CƠ học môi TRƯỜNG LIÊN tục

Chng 1 C HC MễI TRNG LIấN TC Đ1. Mở đầu Đối tợng nghiên cứu của cơ học môi trờng liên tục Trong các phần trớc ta đã nghiên cứu chuyển động cơ học của hệ gồm N< chất điểm hoặc cơ hệ gồm vô số chất điểm N= nhng khoảng cách giữa hai vật không thay đổi trong quá trình chuyển động (vật rắn tuyệt đối). Nội dung nghiên cứu là thiết lập các phơng trình vi phân mô tả chuyển động và tơng tác trong hệ cũng nh các phơng pháp xây dựng các mối liên hệ hữu hạn giữa chuyển động của hệ và tơng tác. Trong phần này ta sẽ nghiên cứu bài toán đó đối với cơ hệ gồm vô số chất điểm tuỳ ý (N =), mà khoảng cách giữa các chất điểm thay đổi trong quá trình chuyển động Có hai lĩnh vực khoa học nghiên cứu vấn đề này: Vật lý và cơ học. Các thuyết vật lý nghiên cứu cấu trúc hạt (phân tử, nguyên tử ) sự chuyển động của chúng và sự tơng tác giữa các hạt. Sự nghiên cứu theo hớng đó biểu thị quan điểm vi mô đối với bài toán này và cho các kết quả sâu sắc về bản chất bên trong của sự tơng tác và chuyển động của các hạt của môi trờng. Tuy nhiên các kết quả nghiên cứu theo h ớng này khó vận dụng vào các bài toán thực tế kỹ thuật nghiên cứu các môi trờng đàn hồi, dẻo và thuỷ khí Tồn tại một quan điểm khác nghiên cứu vấn đề này, thích ứng hơn với thực tiễn và bổ khuyết cho những hạn chế của quan điểm vật lý trình bày ở trên. Đó là lĩnh vực cơ học môi trờng liên tục. Lĩnh vực này không quan tâm đến cấu trúc vi mô của vật chất mà coi môi trờng nh một phần không gian chứa đầy một cách liên tục một loại vật liệu nào đó. Nh vậy tính liên tục là một đặc điểm (giả thiết) cơ bản để nghiên cứu bài toán này. Cách nghiên cứu một môi trờng thực tế nh vậy gọi là nghiên cứu theo quan điểm vĩ mô. Nh vậy, CHMTLT là môn khoa học nghiên cứu chuyển động vĩ mô và cân bằng của chất khí, chất lỏng và vật rắn biến dạng. Giả thiết cơ bản của CHMTLT là có thể xem vật chất nh là một môi trờng đậm đặc liên tục. Bỏ qua cấu trúc nguyên tử, đồng thời có thể xem tất cả các đại lợng đặc trng của chúng (mật độ, ứng suất, tốc độ phần tử ) phân bố liên tục trong môi trờng. Vì vậy có thể sử dụng trong Cơ học Môi trờng liên tục công cụ các hàm liên tục. Nhờ giả thiết liên tục của môi trờng ta có thể coi cả môi tr ờng đợc hợp thành từ các phân tố sắp xếp liên tục và áp dụng các định luật chuyển động của cơ học lý thuyết đã biết cho các phân tố đó và về mặt toán học có thể mô tả các đại lợng cần thiết (vị trí, vận tốc, gia tốc, ) qua các hàm liên tục hoặc khả vi và áp dụng các quy tắc của toán học giải tích. Đ2. Các khái niệm và các phép tính tenxơ 1. Một vài ký hiệu và quy ớc 1.1 Cũng nh các khoa học khác, CHMTLT cần phải nghiên cứu các đại l ợng có cùng bản chất. Trong trờng hợp này, ngoài các ch số để chỉ ý nghĩa chung còn ghi thêm các chỉ số để chỉ những nghĩa riêng phân biệt những đối tợng cụ thể. Ví dụ ta dùng các chữ x 1 , x 2 , x 3 để chỉ các toạ của điểm theo 3 phơng của một hệ trục toạ độ nào đó. Ví dụ khác ta dùng các chỉ số kép ký hiệu các mô men quán tính và tính quán tính đối với hệ trục toạ độ nào đó. J 11 - Mô men quán tính đối với trục x J 12 - Tích quán tính đối với mặt phẳng xy Ta nói các đại lợng dùng một chỉ số lập thành các hệ thống hạng nhất, các đại lợng dùng 2 chỉ số lập thành các hệ thống hạng 2. Tơng tự, có thể diễn đạt các đại lợng khác bằng các hệ thống hạng cao hơn bằng nhiều chỉ số hơn: a ijk , a ij k a. Nếu trong một biểu thức, một chỉ số nào đó đợc nhắc lại 2 lần thì ta phải lấy tổng đối với chỉ số đó. Ví dụ: Có thể viết là a i y i Quy ớc đó đợc áp dụng cả cho phép tính đạo hàm. Chẳng hạn: 1.2. Quy ớc về chỉ số: = +++= n i nnii yayayaya 1 2211 n n iii k k i dq q x dq q x dq q x dq q x ++ + = 2 2 1 1 Các chỉ số thực hiện phép lấy tổng đợc gọi là chỉ số câm. Các chỉ số khác gọi là các chỉ số tự do. - Ký hiệu Kronecker Dùng ký hiệu này ta có thể viết tổng: Bằng cách viết: những chỉ số trong ký hiệu cronecker có thể viế cả trên hay dới tuỳ theo điều kiện sử dụng 1.3. Các ký hiệu Kronecker và Spin = = ji ji ij 0 1 ( ) 2 n 1i i 2 dxdS = = jiji 2 dxdxdS = i j ji ji ,, - Ký hiệu Spin (Phản đối xứng). a. Ký hiệu Spin hai chỉ số: ij : (i, j = 1, 2) Dùng ký hiệu Spin hai chỉ số có thể viết định thức hạng hai dới dạng: ( ) ( ) ( ) ==> ==< == = 1,21 2,11 2,1, jiji jiji jijio ji 2121 2221 1211 aaaa aa aa D jiji === b. Ký hiệu Spin ba chỉ số: Dùng chỉ số ký hiệu Spin ba chỉ số có thể biểu diễn định thức bậc 3 dới dạng: = 1 1 0 kji Nếu 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau Nếu i, j, k là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3 Nếu i, j, k là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3 ( )( )( ) ikkjji kji = 2 1 321321 333231 232221 131211 3 aaaaaa aaa aaa aaa D kjikji === 2. Phép biến đổi toạ độ. Các vectơ cơ sở a. Hệ toạ độ và đờng toạ độ: Giả sử ta có hai hệ toạ độ: x 1 , x 2 , x 3 và y 1 , y 2 , y 3 . Nếu cho hai toạ độ không đổi, còn toạ độ còn lại thay đổi, ta đợc một đờng gọi là đờng toạ độ. x 2 x 2 =c 22 x 2 =c 21 x 1 =c 11 x 1 =c 12 x 1 Đờng toạ độ trong hệ toạ độ Descarte Đờng toạ độ trong hệ toạ độ cực [...]...b Các véc tơ cơ sở: Giả sử có hai điểm M và M' khá gần nhau trong không gian Đặt MM = d r ta có theo định nghĩa: r r = lim xi x0 xi Véc tơ này hướng theo véc tơ tiếp tuyến với đường toạ độ: dr = Biểu thức r dxi (vì có thể coi là hàm của x1, x2 , x3) xi r =ei i x gọi là các véc tơ cơ sở Các véc tơ này hướng theo các véc tơ tiếp tuyến của các đư ờng... véc tơ cơ sở ei a=a e i i Trong đó các thành phần ai thay đổi khi biến đổi toạ độ theo luật: aj = ai bi j Rõ ràng véc tơ a bất biến a = a j ej = ai bi j e /j = ai ei Vay a là một Tenxơ hạng nhất  Tenxơ hạng hai và hạng cao Ta xét một đối tượng T có các thành phần Ti j trong một hệ toạ độ nào đó và viết: T = Ti j ei e j Giả sử các thành phần Tị j thay đổi theo luật Ti j = b p i bq iT p q Trong trường. .. Tenxơ hạng 4 là đối tượng T có các phần tử Tpqrs sao cho khi biến đổi hệ toạ độ các thành phần này biến đổi theo quy luật: Tiklm = b pi bqk brl bsmT pqrs Trong trường hợp này T tạo thành Tenxơ vì nó bất biến qua phép biến đổi tọa độ Cũng như trường hợp trên, nếu ta viết T dưới dạng: , , T = Ti'k l m ei, ek, el, em = b p i bq k br l bs m T p q r s ei, ek, el, em = T p q r s e p eq er es Thì ta thấy ngay . tử ) phân bố liên tục trong môi trờng. Vì vậy có thể sử dụng trong Cơ học Môi trờng liên tục công cụ các hàm liên tục. Nhờ giả thiết liên tục của môi trờng ta có thể coi cả môi tr ờng đợc. trên. Đó là lĩnh vực cơ học môi trờng liên tục. Lĩnh vực này không quan tâm đến cấu trúc vi mô của vật chất mà coi môi trờng nh một phần không gian chứa đầy một cách liên tục một loại vật liệu. TC Đ1. Mở đầu Đối tợng nghiên cứu của cơ học môi trờng liên tục Trong các phần trớc ta đã nghiên cứu chuyển động cơ học của hệ gồm N< chất điểm hoặc cơ hệ gồm vô số chất điểm N= nhng khoảng