CHUONG 2 cơ môi trường liên tục

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Trong học, toán học vật lý ta thường gặp đại lượng có tính chất khác  Đại lượng vô hướng: đại lượng đặc trưng trị số theo đơn vị đo như: nhiệt độ, khối lượng, …  Đại lượng vec tơ: đại lượng đặc trưng giá trị theo đơn vị đo, phương chiều không gian xác định, ví dụ: lực, vận tốc, gia tốc chất điểm, …  Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho trạng thái xác định vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, … Ten xơ đại lượng tổng quát, mà đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ trường hợp riêng Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung khơng phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ mô tả chúng Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ 2.1 TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VNG GĨC 2.1.1 HỆ THỐNG KÍ HIỆU - Ký hiệu đặc trưng hay nhiều số là: , aj , aijk , … - Qui ước sau: số chữ La tinh lấy giá trị 1, 2, Do  biểu thị ba phần tử a , a , a  aij biểu thị chín phần tử a , a , a , a , a , a , a , a3 , a3 11 12 13 21 22 23 31  aijk biểu thị 27 phần tử a , a , , a 111 112 333 Hệ thống phần tử a phụ thuộc vào số, gọi hệ  gồm thống hạng nhất, bao gồm phần tử; a hệ thống hạng hai bao i thống hạng nhất, bao gồm phần tử; aij hệ thống hạng hai bao gồm phần tử Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n chỉ3số gồm phần tử n Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ 2.1.2 QUY ƯỚC CÁC CHỈ SỐ  Trong biểu thức, số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo số từ đến Chỉ số gọi số câm, thay chữ số khác Ví dụ: ab = ab + a b + a b = a b i i 1 2 3 k k  Chỉ số xuất lần gọi số tự do, chạy từ đến Ví dụ, hệ thống gồm a1 , a2 , a3 2.1.3 HỆ ĐỐI XỨNG VÀ PHẢN XỨNG  Một hệ gọi đối xứng nếu: aij =aji Mở rộng cho hệ thống nhiều có số, ví dụ aijk = aikj → hệ thống aijk đối xứng qua hai số j, k Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ  Kí hiệu Kronecker trường hợp đặc biệt hệ đối xứng  1; if: i = j δ ij =  0; if: i ≠ j δ =3 ii  Một hệ gọi phản đối xứng nếu: aij =-aji  Ký hiệu Levi-Chivita eijk hệ thống phản đối xứng với thành phần sau 0  eijk =  −  hai số hai số lập thành hốn vị chẵn 1,2,3 hai số lập thành hoán vị lẻ 1,2,3 Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ 2.1.3 TRƯỜNG VƠ HƯỚNG HAY TENXƠ HẠNG KHƠNG Trường vơ hướng hàm vô hướng ϕ ( x1, x2, x3, t ) toạ độ điểm miền không gian x1, x2, x3 xác định hàm t tham số thời gian gradϕ = ∇ϕ = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ e1 + e2 + e3 = ei ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi Với ei vectơ đơn vị trục 0xi; Ký hiệu ∇ đọc “nabla”  Ý nghĩa hình học: gradϕ vec tơ vng góc với mặt cho phương trình ϕ = const Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν mặt điểm bề mặt ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ e3 e1 e2 ∂ x ∂x1 ∂x2 gradϕ v= = + + gradϕ gradϕ gradϕ gradϕ Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ 2  ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ    +   +  gradϕ =   ∂x1   ∂x2   ∂x3  Ký hiệu ∆ gọi “toán tử Laplace” hay Laplacien với: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ = ∇ ∇ϕ = ∇ ϕ = + + 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2 ∇ ϕ =0 Phương trình: gọi phương trình điều hịa Nghiệm phương trình điều hịa gọi hàm điều hịa 2 Phương trình: ∇ ∇ ϕ = ∇ ϕ = gọi phương trình điều hịa kép Nghiệm phương trình điều hịa gọi hàm điều hịa kép Vũ Thị Bích Qun, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Ví dụ 2.1 Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng qua ba điểm A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) hình 2.1 Lời giải: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C x1 x2 x3 x x x + + = 1⇒ ϕ = + + − a b c a b c ur ur ur ⇒ gradϕ = e1 + e2 + e3 a b c Xác định véc tơ pháp tuyến đơn vị 1 r gradϕ ur ur ur a b c v= = e1 + e2 + e3 2 2 2 2 gradϕ      1    1  1    1  1 + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + ÷ + ÷  a   b  c   a   b  c   a   b  c  Khi a=b=c, mặt nghiêng với ba trục tọa độ r ±1 ur ±1 ur ±1 ur v= e1 + e2 + e3 3 Vũ Thị Bích Quyên, HAU a CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ 2.1.5 VÉC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT Các thành phần Véc tơ Các đại lượng vật lý lực, vận tốc, gia tốc biểu diễn không gian dạng véc tơ hình 2.2 r ur uu r uu r a = a1 + a2 + a3 r ur ur ur a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 a = a12 + a2 + a3 = Cosin phương véc tơ hệ trục tọa độ li = ; a a = 1, 2,3 l12 + l2 + l3 = Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Các phép tính vecto (xem lại phần tốn học) Ma trận biến đổi hệ trục tọa độ Xoay hệ trục tọa độ xi quanh gốc thành lập hệ trục tọa độ x’i (hình 2.3) ur ei Véc tơ đơn vị hệ trục tọa độ x’i uu r uu r ur e' i cij = cos ( xi ', xj ) = cos e',e i j ur uu r cij = cos ( xj , xi ' ) = cos e,e' j i Véc tơ đơn vị hệ trục tọa độ xi ( ( X1 X2 X3 X’1 C11 C12 C13 X’2 C21 C22 C23 X’3 C31 C32 C33 Vũ Thị Bích Quyên, HAU ) ) CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Quan hệ véc tơ đơn vị hệ trục tọa độ cũ uu r ur ur  e'  c c  uur   11 12 e2 '  = c21 c22  uur  c c e3 '   31 32 c13   e1  r  ur   c23 e2  = [ C ] e  ur c33  e3    {} uu r  e1   c ' c ' c '   e'  11 12 13 ur  ur    uur   e2  = c21 ' c22 c23  e2 '  = [ C' ] e'  ur  c ' c ' c '   uur  32 33  e3   31 e3 '  { } Ma trận C ma trận cosin phương hay ma trận chuyển hệ trục tọa độ Điều kiện cần đủ để C ma trận chuyển hệ trục tọa độ * Đối hệ tọa độ trục * Đối hệ tọa độ trục cũ c112 + c122 + c132 = 2 c112 + c21 + c31 =1 2 c21 + c22 + c23 =1 2 c122 + c22 + c32 =1 c + c + c =1 2 c132 + c23 + c33 =1 31 32 33 c11c21 + c12 c22 + c13c23 = c11c12 + c21c22 + c31c32 = c21c31 + c22 c32 + c23c33 = c12 c13 + c22 c23 + c32 c33 = c31c11 + c32 c12 + c33c13 = c13 c11 + c23c21 + c33c31 = Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Thay đổi thành phần véc tơ biến đổi hệ trục tọa độ a1 ' = ac + a2 c12 + a3 c13 = ∑ c1 j aj 11 a2 ' = ac + a2 c22 + a3 c23 = ∑ c2 j aj 21 Viết dạng rút gọn a3 ' = ac + a2 c3 + a3 c33 = ∑ c3 j aj 31 ' = ∑ cij aj 2.1.6 TENXƠ HẠNG HAI aij ' = ∑ cikcjkakl Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ * Đối hệ tọa độ trục cũ: 2 c112 + c21 + c31 =1 2 c122 + c22 + c32 =1 2 c132 + c23 + c33 =1 c11c12 + c21c22 + c31c32 = c12 c13 + c22 c23 + c32 c33 = c13c11 + c23 c21 + c33 c31 = Vũ Thị Bích Quyên, HAU Chương II – Một số khái niệm Tenxơ BÀI TẬP CHƯƠNG II Bài 2.1 Xác định hàng cuối ma trận cấp (3x3) cho để ma trận biến đổi hệ trục tọa độ: 3 5 0  c31  c32 −  0 1  c33   Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij:         2 2 2 2 1 −  2 2  1 −   Và véc tơ b(1,2,3) , c(2,1,1) Tìm véc thành phần vecto tổng a =b+c phép biến đổi hệ trục tọa độ HẾT CHƯƠNG ... cũ c1 12 + c 122 + c1 32 = 2 c1 12 + c21 + c31 =1 2 c21 + c 22 + c23 =1 2 c 122 + c 22 + c 32 =1 c + c + c =1 2 c1 32 + c23 + c33 =1 31 32 33 c11c21 + c 12 c 22 + c13c23 = c11c 12 + c21c 22 + c31c 32 = c21c31... KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ * Đối hệ tọa độ trục cũ: 2 c1 12 + c21 + c31 =1 2 c 122 + c 22 + c 32 =1 2 c1 32 + c23 + c33 =1 c11c 12 + c21c 22 + c31c 32 = c 12 c13 + c 22 c23 + c 32 c33 = c13c11 + c23 c21 + c33... c31c 32 = c21c31 + c 22 c 32 + c23c33 = c 12 c13 + c 22 c23 + c 32 c33 = c31c11 + c 32 c 12 + c33c13 = c13 c11 + c23c21 + c33c31 = Vũ Thị Bích Quyên, HAU CHƯƠNG – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Thay