CHUONG 3 cơ môi trường liên tục

CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT 3.1 Khái niệm nội lực, ứng suất – Hệ thống ký hiệu Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác phần tử vật chất môi trường có tác động nguyên nhân (ngoại lực, nguồn nhiệt…) Ứng suất: Cường độ phân bố nội lực Ký hiệu ν pháp tuyến mặt cắt Biểu diễn véc tơ ứng suất toàn phần qua thành phần hình chiếu ba trục tọa độ uu r ur ur ur ur p  p e1  p e2  p e3  p i ei p  p2  p2  p2 uuu r uu r P p  limS�0 S - Ứng suất toàn phần Biểu diễn véc tơ ứng suất toàn phần qua thành phần véc tơ ứng suất pháp tiếp mặt cắt uu r uur uur p       p   2   2 Chương III – Lý thuyết ứng suất Qui ước dấu ứng suất: - Ứng suất mang dấu dương pháp tuyến mặt cắt chiều ứng suất có dấu hệ trục tọa độ chung - Ứng suất mang dấu âm pháp tuyến mặt cắt chiều ứng suất có dấu ngược hệ trục tọa độ chung Trạng thái ứng suất điểm - Các cách biểu diễn tenxơ ứng suất  11  12  13 � � � T  �    21 22 23 � � �  31  32  33 � � �  xx  xy  xz � � � � T  �  yx  yy  yz � �  zx  zy  zz � � �  xx  xy  xz � � � � T  �  yx  yy  yz � �  zx  zy  zz � � � Chương III – Lý thuyết ứng suất 3.2 Điều kiện cân 3.2.1 Phương trình vi phân cân Xét vật thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng ngoại lực gồm: Lực bề mặt tác dụng phần toàn bề mặt vật thể đặc trưng cường độ f * (lực đơn vị diện tích) với hình chiếu lên trục toạ độ x1 , x2 , x3: f*i ( f *1 , f *2 , f *3 ) Lực thể tích lực phân bố thể tích vật thể đặc trưng cường độ f (lực đơn vị thể tích) với hình chiếu lên trục tọa độ x1, x2, x3 f1, f2 , f3 Dưới tác động vật thể nằm trạng thái cân tĩnh động phần tử nằm trạng thái cân tương ứng Chia nhỏ vật thể thành phân tố họ mặt phẳng vuông góc trục toạ độ, nhận được: - phân tố hình hộp có sáu mặt nằm vật thể (phân tố loại - nằm bên S) - phân tố có mặt bề mặt vật thể(phân tố loại - nằm sát mặt S), trường hợp tổng quát hình tứ diện Chương III – Lý thuyết ứng suất Điều kiện cân phân tố loại Khảo sát cân phần tử loại lấy điểm K(xi) Lực tác động lên phân tố bao gồm: - Ngoại lực thể tích có hình chiếu cường độ fi - Nội lực ứng suất sáu mặt  11  12  13 � � � T  �    21 22 23 � � �  31  32  33 � � � Mặt vng góc x1 qua điểm (x1+dx1,x2,x3), khai triển chuỗi Taylor bỏ qua vô bé bậc cao có ứng suất mặt sau: �  11 �  �  dx1 ;  12  12 dx1 ;  13  13 dx1 � x1 � x1 � x1  21 �  �  Thực tương tự với mặt vng góc x2  21  � dx2 ;  22  22 dx2 ;  23  23 dx2 � x2 � x2 � x2 qua điểm (x1,x2+dx2,x3) vuông góc �  �  �  x3 qua điểm (x1,x2,x3+dx3)  31  31 dx3 ;  32  32 dx3 ;  33  33 dx3 � x3 � x3 � x3  11  Chương III – Lý thuyết ứng suất Phương trình cân phân tố: � � �   11  11 dx1 � dx2 dx3 �x1    11dx2 dx3  � � x � � � � �  21  21dxdx    dx dxdx3 � 21 � � x � � � � �  31  31dxdx    dx dxdx2 � 31 2 � � x � �  f1dxdx dx3  Sau rút gọn nhận PTCB Navier - Cauchy Trường hợp cân tĩnh �  11 �  �   21  31  f1  � x1 � x2 � x3 �  12 �  �   22  32  f2  � x1 � x2 � x3 �  13 �  �   23  33  f3  � x1 � x2 � x3 Trường hợp cân động �  �  �  du   f  11 � x1 21 � x2 31 � x3 1 dt �  12 �  22 �  32 d2 u2    f2   � x1 � x2 � x3 dt �  13 �  23 �  33 d2 u3    f3   � x1 � x2 � x3 dt Dưới dạng rút gọn �  ji � d ui �  fi  � � � xj � dt � Chương III – Lý thuyết ứng suất  xy � �  xx �    xz  f x  � x � y � z �  yx �  yy �    yz  f y  � x � y � z  �  zx � �   zy  zz  f z  � x � y � z Viết dạng ma trận  11 � � � �  �/ � x1 0 �/ � x2 �/ � x3 �� 22 � �f1 � �� � � �  �0 �� 33 � �f � �� � / � x � / � x � / � x 0 � �2 � �� � ��  12 � � � �� � � � 0 � / � x � / � x � / � x f3 ��� � � �  23 � � T ma trËn c¸c  31 � �  �      f   toán tử vi phân nh lut đối ứng ứng suất tiếp - Từ phương trình cân mô men phân tố trục tọa độ nhận  12   21 ;  23   32 ;  13   31 Dưới dạng rút gọn  ij   ji Trong hệ trục tọa độ oxyz Chương III – Lý thuyết ứng suất Điều kiện cân phân tố loại – Điều kiện biên theo ứng suất Xét phân tố tứ diện thể tích dV, ba mặt vng góc trục tọa độ có diện tích dS1, dS2, dS3, mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngồi ν có diện tích dS với cosin phương li Khi dSi=dS.li Lực tác động lên phân tố bao gồm: - Lực thể tích fi - Lực bề mặt f*i Phương trình cân phân tố: �x1  11dS1   21dS21   31dS3  f1 * dS  f1dV3  Thể tích phân tố dV VCB bậc bỏ qua so với dS VCB bậc Thay vào phương trình cân nhận được:  11l1   21l2   31l3  f1 *  12 l1   22 l2   32 l3  f2 * Thực tương tự với hai phương lại  13 l1   23 l2   33 l3  f3 * Viết dạng rút gọn  l  f* ji j i Chương III – Lý thuyết ứng suất Điều kiện cân phân tố loại – Điều kiện biên theo ứng suất Trong hệ trục tọa độ oxyz  xxlx   yx ly   zxlz  fx *  xylx   yy ly   zylz  fy *  xzlx   yzly   zzlz  fz * Viết dạng ma trận  11 � � � �  22 l1 0 l2 l3 �� � �f1 * � �  33 � � � � � � �� l l l � � � � �f *� � 0 l3 l2 l1 �� 12 � �f *� ��� �  23 � � �  31 � �  L      f *  L ma trËn cosin chØ ph¬ng pháp tuyến mặt vật thể đàn hồi Chương III – Lý thuyết ứng suất 3.2 Ứng suất mặt cắt nghiêng Xét phân tố có ba mặt vng góc mặt nghiêng Mặt nghiêng có ứng suất tồn phần hình chiếu ba trục tọa độ đóng vai trị lực mặt phân tố tứ diện Xác định hình chiếu ứng suất mặt cắt nghiêng p i   ji lj  11  12  13 ��l1 � �p � � p   11l1   21l2   31l3 � � � �� p �  21  22  23 ��l2 � � � � p   12 l1   22 l2   32 l3 �p � � �l � �     31 32 33 ���� p   13 l1   23 l2   33 l3  p       L Xác định ứng suất toàn phần p  p21  p22  p23 Xác định ứng suất pháp tiếp mặt cắt nghiêng Ứng suất pháp    p i li   p p �l1 � T �� p  � l2 �  p   L � l3 � � Ứng suất tiếp    p2   2    p21  p22  p23   2 a Chương III – Lý thuyết ứng suất 3.3 Trạng thái ứng suất – Ten xơ ứng suất - Trạng thái ứng suất điểm tập hợp tất thành phần ứng suất tất mặt cắt qua điểm - Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí điểm xét phương pháp tuyến mặt cắt - Trạng thái ứng suất phụ thuộc vào vị trí điểm xét Như trạng thái ứng suất đặc trưng cho trạng thái chịu lực điểm khác môi trường Trạng thái ứng suất biểu diễn dạng tenxơ hạng hai  11  12  13 � � � T  �    22 23 � 21 � �  31  32  33 � � � Ứng suất biến đổi hệ trục tọa độ  ij '  cikcjk kl X1 X2 X3 X’1 C11 C12 C13 X’2 C21 C22 C23 X’3 C31 C32 C33 a Chương III – Lý thuyết ứng suất Tenxơ lệch tenxơ cầu ứng suất Ứng suất pháp trung bình  tb    11   22   33   11   tb  12  13 � �  tb 0 � � � �0  T  �  21    tb  0� 22 23 tb � �� � �  32  33   tb � �  31 �� �0  tb � � T  D  To Tenxơ cầu ứng suất gây nên biến dạng thể tích, tenxơ lệch ứng suất gây nên biến đổi hình dáng Tenxơ lệch ứng suất Tenxơ cầu ứng suất  11   tb  12  13 � � � D  �  21    tb  22 23 � � �  32  33   tb � �  31 �  tb 0 � � To  �0  tb � � � � �0  tb � � a Chương III – Lý thuyết ứng suất 3.4 Mặt chính, ứng suất Mặt – mặt khơng có ứng suất tiếp Phương – phương pháp tuyến mặt Ứng suất - ứng suất pháp mặt Giả sử phương ν có cosin phương hệ toạ độ xi li, ứng suất σ Vì mặt có ứng suất tiếp 0, nên ứng suất tồn phần pν có phương trùng với pháp tuyến ν có giá trị σ, hình chiếu pνi trục ứng suất toàn phần là: p i   l j Thay giá trị thành phần hình chiếu vào phương trình cân mặt cắt nghiêng   11    l1   21l2   31l3   11l1   21l2   31l3   l1 �  12 l1   22 l2   32 l3   l2  12 l1    22    l2   32 l3   13 l1   23 l2   33 l3   l3  13 l1   23 l2    33    l3  Điều kiện để khơng có nghiệm tầm thường  11   � Det �  21 � � �  31  12  13 �  22    23 � 0 �  32  33   � � l12  l22  l32  a Chương III – Lý thuyết ứng suất Sau khai triển ta nhận phương trình bậc   I1  I 2  I  I1   11   22   33 Trong  11  12 �  22  23 �  11  31 � � � � I  Det � � Det � � Det �      13  33 � � 21 22 � � 32 33 � � �   11 22   22 33   33 11   12   23   312  11  12  13 � � � I1, I2, I3 Bất biến thứ nhất, thứ hai, thứ ba I  Det �    21 22 23 � � trạng thái ứng suất điểm �  31  32  33 � � � Giải phương trình bậc ba nhận ứng suất ký hiệu  , , Quy ước      Sau xác định ứng suất thay vào hai ba phương trình cân phương trình tổng bình phương cosin phương để xác định cosin phương phương hệ tọa độ chung Kết có ba phương ba ứng suất  11    l1   21l2   31l3   12 l1    22    l2   32 l3   13 l1   23 l2    33    l3  l12  l22  l32  a Chương III – Lý thuyết ứng suất Ba phương trực giao thành lập hệ trục tọa độ trục 1,2,3, trùng với phương ứng suất Trong hệ trục tọa độ tenxơ ứng suất có dạng 1 0 � � T  �0  � � � � �0  � � Các bất biến I1       I   1   2   3 I   1 2 Tùy theo giá trị ứng suất chính, phân loại ứng suất thành trạng thái ứng suất đơn, trạng thái ứng suất phẳng, trạng thái ứng suất khối a Chương III – Lý thuyết ứng suất 3.4 Ứng suất tiếp cực trị Những mặt có ứng suất tiếp cực trị mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45 độ so với trục ứng suất Mặt có ứng suất tiếp cực trị gọi mặt trượt Ứng suất tiếp cực trị gọi ứng suất tiếp  max ,1  1   3  1 ; max ,2  ; max ,3  ; 2 3.5 Cường độ ứng suất Cường độ ứng suất trị số tỉ lệ với bậc hai bất biến thứ hai tenxơ lệch ứng suất Với hệ số tỷ lệ khác nhau, ta có định nghĩa cường độ ứng suất khác Cường độ ứng suất tiếp  i  I  D  Cường độ ứng suất pháp i  2     2  i  I  D          1  2 a Các ví dụ chương Ví dụ – Xác định ứng suất chính, phương ứng suất chính, ứng suất tiếp cực trị 1� � Trạng thái ứng suất cho ten xơ T  � 2� � � � 3� � � 1.Thiết lập phương trình   I   I   I  2 I1   11   22   33     2� 2� 1� � � � I  Det � � Det � � Det � � 0� 3� 3� � � � 1� � I  Det � 2�  16 � � � 3� � �   6  16  Giải kết     3  a Các ví dụ chương Xác định cosin phương ứng suất Lần lượt thay giá trị ứng suất vào hai ba phương trình cân phương trình tổng bình phương cosin phương Xác định ứng suất tiếp cực trị  max ,1  1   3  1 ; max ,2  ; max ,3  ; 2  11    l1   21l2   31l3   12 l1    22    l2   32 l3   13 l1   23 l2    33    l3  l12  l22  l32  a Các ví dụ chương Ví dụ – Tính ứng suất mặt cắt nghiêng Trạng thái ứng suất cho ten xơ �3 x2 T  � 2 x x � � � 2 x1 x2 0� x2 x3 �kN / cm2 � x3 x3 � � Tính ứng suất tồn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp điểm K(1,2,1) mặt cắt cho phương trình x1  x3  12 4 � � Tenxơ ứng suất điểm K TK  � 4 1� � � � 1� �0 � Xác định cosin phương pháp tuyến mặt phẳng điểm K �  �  �  4 0  3 � x1 � x2 � x3 a Các ví dụ chương l1   �  � x1 2 ��  � ��  � �� �   � � � � � � x1 � �� x2 � �� x3 � �� 4    3  2 l2   0,8 �  � x3 l3  2 ��  � ��  � �� �   � � � � � � x1 � �� x2 � �� x3 � �� 3   0, 2    3  Xác định ứng suất thành phần chiếu lên ba trục  11  12  13 ��l1 � � 12 4 ��0,8 � �� �p � � � � � � � �� �� � ��kN / cm2 p     l   4 � � �21 22 23 ��2 � � �� � �� �p � �  31  32  33 ��l3 � � 1��0, � �� 3 ���� ���� Xác định ứng suất toàn phần Xác định ứng suất ứng suất pháp Xác định ứng suất ứng tiếp p  p21  p22  p23    p i li   p    p2   2 p �l1 � �� p  � l2 � � l3 � � a Các ví dụ chương Ví dụ – Tenxơ lệch ứng suất Trạng thái ứng suất cho ten xơ 1� � T  � 2�kN / cm2 � � � 3� � � Viết tenxơ lệch ứng suất, tìm giá trị phương ten xơ lệch Xác định tenxơ lệch  11   tb  12  13 � �  tb 0 � � � �0  T  �  21    tb  0� 22 23 tb � �� � �  32  33   tb � �0  tb � � �  31 ��  11   tb  12  13 � � � D  �  21    tb  22 23 � �  tb    11   22   33  �  32  33   tb � �  31 � Xác định giá trị ứng suất chính, phương tương tự VD1 a Các ví dụ chương l1  �  � x1 2 ��  � ��  � �� �   � � � � � � x1 � �� x2 � �� x3 � ��   0,8 2    3  l2  �  � x3 l3  2 ��  � ��  � �� �   � � � � � � x1 � �� x2 � �� x3 � �� 3   0, 2    3  Xác định ứng suất thành phần chiếu lên ba trục  11  12  13 ��l1 � � 12 4 ��0,8 � �� �p � � � � � � � �� �� � ��kN / cm2 p     l   4 � � �21 22 23 ��2 � � �� � �� �p � �  31  32  33 ��l3 � � 1��0, � �� 3 ���� ���� Xác định ứng suất toàn phần Xác định ứng suất ứng suất pháp Xác định ứng suất ứng tiếp p  p21  p22  p23    p i li   p    p2   2 p �l1 � �� p  � l2 � � l3 � � BÀI TẬP CHƯƠNG III Bài 3.1 Tìm ứng suất phương trạng thái ứng suất cho tenxơ: 4 1 T   2 (kN / cm ) 1 4 Bài 3.2 Cho tenxơ ứng suất  x 2 xy z3    T   xy  z  (kN / cm )  z  2z y    Hãy tính ứng suất điểm P(2,2,1) mặt cắt cho phương trình: 2x-y+2z=4 Chương III – Lý thuyết ứng suất Bài 3.3 Cho tenxơ ứng suất:  1 T  2 ( kN / cm ) 1 4 1- Viết tenxơ lệch ứng suất tìm giá trị chính, phương tenxơ lệch 2- Tìm ứng suất tiếp lớn Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất điểm O vật thể đàn hồi:   T       3 2   3 ( kN / cm )  Hãy xác định ứng suất tiếp cực trị ứng suất mặt nghiêng với phương điểm O Chương III – Lý thuyết ứng suất Bài 3.5 Trên hình vẽ biểu diễn mặt cắt ngang thân đê (AOB) chịu tác dụng áp lực nước bờ OB x O  y q=y A B y 1- Hãy viết điều kiện biên biết: q y 2- Giả sử tính ứng suất thân đề là:  x  y;    p  2      x    x    p  y   tg tg    tg       xy  yx  x  tg    z  xz  zx  yz  zy 0  Hãy thử xem với điều kiện hệ ứng suất thỏa mãn phương trình cân Tìm tải trọng tác dụng nên bờ OA, OB HẾT CHƯƠNG ...   31 l3   11l1   21l2   31 l3   l1 �  12 l1   22 l2   32 l3   l2  12 l1    22    l2   32 l3   13 l1   23 l2   33 l3   l3  13 l1   23 l2    33    l3 ... (x1,x2,x3+dx3)  31  31 dx3 ;  32  32 dx3 ;  33  33 dx3 � x3 � x3 � x3  11  Chương III – Lý thuyết ứng suất Phương trình cân phân tố: � � �   11  11 dx1 � dx2 dx3 �x1    11dx2 dx3 ... 22  23 �  11  31 � � � � I  Det � � Det � � Det �      13  33 � � 21 22 � � 32 33 � � �   11 22   22 33   33  11   12   23   31 2  11  12  13 � � � I1, I2, I3 Bất