cơ môi trường liên tục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI TS PHẠM VĂN ĐẠT BÀI GIẢNG CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC HÀ NỘI, THÁNG NĂM 2016 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUNG CỦA MÔN HỌC CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1.1 Nhiệm vụ đối tượng môn học 1.1.1 Nhiệm vụ môn học Nhiệm vụ môn học học môi trường liên tục nói chung lý thuyết đàn hồi nói riêng tìm cách xác định trạng thái ứng suất, biến dạng trường chuyển vị môi trường liên tục chịu tác dụng ngoại lực yếu tố ảnh hưởng khác Môi trường liên tục vật thể có cấu tạo vật chất liên tục Cũng môn học biến dạng khác, kết môn học sở cho việc giải tốn kỹ thuật Do mơn học nghiên cứu tất mơi trường liên tục lý thuyết xây dựng môn học lý thuyết tổng quát để giải tất dạng kết cấu khác phương pháp môn học phương pháp chung để giải toán học Vì cách đặt vấn đề mặt tốn học chặt chẽ xác so với môn học Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu v.v… CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1.1.2 Đối tượng môn học Đối tượng mơn học vật thể có cấu tạo vật chất liên tục, nghĩa điểm lấy phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm Tùy thuộc cấu tạo vật chất tính chất học mơi trường vật chất mà người ta chia làm loại: Môi trường rắn; Môi trường lỏng; Mơi trường khí Tương ứng với loại vật thể mơi trường trên, xây dựng lý thuyết riêng cho môi trường Chẳng hạn vật thể rắn biến dạng có mơn sau: Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết đàn dẻo, Lý thuyết từ biến, Cơ học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… Trong chương sau môn học chủ yếu đề cập đến tốn phân tích ứng suất biến dạng vật thể rắn biến dạng đàn hồi chịu tác dụng ngoại lực 1.2 Các giả thuyết nguyên lý mơn học CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Môn học môi trường liên tục khác với môn Sức bền vật liệu giải tốn cách chặt chẽ mơn học phải đưa vào giả thuyết để làm đơn giản tốn tính tốn so với kết cấu thực tế Các giả thuyết bản: 1.2.1 Giả thuyết 1: Giả thuyết cấu tạo liên tục vật thể đàn hồi Vật thể liên tục trước sau biến dạng (khơng có lỗ rỗng, khơng gián đoạn), phân tố vật thể liên tục Như biến dạng chuyển vị điểm vật thể hàm liên tục tọa độ Trong thực tế vật thể ln có cấu trúc định, không cần phải dùng thiết bị phóng quan sát thấy cấu trúc vật thể có điểm gián đoạn Vì vậy, biểu diễn gián đoạn vật thể tốn học kết phân tích phức tạp tốn đơn giản Cần ý rằng, lý thuyết học môi trường liên tục coi vật thể liên tục phân tích tưởng tưởng cắt vật thể thành phân tố vô bé mặt bất kỳ, phân tố nằm cạnh chúng chung mặt bên phân tố khơng mang tính chất riêng biệt CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1.2.2 Giả thuyết 2: Giả thuyết trạng thái không ứng suất ban đầu vật thể Theo giả thuyết ứng suất ban đầu vật thể trước lúc đặt ngoại lực trình hình thành vật thể sinh xem “không” Như ứng suất vật thể môn học nghiên cứu phần tăng ứng suất điểm xét vật thể có tác dụng ngoại lực sinh ra, khơng kể đến ứng suất sẵn có ban đầu điểm Trong kỹ thuật ta bỏ qua ứng suất ban đầu gián đoạn vật thể có sai khác thực tế, bù lại ta tiến hành thí nghiệm mẫu vật liệu để xác định đặc trưng học chúng (giới hạn đàn hồi, giới hạn chảy, v.v…) từ xác định ứng suất cho phép vật liệu thực nghiệm bỏ qua ứng suất ban đầu cấu trúc thực vật liệu 1.2.3 Giả thuyết 3: Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, đồng đẳng hướng Tính đàn hồi ật thể chịu tác dụng ngoại lực biến tuyệt đối tính chất v dạng, khơng cịn chịu tác dụng ngoại lực “dỡ tải khơng” TS PHẠM VĂN ĐẠT CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC vật thể trở ngun hình dạng ban đầu Tính đồng vật liệu thể tính chất điểm khác vật thể có tính chất Tính đẳng hướng vật liệu tính chất điểm vật thể theo hướng có tính chất – lý nhau, mặt phẳng qua phân tố mặt phẳng đối xứng phân tố 1.2.4 Giả thuyết 4: Biến dạng chuyển vị nhỏ so với kích thước vật thể Dựa vào giả ối quan hệ ứng suất biến dạng mối quan thuyết dẫn đến m hệ bậc (tuân theo định luật Hooke tổng qt) Dựa vào giả thuyết này, tính tốn với biến dạng dài tương đối biến dạng góc ta khai triển đại lượng theo chuỗi Taylor ta bỏ qua biến dạng góc bậc cao Ví dụ α nhỏ thì: TS PHẠM VĂN ĐẠT CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC 1.3 Khái niệm véctơ 1.3.1 Các thành phần véctơ x2 a a2 a1 a3 x3 Xét hệ trục tọa độ Descartes vng góc ox x x1 có thành phần a véctơ đơn vị: e ;e ;e1 Xét véctơ có thành phần chiếu lên trục tọa độ là: a ;a ;a1 Ta có: 23 x TS PHẠM VĂN ĐẠT CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC a = a e11 + a e22 + a e33 Hình a 1.1 Đặt: l = =1 cos(a ;e );1 (1.2) a (1.1) a a m = a2 = cos(a ;e );2 n = a3 = cos(a ;e )3 (l,m,n) gọi cosin phương véctơ a, ta có: a2 2 l2 +m2 +n2 = + +a 2 a3 =1 (1.3) a 1.3.2 Biến đổi thành phần véctơ xoay hệ trục tọa độ Xét hệ trục ox x x1 quay quanh điểm o chuyển thành hệ trục ox' x' x'1 Gọi véctơ đơn vị trục hệ trục ox x x1 e ;e ;e1 , véctơ đơn vị trục hệ TS PHẠM VĂN ĐẠT CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC trục ox' x' x'1 23 e' ;e' ;e'12 Cosin phương véctơ đơn vị e ;e ;e1 hệ trục ox' x' x'1 là: (l ;l ;l1 23 ), m ;m ;m(   e1 l1      m  n   12  e' =    e'32 ) Ta có: m [ ]T'     e'e'32   e'1 ee23 = mn1 l đó: ), n ;n ;n( l3  e'1 l2  12 n2 (1.4)  l l [ ]T' =m1m2  m3  TS PHẠM VĂN ĐẠT CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC  n1 n2 n3  Vì li = cos(e ;ox );m1 i i = cos(e ;ox );n2 i i = cos(e ;ox )3 i nên cosin phương véctơ đơn vị e' ;e' ;e'1 hệ trục ox x x1 là: (l ;m ;n1 1),(l ;m ;n2 2), (l ;m ;n3 ) 33 ta có:   e'1 l1  n1 e1  e1 2 l2     n e = m 23  [  e' = n      e23 m2 (1.5)    e'3 m3 l1 m1 n1  đó: [ ]T =l2 ]T      e  e23  m2 n2  gọi ma trận chuyển từ hệ trục tọa độ ox x x1 l3 m3 n3  10 Hình 6.8 σ =θ → σ =σ −σy r x →σx.l2 − σ −σ( r x ).m2 =σr l2 −σx.m2 ↔σx.l2 −σr m2 −σx.m2 =σr l2 −σr m2 ↔σx (l2 + m2 )=σr l2 ↔σ =σx r l2 Tương tự: σ =σyr (1−l2 )=σr m2 τ =σxyr l.m x l = cosθ= =; + y2 x y l = θ= =sin r x2 + y2 y r x2  cos2 θ=σr x2x+2 y2   σ =σx r sin2 θ=σ  y2 → σ =σy   r r  x2 + y2     τ =σxyr.sin cosθθ=σr  x2xy+ y2    2P 2P x3 ; ( 2P σ =−x cos θ=−2  πr π x2 Thay σ =−r cosθ từ + y2 (6.27) ta có: πr * Ứng suất (áp lực) theo phương  y2P sin2θ.cosθ=− 2P x.y2 (6.28) ứng suất tiếp (áp thẳng đứng σx σ =− lực trượt) τxy khoảng cách x=H  πr π x2 + y2 cách biên bán phẳng:  2P H3 -Trị số áp lực phương thẳng τ =−xy2πPr sin cosθ2θ=− 2πP x2x y+ y2 đứng σx (Hình 6.9a) : σ =−x  ) ( ) ( π 2P ) (H + y ) 2 áp lực đạt cực trị y=0 bằng: σx,max =− πH 2P -Trị số áp lực trượt τxy (Hình 6.9b) : τ =−xy H y2 y )2 π (H + H áp lực đạt cực trị y =và bằng: τxy,max =− 3 3P 8πH Hình 6.9 * Ứng suất (áp lực) theo phương thẳng ngang σy ứng suất tiếp (áp lực trượt) τxy khoảng cách y=B cách điểm đặt lực: 2P x.B2 - Trị số áp lực σy (Hình 6.10a) : σ =−y , áp lực đạt cực trị x = B π (x2 + B2 ) 3 3P bằng: σ =−y 8πB 2P x B2 - Trị số áp lực trượt τxy (hình 6.10b) : τ =−xy , áp lực đạt cực trị x B= π (x2 + B2 ) P bằng: τxy,max =− 2πB P1 y1 P2y1 Pn y σx θn θ2 τ xy τ yx σy y3 y2 y1 Hình 6.10 * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung hình vẽ, để tính ứng suất điểm ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính (hình 6.11) Hình 6.11  ∑n P cosi θi =− ∑n xi3 Pi (xi2 + y )i22 σ =−x ri π i 1= ∑n i (xi2x y+i  π i 1=  ∑ n P sini θi cosθi σ =−y   π Bài 6.1 r i 1= i =− P π i 1= 2n ∑n P sini θi cos2 θi =− τ =−  xy π 6.4 Bài tập ri i 1= y )i2i2 x y2 ∑P (x i 1= i i2 +i y )ii2 π (6.29) y β P αα r Hãy xác định ứng suất nêm có chiều dày δ =1 , góc đỉnh = 2α chịu tác dụng lực tập trung P đỉnh làm với trục nêm góc β (hình 6.12) Chỉ dẫn : Chọn hàm ứng suất ϕ có dạng : ϕ(r,θ ) = Arθsinθ +Brθcosθ A, B số Hình 6.12 Bài 6.2 M y αα r Hãy xác định ứng suất nêm hình có mơmen Mo tác dụng đỉnh nêm (hình 6.13) Chọn hàm ứng suất dạng: ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ A, B số Hình 6.13 α r Bài 6.3 Cho nêm chịu lực hình 6.14 Hãy xác định trạng thái ứng suất nêm γ=const (hình 6.14) r Lấy hàm ứng suất dạng : q= rγ ϕ(r,θ )= r3 (Acos3θ + Bsin3θ + Ccosθ +D sinθ ) A,B số Hình 6.14 KẾT THÚC MÔN HỌC CHÚC CÁC BẠN THI TỐT! ... trạng thái ứng suất, biến dạng trường chuyển vị môi trường liên tục chịu tác dụng ngoại lực yếu tố ảnh hưởng khác Môi trường liên tục vật thể có cấu tạo vật chất liên tục Cũng môn học biến dạng khác,... ĐẠT CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC m n11 +m n22 +m n3 =0 n l1 +n l2 +n l3 = 1.4 Trường vô hướng trường véctơ 1.4.1 Trường vô hướng Trường vô hướng hàm vô hướng điểm miền xác định hàm Giả sử có trường. .. giải: 18 CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, C: xa1 + xb2 + xc3 =1 x x x 19 TS PHẠM VĂN ĐẠT CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC a b c Tốn tử Nabla theo cơng thức