Bai 3 HDGBTTL ly thuyet co so ve mat phang hocmai vn 2

Kh óa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Bài Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm G(1;1;1) a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G vuông góc với OG b Mặt phẳng (P) câu (1) cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C CMR: ABC tam giác ñều Lời giải: a Do OG ⊥ ( P ) ⇒ n( P ) = OG = (1;1;1) ⇒ ( P ) :1( x − 1) + 1( y − 1) + 1( z − 1) = ⇒ ( P ) : x + y + z − = y = b Vì phương trình Ox :  ⇒ A(3; 0;0) Tương tự : B(0;3;0) C (0;3;0) z = Ta có: AB=BC=CA=3 ⇒ ∆ABC tam giác ñều Bài Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz, cho ñường thẳng : x −1 y − z ∆: = = ñiểm M(0 ; - ; 0) 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua ñiểm M song song với ñường thẳng ∆ ñồng thời khoảng cách ñường thẳng ∆ mặt phẳng (P) Lời giải: Giả sử n(a; b; c) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm A(1; 3; 0) có vectơ phương u = (1;1; 4) n.u = a + b + 4c = ∆ / /( P)  ⇔  | a + 5b | Từ giả thiết ta có  =4 d ( A; ( P )) =  2  a +b +c Thế b = - a - 4c a =4 v c ⇔ Với (1) (2) vào (2) ta có ( a + 5c) = (2a + 17c + 8ac) ⇔ a - 2ac − 8c = a = −2 c a = chọn a = 4, c = ⇒ b = - Phương trình mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = c Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Kh óa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Với Hình học giải tích không gian a = −2 chọn a = 2, c = - ⇒ b = Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + = c Bài Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho ñường thẳng có phương trình:  x = + 2t x + y + z − =  (d1 ) :  y = − t (d ) :  2 x + y + z − 16 = z = − t  Viết phương trình mặt phẳng chứa ( d1 ) ( d ) Lời giải: Giả sử mặt phẳng cần lập (Q) ta có: Lấy ñiểm M (5;1;5) ∈ d1 ; N (5; 2; 0) ∈ d ⇒ MN = (0;1; −5) Và n ( Q ) = u ( d1 ) MN  = (6;10; 2) ⇒ (Q) : 6( x − 5) + 10( y − 1) + 2( z − 5) = hay (Q ) : x + y + z − 25 = Bài Trong không gian Oxyz cho ñường thẳng d: x −1 y z + = = −3 Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa d cho khoảng cách từ ñiểm I (1, 0, 0) tới (Q) Lời giải: Dễ thấy A(1;0;-2), B(3;1;-5) thuộc (d) Khi ñó phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng: a ( x − 1) + b( y − 0) + c( z + 2) = B ∈ (Q ) ⇒ 2a + b − 3c = ⇒ b = 3c − 2a ⇒ (Q ) : ax + (3c − 2a ) y + cz + 2c − a = a = c ⇒ b = c ⇒ d ( I , (Q)) = = ⇔ 2  a = 7c ⇒ b = c a + (3c − 2a ) + c 5  | a + 2c − a |  a = 5, b = ⇒ (Q ) : x + y + z + = Chọn c = ⇒   a = 7, b = ⇒ (Q ) : x + y + z + = Vậy có mặt phẳng cần tìm Bài Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P) ñường thẳng (d) có phương trình: (P): 2x − y − 2z − = 0; (d): x y +1 z − = = −1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ñường thẳng (d) tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Kh óa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian 2 x + y + = Lời giải: ðường thẳng (∆) có VTCP u = ( −1; 2;1) ; PTTQ:  x + z − = Mặt phẳng (P) có VTPT n = (2; −1; −2) Góc ñường thẳng (∆) mặt phẳng (P) là: sin α = | −2 − − | = 3 ⇒ Góc mặt phẳng (Q) mặt phẳng (Q) cần tìm cos α = − = Giả sử (Q) ñi qua (∆) có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z − 2) = (m2+ n2 > 0) ⇔ (2m + n)x + my + nz + m − 2n = Vậy góc (P) (Q) là: cos α = | 3m | 5m + 2n + 4mn = 3 ⇔ m2 + 2mn + n2 = ⇔ (m + n)2 = ⇔ m = −n Chọn m = 1, n = −1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y − z + = Bài Trong không gian với hệ trục toạ ñộ Oxyz cho ñiểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) ñi qua A, B vuông góc với (Q) Lời giải: Ta có AB (1;1;1), nQ (1; 2;3),  AB; nQ  = (1; −2;1) Vì  AB; nQ  ≠ nên mặt phẳng (P) nhận  AB; nQ  làm véc tơ pháp tuyến Vậy (P) có phương trì nhx - 2y + z - = B ài T rong không gian với hệ t ọañộ Oxyz, cho ñiểm M(1;-1; 1) x y +1 z hai ñường thẳng (d ) : = = −2 −3 (d ') : x y −1 z − = = Chứng minh: ñiểm M, (d), (d’) nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng ñó Lời giải: (d) ñi qua M (0; −1; 0) có vtcp u1 = (1; −2; −3) (d’) ñi qua M (0;1; 4) có vtcp u2 = (1; 2;5) Ta có u1 ; u2  = (−4; −8; 4) ≠ O , M 1M = (0; 2; 4) Xét u1 ; u2  M 1M = −16 + 14 = nên (d) (d’) ñồng phẳng Gọi (P) mặt phẳng chứa (d) (d’) (P) có vtpt n = (1; 2; −1) ñi qua M1 nên có phương trình x + 2y − z + = Dễ thấy ñiểm M(1;-1;1) thuộc mp(P) , từ ñó ta có M, (d), (d’) nằm mặt phẳng Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Kh óa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = góc 600 Lời Giải   Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0,  n p  ( A ; B ; 0) nQ  (2 ; ; )  2A  B  Theo giả thiết: cos(n p , nQ )  cos 60  A  B 1 2   2 A  B  10 A  B 2  A  16 AB  B  Chọn B = ta có : 6A2 + 16A – = suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = -3x + y = Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Lời Giải •Gọi n  (a; b; c)  O véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0)  pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) a-b-2c=0  b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = 3 2a  c a  c   2a  16ac  14c     a  7c a  ( a  2c )  c •TH1: a  c ta chọn a  c   Pt (P): x-y+z+2=0 •TH2: a  7c ta chọn a =7; c = Pt (P):7x+5y+z+2=0 Bài 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 (Q):x-y+z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng () qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)(Q) tạo với trục Oz góc 300 Lời Giải    Vectơ phương đường thẳng d: ud  [nP , nQ ]  (1; 2; 3) gọi n(a; b; c) (với a2+b2+c2≠0) vectơ pháp tuyến () d//()  n.ud  a-2b-3c=0a=2b+3c Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5- Kh óa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Sin((),Oz)=sin300= cos(n, ud )  c a b c 2  Hình học giải tích không gian 3c2=a2+b2 3c2=(2b+3c)2+b2  6 c b  5b2+12bc+6c2=0    6 c b   6 32 ca c 5 với b  chọn a   ; b  6  ; c  phương trình mặt phẳng () là: (3  ) x  (6  ) y  z  12   6 3 ca c 5 với b  chọn a   ; b  6  ; c  phương trình mặt phẳng () là: (3  ) x  (6  ) y  5c  12   Bài 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5;3; 1), P(2;3;  4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng ( ) : x  y  z   Lời Giải Giả sử N ( x0 ; y0 ; z0 ) Vì N  ( )  x0  y0  z0   (1) MN  PN MN PN  MNPQ hình vuông  MNP vuông cân N   ( x0  5)  ( y0  3)  ( z0  1)  ( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  4)  ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)   x0  z0    ( x0  5)( x0  2)  ( y0  3)  ( z0  1)( z0  4)  ( 2) (3)  y0  2 x0  Thay vào (3) ta x02  x0    z   x0  Từ (1) (2) suy   x0  2, y0  3, z  1  N (2; 3;  1)  hay   N (3; 1;  2)  x0  3, y0  1, z  2 Gọi I tâm hình vuông  I trung điểm MP NQ  I ( ; 3;  ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6- Kh óa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Nếu N (2;  1) Q(5; 3;  4) Nếu N (3;1;  2) Q(4; 5;  3) Bài 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C(0;3; 2) mặt phẳng ( ) : x  y   Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng ( ) Lời Giải Giả sử M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi từ giả thiết suy ra: MA  MB  MC  d ( M , ) ( x0  1)  y02  z02  x02  ( y0  1)  z02  x02  ( y0  3)  ( z0  2)   ( x0  1)  y02  z02  x02  ( y0  1)  z02    x02  ( y0  1)  z02  x02  ( y0  3)  ( z0  2)  ( x0  1)  y02  z02  ( x0  y0  2)  x0  y0  (1) (2) (3)  y0  x0  z0   x0 Từ (1) (2) suy  Thay vào (3) ta 5(3x02  x0  10)  (3x0  2)  x0   M (1; 1; 2)     23 23 14  x0  23  M ( ; ;  ) 3 3   Bài 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắtcác trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK Lời Giải Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c)  (P ) : x y z   1 a b c  77 4 a         77 IA  (4  a ;5;6), JA  (4;5  b ;6) a b c    5b  6c   b  JK  (0; b; c), IK  (a;0; c)  4a  6c  77 c   Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;4;1),B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vuông góc với mặt phẳng (P) Lời Giải     (Q) qua A, B vuông góc với (P)  (Q) có VTPT n   n p , AB    0; 8; 12      (Q) : y  3z  11  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang |7 - Kh óa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm B(1; 3; 0), C(1; 3; 0), M(0; 0; a) với a > Trên trục Oz lấy điểm N cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC) Cho a  Tìm góc  mặt phẳng (NBC) mặt phẳng (OBC) Tìm a để thể tích khối chóp BCMN nhỏ Lời Giải 1) B, C  (Oxy) Gọi I trung điểm BC  I(0; 3; 0)  MIO  450     NIO  450 3 3 2) VBCMN  VMOBC  VNOBC   a   đạt nhỏ  a   a   a a Bài 16.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B(2;0;2) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA  MB  b Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB ) (Oxy ) Lời Giải Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A(1;1;2) , B ( 2;0;2) a Tìm quỹ tích điểm M cho MA  MB  M  x, y, z  cho MA2  MB    x  1   y  1   z     x    y   z    2 2  x  y   Vậy quỹ tích điểm M mặt phẳng có phương trình x  y   b Tìm quỹ tích điểm cách hai mặt phẳng (OAB ) (Oxy )   OA, OB    2; 2; 2   1;1; 1   OAB  : x  y  z     Oxy  : z  N  x; y; z  cách  OAB   Oxy   d  N ,  OAB    d  N ,  Oxy    x  y   x  y  z   3z   x  y       1 z  x yz  z 1 z  Vậy tập hợp điểm N hai mặt phẳng có phương trình x  y     z  x  y    1 z  Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | 8-