CHUONG 4 cơ môi trường liên tục

CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 4.1 HỆ TỌA ĐỘ VÀ CÁCH MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG Sử dụng hệ trục toạ độ vng góc Descrates Để biểu diễn ngắn gọn ký hiệu tên trục chữ với số Ví dụ x, y, z thay x1, x2, x3 xi , X,Y,Z thay X1, X2, X3 Xi , với i=1, 2, Khi chịu tác động, phần tử vật chất chuyển động, chuyển động đặc trực véc tơ chuyển vị u nối vị trí phần tử thời điểm ban đầu t=0 thời điểm t xét Ở thời điểm ban đầu (t=0) chọn hệ toạ độ Descrates X1 X2 X3 gắn với môi trường vật chất liên tục gọi hệ trục toạ độ đồng hành Điểm vật chất M có tọa độ Xi xác định vectơ bán kính R , Xi tọa độ điểm vật chất ban đầu, không phụ thuộc thời gian t Tại thời điểm t điểm vật chất M di chuyển tới vị trí M1 có tọa độ xi hệ tọa độ gọi hệ tọa độ quy chiếu xác định bán kinh r Khi nghiên cứu chuyển động môi trường liên tục, tồn hệ qui chiếu người quan sát hệ toạ độ đồng hành gắn với môi trường liên tục CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Véc tơ chuyển vị điểm M r uuuur r r ur u = MM1 = r + b − R Để đơn giản ta chọn hệ trục xi Xi gốc, phương chiều ( xi ≡ X i ) Véc tơ chuyển vị có dạng r r ur u= r − R Trên ba trục tọa độ thành phần chuyển vị : ui = xi - Xi Có cách mơ tả chuyển động ? CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Có hai cách mơ tả chuyển động môi trường liên tục: mô tả Lagrange mô tả Euler Mô tả Lagrange Là mô tả quy luật chuyển động vật chất tồn mơi trường theo dòng thời gian  x1 = x1 ( X1 , X2 , X3 ,t)   x2 = x2 ( X1 , X2 , X3 ,t)  x = x ( X , X , X ,t) 3  (4.1) xi = xi ( X1, X2 , X3 ,t) = xi ( Xi ,t) ;i = 1, 2, đó: xi - vị trí điểm vật chất thời điểm t xét Xi - vị trí điểm vật chất thời điểm t=0 (các biến số gọi tọa độ hay biến số Lagrange toạ độ vật chất) -Vec tơ chuyển vị u hàm tọa độ thời gian u = u (Xi , t ) Nếu cố định Xi phương trình (4.1) mơ tả vị trí liên tiếp điểm vật chất M (quĩ đạo chuyển động) Nếu cố định thời gian t (4.1) cho hình ảnh phân bố vật chất mơi trường thời điểm t Nếu Xi t thay đổi (4.1) xác định qui luật chuyển động môi trường CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Mô tả Euler Là mô tả quy luật xác định phần tử vật chất thời điểm ban đầu t=0 có tọa độ M(Xi) sau thời gian t chuyển tới điểm không gian M1(xi)  X1 = X1 ( x1 ,x2 ,x3 ,t)   X2 = X2 ( x1 ,x2 ,x3 ,t)  X = X ( x ,x ,x ,t) 3  (4.2) Xi = Xi ( x1 , x2 , x3 ,t) = Xi ( x,t ) ; i = 1, 2, i xi - gọi toạ độ hay biến số Euler toạ độ không gian; Cần lưu ý : xi=xi(t) Nếu cố định M1, phương trình (4.2) xác định dịng phần tử vật chất chuyển tới M1 theo thời gian t Nhận xét: mô tả Euler phù hợp với việc nghiên cứu dịng chảy chất lỏng, chất khí (áp lực, vật tốc dòng chảy, điểm khác thành ống) mô tả Lagrange phù hợp với việc nghiên cứu quĩ đạo chuyển động CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Quan hệ hai biến số Euler Lagrange Mô tả Euler Lagrange hai cách mô tả khác chuyển động môi trường, biến số tương đương qui đổi lẫn Điều kiện cần đủ để tồn hàm ngược chúng Jacobien khác J = ∂x1 ∂X1 ∂x1 ∂X2 ∂x1 ∂X3 ∂xi ∂x = Det ∂Xj ∂X1 ∂x2 ∂X2 ∂x2 ≠0 ∂X3 ∂x3 ∂X1 ∂x3 ∂X2 ∂x3 ∂X3 (4.3) Biểu diễn chuyển vị theo Lagrange Euler Theo Lagrange: ui = xi − Xi = xi ( X1, X2 , X3 ,t) − Xi u = u( Xi ,t) Theo Euler: ui = xi − Xi = xi − Xi ( x1, x2 , x3 ,t) i u = u( x,t ) i (4.4) (4.5) ui hàm phụ thuộc biến Xi ui hàm phụ thuộc biến xi CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 4.2 VẬN TỐC VÀ GIA TỐC CHUYỂN ĐỘNG Vận tốc chuyển động tức thời phần tử vật chất đạo hàm vật chất theo thời gian chuyển vị Véc tơ vận tốc ký hiệu v có hình chiếu vi r r du ur v= = ve i i dt Theo Lagrange du1 ∂u1 ( X1 ,t) ∂u1 ( X2 ,t) ∂u1 ( X3 ,t) v1 = = + + dt ∂t ∂t ∂t du2 ∂u2 ( X1 ,t) ∂u2 ( X2 ,t) ∂u2 ( X3 ,t) = + + dt ∂t ∂t ∂t du3 ∂u3 ( X1 ,t) ∂u3 ( X2 ,t) ∂u3 ( X3 ,t) v3 = = + + dt ∂t ∂t ∂t v2 = dui ∂ui ( Xj ,t) vi = = dt ∂t Cố định t cho hình ảnh phân bố vận tốc phần tử vật chất tồn thể mơi trường, cố định tọa độ Xi cho biết thay đổi vận tốc phần tử theo thời gian CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Theo Euler Do biến tọa độ không gian xi phụ thuộc vào thời gian t, để tính vi cần phải tính đạo hàm riêng biến tọa độ theo t du1 ∂u1 ∂u1 ∂u ∂u = + v1 + v2 + v3 dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 du ∂u ∂u ∂u ∂u v2 = = + v1 + v2 + v3 dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 v1 = v3 = du3 ∂u3 ∂u3 ∂u ∂u = + v1 + v2 + v3 dt ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂ui ( xj ,t) dui ∂ui ( xj ,t) vi = = + vk dt ∂t ∂xK Cố định t cho hình ảnh phân bố vận tốc không gian hay gọi trường vận tốccủa phần tử vật chất tồn thể mơi trường, cố định tọa độ xi cho biết vận tốc phần tử vật chất khác qua điểm không gian xét CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Gia tốc chuyển động đạo hàm theo thời gian véc tơ vận tốc r r dv ur a= = ei dt Theo Lagrange Theo Euler = = dvi ( Xj ,t) dt dvi ( xj ,t) dt = = ∂vi ( Xj ,t) ∂t ∂vi ( xj ,t) ∂t + vk ∂vi ( xj ,t) ∂xK a CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 4.5 CƯỜNG ĐỘ BIẾN DẠNG Cường độ biến dạng εi trị số tỉ lệ với bậc hai bất biến thứ hai ten-xơ lệch biến dạng: J ( Dε ) εi = εi = (ε − ε 22 ) + ( ε 22 − ε 33 ) + ( ε 33 − ε 11 ) + ( ε 122 + ε 232 + ε 312 ) 11 2 Khi hệ trục tọa độ trục biến dạng εi = ( ε −ε ) 2 + ( ε − ε ) + ( ε − ε1 ) 2 CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 4.6 TENXƠ QUAY Ngoài biến dạng dài biến dạng góc, phân tố cịn bị quay Sự quay đặc trưng góc quay đường chéo phân tố Xét góc quay đường chéo MQ hình chiếu phân tố hình lập phương mặt Ox1x2 quay quanh trục x3, ta ký hiệu ω12 Phân tích ω12 thành hai thành phần: -Góc quay α/2 cạnh MN quay góc nhỏ α - Góc quay β/2 cạnh MP quay góc nhỏ β Nếu qui ước góc quay dương, đường chéo quay ngược chiều kim đồng hồ Tương tự với hai mặt lại α β  ∂u2 ∂u1  − =  − ÷ 2  ∂x1 ∂x2   ∂u ∂u  ω23 =  − ÷  ∂x2 ∂x3  ω12 =  ∂u ∂u  ω31 =  − ÷  ∂x3 ∂x1   ∂uj ∂ui  ωij =  − ÷ = −ω ji  ∂xi ∂xj ÷  CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Biểu thức biến dạng góc biểu diễn dạng 1  ∂u ∂u  ∂ui ε ij = γ ij =  j + i ÷ = + ωij ÷ 2  ∂xi ∂xj  ∂xj Có thể phân tích tenxơ biến dạng bé thành hai thành phần ε 11 ε 12 ε ε  21 22 ε 31 ε 32  ∂u1  ∂x ε 13    ∂u2  ε 23  =  ∂x1  ε 33   ∂u3   ∂x1 ∂u1 ∂x2 ∂u2 ∂x2 ∂u3 ∂x2 ∂u1   ∂x3   ∂u2    + −ω12 ∂x3    ω31  ∂u3  ∂x3  ω12 −ω23 Tenxơ quay tenxơ phản xứng có ba thành phần độc lập  Tω =  −ω12   ω31 ω12 −ω23 −ω31  ω23   −ω31  ω23   CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 4.8 ĐIỀU KIỆN TƯƠNG THÍCH CỦA CÁC BIẾN DẠNG Hệ phương trình hình học Navier Cauchy ∂u1 ; ∂x1 ∂u ε 22 = ; ∂x2 ∂u ε 33 = ; ∂x3 ε 11 = ∂u2 ∂u1 + ∂x1 ∂x2 ∂u ∂u γ 23 = γ 32 = 2ε 23 = + ∂x2 ∂x3 ∂u ∂u γ 13 = γ 31 = 2ε 13 = + ∂x1 ∂x3 γ 12 = γ 21 = 2ε 12 = Các phương trình cho phép tính biến dạng từ hàm chuyển vị Các hàm chuyển vị liên tục đơn trị hàm chuyển vị liên tục đơn trị Để giải toán ngược hàm chuyển vị xác định từ phương trình vi phân Để xác định ba ẩn số hàm liên tục đơn trị sáu phương trình khơng độc lập mà phải phụ thuộc ràng buộc, tức thành phần biến dạng phải có quan hệ Các quan hệ gọi điều kiện tương thích điều kiện liên tục biến dạng – điều kiện Saint-Venant Ý nghĩa hình học: phân tố hình hộp đứng cạnh trước biến dạng, chúng khơng có khe hở vật thể liên tục Khi vật thể biến dạng phân tố biến dạng, biến dạng tùy ý chúng có khe hở CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Có hai nhóm quan hệ Nhóm 1: Quan hệ thành phần biến dạng mặt phẳng ∂ 2ε 11 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε 12 ∂ 2γ 12 + =2 = ∂x22 ∂x12 ∂x1∂x2 ∂x1∂x2 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε 33 ∂ 2ε 23 ∂ 2γ 23 + =2 = ∂x32 ∂x22 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂ 2ε 33 ∂ 2ε 11 ∂ 2ε 31 ∂ 2γ 31 + =2 = ∂x1 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 Nhóm 2: Quan hệ thành phần biến dạng mặt phẳng khác ∂  ∂ε 23 ∂ε 31 ∂ε 12 + + − ∂x1  ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂  ∂ε 31 ∂ε 12 ∂ε 23 + + − ∂x2  ∂x2 ∂x3 ∂x1  ∂ 2ε 11 ÷=  ∂x2 ∂x3  ∂ 2ε 22 ÷=  ∂x3 ∂x1 ∂  ∂ε 12 ∂ε 23 ∂ε 31  ∂ 2ε 33 + + − ÷= ∂x3  ∂x3 ∂x1 ∂x2  ∂x1∂x2 CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 4.9 QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG LỚN Trong mục (4.3) xác định tenxơ biến dạng bé ta bỏ qua bình phương biến dạng bé biểu thức 2 2ε vv + ε vv2 = ds1 − ds ds2 Trong trường hợp biến dạng lớn biến dạng dài tỷ đối xác định theo nghiệm phương trình khơng bỏ qua bình phương biến dạng 4.9.1 Theo toạ độ vật chất Lagrange Tenxơ biến dạng lớn theo tọa độ vật chất Lagrange - Tenxơ biến dạng Green  G11 TG =  G21   G31 G12 G22 G32 G13  G23   G33  CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Dạng khai triển tenxơ biến dạng Green:  ∂u1  ∂u1   ∂u2   ∂u3   G11 = 2 + ÷ + ÷ + ÷  ∂X1  ∂X1   ∂X1   ∂X1   2  ∂u2  ∂u1   ∂u2   ∂u3   G22 = 2 + ÷ + ÷ + ÷  ∂X2  ∂X2   ∂X2   ∂X2   2  ∂u3  ∂u1   ∂u2   ∂u3   G33 = 2 + ÷ + ÷ + ÷  ∂X3  ∂X3   ∂X3   ∂X3   G12 = 2  ∂u1 ∂u2 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3  + + + +    ∂X2 ∂X1 ∂X1 ∂X2 ∂X1 ∂X2 ∂X1 ∂X2   ∂u2 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3  G23 =  + + + +   ∂X3 ∂X2 ∂X2 ∂X3 ∂X2 ∂X3 ∂X2 ∂X3  G31 =  ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3  + + + +    ∂X1 ∂X3 ∂X3 ∂X1 ∂X3 ∂X1 ∂X3 ∂X1  CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 4.9.2 Theo toạ độ không gian Euler Tenxơ biến dạng lớn theo tọa độ không gian Euler - Tenxơ biến dạng Almansi  A11 TA =  A21   A31 A12 A22 A32 A13  A23   A33  2 Dạng khai triển tenxơ biến  ∂u1  ∂u1   ∂u2   ∂u3   dạng Almansi A11 = 2 − ÷ − ÷ ÷  ∂x1  ∂x1   ∂x1   ∂x1   2        ∂u ∂u ∂u ∂u  A22 = 2 −  ÷ −  ÷ −  ÷   ∂x2  ∂x2   ∂x2   ∂x2   2  ∂u3  ∂u1   ∂u2   ∂u3   A33 = 2 − ÷ − ÷ − ÷  ∂x3  ∂x3   ∂x3   ∂x3    ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u  A12 =  + − 1 − 2 − 3   ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂X2   ∂u2 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3  + − − −    ∂x3 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x2 ∂x3   ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u  A31 =  + − 1 − 2 − 3   ∂x1 ∂x3 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x3 ∂x1  A23 = CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Tenxơ biến dạng Green tenxơ biến dạng Almansi hai cách mô tả trạng thái biến dạng điểm môi trường, chúng gồm hai thành phần: tuyến tính phi tuyến đạo hàm bậc thành phần chuyển vị Trong trường hợp biến dạng bé, thành phần phi tuyến tenxơ biến dạng Green Almansi bỏ qua Lúc tenxơ biến dạng bé theo hai cách mô tả CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG ∂u1 γ = γ = 2ε = ∂u2 + ∂u1 ε 11 = ; 12 21 12 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ε 22 = ∂u2 ∂u ∂u ; γ 23 = γ 32 = 2ε 23 = + ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u3 + ε 33 = ; γ 13 = γ 31 = 2ε 13 = ∂x1 ∂x3 ∂x3 ∂u ∂v ∂u ; γ xy = γ yx = 2ε xy = + ∂x ∂x ∂y ∂v ∂w ∂v ε yy = ; γ yz = γ zy = 2ε xz = + ∂y ∂y ∂z ∂w ∂u ∂w ε zz = ; γ zx = γ xz = 2ε zy = + ∂z ∂z ∂x ε xx =  ε11   ∂ / ∂x1 ε    22   ε 33    = γ 12  ∂ / ∂x2 γ 23      γ 31   ∂ / ∂x3 ∂ / ∂x2 ∂ / ∂x1 ∂ / ∂x3 0    u  ∂ / ∂x3     u   2 u ∂ / ∂x2     ∂ / ∂x1  { ε } = [ ∂ ] { u} [ ∂] ma trận toán tử vi phân, 0  ε x   ∂ / ∂x ε    ∂ / ∂ y y     u  ∂ / ∂z     ε z   =    v  γ ∂ / ∂ y ∂ / ∂ x  xy     w γ yz   ∂ / ∂z ∂ / ∂y        ∂ / ∂x  γ zx   ∂ / ∂z CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG IV Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy Trong a=const Hãy tính biến dạng dài biến dạng góc điểm M(1,1,1) Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng: 4  Tε = 0 0 1 4 1- Hãy xác định biến dạng phương biến dạng 2- Hãy xác định giá trị phương tenxơ biến dạng CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG IV Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy Trong a=const Hãy tính biến dạng dài biến dạng góc điểm M(1,1,1) Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng: 4  Tε = 0 0 1 4 1- Hãy xác định biến dạng phương biến dạng 2- Hãy xác định giá trị phương tenxơ biến dạng CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG IV Bài 4.1 Cho trường chuyển vị: u=ayz; v=azx; w=axy Trong a=const Hãy tính biến dạng dài biến dạng góc điểm M(1,1,1) Bài 4.2 Cho tenxơ biến dạng: 4  Tε = 0 0 1 4 1- Hãy xác định biến dạng phương biến dạng 2- Hãy xác định giá trị phương tenxơ biến dạng CHƯƠNG IV – TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG Bài 4.3 Cho tenxơ biến dạng môi trường x2  Tε =  y  xy  xy   x / 2 x2 / z  y2 y 1- Các biến dạng có thỏa mãn phương trình liên tục khơng? 2- Tính biến dạng điểm M(0,1,1) z Bài 4.4 Khi khảo sát xoắn trịn (như hình vẽ) ta có dịch chuyển là: u = −τyz + ay + bz + c   v = τxz − ax + ez + f (τ = const )  w = −bx − ey + k  y x 1- Hãy xác định hệ số a, b, c, d, e, f, k với điều kiện mặt cắt đầu (z=0) ngàm cứng 2- Tìm trị số biến dạng 3- Thử xem biến dạng tìm có thỏa mãn phương trình liên tục không? HẾT CHƯƠNG IV ... Bài 4. 3 Cho tenxơ biến dạng môi trường x2  Tε =  y  xy  xy   x / 2 x2 / z  y2 y 1- Các biến dạng có thỏa mãn phương trình liên tục khơng? 2- Tính biến dạng điểm M(0,1,1) z Bài 4. 4 Khi... chuyển vị Các hàm chuyển vị liên tục đơn trị hàm chuyển vị liên tục đơn trị Để giải toán ngược hàm chuyển vị xác định từ phương trình vi phân Để xác định ba ẩn số hàm liên tục đơn trị sáu phương trình... phương trình (4. 1) mơ tả vị trí liên tiếp điểm vật chất M (quĩ đạo chuyển động) Nếu cố định thời gian t (4. 1) cho hình ảnh phân bố vật chất môi trường thời điểm t Nếu Xi t thay đổi (4. 1) xác định