y z Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(0;0;1), B(2;0;0) mặt phẳng: (Q): x – y + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với (Q) Lời giải: Ta có AB(2;0; 1), nQ (1; 1;0), AB; nQ (1; 1; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Vì AB; nQ nên mặt phẳng (P) nhận AB; nQ làm véc tơ pháp tuyến Vậy (P) có phương trình x y z Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2;3;7) B(4;1;3) Lời giải: Cách Gọi I trung điểm AB, ta có: I(3;2;5) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua I vuông góc với AB nên nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, phương trình (P) là: 2.(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = hay (P): x – y - 2z + = Cách Mọi điểm M(x;y;z) thuộc (P) cách A B nên: MA2 MB ( x 2)2 ( y 3)2 ( z 7) ( x 4) ( y 1) ( z 3) x y z Vậy (P): x – y - 2z + = Cách Mặt phẳng (P) nhận AB (2; 2; 4) làm vec tơ pháp tuyến, phương trình (P) có dạng: x – y - 2z + d = Vì A, B cách (P) nên: d ( A, ( P)) d ( B, ( P)) | 2.7 d | | 2.3 d | | d 15 || d | d 11 11 Do đó: (P): x – y - 2z + = Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) song song cách x t x 1 y z 1 đường thẳng: d1 : y t ; d : z t Lời giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian x 2t Chuyển phương trình tham số ta có đường thẳng d : y t z 5t Do véc tơ phương đường thẳng cho là: u1 (1;1; 1); u2 (2;1;5) uP u1 , u2 (6; 7; 1) Do phương trình (P) có dạng 6x - 7y – z + d = Hai đường thẳng cho qua điểm M1 (2; 2;3), M (1; 2;1) d ( M1 ,( P)) d ( M ,( P)) | d || d | d ( P) : 6x 7y z Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng x 1 t x y z song song với đường thẳng d : y t d1 : x y 2z z 2t Lời giải: Chọn điểm M (0; 2;0) d1; u1 (2;3;4); u2 (1;1;2) Mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d (P) qua M có véc tơ phương tuyến là: nP u1 , u2 (2;0; 1) ( P) : 2( x 0) 0( y 2) 1( z 0) ( P) : x z 2x y 3x y z Bài Trong hệ trục oxyz cho đường thẳng: d1 : d : x y z 2x y a Chứng minh đường thẳng đồng phẳng viết phương trình (P) chứa chúng b Tìm thể tích phần không gian giới hạn (P) ba mặt phẳng tọa độ Lời giải: a 2 x y u1 n1.n (1; 2; 3) d1 x y z M (0; 1;0) d1 u n '1.n '2 (1; 2; 5) 3x y z d : x y M (0;1; 4) d1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian u1 (1; 2; 3) u (1; 2; 5) u1 , u M 1M d1; d đồng phẳng M 1M 0; 2; (0;1; 2) Ta có: n ( P ) u1 , u (4;8; 4) (1; 2; 1) ( P ) : ( x 0) 2( y 1) ( z 0) ( P) : x y z b Giả sử (P) cắt trục tọa độ A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) Ta có: ( P) : x y z x y z 2 (a; b; c) (2; 1; 2) V x y z 1 2 1 2 abc (dvtt ) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = cho MA = MB = MC Lời giải: Ta có AB (2; 3; 1), AC (2; 1; 1) n (2; 4; 8) vtpt (ABC) Suy phương trình (ABC) (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = hay x + 2y – 4z + = Giả sử M(x; y; z) thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – = Theo giả thiết MA = MB = MC Ta có: 2x 2y z – 2 2 2 x ( y 1) ( z 2) ( x 2) ( y 2) ( z 1) ( x 2) ( y 2) ( z 1) ( x 2) y ( z 1) Giải hệ x = 2, y = 3, z = -7 Vậy M(2;3;-7) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A(10;2; -1), song song x 2t với đường thẳng d: y t khoảng cách từ d tới (P) lớn z 3t Lời giải: Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A song song với d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H tới (P) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Giả sử I hình chiếu H (P), ta có AH HI max HI A I Vậy (P) cần tìm qua A nhận AH véc tơ pháp tuyến Ta có: H d H (1 2t ; t ;1 3t ) AH d AH ud H (3;1; 4) AH (7; 1;5) ( P) : 7( x 10) ( y 2) 5( z 1) ( P) : x y z 77 Bài 10 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm I( 0;0;1) K( 3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng qua I, K tạo với mặt phẳng (xOy) góc 300 Lời giải: Giả sử mặt phẳng cần tìm có dạng: x y z (a, b, c 0) a b c I ( ) c x y z K ( ) a ( ) : b ( ) : 1 n n xOy x y z n ( ; ;1) n xOy (0;0;1) cos30 b ( ) : 1 b 3 n n xOy Vậy có mặt phẳng cần tìm theo phương trình Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt x y z 1 3 2 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian BÀI TẬP BỔ SUNG Bài Lập phương trình mặt phẳng biết: a Mặt phẳng qua M 3, 2, 1 song song với mặt phẳng có phương trình x y z b Mặt phẳng qua điểm M 0,1,1 ; N 1, 0, vuông góc với mặt phẳng Lời giải a Vì // : x y z nên phương trình mặt phẳng có dạng: : x y z D Do M 3, 2, 1 nên: 5.2 (1) D D D Vậy phương trình mặt phẳng là: x y z b Đặt : x y z n 1, 1,1 VTPT mp Vì nên n VTCP mp Vì qua hai điểm M , N vuông góc với mp nên mp có cặp VTCP là: MN 1, 1,1 n 1, 1,1 Suy ra: VTPT mp n MN , n 0, 2, Mặt phẳng qua M 0,1,1 có VTPT n 0,1,1 Bài Lập phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB biết A 1,3, 2 B 1, 2,1 Lập phương trình mp chứa đường thẳng AB song song với CD , A 5,1,3 ; B 1, 6, ; C 5, 0, ; D 4, 0, 3.Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M 1, 0, 2 vuông góc với hai mặt phẳng P : x y z Q : x y z Lời giải Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Gọi mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Gọi I trung điểm đoạn AB Khi đó: 11 xI 3 yI 2 1 zI A I 1 I 1, , 2 α B Vì mặt phẳng trung trực AB I trung điểm AB nên I AB Ta có: AB AB VTPT mp , với AB 0, 1,3 VTPT AB 0, 1,3 Mặt phẳng xác định bởi: 1 qua I 1, , 2 5 1 Phương trình mp : x 1 1 y z y z 2 2 Vì mp chứa AB // CD nên AB CD cặp VTCP mp Khi đó: VTPT mp là: n AB, CD Ta có: AB 4,5, 1 & CD 1, 0, n 10,9,5 Mặt phẳng qua A 5,1, 3 có VTPT n 10,9,5 Phương trình mp : 10 x y 1 z 3 : 10 x y z 74 Ta có: P : 2x y z nP 2,1, 1 ; Q : x y z nQ 1, 1, 1 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương P Vì Q mà Hình học giải tích không gian n P P // nP n Q Q // nQ Do nP ; nQ cặp VTCP mp VTPT mp là: n nP , nQ 2,1, 3 phẳng VTPT n 2,1, 3 bởi: qua M 1, 0, 2 Mặt xác định Phương trình mp : 2 x 1 1 y z : x y z : y z Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d : y2 x2 z5 x z d’ : y 3 1 1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua d tạo với d’ góc 300 Lời giải Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vectơ phương u (1; 1;1) Đường thẳng d’ qua điểm M ' (2;3;5) có vectơ phương u '(2;1; 1) Mặt phẳng ( ) phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u cos(n; u ' ) cos 600 Bởi đặt n ( A; B; C ) ta phải có : A B C 2A B C 2 2 A B C B A C B A C 2 2 2 A A ( A C ) C 2 A AC C Ta có A2 AC C ( A C )(2 A C ) Vậy A C A C Nếu A C ,ta chọn A=C=1, B , tức n (1;2;1) mp ( ) có phương trình x 2( y 2) z hay x y z Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Nếu A C ta chọn A 1, C 2 , B 1 , tức n (1;1;2) mp ( ) có phương trình x ( y 2) z hay x – y - 2z + = LuyệnOxyz thi PEN-C: Môncầu Toán – Thầy Lê Bá Trần(P) Phương Hình học giải tích tr Bài Trong không gian cho mặt (S), mặt phẳng có phương trình (S): x y z x y z , (P): 2x +2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3= ( x 1) ( y 2) ( z 1) 32 => mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = ( D ) D 10 Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d I ;(Q) R D D 8 Vậy (Q) có phương trình: Hoặc 2x + 2y - z + 10 = 2x + 2y - z - = Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Lời giải •Gọi n (a; b; c) O véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0 b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3 2a c a c 2a 16ac 14c a 7c a ( a 2c ) c •TH1: a c ta chọn a c Phương trình (P): x-y+z+2=0 TH2: a 7c ta chọn a =7; c = Phương trình (P):7x+5y+z+2=0 x 1 y 1 z điểm A(2;1;2) 1 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cho khoảng cách từ A đến (P) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Lời giải Đường thẳng qua điểm M(1 ; ; ) có vtcp u = (2 ; -1 ; 1) Gọi n = (a ; b ; c ) vtpt (P) Vì ( P) n u n u 2a – b + c = b = 2a + c n =(a; 2a + c ; c ) từ ta có: (P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – ) = (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = d(A ; (P)) = a a (2a c) c a c a c với a + c = , chọn a = , c = -1 phương trình (P) : x + y – z = Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt z = góc 600 phẳng (Q): 2x + y Lời giải Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, n p ( A ; B ; 0) nQ (2 ; ; ) 2A B Theo giả thiết: cos(n p , nQ ) cos 60 A B 1 2 2 A B 10 A B 2 A 16 AB B Chọn B = ta có : 6A2 + 16A – = suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = -3x + y = Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -