Dạng 11 bài toán tìm cặp số nguyên thỏa mãn điều kiện

HQ MATHS – 0827.360.796 – DẠNG 11 Câu Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Bài toán tìm cặp số ngun thỏa mãn Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn  y  10 ( ) A Câu B C Có cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn  x  10 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp x −1 2( ) log x2 − x + = y.log ( y + ) ? D ( ) log 10 x − 20 x + 20 = 10 y + y − x + x − A Câu B C D Gọi S tập hợp điểm M ( x; y ) , với x; y số nguyên thỏa mãn 3  x  2020 Hỏi có tam giác có đỉnh điểm thuộc S ?  y −1 log ( x − ) + x = y + + ( Câu B 120 C 220 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn −20  x  20, − 20  y  20 x+ + 3x + 12 = y +1 + y ? A 41 B 40 Câu B 11 C 2020 D 21 B 17 C 20 10 y − 20 y = x − y2 + 2y ? x −1 D 18 Số giá trị x nguyên thỏa mãn log 32 ( y − 1) − x + log ( y − 1) = 3x  y  17 là: A Câu D 32 Có cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn  x  100 log A 19 Câu C 37 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn  x  2020 log ( x ) + 5x = 10.2 y + y + ? A 31 Câu D 55 B C Cho số x, y , a thoả mãn  x  2048, y  1, a  x2 + xy + log ( x + y − 1) x +1 ( HQ MATHS – 0827.360.796 – A 165 ) D ) = x 2a + a − y + a + a + Có giá trị a  100 để ln có 2048 cặp số ngun ( x; y ) ? A 11 Câu B 10 C 89 D 90  x +1 −  x +1 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn  y  2018 log   = y+2−3 ?  y +1  A 10 B C D Câu 10 Cho số x , y , a thỏa mãn  x  , y  , a  “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – ( Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp ) log 2a + y + + 2a + y + = x + x ( * ) Có giá trị a  0;100  để không tồn cặp số nguyên ( x; y ) thỏa ( * ) ? A B C D 93 Câu 11 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn x + y  0, − 20  x  20 log ( x + y ) + x + y + xy − x − y = ? B C 10 D 11 Câu 13 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x + x = y + log y  y  1024 ? A B C 1024 D 1023  2a +  Câu 14 Cho a , b hai số thực dương thỏa mãn log   = a + 3b − Tìm giá trị nhỏ  a+b  biểu thức T = a2 + 3b2 25 5 A B C D 4 Câu 15 Cho tập hợp X tập hợp điểm M ( x; y ) với x; y số nguyên thỏa mãn ( )  x  2020 log ( x − ) + x = y + y −1 + Hỏi có tam giác có ba đỉnh điểm thuộc tập X ? A 120 B 165 C 220 D 55 Câu 16 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn  x  2020 log (25x + 25) + x = y + 5y A 2019 B C 2020 D Câu 17 Cho x , y số thực thỏa mãn log x + x = y + y  x  2020 Số giá trị nguyên dương y A B C 10 D Câu 18 Có cặp số nguyên ( x; y ) với y  thỏa mãn ( ) log x2 − x + − log y + x2 + = 6x + y ? A B C Câu 19 Có cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn 20  x  2020 19− x −3 361y −2 ? = x2 + x + 2021 y − y + 2020 A 1009 B 1000 Câu 20 Có cặp số ( x; y ) , x  HQ MATHS – C 2000 thỏa mãn  y  e e ln y − x − x −1 D D 2001 x + 2x + = ln y + “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 –  4x +  x Câu 12 Gọi ( x; y ) cặp số nguyên dương thỏa mãn  y  2020 log   = y − y + − 16 y   Gọi y ymax nghiệm ứng với giá trị nhỏ giá trị lớn y Tính giá trị T = ymin + ymax A T = 103 B T = 3010 C T = 1030 D T = 301 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp A B C 16 Câu 21 Có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn  x  2020 ( D 15 ) log ( x − ) + x = y + y −1 + ? A 11 B 2020 C 10 D 2019 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Câu 22 Cho x , y số nguyên dương thỏa x  10 x + log ( x − ) = + y + y Tìm giá trị lớn biểu thức T = x + y A B C 10 D 12 BẢNG ĐÁP ÁN 2.D 12.C 22.C 3.A 13.B 4.C 14.D 5.B 15.B 6.D 16.B 7.D 17.B 8.D 18.C 9.D 19.B 10.D 20.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu Chọn D ( ) x −1 Ta có 2( ) log x2 − x + = y.log ( y + ) 2 x −1  2( ) log ( x − 1) +  = 2 y.log ( y + ) ( 1)   Xét hàm số f ( t ) = 2t.log ( t + ) , t  Vì f  ( t ) = 2t.ln 2.log ( t + ) + 2t  0, t  nên hàm số f ( t ) đồng biến 0; + ) (t + ) ln HQ MATHS – 0827.360.796 – 1.D 11.C 21.A 2 Khi ( 1)  f ( x − 1)  = f ( y )  ( x − 1) = y   1 +  x  + 20 Mà  y  10   ( x − 1)  20   1 − 20  x  − Mặt khác x  Z  x  −3; −2; −1; 3; 4; 5 Vì x − phải chẵn nên x lẻ Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa đề Câu Chọn D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Điều kiện: 10 x2 − 20 x + 20  , ln x  Ta có log (10 x − 20 x + 20 ) = 10 y + y − x + x − (  (x ) ( ) − x + ) + log ( x − x + ) = 10  x − x + + log 10 x − x +  = 10 y + y    10 ( log x2 − x + 2 y2 + y2 ) + log x − x + = 10 y + y (1) Xét hàm số f t = 10t + t () ( ) Ta có f  ( t ) = 10t.ln10 +  , t  ( ) Do f ( t ) đồng biến ( ) ( ) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Khi (1)  f log x − x +  = f y  log x2 − 2x + = y    x − x + = 10 y  ( x − 1) + = 10 y 2 ( ) ( ) 2 2 Vì  x  106 nên  ( x − 1) + = 10 y  106 − +   y  log  106 − + 1   Vì y  + nên y  1; 2; 3 Với y =  x2 − x + = 104  x2 − x − 9998 = (khơng có x ngun thỏa mãn) Với y =  x2 − x + = 109  x2 − x − 999999998 = (khơng có x ngun thỏa mãn) Vậy có cặp nguyên dương ( x; y ) = ( 4;1) thỏa mãn yêu cầu toán Câu Chọn A Ta có log ( x − ) + x − = y + + y +1 Đặt log ( x − ) = t  x − = 2t ta có t + 2t = ( y + 1) + y +1 ( 1) Hàm y = f ( t ) = t + 2t đồng biến ( 1) nên HQ MATHS – 0827.360.796 –  x = −2 (ktm) Với y =  x2 − x + = 10  x2 − x − =    x = (tm)  t = y +  y = log ( x − ) −  y = log ( x − ) Hàm số y = log ( x − ) đồng biến ( 2; + ) Suy với  x  2020   y  log 2018  có 11 số nguyên y thoả mãn hay 11 điểm M Do điểm nằm đường cong y = log ( x − ) nên khơng có điểm thẳng hàng Vậy số tam giác nhận 11 điểm làm đỉnh C113 = 165 HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Chọn C Ta có: x + + 3x + 12 = y +1 + y  x + + ( x + ) = y +1 + ( y + 1) Xét hàm số f ( t ) = 2t + 3t , f ( t ) = 2t + 3t đồng biến Suy x + = y +  y = x + Kết hợp với điều kiện −20  x  20; − 20  y  20 suy x nguyên thuộc −  20; 16  thỏa đề Câu Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy có 37 cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa đề Chọn B Ta có: log ( x ) + 5x = 10.2 y + y +  log x + x + = log 2 y +1 + 5.2 y +1 + Xét hàm số f ( t ) = log t + 5t + , f ( t ) đồng biến ( 0; +  ) Suy x = y +1 Từ  x  2020 suy  y +1  2020   y  1010  −1  y  log 1010  9,98 Có 11 giá trị nguyên y thỏa đề Vậy có 11 cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa đề Chọn D Với  x  100 , ta có: log HQ MATHS – 0827.360.796 – Câu 10 y − 20 y = x − y + y  log ( x − 1) + x − = log y − y + y − y (1) x −1 ( Xét hàm số f (u) = log u + u , ta có f (u) = ) +  , u  u ln10  f (u) đồng biến ( 0; + ) nên ( 1)  x − = y − y  x = ( y − 1) −9  y   x  100   ( y − 1)  100   y −  10     y  11 Vì y  Câu nên có 18 giá trị y có 18 giá trị x Chọn D Với  y  17 ta có log 32 ( y − 1) − x + log ( y − 1) = 3x  log 32 ( y − 1) + 3log ( y − 1) = x + x (1) Xét hàm số f ( t ) = t + 3t có f  ( t ) = 3t +  t  Suy hàm số f ( t ) = t + 3t đồng biến Khi ( 1)  log ( y − 1) = x  y = x2 + Do  y  17   x2 +  17   x2  16 Vì x nhận giá trị ngun nên có giá trị cần tìm S = 1; 2; 3; 4 Câu Vậy có giá trị ngun x cần tìm Chọn D “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Ta có: x2 + xy + log ( x + y − 1) x +1 ( ) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp = x a + a − y + a + a + (1) (  ( x + 1)( x + y − 1) + ( x + 1) log ( x + y − 1) = ( x + 1) a + a 2 log ( x + y −1) ) + log ( x + y − 1) = 2a + a (do x +  2, x  ) ( * ) Xét hàm số f ( t ) = 2t + t ( t  ) Vì f  ( t ) = 2t.ln +  0, t  nên hàm số f ( t ) đồng biến 0; +) ( * )  log ( x + y − 1) = a  x + y − = a  x = 2a − y + Mà a  100, a  Câu nên a  11;12; ;100 Vậy có 90 giá trị a thoả mãn yêu cầu toán Chọn D 1  y  2018  Điều kiện  3x +1 −  x  −1  y +1    x +1 −  x +1 x +1 x +1 Ta có log   = y + −  log − − log ( y + 1) = y + + −  y +1  ( ( ) ( ) )  log 3x+1 − + 3x+1 − = log ( y + 1) + ( y + 1) (1) Xét hàm số f ( t ) = log t + t khoảng ( ; +  ) Ta có f  ( t ) = +  với t  ( ; +  ) nên hàm số f ( t ) = log t + t đồng biến t ln ( ) khoảng ( ; +  ) Từ ( 1) ta có f 3x+1 − = f ( y + 1)  3x+1 − = y +  y = 3x+1 − Vì  y  2018   3x+1 −  2018   3x+1  2020   x +  log 2020   x  log 2020 − Vì x nguyên nên x  0 ;1; ; 3; ; 5 Vậy có cặp ( x ; y ) thỏa toán Câu 10 Chọn D Có ( * )  y + 2a + + log y + 2a + = x + log 2 x ( ) Xét hàm số f ( x ) = x + log x có f  ( x ) = + ( )  0, x  x ln ( ) ( ) Do hàm số f ( x ) đồng biến ( 0; + ) Khi f 2a + y + = f x  2a + y + = x Ta lại có  x    2a + y +  256  −2a  y  255 − 2a Với giá trị nguyên y  ta có giá trị nguyên x Do ycbt  −2a  y  255 − 2a không chứa giá trị nguyên y  HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Do y  , giá trị y có giá trị x  2a − 2047; 2a  có 2048 số nguyên nên để có 2048 cặp số nguyên ( x; y ) thoả mãn ( 1) 2a − 2047   a  11 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Mà  x  2048 nên suy ra:  2a − y +  2048  2a − 2047  y  2a HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Hay 255 − 2a   a  Vậy có 93 giá trị nguyên a  0;100  thỏa ycbt Câu 11 Chọn C Điều kiện: x + y  Do: x + y  nên ta có: log ( x + y ) + x + y + 5xy − x − y = ( x + y )( x + y ) + x  log ( ( 2x 2x + y ) + 5xy ) + x + y + 5xy − x − y =  log 2 + 2y 2 + y + 5xy = log ( x + y ) + x + y Xét hàm số: f ( t ) = log t + t , ta có: f  ( t ) = ( Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp  log 2 x + y + 5xy − log ( x + y ) + x + y + 5xy − x − y = (1) +  , t  ( ; +  ) nên hàm số f ( t ) đồng t ln ) biến ( ; +  ) Do đó: (1)  f x2 + y + 5xy = f ( x + y )  2x2 + y + 5xy = 2x + y  ( x + y )( x + y − 1) =  x = − y x + y  nên y  Từ ( ) , ( ) y  −19 21  y  , ( 3) 2 nên y  −9 ; −8 ; ; 0 Vậy có 10 cặp số nguyên ( x ; y ) Câu 12 Chọn C  4x +  2 x x x Ta có: log   = y − y + − 16  log + − log y = ( y − 1) − 16  y  ( ( ) ( )  log x + + x ( * )  log = log y + ( y − 1) t + ( t − 1) = log 3 Đặt: f ( u ) = log u + ( u − 1) ) ( * ) Đặt t = y + ( y − 1) ( * * ) x +  4x = t − ( t  1) ( u  1) Ta có: f  ( u) = u.ln + 2.( u − 1)  u  Suy hàm số y = f ( u ) đồng biến ( 1; + ) HQ MATHS – 0827.360.796 – Do −20  x  20 suy , (2) Khi đó: ( * * )  t = y  x + = y Vì  y  2020 , nên ta có  x +  2020   x  2019  x  log 2019  5,49   y = x = Vì x  +  x = 1; 2; 3; 4; 5     x = y = 1025    max  max Vậy T = ymin + ymax = + 1025 = 1030 Câu 13 Chọn B log y Với điều kiện y  , ta có x + x = y + log y  22 x + x = 2 + log y (*) Xét hàm số f t = 2t + t , t  () Ta thấy f ' ( t ) = 2t ln +  0, t   f ( t ) = 2t + t đồng biến “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Khi (*)  f ( x ) = f ( log y )  x = log y  y = x Vì  y  1024 nên  x  1024   x  Vậy có cặp số nguyên thỏa mãn ( 0;1) , ( 1; ) , ( 2;16 ) , ( 3; 64 ) , ( 4; 256 ) , ( 5;1024 ) Câu 14 Chọn D  2a +   2a +  log   = a + 3b −  log   = ( 3a + 3b ) − ( 2a + )  a+b   3a + 3b   log ( a + ) + ( a + ) = log ( 3a + 3b ) + ( 3a + 3b ) (1) (1)  f ( a + ) = f ( 3a + 3b )  a + = 3a + 3b  a = − 3b thay vào T, ta được: T = a2 + 3b2 = ( − 3b ) + 3b2 = 12b2 − 30b + 25  Vậy giá trị nhỏ biểu thức T Câu 15 Chọn B Ta có: log ( x − ) + x = y + y −1 + ( 25 5 25 Đẳng thức xảy b = a = 4 )  log ( x − ) + x − = y + y +1  log ( x − ) + x − = y + + y +1 ( * ) Đặt log ( x − ) = t  x − = 2t , ta có ( * )  t + 2t = ( y + 1) + y +1 ( 1) Hàm y = f ( t ) = t + 2t đồng biến nên ( 1)  t = y +  y = log ( x − ) − Với  x  2020   t  log 4036   + y  log 4036 mà y   y  0; 1; ;10 có 11 số nguyên y hay 11 điểm M Do điểm nằm đường cong y = log ( x − ) − nên khơng có điểm thẳng hàng Vậy số tam giác nhận 11 điểm làm đỉnh C113 = 165 Câu 16 Chọn B Đặt t = log (25x + 25)(2  t  + log 2021)  25x + 25 = 5t  x = 5t −2 − Theo ra: log (25x + 25) + x = y + 5y  (t − 2) + 5t −2 = y + 52 y (*) Hàm f (u) = u + 5u đồng biến nên (*)  t − = y  t = y + Mà  t  + log 2021   y +  + log 2021   y  log 2021 Mặt khác y  Z  y  0;1; 2 Vậy có cặp số nguyên ( x; y ) thỏa đề Câu 17 Chọn B HQ MATHS – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp đồng biến khoảng ( 0; + ) Do +  0, x  nên hàm số f ( x ) = log x + x x ln HQ MATHS – 0827.360.796 – Xét hàm số f ( x ) = log x + x có f  ( x ) = HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Điều kiện: x  Vì x  y dương nên ta có: log x + x = y + y  log x + log2 x = y + y  log x + log x = y + y ( * ) 2 Xét hàm số: f ( t ) = t + 2t , t  Ta có: f ' ( t ) = t + 2t ln  0, t  Nên f ( t ) dồng biến ( 0; + ) ( ) Do đó: ( * )  f ( log x ) = f y  log x = y Vì  x  2020 nên  log x  log 2020   y  log 2020 Suy ra:  y  log 2020 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Vậy có giá trị nguyên dương y thỏa mãn yêu cầu toán 1; 2; 3 Câu 18 Chọn C Điều kiện: x  3; y  Ta có: log x2 − x + − log y + x2 + = 6x + y ( ( ) )  log x2 − x + + x2 − 6x + = log ( y ) + y ( * ) Xét hàm số f ( t ) = log t + t có f  ( t ) = ( 0; + ) +  , t  nên hàm số f ( t ) đồng biến t ln Nên PT ( * )  f ( u ) = f ( v ) với u = x2 − x + 9; v = y  u = v  x2 − 6x + = y Với x  , x   x  0;1; 2; 4; 5;6 (Không tm) Với x =  y = (Không tm) Với x =  y = (Thỏa mãn) Với x =  y = (Không tm) Với x =  y = (Thỏa mãn) Với x =  y = (Khơng tm) Vậy có cặp ( x; y ) thỏa mãn x , y số nguyên y  Với x =  y = Câu 19 Chọn B Ta có:  19 − x − 361y − 19 − x − 19 y − =  = 2 x + x + 2021 y − 12 y + 2026 ( x + ) + 2017 ( − y ) + 2017 19 3− y ( x + 2) + 2017 = 19 x + (3 − 2y ) ( HQ MATHS – 0827.360.796 – Khi y   x2 − 6x +  16  x2 − x −   −1  x   19 x + ( x + ) + 2017  = 19 3− y ( − y ) + 2017      + 2017 ) Xét hàm số: f ( t ) = 19t t + 2017 với t  có ( ) f ' ( t ) = 2t.19t + 19t.ln19 t + 2017  0; t  Suy f ( t ) hàm đồng biến 0; + ) Mặt khác f ( x + ) = f ( − y )  x + = − y  x = − y “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – HQ MATHS – 0827.360.796 – Ta có 20  x  2020  20  −2 y +  2020  Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp −2019 −19 y 2 nên y  −1009; −1008; ; −10 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả đề Do y  Vậy có 1000 cặp số nguyên ( x ; y ) thoả yêu cầu toán Câu 20 Chọn D Xét phương trình: e ln y − x − x −1 = x2 + x + (1) ta có: ln y + (1)  e ln y − x2 − x −1 x2 + 2x + e ln y ( x + 1)2 + ln y =  =  e (ln y + 1) = ( x + 1)2 + e( x +1) (2) 2 ( x +1) ln y + ln y + e ( ) Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Xét hàm số: f ( t ) = e t (t + 1), t  [0; +) , ta có: f  ( t ) = e t (t + 1) + e t = e t (t + 2)  , t  [0; +) nên hàm số f ( t ) đồng biến [0; +) ln y = x + Do từ (2) ta có: f ln y = f ( x + 1)2  ln y = ( x + 1)2   ln y = − x − Khi ln y = x +  y = e x+1 Do  y  e nên  e x+1  e   x +   −1  x  ( Hơn x  ) ( ) nên x  −1; 0;1; 2; 3; 4; 5; 6 (*) Khi ln y = −x −  y = e − x−1 Do  y  e nên  e − x−1  e7   −x −   −8  x  −1 nên x  −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1 (**) Ứng với giá trị x cho ta giá trị y thoả đề Vậy từ (*) (**) có 15 cặp số ( x ; y ) , x  thoả mãn Câu 21 Chọn A Điều kiện: x  ( ) Ta có log ( x − ) + x = y + y −1 +  log ( x − ) + x − = y + + y +1 ( * ) Xét hàm số f ( t ) = t + 2t xác định số đồng biến ( có đạo hàm f  ( t ) = + 2t ln  0, t  ) Khi ( * )  f log ( x − ) = f ( y + 1)  log ( x − ) = y +  x = y +1 +  x = 2y + Vì  x  2020   y +  2020   y  log 2018 ( )  Do y nguyên nên y  0;1; ;10  ( x; y )  2i + 2; i |0  i  10 Vậy có 11 cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn Câu 22 Chọn C Từ giả thiết suy  x  10 Đẳng thức x + log ( x − ) = + y + y  ( x − ) + + log ( x − ) = y + y  ( x − ) + log ( x − ) = y + y HQ MATHS – 10 nên hàm HQ MATHS – 0827.360.796 – Hơn x  ( 1) “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Xét hàm số f ( t ) = t + 2t có đạo hàm f ' ( t ) = + 2t.ln  0, t  Suy hàm số f ( t ) đồng biến ( ) Do (1)  f log ( x − ) = f ( y )  y = log ( 2x − )  2x − = y  x = y −1 + Theo giả thiết x  10  y −1 +  10  y  + log  3,8 Do y nguyên dương nên ta có y  HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp Khi T = x + y = y −1 + + y  23−1 + + = 10 Vậy max T = 10 y = 3, x = “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 11 Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – HQ MATHS – 12 “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – Dạy học từ tâm – Nâng tầm nghiệp HQ MATHS – 0827.360.796 – “Sen nở ao tù nước độc, Người chuyên cần thành nhân.” HQ MATHS – 13