CHUONG 5 cơ môi trường liên tục

CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất hàm biến dạng  xx  f1(  xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  xy ,  xy )  yy  f2 ( xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  xy ,  xy )  zz  f3 (  xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  xy ,  xy )  xy  f4 (  xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  xy ,  xy ) (5.1)  yz  f5 (  xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  xy ,  xy ) Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính (quan hệ ứng suất biến dạng tuyến tính) Định luật Hooke mở rộng  zx  f6 ( xx ,  yy ,  zz ,  xy ,  xy ,  xy )  xx � � a11 � � � �  a21 � yy � � � a31  zz � � � � � � �  xy � � a41 � � a51  yz � � � � �  zx � � a61 � �� a12 a13 a14 a15 a22 a23 a24 a25 a32 a33 a34 a35 a42 a43 a44 a45 a52 a53 a54 a55 a62 a63 a64 a65 a16 ��  xx � � � a26 �  ��yy � a36 ��  zz � � � �� � (5.2) a 46 �� xy � a56 �� yz � �� � a66 �� zx � Trong đó: Các hệ số aij số đàn hồi vật liệu CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1 CƠNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI y xy xz  xy  � x dx �  xx dx � x N(x+dx,y,z) �   xz  xz dx  xx  dy xx P(x,y+dy,z) �  xy M Q(x,y,z+dz) dx � x x Hình 5.1 - Xét phần tử hình hộp có cạnh dx,dy,dz điểm M(x,y,z) Các mặt phần tử có ứng suất hình vẽ (H.5.1) Ứng với ứng suất phần tử có chuyển vị dài chuyển vị góc - Khi phần tử bị biến dạng nội lực sinh công z Số gia công ứng suất pháp sinh ra: Số gia công ứng suất tiếp sinh ra: Số gia công xx sinh   dydz    dx  Số gia công xy sinh   xy dydz  dx xy xx xx Tương tự yy zz  yy dxdz    yy dy  Tương tự yz zx   zz dxdy    zz dz   yz dxdy  dz yz   zx dxdy  dz zx Số gia công T  (xx  xx   yy  yy  zz  zz  xy  xy  yz yz  zx zx )dxdydz phần tử hình hộp dV = dxdydz : Thể tích phần tử trước biến dạng (5.3) Số gia công đơn A  xx  xx  yy  yy  zz  zz  xy xy  yz yz  zx zx vị thể tích (cơng riêng) A (5.4) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Đối với vật thể hồn tồn đàn hồi lượng sinh biến dạng bảo toàn Nếu gọi W biến dạng đàn hồi tích lũy vật thể biến dạng độ lớn biến dạng đàn hồi công ngoại lực A Do ta có A=W (5.5) Từ (5.5)  A = W (5.6) Thế sinh biến dạng biến dạng mà có, biến dạng đàn hồi hàm số thành phần biến dạng : W  f( xx ,  yy , zz ,  xy ,  yz ,  zx ) Trong miền đàn hồi trình biến dạng thuận nghịch nên W vi phân tồn phần Nếu bỏ qua vơ bé bậc cao khai triển số gia biến dạng đàn hồi theo biến dạng nhận � W � W � W � W � W � W (5.7) W  �  xx  xx  �  yy  yy  � zz  zz  �  xy  xy  �  yz  yz  �  zx  zx A  xx  xx  yy  yy  zz zz  xy  xy  yz yz  zx zx Đồng hệ số (5.4) (5.7)  xx  � W � W ;  xy  ; �  xx �  xy  yy  � W � W ;  yz  ; �  yy �  yz zz  � W � W ; zx  ; �  zz �  zx A  W (58) Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các thành phần ứng suất đạo hàm riêng biến dạng đàn hồi biến dạng tương ứng CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.2 ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT- CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU 5.2.1 Dựa vào định lý Green xx  a11 xx  a12 yy  a13 zz  a14  xy  a15  yz  a16  zx Từ (5.2) yz  a51 xx  a52 yy  a53 zz  a54  xy  a55  yz  a56  zx Từ (5.8)  xx yz � W �2 W  �  a15 �  xx �  xx �  yz � W �2 W  �  a51 �  yz �  yz �  xx (a) (b) - Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) (b) ta có : a15 = a51 - Tổng quát số đàn hồi (5.2) ta có: aij = aji (5.9)  Vậy số hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo Do số cần xác định 36 - 15 = 21 hệ số a11 a12 � � a 22 � � � � � dx � � a13 a14 a15 a23 a24 a25 a33 a34 a35 a44 a45 a55 a16 � a26 � � a36 � � a46 � a56 � � a66 � CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng Vật thể đẳng hướng vật thể có tính chất đối xứng hồn tồn, mặt phẳng qua phần tử mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý vật liệu theo phương → phương trình (5.2) khơng thay đổi ta thay đổi hệ tọa độ Giả sử đổi chiều trục y ứng suất pháp xx phương trình thứ hệ (5.2) khơng thay đổi  xx  a11 xx  a12 yy (c)  a13 zz  a14  xy  a15  yz  a16  zx Nhưng biến dạng góc xy yz đổi dấu đổi chiều trục y góc trượt trước làm góc vng nhỏ lại làm cho góc vng lớn lên  xx  a11 xx  a12 yy  a13 zz  a14  xy  a15  yz  a16  zx Tương tự đổi chiều trục z Đồng (c) (d) nhận a14  a14 � �� a14  a15  a15  a15 � Bằng cách chứng minh tương tự hai ứng suất pháp lại a 41  a 42  a 43  Do aij = aji nên a a a 0 51 (d) 52 53 a61  a62  a63  a16  a24  a25  a26  a34  a35  a36  CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Hệ phương trình (5.2) trở thành :  xx  a11 xx  a12 yy  a13 zz  yy  a21 xx  a22 yy  a23 zz zz  a31 xx  a32 yy  a33 zz  xy  a44  xy  a45  yz  a46  zx  yz  a54  xy  a55  yz  a56  zx zx  a64  xy  a65  yz  a66  zx a11 a12  xx � � � � � �  a21 a22 � yy � � � a31 a32  zz � � � � � � �  xy � �0 � �  yz � �0 � � �  zx � �0 � �� a13 0 a23 0 a33 0 a 44 a 45 a54 a55 a64 a65 ��  xx � (5.9) � � � ��  yy � �� � zz � � �� � a 46 �� xy � a56 �� yz � �� � a66 �� zx � Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : - Các ứng suất pháp khơng có quan hệ với biến dạng góc - Các ứng suất tiếp khơng có quan hệ với biến dạng dài tương đối CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Xét phương trình thứ (4) hệ phương trình ( 5.9)  xy  a 44  xy  a45  yz  a46  zx (e) Nếu ta đổi chiều trục z  xy không đổi yz  xy  a44  xy  a45  yz  a46  zx zx đổi dấu a45  a45 � �� a45  a46  Đồng (e) (f) ta có a46  a46 � Tương tự đổi chiều trục x y (f) a54  a56  a64  a65  Hệ phương trình (5.9) rút gọn sau  xx  a11 xx  a12 yy  a13  zz  yy  a21 xx  a22 yy  a23  zz zz  a31 xx  a32 yy  a33  zz Do vật thể trực hướng hốn vị vịng phương trình (3) hệ phương trình (5.10) Đồng với Nhận  xy  a 44  xy (5.10)  yz  a55  yz zz  a31 xx  a32 yy  a33 zz zx  a66  zx xx  a31 yy  a32 zz  a33 xx Do ma trận đàn hồi đối xứng  xx  a11 xx  a12 yy  a13 zz a12  a21  a13  a31  a23  a32 a11  a33 ;a31  a12 ;a32  a13 Hốn vị vịng tương tự a11  a22  a33 CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH  xx  a xx  b( yy   zz ) a  a11  a22  a33 Đặt  yy  a yy  b( zz   xx ) b  a12  a 21  a13  a31  a 23  a32 zz  a zz  b( xx   yy ) c  a44  a55  a66 (5.11)  xy  c xy  yz  c yz Có zx  c zx  xx  b   a  b   xx    xx   yy   zz biến dạng thể tích tương đối nên nhận Đặt b  a  b   2 zz  b   a  b   zz  xx    2 xx  yy    2 yy  yy  b   a  b   yy (5.13) zz    2 zz Thực nghiệm chứng minh xoay hệ trục tọa độ  xy   xy  yz   yz  zx   zx (5.14) c   a  b /   (5.12) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Các hệ phương trình (5.13) (5.14) quan hệ ứng suất biến dạng vật thể đàn hồi đẳng hướng gọi định luật Hooke tổng quát viết dạng ứng suất theo biến dạng Hai số vật lý  μ gọi số Lame  xx    2 xx  xy   xy  2 xy  yy    2 yy  yz   yz  2 yz  zz    2 zz zx   zx  2 zx (5.15) 5.3 MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT  xy  xy � �       ;   ;    yy zz  � xy G xy 2G xx E�  yz  yz �  yy  �       ;   ;    zz xx  � yz yy yz E� G 2G  xx   zz  (5.16)  zx zx � �       ;   ;     zz xx yy � zx zx E� G 2G E – Mô đun đàn hồi  Hệ số biến dạng ngang (Pốt xơng) Đây hai đặc trưng đàn hồi vật liệu E G – Mô đun đàn hồi trượt xác định theo G  (5.17 E G ; 2(1   ) ) 2(1   ) (5.18) Xác định số Lame (đặc trưng biến dạng) theo đặc trưng đàn hồi E        2  CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH  xx � � �  yy � � � � zz � E  � � � xy �   v    v  � yz � � � zx ��    D   �   2v  � � 2v � 2v � � � � � 2v 2v 0   2v  2v 0 2v   2v  0 0   2v 0 0   2v  0 0 �  xx � � � � � � �yy � � zz � � � � � � � xy � � yz � � � � �   v zx D trận đàn hồi, chứa đặc trng đàn hồi vt liu ma  xx � �1 v v � � � � v v  yy � � � � v v  zz � � � 1� � � �  xy � E �0 0   v  � �  yz � �0 0 � � �  zx � �0 0 � �� 0 0 2  v  xx � �� �� �  yy �� � ��  zz � � � �� � �� xy � �� yz � �� �   v  �� zx � 0 0    D    CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Hệ phương trình (5.24) phương trình để giải tốn đàn hồi theo ứng suất, tổng hợp điều kiện mặt tĩnh học, hình học vật lý mơi trường Giải (5.24) có ứng suất sau tìm biến dạng theo định luật Hooke tìm chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy Hệ (5.24) gọi hệ phương trình Beltrmi Trường hợp lực thể tích khơng phải số Nhận phương trình tương tự có vế phải khác khơng fy � fx � fz � � �2S  �� x �  xx       ; � �   �� x � y � z� � x     �x fy � fx � fz � � �2S  �� y �  yy       ; � �   �� x � y � z� � y     �y fy � fx � fz � � �2S  �� z �  zz       ; � �   �� x � y � z� � z     �z (5.25) : Phương trình Beltrami-Michell (5.25) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Hệ : Trường hợp fx, fy, fz = const Từ phương trình (5.24) Beltrmi, ta suy hệ tính chất ứng suất �2S Xét phương trình     �  xx   � �4S � x � xx  1  �   � � x � x � �4S � � xx Lấy đạo hàm bậc hai theo x,y,z �  1  �  2  � y � x� y � � �4S � xx �  1  �  2  � z � x� z � Theo hệ �2S  � �4xx  Tương tự �2S     �� xx  �S  � x �4xy  Ứng suất hàm điều hòa �4 yy  �4 yz  �4zz  �4zx  kép (trùng điều hịa) Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng hàm điều hoà kép Hệ 3: Các nghiệm ứng suất, chuyển vị, biến dạng tốn đàn hồi tuyến tính lực thể 4 �   0; � u  0; � ij  0; (5.27) ij i tích số hàm điều hòa kép CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.7 CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN, ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU  xxlx   yx ly   zxlz  fx * Điều kiện biên theo ứng suất Các ứng suất phải thỏa mãn điều kiện cân với lực bề mặt Điều kiện biên theo chuyển vị Nghiệm chuyển vị phải thỏa mãn điều kiện chuyển vị đạo hàm chuyển vị theo biến tọa độ  xylx   yy ly   zylz  fy *  xzlx   yzly   zzlz  fz * usx  u0 x ; u'sx  u'0 x ; usy  u0 y; u'sy  u'0 y ; usz  u0 z ; u'sz  u'0 z ; Nếu toàn bề mặt vật thể có điều kiên biên theo ứng suất ta có tốn biên thứ nhất, có điều kiện biên theo biến dạng ta có tốn biên thứ hai, có hai ta có toán biên hỗn hợp Điều kiện ban đầu Trong toán đại lượng phụ thuộc vào biến khơng gian thời gian, ngồi điều kiện biên cần thêm điều kiện ban đầu thời điểm t=to (hay t=0) u r,t0   u0 ; � u  t  t0   v0 ; � t CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.8 Nguyên lý Saint-Venant Nhiều toán lý thuyết đàn hồi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải tốn thanh, tấm, vỏ Để giảm bớt khó khăn nhiều trường hợp điều kiện biên ứng suất đơn giản hóa sử dụng nguyên lý Saint-Venant Trạng thái ứng suất biến dạng điểm xa nơi đặt lực vật thể không thay đổi ta thay hệ lực tác động hệ lực khác tương đương Hệ lực tương đương hiểu hệ lực có véc tơ lực mơ men Sử dụng ngun lý ta thay điều kiện biên vi phân viết theo ứng suất điều kiện biên tích phân viết theo hợp lực CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.9 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp thuận Là phương pháp trực tiếp tính tích phân phương trình Lamê (5.20) giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.24) hay Beltrami Michell (5.25) giải theo ứng suất với điều kiện biên xác định Phương pháp rõ ràng, minh bạch mặt toán học phức tạp thực Phương pháp ngược : Theo phương pháp ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn phương trình bản, điều kiện biên (2.22) tìm ngoại lực tương ứng với chuyển vị hay ứng suất cho trước Phương pháp để tìm nghiệm phải thử nhiều hàm chọn, cồng kềnh có khơng thực Phương pháp nửa ngược Saint - Venant: Theo phương pháp ta cho trước phần ngoại lực phần chuyển vị, tìm yếu tố lại từ điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn phương trình cân Phương pháp mềm dẻo, khắc phục khó khăn mang tính tốn học phương pháp thuận cồng kềnh phương pháp ngược CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.9 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ Phương pháp giải tích Là phương pháp xác định hàm ẩn hàm liên tục Sử dụng giải tích cho kết nghiệm tường minh, xác đáng tin cậy lại gặp phải khó khăn mặt tốn học Trên thực tế có lời giải giải tích cho tốn học vật rắn biến dạng (cho toán đơn giản) Phương pháp số Thay việc trình bày nghiệm toán dạng hàm cổ điển tường minh mt hp s Nghiệm đợc xác định số hu hạn điểm vật thể; hay nói khác nghiệm đợc mô t theo tập hợp số, điểm lại đợc xác định cách nội suy Thay cho hàm nghiệm liên tục (gii tích), ta xác định nhng giá trị rời rạc nờn phơng pháp số gọi phơng pháp rời rạc hoá CHNG V Lí THUYT N HỒI TUYẾN TÍNH 5.10 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Một vấn đề đặt nghiệm toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có khơng Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị cho ta nhận hệ ứng suất hay chuyển vị hay ta nhận nhiều hệ nghiệm khác với điều kiện cho Trường hợp nhận vài hệ nghiệm nghiệm toán lý thuyết đàn hồi cho đa trị Định lý nghiệm : Nếu thừa nhận trạng thái tự nhiên vật thể đinh luật độc lập tác dụng lực nghiệm tốn lý thuyết đàn hồi CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.11 VÍ DỤ GIẢI BÀI TỐN XOẮN THUẦN T THANH LĂNG TRỤ  zy Xét thẳng, mặt cắt ngang không đổi, chịu xoắn túy  zx Hệ phương trình Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint-Venant giả thiết ��  zx Các phương trình cân Navier 0 �� � z  zy �� 0 � � z �  zy ��  zx �  0 �� Điều kiện biên x � y � Trên mặt pháp tuyến (l,m,0) Trên mặt cắt ngang hai đầu (z=0,z=l)  xx   yy   zz   xy   xzl   xym  dF  � xydF  � �F� xz F �  y   xy x dF  M � �F� xz CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH  zy  zx Các liên hệ Cauchy, định luật Hooke � � u   0 �xx � x � � v �  yy   � � y � � � w   0 �zz � z � � �� v � u�    �xy � � �� x � y� � � �� w � u � 1  �     zx �zx � � � x � z E � � � � �� w � v � 1   yz  �  �  yz � � y � z E � � � Chuyển vị góc xoắn Phương trình Beltrami-Michell giải tốn xác định hàm ứng suất �2 yz  0; �2 zx  0; u   yz v   xy w  w  x, y Chuyển vị theo phương bán kính r x y ur  ucos  vsin   yz   xz  r r Các điểm mặt cắt ngang khơng có chuyển vị theo phương bán kính, có chuyển vị theo phương t vng góc bán kính  Chuyển vị theo phương vng góc bán kính t y x ut  usin  vcos   yz   xz   rx r r CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Hàm Prandtl để giải tốn xoắn �  �  xz   yz � x � y �  �  ;  yz   ; � y � x Đẳng thức thỏa mãn đặt  xz  Theo phương trình Beltrami-Michell � �  �   0;  �2   0; � x � y Phương trình xác định hàm Prandtl �2  C Hằng số C đặc trưng toán xoắn, phụ thuộc đặc trưng học vật liệu hình học tiết diện �  u � w� � � w � �2 �� � � w �  xz   G xz  G �   y  � G � ��  G �  � � y z � x� � � x� � �� y �� x y� � �� �  v � w� � � w � �2 � �2w �  yz    G yz  G �   x   � G � ��  G � � � x � z � y � y � x �� x y� � � � � � �2 �2 �    2G � C  2G � x � y CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Thanh có tiết diện ellipse Phương trình chu vi x2 y2  1 a b Chọn hàm Prandtl có dạng A số chưa biết Thay vào A �x2 y2 �   �   1� �a b � 2 1 a b � � � A   C � A  C �  C �2 � a2  b2 �a b � 2 �x2 y2 � ab �   �   1� C 2 �a b � a b Các ứng suất mặt cắt �  a2 �  b2  xz   C y;  yz   C x; 2 � y a b � x a b Hằng số C xác định từ điều kiện cân a2 b2 M  �  xz y   yz x dF  C F a  b2 2  a3 b3 �x y � dF  C � �2  � F  a2  b2  �a b �  xz  M  a2  b2  �C 3  a b  a  b2  2M 2M y;   x; yz  ab3  a3 b CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Ứng suất tiếp lớn hai đầu bán trục ngắn  max  Góc xoắn tỷ đối Trị số M  a2  b2  C   2G G a3 b3  a3 b3  a2  b2  Mô men chống xoắn mặt cắt ngang hình ellipse Trường hợp mặt cắt ngang hình trịn a=b=d/2 Mơ men chống xoắn Ứng suất tiếp lớn 2M  ab2  a3 b3  d4 JP    a  b2  32  max  M  d3 / 16 CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG V Bài 5.1 Tại điểm vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất: 4  T   (kN / cm ) 1  4 Cho biết: E 2.10 (kN / cm ); 0,25 Hãy xác định: 1- Biến dạng dài theo phương: a 1 / 3;2 / 3; / 3 2- Biến dạng phương biến dạng Bài 5.2 Cho tenxơ biến dạng điểm vật thể đàn hồi tuyến tính  0 T   0.10  1 2 Cho biết: E 2.10 (kN / cm ); 0,25 CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Hãy xác định: 1- Phương ứng suất 2- ứng suất tiếp lớn Bài 5.3 Cho chuyển vị: x  ( x  y ) xy xz u ;v  ; w  2a a a Tìm biến dạng chứng tỏ chúng thỏa mãn phương trình liên tục Bài 5.4 Cho dầm conson mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) chịu uốn mơmen Mo hình vẽ M o  EJ y / a nằm mặt phẳng (xoz) Giả sử ứng suất dầm là: b Mo z O y h x x  x  y 0; z  Ex / a; xy  yz  zx 0 Hãy tìm biến dạng chuyển vị CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH HẾT CHƯƠNG 5! ... VẬT LIỆU 5. 2.1 Dựa vào định lý Green xx  a11 xx  a12 yy  a13 zz  a14  xy  a 15  yz  a16  zx Từ (5. 2) yz  a51 xx  a52 yy  a53 zz  a54  xy  a 55  yz  a56  zx Từ (5. 8)  xx... aji (5. 9)  Vậy số hệ phương trình (5. 2) đối xứng qua đường chéo Do số cần xác định cịn 36 - 15 = 21 hệ số a11 a12 � � a 22 � � � � � dx � � a13 a14 a 15 a23 a24 a 25 a33 a34 a 35 a44 a 45 a 55 a16... a14  a 15  a 15  a 15 � Bằng cách chứng minh tương tự hai ứng suất pháp lại a 41  a 42  a 43  Do aij = aji nên a a a 0 51 (d) 52 53 a61  a62  a63  a16  a24  a 25  a26  a34  a 35  a36