Bai 5 HDGBTTL ly thuyet co so ve duong thang hocmai vn

Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG  x  1 t x  y  z    Bài Cho hai đường thẳng (d1 ) :  ; (d ) :  y  2  t 2 x  y    z  3t  Chứng minh (d1), (d2) chéo Lời giải: Gọi u véc tơ phương (d1) Khi  1 1 1  u  , ,   (1, 2, 3) / / (1, 2,3)  0 2    Véc tơ phương v (d2) là: v  (1,1, 1)  y  z  5  y  Tìm điểm M thuộc (d1) Cho x =   Vậy ta có M(0,1,6)   y   z  Rõ ràng N(1,-2,3) thuộc (d2) Xét đại lương sau: u, v  MN (1) 2 3 1 2 , , Ta có u, v      (5, 4, 1) (2)  1 1 1  MN  (1, 3, 3) (3) Thay (2) (3) vào (1) có u, v  MN  5  12   14  Vậy (d1), (d2 ) chéo Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d): ( P) : x  y  z   ; 2 x  y  z   (d ) :  2 x  z   Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d) lên (P) Lời giải: Đường thẳng (d ) cần tìm giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa (d) có VTCP n( P ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian u ( d )  (1; 4; 2) M(-2;0;-1)  (d)  n(Q )  u ( d ) n( P )   (6; 1; 5)  (Q) : 6( x  2)  y  5( z  1)  hay x  y  z   6 x  y  z    hình hình chiêu (d ) :  x  y  z   x  y  z 1 , mặt phẳng   3  P  : x  y  z   Viết phương trình đường thẳng  d  qua A, song song với mp  P  vuông Bài Trong không gian Oxyz cho điểm A  3; 1;  , đường thẳng  d  : góc với đường thẳng  d  Lời giải: Ta có (d’) có véc tơ phương là: u  ud ; nP    2; 8; 4  x  y 1 z  x  y 1 z      hay  d   : 2 8 4 x 1 y z    Bài Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: mặt phẳng ( P) : x  y  z   3 Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng ( P) Viết phương trình đường thẳng   Phương trình đường thẳng cần tìm là:  d   : qua điểm A vuông góc với d nằm ( P) Lời giải:  7 Tìm giao điểm d (P) ta A  2; ;    2 Ta có ud   2;1; 3 , nP   2;1;1  u  ud ; n p   1; 2;0   x   t   Vậy phương trình đường thẳng   :  y   2t    z   Bài Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng sau: x y 1 z  d1 :   ; 1  x  1  2t  d2 :  y   t z   Lời giải: Gọi M  d1  M  2t;1  t; 2  t  , N  d2  N  1  2t ';1  t ';3 , (MN đường vuông góc chung) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian  MN  2t  2t ' 1; t  t '; t    MN u1  6t  3t '  2  2t  2t ' 1   t  t '   t       t  t ' 1  3t  5t '  2  2t  2t ' 1   t  t '    MN u1  x  y z 1  M  2;0; 1 , N 1; 2;3 , MN  1; 2;   ( MN ) :   1 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai đường  x   2t x 1  y z     thẳng : (d) (d’)  y   t 1 z  1 t  Viết phương trình tham số đường thẳng (  ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Lời giải: Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) x   t  Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình:  y   8t  z   15t  Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1;  Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u '  2;1;1 Ta có:  MM '   2; 1;3  MM ' u, u '   2; 1;3  1 ; 12 ; 12 1   8  Do (d) (d’) chéo (Đpcm) MM ' u, u '  Khi : d   d  ,  d '   11 u , u '    Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : x  t x  t   (d)  y   2t (d’)  y  1  2t  z   5t  z  3t   a CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt b Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) (d’) Lời giải: a Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Đường thẳng (d) qua M(0 ;1 ;4) có VTCP u 1; 2;5 Đường thẳng (d’) qua M’(0 ;-1 ;0) có VTCP u ' 1; 2; 3  3 Nhận thấy (d) (d’) có điểm chung I   ;0;  hay (d) (d’) cắt (ĐPCM)  2 b Ta lấy v   15 15 15  u '   ; 2 ; 3  7  u'  u   15 15 15  15 15 15  ;2  ;5  ;2  ;5  Ta đặt : a  u  v  1   ; b  u  v  1   7  7    Khi đó, hai đường phân giác cần tìm hai đường thẳng qua I nhận hai véctơ a, b làm VTCP chúng có phương trình là:   15   x    1  t      15    t  y         z     15  t       15   x    1  t      15    t  y         z     15  t     Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + = 0, (Q): x – y + 2z + = 0, (R): x + 2y – 3z + = đường thẳng 1 : x2 2 y 1 z = Gọi  giao tuyến (P) (Q) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) cắt hai đường thẳng 1 ,  = Lời giải:  x   2t  1 có phương trình tham số  y  1  t  z  3t  x   s   có phương trình tham số  y   3s z  s  Giả sử d  1  A; d    B  A(2  2t; 1  t;3t ) B(2+s;5+3s;s) AB  (s  2t;3s  t  6; s  3t ) , (R) có VTPT n  (1; 2; 3) d  (R)  AB & n phương  s  2t 3s  t  s  3t 23   t  3 24 1 23 d qua A( ; ; ) có VTCP n  (1; 2; 3) nên d có phương trình 12 12 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 23 1 z y 12  12  3 x Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a d qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = vuông góc với d’: x 1 y 1 z     x   3t  b d qua điểm M(-2; 1; 3), song song với mặt phẳng (Oxz) vuông góc với d’:  y   t  z   2t (t tham số)  Lời giải  a Ta có : - VTPT (P) n P = (3; -2; 1)  - VTCP đường thẳng d’ u ' = (2; 3; )    Do d//(P) d  d’  VTCP đường thẳng d u = [ n P, u ' ] = (-11; -10; 13)  x   11t '   phương trình tham số d là:  y   10t '  z  13t '  ( t’ tham số)  b Ta có : - VTPT (Oxz) j = (0; 1; 0)  - VTCP d’ u ' = (3; -1; )    Do d//(Oxz) d  d’  VTCP d u = [ j , u ' ] = (2; 0; -3)  x  2  2t '   Phương trình tham số d là:  y   z   3t '  ( t’ tham số) Bài 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x  y  2z 1  , đường thẳng x   t  d  :  y  2  3t Lập phương trình đường thẳng    nằm mặt phẳng (P), cắt vuông góc với z  1 t  đường thẳng (d) Lời giải   Ta có: nP  (3; 1;2), ud  (1;3; 1) Giao điểm (d) (P) điểm A(15; 28; - 9)   Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận  nP , ud   (4;5;10) làm VTCP  (d ') : x  15  y  28  z  4 10 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Bài 3:Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;1),cắt đường thẳng Hình học giải tích không gian d1 : x   y  z  2 vuông góc với đường thẳng d  : x  2  2t ; y  5t ; z   t ( t  R ) Lời giải  VTCP d2 v   2; 5;1 VTPT mp(P) qua M vuông góc với d2 Pt mp(P) là: x  y  z   Gọi A giao điểm d1 mp(P) nên A  3t ; t ;1  2t  Thay vào phương trình mp(P) t  1  A 5;1;3   Đường thẳng d cần tìm có VTCP u   3;1; 1  MA   6; 2;  2 Vậy phường trình đường thẳng d là: x 1 y 1 z 1 (vì d ≠ d2)   1 Bài Cho hai đường thẳng có phương trình: x   t  d :  y   2t z  1 t  x2 z 3 d1 :  y 1  Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1) Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm d đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 d2 điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) B(3+b;7-2b;1-b)   Do đường thẳng d qua M(3;10;1) => MA  k MB   MA   3a  1; a  11; 4  2a  , MB   b; 2b  3; b  3a   kb 3a  kb  a      a  11  2kb  3k  a  3k  2kb  11  k  4  2a   kb 2a  kb  b      => MA   2; 10; 2   x   2t  Phương trình đường thẳng AB là:  y  10  10t  z   2t  Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho (P) : x – 2y + z – = hai đường thẳng : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian  x   2t x 1  y z   (d) (d’)  y   t   1 z   t  Viết phương trình tham số đường thẳng (  ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Lời giải Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : x   t   y   8t z   15t   + Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1;   + Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u '  2;1;1 Ta có :   MM '   2; 1;3    MM '  u, u '   2; 1;3  1 ; 1 ; 1   8  Do (d) (d’) chéo (Đpcm) Khi :    MM '  u, u ' d   d  ,  d '      11  u, u '   Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x  y  z   ,đường thẳng d: x  y 1 z 1 Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng  nằm   1 3 (P), vuông góc với d cách I khoảng Lời giải   • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P )  (1;1; 1) d có véc tơ phương u  (1; 1; 3) I  d  ( P )  I (1;2;4)    •   ( P);   d   có véc tơ phương u   n( P ) ; u   (4; 2; 2)  2(2;1;1) • Gọi H hình chiếu I   H  mp (Q) qua I vuông góc  Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Phương trình (Q):  2( x  1)  ( y  2)  ( z  4)   2 x  y  z   Gọi d1  ( P)  (Q)  d1 có vécto phương x     n( P ) ; n(Q )   (0;3;3)  3(0;1;1) d1 qua I  ptd1 :  y   t   z   t  t  Ta có H  d1  H (1;2  t ;4  t )  IH  (0; t ; t )  IH   2t    t  3 • TH1: t   H (1;5;7)  pt : x 1 y  z    2 1 TH2: t  3  H (1;1;1)  pt : x 1 y 1 z 1   2 1 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : x  t x y2 z   d1 :  y   t ;d2:   3  z  1  2t  d3: x 1 y 1 z 1   Chứng tỏ d1 ; d hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách hai đường thẳng d1 ; d Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 điểm A, B, C cho AB = BC Lời giải x  t  Đường thẳng d1 :  y   t suy d1 qua điểm A(0;4;-1) có vtcp u1 (1; 1; 2)  z  1  2t  Đường thẳng d2:  x y2 z suy d qua điểm B(0;2;0) có vtcp u2 (1; 3; 3)   3 3       Ta có AB (0; 2;1) u1 , u2    9;5; 2  suy AB u1 , u2   9.0  (2).5  1.(2)  12  Vậy d1 d hai đường thẳng chéo    AB u1 , u2  12   Khoảng cách d1 d : d  d1 , d     u1 , u2  92  52  (2) 55   *Xét ba điểm A, B, C nằm ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, – t, -1 +2t) ; B (u, – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, + 2v, - +v) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian A, B, C thẳng hàng AB = BC  B trung điểm AC t  (1  5v)  2u   4  t  (1  2v)  2.(2  3u ) 1  2t  (1  v)  2(3u )  Giải hệ được: t = 1; u = 0; v = Suy A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng  qua A, B, C có phương trình x y2 z   1 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -