Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (tiếp theo) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Bài tập có hƣớng dẫn giải: Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) mặt phẳng (P): x y z a Gọi M1 hình chiếu M lên mặt phẳng ( P ) Xác định tọa độ điểm M1 tính độ dài đọan MM1 x-1 y-1 z-5 b Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua M chứa đường thẳng : -6 Lời giải: Tìm M h/c M lên mp (P) Mp (P) có PVT n 2, 2, 1 x 2t Pt tham số MM qua M, P y 2t z 3 t Thế vào pt mp (P): 5 2t 2t 3 t 1 18 9t t 2 Vậy MM1 P M1 1, 2, 1 Ta có MM 1 3 1 Đường thẳng : 2 16 16 36 x 1 y 1 z qua A(1,1,5) có VTCP a 2,1, 6 6 Ta có AM 4,1, 8 Mặt phẳng (Q) qua M, chứa mp (Q) qua A có PVT AM , a 2,8, hay 1,4,1 nên pt (Q): x 5 y 2 z 3 Pt (Q): x y z 10 Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa nên pt mp(Q) có dạng: x y hay m( x y 1) y z 11 Mặt phẳng (Q) qua M(5;2; - 3) nên ta có – + = ( loại) hay m( – + 1) + 12 – – 11 = m = Vậy Pt (Q): x y z 10 Bài Trongkhôn g gian với hệ tọa độ Ox zy cho hình l ập phươngA BCD A 1B1C 1D1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Kh ó a học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian a Xác định tọa độ điểm lại hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M trung điểm BC Chứng minh hai mặt phẳng ( AB1D1) ( AMB1) vuông góc b Chứng minh tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới mặt phẳng ( AB1D1) ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí điểm N Lời giải: a Ta có A 0,0,0 ; B 2,0,0 ; C 2, 2,0 ;D(0;2;0) A1 0,0, 2 ; B1 2,0, 2 ; C1 2, 2, 2 ; D1 0, 2, 2 Mp AB1D1 có cặp VTCP là: AB1 2,0, 2 ; AD1 0, 2, 2 mp AB1D1 có PVT u AB1 , AD1 1, 1,1 Ta có M 2,1,0 nên Mp AMB1 có cặp VTCP là: AM 2,1,0 ; AB1 2,0, 2 mp AMB1 có PVT v AM , AB 1, 2, 1 Ta có: u.v 11 1 2 1 1 u v AB1D1 AMB1 (đpcm) x t b AC1 2, 2, 2 phương trình tham số AC1 : y t , N AC1 N t , t , t z t Phương trình AB1D1 : x 0 y 0 z 0 x y z d N , AB1 D1 t t t t d1 Phương trình AMB1 : x 0 y 0 z 0 x y z d N , AMB1 t 2t t 1 1 2t d2 t t d1 d2 t 32t Vậy tỉ số khoảng cách từ N AC1 N A t 0 tới mặt phẳng thuộc vào vị trí điểm N AB1D1 AMB1 không phụ Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M(3;-1;-5) vuông góc với mặt phẳng ( P1 ) : 3x y z 7; ( P2 ) : x y 3z 1 Lời giải: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng nên: nP nP1 , nP2 (2;1; 2) Do (P): 2( x 3) 1.( y 1) 2( z 5) ( P) : x y z Bài 14 Lời giải: x 1 y z Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 d cho khoảng cách từ A đến lớn Bài Cho điểm A 2;5;3 đường thẳng d : Lời giải: Gọi K hình chiếu A d K cố định; Gọi mặt phẳng chứa d H hình chiếu A Trong tam giác vuông AHK ta có AH AK Vậy AHmax AK mặt phẳng qua K vuông góc với AK Gọi mặt phẳng qua A vuông góc với d : 2x y 2z 15 K 3;1;4 mặt phẳng qua K vuông góc với AK : x y z Bài Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng với O qua (ABC) Lời giải: Từ phương trình đoạn chắn suy phương trình tổng quát (ABC) là: x y z 2x y z 2 Gọi H hình chiếu vuông góc O lên (ABC), OH vuông góc với (ABC) nên OH / / n(2;1; 1) ; H ABC 1 Ta suy H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có 2.2t t (t ) t H ( ; ; ) 3 3 2 O’ đối xứng với O qua (ABC) H trung điểm OO’ O '( ; ; ) 3 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Lời giải: Ta có: AB (2; 2; 2), AC (0; 2; 2) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian x y z 1 Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: y z 3 Vectơ pháp tuyến mp(ABC) n AB, AC (8; 4; 4) ( ABC ) : x y z Tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn: x y z 1 x y z y Suy tâm đường tròn I (0; 2;1) 2 x y z z Bán kính R IA (1 0)2 (0 2)2 (1 1)2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Bài 7.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M (0; 1; 2) N (1;1;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, N cho khoảng cách từ K (0;0; 2) đến (P) đạt giá trị lớn Lời giải: Gọi n ( A, B, C ); A2 B C vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) M 0; 1; P Ax B y 1 C z Ax By Cz B 2C N 1;1;3 P A B 3C B 2C A B C Phương trình mặt phẳng (P) có dạng; P : B C x By Cz B 2C Khoảng cách từ K đến mp(P) là: d K , P B 2 B 2C BC +Nếu B = d(K,(P))=0 (loại) +Nếu B d K , P B B 2C BC C 1 B Dấu “=” xảy B = -C Chọn C = Khi phương trình (P): x + y – z + = Bài Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH ( ABC ) DH với H trực tâm tam giác ABC Tính góc (DAB) (ABC) Lời giải: Trong tam giác ABC, gọi K CH AB Khi đó, dễ thấy AB ( DCK ) Suy góc (DAB) Ta tìm tọa độ điểm H (ABC) góc DKH Tính HK xong + Phương trình mặt phẳng (ABC) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Vecto pháp tuyến n [ AB, AC ] 0; 4; 4 (ABC): y z + H ( ABC ) nên giả sử H (a; b; b) Ta có: AH (a; b; b), BC (4; 2; 2) CH (a 2; b; b), AB (2; 2; 2) BC AH a b Khi đó: a b 2 a 2b AB.CH Vậy H(-2; -2; 4) + Phương trình mặt phẳng qua H vuông góc với AB là: x y z x t Phương trình đường thẳng AB là: y t z t xt y t 2 Giải hệ: ta x ; y , z z 2t 3 x y z 96 2 2 8 Suy ra: K ( , , ) Suy ra: HK 3 3 3 3 2 Gọi góc cần tìm thì: tan DH 96 6 arctan HK 12 3 Bài Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), mặt phẳng (P) có phương trình (S): x y z x y z , (P): 2x +2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Lời giải : Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3= ( x 1) ( y 2) ( z 1) 32 Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = ( D ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian D 10 D 8 Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d I ;(Q) R D Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = 2x + 2y - z - = x 1 y 1 z điểm 1 1 A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cho khoảng cách từ A đến (P) Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : Lời giải Đường thẳng qua điểm M(1 ; ; ) có vtcp u = (2 ; -1 ; 1) Gọi n = (a ; b ; c ) vtpt (P) Vì ( P) n u n u 2a – b + c = b = 2a + c n =(a; 2a + c ; c ) , từ ta có: (P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – ) = (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = d(A ; (P)) = a a (2a c) c 2 a c a c với a + c = , chọn a = , c = -1 (P) : x + y – z = Bài 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x y z 11 tiếp xúc với (S) Lời giải: Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) bán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến ( ) n(1; 4;1) Vì ( P) ( ) song song với giá v nên nhận véc tơ n p [n, v] (2; 1; 2) làm vtpt Do (P):2x-y+2z+m=0 m 21 m Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( P )) Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 2x-y+2z-21=0 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian x 1 t Bài 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : d1 : y t z x y 1 z 1 Viết phương trình mp(P) song song với d1 d , cho khoảng cách từ 2 d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) d2 : Lời giải : Ta có : d1 qua điểm A(1 ; ; 1) vtcp : u1 1; 1;0 d qua điểm B (2; 1; -1) vtcp là: u2 1; 2; Gọi n vtpt mp(P), (P) song song với d1 d nên n = [ u1 ; u2 ] = (-2 ; -2 ; -1) (P): 2x + 2y + z + m = d( d1 ;(P)) = d(A ; (P)) = 7m ; d( d ;( P)) = d( B;(P)) = 5 m d( d1 ;(P)) = 2.d( d ;( P)) m m m 3 7 m 2(5 m) m 17 m 2(5 m ) Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – = Với m = - 17 17 mp(P) : 2x + 2y + z =0 3 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -