Cơ học môi trường liên tục dương văn thứ chủ biên, nguyễn ngọc oanh

D ng V n Th (ch biên) Nguy n Ng c Oanh C MÔI TR H C NG LIÊN T C NHÀ XU T B N T I N BÁCH KHOA HÀ N I – 2007 M CL C M C L C M C L C L I NÓI CH U NG I NH NG KHÁI NI M BAN U 1.1 NHI M V VÀ IT NG NGHIÊN C U C A MÔN CHMTLT 1.2 M T S KHÁI NI M C B N 1.2.1 Môi tr ng liên t c ph n t v t ch t 1.2.2 M t kh i l ng (ρ) 1.2.3 Tác d ng 1.2.4 N i l c, ng su t, ph ng pháp m t c t 1.2.5 Bi n d ng chuy n v , v n t c, gia t c c a chuy n ng bi n d ng 10 1.2.6 Các gi thi t ký hi u 11 1.3 VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH VÉC T 13 1.3.1 Véc t thành ph n c a véc t 13 1.3.2 S bi n i c a thành ph n véc t xoay h tr c to - 14 1.3.3 M t s phép tính c b n v véc t 15 1.3.4 Tr ng vô h ng tr ng véc t 15 1.4 VÀI KHÁI NI M V GI I TÍCH TEN X 16 1.4.1 Khái ni m v tenx 16 1.4.2 Các phép tính c b n v tenx 16 1.4.3 Ten x h ng hai i x ng Giá tr chính, ph ng b t bi n 17 CH NG II LÝ THUY T V BI N D NG VÀ CHUY N V 19 2.1 H TO VÀ CÁCH MÔ T CHUY N NG 19 2.1.1 Mô t chuy n ng theo Lagrange 19 2.1.2 Mô t chuy n ng theo Euler 20 2.1.3 o hàm v t ch t 21 2.1.4 V n t c gia t c c a chuy n ng theo bi n Lagrange bi n Euler 22 2.1.5 Qu o ng dòng 26 2.2 TR NG THÁI BI N D NG T I M T I M - TEN X BI N D NG TRONG H TO DESCARTES VNG GĨC 27 2.2.1 Tr ng thái bi n d ng t i m t m 27 2.2.2 Tenx bi n d ng mô t Lagrange - ten x bi n d ng h u h n Green- 27 2.2.3 Ten x bi n d ng mô t Euler - ten x bi n d ng h u h n Almansi- 28 2.2.4 M i quan h gi a ten x bi n d ng h u h n véc t chuy n v 30 2.3 TR NG H P BI N D NG BÉ 31 2.3.1 Ten x bi n d ng bé – ph ng trình hình h c Cauchy 31 2.3.2 Ý ngh a v t lý c a thành ph n ten x bi n d ng 32 2.3.3 Bi n d ng chính, ph ng b t bi n c a tr ng thái bi n d ng t i m t m 35 2.3.4 Ten x c u ten x l ch bi n d ng 38 2.3.5 Ten x quay n tính 38 2.3.6 i u ki n t ng thích v bi n d ng – Ph ng trình liên t c Saint Venant 41 2.4 TEN X T C BI N D NG – TEN X V N T C XOÁY 42 BÀI T P CH NG 44 CH NG III LÝ THUY T V NG SU T 45 3.1 TR NG THÁI NG SU T T I M T I M – TEN X NG SU T 45 3.1.1 Ký hi u ng su t qui c d u 45 3.1.2 Tr ng thái ng su t t i m t m - Ten x ng su t 46 3.1.3 ng su t m t nghiêng 47 3.1.4 ng su t chính, ph ng b t bi n c a tr ng thái ng su t t i m t m 49 3.1.5 Ten x c u ten x l ch ng su t 50 3.1.6 ng su t ti p 50 3.1.7 Bi u di n tr ng thái ng su t t i m t m b ng vòng tròn Mohr 52 3.2 I U KI N CÂN B NG C A MÔI TR NG LIÊN T C - PH NG TRÌNH CHUY N NG 57 3.2.1 Xét cân b ng c a phân t hình h p – Ph ng trình vi phân cân b ng Navier - Stokes 57 3.2.2 Xét cân b ng c a phân t t di n biên – Ph ng trình u ki n biên v l c 60 BÀI T P CH NG 60 CH NG IV CÁC NH LU T C B N C A C H C MÔI TR NG LIÊN T C VÀ CÁC MƠ HÌNH MƠI TR NG LIÊN T C 62 4.1 NH LU T B O TỒN KH I L NG VÀ PH NG TRÌNH LIÊN T C C A KH I L NG 62 4.2 NH LÝ BI N THIÊN NG L NG 63 4.3 NH LÝ BI N THIÊN MÔ MEN NG L NG 63 4.4 NH LU T B O TOÀN N NG L NG - PH NG TRÌNH N NG L NG 64 4.4.1 nh lu t b o toàn n ng l ng c h c 64 4.4.2 nh lu t b o toàn n ng l ng c - nhi t 66 4.4.3 nh lu t nhi t ng l c h c th hai B t ng th c Clausius – Hàm hao tán 69 4.5 H CÁC PH NG TRÌNH C B N C A C H C MÔI TR NG LIÊN T C 71 4.6 MÔI TR NG CH T L NG 73 4.6.1 Ch t l ng lý t ng 74 4.6.2 Ch t l ng nh t n tính Newton 75 4.6.3 Khái ni m v dòng ch y d ng, dòng ch y khơng xốy dịng ch y có th 76 4.7 MÔI TR NG CH T R N 77 4.7.1 Lý thuy t ơàn h i 78 4.7.2 Lý thuy t d o - u ki n d o – ph ng trình v t li u 78 CH NG V LÝ THUY T ÀN H I TUY N TÍNH 81 5.1TH N NG BI N D NG ÀN H I RIÊNG VÀ TH N NG BI N D NG ÀN H I BÙ RIÊNG 81 5.1.1 Th n ng bi n d ng ơàn h i riêng tr ng h p t ng quát – Công th c Green 81 5.1.2 Th n ng bi n d ng ơàn h i bù riêng tr ng h p t ng quát – Công th c Castigliano 81 5.1.3 Tr ng h p v t li u ơàn h i n tính 82 5.2 M I QUAN H GI A TEN X NG SU T VÀ TEN X BI N D NG BÉ – NH LU T HOOKE 83 5.2.1 V t th d h ng 83 5.2.2 V t th tr c h ng 84 5.2.3 V t th ơàn h i n tính, ng nh t, ng h ng 86 5.3 CÁC PH NG TRÌNH C B N C A BÀI TỐN ÀN H I TUY N TÍNH NG H NG BI N D NG BÉ 89 5.4 CÁC CÁCH GI I BÀI TỐN ÀN H I TUY N TÍNH 89 5.4.1 Cách gi i theo chuy n v - Ph ng trình Lamé 90 5.4.2 Cách gi i theo ng su t – Ph ng trình Beltrami - Michell 91 5.5 I U KI N BIÊN – NGUYÊN LÝ SAINT-VENANT - I U KI N U 92 5.5.1 i u ki n biên 92 5.5.2 Nguyên lý Saint – Venant 92 5.5.3 i u ki n u 93 5.6 M T S PH NG PHÁP GI I H PH NG TRÌNH VI PHÂN C B N C A BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH NG H NG 93 5.6.1 Ph ng pháp gi i thu n 93 5.6.2 Ph ng pháp gi i ng c 93 5.6.3 Ph ng pháp gi i n a ng c Saint – Venant 94 5.6.4 Các ph ng pháp gi i b ng s 94 5.7 NH LÝ KIRCHHOFF V S DUY NH T NGHI M C A BÀI TOÁN ÀN H I 94 5.8 CÁC NGUYÊN LÝ V CÔNG VÀ N NG L NG 95 5.8.1 Công kh d công bù kh d 95 5.8.2 Nguyên lý chuy n v kh d 95 5.8.3 Nguyên lý l c kh d 96 5.8.4 Các nguyên lý c c tr c a v t th ơàn h i n tính 96 BÀI T P CH CH NG 97 NG VI BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH PH NG TRONG H T A DESCARTES 99 6.1 KHÁI NI M V BÀI TOÁN PH NG VÀ PHÂN LO I 99 6.1.1 Bài toán ng su t ph ng 99 6.1.2 Bài toán bi n d ng ph ng 99 6.2 CÁC PH NG TRÌNH C B N 100 GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T – HÀM NG SU T AIRY( 1862) 103 HÀM NG SU T D I D NG A TH C 106 6.4.1 Bài tốn d m cơng son ch u l c t p trung u t 106 6.4.2 Bài toán p( hay t ng ch n) m t c t tam giác ch u áp l c th y t nh - L i gi i Le’vy 1898) 110 6.4.2 Bài toán p (hay t ng ch n) m t c t ch nh t ch u áp l c th y t nh 112 6.5 HÀM NG SU T D I D NG CHU I L NG GIÁC 116 CH NG VII BÀI TOÁN ÀN H I TUY N TÍNH PH NG TRONG H TO C C 121 7.1 H TO C C VÀ KÝ HI U 121 7.2 CÁC PH NG TRÌNH C B N 123 7.2.1 Ph ng trình vi phân cân b ng 123 7.2.2 Ph ng trình hình h c 124 7.2.3 Ph ng trình v t li u (v t lý) - nh lu t Hooke 126 7.3 GI I BÀI TOÁN PH NG THEO NG SU T TRONG H TO C C 126 7.4 BÀI TỐN KHƠNG PH THU C GĨC C C 128 7.4.1 L i gi i t ng quát toán ng su t khơng ph thu c góc c c 128 7.3.2 Bài toán i x ng tr c (Lamé 1852) 130 7.4.3 Bài toán cong ch u u n thu n tuý (Golovin 1881) 136 7.5 NG SU T C C B QUANH L KHOÉT TRÒN NH ( KIRSCH 1898) 137 7.6 NÊM PH NG C A VÔ H N CH U L C TRÊN BIÊN 141 7.7 LÁT PH NG N A VÔ H N CH U L C TRÊN BIÊN 144 BÀI T P CH NG 148 TÀI LI U THAM KH O 150 L I NÓI U Hi n náy, tr ng đ i h c k thu t, sinh viên th ng đ c h c nhi u môn h c liên quan t i l nh v c c h c nh : S c b n v t li u, C h c k t c u, Lý thuy t đàn h i, C h c đ t, C h c ch t l ng, C h c ch t khí, … , mà đ i t ng nghiên c u c a chúng (ch t r n, ch t l ng, hay ch t khí) đ u có c u t o v t ch t liên t c Vi c nghiên c u riêng r t ng môn h c nh v y, d n đ n s trùng l p nhi u n i dung, h n n a, không nêu đ c nh ng quan m qui lu t chung t ng quát v m t c h c, c ng nh v t lý h c c a t ng đ i t ng nghiên c u Nh m kh c ph c nh ng nh c m trên, nhi u n c đ a vào ch ng trình gi ng d y môn h c C h c môi tr ng liên t c, giúp trang b cho ng i h c nh ng nguyên lý nh ng qui lu t chung, nh ng ph ng pháp chung t ng quát đ thi t l p gi i toán c h c, đ ng th i cho cách nhìn t ng quát nh t quán v m i quan h ch t ch gi a môn h c nêu trên, c ng nh tránh trùng l p ki n th c đào t o Trong xu th đ i m i, phát tri n h i nh p, nh m nâng cao trình đ đào t o k s ngang t m v i khu v c th gi i, nh ng n m g n đây, m t s tr ng đ i h c Vi t Nam nh ih c qu c gia Hà N i, i h c Xây d ng, i h c Th y l i… c ng b t đ u đ a n i dung môn C h c môi tr ng liên t c vào ch ng trình đào t o c a Các tài li u h c t p liên quan t i môn h c n c ta hi n cịn ít, đ c bi t cho kh i tr ng k thu t Chúng biên so n giáo trình nh m ph c v cơng tác gi ng d y h c t p cho sinh viên tr ng i h c Th y l i Sách c ng ph c v cho sinh viên tr ng đ i h c k thu t khác c ng nh tài li u tham kh o cho nh ng ng i quan tâm t i C h c môi tr ng liên t c N i dung cu n sách có th phân thành hai ph n: ph n đ u (g m ch ng 1, 2, 3, 4) trình bày khái ni m, ph ng trình, đ nh lu t c b n t ng quát c a C h c môi tr ng liên t c c ng nh mơ hình mơi tr ng liên t c; ph n sau (g m ch ng 5, 6, 7) có tính ch t ng d ng Do đ i t ng ph c v c a giáo trình sinh viên ngành k thu t cơng trình nh Xây d ng cơng trình th y l i, th y n, xây d ng dân d ng công nghi p, c u, đ ng, h m c khí v v nên ph n ng d ng ch y u đ c p t i toán liên quan t i v t r n đàn h i Cu i m i ch ng đ u có m t s t p v n d ng nh m giúp ng i đ c hi u sâu h n nh ng n i dung đ c trình bày sách Vi c biên so n đ c phân công nh sau: PGS.TS D ng V n Th - ch biên vi t ch ng 1, 2, 3, 4, 5, PGS.TS Nguy n Ng c Oanh - vi t ch ng Trong trình biên so n, trình đ , kinh nghi m c ng nh th i gian h n ch nên khó tránh kh i sai sót Chúng mong nh n đ c nhi u ý ki n đóng góp c a sinh viên, c a đ ng nghi p c ng nh nh ng ng i quan tâm t i môn h c này, nh m giúp chúng tơi hồn thi n h n cho l n xu t b n sau Chúng chân thành c m n b n đ ng nghi p b môn S c b n v t li u C h c k t c u tr ng i h c Th y l i Hà N i ln ln đơng viên có nhi u ý ki n đóng góp q báu giúp chúng tơi hoàn thành b n th o C m n đ ng nghi p tr Lê Thu Mai giúp đ trình ch b n cu n sách CÁC TÁC GI CH NG I NH NG KHÁI NI M BAN U 1.1 NHI M V VÀ IT NG NGHIÊN C U C A MÔN CHMTLT C h c môi tr ng liên t c [CHMTLT] môn khoa h c nghiên c u chuy n đ ng v mô c a môi tr ng liên t c [MTLT] MTLT mơi tr ng có c u t o v t ch t liên t c nh : v t th r n, kh i ch t l ng, hay ch t khí CHMTLT c ng nghiên c u c môi tr ng đ c bi t - phi v t ch t - nh tr ng n t , tr ng nhi t, tr ng b c x , t tr ng v v Nhi m v c a môn h c xây d ng hàm đ c tr ng cho môi tr ng Các hàm xác đ nh tr ng thái bên c a môi tr ng v chuy n đ ng, v s t ng tác gi a ph n t môi tr ng Nghiên c u thi t l p quan h c b n, t ng qt, mơ t tính ch t v t lý c a môi tr ng, c ng nh qui lu t bi n đ i c a (nh b o toàn kh i l ng, xung l ng, n ng l ng….) CHMTLT phát tri n song song v i c h c lý thuy t, th a h ng ý t k t qu nghiên c u c a C h c lý thuy t, song c ng có h tiên đ riêng ng nh ng Các ph ng pháp c a CHMTLT cho phép đoán nh n v i đ xác cao nh ng hi n t ng v mơ thiên nhiên, giúp phân tích l a ch n tham s thi t k k t c u cơng trình, máy móc q trình ây môn khoa h c r ng nhi u phân nhánh nh : Lý thuy t đàn h i, đàn nh t, nhi t đàn h i, th y-khí đàn h i, d o, đàn-d o, t bi n, th y khí đ ng l c, đ ng l c h c môi tr ng v i q trình khơng cân b ng, thay đ i c u trúc, phá h y v v 1.2 M T S 1.2.1 Môi tr KHÁI NI M C B N ng liên t c ph n t v t ch t MTLT môi tr ng g m có ph n t v t ch t s p x p liên t c m t khơng gian đó, chuy n đ ng so v i có tác đ ng bên ngồi đ n gi n trình bày, ta đ ng nh t khái ni m ph n t v t ch t m v t ch t, s l ng v t ch t m t phân t th tích dV nh tùy ý, đ c tách t i m xét c a MTLT i m v t ch t hoàn tồn khác v i khái ni m m hình h c khơng gian tính tốn 1.2.2 M t đ kh i l ng (ρ) M t đ kh i l ng (còn g i kh i l ng riêng hay t kh i) đ i l ng đ c tr ng cho đ đ m đ c c a v t ch t môi tr ng, s đo l ng v t ch t có m t đ n v th tích c a mơi tr ng ρ= dm dV (1-1) Trong đó: dm kh i l ng v t ch t có phân t th tích dv t i m xét N u m t đ kh i l ng nh t i m i m ta có mơi tr ng đ ng nh t 1.2.3 Tác d ng Tác d ng nh ng tác đ ng bên ngồi vào mơi tr ng xét, bao g m tác d ng l c: ta g i ngo i l c, tác d ng không ph i l c nh : tác d ng nhi t, n t … Ngo i l c đ c phân thành hai lo i: L c kh i l c tác d ng bên môi tr ng nh ; tr ng l c, l c quán tính… đ c đ c ur tr ng b ng c ng đ l c th tích, ký hi u P , giá tr l c tác d ng m t đ n v th tích L c kh i có th nguyên [L c]/[Chi u dài]3 L c m t l c tác d ng b m t bao xung quanh mơi tr ng, k t qu c a s tác d ng t ng h c a môi tr ng bao quanh lên môi tr ng xét: nh l c ti p xúc, áp uur su t v v… L c m t đ c đ c tr ng b ng c ng đ l c m t, ký hi u q n , giá tr l c tác d ng r m t đ n v di n tích b m t t i m xét có pháp n n (H.1-1) L c m t có th nguyên [L c]/[Chi u dài]2 qn n P Hình.1-1 1.2.4 N i l c, ng su t, ph ng pháp m t c t Khi ch u tác d ng ngồi đó, mơi tr ng s chuy n đ ng bi n d ng, ph n t v t ch t d ch chuy n, l c t ng tác gi a ph n t thay đ i L ng thay đ i l c t ng tác gi a ph n t g i n i l c xác đ nh n i l c t i m M tr ng thái bi n d ng c a môi tr ng, ta dùng ph ng pháp m t c t nh sau: t ng t ng c t môi tr ng thành hai ph n riêng bi t b ng m t ph ng n qua M(T tên m t ph ng đ c g i b ng tên pháp n c a nó) (Hình.12a) dPn n M dF n n M (a) Hình.1-2 (b) L c tác d ng t ng h gi a hai ph n c a môi tr ng m t c t n phân chia, n i l c tác d ng m t c t N i l c h l c phân b b m t, đ c đ c tr ng b ng c ng đ c a C uur ng đ n i l c t i m M, ký hi u Pn , đ uur uur dP pn = n dF c tính nh sau: (1-2) uur Trong đó: dPn h p n i l c tác d ng vi phân di n tích dF bao quanh m M (H.12b) (Xét tr ng h p phi mômen, ngh a d i h n i l c phân b di n tích dF v đ t t i M véc t mơmen b ng khơng) uur p n g i ng su t toàn ph n t i m M t đ i l ng ng v i m t c t n qua m xét ng véc t có th nguyên [L c]/[Chi u dài]2 ng su t uur Rõ ràng, véc t ng su t p n khơng nh ng ph thu c vào v trí m M, mà ph thu c vào ph ng pháp n c a m t c t ch a bi t tr c ph ng 1.2.5 Bi n d ng chuy n v , v n t c, gia t c c a chuy n đ ng bi n d ng Xét MTLT có th tích V, b m t bao quanh S, chi m mi n khơng gian Euclide ba chi u Hình thái c a MTLT (bao g m hình thái c h c, hình h c, n ng l ng ….) t i th i m t đ c coi xác đ nh, n u ta ch đ c s t ng ng gi a ph n t c a th tích môi tr ng v i m c a không gian chúng chi m ch Bi n d ng c a môi tr ng s thay đ i hình dáng, kích th c hình h c ban đ u c a chuy n t tr ng thái ban đ u sang tr ng thái bi n d ng Nghiên c u bi n d ng khơng c n xét q trình trung gian, nhiên n u nghiên c u s ch y trình bi n đ i tr ng thái r t quan tr ng xác đ nh bi n d ng t i m t m c a môi tr ng, xu t phát t phân tích hình h c, ta xác đ nh nh ng thay đ i c a m t s y u t hình h c nh là: chi u dài, góc, th tích t i m Q trình bi n đ i tr ng thái c a MTLT, ph n t v t ch t c a s chuy n d ch S thay đ i v trí c a ph n t v t ch t g i chuy n v đ c đ c tr ng b ng véc t chuy n v , véc t n i v trí c a ph n t th i m ban đ u to so v i v trí c a th i m t xét Xét m M thu c MTLT khơng gian tính tốn, hai m N, P lân c n M, đ ng th i MN vng góc v i MP Khi bi n d ng, m M, N, P d ch chuy n t i M1, N1, P1 (Hình.1-3) r uuuuur Nh v y, véc t u = MM1 véc t chuy n v c a m M Ph ng chuy n v u c ng ch a bi t, nên tính tốn, ta phân tích thành ba thành ph n bi t tr c ph ng (trong không gian ba chi u) ho c hai thành ph n (trong không gian hai chi u) T P, v v… N1 P1 M1 N P M Hình.1-3 ng t c ng có véc t chuy n v c a m N, m T s gi a l ng thay đ i chi u dài (do bi n d ng) chi u dài ban đ u c a đo n phân t v t ch t MN, g i bi n d ng dài t đ i theo ph ng MN, ký hi u εn εn = Δ MN M1 N1 − MN = MN MN (1-3) Chú ý: Khi ng l ng dài, ta có tốn bi n d ng ph ng, u1 u2 khơng ph i tính theo (7-20) mà ph i tính theo (7-20)’ Trong th c t , đ dôi δ th ng đ c ch n cho ng su t toàn ph n σθθ mép mép c a ng x p x b ng nhau, qui lu t phân b ng su t tr ng h p hai ng l ng vào nh hình – 10 7.4.3 Bài toán cong ch u u n thu n tuý (Golovin 1881) Xét cong ph ng m t c t hình ch nh t ch u tác d ng c a mômen M hai đ u (Hình 7-11) ây tốn khơng ph thu c góc c c, h p n i l c m i m t c t ngang đ u nh b ng M, ng su t đ c tính theo (7-14) i u ki n đ xác đ nh h ng tích phân là: Ð Trên biên r = a r = b có σr r = (a) Trên m t c t ngang có σθθ = hay bi n đ i theo Saint Venant: Ð a σθθ dr = b ∫ a M (b) rσθθ dr = − M (c) i u ki n l c ti p xúc biên b ng không (τrθ = 0) t tho mãn Ð đ M σr r σθθ b a ∫ b Hình 7-11 Xét u ki n (a): thay (7-14) (a) ta c A + B(1 + ln a) + 2c = a2 A + B(1 + ln b) + 2c = b2 (d) Xét u ki n (b): ∫ b a b σθθ dr = ∫ a b b d ⎛ dϕ ⎞ d ϕ(r) dϕ(r) dr = ∫ ⎜ ⎟ dr = a dr ⎝ dr ⎠ dr a dr Thay bi u th c c a ϕ(r) theo (7-13) vào ta có: ∫ b a b b dϕ(r) ⎛A ⎞ σθθ dr = = ⎜ + Br + 2Br ln r + 2cr ⎟ dr a ⎝ r ⎠a b ⎛A ⎞ = r ⎜ + B(1 + ln r) + 2c ⎟ = rσ r r ⎝r ⎠a b a =0 i u có ngh a n u u ki n (a) tho mãn (b) c ng tho mãn Xét u ki n (c): Bi n đ i t ∫ b a rσθθ dr = ∫ b a ng t nh trên, ta có; b b dϕ(r) d ϕ(r) dϕ(r) b r dr r = − = − ϕ(r) a = −M ∫ a dr a dr dr hay Aln b + B(b2lnb – a2lna) + c(b2-a2) = M a Gi i h ba ph ng trình (d) (e) ta đ (e) c: 2M −4M 2 b a b ln ; B = − (b − a2 ) K a K M C = ⎣⎡ b − a + 2(b ln b − a ln a) ⎤⎦ K A= đó: b⎞ K = (b -a ) – 4a b ⎜ ln ⎟ ⎝ a⎠ 2 Thay (f) vào (7-14) ta đ 2⎛ (f) c ng su t cong ph ng ch u u n thu n tuý: ⎧ 4M ⎛ a b b r r⎞ 2 σ = − ⎪ rr ⎜ ln + b ln − a ln ⎟ K ⎝ r a b a⎠ ⎪ ⎪⎪ 4M ⎛ a b b r r 2 2 ⎞ ⎨σθθ = − ⎜ − ln + b ln − a ln + b − a ⎟ K ⎝ r a b a ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩σ rθ = (7-30) Bi u đ phân b c a ng su t m t c t ngang th hi n (H.7-11) Bài toán c ng đ c gi i d a vào gi thi t m t c t ngang ph ng c a Bernoulli s c b n v t li u, k t qu v i (7-30) đ i v i σθθ; s c b n v t li u σr r = 7.5 NG SU T C C B QUANH L KHOÉT TRÒN NH ( Kirsch 1898) Xét t m m ng ch nh t có l kht trịn nh bán kính a, ch u l c phân b đ u p hai đ u (Hình 7-12a) Ta kh o sát s phân b ng su t vùng quanh l khoét Theo nguyên lý Saint-Venant, l khoét ch gây nh h ng t i s phân b c a ng su t vùng quanh l khoét, gi s vùng có bán kính b đ l n (b>>a) T i nh ng m n m ngồi vùng này, ng su t đ c tính nh khơng có l kht, tốn kéo tâm, tr ng ng su t h to đ vng góc xi là: cịn tr σ11 = p ; σ22 = σ12 = ng ng su t h to đ c c (rθ), theo (7-9) ta có: P P + cos2θ 2 p σ rθ = −σ11 sin θcosθ=- sin 2θ (a) σ r r = σ11cos θ = ng su t th hi n hình (7-12b) (b) x x 2 p σ θθ p 3p σrr σ 11= p a σrθ σ θθ θ x o b σr r = p p a σrθ = θ p sin 2θ x b a, p p + cos2θ 2 b, Hình 7-12 Nh v y, đ nghiên c u s phân b c a ng su t quanh l khoét tròn c a t m ch nh t, ta gi i tốn ng dày có m t r = a khơng có t i tr ng, m t r = b (đ l n) ch u h l c h ng tâm h ng vịng tính theo bi u th c (b) H ng su t có th phân thành hai ph n: Ph n ng su t l c h ng tâm q1 = P gây (là toán đ i x ng tr c) đ c tính theo cơng th c (7-19) Vì b>>a nên t (7-19) có: ⎧ ⎛ a2 σ = ⎪ r r ⎜1 − r ⎝ ⎪ ⎪⎪ ⎛ a2 ⎨σθθ = ⎜ + r ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪σ ⎩ rθ = ph n ng su t l c h ⎞P ⎟ ⎠2 ⎞P ⎟ ⎠2 (c) ng tâm q = P cos2θ l c h xác đ nh tr ng ng su t q2 t gây ra, tr vào u ki n biên c a tốn P ng vịng t = − sin 2θ gây c h t ph i bi t hàm ng su t d a Hàm ng su t: Vì t i tr ng biên bi n đ i ph thu c cos2θ sin2θ, d a vào cơng th c tính ng su t qua hàm ng su t (7-10), ta có th gi thi t hàm ng su t có d ng ϕ(rθ) = f(r)cos2θ (d) V n đ l i ph i xác đ nh đ mãn u ki n t ng thích (7-11) Thay (d) vào (7-11) ta đ c: c m t hàm f(r) đ cho hàm ϕ(rθ) tho ⎛ d2 d ⎞ ⎛ d2 d ⎞ ∇ ϕ(rθ) = ⎜ + ⋅ − ⎟ ⎜ + ⋅ − ⎟ f (r)cos2θ r dr r ⎠ ⎝ dr r dr r ⎠ ⎝ dr (e) ϕ(rθ) hàm ng su t, bi u th c (e) ph i b ng không v i m i θ, suy ra: ⎛ d d ⎞ ⎛ d f (r) df (r) 4f (r) ⎞ + ⋅ − ⎟=0 ⎜ + ⋅ − ⎟⎜ r dr r ⎠ ⎝ dr r dr r ⎠ ⎝ dr B ng cách đ i bi n m i r = et nh làm ph n tr nghi m t ng quát c a ph ng trình vi phân (f) nh sau: f(r) = Ar4 + Br2 + C + (f) c (xem 7.3.1), ta tìm đ D r2 (g) Do hàm ng su t đ gi i toán đ t là: D⎞ ⎛ ϕ(rθ) = ⎜ Ar + Br + C + ⎟ cos2θ r ⎠ ⎝ Các h ng s A, B, C, D đ (h) c xác đ nh t u ki n biên v l c c a toán ng su t: Thay (h) vào (7-10) ta có bi u th c ng su t: ⎧ 4C 6D ⎞ ⎛ ⎪σ r r = − ⎜ 2B + r + r ⎟ cos2θ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 6D ⎞ ⎛ ⎨σθθ = ⎜ 12Ar + 2B + ⎟ cos2θ r ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ 2C 6D ⎞ ⎛ ⎪σ rθ = ⎜12Ar + 2B − − ⎟ sin 2θ r r ⎠ ⎝ ⎩ (i) i u ki n biên: P ⎧ ⎪⎪σ r r = cos2θ Biên ngồi r = b có ⎨ ⎪σ = - p sin 2θ ⎪⎩ rθ (k) ⎧σ r r = ⎩σrθ = Biên r = a có ⎨ B n ph ng trình u ki n (k) đ đ gi i h ng s A, B, C, D t (i) vào (k) đ c: c 4C 6D P ⎧ ⎪2B + b + b = − ⎪ ⎪12Ab + 2B − 2C − 6D = − P ⎪ b2 b4 ⎨ ⎪2B + 4C + 6D = ⎪ a2 a4 ⎪ 2C 6D ⎪12Aa + 2B − − = a a ⎩ Gi i h ph (l) ng trình (l) v i gi thi t b đ l n, ngh a a ≈ b Tr c h t, ng su t t m ph i có giá tr h u h n, nên t hai ph c a (i) ta suy ra: A = C ng hai ph 4B + C ng hai ph ng trình đ u c a (l) theo v , đ ng trình sau c: P 2C = −P , coi ≈ nên suy B = − b b ng trình cu i c a (l) theo v , đ 2C 4B + = a 4Ba ⇒ C=− Cu i thay B, C vào (l) tính đ c: Pa C= hay c: D=− Pa 4 ng su t vùng quanh l khoét tròn t ng c a nghi m (c) nghi m (i) v i A, B, C, D v a tính ⎧ P ⎛ a ⎞ P ⎛ 3a 4a ⎞ ⎪σ r r = ⎜1 − ⎟ + ⎜1 + − ⎟ cos2θ 2⎝ r ⎠ 2⎝ r r ⎠ ⎪ ⎪ P ⎛ a ⎞ P ⎛ 3a ⎞ ⎪ σ = ⎨ θθ ⎜ + ⎟ − ⎜1 + ⎟ cos2θ r ⎠ 2⎝ r ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪σ rθ = − P ⎜1 − 3a + 2a ⎟ sin2θ 2⎝ r r ⎠ ⎪⎩ (7.31) S phân b c a ng su t quanh l khoét nh hình (7-12) Th y r ng ng su t σθθ có giá tr l n nh t b ng 3P t i θ = ± π Tr ng h p l kht trịn nh tốn ph ng khác, ta c ng có th phân tích g n s phân b c a ng su t c c b nh l i gi i (7-31) c a Kisrch (Hình 7-13) Tr c h t, ta gi i tốn khơng có l kht, xác đ nh ng su t σ1 σ2 c a tr ng thái ng su t t i n i có l khoét Coi ng su t c c b quanh l khoét tròn nh c a tr ng h p nh ng su t c c b c a t m ch nh t ch u áp l c đ u theo hai ph ng σ1 σ2 L i gi i lúc t ng c a hai toán Kisrch theo nguyên lý c ng tác d ng C ng c n nói thêm r ng, l i gi i c a Kisrch ch dùng đ c kích th c l khoét r t nh so v i kích th c c a t m (th ng ph i nh h n σ3 l n b r ng t m) Ng i ta c ng gi i tốn l kht enlíp , ch nh t v v không nh ng cho t m ch u kéo (nén) mà c toán u n σ1 σ3 σ1 Hình 7-13 7.6 NÊM PH NG C A VƠ H N CH U L C TRÊN BIÊN Xét nêm ph ng có góc nêm α, b dày b ng đ n v đ c coi m r ng vơ h n phía xa đ nh Nêm đ c đ t h to đ hình (7-14) Có th nói Michell ng i đ u tiên đ t toán nêm ph ng gi i nêm tác d ng c a l c P th ng đ ng (ph ng x1) t i đ nh vào n m 1904 chúng tơi trình bày l i gi i tr ng h p t ng quát, nêm ch u l c tác d ng đ ng th i c a c l c P có ph ng tu ý M đ t t i đ nh L c mômen đ c coi phân b đ u theo b dày x P P O x M v nh β dθ α α 2 ch u đ t r θ rσrθ dθ rσ r r dθ x x Hình 7-14 1 Hàm ng su t: Có th gi đ nh hàm ng su t d a vào phân tích th nguyên su t nêm P M gây ng Th nguyên c a ng su t là: [L c]/ [Chi u dài]2 Th nguyên c a l c P là: [L c]/ [Chi u dài] Th nguyên c a mômen M là: [L c x Chi u dài]/ [Chi u dài] ng su t ph thu c vào to đ r θ, cịn α, β khơng có th ngun, đ đ m b o u ki n cân b ng v th nguyên bi u th c tính ng su t, ta có th gi đ nh bi u th c c a ng su t có d ng nh sau: σ(r, θ) = K1 P M f1 (θ) + K 2 f (θ) r r (a) f1(θ), f2(θ) hàm ch ph thu c θ, K1, K2 h s Theo (7-10), b c lu th a c a r hàm ng su t cao h n bi u th c c a ng su t 2, có th gi thi t hàm ng su t b ng cách nâng bi u th c c a ng su t (a) lên r2, ngh a có d ng: ϕ(r, θ) = r K1 P M f1 (θ) + r K 2 f (θ) hay t ng quát r r ϕ(r, θ) = rϕ1 (θ) + ϕ2 (θ) (b) [coi h s Ki n m ϕ1(θ) ϕ2(θ)] ϕ1(θ) ϕ2(θ) hàm ch ph thu c m t bi n θ, đ c xác đ nh t u ki n bu c hàm ng su t ph i hàm song u hoà Thay (b) vào (7-11) ý: ∂ϕ 1 ∂ ϕ ∂ ϕ1 ∂ ϕ2 ∂2ϕ = 0; ⋅ = ϕ1 (θ); 2 = ⋅ + ⋅ , ta có r ∂r r r ∂θ r ∂θ r ∂θ ∂r ∇ ϕ(rθ) = ⎤ ⎡ d ϕ2 d ϕ1 d ϕ2 ⎤ ⎡ d ϕ1 ( ) + + ϕ θ + + ⎢ ⎥ 4⎢ ⎥ r ⎣ dθ4 dθ2 dθ2 ⎦ ⎦ r ⎣ dθ Bu c ∇4ϕ(rθ) ph i b ng không v i m i r tu ý, suy d ϕ1 (θ) d ϕ1 (θ) + + ϕ1 (θ) = dθ4 dθ2 (c) d ϕ2 (θ) d ϕ2 (θ) + =0 dθ dθ (d) (c), (d) hai ph ng trình vi phân b c th ng có nghi m t ng quát là: ϕ1 (θ) = Acosθ+Bsinθ + θ(Ccosθ + D sin θ) (e) ϕ2 (θ) = Icos2θ+Jsin2θ + Kθ + L Thay (e) vào (b) ý r ng (Arcosθ+Brsinθ+L) = (Ax1 +Bx2 + L) đa th c b c m t đ i v i x1 x2 h to đ vng góc, nên có th b hàm ng su t, ta đ c: ϕ(rθ)=rθ(Ccosθ + Dsinθ) + Icos2θ + Jsin2θ + Kθ ng su t: Thay (f) vào (7-10) đ (f) c: ⎧ σ = θ θ (Dcos -Csin )(Icosθ+Jsin2θ) r r ⎪ r r2 ⎪ ⎨σθθ = ⎪ ⎪σ rθ = (−2Isin2θ+2Jcos2θ + K) r ⎩ (g) i u ki n biên: xác đ nh h ng tích phân (có h ng s C, D, I, J, K, ta ph i thi t l p đ c u ki n ràng bu c ng su t v i Bài tốn có hai biên nên v lý thuy t, có th vi t ph ng trình u ki n biên, song ch có hai u ki n biên dùng đ c, hai u ki n khơng dùng đ c, t tho mãn, c th : Trên biên trái θ = α có: ⎧σθθ = ⎨ ⎩σ θ r = (h1 ) (h ) (h) Trên biên ph i θ = − α có: ⎧σθθ = ⎨ ⎩σ rθ = (h ) (h ) Rõ ràng hai u ki n (h1) (h3) t tho mãn.Thay (g) vào (h2) (h4) ta hai u ki n: ⎧−2Isinα +2Jcosα +K=0 ⎨ ⎩2Isinα +2Jcosα +K=0 (i) Ba u ki n ràng bu c ti p theo có th l y đ c t u ki n cân b ng c a ph n nêm đ c tách nh m t tr bán kính r (Hình 7-14) α ⎧ Σ = ⎪ x1 ∫− α (σr r cosθ-σ rθ sinθ)rdθ+Pcosβ = ⎪ α ⎪⎪ ⎨Σ x2 = ∫−2α (σ r r sinθ+σ rθ cosθ)rdθ+Psinβ = ⎪ α ⎪ ⎪Σ m = 2α σrθ r dθ + M =0 ⎪⎩ o ∫− (k) Thay bi u th c ng su t theo (g) vào (k) r i tích phân, k t h p v i (i) gi i h ph ng trình ta đ c: I = 0; C = M M P sin β Pco s β ; K= ; D=− ; J=− 2(sin α − αcosα) (tgα − α) ( α − sin α ) ( α + sin α ) Cu i ta có bi u th c ng su t c a toán nêm ph ng ch u l c mômen đ nh: ⎧ 2P ⎡ cosβcosθ sinβsinθ ⎤ 2M sin 2θ + ⎪σ r r = − ⎢ ⎥+ r ⎢⎣ ( α + sin α ) ( α − sin α ) ⎥⎦ r ( sin α − αcosα ) ⎪ ⎪ ⎨σθθ = ⎪ ⎪σ = − M ( cos2θ-cosα ) ⎪ rθ r ( sin α − αcosα ) ⎩ (7-32) Qua (7-32) ta th y, t i đ nh nêm (r = 0) ng su t σ → ∞, hi n t ng ng su t t p trung, nh v y t i vùng quanh đ nh nêm l i gi i (7-32) khơng xác, cịn t i nh ng n i xa đ nh, l i gi i cho k t qu t t Xét m t s tr ng h p riêng: 1, Nêm ch u l c th ng đ ng σr r = − 2P cosθ ; σθθ = σθ r = r ( α +sinα ) 2, Nêm ch u l c n m ngang σr r = − đ nh, lúc β = 0, M = (H.7-15a) π đ nh: β = − ; M = (H.7-15b) 2P sinθ ; σθθ = σθ r = r ( α − sinα ) 3, Nêm ch u mômen (7-33) đ nh: P = (H.7-15c) (7-34) 2M sin 2θ ⎧ ⎪σ r r = r ( sin α − αcosα ) ; ⎪ ⎨ ⎪σ = − M ( cos2θ-cosα ) ⎪ rθ r ( sin α − αcosα ) ⎩ Bi u đ phân b x r (7-35) ng su t nêm nh hình (7-15) x P σθθ = α α 2 x P r M α α 2 α α 2 r σrr σrr σrr σrθ 2P r(α + sin α) x x x 1 Hình 7-15 7.7 LÁT PH NG N A VÔ H N CH U L C TRÊN BIÊN Xét lát ph ng n a vô h n, b dày b ng đ n v , ch u l c có ph ng b t k , phân b đ u theo b dày v i c ng đ p m t gi i h n (H.7-16) Coi lát ph ng nh m t nêm ph ng đ c bi t có góc nêm α = π ch u l c đ t đ nh Nh v y, có th s d ng l i gi i c a Michell cho toán Thay α = π vào (7-32) ta đ ⎧ 2P ⎡ cosβ cosθ sinβ sinθ ⎤ 2P cos(β-θ) 2P cosψ + =− =− ⎪σ r r = − ⎢ ⎥ c: ⎨ r ⎣ r π π π π r ⎦ ⎪σ = σ = θr ⎩ θθ Phân tích (7-36) ta th y m t r c a lát ph ng đ u m t ng su t σr r ln âm Xét m có ng su t σr r nh nhau, gi s b ng m t giá tr (-K) (K s d ng) t c σr r = − 2P cosψ = −K (là m t h ng π r s âm) 2P cosψ Hay r = πK (7-36) P x P x O A d θ ψ r β σr M x (a) Hình 7- x Ký hi u đo n OA = d = 2P nh (Hình 7-16), theo (a), góc AMO vng, πK u có ngh a m M, mà t i có σr r = -K, ln ln n m đ kính OA=d = 2P Cho K giá tr khác nhau, ta đ πK l c P tâm n m đ ng su t σr r Tr c h đ ng tròn đ ng ng tròn qua m đ t ng tác d ng c a l c P (Hình 7-16) g i h đ ng đ ng ng h p riêng: Khi l c P th ng đ ng ( Flamant 1892) N m 1892 Flamant gi i toán l c P th ng đ ng Lúc β = 0, thay (7-33) ta có: 2P cosθ ⎧ ⎪σ r r = − π r ⎨ ⎪⎩σθθ = σθ r = O vào x σr r th đ P x θ (7-37) H đ ng đ ng ng su t nh (Hình 7-17) S d ng (7-9) có bi u di n h ng su t (7-37) h to vng góc xi nh sau: σ 21 σ r r M σ 22 σ 12 σ 11 Hình 7-17 ⎧ 2P 2P x cos3 θ = − ⎪σ11 = − πr π r ⎪ ⎪ 2P 2P x1 x22 σ = − θ θ = − cos sin ⎨ 22 πr π r4 ⎪ ⎪ 2P 2P x12 x2 cos θ sin θ = − ⎪σ12 = σ 21 = − πr π r4 ⎩ (7-38) Bi u đ phân b ng su t h to đ vng góc nh (H.7-18) ng su t σ11 có giá tr l n nh t θ = 0o, t c r = x1 maxσ11 = − 2P πx1 ng su t ti p σ12 có giá tr l n nh t x2 = ± maxσ12 = − 2P 3 3P = πx1 16 8πx1 (7-39) x1 (7-40) Khi m t biên ch u tác d ng c a nhi u l c P hay t i tr ng phân b , ta áp d ng nguyên lý c ng tác d ng đ tính tốn ph Bây gi ta tính chuy n v bán ph ng Thay bi u th c ng su t (7-37) vào ng trình v t li u (7-8) đ c bi n d ng εr r = − x 2P cosθ ; πE r x γ rθ = (a) P O a 3 3P 8πa 2P cosθ ; πE r P a εθθ = 2P πb b 3P 8πc σ12 c 3P 8πc σ22 x c ng trình hình h c (7-7) r i tích phân ta đ c x Hình 7-18 Thay (a) vào ph c 2P cosθ lnr + f(θ) πE 2μP 2P u θ = ∫ ( rεθθ − u r ) dθ = sin θ + sin θ ln r − ∫ f (θ)dθ + g(r) πE πE u r = ∫ ε r r dr = − f(θ) g(r) c ng đ (7-7) ta có: σ11 (b) (c) c xác đ nh t u ki n γrθ = Thay (b), (c) vào bi u th c γrθ dg(r) ⎤ ⎡ df (θ) 2(1 − μ)P ⎡ ⎤ γ rθ = ⎢ g(r) − r −⎢ + ∫ f (θ)dθ + sin θ ⎥ = ⎥ πE dr ⎦ ⎣ dθ ⎣ ⎦ Vì γrθ ph i b ng khơng v i m i r θ tu ý, bi u th c sau γrθ đ u ph i b ng m t h ng s A g(r) − r dg(r) =A dr (d) df (θ) 2(1 − μ)P sin θ = A + ∫ f (θ)dθ + dθ πE Ph ng trình (d) có nghi m t ng qt là: g(r) = Hr + A (e) (f) gi i ph ng trình (e), tr c h t ta lo i b bi u th c tích phân b ng cách đ o hàm hai v c a (e) theo bi n θ ta đ c: d f (θ) 2(1 − μ)P cosθ=0 + f (θ) + πE dθ (e)’ Nghi m t ng quát c a (e)’ là: f ( θ ) = Isinθ+Jcosθ- (1-μ ) P πE θ sin θ Thay f(θ) g(r) theo (g) (f) vào (b) (c) v i ý: (g) ∫ f ( θ ) dθ = A − df ( θ ) dθ − (1-μ ) P πE sin θ (h) (1-μ ) P (sin θ − θcosθ) = A − Icosθ+Jsinθ − πE ta đ c: ⎧ (1-μ ) P 2P cosθlnrθ sin θ + Isinθ+Jcosθ ⎪u r = − ⎪ πE πE ⎨ ⎪u = 2P sin θ ln r − (1-μ ) P θco s θ + (1+μ ) P sin θ + Icosθ − Jsinθ + Hr ⎪⎩ θ πE πE πE Các h ng s tích phân I, J, H đ tốn đ i x ng qua tr c x1 nên: (b)' (c)' c xácđ nh t u ki n biên v chuy n v Do • T i m n m tr c x1 (có θ = 0) có thành ph n chuy n v theo ph vịng b ng khơng T (c)’ có: uθ θ= = I + H.r = v i m i r tu ý, I=H=0 (i) • T i m n m tr c x1 (θ = 0) kính c ng b ng khơng T (b)’ có ur ng θ= r = h ( ®đ lín ) =− đ sâu h l n, thành ph n chuy n v h 2P ln h + J = ⇒ πE J= 2P ln h πE Thay I, J, H tính theo (i) (k) vào (b)’ (c)’ đ (k) c thành ph n chuy n v : ⎧ ⎤ P ⎡ ⎛h⎞ 2cosθln ⎜ ⎟ − (1 − μ)θ sin θ ⎥ ⎪u r = ⎢ πE ⎣ ⎝r⎠ ⎪ ⎦ ⎨ ⎪u = P ⎡ −2sinθln ⎛ h ⎞ − (1 − μ)θco s θ + (1 + μ) sin θ⎤ ⎜ ⎟ ⎥ ⎪ θ πE ⎢⎣ ⎝r⎠ ⎦ ⎩ ⎛ ⎝ ng π⎞ T i m m t gi i h n ⎜ θ = ± ⎟ chuy n v theo ph ⎠ (7-41) ng vòng g i đ lún Ký hi u đ lún t i m t m cách m đ t l c m t đo n r η, t (7-41) ta có: η = uθ θ=± π = P ⎡ h ⎤ ln − (1 + μ ) ⎥ ⎢ πE ⎣ r ⎦ (l) lún c a m t gi i h n ph thu c h Khi h l n (v t li u m m) đ lún l n Tuy v y, đ lún t ng đ i gi a hai m m t gi i h n l i không ph thu c h Xét đ lún t T (l) ta có: ng đ i gi a hai m cách m đ t l c m t đo n r S (H.7-19) Δη = ηr − ηs = = P ⎡ h h ⎤ P ⎡ ⎤ ln − (1 − μ) ⎥ − ln − (1 − μ) ⎥ ⎢ ⎢ πE ⎣ r s ⎦ πE ⎣ ⎦ 2P S ln πE r ( kh«ng phơ thuéc h) (m) T i m có S đ l n, đ lún ηs = 0, đ lún t t đ i t i m có bán kính r η= ng đ i Δη đ lún 2P S ln πE r (7- 42) (7-42) g i công th c Flamant, đ c dùng nhi u tính đ lún c a móng cơng trình xây d ng N u tốn bi n d ng ph ng, (7-42) ph i thay E b ng E* P s x2 r ηs Δη O ηr x1 Hình 7-19 BÀI T P CH NG 7.1 Cho hàm: x ϕ1(r ) = Ar cos ϕ2(r ) = A + Bsin2 H i: ây có ph i hàm ng su t không? M r N u ph i, áp d ng cho tốn θ x b a hình t i tr ng biên ph i nh th nào? Hình 7.2 Cho bi u th c ng su t: Asinθ Bsinθ ; σθθ = − r r Bcosθ σ rθ = − r x σr r = − Chúng có th nghi m c a toán ph ng không? N u ph i, xác đ nh t i tr ng biên tốn hình 2 b O a x c a Hình 7.3 Ki m tra xem hàm sau có ph i hàm ng su t không? N u ph i, vi t bi u th c ng su t: ϕ1(r )= (A + Blnr + Cr2 + Dr2lnr) ϕ2(r )= (Ar + Br – + Cr2+ + Dr2- )cos x 7.4 Xác đ nh tr ng ng su t cong ph ng ch u l c nh hình v i hàm ng su t sau đây: B ⎛ ⎞ ϕ(rθ) = ⎜ Ar + + Cr + Dr ln r ⎟ sin θ r ⎝ ⎠ b 7.5 M t ng thép trịn dày 5mm, đ ng kính ngồi b ng 5cm, ch u áp l c đ u phía q xác đ nh q = ? theo u ki n b n ng su t ti p l n nh t, a x P Hình Kn bi t [ σ] = 16 cm 7.6 ng dày có đ ng kính d =20cm b b t kín hai đ u Ch u áp l c đ u phía q = 1KN/cm2 (Hình 4) Hãy xác đ nh đ ng kính ngồi D = ? theo u ki n b n ng su t ti p l n nh t Bi t v t li u ng có µ = 0,3; [σ] = 16 d q D q=2 KN cm Hình KN KN ; E = 2.104 cm cm K t qu s thay đ i n u ng h 7.7 Xác đ nh tr hai đ u? Gi i thích? ng ng su t nêm ph ng (Hình 5) v i hàm ng su t sau: ϕ(r ) = r2(Acos2 + Bsin2 + C + D) x x 2 α α t q = h ng s α α t = h ng s q a, b, x x 1 Hình TÀI LI U THAM KH O 1, P.Lankaster: Theory of matrices - Academic Press – New York – London 1969 2, H.V Reddik, F H Miller: Toán b túc cho k s - B n d ch ti ng Vi t – Nhà xu t b n KHKT – Hà N i 1970 3, Sedov L I: C h c môi tr ng liên t c - B n d ch ti ng Vi t – Nhà xu t b n H THCN – Hà N i 1977 4, Huy Bích, Nguy n ng Bích: C h c môi tr ng liên t c – Nhà xu t b n xây d ng - Hà N i 2002 5, Lê Ng c H ng , Lê Ng c Th ch: C s c h c môi tr ng liên t c lý thuy t đàn h i – Nhà xu t b n KH KT – Hà N i 2002 6, S P Timoshenko, J N Goodier: Theory of Elasticity - B n ti ng Nga – Moscow 1975 7, Rekatr : H ng d n gi i toán đàn h i - B n ti ng Nga – 1977 8, Phylonhenko – Borodis: Lý thuy t đàn h i - B n d ch ti ng Vi t – Hà N i 1970 9, Ph m Ng c Khánh, Tr nh ình Châm: Lý thuy t đàn h i - i h c Thu L i 2002 10, Nguy n V n V ng: Lý thuy t đàn h i ng d ng – Nhà xu t b n giáo d c – Hà N i 1999 11, Sandor Kaliszky: Plasticity – Theory and Engineering Applications – Elsevier – Amsterdam – Oxford – New York – Tokyo 1989 12, Prager W – Introduction to mechanics of continua – Ginn and Co 1961 ... CH NG IV CÁC NH LU T C B N C A C H C MÔI TR NG LIÊN T C VÀ CÁC MÔ HÌNH MƠI TR NG LIÊN T C 62 4.1 NH LU T B O TOÀN KH I L NG VÀ PH NG TRÌNH LIÊN T C C A KH I L NG 62 4.2 NH LÝ BI... C h c môi tr ng liên t c vào ch ng trình đào t o c a Các tài li u h c t p liên quan t i môn h c n c ta hi n cịn ít, đ c bi t cho kh i tr ng k thu t Chúng biên so n giáo trình nh m ph c v cơng... i C h c môi tr ng liên t c N i dung cu n sách có th phân thành hai ph n: ph n đ u (g m ch ng 1, 2, 3, 4) trình bày khái ni m, ph ng trình, đ nh lu t c b n t ng quát c a C h c môi tr ng liên t