Đề và đáp án giải tích

ĐỀ 1: ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – Học kì 20183 Mã HP: MI1121 (Nhóm 1) Thời gian: 90 phút Chú ý: Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Câu (1đ) Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện A( −1;2;1) đường x = t − 1, y = − sint, z = e2t Câu (1đ) Tính Câu (1đ) Tính ∫∫ ( x − 2y) dxdy D z3dxdydz ∫∫∫V 1+ x2 + y2 , với D giới hạn x = 0, y = 0, x − y = , V xác định x≥ , x2 + y2 ≤ z ≤ Câu (2đ) Tính tích phân sau: a) ∫ +∞ − x4 x e dx b) Câu (1đ) Tính ∫ +∞ ∫ ABC 2− x − 3− x dx x 2ydx − 3xdy , ABC đường gấp khúc, với ∫∫ ( x − y + 2z) ( dydz + dzdx + dxdy) S Câu (1đ) Tính A( 1;0) , B ( 0;1) ,C ( −1;0) x2 + y2 + 4z2 = , S mặt ellipsoid , hướng Câu (1đ) Chứng minh trường vectơ ur F= trường Tìm hàm vị r r r xi + yj + zk 1+ x2 + y2 + z2 ( ) ur F Câu (1đ) Tìm lưu số trường vectơ ur r r r F = ( 2z − y) i + ( 2x − z) j + ( 2y − x) k dọc theo giao tuyến L mặt hồ nhìn phía z> x2 + y2 + z2 = L Câu (1đ) Tính B ( −1;0) x + 2y + 2z = , chiều L ngược chiều kim đồng ( 10x − 4y) dx + ( 7x − 8y ) dy , ∫ 4x2 + y2 L đường y = 1− x2 từ A( 1;0) đến ĐÁP ÁN ĐỀ – GT2 – CK20183 (Mõi dấu +) 0.5 điểm) r 2t A t = v A = ( 1; −1;2) ( ) x′ = 1, y′ = − cost, z′ = 2e +) Tại , vecto tiếp tuyến +) Pttt +) +) x + y− z− = = , −1 z x − y + 2z + 1= ( x − 2y) dy = ∫ − x( x − 1) + ( x − 1) 0 x−1 I = ∫ dx∫ pt pháp diện dx  1 I = ∫ ( 1− x) dx = I =∫ π /2 −π /2 +) Tọa độ trụ rz3 dz r 1+ r dϕ ∫ dr ∫ r  1− r  π π dr ÷ = ∫ r 1− r dr =  1+ r 16   I =π∫ +) ( x4 = t 4a +) Đặt I =∫ ∞ 4b +) I =∫ ln3 ln2 ∞ −1 14 dx = t dt, I = ∫ t4 e− tdt 4 , suy ∞ ln3 e− xln2 − e− xln3 dx = ∫ dx∫ e− yxdy ln2 x I = ∫ +∫ AB BC +) Pt BC I= +) − yx , hàm e liên tục, ∫ y = 1+ x y = 1− x nên = ∫  2( 1− x) + 3xdx = −5/ AB ∫ ∫BC = ∫0 2( 1+ x) − 3x dx = −5/ ( −1 nên Vậy I = −5 ) I = ∫∫∫ 3( 1− 1+ 2) ( x − y + 2z)  dxdydz = 6∫∫∫ x2 + y2 + 4z2 dxdydz V  V   Ry′ = hội tụ y∈  ln2,ln3 ln3 , pt AB +) Tọa độ cầu suy rộng +) e− yxdx ( +) ∞  3 π Γ  ÷=  2 ln3 dy = ln ln2 y ln2 ∞ dy∫ e− yxdx = ∫ +) +) ) (V đ/x, hàm lẻ) 2π 1 1 12π I = 6∫ dϕ ∫ dθ ∫ r r sinθ dr = 6× 2π × 2× × = 0 2 5 −2zy 1+ x2 + y2 + z2 ) = Qz′ , Pz′ = ( −2xz 1+ x2 + y2 + z2 ) = Rx′ ,Qx′ = ( −2xy 1+ x2 + y2 + z2 ) = Py′ , ur F trường ( ) y z t t t 2 dt + dt + ∫0 1+ x2 + t2 ∫0 1+ x2 + y2 + t2 dt + C = ln 1+ x + y + z + C 1+ t2 u= ∫ +) Hàm vị x x + 2y + 2z = 0, x2 + y2 + z2 ≤ z> +) Gọi S mặt tròn , hướng phía (Stokes) lưu số C = ∫∫ 3dydz + 3dzdx + 3dxdy S +) r  2 nS =  ; ; ÷  3 3 C = ∫∫ ( 1+ + 2) dS = 5S = 5π S suy +) Pt PT BA y= nên ∫ BA I =∫ L nên = 15π ( 10x − 4y) dx + ( 7x − 8y ) dy = 2 L 4x + y = ( 3) Ñ ∫ L ∪BA −∫ BA = ∫ 5x4dx = −1 y2 56x7 + D : x + ≤ 1, y ≥ 0: Ñ ∫ L ∪BA = ∫∫D dxdy = 2S( D ) = 2π +) Gọi (do D đ/x, hàm lẻ) Vậy I = 2π − Giải CK 20182 – GT2 – Nhóm Đề 0,5 đ 0,5 đ Câu (1đ) r r ( t) = ( −3tsin3t + cos3t;3t cos3t + sin3t;2) Ứng với π t= :   3π  π  r′ A 0; − ;π ÷ r ( t) =  ; −1;2÷     điểm ; x= Pt tiếp tuyến: Câu (1 đ) 0,5 đ x = t⇒ ∫ ∞ Đặt 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 3π π t, y = − − t, z = π + 2t 2 −1 x2dx ( 1+ x ) Pt pháp diện: ∞ t dt = ∫ ( 1+ t)   Γ ( 12 ) Γ ( 72 ) 5π = B , ÷= =  2 96 Γ ( 4) Câu (1 đ) uuu rur rotF = ( 2y;2z;4x) Điểm khơng xốy trường Câu (1 đ) ( 1 0 uuu rur r rotF = ⇔ x = y = z = , gốc O ) I = ∫ dx∫ 1+ x2 + y2 dy 1  = ∫  + x2 ÷dx = 3   Câu (1 đ) 0,5 đ π2 t m= e ( sint + cost) dt ∫0 0,5 đ = t e sint π = π2 e Câu (1 đ) 0,5 đ π I = ∫π2 dϕ ∫ Đổi sang tọa độ cực 0,5 đ 3π 5π x − y + 2z − = 2 π π =∫ 2sinϕ 2cosϕ (  sin4ϕ  π2 π 4cos 2ϕ dϕ =  2ϕ + ÷ =  π4  Câu (1 đ) ) r sin2 ϕ − cos2 ϕ dr 0,5 đ x, y I = 2Ñ ∫ ABCDA (∫ dx =2 x+ y AB +∫ CD ) có vai trị bình đẳng tích phân dx = (Trên BC DA: ) 0,5đ AB : y = −1: −1→ 1;CD : y = 1, x :1→ −1  dx −1 dx  ÷= I = 2 ∫ +∫  −1 x + 1 x + 1÷   Nên Câu (1 đ) 0,5 đ 1− x 0 I = ∫ dx∫ 0,5 đ = dy∫ 1−( x+ y) ( zdz ) 1− x 1 1 x3  dx − x + y dy = − x + dx = ( )  ÷ ∫ ∫ ∫ 8 0 3 32 Câu (Cách 2) 0,5 đ 0,5 đ −1 u = x + y, v = 2z, w = x, J Đổi biến v dV ′,V ′ : u2 + v2 ≤ 1, v ≥ 0,0 ≤ w ≤ u V′ = 2, I = ∫∫∫ 1 π2 I = ∫∫∫ 2 uvdudv = ∫ sinϕ cosϕ dϕ ∫ r 3dr = u + v 32 Câu (1 đ) 0,5 đ Bổ sung mặt S1 : z = −1, x2 + y2 ≤ 0,5 đ ∫∫ = ∫∫ S Áp dụng CT Ostrogradsky Câu 10 (1 đ) 0,5 đ Chọn mặt 0,5 đ CT Stokes nên S : z = − 4− x2 − y2 theo chiều âm Oz, S∪S1 ∫∫ S1 = − ∫∫ dxdy = ∫∫ S1 z + y2 ≤1 dxdy = π sdydz + zdxdy − π = 2∫∫∫ dV − π = 2Vnoùn − π = − V nằm mặt nón, hướng theo chiều âm trục Oz I = ∫∫ ( 2y − 2z) dydz + ( 2z − 2x) dzdx + ( 2x − 2y) dxdy S x  y z I = ∫∫  ( 2y − 2z) + ( 2z − 2x) + ( 2x − 2y)  dS = S 2   π Giải CK20182 – GT2 – Nhóm Đề 0,5 đ Câu (1đ) r′ r′′ r = ( −3tsin3t + cos3t;3t cos3t + sin3t;2) ,r = ( −9t cos3t − 6sin3t; −9tsin3t + 6cos3t;0) r′ r′′ O : t = 0,r ( 0) = ( 1;0;2) ,r ( 0) = ( 0;6;0) , k = 0,5 đ Tại điểm Câu (1 đ) 0,5 đ Gọi tọa độ tiếp điểm M0 ( x0; y0; z0 ) r′ r′′ r ∧r r′ r Vectơ pháp tuyến = ( 2x ,6y ,−2z ) 0 phương ( 1;3;1) 0,5 đ Suy 0,5 đ 0,5 đ x0 = y0 = − z0 , x02 + 3y02 − z02 = ⇒ x0 = ±1 x + 3y + z ± = Các mặt phảng cần tìm Câu (1 đ) π /3 dy I ( x) = ∫ π π 4  −1,1 ×  ,  π /4 x + cos2 y  −1;1 x + cos y liên tục nên liên tục lim∫ π /3 x→ π /4 π /3 π /3 dy dy = = tan y = − x4 + cos2 y ∫π /4 cos2 y π /4 Câu (1 đ) 0,5 đ 0,5 đ x = cos3 t, y = sin3 t,0 ≤ t ≤ Tham số hóa C: ∫ (x C 0,5 đ ) π + ds = 3∫ (  cos6 t cos2 t  π2 15 cos t + costsintdt = −3 + ÷ = 0  ) Câu (1 đ) uuu r ur r ur rotF = F nên trường 0,5 đ Chọn điểm O: Câu (1 đ) 0,5 đ ∞ V x 0 x ln2 = u ⇒ ∫ x dx = ∫ Đặt ( ) u = + ∫ ln( 1+ x) dy + ∫ −2y2 dz + C = yln( 1+ x) − 2y2z + C 0,5 đ π ; x′2 + y′2 = 3sint cost − x2 ∞  v  −u du  ÷ e uln2  ln2  = Γ ( 72 ) 2( ln2) 15 = 16( ln2) Câu (1 đ) 0,5 đ π S = ∫ dϕ ∫ Đổi biến sang tọa độ cực: 0,5 đ 2cosϕ sin2 ϕ rdr π  5 π = 2∫ cos2 ϕ sin4ϕ dϕ = B  , ÷ =  2  16 Câu (1 đ) 0,5 đ 2π Đổi sang tọa độ trụ: 0,5 đ = 2π ∫ ( ) y y2 + Câu (1 đ) 0,5 đ CT Ostrogradsky 0,5 đ 0,5 đ I= y2 +1 I = ∫ dϕ ∫ dy∫ dy = 0 2π 2 y +1 ( I = ∫∫∫ ( 2x + 3) dV V ) yr 2dr = 62π 15 u = x + y, v = x − 2z, w = x + z, J Đặt  4w+ 2v  + 3÷dV ′ = V ′ =  ∫∫∫ u + v + w ≤1 3  Câu 10 (1 đ) x+ y y− x P = 2 ,Q = 2 ⇒ Py′ = Qz′ ,∀ ( x, y) ≠ ( 0,0) x +y x +y 0,5 đ ( C′ ) : x + y2 = R2 =0 C′ : x = R cost, y = R sint Chọn Ñ ∫ C +∪C′ viết khơng giao với ellip Đ ∫ =Ñ ∫ = −2π C C′ −1 =3 Đáp án Đề – GT2 – 20173 r n1 ( 1;1; −1) +) Vectơ pháp tuyến A mặt cầu r r r uA = n1 × n2 = ( 7; −6;1) A: +) Pttt , mặt phẳng r n2 ( 2;3;4) x − y− z+ = = , −6 pt pháp diện: 7z − 6y + z = x = r cosϕ , y = r sinϕ , J = r,0 ≤ ϕ ≤ π ,0 ≤ t ≤ +) Đặt π 0 ( ) I = ∫ dϕ ∫ r sin4 ϕ − cos4 ϕ rdr +) π 0 I = − ∫ cos2ϕ dϕ ∫ r 5dr = +) Tọa độ cầu 2π π 0 I = ∫ dϕ ∫ dθ ∫ r cos2 θ r sinθ dr  cos2 θ  π I = 2π  − ÷ r /5 0  ( +) ) 2π 324π = I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ 0 +) (Tọa độ trụ) +) (r + z2 ) dz = 2π ∫ z3dz∫ 1 (r rdr + z2 ) 3  −1   1 z π ln2 I = π ∫ z3  2 ÷ dz = π ∫ z3  − + ÷dz = π ∫ dz = 2 1 1+ z r +z   1+ z z   11 B ; ÷ 6 6 I= +) +) ( +) Pt AB: ( ) I = ∫ − 13x + 6x2 dx = − u′x = +)    11    5 Γ  ÷Γ  ÷ Γ  ÷Γ  ÷         5π I= = = 2 2! 72 Γ ( 3) ) y = 1− x, I = ∫ − 2x − x − x( − 6x + 4) dx +) z3r  3 3x2 −4y ,u′y = ,uz′ = grad u( A) =  ;2; ÷ 2 2 x − 2y + 3z x − 2y + 3z x − 2y + 3z  2 , suy uuu r uuu r r AB  2  ∂u z 3 AB = ( −2;2;1) , l = =  − ; ; ÷⇒ r ( A) = − + + = AB  3 3 ∂ l 3 2 +) ( ) W = ∫ Pdx + Qdy,Qx′ = ln 1+ x2y2 + AB +) +) +) không phụ thuộc đường 1 = x dx = − , = 5y4dy = ∫AO ∫1 ∫ ∫ OB W = ∫ +∫ AO 2x2y2 = Py′ ⇒ W 1+ x2y2 OB ( Vậy W= ) I = ∫∫∫ 3( 1+ + 3) ( x + 2y + 3z) dxdydz = 18∫∫∫ x2 + 4y2 + 9z2 dxdydz ( Ostr ) V V (V đối xứng, hàm lẻ) +) Đặt 1 x = r cosϕ sinθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosθ 2π π 1 12π ⇒ I = 18∫ dϕ ∫ dθ ∫ r r sinθ dr = 3.2π = 0 5 10 +) Giả sử l ( y) liên tục : Với →0 n limπ →0 l ( yn ) = l ( 0) = x 1 dx π n l ( yn ) = ∫ dx ≥ = arcanπ ≥ ⇒ ∃ limπ →∞ I ( yn ) = ↔ I ( yn ) → ∫ 2 n x2 + ( 1/ n) x + ( 1/ n) ( +) y= yn = I ( y) không liên tục y = ) hay Giải CK20172 – GT2 – Nhóm Đề 0,5 đ Câu (1 đ) PT đường tròn 0,5 đ PT tiếp tuyến Câu (1 đ) 0,5 đ D1 D2  4( x − 4) + 3( y − 3) = 0, 4x + 3y = 25, ⇔  z = z =  π I = ∫∫ + ∫∫ = ∫ − 2  x + y = 25,   z = 3π 3π 1 dϕ ∫ r ( cosϕ − sinϕ ) dt − ∫ dϕ ∫ r ( cosϕ − sinϕ ) dr π π 3π − ( sinϕ + cosϕ ) ( sinϕ + cosϕ ) 3π π = 0,5 đ I= 0,5 đ Câu (1 đ) 2 2  x + z ≤ 1, D : ⇒ S = ∫∫ 1+ ( y′x ) + ( y′z ) dxdz = ∫∫ 1+ 4x2 + 4z2 dxdz  y ≤ D D 0,5 đ − ( ) 2π  x = r cosϕ , π ⇒ S = d ϕ r 1+ 4r dr = 5−1  ∫ ∫ z = r sin ϕ  0 Đặt Câu (1 đ) 0,5 đ V : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2) ≤ 2 Đặt u = x −   J = v = y − ⇒  2 w = z − V ′ : u + v + w ≤  I = ∫∫∫ yzdxdydz = ∫∫∫ ( v + 1) ( w + 2) dudvdw V 0,5 đ I = ∫∫∫ 2dudvdw = V V′ 8π (Nhận xét tính chẵn lẻ hàm tính đối xứng miền) Câu (1 đ) 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ x = t ⇒ dx = dt 1 ⇒ I = ∫ t4 ( 1− t) 2 t Đặt Câu (1 đ)  x = 1+ cost ⇒ ≤ t ≤ 2π   y = sint Đặt dt t =   7π B , ÷=  2  512 ∞ I = ∫ x2e− x dx b) +∞ − 12 − t  1 π x = t ⇒ 6x dx = dt ⇒ I = ∫ t e dt = r  ÷ = 60  2 6 đặt câu 4:  x + y ≤ V = ∫∫ 1− x0 − y2 dxdy D  0 ≤ x ≤ 3y D ( Đặt )  π π − ≤ q ≤ x = r cosϕ ⇒   y = r sinϕ 0 ≤ r ≤ π ( ) ⇒ V = ∫ dϕ ∫ 1− r rdr π Câu 5: +∞ ∫x I= 14 − x6 e dx t = x6 ⇒ dt = 6x5dx ⇒ I = Đặt +∞ −t t e dt ∫0  5 3!! = T  ÷= π  3 = π Câu ( ) ( ) I = ∫ 1+ e− y dx + − xe− y dy L , L đoạn t′ từ A( 0,1) đến B ( 1,2) P = 1+ e− y Q = − xe− y ⇒ Gx′ = Py′ = −e− y ⇒ I không phụ thuộc vào đường I= ∫ Pdx + Gdy + ∫ Pdx + Qdy AC CB  1 = ∫  1+ ÷dx + ∫ 4− e− y dy 2 0 ( ) = 1+ + 8+ e−2 − − e−1 = 5+ e−2 e Câu 7: x = cost, y = sint,0 ≤ t ≤ Đặt π    3sint.cost ÷   ⇒ I = ∫  2cost − sint + dt ÷   1+ cos t ÷    π ( = π cos2t + 2 1+ cos2 ) −1 = 4 = 1− Câu 8: Vectơ pháp tuyến hướng r r n = ( 2x,2y,2z) ⇒ n( A) = ( 2,2, −2) x2 + y2 + z2 = u = x3 + 3x2y + 2yz3 u′x = 3x2 + 6xy u′x ( A) =   ⇒ u′y = 3x2 + 2z3 ⇒ u′y ( A) =   ′ uz′ = 6yz uz ( A) = ∂u 2 −2 ⇒ r ( A) = +1 + = ∂n 3 3 Câu 9: y( x, y) = π f ( x, y) ≤ e− x ⇒ I ( y) ( ) arctan x2 + 2y2 + ex+ y liên tục +∞ π ∫ e mà liên tục tren R −x hội tụ R2 ⇒ I ( y) hội tụ Câu 10: ur r r r F = 2x2i + y2 j − z2 k Thông lượng ur F qua mặt kín S cho φ = ∫∫ 2x2dydz + y2dzdx − z2dxdy S Áp dụng Ostrogradsky: φ = ∫∫∫ 2( 2x + y − z) dxdydz,V : ≤ y ≤ 1− z2 ,0 ≤ x ≤ V Đặt 0 ≤ r ≤  π  π y = r cosϕ , z = r sinϕ , x = x ⇒ − ≤ ϕ ≤  0 ≤ n ≤ π 2 0 ⇒ φ = ∫ dϕ ∫ dr ∫ ( 2x + r cosϕ − r sinϕ ) rdr − = 4π + π Đề cuối kì 20142 – Nhóm ngành – Đề Câu 1: uur uur   n = x ,2 y , − n ) ⇒  ( A) = ( 4,2,−1) f ( x, y, z) = x + y − z =  f ( ⇒  uu r r  uu g( x, y, z) = 2y + 3− z = ng = ( 0,2, −1) ng ( A) = ( 0,2, −1) 2 uur uu r ⇒ nf ( A) ∧ ng ( A) = ( 0,4,8)  x =    Pttt taïi A  y = 1+ 4t ⇒  z = 5+ 8t    ptpd taïi A : 4( y − 1) + 8( z − 5) =  Câu 2: ( ) I = ∫∫ x2 + y2 dxdy, D :2x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ D 2− 2x ⇒ I = ∫ dx  2− 2x y ∫ ( x + y ) dy = ∫ dx x y +  2 0   − x ( )  ÷dx = = ∫ x ( − 2x) +  ÷   Câu 3: I = ∫∫∫ x2 + y2 dxdydz,V : x2 + y2 + z2 ≤ 22 V 0 ≤ ϕ ≤ 2π  y = r sinθ sinϕ ⇒ 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ r ≤ z = 1+ r cosθ  x = r sinθ cosϕ Đặt ⇒I = = 2π π 0 ∫ dϕ ∫ d ∈ ∫ r sinθ r 2π π 0 sin∈ dr ∫ dϕ ∫ sin θ dϕ ∫ r dr = 2π π π2 = 4 Câu 4: V = ∫∫ D Đặt (  x2 + y2 ≤ 1− x − y dxdy D  0 ≤ x ≤ 3y , ) π π  ≤ϕ ≤ x = r cosϕ ⇒   y = r sinϕ 0 ≤ r ≤ π ( ) ⇒ V = ∫ dϕ ∫ 1− r rdr π π  r2 r4 = ∫  − π  π  π d ϕ = dϕ = ÷ ∫ ÷ 12 0 π Câu 5: I= +∞ ∫x 14 − x6 e dx  ÷ ÷  Đặt +∞ t = x ⇒ dt = 6x dx ⇒ I = ∫ t3.e− tdt 60  5 3!! = t  ÷ = π  3 = π Câu ( ) ( ) I = ∫ 1+ e− y dx + − xe− y dy, L L đoạn t′ từ A( 0,1) đến B ( 1,2) P = 1+ e− y Q = − xe− y ⇒ Gx′ = Py′ = −e− y ⇒ I I= không phụ thuộc vào đường ∫ Pdx + Gdy + ∫ Pdx + Qdy AC CB  1 = ∫  1+ ÷dx + ∫ 4− e− y dy e 0 ( ) = 1+ + 8+ e−2 − 4− e−1 = 5+ e−2 e Câu 7: x = cost, y = sint,0 ≤ t ≤ Đặt π π    3sint.cost ÷   ⇒ I = ∫  2cost. − sint + dt ÷  ÷ 1+ cos t     ( = cos2t + 2 1+ cos2 t π = 1− ) −1 = 4 Câu 8: Vectơ pháp tuyến hướng r r n = ( 2x,2y,2z) ⇒ n( A) = ( 2,2, −2) u = x3 + 3x2y + 2yz3 x2 + y2 + z2 = u′x = 3x2 + 6xy u′x ( A) =   ⇒ u′y = 3x2 + 2z3 ⇒ u′y ( A) =   uz′ = 6yz uz′ ( A) = ∂u 2 −2 ⇒ r ( A) = +1 + = ∂n 3 3 Câu 9: ( y( x, y) = x+ y2 e π f ( x, y) ≤ e− x ⇒ I ( y) ) arctan x2 + 2y2 + liên tục +∞ π ∫ e mà −x hội tụ R2 ⇒ I ( y) hội tụ liên tục tren R Câu 10: ur r r r F = 2x2i + y2 j − z2 k Thông lượng ur F qua mặt kín S cho φ = ∫∫ 2x2dydz + y2dzdx − z2dxdy S Áp dụng Ostrogradsky: φ = ∫∫∫ 2( 2x + y − z) dxdydz,V : ≤ y ≤ 1− z2 ,0 ≤ x ≤ V Đặt 0 ≤ r ≤  π  π y = r cosϕ , z = r sinϕ , x = x ⇒ − ≤ ϕ ≤  0 ≤ n ≤ π 2 0 ⇒ φ = ∫ dϕ ∫ dr ∫ ( 2x + r cosϕ − r sinϕ ) rdr − = 4π + π Đề cuối kì 20142 – Nhóm ngành – Đề Câu 1: uur  n = ( 2x,2y,0)  f ⇒  uu r g( x, y, z) = 3x + y − z+ =  ng = ( 3,1, −1) f ( x, y, z) = x2 + y2 − 10 = uur  n ( A) = ( −2,6,6) uur uu r  f ⇒  uu ⇒ nf ( A) ∧ ng ( A) = ( −6, −2,−20) r  ng ( A) = ( 3,1, −1)  x + y− z− = =  pttt : −6 −2 −20 ⇒  ptpd : −6( x + 1) − 2( y − 3) − 20( z− 4) =  Câu 2: ( ) I = ∫∫ 3x2 − y dxdy, D : x = y2,2y = x D 2y y2 ( ) ⇒ I = ∫ dy ∫ 3x2 − y dx 2 xy  = ∫  x3 − xy ÷dy  ÷ y2  0 ( ) = ∫ 8y3 − 2y2 − y6 + y3 dy = 260 21 Câu 3: I = ∫∫∫ x2 + y2 + z2 dxdydz,V : x2 + y2 + z2 ≤ 3z V Đặt 0 ≤ ϕ ≤ 2π  x = r sinθ cosϕ  π    y = r sinθ sinϕ ⇒  ≤ θ ≤  z = r cosθ   0 ≤ r ≤ 3cosθ ⇒I = = 2π 2π π 3cosθ 0 ∫ dϕ ∫ d ∈ ∫ π 34 81π cos4 θ sinθ dθ = 10 ∫ dϕ ∫ r.r sinθ dr Câu 4: 2  x + y ≤ V = ∫∫  − x2 + y2  dxdy, D :    D  ≤ x ≤ y ( Đặt ) π π  x = r cosϕ  ≤ ϕ ≤ ⇒4   y = r sinϕ 0 ≤ r ≤  π 2 ( ) ⇒ V = ∫ dϕ ∫ − x2 rdr = π π Câu 5: I= +∞ ∫ x5 ( 1+ x4 ) dx +∞ Đặt + 1 t2 t = x4 ⇒ dt = 4x3dx ⇒ I = ∫ dt ( 1+ t)  1 1  1 π π ⇒ I = B  , ÷ = B  , ÷ = = π  2  2 sin Câu 6: Đặt P = ey ( ax + 2y − 2) ( ) Q = ey x2 + bxy Để tphẩm đường khơng phụ thuộc vào đường Py′ = Qx′ ;∀x, y ⇔ ey ( ax,2y − 2) + 2ey = ey.( 2x + 6y) ,∀x, y ⇔ ey ( ax + 2y) = ey.( 2x + by) ,∀x, y ⇔ a = b = Câu 7: ( ) I = ∫ ( 3x + 4y) dx + 4xy − y2 dy L , L biên miền định x = y2 , y = 1, x = chiều dương Áp dụng CT Green ta có I = ∫∫ ( 4y − 4) dxdy D 0 = ∫ dy∫ ( 4y − 4) dx y2 0 = ∫ dy( 4y − 4) x Câu 8: Thông lượng = ∫ ( 4y − 4) y2dy = ur F −1 ( ) φ = ∫∫∫ xy2dydz− ze2dzdx + x2z + cos y dxdy S V : x2 + y2 ≤ z ≤ S biên , hướng Áp dụng Ostrogradsky ( ) ⇒ φ = ∫∫∫ y2 + x2 dxdydz V  x = r cosϕ 2π 32π   y = r sinϕ ⇒ ϕ = ∫ dϕ ∫ dr ∫ r zdz = 0 z = z r2  Đặt Câu 9: P = 4y2 + 6xz2,Q = 8xy + ey , R = 3z2 + 6x2z Đặt Có Ry′ = Qz′ = 0, Pz′ = Rz′ = 6z2 ,Qx′ = Py′ = 8y ur ⇒F hướng x y z 0 u = ∫ P ( x,0,0) dx, ∫ Q ( x, y,0) dy + ∫ R ( x, y, z) dz Hàm vị y ( ) z ( ) = ∫ 8xy + e dy + ∫ 3z2 + 6x2z dz y = 4xy2 + ey + z3 + 3x2z2 + c Câu 10: f ( x, y) = ( ) cos x2 + 2y + 1+ x4 + y2 f ( x, y) ≤ , 1+ x4 ⇒ I ( y) +∞ ∫ 1+ x ⇒ I ( y) mà hội tụ hội tụ liên tục R fy′ ( x, y) = ( ) − cos( x + 2y+ 1) 2y ( 1+ x + y ) −2sin x2 + 2y + f ′y( x, y) ≤ 1+ x4 + y2 ∫0 1+ n4 2 2y + 1+ x + y 1+ x4 + y2 ( +∞ Mà liên tục R2 ⇒ liên tục +∞ ∫ ) 2 ≤ 1+ x4 f ′y( x, y) hội tụ Đề cuối kì 20172 – Nhóm ngành – Đề Câu 1: x3 − 3xy2 + y3 − 1= ⇒ 3x2 − 3y2 − 3x.2y.y′ + 3y2.y′ = 3y2 − 3x2 −6xy + 3y2 ⇒ y′ = x= Tại (đạo hoàn hai vế theo x) y′ ( 0) = 03 − 3.0.y2 + y3 − 1= ⇒ y = ta có 3.1− 3.0 =1 −6.0.1+ 3.1 Câu 2: f ( x, y, z) = 3x2 + 2xy2 + z2 + = 0, P ( 1, −2,3) uur uur ⇒ nf = 6x + 2y3,6xy2,27 ⇒ n ( P ) = ( −10,24,6) ( )  x − y+ z− = =  ptpt : −10 24 ⇒  pttd : −10( x − 1) + 24( y + 2) + 6( z − 3) =  Câu 3: ( ) I = ∫∫ 3x2 − y dxdy, D : x = y2 D y= x 0 ≤ y ≤ ⇒  y ≤ x ≤ y y 1 y  ⇒ I = ∫ dy∫ 3x2 − y dx = ∫  x3 − xy ÷dy  ÷ y2  0 y2 ( ) ( ) = ∫ y3 − y2 − y6 + y3 dy = 42 Câu 4: ( ) V = ∫∫ 1+ x2 + y2 dxdy, D : x2 + 4y2 ≤ D Đặt 0 ≤ ϕ ≤ 2π x = 2r cosϕ ⇒ y = r sinϕ 0 ≤ r ≤ = 0 ∫ dϕ ∫ ( 1+ 4r ⇒V = 2π 2π  ) cos2 ϕ tr sin2 ϕ 2rdr  ∫  1+ 2cos ϕ + 2sin ϕ ÷dϕ = 2 9π Câu 5: I =S I = ∫ ( x + 2y) dS, C vừa đường tròn x = 2cost y = 2sint ≤ t ≤ π Đặt , π ⇒ I = ∫ ( 2cost + 4sint) ( −2sint) + ( 2cost) π π 0 = 2∫ ( 2cost + 4sint) dt = 2.( 2sint − 4cost) dt = 16 Câu 6: ( ) I = ∫ ( 2xy + 3) dx + x2 + y2 dy, L : y = x2 L từ ( ) ( O ( 0,0) đến ) ⇒ I = ∫ 2xx2 + dx + x2 + x4 2xdx ( ) = ∫ 2x3 + 3+ 2x3 + 2x5 dx = 3x + x4 + = x6 13 Câu 7: P = 3x2 − 3y2z,Q = arctan z − 6xyz, R = Đặt Ry′ = Có ur ⇒F y − 3xy2 1+ z − 6xy = Gz′ , Pz′ = Rx′ = −3y2,Qx′ = Py′ = −6yz 1+ z trương M ( 1,1) x y z 0 u = ∫ P ( x,0,0) dx + ∫ Q ( x, y,0) dy + ∫ R ( x, y, z) dz Hàm vị = x3 + arctan z.y − 3xy2z + C Câu 8: z = x4 − 4x2y − y2 + 4y2  x = 0, y =  z′x = ⇔ 4x3 − 8xy = ⇔  2  x = 0, y = ′ z = ⇔ − x − y + y =  y  ⇒ Có điểm tới hạn  8 A( 0,0) , B  0, ÷  3 ′′ = −8x, z′′yy = −6y + z′′xx = 8x2 − 8y, zxy Xét A( 0,0) : z′′xx = 0, z′′xy = 0, z′′yy = ⇒ z′′xy2 − z′′xx.z′′yy = ∆z( 0,0) = z( 0+ ∆x,0 + ∆y) − z( 0,0) = ( ∆x) + 4( ∆y) − 4( ∆x) ∆y − ( ∆y) 2 ∆x = ∆y ∆z( 0,0) = ( ∆x) − 5( ∆x) + 4( ∆x) ( ∆x) ( ∆x) 2 − 5∆x + 4 <  1< ∆x < ∆x = −∆y ∆z( 0,0) = ( ∆x) + 4( ∆x) + 4( ∆x) + ( ∆x) = ( ∆x) + 5( ∆x) + 4( ∆x) > Vậy ⇒ ∆z( 0,0) 3 ∆x > nhận giá trị khác có dấu ≠ làm A không ctrị Xét  8 6y 40 B  0, ÷: z′′xx = − , z′′xy = 0, z′′yy = − ⇒ z′′xy2− z′′xy.z′′yy < 3   A( 0,0) ⇒ Hàm số đạt cực trị  8 B  0, ÷  3 z( B) = B điểm cực đại 1024 27 Câu 10 I = ∫∫ x + y dxdy, D : x2 + y2 ≤ x D   π π  D − ≤ ϕ ≤ − x + y ≤ ) 4(  1  ≤ r ≤ r cos ϕ   ⇒  π π  − ≤ ϕ ≤  D2 :  x = r cosϕ ( x + y ≥ 0)   ≤ r ≤ cosϕ y = r cosϕ   Đặt − ⇒I = π ∫ dϕ cosϕ π − = ∫ −r ( cosϕ + sinϕ ) rdr + π ∫ dϕ π − cosϕ ∫ r ( cosϕ + sinϕ ) rdr π π − + 2π + = + 4S 3 48 16 24 Câu 9:     I = ∫  3x2y2 + ÷dx +  3x2y + ÷dy 4x + 1 y + 4  L L : y = 1− x2 I= ∫ ¶ ∨ BA AB , từ − ∫ = I −I A( 1,0) đến B ( −1,0) BA Áp dụng Green ta có I = ∫∫ :3x2ydxdy, D : y = 1− x2 D π Đặt I2 = x = r cosϕ ⇒ I = ∫ dϕ ∫ 3r cos2 ϕ r sinϕ rdr y = r sinϕ 0 1 dx = arctan2 x = 2arctan2 ∫ −1 −1 4x + ⇒I = − 2arctan2 a ...ĐÁP ÁN ĐỀ – GT2 – CK20183 (Mõi dấu +) 0.5 điểm) r 2t A t = v A = ( 1; −1;2) ( ) x′ = 1, y′ = − cost,... x = R cost, y = R sint Chọn Đ ∫ C +∪C′ viết khơng giao với ellip Đ ∫ =Đ ∫ = −2π C C′ −1 =3 Đáp án Đề – GT2 – 20173 r n1 ( 1;1; −1) +) Vectơ pháp tuyến A mặt cầu r r r uA = n1 × n2 = ( 7; −6;1)... Ngồi ra, D Tích phân đường không phụ thuộc đường Chọn đường đường OB BA với I = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( y + a) dy = ∫ V B ( a,0) , A( a, b) f ( u) du ta có Giải CK20172 – GT2 – Nhóm Đề 0,5 đ 0,5