CHUONG 6 cơ môi trường liên tục

CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1 HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG Khái niệm : Trong nhiều toán kỹ thuật, vật thể chịu lực gây nên biến dạng hay ứng suất mặt phẳng (Mặt phẳng qui ước mặt phẳng oxy) Các toán gọi toán phẳng Bài toán phẳng chia loại Bài toán ứng suất phẳng : Nếu tồn ứng suất mặt phẳng xoy Bài toán biến dạng phẳng : Nếu tồn biến dạng mặt phẳng xoy Hai toán khác mặt vật lý song mặt toán học phương trình giải có dạng giống Giải toán phẳng mặt toán học đơn giản nhiều so với tốn khơng gian CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Bài toán ứng suất phẳng : Xét tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố bề dày song song với mặt trung bình hình vẽ Ta nhận thấy mặt bên khơng có tải trọng, ứng suất số theo bề dày Do điều kiện tốn : σzz = τxz = τyz = (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày tự nên : εzz ≠ (b) Các điều kiện (a), (b) định nghĩa toán ứng suất phẳng CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Ân số tốn gồm có: Các ứng suất : σxx, σyy, τxy Các biến dạng : εxx, εyy, γxy, εzz ≠ Theo định luật Hooke, từ (a) ta có 1 −ν σ − νσ ; ε = σ − νσ ; ε = σ xx + σ yy ) ; ( ( ( xx yy ) yy yy xx ) zz E E E τ xy γ xz = γ yz = 0; γ xy = ; G ε xx = (c) Từ biểu thức (c) ta có biến dạng tính theo ẩn số ứng suất σx, σy, τxy với E, ν số đàn hồi vật liệu CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Bài tốn biến dạng phẳng Khi tính vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng khơng đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm ta thường xét đoạn vật thể có chiều dài đơn vị Bài toán vật thể lăng trụ trở thành toán phẳng biểu diễn hình vẽ sau y x z z Tấm bị kẹp chiều dài vật thể nên có biến dạng dài theo phương bề dày z, mặt bên chịu áp lực pháp tuyến theo phương z Do đó, điều kiện toán trường hợp xét : εzz = γxz = γyz = σzz ≠ (d) (e) Các điều kiện (d), (e) định nghĩa toán biến dạng phẳng CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Ẩn số tốn gồm có: Các ứng suất : σxx, σyy, τxy, σzz≠0 Các biến dạng : εxx, εyy, γxy ε zz = Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp τxz ⇒ σ zz = ν ( σ xx + σ yy ) =τyz = - Ứng suất pháp σ zz tìm từ biểu thức εzz= { biến dạng Tương tự } 1 σ xx −ν ( σ yy + σ zz )  = σ xx −ν σ yy + ν ( σ xx + σ yy )  E E 1−ν  ν  = σ − σ yy ÷ E −ν  xx Đặt E1 = ; ν = ; E  −ν  1−ν ν ε xx = Quan hệ ứng suất σ zz −ν ( σ xx + σ yy )  E ε xx = σ xx −ν 1σ yy ) ( E1 ε yy = σ yy −ν 1σ xx ) ( E1 γ = xy ( 1+ ν ) τ xy E1 (f) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES So sánh kết luận Trong toán phẳng, ẩn số ứng suất biến dạng : σx, σy, τxy, εx, εy, γxy → Những ứng suất hay biến dạng lại biểu diễn qua ẩn số Quan hệ ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) hoàn toàn tương tự nhau, khác thể chỗ toán ứng suất phẳng ta dùng số đàn hồi E, µ, cịn tốn biến dạng phẳng ta dùng số đàn hồi E1, µ1 theo cách đặt (g) Do giống mặt toán học nên phép giải tốn hồn tồn CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG BÀI TỐN PHẲNG ∂σ xx ∂τ yx + + fx = ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ yy + + fy = ∂x ∂y Phương trình cân tĩnh học ∂u ∂v ∂v ∂u ε xx = ; ε yy = ; γ xy = + ; Phương trình hình học ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ∂ 2ε xx ∂ ε yy ∂ γ xy Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục biến dạng + = ; ∂y ∂x ∂x∂y (6.1) (6.2) (6.3) Phương trình vật lý ε xx = ( σ xx −νσ yy ) ; E ε yy = ( σ yy −νσ xx ) ; E ( 1+ν ) γ xy = σ xy ; E E ε xx +νε yy ) ; ( xx −ν E σ xx = ε yy +νε xx ) ; ( −ν E τ xy = γ xy ; ( 1+ν ) - Nếu giải toán biến dạng phẳng, cần thay E, µ E1, µ1 σ = (6.4) - Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa ẩn số ba ứng suất, ba biến dạng hai chuyển (6.5) vị hệ khép kín, cho phép ta giải toán CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Các điều kiện biên Điều kiện biên tĩnh học : σ xxl + τ yxm= fx* τ xyl + σ yym= fy* Điều kiện biên động học (6.6) usx = u0 x ; u'sx = u'0 x ; usy = u0 y ; u'sy = u'0 y ; (6.7) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.3 PHÉP GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT - HÀM ỨNG SUẤT AIRY Chọn ẩn số ứng suất Các ứng suất phải thỏa mãn phương trình cân Nghiệm (*) tổng nghiệm tổng quát phương trình nghiệm riêng phương trình (*) ∂σ xx ∂τ xy  + = − fx  ∂x ∂y   ( *) ∂τ yx ∂σ yy + = − fy   ∂x ∂y ∂σ xx ∂τ xy  + = 0 ∂x ∂y   ∂τ yx ∂σ yy + = 0  ∂x ∂y (6.8) Nghiệm riêng phương trình (*) phụ thuộc vào dạng cụ thể lực thể tích Ví dụ nghiệm riêng lấy sau σ xx = 0; σ yy = 0;τ xy = − Px fx = 0; fy = P = cons ax2 σ xx = + bx; σ yy = τ xy = fx = ax + b; fy = ay3 axy2 σ xx = 0; σ yy = − ;τ xy = fx = ax y; fy = CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Hàm ứng suất Airy Để giải hệ (6.1) ta đưa hàm ẩn gọi hàm ứng suất Airy Xét hệ phương trình phương trình vi phân Điều kiện cần đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) hay p(x,y)dx + q(x,y)dy hàm u(x,y) p q phải có quan hệ : ∂σ xx ∂τ xy  + = 0 ∂x ∂y   ∂τ yx ∂σ yy + = 0  ∂x ∂y vi phân toàn phần ∂p ∂q = ∂y ∂x ∂τ ∂σ xx = − xy ∂x ∂y Phương trình thứ (1) hệ (6.8) Tức (σxx.dy - τxy.dx) vi phân tồn phần hàm A(x,y) Nên ta có quan hệ ∂A ∂A ;τ xy = − ∂y ∂x σ yy = ∂B ∂B ;τ xy = − ∂x ∂y ∂σ yy ∂τ = − xy ∂y ∂x Tương tự với phương trình thứ hai Tức (σyy.dx - τxy.dy) vi phân toàn phần hàm B(x,y) So sánh (a) (b) σ xx = ⇒ ∂A ∂B = ∂x ∂y (c) (a) (b) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.5 HÀM ỨNG SUẤT DƯỚI DẠNG CHUỖI LƯỢNG GIÁC Khi tải trọng biên phân bố khơng liên tục việc dùng hàm ứng suất dạng đa thức bị hạn chế Fillonne đề nghị chọn hàm ứng suất dạng chuỗi lượng giác sau: ∞ ϕ ( x, y ) = ∑ Fk ( y ) sin α k x với (6-15) αk = k =1 kπ l (6-16) Đặt phương trình (6-15) vào phương trình điều hịa kép ta có α k Fk sin α k x − 2α k Fk sin α k x + Fk sin α k x = Fk IV '' IV − 2α k Fk + α k Fk = '' (6-17) (6-18) Nghiệm tổng quát phương trình: Fk ( y ) = C1chα k y + C2 shα k y + C3 ychα k y + C4 yshα k y (6-19) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Các ứng suất tương ứng ∞ σ xx = ∑ Fk sin αk x; k =1 '' ∞ σ yy = − ∑ α k Fk sin αk x; k =1 ∞ σ xy = −∑ α k Fk' cos α k x (6-20) k =1 Trong Fk xác định theo phương trình (6-19) Fk = C1α k shα k y + C2α k chα k y + C3 (α k yshα k y + chα k y ) + C4 ( shα k y + yα k chα k y ) ' Fk = C1α k shα k y + C2α k chα k y + C3 (α k shα k y + α k chα k y + α k shα k y ) + '' 2 (6-21) + C4 (α k chα k y + α k chα k y + yα k shα k y ) (6-22) Với Ci số tích phân xác định theo điều kiện biên - Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái bên phải (khi x=0 x=L) có giá trị f x* = f y* ≠ ∞ ϕ ( x, y ) = ∑ Fk ( y ) cos α k x k =1 - Ritbier đề nghị lấy hàm ứng suất khai triển theo cos (6-23) Nghiêm Ribiere cho điều kiện (khi x=0 x=L) Nghiệm tổng quát: f x* ≠ ; ∞ f y* = ∞ ϕ ( x, y ) = ∑ Fk ( y ) sin α k x + ∑ Qk ( y ) cos α k x k =1 k =1 (6-24) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.6 GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN (SPHH) Phương pháp SPHH phương pháp số cho phép giải gần tốn khơng thể giải phương pháp giải tích Đạo hàm sai phân cấp Giả sử cho hàm ∆x ϕ (x) [ a, b] liên tục khả vi đoạn : gọi bước sai phân khơng Đạo hàm hàm (x)gần biểuϕthức dϕ ∆ϕ ∆ϕ = lim ≈ dx i ∆x→o ∆x ∆x ∆ϕ gọi sai phân cấp CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES ∆ϕ = ϕi − ϕi −1 sai phân lùi ∆ϕ = ϕi+1 − ϕi sai phân tiến ∆ϕ = ( ϕi +1 − ϕi −1 ) sai phân trung tâm Khi đạo hàm cấp tính dϕ ∆ϕ ϕi − ϕi−1 ϕi+1 − ϕi ϕi+1 − ϕi −1 ≈ = = = zx i ∆x ∆x ∆x ∆x Đạo hàm sai phân cấp cao Đạo hàm cấp n lấy gần Đạo hàm cấp 2,4 điểm i: ∆nϕi d nϕ ≈ dx n i ( ∆x ) n d 2ϕ ∆2ϕi ∆( ϕi +1 − ϕi ) ( ϕi+1 − 2ϕi + ϕi−1 ) ≈ = = dx i ( ∆x ) ( ∆x ) ( ∆x ) ( ) ( ϕi+2 − 4ϕi+1 + 6ϕi − 4ϕi−1 + ϕi−2 ) ∆2 ∆2ϕ i d 4ϕ ≈ = dx i ( ∆x ) ( ∆x ) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Đạo hàm sai phân hàm biến Giả sử cho hàm ϕ ( x, y ) liên tục khả vi miền S, ta chia miền lưới với bước lưới ∆x ∆y Ta viết đạo hàm điểm sau: ∂ϕ ∂x ( ϕ1 − ϕ ) ∂ 2ϕ ( ϕ1 − 2ϕ + ϕ3 ) ≈ ; ≈ 2∆x ∂x ( ∆x ) O , CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES ∂ϕ ∂y ( ϕ − ϕ ) ∂ 2ϕ ( ϕ − 2ϕ + ϕ ) ≈ ; ≈ 2 ∆ y ∂ y ( ) ∆ y O ∂ 2ϕ ∂x∂y ≈ ( ϕ − ϕ + ϕ − ϕ8 ) O 4∆x∆y ϕ9 − 2ϕ1 + 6ϕ0 − 2ϕ3 + ϕ11 ) ( ∂ 4ϕ ≈ ∂x O ( ∆x ) ( ϕ10 − 2ϕ2 + 6ϕ0 − 2ϕ4 + ϕ12 ) ∂ 4ϕ ≈ ∂y O ( ∆y ) ∂ 4ϕ ∂x ∂y ≈ O ( 4ϕ0 − 2( ϕ1 + ϕ + ϕ3 + ϕ ) + ( ϕ5 + ϕ6 + ϕ7 + ϕ8 ) ) ( ∆x ) ( ∆y ) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.7.4 Phương trình lưỡng điều hịa sai phân ϕ9 − 2ϕ1 + 6ϕ o − 2ϕ3 + ϕ11 4ϕ o − 2( ϕ1 + ϕ + ϕ3 + ϕ ) + ( ϕ5 + ϕ6 + ϕ + ϕ8 ) + + 4 ( ∆) ( ∆) ϕ10 − 2ϕ + 6ϕ − 2ϕ + ϕ12 =0 ( ∆) ∆2 ∆2ϕ o = Sau rút gọn nhận 20ϕ − 8( ϕ1 + ϕ + ϕ3 + ϕ ) + 2( ϕ5 + ϕ6 + ϕ + ϕ8 ) + ( ϕ9 + ϕ10 + ϕ11 + ϕ12 ) = Các ứng suất điểm O xác định theo công thức  ∂ 2ϕ ϕ − 2ϕ0 + ϕ σx = ≈  ( ) ∆ y ∂ y   ∂ϕ ϕ1 − 2ϕ0 + ϕ3 σ = ≈  y ( ) ∆ x ∂ x   ( ϕ + ϕ8 ) − ( ϕ + ϕ ) ∂ϕ τ = ≈  xy ∂x∂y 4∆x∆y  CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Giá trị φ(x,y) đạo hàm biên Để xác định giá trị hàm φ(x,y) biên ta xét phân tố ds theo biên có pháp tuyến v(l,m) chịu tải trọng fx, f y Ta có  ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ  ∂y l − ∂x∂y m = f x  2 ∂ ϕ ∂ ϕ − l + m = fy  ∂x∂y ∂x l=cos(v,x)=-dy/ds ; m=cos(v,y)=dx/ds Sau biến đổi ta có công thức cuối cùng: B B ∂ϕ ∂ϕ ( B ) = − ∑ Fx A ; ( B ) = ∑ Fy ; ϕ ( B ) = ∑ M B A ∂y ∂x B A (như hình vẽ) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Giá trị hàm φ(x,y) điểm biên 1) Đối với điểm biên chu tuyến (hình a) Ta có ∂ϕ ϕ ( N ) − ϕ (T ) ( B ) = suy ra: ∂y 2∆y ϕ ( N ) = ϕ (T ) + 2∆y ∂ϕ ( B) ∂y ϕ ( N ) = ϕ (T ) − 2∆y ∂ϕ ( B) ∂y 2) Đối với điểm biên chu tuyến (hình b) Ta có ∂ϕ ϕ (T ) − ϕ ( N ) ( B) = suy ra: ∂y 2∆y CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 3) Đối với điểm bên trái biên chu tuyến (hình c) Ta có ∂ϕ ϕ (T ) − ϕ ( N ) ( B) = suy ra: ∂y 2∆x ϕ ( N ) = ϕ (T ) − 2∆x ∂ϕ ( B) ∂y 4) Đối với điểm bên phải biên chu tuyến (hình d) Ta có ∂ϕ ϕ ( N ) − ϕ (T ) ( B ) = suy ra: ∂y 2∆x * Chú ý: - Hình dạng lưới chia phụ thuộc vào hình dạng vật thể - Độ xác kết phụ thuộc vào kích thước chia lưới ϕ ( N ) = ϕ (T ) + 2∆x ∂ϕ ( B) ∂y CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES ϕ = ax + bx2 y + cx2 y2 + dy Cho hàm ứng suất Yêu cầu: Xác định thành phần ứng suất, viết điều kiện biên tĩnh học ∂ 2ϕ σ xx = = 2cx2 + 6dy; ∂y ∂ 2ϕ σ yy = = 6ax + 2by+ 2cy2 ; ∂x ∂ 2ϕ σ xy = σ yx = − = − ( 2bx + 4cxy) ∂x∂y y = ( tg120o ) x = − x = −1,732 x Biên OA l = ( cos210 ) x = − ; m= ( cos120o ) x = − ; o fx* = q = γ y; fy* = 0;   3 ( 2cx + dy)  − ÷+ ( 2bx + 4cxy) = γ y     1   bx + cxy + ax + by + cy − ( ) ( )  ÷=   2  CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 6.1 Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia a, Hãy xác định ứng suất điểm K hình Bài 6.2 Cho hình chữ nhật có bề dày đơn vị chịu nén áp lực q hình vẽ, biết: Chuyển vị thao phương z vng góc với mặt phẳng khơng Các chuyển vị mặt phẳng là: CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Y q Hãy kiểm tra điều kiện biên toán? H X Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng riêng p, chịu tác x O dụng lực hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất tường chọn hàm ứng suất làđa thức bậc ba α h với a, b, c, d số q=γh y HẾT CHƯƠNG ... + m= fy*   ∂x∂y ∂x (6. 13) CHƯƠNG VI – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Nếu (6. 12) đủ để xác định số tích phân ứng suất theo (6. 19); (6. 11) & (6. 13) hồn tồn khơng liên quan đến hệ số đàn... với (6- 15) αk = k =1 kπ l (6- 16) Đặt phương trình (6- 15) vào phương trình điều hịa kép ta có α k Fk sin α k x − 2α k Fk sin α k x + Fk sin α k x = Fk IV '' IV − 2α k Fk + α k Fk = '' (6- 17) (6- 18)... ∂y ∂x ∂y 2 ∂ 2ε xx ∂ ε yy ∂ γ xy Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục biến dạng + = ; ∂y ∂x ∂x∂y (6. 1) (6. 2) (6. 3) Phương trình vật lý ε xx = ( σ xx −νσ yy ) ; E ε yy = ( σ yy −νσ xx