một số mô hình của môi trường liên tục

Chương 5 Một số mô hình của môi trường liên tục Nội dung: Trong chương này trình bày một số mô hình của môi trường liên tục: Mô hình vật rắn, mô hình chất lỏng (khí); đây là các phương trình xác định mô tả bản chất của từng môi trường cụ thể. 5.1. Môi trường đàn hồi tuyến tính 5.1.1. Định luật Hooke mở rộng Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính, liên hệ giữa ứng suất và biến dạng là tuyến tính: ij ijmn mn C σ ε = (5.1) (4.1) gọi là định luật Hooke mở rộng, các hệ số Cijmn gọi là các hằng số đàn hồi nếu như môi trường đàn hồi là thuần nhất (đồng chất). Nếu thêm giả thiết môi trường là đẳng hướng nữa thì tenxơ Cijmn chỉ còn hai hằng số độc lập. Định luật Hooke mở rộng cho môi trường đẳng hướng 2 ij ij ij σ λθδ µε = + (5.2) 5.1.1. Định luật Hooke mở rộng (tiếp) Viết cụ thể (4.2): ( ) ( ) ( ) 11 11 22 33 11 11 22 11 22 33 22 22 33 11 22 33 33 33 12 12 23 23 13 13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 σ λ ε ε ε µε λθ µε σ λ ε ε ε µε λθ µε σ λ ε ε ε µε λθ µε σ µε σ µε σ µε = + + + = + = + + + = + = + + + = + = = = 11 22 33mm θ ε ε ε ε = = + + λ, μ gọi là các hằng số Lamé. 5.1.1. Định luật Hooke mở rộng (tiếp) Giải ngược lại: 1 3 2 2 (3 2 ) ij ij ij λ ε σ σδ µ µ λ µ = − + (3 2 ) E µ λ µ λ µ + = + Đặt: (5.3) 2( ) λ ν λ µ = + Mô đun đàn hồi Young Hệ số Poisson Khi đó (5.3) trở thành: 1 3 1 ij ij ij E ν ν ε σ σδ ν +   = −  ÷ +   (5.4) 5.1.2. Đặt bài toán của lý thuyết đàn hồi 2 2 w ij j j j i u K x t σ ρ ρ ρ ∂ ∂ + = = ∂ ∂ Xét môi trường đàn hồi tuyến tính, đẳng hướng - Phương trình chuyển động: - Định luật Hooke: 2 ij ij ij σ λθδ µε = + - Hệ thức Cauchy: 1 2 j i ij j i u u x x ε   ∂ ∂ = +  ÷  ÷ ∂ ∂   Ngoài ra phải bổ sung các điều kiện biên 5.1.2. Đặt bài toán lý thuyết đàn hồi (tiếp) - Nếu trên biên cho chuyển vị: b u u= r r - Nếu trên biên cho lực mặt: n T = Σ r r Hay: ij j i n σ = Σ - Cho hỗn hợp: phần biên Su cho chuyển vị, phần biên Sσ cho lực mặt. 5.1.2. Đặt bài toán lý thuyết đàn hồi (tiếp) 1. Giải bài toán theo chuyển vị: Ta viết pt chuyển động theo chuyển vị, bằng cách sử dụng hệ thức Cauchy viết định luật Hooke theo chuyển vị rồi đưa vào pt chuyển động, ta được: 2 2 2 2 ( ) j j i j i j i i u u u K x x x x t λ µ µ ρ ρ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.5) Hay: 2 2 ( ) u grad div u u K t λ µ µ ρ ρ ∂ + + ∆ + = ∂ r r r r (5.5’) (5.5) hay (5.5’) gọi là pt Lamê. 5.1.2. Đặt bài toán lý thuyết đàn hồi (tiếp) 2. Giải bài toán theo ứng suất (bài toán tĩnh): Sáu thành phần ứng suất thỏa mãn pt cân bằng, đó là bài toán siêu tĩnh, ta phải dùng đến pt tương thích biến dạng. Nhờ định luật Hooke và pt cân bằng, ta viết các pt tương thích theo các thành phần ứng suất: 2 3 0 1 1 j i m ij ij i j j i m K K K x x x x x σ νρ σ ρ δ ν ν   ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ + + + + =  ÷  ÷ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂   (5.6) (5.6) gọi là pt Beltrami – Michell. 5.2. Môi trường chất lỏng và chất khí lý tưởng 5.2.1. Chất lỏng (khí) lý tưởng nén được Đó là môi trường, trong đó hàm hao tán bằng không và sức kháng trượt của nó bằng không với mọi biến dạng và tốc độ biến dạng tại mọi thời điểm, tức là: 1 2 3 p σ σ σ = = = − Nên: n T pn = − r r (5.7) (5.8) Khi đó, pt chuyển động trở thành: dv K grad p dt ρ ρ = − r r (5.9) 5.2.1. Chất lỏng (khí) lý tưởng nén được Pt (5.9) có thể viết lại: (5.10) (5.10) gọi là phương trình động lực Euler. (5.10) kết hợp với pt liên tục cho ta hệ 4 pt đạo hàm riêng chứa 5 ẩn vi, p, ρ. 2 1 1 2 v grad v v rot v grad p K t ρ ∂ + − × + = ∂ r r r r [...]... độ của mỗi phần tử của nó không đổi theo thời gian Phương trình chuyển động Euler và điều kiện không nén được: r r dv 1 −K + grad p = 0 dt ρ0 (5.11) r div v = 0 (5.12) Ta được hệ kín 4 pt đạo hàm riêng, 4 ẩn vi, p 5.2.3 Chất lỏng lý tưởng barôtrôp Đó là chất lỏng nén được, áp suất p của nó là hàm xác định của mật độ: (5.13) p = p( ρ) Hệ gồm phương trình chuyển động (4.10) và phương trình liên tục, ... λ*θδij + 2µ*ε ij r & = ε = div v θ &ii λ * , µ * - Các hằng số nhớt phụ thuộc vào nhiệt độ 5.3.2 Cách đặt bài toán của chất lỏng Newton - Phương trình liên tục: dρ ∂vi +ρ =0 dt ∂xi (1) - Phương trình chuyển động: ∂σ ij ∂xi + ρK j = ρ dv j dt (2) - Phương trình năng lượng: du 1 1 ∂c j & = σ ijε ij − dt ρ ρ ∂x j (3) 5.3.2 Cách đặt bài toán của chất lỏng Newton - Phương trình xác định chất lỏng Newton:... lập thành hệ kín chứa 5 ẩn 2 Phương trình chuyển động của chất lỏng nhớt không nén được • Phương trình liên tục có dạng: r div v = 0 (5.20) Phương trình Navier-Stokes có dạng: ∂p ρ =− + ρ K j + µ*∆v j dt ∂x j dv j (5.21) Các phương trình này tạo thành hệ kin 4 pt chứa 4 ẩn 2 Phương trình chuyển động của chất lỏng nhớt không nén được • Nếu độ nhớt của chất lỏng phụ thuộc vào nhiệt độ, thì pt chuyển động... các phương trình bao gồm: (5.14), pt chuyển động Euler (5.9), pt liên tục, và pt năng lượng: dT r ρCV − kdiv grad T + pdiv v = 0 dt Cho ta hệ 6 pt, chứa 6 ẩn vi, p, ρ, T (5.15) 5.3 Chất lỏng nhớt tuyến tính 5.3.1 Phương trình xác định của chất lỏng nhớt Chất lỏng nhớt tuyến tính Newton Tenxơ ứng suất có dạng: σ ij = − pδ ij + τ ij (5.16) Liên hệ giữa áp suất, tỷ khối và nhiệt độ: p = p( ρ ,T ) - Chất... Phương trình Navier-Stokes của chất lỏng nhớt nén được Viết pt chuyển động theo các thành phần vận tốc, bằng cách thay các hệ thức (4), (8) vào pt (2): & dv j ∂p * * ∂θ ρ =− + ρ K j + (λ + µ ) + µ*∆v j (5.19) dt ∂x j ∂x j (5.19) là pt Navier-Stokes, viết dưới dạng vectơ: r r dv r * * * r ρ = − gradp + ρ K + (λ + µ ) grad div v + µ ∆v (5.19’) dt Pt (5.19) cùng với phương trình liên tục (1) lập thành hệ kín . Chương 5 Một số mô hình của môi trường liên tục Nội dung: Trong chương này trình bày một số mô hình của môi trường liên tục: Mô hình vật rắn, mô hình chất lỏng (khí); đây. phương trình xác định mô tả bản chất của từng môi trường cụ thể. 5.1. Môi trường đàn hồi tuyến tính 5.1.1. Định luật Hooke mở rộng Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính, liên hệ giữa ứng suất và. rộng, các hệ số Cijmn gọi là các hằng số đàn hồi nếu như môi trường đàn hồi là thuần nhất (đồng chất). Nếu thêm giả thiết môi trường là đẳng hướng nữa thì tenxơ Cijmn chỉ còn hai hằng số độc lập. Định