Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG x 1 t x y z Bài Cho hai đường thẳng (d1 ) : ; (d ) : y 2 t 2 x y z 3t Chứng minh (d1), (d2) chéo Lời giải: Gọi u véc tơ phương (d1) Khi 1 1 1 u , , (1, 2, 3) / / (1, 2,3) 0 2 Véc tơ phương v (d2) là: v (1,1, 1) y z 5 y Tìm điểm M thuộc (d1) Cho x = Vậy ta có M(0,1,6) y z Rõ ràng N(1,-2,3) thuộc (d2) Xét đại lương sau: u, v MN (1) 2 3 1 2 , , Ta có u, v (5, 4, 1) (2) 1 1 1 MN (1, 3, 3) (3) Thay (2) (3) vào (1) có u, v MN 5 12 14 Vậy (d1), (d2 ) chéo Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d): ( P) : x y z ; 2 x y z (d ) : 2 x z Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d) lên (P) Lời giải: Đường thẳng (d ) cần tìm giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa (d) có VTCP n( P ) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian u ( d ) (1; 4; 2) M(-2;0;-1) (d) n(Q ) u ( d ) n( P ) (6; 1; 5) (Q) : 6( x 2) y 5( z 1) hay x y z 6 x y z hình hình chiêu (d ) : x y z x y z 1 , mặt phẳng 3 P : x y z Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với mp P vuông Bài Trong không gian Oxyz cho điểm A 3; 1; , đường thẳng d : góc với đường thẳng d Lời giải: Ta có (d’) có véc tơ phương là: u ud ; nP 2; 8; 4 x y 1 z x y 1 z hay d : 2 8 4 x 1 y z Bài Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: mặt phẳng ( P) : x y z 3 Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng ( P) Viết phương trình đường thẳng Phương trình đường thẳng cần tìm là: d : qua điểm A vuông góc với d nằm ( P) Lời giải: 7 Tìm giao điểm d (P) ta A 2; ; 2 Ta có ud 2;1; 3 , nP 2;1;1 u ud ; n p 1; 2;0 x t Vậy phương trình đường thẳng : y 2t z Bài Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng sau: x y 1 z d1 : ; 1 x 1 2t d2 : y t z Lời giải: Gọi M d1 M 2t;1 t; 2 t , N d2 N 1 2t ';1 t ';3 , (MN đường vuông góc chung) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian MN 2t 2t ' 1; t t '; t MN u1 6t 3t ' 2 2t 2t ' 1 t t ' t t t ' 1 3t 5t ' 2 2t 2t ' 1 t t ' MN u1 x y z 1 M 2;0; 1 , N 1; 2;3 , MN 1; 2; ( MN ) : 1 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai đường x 2t x 1 y z thẳng : (d) (d’) y t 1 z 1 t Viết phương trình tham số đường thẳng ( ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Lời giải: Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) x t Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình: y 8t z 15t Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1; Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u ' 2;1;1 Ta có: MM ' 2; 1;3 MM ' u, u ' 2; 1;3 1 ; 12 ; 12 1 8 Do (d) (d’) chéo (Đpcm) MM ' u, u ' Khi : d d , d ' 11 u , u ' Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : x t x t (d) y 2t (d’) y 1 2t z 5t z 3t a CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt b Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) (d’) Lời giải: a Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Đường thẳng (d) qua M(0 ;1 ;4) có VTCP u 1; 2;5 Đường thẳng (d’) qua M’(0 ;-1 ;0) có VTCP u ' 1; 2; 3 3 Nhận thấy (d) (d’) có điểm chung I ;0; hay (d) (d’) cắt (ĐPCM) 2 b Ta lấy v 15 15 15 u ' ; 2 ; 3 7 u' u 15 15 15 15 15 15 ;2 ;5 ;2 ;5 Ta đặt : a u v 1 ; b u v 1 7 7 Khi đó, hai đường phân giác cần tìm hai đường thẳng qua I nhận hai véctơ a, b làm VTCP chúng có phương trình là: 15 x 1 t 15 t y z 15 t 15 x 1 t 15 t y z 15 t Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + = 0, (Q): x – y + 2z + = 0, (R): x + 2y – 3z + = đường thẳng 1 : x2 2 y 1 z = Gọi giao tuyến (P) (Q) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) cắt hai đường thẳng 1 , = Lời giải: x 2t 1 có phương trình tham số y 1 t z 3t x s có phương trình tham số y 3s z s Giả sử d 1 A; d B A(2 2t; 1 t;3t ) B(2+s;5+3s;s) AB (s 2t;3s t 6; s 3t ) , (R) có VTPT n (1; 2; 3) d (R) AB & n phương s 2t 3s t s 3t 23 t 3 24 1 23 d qua A( ; ; ) có VTCP n (1; 2; 3) nên d có phương trình 12 12 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 23 1 z y 12 12 3 x Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a d qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = vuông góc với d’: x 1 y 1 z x 3t b d qua điểm M(-2; 1; 3), song song với mặt phẳng (Oxz) vuông góc với d’: y t z 2t (t tham số) Lời giải a Ta có : - VTPT (P) n P = (3; -2; 1) - VTCP đường thẳng d’ u ' = (2; 3; ) Do d//(P) d d’ VTCP đường thẳng d u = [ n P, u ' ] = (-11; -10; 13) x 11t ' phương trình tham số d là: y 10t ' z 13t ' ( t’ tham số) b Ta có : - VTPT (Oxz) j = (0; 1; 0) - VTCP d’ u ' = (3; -1; ) Do d//(Oxz) d d’ VTCP d u = [ j , u ' ] = (2; 0; -3) x 2 2t ' Phương trình tham số d là: y z 3t ' ( t’ tham số) Bài 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y 2z 1 , đường thẳng x t d : y 2 3t Lập phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), cắt vuông góc với z 1 t đường thẳng (d) Lời giải Ta có: nP (3; 1;2), ud (1;3; 1) Giao điểm (d) (P) điểm A(15; 28; - 9) Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận nP , ud (4;5;10) làm VTCP (d ') : x 15 y 28 z 4 10 Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Bài 3:Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(1;1;1),cắt đường thẳng Hình học giải tích không gian d1 : x y z 2 vuông góc với đường thẳng d : x 2 2t ; y 5t ; z t ( t R ) Lời giải VTCP d2 v 2; 5;1 VTPT mp(P) qua M vuông góc với d2 Pt mp(P) là: x y z Gọi A giao điểm d1 mp(P) nên A 3t ; t ;1 2t Thay vào phương trình mp(P) t 1 A 5;1;3 Đường thẳng d cần tìm có VTCP u 3;1; 1 MA 6; 2; 2 Vậy phường trình đường thẳng d là: x 1 y 1 z 1 (vì d ≠ d2) 1 Bài Cho hai đường thẳng có phương trình: x t d : y 2t z 1 t x2 z 3 d1 : y 1 Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1) Lời giải Gọi đường thẳng cần tìm d đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 d2 điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) B(3+b;7-2b;1-b) Do đường thẳng d qua M(3;10;1) => MA k MB MA 3a 1; a 11; 4 2a , MB b; 2b 3; b 3a kb 3a kb a a 11 2kb 3k a 3k 2kb 11 k 4 2a kb 2a kb b => MA 2; 10; 2 x 2t Phương trình đường thẳng AB là: y 10 10t z 2t Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho (P) : x – 2y + z – = hai đường thẳng : Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian x 2t x 1 y z (d) (d’) y t 1 z t Viết phương trình tham số đường thẳng ( ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Lời giải Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : x t y 8t z 15t + Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u 1;1; + Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u ' 2;1;1 Ta có : MM ' 2; 1;3 MM ' u, u ' 2; 1;3 1 ; 1 ; 1 8 Do (d) (d’) chéo (Đpcm) Khi : MM ' u, u ' d d , d ' 11 u, u ' Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x y z ,đường thẳng d: x y 1 z 1 Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng nằm 1 3 (P), vuông góc với d cách I khoảng Lời giải • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) (1;1; 1) d có véc tơ phương u (1; 1; 3) I d ( P ) I (1;2;4) • ( P); d có véc tơ phương u n( P ) ; u (4; 2; 2) 2(2;1;1) • Gọi H hình chiếu I H mp (Q) qua I vuông góc Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian Phương trình (Q): 2( x 1) ( y 2) ( z 4) 2 x y z Gọi d1 ( P) (Q) d1 có vécto phương x n( P ) ; n(Q ) (0;3;3) 3(0;1;1) d1 qua I ptd1 : y t z t t Ta có H d1 H (1;2 t ;4 t ) IH (0; t ; t ) IH 2t t 3 • TH1: t H (1;5;7) pt : x 1 y z 2 1 TH2: t 3 H (1;1;1) pt : x 1 y 1 z 1 2 1 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : x t x y2 z d1 : y t ;d2: 3 z 1 2t d3: x 1 y 1 z 1 Chứng tỏ d1 ; d hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách hai đường thẳng d1 ; d Viết phương trình đường thẳng , biết cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 điểm A, B, C cho AB = BC Lời giải x t Đường thẳng d1 : y t suy d1 qua điểm A(0;4;-1) có vtcp u1 (1; 1; 2) z 1 2t Đường thẳng d2: x y2 z suy d qua điểm B(0;2;0) có vtcp u2 (1; 3; 3) 3 3 Ta có AB (0; 2;1) u1 , u2 9;5; 2 suy AB u1 , u2 9.0 (2).5 1.(2) 12 Vậy d1 d hai đường thẳng chéo AB u1 , u2 12 Khoảng cách d1 d : d d1 , d u1 , u2 92 52 (2) 55 *Xét ba điểm A, B, C nằm ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, – t, -1 +2t) ; B (u, – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, + 2v, - +v) Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Hình học giải tích không gian A, B, C thẳng hàng AB = BC B trung điểm AC t (1 5v) 2u 4 t (1 2v) 2.(2 3u ) 1 2t (1 v) 2(3u ) Giải hệ được: t = 1; u = 0; v = Suy A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng qua A, B, C có phương trình x y2 z 1 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | -