CHUONG 7 cơ môi trường liên tục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BỘ MÔN SỨC BỀN-CƠ KẾT CẤU BÀI GIẢNG MÔN HỌC CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC GIÁO VIÊN: TS VŨ THỊ BÍCH QUYÊN HÀ NỘI - 2010 CHƯƠNG - BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Khi giải toán phẳng lý thuyết đàn hồi, số trường hợp dùng tọa độ độc cực tiện lợi tọa độ Descartes, ví dụ nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng ống dày, đĩa quay, cong, miền cạnh lỗ tròn tấm… Trong tọa độ cực, vị trí điểm xác định góc cực  vectơ bán kính r 7.1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Các phương trình vi phân cân : Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng Tại điểm A(r, ,z), ta cắt phân tố giới hạn mặt - mặt trụ đồng trục cách khoảng dr - mặt phẳng chứa trục z tạo với góc d - mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách đơn vị Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực y z r  r   r d  f d  o x dr      d  r y o  r r  f r  r   r dr r  r dr r  R  r  x Hình 7.1 + Ký hiệu: r trục theo hướng bán kính,  trục qua điểm xét A(r, ,z) vng góc với r, ứng suất mặt ký hiệu sau: - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: + Trên mặt qua điểm A(r, ,z) có thành phần ứng suất:  r, Tr + Trên mặt qua điểm A(r, + d ,z), khai triển theo Taylor có thành phần ứng suất: Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực - fr, f : Lực thể tích hướng tâm tiếp tuyến tác dụng lên đơn vị tiếp tuyến Xét cân phân tố chịu lực hình 7.1 :   r d d dr )( r  dr ).d    dr.1 sin  (    d ).dr.1 sin  r   d  r d )dr.1 cos  f r r.d dr 0  r 0    r r.d  ( r   r dr.1 cos d  ( r Vì biến dạng bé nên : sin d d d cos 1  ; 2 Sau bỏ qua nguyên lượng vô bé chia cho r.dr.d ta được:  r T r r     f x 0 (7.1) r r  r   Tương tự chiếu lực lên phương  ta được: T r   T r  2  f  0 r r  r + Định luật đối ứng ứng suất tiếp : Tr = T r (7.2) (7.3) Chương – Bài tốn phẳng tọa độ cực Các phương trình hình học: Chuyển vị điểm A(r, θ) theo phương r, θ u, v Chuyển vị điểm B(r+dr, θ) theo phương là: Chuyển vị điểm C(r, θ+dθ) theo phương là: Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ * Trước tiên xét biến dạng u gây giữ nguyên góc θ Sau biến dạng ABCD trở thành A’B’C’D’: y u u d  1 Hình 7.2 u u dr r x Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực * Xét biến dạng chuyển vị v gây giữ nguyên dr Sau biến dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’: Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực v Có số hạng (NA”M) = γ2 quay toàn phân tố ABCD r điểm Cộng (a) (b) ta có quan hệ biến dạng chuyển vị tọa độ cực: Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Các phương trình vật lý: Trong tọa độ cực, có phương trình định luật Hooke tọa độ Descartes cách thay x, y r, θ: a Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: b Biểu thức ứng suất qua biến dạng: Ở toán biến dạng phẳng thay E, μ E1, μ1 theo cách đặt: E  E1    ; 1  1  Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực 7.2 GIẢI BÀI TOÁN PHẲNG THEO ỨNG SUẤT: - Phương trình LeVy 2(σx + σy) = phương trình giải tốn phằng theo ứng suất hệ tọa độ Descartes Ta biểu diễn phương trình hệ tọa độ cực: 2(σx + σy) = σx + σy = σr + σθ = S 2(σr + σθ) = * Liên hệ thành phần tọa độ Descartes tọa độ cực: Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Thay (6.7) vào (6.6) Cũng tương tự hệ tọa độ Descartes trường hợp lực thể tích 0, lấy ứng suất thỏa mãn phương trình cân (7.1), (7.2): Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất tọa độ cực Thay (7.9) vào (7.8) ta có: Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực 7.3 TÍNH TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC TẬP TRUNG VÀO BIÊN CỦA MỘT TẤM BÁN VÔ HẠN ĐÀN HỒI (Bài tốn PhơLamăng) Giả sử có mơi trường đàn hồi giới hạn mặt phẳng gọi không gian bán vô hạn đàn hồi Trên mặt phẳng chịu tác dụng tải trọng phân bố theo đường thẳng Để giải toán ta cắt phân tố giới hạn hai mặt phẳng song song vng góc với đường tải trọng cách đơn vị (H7.3) Hình 7.3 Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Như ta đưa tốn khơng gian thành tốn phẳng Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn mặt phẳng song song gần xem vô hạn đàn hồi Nếu mỏng ta coi toán toán trạng thái ứng suất phẳng Xét mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng biên Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) hàm chẵn θ nên σr, σθ hàm chẵn θ Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11) C số phải xác định cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hịa điều kiện biên: Chương – Bài tốn phẳng tọa độ cực Qua (7.12) cho thấy mặt phẳng vng góc với bán kính r có ứng suất pháp σr σθ = Trθ = Mặt vng góc với khơng có ứng suất Xác định số C cách tính tổng hình chiếu lên trục lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm (1 bề dày tấm)   P  r.rd  cos         2C cos  r cos  d r Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực    cos 2 d   2C cos d  2C     Thay (7.13) vào (7.12) ta có: Từ (7.14) cho thấy: Tại điểm đặt lực P: r = σr = ∞ Thực tế chịu lực tập trung điểm đặt lực có ứng suất cục lớn làm cho khu vực điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo Ở ta khơng xét khu vực mà áp dụng nghiệm rút ngồi khu vực nói Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực + Tính chất nghiệm σr: Cơng thức (7.15) cho thấy ứng suất σr tất điểm vịng trịn Vịng trịn gọi đường đẳng suất P P o r x d y Hình 7.15 P Ví dụ: cấu kiện chịu nén tâm Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Tính hệ tọa độ Descartes: Ta có: Nhân vế phương trình cho l Nhân vế phương trình cho m y y f*y  n P y r o  yx r r   r r x  xy f*x  xy x x Hình 7.16 x x y  yx r Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung hình vẽ, để tính ứng suất điểm ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 7.1 x Trong A, B số P    r Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Bài 7.2 Hãy xác định trạng thái ứng suất nêm ( hình vẽ ) Chọn hàm ứng suất dạng  qr r CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC KẾT THÚC MÔN HỌC ! ... CHƯƠNG Bài 7. 1 x Trong A, B số P    r Chương – Bài toán phẳng tọa độ cực Bài 7. 2 Hãy xác định trạng thái ứng suất nêm ( hình vẽ ) Chọn hàm ứng suất dạng  qr r CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC KẾT... ứng suất thỏa mãn phương trình cân (7. 1), (7. 2): Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất tọa độ cực Thay (7. 9) vào (7. 8) ta có: Chương – Bài tốn phẳng tọa độ cực 7. 3 TÍNH TÁC DỤNG CỦA MỘT LỰC TẬP TRUNG... r     f x 0 (7. 1) r r  r   Tương tự chiếu lực lên phương  ta được: T r   T r  2  f  0 r r  r + Định luật đối ứng ứng suất tiếp : Tr = T r (7. 2) (7. 3) Chương – Bài toán