ĐỘNG học môi TRƯỜNG LIÊN tục

Chng 2 NG HC MễI TRNG LIấN TC Một MTLT có thể coi là một tập hợp vô hạn những điểm vật chất, đợc gọi là phần tử. Tại mỗi thời điểm, mỗi phần tử của môi tr ờng chiếm một vị trí điểm của không gian hay còn gọi tắt là điểm để phân biệt với phần tử của môi trờng. Tại mỗi thời điểm , môi trờng có hình dạng nhất định có thể tích V , giới hạn bởi mặt S và chiếm một miền R xác định trong không gian. Trong quá trình thời gian các điểm vật chất có sự dịch chuyển làm cho hình dạng và thể tích môi trờng thay đổi. S thay đổi này đ ợc gọi là sự biến dạng. Trong chơng này nghiên cứu sự dịch chuyển cũng nh biến dạng và vận tốc của biến dạng. Trong nghiên cứu chúng ta chỉ có thể quan tâm chủ yếu đến trạng thái đầu và trạng thái cuối của chuyển dịch hay biến dạng, mà không quan tâm đến quá trình chuyển dịch hay biến dạng. Để nghiên cứu chuyển động của MTLT, có thể sử dụng hai phơng pháp là Euler và Lagranger. Đ1. các phơng pháp lagrange và euler các phơng pháp lagrange và euler nghiên cứu động học môi trờng liên tục nghiên cứu động học môi trờng liên tục 1. Phơng pháp Lagrange Thực chất của phơng pháp Lagrange là coi môi trờng là tập hợp các điểm chuyển động. Nghiên cứu động học môi trờng tức là thiết lập phơng trình chuyển động của từng hạt riêng biệt. Giả sử hạt M tại thời điểm đầu ta có vị trí 1 , 2 , 3 . Chuyển động của điểm M là sự thay đổi của các toạ độ x 1 , x 2 , x 3 theo t: (3.1) (3.1) Hay viết dới dạng véc tơ: Đôi khi ta viết: Những phơng trình vừa viết gọi là phơng trình chuyển động dới dạng Lagrange, các biến , t gọi là các biến Lagrange. ( ) ( ) 3,2,1;,,, 321 == itxx ii ( ) txx , = ( ) txx , = 2. Phơng pháp Euler Ngợc với phơng pháp Lagrange, phơng pháp Euler khảo sát các đại lợng cơ học và các đặc trng của môi trờng trong không gian cố định chứa môi trờng. Chẳng hạn: = (x, t) cho ta biết tại vị trí x và thời điểm t hạt môi trờng nào nằm ở đó. Ví dụ khác, v(x,t) cho ta biết vận tốc của hạt đang ở tại vị trí x và thời điểm t Rõ ràng nếu ta biết một đại lợng v(x,t) thì nếu đứng tại vị trí cố định x trong không gian ta sẽ lần lợt quan sát thấy dòng các hạt đi qua x với vận tốc v. Ta nói một đại lợng nào đó biểu thị qua biến Euler xác định một tr ờng đại lợng đó. Ví dụ: = (x, t) trờng vị trí , trờng vận tốc v(x,t), trờng nhiệt độ T(x,t). 3. Vận tốc và gia tốc của điểm 3.1. Trong biến Lagrange: Theo định nghĩa: (3.2) (3.3) x dt dx v == x dt dv w == dt dv w = 3.2. Trong biến Euler: Giả sử ta biết trờng vận tốc v: v=v (x,t); Theo các thành phần: (3.4) dt dx x v t v dt dv w j j iii i + == j j ii i v x v t v w + = 4. Mối liên hệ giữa hai phơng pháp nghiên cứu Ta nhận thấy trong phơng pháp Lagrange nếu cho tr ớc giá trị thì t thay đổi theo dõi đợc sự thay đổi của một hạt cụ thể của môi trờng. Còn trong phơng pháp Euler nếu cho trớc x ta biết đợc trạng thái của các hạt khác nhau đi qua điểm x tại những điểm khác nhau. Vì vậy, giữa hai phơng pháp có quan hệ với nhau và về mặt toán học thì biểu diễn qua nhau. Ví dụ: Giả sử cho quy luật chuyển động của một môi trờng liên tục theo biến Lagrange: Vì Jacobiên của hệ bằng 1 nên ta có thể viết: += += = 33 22 322 11 x tx x = = = 33 22 322 11 x txx x Hình ảnh của các biển diễn toán học này nh sau: Giả sử ta khảo sát hai hệ toạ độ O x 1 x 2 x 3 và O 1 2 3 trùng nhau và một đoạn thẳng có độ dài a. Tại thời điểm đầu nó nằm ở trên trục 3 . Hệ thức này mô tả đoạn thẳng tại thời điểm đầu. = = = 3 2 1 )0(0 0 a 1 2 3 A a x 3 x 1 , x 2 , Hình 1 Khi t thay đổi, theo phơng pháp Lagrange các điểm (theo ) của đoạn thẳng này chuyển dịch theo phơng trình: x 1 = 0 x 2 = 2 t 2 x 3 = tức là đoạn thẳng này biến thành các cung Parabol. Theo phơng pháp Euler, tại vị trí A(0,0,a) ta thấy quy luật chuyển địch của các hạt là: 1 = 0, 2 = a 2 t 2 , 3 = a tức là các hạt đi qua A càng nhanh và chuyển động song song với trục 2 . Nh vậy hai phơng pháp nghiên cứu ở trên là tơng đơng. Việc sử dụng phơng pháp nào là tuỳ thuộc vào nội dung bài toán cụ thể. Đ2. Lý thuyết biến dạng 1. Chuyển vị và biến dạng của môi trờng liên tục Khi nghiên cứu các môi trờng liên tục, sự dịch chuyển (thay đổi vị trí hay chuyển vị) kéo theo sự thay đổi thể tích và hình dạng của môi trờng. Những sự thay đổi này đợc gọi là biến dạng của môi trờng. Sự biến dạng của môi trờng là một đặc trng động học có tầm quan trọng đặc biệt trong việc nghiên cứu động học các môi trờng đàn hồi. Ngoài ra, trong cơ học môi trờng liên tục trong nhiều trờng hợp, thay cho việc sử dụng các toạ độ ngời ta sử dụng các chuyển vị của các điểm làm đối tợng nghiên cứu. 2.1. Ta khảo sát một thể tích môi trờng tại thời điểm t có dạng S 0 và sang thời điểm t + t có dạng S. Trong đó S 0 ta lấy hai điểm P 0 Q 0 rất gần nhau: d = P 0 Q 0 . Sau khoảng thời gian khá bé t, P 0 biến thành P và Q 0 biến thành Q và PQ = dx Ta xét trong các hệ toạ độ nh hình vẽ. Sự biến dạng của môi trờng đ ợc thể hiện thông qua sự thay đổi của véc tơ d do đó ta xét hiệu: iikk dddxdxddx = 22 2. Các tenxơ biến dạng Chú ý rằng, nếu dùng biến Lagrange thì: nên: Trong đó: (4.1) Các thành phần E ij lập thành một tenxơ hạng hai. Tenxơ này gọi là tenxơ biến dạng hữu hạn Green. Nếu dùng biến Euler, bằng cách làm tơng tự, ta đợc ten xơ hạng 2 gọi là Ten xơ biến dạng hữu hạn An măng xi: (4.2) i i k k d x dx = 2 2 k k i j i j i j i j x x dx d d d d d = jiji j k i k dd xx = jiji ddE 2= = ji j k i k ji xx E 2 1 = j k i k jiji xx L 2 1 [...]... - 1) ; x3 = 3et Hãy viết theo biến Euler 2 Trường chuyển dịch của môi trường liên tục đối với hệ trục xi và i trùng nhau được biểu thị như sau: x1 = 1 , x2 = 3 + C2 , x3 = 2 - C3 Trong đó C là hằng số khác 1 Hãy viết các thành phần chuyển vị theo biến Euler Tính ten xơ hữu hạn của trường chuyển vị theo biến Euler 3 Trường chuyển dịch của môi trường liên tục đối với hệ trục xi và i trùng nhau được... góc và chuyển vị gây biến dạng u() Chuyển vị tịnh tiến và chuyển động quay vẫn có thể xảy ra khi phần tử và lân cận của nó rắn tuyệt đối Vì vậy, các thành phần của mang ý nghĩa như là vận tốc góc quay của các phần tử môi trường xung quanh Và thành phần của chuyển vị gây biến dạng là đặc trưng cho môi trường biến dạng  Bài tập: 1 Một môi trường chuyển dịch theo quy luật viết theo biến Lagrang : x1 =... Trong trường hợp chuyển vị bé thì toạ độ đầu và cuối của một phần tử rất gần nhau, gradien chuyển vị theo các biến Lagrange hoặc Euler gần bằng nhau Khi đó ta có thể xem ten xơ biến dạng bé cũng như ten xơ quay Lagrang và Euler tương ứng bằng nhau, nên có thể coi gần đúng: lij = eij ~ = ij ij Trường hợp biến dạng bé này rất hay gặp trong khi nghiên cứu các vật rắn biến dạng c ý nghĩa cơ học của... Euler Tính ten xơ hữu hạn của trường chuyển vị theo biến Lagrange và biến Euler Đ3 Tốc độ biến dạng nhỏ, tenxơ vận tốc biến dạng Các đặc trưng biến dạng có tầm quan trọng đặc biệt trong lý thuyết vật rắn biến dạng, còn trong lý thuyết chuyển động của các chất khí và chất lỏng (hoặc một vài chất rắn khác) một đặc trưng khác có ý nghĩa hơn đó là tốc dộ biến dạng Trong các trường hợp này chính biến dạng... hợp này chính biến dạng không có ý nghĩa căn bản mà cái chính là các biến dạng này diễn ra nhanh chậm như thế nào Tốc độ biến dạng là một đại lượng dùng để biểu thị độ nhanh chậm của các biến dạng của môi trường ... u i u j + 2 j i dui = ( ei j + i j ) d j d j Trong đó ei j được định nghĩa ở (4.7) Còn i j 1 u i u j = 2 j i Tenxơ có các thành phần ij được gọi là tenxơ quay Lagrange Trong trường hợp sử dụng biến Euler, làm tương tự như trên ~ du i = l i j + i j dxi ta có: ( Trong đó: ~ = 1 ui u j i j 2 x j xi ) ~ ~ Tenxơ có các thành phần i jđược gọi là tenxơ quay Euler b... bé Lagrang và ten xơ biến dạng bé Euler tương ứng e: và l: ei j 1 u i u i = + 2 j i li j 1 u i u i = + 2 x j xi (4.7) Những tenxơ này cũng là những tenxơ đối xứng hạng 2 b ý nghĩa cơ học của tenxơ biến dạng bé Ta xét ý nghĩa của các thành phần tenxơ li j Trước hết ta xét thành phần nằm trên đường chéo chính: e11, e22, e33 Cụ thể ta xét chẳng hạn e22 ta có: x3, 3 1 u 2 u 2 u 2 e22 . của môi trờng. Sự biến dạng của môi trờng là một đặc trng động học có tầm quan trọng đặc biệt trong việc nghiên cứu động học các môi trờng đàn hồi. Ngoài ra, trong cơ học môi trờng liên tục. liên tục nghiên cứu động học môi trờng liên tục 1. Phơng pháp Lagrange Thực chất của phơng pháp Lagrange là coi môi trờng là tập hợp các điểm chuyển động. Nghiên cứu động học môi trờng tức là thiết. vị và biến dạng của môi trờng liên tục Khi nghiên cứu các môi trờng liên tục, sự dịch chuyển (thay đổi vị trí hay chuyển vị) kéo theo sự thay đổi thể tích và hình dạng của môi trờng. Những sự