Tổng hợp Đề và đáp án Giải Tích Kinh tế quốc dân Ôn đâu trúng đó

Đề 57-1 Câu Tìm khoảng tăng giảm cực trị hàm số y  x  x 2y 1  ,  x; y   , x   x y  2.arctan x Câu Tìm đạo hàm riêng điểm (0;3) hàm số w    ,  x; y   ; x   Câu Cho hàm ẩn y  y   x  xác định từ phương trình y  ln y  x Chứng tỏ hàm số y  y  x  nghiệm phương trình vi phân:  y  1 y  x  y  1 y  x y  y  1 Câu Tính tích phân: a) x  dx x 8 b)  ln  5x   x2 dx Câu Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm thị trường khác (được phân biệt giá) Cho biết hàm chi phí cận biên: MC  3,5  0,05Q ;  Q  Q1  Q2  Với cầu thị trường sản phẩm công ty là: TH1: P1  24  0,15Q1 ; TH : P2  18  0,075Q2 Xác định sản lượng giá bán thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa Câu Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị hàm số: w  x 0,5 y0,3 với 5x  y  656 Câu Giải phương trình vi phân: xy  y  8x y Đề số 57-2 Câu Cho hàm số y  f  x   xe x  x  Khai triển Taylor hàm số y  f  x  x  đến lũy thừa bậc x, với phần dư dạng Peano    xy 3x  5y  ; x  y2  Câu Cho hàm số f  x; y    Tính fyx  0;0  x  y2  ; x  y0  Câu Tìm cực trị hàm số: U  24  x  y  18z  xy  x  y  3z Câu Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  f  K ; L   K 0,3 L0,5 Tìm mức sử dụng K L thích hợp để doanh nghiệp đạt sản lượng tối đa Biết giá thuê đơn vị K L $3 $5 chi phí sản xuất $800  Câu Tính tích phân sau: I  57   x   ln  x   dx Câu Giải phương trình vi phân:  3x y  3x dx  dy  y2 y3 Câu Cho hàm số w  F  x; y    3y  x  x  y3 a) Tìm vi phân tồn phần cấp w   y  x   57    b) Gọi y  y  x  hàm số xác định phương trình F  x; y   Tính giới hạn L  lim   114 x 1  x  1     Đề 57-3 Câu Tính giới hạn lim  x  3x  x x   x 2 t  Câu Xác định khoảng tăng giảm cực trị hàm số y    e 2t  5dt     y3  5z  Câu Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số u     3x  Câu Tính tích phân  cos y xdx x2  2x  Câu Tìm cực trị hàm số u  4 x  3y  z  xy  y  12 z  Câu Cho hàm lợi ích người tiêu dùng mua loại hàng hóa u  x  y   , x, y số lượng hàng hóa thứ hàng hóa thứ Hãy xác định túi hàng cho chi phí tối thiểu đảm bảo mức lợi ích u0  288 điều kiện giá đơn vị hàng hóa thứ 1, thứ $8, $9 Câu Giải phương trình vi phân: y  2x  y  2x  x  x  13 Câu Cho hàm số f  x; y  xác định có đạo hàm riêng theo biến fx  x; y   0;  f y  x; y   x, y Đặt g  x   x  f  x ;cos x  Chứng minh g  2016   g  2015 Đề 57-4 4  Câu Tính giới hạn lim  x  cos x  x    tan x Câu Khai triển Maclaurin đến x với phần dư Peano hàm số: y  e3 x x  x 1 Câu Xác định khoảng tăng giảm cực trị hàm số y    9t dt  x 3  Câu Xét tính hội tụ, phân kì tích phân x dx  4x  Câu Cho f  u; v  hàm xác định, có đạo hàm riêng theo biến, f 1;0   fu 1;0   , x yx  fv 1;0   1 hàm số w  x y f  ;sin  Tính wx  2;2  2x  y  y Câu Tìm cực trị hàm số w  3x  y  z  xy  yz  x  y  3z  Câu Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q  50 K 0,7 L0,8 Biết giá thuê đơn vị vốn giá thuê đơn vị lao động $10 $20 Tìm số lượng vốn lao động doanh nghiệp cần sử dụng để đạt lợi nhuận tối đa sản lượng không đổi 4000 đơn vị sản phẩm Câu Giải phương trình  3y  x  dx   y  xy  dy  Đề 57-5 Câu Tính giới hạn: lim  x  cos3x  sin2 x x 0 1  Câu Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc x, với phần dư dạng Peano: f  x   ln  x   3  x Câu Một nhà độc quyền bán sản phẩm thị trường với hàm cầu ngược p  3020  21,5Q a) Tính hệ số co dãn cầu theo giá mức giá p  215 nêu ý nghĩa kinh tế kết nhận b) Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa biết hàm chi phí cận biên MC  5Q2  2Q  120 chi phí cố định 60 Câu Cho hàm ẩn z  x; y  xác định phương trình: x  y2  z  x  y  4z   Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp viết biểu thức vi phân toàn phần cấp hàm số z  x; y  Câu Giả sử hàm lợi ích mua sắm hàng hóa người tiêu dùng U  5x 0,3 y0,8 Trong x1 , x2 lượng hàng hóa thứ thứ Xác định cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích, biết giá đơn vị hàng hóa thứ tương ứng p1  9; p2  24 ngân sách dành cho mua sắm cố định m = 330 Câu Tính tích phân I  x dx  arctan 9  x   2  2x   x  Câu Giải phương trình vi phân:   e xy     e xy  y  y   y   Đề k57-6 Câu Tính giới hạn lim  x cot x  x x 0 Câu Biết hàm cầu sản phẩm doanh nghiệp độc quyền p  650  5Q hàm chi phí mức sản lượng Q là: TC  Q3  10Q2  50Q  170 Tính hệ số co dãn cầu theo giá điểm doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận ý nghĩa hệ số Câu Chứng minh hàm số sau có hàm ngược: y  f  x   x  x  x  Tính  f 1     Câu Tính tích phân suy rộng I   x  5 e  x2 10 dx Câu Cho hàm số y  y  x  dạng hàm ẩn: x  y2  e 5arctan y x Tính y  x  Câu Tìm cực trị hàm số w  3x  y2  14 z  12 xz  18z  y  Câu Cho hàm lợi ích tiêu dùng có dạng U  x 10 y10 Giá đơn vị hàng hóa x 2usd, giá đơn vị hàng hóa y 3usd, ngân sách dành cho tiêu dùng 960usd Xác định cấu mua sắm để người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích   2x  x2  Câu Giải phương trình vi phân:  arccos x   dx   3y   dy  y  y    Đề k57-7 Câu Tính đạo hàm y  f  x   x   x  14  x 7  Câu Tìm khoảng tăng, giảm cực trị hàm số: F  x     3t  4t  7dt     Câu Tính tích phân I    4 x   e 2 x dx Câu Khai triển Maclaurin đến lũy thừa bậc với phần dư peano: f  x   ln  x  x  10   x2 y u u u  f Câu Cho hàm w  f  x; y  khả vi, cmr hàm số  ;cos  thỏa mãn x  y  x x y  y Câu Tìm cực trị hàm số w   x  y2  z  xy  x  2z  Câu Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q  90 K L2 Giả sử giá thuê đơn vị tư $12, đơn vị lao động $10, ngân sách sản xuất cố định 1680$ Xác định K, L để doanh nghiệp thu sản lượng tối đa Nếu ngân sách sản suất tăng thêm 1% sản lượng tối đa thay đổi nào? Tại sao? Câu Giải phương trình vi phân:  3x y  3x  y  1 dx   x  xy  3y  dy  ĐỀ Hướng dẫn giải _ Đáp số Câu  7 MXĐ: D    ;  ;  2 Cực đại xC§  fy  0;3  lim y 3 y  f  0; y   f  0;3 y 3    7  7 7 7 ; ;    , giảm   ;        2    f  x;3  f  0;3 fx  0;3  lim  lim arctan x 0 x  x 0 x    x y  x y  y  x y y   x y  y    2   1 y   y2 F  x; y   y  ln y  x Fx 4 x 2x3y    y2 Fy 2y  y   Chỉ cần thay trực tiếp y vào vế trái được, y tự triệt tiêu hết lại vế phải  a) Đặt t  x  , 7 7 ; ; ; 2 2 Xét giới hạn phía để giới hạn không tồn tại!  không tồn fx  0;3 00  lim  y 3 y  y 3 y    2x  Các điểm tới hạn:  7 ; cực tiểu xCT   ; khoảng tăng 2  lim  4x2 dt x I  arctan 1  C 8t 8 b)  ln  5x   dx x t  lim  t  ln  5x   dx x2  lim I  t  t  ln  5t   I  t   ln  ln   ln  t 5t lim I  t   ln  ln (Tách thành giới hạn + Lopitan) t  Q TC   MCdQ  FC  FC  3,5Q  0,025Q2  FC  3,5  Q1  Q2   0,025  Q1  Q2  2 TR  PQ 1  P2 Q2   24  0,15Q1  Q1  18  0,075Q2  Q2  24Q1  18Q2  0,15Q1  0,075Q2   Q1 ; Q2   TR  TC =>giải theo cực trị tự do:  Q1 ; Q2    50;60  Cực đại: M  82;123 x Hướng 1: ptdc  y  y  8x y 1 , giải theo phương trình Bernoulli TPTQ: Hướng 2: ptdc  x y2  8x  Cx dy 8x dy y  8x y2 , đưa phân ly biến TPTQ:   Cx  2y    dx y dx xy x Đề Câu Hướng dẫn giải f  x    x  x  x  o  x  : Biểu thức đơn giản => đạo hàm bước thay vào!  fy  0;0   lim f  0; y   f  0;0  y 0 y 0  x  : fy  x;0   lim 00  lim  y 0 y 0 y  lim f  x; y   f  x;0   lim  x 3x  5y   6x  6x y 0 y 0 x  y2 f   x;0   fy  0;0  6x    fyx  0;0   lim y  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x 0 x Cực tiểu: M  3;2; 3 , giá trị cực tiểu UCT  U  3;2  3  8 Sửa đề: hàm sản xuất Q  K 0,3 L0,5 Cần tìm  K ; L  để doanh nghiệp tối đa Q điều kiện 3K  5L  800 y 0 PP nhân tử Lagrange:  K ; L   100;100  ;   0,3.1000,2 t t 57dx I  lim   lim I  t  ; t   x   ln  x   t  I t    57d  ln  x    ln  x    t 57 57 57   ln  x   ln ln  t    57 57  57 57 I  lim I  t   lim   0   t  t  ln ln  t    ln ln  Sửa đề (theo đề gốc):  x2 3x y  3x dx  dy  y2 y3 Hướng 1: PTVP tồn phần Tích phân tổng quát (TPTQ):  dy 3xy Hướng 2: Đưa phân ly biến:   dx y  3x a d w  wx dx  2wxy dxdy  wy2 dy  8dx  ydy 3x  ln y  C y2 TPTQ: 3x ln y   C 8y b x    3y    y3   y3  y   y  y  3   y   Do y     y 1  L1  lim x 1 yx  x  1 Fx Fy 8  x 4 4  3y  lim  lim  lim  lim   x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  y 30  L  y  x   57 57  y x  57 4 L  lim     L1      x 1 3   x  1  Đề Câu  () y  x   x  () lim x  3x x  x  x  ln y   ln x  x x ; Hướng dẫn giải () lim ln y  lim x   e4ln3  81 x   ln x  3x x    ln (Lopitan lần) L () D  () y  8e ; () y   x 3   x 3   x      et 2t  5dt   o  x 2 *  et 2t  5dt    x  3   e 2    x    x  3 (*) Sử dụng định lý giá trị trung bình với  giá trị nằm  x  3 (+) Cực tiểu xCT  3 , khoảng tăng  3;   , khoảng giảm  ; 3 y3  5z ; w  w  x; y; z   cos y  u  f  v; w   v w 3x  y  5z   y3  5z  w 1   ux   f  v; w  x  vx fv  wx fw   w.v    w.v w 1 3x 3x y2  uy  vy fv  wv fw  w.v w 1  sin y.v w ln v x 10z 10z  uz   f  v; w z  vz fv  wz fw  w.v w1   w.v w1 3x 3x du  ux dx  uy dy  uzdz Đặt v  v  x; y; z   cos y  y3  5z  du     x  3x  cos y 10z cos y  y3  5z  dx    3x  3x  cos y 1 dz  cos y  y cos y  y3  5z cos y 1  y3  5z   y3  5z     sin y ln        dy 4 4  x  3x   3x   3x    xdx x2  2x   2x  2  x2  2x  2x  dx   x2  2x   x  x   ln x   dx    x  1 x2  2x    d x2  2x  x2  2x   2  d  x  1  x  1 5 C Cực đại  x; y; z    3;4;3 , giá trị cực đại uC§  u  3;4;3  13 Cần tìm  x ; y  để người tiêu dùng tối thiểu chi phí C  8x  y điều kiện x  y    288 Cực tiểu  x; y   18;12  ;   0,5 x 6 Nghiệm tổng quát PTTNLK: y  Ce 2dx  x2 6 x 13 dx  Ce   d x 6 x 13 x 6 x 13   Ce  ln x 6 x 13   C x  x  13   Nghiệm tổng quát PTPV cho: x 3 x  x  13 arctan  C x  x  13 2  Đặt u  x ; v  cos x  g  x   x  f  u; v      y  x  x  13 ln x  x  13       g  x     f  u; v     u fu  u; v   v fv  u; v    x fu  u; v   sin x fv  u; v  7 x fu  u; v     fx  x; y     g  x    x  Theo bài:      sin x f u ; v    0  fy  x; y    v   g 2016  g 2015  Vậy,     ĐỀ Câu Hướng dẫn giải _ Đáp số  g  x  đồng biến 4   y   x  cos x    tan x 4   ln y  tan x ln  x  cos x     4  ln 1   x  cos2 x  1  * x  cos2 x   L  4    lim ln y  lim tan x ln  x  cos2 x   lim    lim    cot x cot x x x x   x 4 4  2   lim    1 ;  2 1    x  2  cot x  L  sin x  4   lim  x  cos x  x    f   x   3 f   x   tan x MXĐ: D  1 e f   x  2x  Đáp số: f  x     f x e3 x  3 f  x   ; 2x  2x   f  x   x  3  f  x   x  3  f   x   3 f   x   f  x  2x   f x  x  3 23 f  x   x  3   31 76 3 x x  x  o x3 27 y    x  1  3 , y     x  1  3  x  , * : ln 1  u  ~ u; u   f   x   3e 3 x x   3 3 3 , cực tiểu xCT  3  t dx dx    lim   lim I  t  t  x  4x  x  x  t  0 Cực đại xC§  t  I t    t dx  x  2 2  d  x  2  x  2     2 arctan  x 2 t t 2  arctan  arctan  2 2  t 2     arctan  arctan     arctan    arctan  t  t  2 2 2 2    dx      arctan  nên tích phân cho hội tụ x  4x  2   lim I  t   lim        Đây (6)_Dạng 1_ 2.1 Đạo hàm riêng _ Chương III: Hàm nhiều biến _ Tờ tập tổng hợp Cực đại  x; y; z    119 67  119 67  , giá trị cực đại wct  w  ; ; ; ;    178 89 178   178 89 178  Vì doanh nghiệp cạnh tranh nên chấp nhận giá, sản lượng không đổi 4000 đơn vị nên doanh thu cố định =>Lợi nhuận tối đa  chi phí cực tiểu Cần tìm  K ; L  để tối thiểu chi phí sản xuất C  10K  20 L điều kiện 50 K 0,7 L0,8  4000   0,8  0,7 0,2  K ; L    K0 ; L0  ;   0,5K0 L0 : với K0  80    ; L0  K0      PTVP toàn phần Tích phân tổng qt phương trình là: 3xy2  ĐỀ x y2  C Câu  y   x  cos3x  sin x  ln y    lim  x  cos3x  sin2 x x 0   1    e lim ln y x0 e  1     1   z     x  1  2z   ;f 4 x   54 1  3x  dx   x  1 y  1  2z   Cần tìm  x ; y  để tối đa U điều kiện  I  lim  t   arctan  I t     z     y  1 dxdy   2z   x  24 y  330  x; y   10;10  ; 2 dy   1,5.100,1   x  3tan u dx  du t  t arctan   cos u ; x u      u  ;         2    x  cos u t t arctan t t arctan 1   u 3du 1 u tan u  arctan 1  u cos udu     3   2 27 cos u 9   tan u  9 9t cos u x x t arctan dx , đặt dx : I  t   3 0 2 9 x 9 x arctan t t Chú ý biến đổi sau: cos u  1  tan u ; sin u  tan u.cos u    1 t I  t      lim  arctan   tlim  9 t   9  t2  1 t  Sửa đề (lỗi đánh máy): ehxy  e xy PTVP tồn phần với thừa số tích phân: p  y   e  tan u dy y e ln y 2 xy  y   y TPTQ: x  y  e   C Hướng dẫn giải _ đáp án tan u   1   2         9 18     ĐỀ Câu 1  3x  6040 43 dQ P p  p  3020  21,5Q  Q  ; p  215      p ;   0,0766  dP Q 3020  p 43 43 561  TR   3020  21,5Q  Q  3020Q  21,5Q2  MR  3020  43Q Q  20 2x 1 2y 1 Đặt F  x; y; z   x  y2  z  x  y  4z  ; zx   ; zy   ; 2z  2z  2 2  x  1 zy  z     x  1  z     y  1  x  1 y  1 ; zx2   zy2   zxy  zyz   3 2  2z    2z    2z    2z   d z  Khai triển cần viết: f  x    ln3  1  ln3 x  x  x  x  o  x   ; f   x     f  x    x   ln  x   ; f   x   ln  x    1; f   x   3  3x ln x  cos3x sin x ln 1  x  cos3x   * x  cos3x   L  x  3sin 3x  L  9cos3x  lim  lim  lim   lim ln y  lim 2 x 0 x 0 x  x  x  sin x x 2x 2 2  Hướng dẫn giải _ đáp số  y   x cot x  x  ln y  5ln  x cot x  ; x   x   x   x  5ln 1      *1 5ln  5  1  5ln  x cot x   tan x   lim   tan x    lim  tan x    lim  lim ln y  lim x 0 x 0 x  x  x 0 x x x x 1   tan x   x  tan x  *2  x  tan x   L  5tan x tan x  lim  lim  lim  lim  0.1  x 0 x 0 x 0 x 0 x tan x x 2x x *1 :ln 1  u  ~ u; u  *2  : tan x ~ x; x     lim  x cot x  x  e0  x 0 TR   650  5Q  Q  650Q  5Q2 ; p  650  5Q  Q  130  0,2 p    Q  30  p  500 ;    TR  TC   Q3  5Q2  600Q  170 1 1   lim f  x   f   : Đặt f 1  a   f a  2a3  4a2  9a    a        x 6 x 6 f 1  x   t  x  f  t   2t  4t  9t  1; x   t 1 f  1    f 1     lim t 1 t   I  lim  x  e t   x2 10  L t 1 1   lim  t  2t  4t  9t   6t  8t  t dx :   I t    x  e  x2 10 t 10 dQ p 0,2 p ; p  500      dp Q 130  0,2 p I2  t    e x2  10 *  dx  xe t dx   x e  x2 10 x2  10 t dx  5 e x2  10 t  xe 0 t  x2 10 dx  te  t2 10 t  5t  I1  t   I  t   5te 10  t2 e10 5t  L  5 I  lim I  t   lim t  lim 0 ; (*) Dùng tích phân phần t2 t  t  t  t 10 10 e e y 5arctan y y 2 x Đặt F  x; y   ln x  y2  5arctan x y e  ln  x  y2   5arctan ; x x x y 5  x  5y  26 xy  26 y 26 x  26 y Fx x  y2 x  y x  5y y  x     ; y  x         y x x  y Fy x  y x  y 5x  y        x  y2 x  y2 9 87 Cực đại  x; y; z    9;1;   , giá trị cực đại wC§  w  9;1;    2 2   Cần tìm  x ; y  để tối đa U điều kiện x  3y  960  x; y    210;180  ;   2100,3.1800,9  dx  I1  t   5I2  t  PTVP toàn phần với vế trái vi phân toàn phần hàm số:  y x x x x xdx  x  2x  x x y *     x; y     arccos x   dx   3y dx   arccos xdx  y   x arccos x      y 1 y  y 1  0 1 x  y 0 1 x x2 x2  x arccos x   x   y3   x arccos x   x   y3 ; * Dïng TP tõng phÇn y y Tích phân tổng qt phương trình vi phân cho là: x arccos x   x  x2  y3  C y ĐỀ Câu Hướng dẫn giải _ Đáp án   x  1    x   x  ; x  1 1 ; x  1   f  x    x  1    x   3x  3;   x  ; f   x   3 ;   x  1 ; x     x  1   x     x ; x  f  x   f  1 f  x   f  1 x 56 3x   lim  lim  lim   lim  lim  lim    f  1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x   1 x 1 x 1 x 1 lim f  x   f 2 x 2 x 2  lim x 2 f  x   f 2 3x   5 x 3  lim   lim  lim  lim  1  1   f   x  x  x  x 2 x 2 x 2 x 2 13 MXĐ: D  y    x 7   Đạo hàm: y  14.3  3x  8   3x      3t  4t  7dt    , x 7  *  3t  4t  7dt    3x    1 3  4    3x    x  (*) Sử dụng định lý giá trị trung bình với  giá trị nằm  3x      Cực tiểu xCT  , khoảng tăng ;  , khoảng giảm ; 3 t t 0  I  lim   4 x   e2 x dx; I  t     4 x   e2 x dx   x   e2 x t  2t   L   lim t    t  t  t  e2 t t  2e 2x  2x  1  f  x     x  x  10  x   x  5 x  x  f   x     x  2  f  x   ln10     x  5 ; f   x    x  2   x  5 ; f 4 x  6  x  2  6  x  5   29 3133 641 x x  x  x  o x4 10 200 75000 40000  Đặt v  v  x; y   x2 y ; w  w  x; y   cos  u  f  v; w  y x u x y y   f  v; w x  vx fv  wx fw  10 fv  sin fw ; x y x x u 10 x y  vy fv  wy fw   fv  sin fw y y x x u u  x y y   x2 y y   y   10 fv  sin fw    10 fv  sin fw    ®pcm  x y  y x x   y x x  Cực đại  x; y; z    4; 2;1 , giá trị cực đại wC§  w  4; 2;1   x t   2t   e 2 t  (Từng phần)  I  lim I  t   lim  2t   e2 t     lim   Cần tìm  K ; L  để doanh nghiệp tối đa Q điều kiện 12 K  10 L  1680  K ; L   80;72  ;   72 80  Hệ số co dãn sản lượng cực đại  Qmax  theo ngân sách sản xuất  m  là:   Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange ta có: Qmax m   nên:    m Qmax 72 72 1680 1680 ; Qmax  90 802 72    5  90.80 80 80 90 80 72  Vậy, m  1680 , ngân sách sản xuất tăng 1% sản lượng cực đại tăng xấp xỉ % PTVP toàn phần Tích phân tổng qt phương trình cho là: x  x  x y  xy2  y2  C Tại m  1680 , ta tìm   Qmax m m Qmax ... 3,5  Q1  Q2   0,025  Q1  Q2  2 TR  PQ 1  P2 Q2   24  0 ,15 Q1  Q1  18  0,075Q2  Q2  24Q1  18 Q2  0 ,15 Q1  0,075Q2   Q1 ; Q2   TR  TC =>giải theo cực trị tự do:  Q1 ; Q2... x   f  1 f  x   f  1 x 56 3x   lim  lim  lim   lim  lim  lim    f  1 x  1 x  1 x  1 x  1 x  1 x  1 x   1 x 1 x 1 x 1 lim f  x   f 2 x 2 x... 3   y   Do y     y 1  L1  lim x 1 yx  x  1 Fx Fy 8  x 4 4  3y  lim  lim  lim  lim   x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  x  1 x 1  y 30  L  y  x   57