Toỏn bi dng Một số phơng pháp tìm x,y nguyên I/ Phơng pháp dùng tính chất chia hết: 1/ Phơng ph¸p ph¸t hiƯn tÝnh chia hÕt: VÝ dơ 1: 3x + 17y = 159 (1) Gi¶i: Gi¶ sư x, y số nguyên thoả mÃn (1) Ta thấy 159 3x chia hết 17y chia hÕt cho 3, ®ã y chia hÕt cho ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t số nguyên) Thay vào (1), ta đợc: 3x + 17.3t = 159 x + 17t = 53 => x =53 - 17t x = 53 − 17t y = 3t Do ( t Z) Đảo lại thay biểu thức x y vào (1) đợc nghiệm Vậy (1) có vô số (x; y) nguyên đợc biểu thị công thức: x = 53 17t y = 3t ( t ∈Z) 2/ Phơng pháp đa phơng trình ớc số: Ví dụ 2: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : x.y - x - y = Gi¶i: Ta cã: x.y - x - y = ⇔ x.( y -1) - y = ⇔ x (y - 1) - (y - 1) = ⇔ (x -1) (y - 1) = Do x, y số nguyên nên x - 1, y - số nguyên ớc Suy trờng hợp sau: x −1 = ; y −1 = x −1 = y −1 = ; x − = −1 y − = −3 ; x − = −3 y − = −1 Giải hệ ta có cặp : (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) 3/ Phơng pháp tách giá trị nguyên: Ví dụ 3: Tìm x,y nguyên ví dụ cách khác Giải: Ta cã: x.y - x - y = ⇔ x.(y-1) = y+2 Ta thÊy y ≠ ( v× nÕu y=1 x.0 = (không có giá trị x,y thoả mÃn ) Do x = y+2 = 1+ y −1 y −1 GV: Thầy Minh – 0125 868 0640 – Hà Nội https://www.facebook.com/toan.boiduong Page Toán bồi dng Do x nguyên nên nguyên => y-1 −íc cđa => y-1=3; y-1=-3; y-1=1; yy −1 1=-1 Ta có đáp số nh ví dụ II/ Phơng pháp xét số d vế: Ví dụ 4: Chứng minh x,y nguyên thoả m·n c¸c biĨu thøc sau: a/ x2- y2 = 1998 b/ x2+ y2 = 1999 Gi¶i: a/ Ta thÊy x2 ; y2 chia cho chØ cã sè d− lµ: ; nªn x2 - y2 chia cho cã sè d− lµ : ; ; vế phải 1998 chia cho d Vậy biểu thức giá trị nguyên thoả mÃn b/ T−¬ng tù ta cã x2 + y2 chia cho có số d : 0; 1; vÕ ph¶i 1999 chia cho d− VËy biĨu thức giá trị nguyên thoả mÃn Ví dụ 5: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : 9x + = y2+y (1) Giải: Ta có phơng trình (1) 9x+2 = y(y+1) Ta thấy vế trái phơng trình số chia cho d nên y.(y+1) chia cho cịng d− ChØ cã thĨ: y = 3k+1; y+1 = 3k+2 ( k ∈ Z ) Khi ®ã: 9x+2 = (3k+1).(3k+2) ⇔ 9x = 9k ( k + 1) ⇔ x = k ( k + 1) Thử lại: x= k.(k+1); y = 3k+1 thoả mÃn phơng trình đà cho Vậy phơng trình (1) có nghiệm tổng qu¸t: x = k ( k + 1) y = 3k + ( k ∈ Z) III/ Phơng pháp dùng bất đẳng thức: Phơng pháp thứ tự ẩn: Ví dụ 6: Tìm số nguyên dơng cho tổng chúng tích chúng Giải: Gọi số nguyên dơng phải tìm lµ x, y, z Ta cã: x + y + z = x.y.z (1) Do x, y, z cã vai trò nh phơng trình (1) nên thứ tự ẩn nh sau: x ≤ y ≤ z Do ®ã : x.y.z = x + y +z ≤ 3z GV: Thầy Minh – 0125 868 0640 – Hà Nội https://www.facebook.com/toan.boiduong Page Toán bồi dưỡng Chia hai vế cho số dơng z ta đợc: x.y ≤ Do ®ã: x.y = {1; 2; 3} +Với x.y =1 => x=1, y=1thay vào (1)ta đợc +z = z lo¹i +Víi x.y = =>x=1, y=2 thay vào (1) ta đợc x = +Với x.y = => x=1, y=3 thay vào (1) ta đợc z = loại trái với xếp y z Vậy ba số phải tìm 1; 2; Phơng pháp xét khoảng giá trị ẩn: Ví dụ 7: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : 1 + = x y Gi¶i: Do vai trò bình đẳng x y Giả sử x y , dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ y Ta có: 1 < ⇒ y > (1) y 1 Mặt khác x y ⇒ ≤ x y Do ®ã 1 1 2 = + ≤ + = ⇒ ≥ x y y y y y nªn y ≤ (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : < y ≤ Do y ∈ Z+ ⇒ y = {4; 5; } 1 = − ⇒ x = 12 x 1 + Víi y = ta đợc: = = loại x không số nguyªn x 15 1 + Víi y = ta đợc: = x = x +Với y =4 ta đợc: Vậy nghiệm nguyên dơng phơng trình là: (4; 12), (12; 4) , (6; 6) 3/ Phơng pháp nghiệm nguyên: Ví dụ 8: Tìm số tự nhiên x cho 2x+3x=5x Gi¶i: Chia hai vÕ cho 5x, ta ®−ỵc: x x 2 3 + = (1) +Với x=0 vế trái (1) (loại) + Với x = vế trái (1) ( đúng) + Với x thì: x x 3 2 < ; < GV: Thầy Minh – 0125 868 0640 – Hà Nội https://www.facebook.com/toan.boiduong Page Toán bồi dưỡng x x Nªn: + < + = ( lo¹i) 5 5 5 VËy x = IV/ Phơng pháp dùng tính chất sè chÝnh ph−¬ng: 1/Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt cđa số phơng: ã Các tính chất thờng dùng: số phơng không tận 2, 3, 7, Sè chÝnh ph−¬ng chia hÕt cho sè nguyên tố p chia hết cho p2 Số phơng chia cho có số d 0; 1, chia cho cã sè d− lµ 0; 1, chia cho cã sè d− lµ 0; 1; Ví dụ 11: Tìm số nguyên x để 9x+5 tích hai số nguyên liên tiếp Giải: Giả sử 9x+5 = n(n+1) với n nguyên 36x+20 = 4n2+4n => 36x+21= 4n2+4n+1 => 3(12x+7) = (2n+1)2 (1) Tõ (1) => (2n+1) ⋮ , số nguyên tố => (2n+1)2 Mặt khác ta có 12x+7 không chia hết 3(12x+7) kh«ng chia hÕt cho VËy chøng tá kh«ng tån số nguyên x để 9x+5 tích hai số nguyên liên tiếp 2/ Tạo bình phơng đúng: Ví dụ 12: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : (1) 2x2+4x+2 = 21-3y2 Giải: Phơng trình (1) ( x + 1) = ( − y ) (2) Ta thÊy vÕ tr¸i chia hÕt cho => 3(7-y2) ⋮ ⇒ − y ⋮ y lẻ Ta lại có 7-y2 (vì vế trái 0) nên y2 = Khi phơng trình (2) có dạng 2(x2+1) = 18 ⇒ x + = ±3 ⇒ x = {4; 2} Các cặp số (2; 1), (2; -1), (-4; 1), (-4; -1) thoả mÃn phơng trình (2) nên nghiệm phơng trình đà cho 3/ Xét số phơng liên tiếp: Hiển nhiên hai số phơng liên tiếp số phơng Do với số nguyên a, x ta có: Không tồn x để a2 z2=xy=(ab)2 z=ab x = ta Nh− vËy : y = tb2 víi t > z = tab Đảo lại ta thấy công thức thoả mÃn (1) Vậy công thức nghiệm nguyên dơng (1) 5/ Sử dơng tÝnh chÊt: " nÕu hai sè nguyªn liªn tiÕp có tích số phơng hai số nguyên liên tiếp " Ví dụ 15: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : (1) x2+xy+y2=x2y2 Giải: Thêm xy vào hai vế phơng trình (1), ta đợc: x2+2xy+y2=x2y2+xy ( x + y ) = xy( xy + 1) (2) Ta thÊy xy vµ xy+1 hai số nguyên liên tiếp có tích số phơng nên tồn số NÕu xy = tõ (1) => x2+y2=0 nªn x=y=0 Nếu xy+1=0 => xy= -1 nên (x; y)=(1;-1) (x;y)=(-1;1) Thử cặp số (0;0), (1;-1), (-1;1) nghiệm phơng trình (1) V/ Phơng pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn): Ví dụ 16: Tìm x,y nguyên thoả mÃn : x3+2y3=4z3 (1) Giải: Từ (1) ta thấy x , đặt x=2x1 với x1 nguyên hay vào (1) chia hai vế cho ta GV: Thầy Minh – 0125 868 0640 – Hà Ni https://www.facebook.com/toan.boiduong Page Toỏn bi dng đợc 4x31+y3=2z3 (2) Từ (2) ta thấy y , đặt y=2y1 với y1 nguyên thay vào (2) chia hai vế cho ta đợc: 2x31+4y31=z3 (3) Từ (3) ta thấy z đặt z = 2z1 với z1 nguyên Thây vào (3) chia hai vế cho 2, ta đợc: x13+2y13= 4z13 (4) Nh− vËy nÕu (x; y; z) lµ nghiƯm (1) (x1; y1; z1 ) nghiệm cđa (1) Trong ®ã x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1 LËp luËn t−¬ng tù nh− vËy ta ®i ®Õn x, y, z chia hÕt cho 2k víi k N Điều xảy x = y = z = Vậy phơng trình (1) cã nghiÖm nhÊt : x = y = z = C Bài tập: Bài 1: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : a 5x-y = 13 b 23x+53y= 109 c 12x-5y = 21 d 12x+17y = 41 Bài 2: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : a/ 1+y+y2+y3 = t3 b/ 1+y+y2+y3+y4 = t4 Bµi 3: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : a/ 5(x+y)+2 = 3xy b/ 2(x+y) = 5xy c/ 3x+7 = y(x-3) Bài 4: Tìm x,y nguyên > thoả mÃn : 5(x+y+z+t)+10 = 2xyzt Bài 5: Tìm 12 số nguyên d−¬ng cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng Bµi 6: Chøng minh r»ng, víi n lµ sè tù nhiên khác 0.ít có giá trị tập hợp số tự nhiên khác cho: x1+x2+x3+ +xn= x1x2x3 xn Bài 7: Tìm x,y nguyên >0 thoả m·n : xy yz zx + + =3 z x y Bài 8: Tìm x,y nguyên >0 thoả mÃn : GV: Thầy Minh – 0125 868 0640 – Hà Nội https://www.facebook.com/toan.boiduong Page Toán bồi dưỡng a/ 4(x+y+z) = xyz b/ x+y+z+9-xyz = Bài 10: Chứng minh phơng trình 2x2-5y2=7 nghiệm nguyên Bài 11: Tìm x,y nguyên >0 tho¶ m·n : x + y − z + z + = 2( x + y xy) Bài 12: Tìm x,y nguyên >0 thoả mÃn : 1 1 + + + =1 x y z t GV: Thầy Minh – 0125 868 0640 – Hà Nội https://www.facebook.com/toan.boiduong Page ... m·n : a/ 1 +y+ y2 +y3 = t3 b/ 1 +y+ y2 +y3 +y4 = t4 Bài 3: Tìm x ,y nguyên > thoả mÃn : a/ 5(x +y) +2 = 3xy b/ 2(x +y) = 5xy c/ 3x+7 = y( x-3) Bài 4: Tìm x ,y nguyên > thoả mÃn : 5(x +y+ z+t)+10 = 2xyzt Bài 5:... số nguyên liên tiếp " Ví dụ 15: Tìm x ,y nguyên thoả mÃn : (1) x2+xy +y2 =x 2y2 Giải: Thêm xy vào hai vế phơng trình (1), ta đợc: x2+2xy +y2 =x 2y2 +xy ( x + y ) = xy( xy + 1) (2) Ta th? ?y xy xy+1 hai... số nhỏ y Ta cã: 1 < ⇒ y > (1) y 1 Mặt khác x y ≥ ⇒ ≤ x y Do ®ã 1 1 2 = + ≤ + = ⇒ ≥ x y y y y y nên y (2) Từ (1) (2) ta cã : < y ≤ Do y ∈ Z+ ⇒ y = {4; 5; } 1 = − ⇒ x = 12 x 1 + Víi y = ta đợc: